Радіус описаного кола дорівнює синусу. Вписані та описані кола

У сучасному машинобудуванні використовується маса елементів та запчастин, які мають у своїй структурі як зовнішні кола, так і внутрішні. Самим яскравим прикладомможуть служити корпус підшипника, деталі моторів, вузли маточини та багато іншого. При їх виготовленні застосовуються не тільки високотехнологічні пристрої, а й знання з геометрії, зокрема інформація про кола трикутника. Детальніше з подібними знаннями познайомимося нижче.

Вконтакте

Яке коло вписано, а яке описано

Насамперед згадаємо, що колом називається нескінченне безліч точок, віддалених на однаковій відстані від центру. Якщо всередині багатокутника допускається побудувати коло, яке з кожною стороною матиме лише одну загальну точку перетину, то вона називатиметься вписаною. Описаним колом (не коло, це різні поняття) називається таке геометричне місце точок, при якому у побудованої фігури із заданим багатокутником загальними точками будуть лише вершини багатокутника. Ознайомимося з цими двома поняттями на більш наочний приклад(Див. рис 1.).

Малюнок 1. Вписане та описане кола трикутника

На зображенні побудовано дві фігури великого і малого діаметрів, центри яких знаходяться G і I. Окружність більшого значення називається описаною окр-тью ABC, а малого – навпаки, вписаною в ABC.

Щоб описати навколо трикутника окр-ть, потрібно провести через середину кожної сторони перпендикулярну пряму(Тобто під кутом 90 °) - це точка перетину, вона відіграє ключову роль. Саме вона буде центром описаного кола. Перед тим як знайти коло, її центр у трикутнику, потрібно побудувати для кожного кута, після чого виділити точку перетину прямих. Вона у свою чергу буде центром вписаної окр-ти, а її радіус за будь-яких умов буде перпендикулярний будь-якій із сторін.

На запитання: «Яка кількість кіл вписаних може бути для багатокутника з трьома?» відповімо відразу, що в будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж тільки одну. Тому що існує тільки одна точка перетину всіх бісектрис і одна точка перетину перпендикулярів, що виходять із середин сторін.

Властивість кола, якому належать вершини трикутника

Описане коло, що залежить від довжин сторін на підставі, має свої властивості. Вкажемо властивості описаного кола:

Для того щоб наочніше зрозуміти принцип описаного кола, вирішимо просте завдання. Припустимо, що дано трикутник ΔABC, сторони якого дорівнюють 10, 15 і 8,5 см. Радіус описаного кола біля трикутника (FB) становить 7,9 см. Знайти значення градусної міри кожного кута і через них площу трикутника.

Малюнок 2. Пошук радіуса кола через відношення сторін та синусів кутів

Рішення: спираючись на вказану теорему синусів, знайдемо значення синуса кожного кута окремо. За умовою відомо, що сторона АВ дорівнює 10 см. Обчислимо значення С:

Використовуючи значення таблиці Брадіса, дізнаємося, що градусна міра кута дорівнює 39°. Таким самим способом знайдемо й інші заходи кутів:

Звідки дізнаємось, що CAB = 33 °, а ABC = 108 °. Тепер, знаючи значення синусів кожного з кутів та радіус, знайдемо площу, підставляючи знайдені значення:

Відповідь: площа трикутника дорівнює 40,31 см², а кути рівні відповідно 33 °, 108 ° і 39 °.

Важливо!Вирішуючи завдання подібного плану, буде не зайвим завжди мати таблиці Брадіса або відповідний додаток на смартфоні, тому що вручну процес може затягнутися на довгий час. Також для більшої економії часу не потрібно обов'язково будувати всі три середини перпендикуляра або три бісектриси. Будь-яка третя завжди буде перетинатися в точці перетину перших двох. А для ортодоксальної побудови зазвичай третю домальовують. Може, це неправильно у питанні алгоритму, але на ЄДІ чи інших іспитах це дуже економить час.

Обчислення радіусу вписаного кола

Усі точки кола однаково віддалені від її центру однаковій відстані. Довжину цього відрізка (від і до) називають радіусом. Залежно від цього, яку окр-ть маємо, розрізняють два виду – внутрішній і зовнішній. Кожен їх обчислюється за власною формулою і має пряме відношення до обчислення таких параметрів, як:

площа;
градусний захід кожного кута;
довжини сторін та периметр.

Малюнок 3. Розташування вписаного кола всередині трикутника

Обчислити довжину відстані від центру до точки зіткнення з будь-якою із сторін можна такими способами: ч через сторони, бічні сторони та кути(Для рівнобокого трикутника).

Використання напівпериметра

Напівпериметром називається половина суми довжин усіх сторін. Такий спосіб вважається найпопулярнішим і універсальним, оскільки незалежно від цього, який тип трикутника дано за умовою, він підходить всім. Порядок обчислення має такий вигляд:

Якщо дано «правильний»

Однією з малих переваг «ідеального» трикутника є те, що вписані та описані кола мають центр в одній точці. Це зручно при побудові фігур. Однак у 80% випадків відповідь виходить «негарною». Тут мається на увазі, що дуже рідко радіус вписаної окр-ти буде цілим, швидше навпаки. Для спрощеного обчислення використовується формула радіусу вписаного кола в трикутник:

Якщо боковини однакової довжини

Однією з підтипів завдань на держ. іспитах буде знаходження радіусу вписаного кола трикутника, дві сторони якого рівні між собою, а третя ні. У такому разі рекомендуємо використовувати цей алгоритм, який дасть відчутну економію часу на пошук діаметра вписаної окр-ти. Радіус вписаного кола в трикутник з рівними «бічними» обчислюється за такою формулою:

Наочніше застосування зазначених формул продемонструємо на наступному завданні. Нехай маємо трикутник (ΔHJI), в який вписано окр-ть у точці K. Довжина сторони HJ = 16 см, JI = 9,5 см і сторона HI дорівнює 19 см (рисунок 4). Знайти радіус вписаної окр-ти, знаючи сторони.

Малюнок 4. Пошук значення радіуса вписаного кола

Рішення: для знаходження радіусу вписаної окр-ти знайдемо напівпериметр:

Звідси, знаючи механізм обчислення, дізнаємося про таке значення. Для цього знадобляться довжини кожної із сторін (дано за умовою), а також половину периметра, виходить:

Звідси випливає, що радіус, що шукає, дорівнює 3,63 см. Відповідно до умови, всі сторони рівні, тоді шуканий радіус дорівнюватиме:

За умови, якщо багатокутник рівнобокий (наприклад, i = h = 10 см, j = 8 см), діаметр внутрішньої окр-ти з центром у точці K дорівнюватиме:

У разі завдання може даватися трикутник з кутом 90°, у разі запам'ятовувати формулу немає необхідності. Гіпотенуза трикутника дорівнюватиме діаметру. Наочно це виглядає так:

Важливо!Якщо задане завдання на пошук внутрішнього радіусу, не рекомендуємо проводити обчислення через значення синусів та косинусів кутів, табличне значення яких точно не відомо. Якщо інакше дізнатися довжину неможливо, не намагайтеся «витягнути» значення з-під кореня. У 40% завдань отримане значення буде трансцендентним (тобто нескінченним), а комісія може не зарахувати відповідь (навіть якщо вона буде правильною) через її неточність або неправильної формиподання. Особливу увагуприділіть тому, як може змінюватись формула радіуса описаного кола трикутника в залежності від запропонованих даних. Такі «заготівлі» дозволяють заздалегідь «бачити» сценарій розв'язання задачі та вибрати найбільш економне рішення.

Радіус внутрішнього кола та площа

Для того щоб обчислити площу трикутника, вписаного в коло, використовують лише радіус та довжини сторін багатокутника:

Якщо за умови завдання безпосередньо немає значення радіуса, лише площа, то зазначена формула площі трансформується в следующую:

Розглянемо дію останньої формули більш конкретному прикладі. Припустимо, що дано трикутник, куди вписано окр-ть. Площа окр-ти становить 4π, а сторони рівні відповідно 4, 5 і 6 див. Обчислимо площу заданого багатокутника з допомогою обчислення полупериметра.

Використовуючи вищезазначений алгоритм, обчислимо площу трикутника через радіус вписаного кола:

Через те, що у будь-який трикутник можна вписати коло, кількість варіацій знаходження площі значно збільшується. Тобто. пошук площі трикутника, включає обов'язкове знання довжини кожної сторони, а також значення радіуса.

Трикутник, вписаний у коло геометрія 7 клас

Прямокутні трикутники, вписані в коло

Висновок

З зазначених формул можна переконатися, що складність будь-якої задачі з використанням вписаного та описаного кіл полягає тільки в додаткових дії з пошуку необхідних значень. Завдання подібного типу вимагають лише досконального розуміння суті формул, а також раціональності їх застосування. З практики рішення відзначимо, що в майбутньому центр описаного кола фігуруватиме і в подальших темах геометрії, тому запускати її не слід. В іншому випадку рішення може затягнутися з використанням зайвих ходів та логічних висновків.

Початковий рівень

Описане коло. Візуальний гід (2019)

Перше питання, яке може виникнути: описана – навколо чого?

Ну, взагалі-то іноді буває і навколо чого завгодно, а ми міркуватимемо про коло, описаного навколо (іноді ще кажуть «біля») трикутника. Що це таке?

І ось, уяви собі, має місце дивовижний факт:

Чому цей факт дивовижний?

Але ж трикутники – то бувають різні!

І для кожного знайдеться коло, яке пройде через усі три вершини, тобто описане коло.

Доказ цього дивовижного фактуможеш знайти в наступних рівнях теорії, а тут зауважимо тільки, що якщо взяти, наприклад, чотирикутник, то вже зовсім не для кожного знайдеться коло, що проходить через чотири вершини. Ось, скажімо, паралелограм - відмінний чотирикутник, а кола, що проходить через усі його чотири вершини - ні!

А є лише для прямокутника:

Ну ось, а трикутник кожен і завжди має власне описане коло!І навіть завжди досить просто знайти центр цього кола.

Чи знаєш ти, що таке серединний перпендикуляр?

А тепер подивимося, що вийде, якщо ми розглянемо цілих три серединні перпендикуляри до сторін трикутника.

Ось виявляється (і це якраз і треба доводити, хоч ми й не будемо), що всі три перпендикуляри перетнуться в одній точці.Дивись на малюнок - всі три серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці.

Як ти думаєш, чи завжди центр описаного кола лежить усередині трикутника? Уяви собі - зовсім не завжди!

А от якщо гострокутний, то - всередині:

Що робити з прямокутним трикутником?

Та ще з додатковим бонусом:

Раз уже заговорили про радіус описаного кола: чому він дорівнює для довільного трикутника? І є відповідь це питання: так звана .

А саме:

Ну і, звісно,

1. Існування та центр описаного кола

Тут виникає запитання: а чи для будь-якого трикутника існує таке коло? Ось виявляється, що так, для кожного. Більше того, ми зараз сформулюємо теорему, яка ще й відповідає на питання, де ж знаходиться центр описаного кола.

Дивись, ось так:

Давай наберемося мужності та доведемо цю теорему. Якщо ти вже читав тему « » розбирався в тому, чому ж три бісектриси перетинаються в одній точці, то тобі буде легше, але і якщо не читав - не переживай: зараз у всьому розберемося.

Доказ проводитимемо, використовуючи поняття геометричного місця точок (ГМТ).

Ну от, наприклад, чи є безліч м'ячів – «геометричним місцем» круглих предметів? Ні, звичайно, тому що бувають круглі кавуни. А чи є безліч людей, «геометричним місцем», які вміють говорити? Теж ні, бо є немовлята, які не вміють говорити. У житті взагалі складно знайти приклад справжнього геометричного місця точок. У геометрії простіше. Ось, наприклад, саме те, що нам потрібно:

Тут безліч - це серединний перпендикуляр, а властивість "" - це "бути рівновіддаленою (точкою) від кінців відрізка".

Перевіримо? Отже, потрібно впевнитись у двох речах:

Будь-яка точка, яка рівновіддалена від кінців відрізка - знаходиться на серединному перпендикулярі до нього.

З'єднаємо з і с. Тоді лінія є медіаною та висотою ст. Значить, рівнобедрений, переконалися, що будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, однаково віддалена від точок і.

Візьмемо – середину і з'єднаємо в. Вийшла медіана. Але – рівнобедрений за умовою не лише медіана, а й висота, тобто – серединний перпендикуляр. Значить, точка – точно лежить на серединному перпендикулярі.

Всі! Повністю перевірили той факт, що серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним місцем точок, що рівно віддалені від кінців відрізка.

Це все добре, але чи не забули ми про описане коло? Зовсім ні, ми якраз підготували собі «плацдарм для нападу».

Розглянемо трикутник. Проведемо два серединні перпендикуляри і, скажімо, до відрізків і. Вони перетнуться в якійсь точці, яку ми назвемо.

А тепер, увага!

Крапка лежить на серединному перпендикулярі;
точка лежить на серединному перпендикулярі.
Отже, в.

Звідси випливає відразу кілька речей:

По - перше , точка повинна лежати третьому серединному перпендикулярі, до відрізку.

Тобто серединний перпендикуляр теж повинен пройти через точку, і всі три серединні перпендикуляри перетнулися в одній точці.

По - друге: якщо ми проведемо коло з центром у точці і радіусом, то це коло також пройде і через точку, і через точку, тобто буде описаним колом. Значить, вже є, що перетин трьох серединних перпендикулярів - центр описаного кола для будь-якого трикутника.

І останнє: про єдиність. Ясно (майже), що точку можна отримати єдиним чином, тому й коло - єдине. Ну, а "майже" - залишимо на твоє роздуми. Ось і довели теорему. Можна кричати "Ура!".

А якщо в задачі стоїть питання «знайдіть радіус описаного кола»? Або навпаки, радіус дано, а потрібно знайти щось інше? Чи є формула, що зв'язує радіус описаного кола з іншими елементами трикутника?

Зверніть увагу: теорема синусів повідомляє, що для того щоб знайти радіус описаного кола, тобі потрібна одна сторона (будь-яка!) і протилежний їй кут. І все!

3. Центр кола - усередині чи зовні

А тепер питання: чи може центр описаного кола лежати зовні трикутника.
Відповідь: ще як може. Більше того, так завжди буває у тупокутному трикутнику.

І взагалі:

ОПИСАНА ОКРУЖНІСТЬ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Окружність, описана біля трикутника

Це коло, яке проходить через усі три вершини цього трикутника.

2. Існування та центр описаного кола

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 999 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстіву них можна відкрити одразу.

У другому випадку ми подаруємо тобітренажер "6000 завдань з рішеннями та відповідями, по кожній темі, за всіма рівнями складності". Його точно вистачить, щоб набити руку на вирішенні завдань з будь-якої теми.

Насправді це набагато більше, ніж просто тренажер. ціла програмапідготовки. Якщо знадобиться, ти зможеш нею так само скористатися БЕЗКОШТОВНО.

Доступ до всіх текстів та програм надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Цілі уроку:

Поглибити знання на тему «Описані кола в трикутниках»

Завдання уроку:

Систематизувати знання з цієї теми
Підготуватись до вирішення завдань підвищеної складності.

План уроку:

Вступ.
Теоретична частина.
Для трикутника.
Практична частина.

Вступ.

Тема «Вписані та описані кола в трикутниках» є однією з найскладніших у курсі геометрії. На уроках їй приділяється дуже мало часу.

Геометричні завдання цієї теми включаються до другої частини екзаменаційної роботиЄДІ за курс середньої школи.
Для успішного виконання цих завдань необхідні тверді знання основних геометричних фактів та деякий досвід у вирішенні геометричних завдань.

Теоретична частина.

Описане коло багатокутника- Коло, що містить всі вершини багатокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін багатокутника.

Властивості.

Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить у точці перетину серединних перпендикулярів до його сторін. Як наслідок: якщо поряд з n-кутником описано коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).
Навколо будь-якого правильного багатокутникаможна описати коло.

Для трикутника.

Коло називається описаним біля трикутника, якщо вона проходить через усі його вершини.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж тільки одну. Її центром буде точка перетину серединних перпендикулярів.

У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного - поза трикутником, У прямокутного - на середині гіпотенузи.

Радіус описаного кола може бути знайдений за формулами:

Де:
a, b, c - сторони трикутника,
α - Кут, що лежить проти сторони a,
S- площа трикутника.

Довести:

т.о - точка перетину серединних перпендикулярів до сторін ABC

Доведення:

ΔAОC - рівнобедрений, т.к. ОА = ОС (як радіуси)
ΔAОC - рівнобедрений, перпендикуляр OD - медіана та висота, тобто. т.про лежить на серединному перпендикулярі до сторони АС
Аналогічно доводиться, що лежить на серединних перпендикулярах до сторін АВ і ВС

Що й потрібно було довести.

Зауваження.

Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, часто називають серединним перпендикуляром. У зв'язку з цим іноді говорять, що центр кола, описаного біля трикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Предмети > Математика > Математика 7 клас

Трикутник називається вписаним, якщо його вершини лежать на окружности. У цьому випадку коло називається описаноюнавколо трикутника. Відстань від її центру до кожної вершини трикутника буде однаковою і дорівнює радіусу цього кола. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, але тільки одну.

Центр описаного кола лежатиме в точці перетину серединних перпендикулярів, проведених до кожної із сторін трикутника. Якщо коло описано навколо прямокутного трикутника, то її центр лежатиме на середині гіпотенузи. Для будь-якого трикутника, навколо якого описане коло діє формула площі трикутника через радіус описаного кола:

в якій a, b, c – сторони трикутника, а R – радіус описаного кола.

Приклад розрахунку площі трикутника через радіус описаного кола:
Нехай дано трикутник зі сторонами a = 5 см, b = 6 см, c = 4 см. Навколо нього описано коло з R = 3 см. Знайдіть площу.
Маючи всі необхідні дані, просто підставляємо значення у формулу:

Площа трикутника дорівнюватиме 10 кв. см

Досить часто за умовами можна зустріти дану площу описаного кола, яке необхідно використовувати для знаходження площі вписаного трикутника. Формула площі трикутника через площу описаного кола знаходиться після обчислення радіусу. Його можна обчислити кількома способами. Для початку розглянемо формулу площі кола:
Перетворивши цю формулу, ми отримаємо, що радіус:
Використовуючи цю формулу, ми отримуємо, що знаючи площу описаного кола, можна знайти площу трикутника у такий спосіб:

Знаючи всі три сторони заданого трикутника можна застосувати для знаходження площі. З неї ж можна знайти і радіус описаного кола. Тобто якщо в умовах дано всі сторони трикутника і потрібен пошук площі через радіус описаного кола, ми спочатку маємо обчислити його за формулою:

Тобто, знаючи довжини всіх сторін трикутника, ми можемо знайти площу трикутника через радіус описаного кола.

Приклад розрахунку площі трикутника через площу описаного кола:
Дано трикутник, навколо якого описано коло з площею 8 кв. див. Сторони трикутника a = 4см, b = 3 см, c = 5 см. Для початку знайдемо радіус кола через її площу:

Спробуємо знайти радіус за іншою формулою, яку ми вивели із способу знаходження

Геометричні завдання цієї теми включаються до другої частини екзаменаційної роботи ЄДІза курс середньої школи Для успішного виконання цих завдань необхідні тверді знання основних геометричних фактів та деякий досвід у вирішенні геометричних завдань.
Для кожного трикутника існує тільки одне описане коло. Це таке коло, на якому лежать усі три вершини трикутника із заданими параметрами. Знайти її радіус може знадобитися як на уроці геометрії. З цим доводиться постійно стикатися з проектувальниками, закрійниками, слюсарями та представниками багатьох інших професій. Для того щоб знайти її радіус, необхідно знати параметри трикутника та його властивості. Центр описаного кола знаходиться у точці перетину серединних перпендикулярів трикутника.
Пропоную до вашої уваги всі формули знаходження радіуса описаного кола і не тільки трикутника. Формули для вписаного кола можна подивитися.

a, b. з -сторони трикутника,

α - кут, що лежить проти сторониa,
S -площа трикутника,

p -напівпериметр.

Тоді для знаходження радіусу ( R) описаного кола використовують формули:

У свою чергу площу трикутника можна обчислити за однією з наступних формул:

А ось ще кілька формул.

1. Радіус описаного кола навколо правильного трикутника. Якщо aсторона трикутника, то

2. Радіус описаного кола біля рівнобедреного трикутника. Нехай a, b- Сторони трикутника, тоді

Категорії

Вибір редакції