Tích phân xác định (tích phân Riemann) Diện tích hình thang cong. Máy tính trực tuyến Tính tích phân xác định (diện tích hình thang cong)
Một hình được giới hạn bởi đồ thị của hàm không âm liên tục $f(x)$ trên đoạn $$ và các đường thẳng $y=0, \ x=a$ và $x=b$ được gọi là hình thang cong.
Diện tích hình thang cong tương ứng được tính theo công thức:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Chúng ta sẽ chia bài toán có điều kiện để tìm diện tích hình thang cong thành các loại $4$. Chúng ta hãy xem xét từng loại chi tiết hơn.
Loại I: hình thang cong được xác định rõ ràng. Sau đó áp dụng ngay công thức (*).
Ví dụ: tìm diện tích của một hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị của hàm $y=4-(x-2)^(2)$ và các đường $y=0, \ x=1$ và $x =3$.
Hãy vẽ hình thang cong này.
Sử dụng công thức (*), chúng ta tìm được diện tích của hình thang cong này.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (đơn vị$^(2)$).
Loại II: hình thang cong được xác định ngầm. Trong trường hợp này, các đường thẳng $x=a, \ x=b$ thường không được chỉ định hoặc chỉ định một phần. Trong trường hợp này, bạn cần tìm giao điểm của các hàm $y=f(x)$ và $y=0$. Những điểm này sẽ là điểm $a$ và $b$.
Ví dụ: tìm diện tích của một hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm $y=1-x^(2)$ và $y=0$.
Hãy tìm các giao điểm. Để làm điều này, chúng ta đánh đồng vế phải của hàm số.
Do đó, $a=-1$ và $b=1$. Hãy vẽ hình thang cong này.
Hãy tìm diện tích của hình thang cong này.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (đơn vị$^(2)$).
Loại III: diện tích của hình bị giới hạn bởi giao điểm của hai hàm số không âm liên tục. Hình này sẽ không phải là hình thang cong, nghĩa là bạn không thể tính diện tích của nó bằng công thức (*). Làm sao để? Hóa ra diện tích của hình này có thể được tìm thấy là sự khác biệt giữa diện tích của các hình thang cong được giới hạn bởi hàm trên và $y=0$ ($S_(uf)$), và hàm dưới và $y =0$ ($S_(lf)$), trong đó vai trò của $x=a, \ x=b$ được thực hiện bởi tọa độ $x$ của các điểm giao nhau của các hàm này, tức là.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Điều quan trọng nhất khi tính toán những diện tích như vậy là không được “bỏ lỡ” việc lựa chọn hàm trên và hàm dưới.
Ví dụ: tìm diện tích của một hình được giới hạn bởi các hàm $y=x^(2)$ và $y=x+6$.
Hãy tìm giao điểm của các đồ thị này:
Theo định lý Vieta thì
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Nghĩa là, $a=-2,\b=3$. Hãy vẽ một hình:
Do đó, hàm trên là $y=x+6$, và hàm dưới là $y=x^(2)$. Tiếp theo, chúng ta tìm $S_(uf)$ và $S_(lf)$ bằng công thức (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 0,5$ (đơn vị$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (đơn vị$^(2)$).
Hãy thay thế những gì chúng tôi tìm thấy vào (**) và nhận được:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (đơn vị$^(2)$).
Loại IV: diện tích của hình được giới hạn bởi (các) hàm không thỏa mãn điều kiện không âm.Để tìm diện tích của hình như vậy, bạn cần đối xứng qua trục $Ox$ ( nói cách khác,đặt “điểm trừ” trước các chức năng) hiển thị diện tích và sử dụng các phương pháp nêu ở loại I – III để tìm diện tích của khu vực hiển thị. Khu vực này sẽ là khu vực cần thiết. Đầu tiên, bạn có thể phải tìm các giao điểm của đồ thị hàm số.
Ví dụ: tìm diện tích của một hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm $y=x^(2)-1$ và $y=0$.
Hãy tìm giao điểm của đồ thị hàm số:
những thứ kia. $a=-1$, và $b=1$. Hãy vẽ diện tích.
Hãy hiển thị diện tích một cách đối xứng:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Kết quả là một hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị của hàm $y=1-x^(2)$ và $y=0$. Đây là bài toán tìm hình thang cong loại thứ hai. Chúng tôi đã giải quyết nó rồi. Câu trả lời là: $S= 1\frac(1)(3)$ (đơn vị $^(2)$). Điều này có nghĩa là diện tích của hình thang cong cần thiết bằng:
$S=1\frac(1)(3)$ (đơn vị$^(2)$).
Công trình đã hoàn thành
BẰNG ĐỘ CÔNG TRÌNH
Nhiều điều đã trôi qua và bây giờ bạn đã tốt nghiệp, tất nhiên, nếu bạn viết luận văn đúng hạn. Nhưng cuộc sống là vậy mà đến bây giờ bạn mới thấy rõ rằng, khi đã không còn là sinh viên, bạn sẽ mất đi mọi niềm vui thời sinh viên, trong đó có nhiều niềm vui bạn chưa từng thử, gác lại mọi thứ và gác lại cho đến sau này. Và bây giờ, thay vì bắt kịp, bạn đang làm luận án của mình? Có một giải pháp tuyệt vời: tải xuống luận án bạn cần từ trang web của chúng tôi - và bạn sẽ ngay lập tức có rất nhiều thời gian rảnh!
Luận án đã được bảo vệ thành công tại các trường đại học hàng đầu của Cộng hòa Kazakhstan.
Chi phí công việc từ 20.000 tenge
CÔNG TRÌNH KHÓA HỌC
Dự án khóa học là công việc thực tế nghiêm túc đầu tiên. Việc chuẩn bị cho việc phát triển các dự án cấp bằng tốt nghiệp bắt đầu bằng việc viết các bài tập. Nếu một sinh viên học cách trình bày chính xác nội dung của một chủ đề trong dự án khóa học và định dạng nó một cách thành thạo, thì trong tương lai anh ta sẽ không gặp vấn đề gì với việc viết báo cáo hoặc biên soạn. luận văn, cũng như thực hiện các nhiệm vụ thực tế khác. Trên thực tế, để hỗ trợ sinh viên viết loại bài tập này và làm rõ các câu hỏi nảy sinh trong quá trình chuẩn bị, phần thông tin này đã được tạo ra.
Chi phí công việc từ 2.500 tenge
LUẬN ÁN THẠC SĨ
Hiện tại ở cấp độ cao hơn cơ sở giáo dụcỞ Kazakhstan và các nước CIS, trình độ học vấn đại học rất phổ biến giáo dục nghề nghiệp, theo sau bằng cử nhân - bằng thạc sĩ. Trong chương trình thạc sĩ, sinh viên học với mục đích lấy bằng thạc sĩ, được công nhận ở hầu hết các nước trên thế giới hơn bằng cử nhân và cũng được các nhà tuyển dụng nước ngoài công nhận. Kết quả của việc học thạc sĩ là bảo vệ luận văn thạc sĩ.
Chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn tài liệu văn bản và phân tích cập nhật, giá bao gồm 2 bài báo khoa học và trừu tượng.
Chi phí công việc từ 35.000 tenge
BÁO CÁO THỰC HÀNH
Sau khi hoàn thành bất kỳ loại hình thực tập sinh viên nào (giáo dục, công nghiệp, trước khi tốt nghiệp), cần phải có một báo cáo. Tài liệu này sẽ được xác nhận công việc thực tế sinh viên và là cơ sở để hình thành đánh giá thực hành. Thông thường, để lập báo cáo thực tập cần thu thập, phân tích thông tin về doanh nghiệp, xem xét cơ cấu, quy trình làm việc của tổ chức nơi thực tập và biên soạn. kế hoạch lịch và mô tả các hoạt động thực tế của bạn.
Chúng tôi sẽ giúp bạn viết báo cáo về quá trình thực tập của mình, có tính đến các chi tiết cụ thể về hoạt động của một doanh nghiệp cụ thể.
Vấn đề 1(về tính diện tích hình thang cong).
Trong hệ tọa độ hình chữ nhật Cartesian xOy cho một hình (xem hình) giới hạn bởi trục x, các đường thẳng x = a, x = b (a bởi một hình thang cong. Cần tính diện tích của một đường cong hình thang.
Giải pháp. Hình học cung cấp cho chúng ta công thức tính diện tích đa giác và một số phần của hình tròn (khu vực, đoạn). Sử dụng các cân nhắc hình học, chúng ta chỉ có thể tìm thấy giá trị gần đúng của diện tích cần thiết, lý luận như sau.
Hãy chia đoạn [a; b] (đế hình thang cong) thành n phần bằng nhau; việc phân vùng này được thực hiện bằng cách sử dụng các điểm x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Chúng ta hãy vẽ các đường thẳng đi qua các điểm này song song với trục y. Khi đó hình thang cong đã cho sẽ được chia thành n phần, thành n cột hẹp. Diện tích của toàn bộ hình thang bằng tổng diện tích của các cột.
Chúng ta hãy xem xét cột thứ k một cách riêng biệt, tức là một hình thang cong có đáy là một đoạn. Hãy thay thế nó bằng một hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao bằng f(x k) (xem hình). Diện tích của hình chữ nhật bằng \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), trong đó \(\Delta x_k \) là chiều dài của đoạn; Điều tự nhiên là coi sản phẩm thu được là giá trị gần đúng của diện tích cột thứ k. 
Nếu bây giờ chúng ta làm tương tự với tất cả các cột khác, chúng ta sẽ đi đến kết quả sau: diện tích S của một hình thang cong cho trước xấp xỉ bằng diện tích Sn của một hình bậc được tạo thành từ n hình chữ nhật (xem hình):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ở đây, để thống nhất về ký hiệu, chúng ta giả sử a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - độ dài của đoạn, \(\Delta x_1 \) - độ dài của đoạn, v.v.; trong trường hợp này, như chúng ta đã đồng ý ở trên, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Vì vậy, \(S \approx S_n \), và đẳng thức gần đúng này càng chính xác thì n càng lớn.
Theo định nghĩa, người ta tin rằng diện tích cần thiết của hình thang cong bằng giới hạn của dãy (Sn):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Vấn đề 2(về việc di chuyển một điểm)
Di chuyển theo đường thẳng điểm vật chất. Sự phụ thuộc của tốc độ vào thời gian được biểu thị bằng công thức v = v(t). Tìm chuyển động của một điểm trong khoảng thời gian [a; b].
Giải pháp. Nếu chuyển động đều thì bài toán sẽ được giải rất đơn giản: s = vt, tức là. s = v(b-a). Đối với chuyển động không đều, bạn phải sử dụng các ý tưởng tương tự mà giải pháp cho vấn đề trước đó đã dựa trên.
1) Chia khoảng thời gian [a; b] thành n phần bằng nhau.
2) Xét một khoảng thời gian và giả sử rằng trong khoảng thời gian đó tốc độ không đổi, giống như tại thời điểm t k. Vì vậy chúng ta giả sử rằng v = v(t k).
3) Hãy tìm giá trị gần đúng của chuyển động của điểm trong một khoảng thời gian; chúng ta sẽ biểu thị giá trị gần đúng này là s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Tìm giá trị gần đúng của độ dời s:
\(s \approx S_n \) ở đâu
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Chuyển vị yêu cầu bằng giới hạn của dãy (Sn):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Hãy tóm tắt. Giải pháp cho nhiều vấn đề khác nhau được rút gọn thành cùng một mô hình toán học. Nhiều bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ khác nhau đều dẫn đến cùng một mô hình trong quá trình giải. Vậy cái này mô hình toán học cần được nghiên cứu đặc biệt.
Khái niệm tích phân xác định
Chúng ta hãy đưa ra mô tả toán học của mô hình được xây dựng trong ba bài toán đang xem xét cho hàm y = f(x), liên tục (nhưng không nhất thiết là không âm, như đã được giả định trong các bài toán đang xem xét) trên khoảng [a; b]:
1) chia đoạn [a; b] thành n phần bằng nhau;
2) tạo tổng $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) tính $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Trong quá trình phân tích toán học, người ta đã chứng minh rằng giới hạn này tồn tại trong trường hợp hàm liên tục (hoặc liên tục từng phần). Anh ấy được gọi một tích phân nhất định của hàm y = f(x) trên đoạn [a; b] và được ký hiệu như sau:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Các số a và b được gọi là giới hạn tích phân (tương ứng dưới và trên).
Hãy quay trở lại các nhiệm vụ đã thảo luận ở trên. Định nghĩa diện tích ở Bài toán 1 bây giờ có thể được viết lại như sau:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ở đây S là diện tích hình thang cong như hình trên. Đây là ý nghĩa hình học của tích phân xác định.
Định nghĩa độ dời s của một điểm chuyển động thẳng với vận tốc v = v(t) trong khoảng thời gian từ t = a đến t = b cho ở Bài toán 2, có thể viết lại như sau:
Công thức Newton-Leibniz
Trước tiên, chúng ta hãy trả lời câu hỏi: mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm là gì?
Câu trả lời có thể tìm thấy ở Bài toán 2. Một mặt, độ dịch chuyển s của một điểm chuyển động thẳng với vận tốc v = v(t) trong khoảng thời gian từ t = a đến t = b được tính bằng công thức
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Mặt khác, tọa độ của một điểm chuyển động là nguyên hàm của tốc độ - hãy ký hiệu nó là s(t); điều này có nghĩa là độ dịch chuyển s được biểu thị bằng công thức s = s(b) - s(a). Kết quả là chúng tôi nhận được:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
trong đó s(t) là nguyên hàm của v(t).
Định lý sau đây đã được chứng minh trong quá trình phân tích toán học.
Định lý. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì công thức đúng
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x).
Công thức đã cho thường được gọi là Công thức Newton-Leibnizđể vinh danh nhà vật lý người Anh Isaac Newton (1643-1727) và nhà triết học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716), những người đã tiếp nhận nó một cách độc lập với nhau và gần như đồng thời.
Trong thực tế, thay vì viết F(b) - F(a), người ta sử dụng ký hiệu \(\left. F(x)\right|_a^b \) (đôi khi nó được gọi là thay thế kép) và theo đó, viết lại công thức Newton-Leibniz ở dạng sau:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Khi tính tích phân xác định, trước tiên hãy tìm nguyên hàm, sau đó thực hiện phép thế kép.
Dựa trên công thức Newton-Leibniz, chúng ta có thể thu được hai tính chất của tích phân xác định.
Tài sản 1. Tích phân của tổng các hàm bằng tổng của các tích phân:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Tài sản 2. Hệ số không đổi có thể được rút ra khỏi dấu tích phân:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Tính diện tích các hình phẳng bằng tích phân xác định
Sử dụng tích phân, bạn có thể tính diện tích không chỉ của các hình thang cong mà còn của các hình phẳng. kiểu phức tạp, ví dụ như trong hình. Hình P được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b và các đồ thị hàm số liên tục y = f(x), y = g(x) và trên đoạn [a; b] bất đẳng thức \(g(x) \leq f(x) \) đúng. Để tính diện tích S của hình đó, chúng ta sẽ tiến hành như sau:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Vì vậy, diện tích S của một hình được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b và đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), liên tục trên đoạn thẳng và sao cho với mọi x từ đoạn thẳng đó [Một; b] bất đẳng thức \(g(x) \leq f(x) \) thỏa mãn, được tính theo công thức
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Bảng tích phân bất định (nguyên hàm) của một số hàm số
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Cần tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng, 
,
và đường cong 
.
Hãy chia đoạn 
dotmina 
đoạn cơ bản, độ dài 
đoạn thứ 
. Chúng ta hãy khôi phục các đường vuông góc từ các điểm phân chia của đoạn thẳng đến giao điểm với đường cong 
, cho phép 
. Kết quả là chúng tôi nhận được 
hình thang cơ bản, tổng diện tích của chúng rõ ràng bằng tổng của một hình thang cong đã cho.
Chúng ta hãy xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên mỗi khoảng cơ bản ở khoảng đầu tiên; 
, vào ngày thứ hai 
và như thế. Hãy tính số tiền
Tổng đầu tiên biểu thị diện tích của tất cả các mô tả, tổng thứ hai là diện tích của tất cả các hình chữ nhật được ghi trong một hình thang cong.
Rõ ràng là tổng đầu tiên cho giá trị gần đúng của diện tích hình thang “thừa”, tổng thứ hai - “thiếu”. Tổng đầu tiên được gọi là tổng Darboux trên, tổng thứ hai – tương ứng là tổng Darboux dưới. Vậy diện tích hình thang cong là 
thỏa mãn bất đẳng thức 
. Chúng ta hãy tìm hiểu xem tổng Darboux hoạt động như thế nào khi số lượng điểm phân vùng của đoạn tăng lên 
. Đặt số lượng điểm phân vùng tăng thêm một và nó nằm ở giữa khoảng 
. Bây giờ con số giống như
hình chữ nhật nội tiếp và ngoại tiếp tăng thêm một. Chúng ta hãy xem xét tổng Darboux thấp hơn đã thay đổi như thế nào. Thay vì hình vuông 
thứ hình chữ nhật nội tiếp, bằng 
ta được tổng diện tích của hai hình chữ nhật 
, vì chiều dài 
không thể ít hơn 
giá trị nhỏ nhất của hàm số tại 
. Mặt khác, 
, bởi vì 
không thể có nhiều hơn 
giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng 
. Vì vậy, việc thêm các điểm mới để phân chia một đoạn sẽ làm tăng giá trị của tổng Darboux dưới và giảm tổng Darboux trên. Trong trường hợp này, tổng Darboux thấp hơn, với bất kỳ sự gia tăng nào về số lượng điểm phân vùng, không thể vượt quá giá trị của bất kỳ tổng trên nào, vì tổng diện tích của các hình chữ nhật được mô tả luôn lớn hơn tổng diện tích của các hình chữ nhật được ghi trong một hình thang cong.
Do đó, chuỗi tổng Darboux thấp hơn tăng theo số điểm phân vùng của đoạn và bị chặn từ trên xuống theo định lý nổi tiếng, nó có giới hạn. Giới hạn này là diện tích của một hình thang cong cho trước.
Tương tự, chuỗi các tổng Darboux trên giảm khi số lượng điểm phân chia của khoảng tăng dần và bị giới hạn từ bên dưới bởi bất kỳ tổng Darboux nào thấp hơn, nghĩa là nó cũng có giới hạn và nó cũng bằng diện tích của đường cong hình thang.
Vì vậy, để tính diện tích hình thang cong chỉ cần 
các phân vùng của khoảng, xác định tổng Darboux dưới hoặc trên, sau đó tính toán 
, hoặc 
.
Tuy nhiên, một giải pháp như vậy cho vấn đề giả định trước bất kỳ, tùy ý số lượng lớn phân vùng 
, tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm trên mỗi khoảng cơ bản, đây là một công việc tốn nhiều công sức.
Một giải pháp đơn giản hơn thu được bằng cách sử dụng tổng tích phân Riemann, đó là
Ở đâu 
một số điểm của mỗi khoảng cơ bản, đó là 
. Do đó, tổng tích phân Riemann là tổng diện tích của tất cả các hình chữ nhật có thể có, và 
. Như đã trình bày ở trên, giới hạn của tổng Darboux trên và dưới bằng nhau và bằng diện tích của hình thang cong. Sử dụng một trong các tính chất của giới hạn của hàm (quy tắc hai cảnh sát), chúng ta thu được điều đó cho bất kỳ phân vùng nào của phân đoạn 
và chọn điểm 
Diện tích của hình thang cong có thể được tính bằng công thức 
.
Chúng ta hãy xem xét một hình thang cong giới hạn bởi trục Ox, đường cong y=f(x) và hai đường thẳng: x=a và x=b (Hình 85). Hãy lấy một giá trị tùy ý của x (không phải a và không phải b). Hãy tăng thêm h = dx và xét một dải được giới hạn bởi các đường thẳng AB và CD, trục Ox và cung BD thuộc đường cong đang xét. Chúng ta sẽ gọi dải này là dải cơ bản. Diện tích của dải cơ bản khác với diện tích của hình chữ nhật ACQB bởi tam giác cong BQD và diện tích của hình sau diện tích ít hơn hình chữ nhật BQDM có cạnh BQ = =h=dx) QD=Ay và diện tích bằng hAy = Ay dx. Khi bên h giảm thì bên Du cũng giảm và đồng thời với h có xu hướng bằng không. Do đó, diện tích của BQDM là vô cùng nhỏ bậc hai. Diện tích của dải cơ bản là phần tăng của diện tích và diện tích của hình chữ nhật ACQB, bằng AB-AC ==/(x) dx> là vi phân của diện tích. Do đó, chúng ta tìm diện tích của chính nó bằng cách lấy tích phân vi phân của nó. Trong hình đang xét, biến độc lập l: thay đổi từ a thành b, do đó diện tích 5 cần tìm sẽ bằng 5= \f(x) dx. (I) Ví dụ 1. Hãy tính diện tích giới hạn bởi parabol y - 1 -x*, các đường thẳng X =--Fj-, x = 1 và trục O* (Hình 86). ở hình. 87. Hình. 86. 1 Ở đây f(x) = 1 - l?, giới hạn tích phân là a = - và £ = 1, do đó J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Ví dụ 2. Hãy tính diện tích giới hạn bởi hình sin y = sinXy, trục Ox và đường thẳng (Hình 87). Áp dụng công thức (I), ta thu được A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Ví dụ 3. Tính diện tích giới hạn bởi cung hình sin ^у = sin jc, kèm theo giữa hai giao điểm liền kề với trục Ox (ví dụ giữa gốc tọa độ và điểm với trục hoành i). Lưu ý rằng từ những cân nhắc về hình học, rõ ràng diện tích này sẽ gấp đôi nhiều diện tích hơn ví dụ trước. Tuy nhiên, hãy thực hiện phép tính: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Thật vậy, giả định của chúng tôi hóa ra là đúng. Ví dụ 4. Tính diện tích giới hạn bởi hình sin và trục Ox tại một chu kỳ (Hình 88). Tính toán sơ bộ cho thấy diện tích sẽ lớn hơn bốn lần so với Ví dụ 2. Tuy nhiên, sau khi tính toán, chúng ta thu được “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Kết quả này cần được làm rõ. Để làm rõ bản chất của vấn đề, chúng ta cũng tính diện tích giới hạn bởi hình sin y = sin l: và trục Ox trong khoảng từ l đến 2i. Áp dụng công thức (I), ta thu được 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Vì vậy, chúng ta thấy rằng khu vực này hóa ra là âm. So sánh với diện tích tính được ở bài tập 3, ta thấy rằng giá trị tuyệt đối giống nhau nhưng dấu hiệu thì khác nhau. Nếu áp dụng tính chất V (xem Chương XI, § 4), chúng ta nhận được 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Điều xảy ra trong ví dụ này không phải là một tai nạn. Luôn là diện tích nằm bên dưới trục Ox, với điều kiện biến độc lập thay đổi từ trái sang phải, thu được khi tính toán bằng tích phân. Trong khóa học này, chúng ta sẽ luôn xem xét các khu vực không có biển báo. Do đó, câu trả lời trong ví dụ vừa thảo luận sẽ là: diện tích cần tìm là 2 + |-2| = 4. Ví dụ 5. Hãy tính diện tích BAB như hình vẽ. 89. Diện tích này được giới hạn bởi trục Ox, parabol y = - xr và đường thẳng y - = -x+\. Diện tích hình thang cong Diện tích yêu cầu OAB gồm hai phần: OAM và MAV. Vì điểm A là giao điểm của parabol và một đường thẳng nên ta sẽ tìm tọa độ của nó bằng cách giải hệ phương trình 3 2 Y = mx. (ta chỉ cần tìm hoành độ của điểm A). Giải hệ ta tìm được l; = ~. Vì vậy, diện tích phải được tính theo từng phần, hình vuông đầu tiên. OAM và sau đó xin vui lòng. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)
