Пресметајте неправилен интеграл користејќи гранични теореми. Дефинитивен интегрален онлајн
Неправилни интеграли од првиот вид:проширување на концептот на определен интеграл на случаи на интеграли со бесконечни горни или долни граници на интеграција, или двете граници на интеграција се бесконечни.
Неправилни интеграли од вториот вид:проширување на концептот на определен интеграл на случаите на интеграли на неограничени функции интеградот не постои на конечен број точки на конечен сегмент на интеграција, претворајќи се во бесконечност;
За споредба.При воведувањето на концептот на определен интеграл се претпоставуваше дека функцијата ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б], а сегментот за интеграција е конечен, односно е ограничен со бројки, а не со бесконечност. Некои задачи доведуваат до потреба да се напуштат овие ограничувања. Така се појавуваат неправилни интеграли.
Геометриско значење на неправилниот интегралИзлегува сосема едноставно. Во случај кога графикот на функција y = ѓ(x) е над оската Вол, дефинитивниот интеграл ја изразува областа на криволинеарен трапез ограничен со крива y = ѓ(x) , x-оска и ординати x = а , x = б. За возврат, неправилниот интеграл ја изразува областа на неограничен (бесконечен) криволинеарен трапез затворен помеѓу линиите y = ѓ(x) (на сликата подолу - црвено), x = аи оската на апсцисата.
Несоодветните интеграли се дефинирани слично за други бесконечни интервали:
Областа на бесконечно заоблен трапез може да биде конечен број, во тој случај неправилниот интеграл се нарекува конвергентен. Областа може да биде и бесконечност, а во овој случај неправилниот интеграл се нарекува дивергентен.
Користење на границата на интеграл наместо самиот неправилен интеграл.За да го оцените неправилниот интеграл, треба да ја користите границата на определениот интеграл. Ако оваа граница постои и е конечна (не е еднаква на бесконечноста), тогаш неправилниот интеграл се нарекува конвергентен, а во спротивно - дивергентен. Кон што тежнее променливата под знакот за граница зависи од тоа дали имаме работа со несоодветен интеграл од првиот или од вториот вид. Ајде да дознаеме за ова сега.
Неправилни интеграли од прв вид - со бесконечни граници и нивна конвергенција
Неправилни интеграли со бесконечна горна граница
Значи, пишувањето неправилен интеграл се разликува од вообичаениот дефинитивен интеграл по тоа што горната граница на интеграцијата е бесконечна.
Дефиниција. Несоодветен интеграл со бесконечна горна граница на интеграција на континуирана функција ѓ(x) во интервалот од а пред ∞ се нарекува граница на интегралот на оваа функција со горната граница на интеграција б и долната граница на интеграција а под услов горната граница на интеграција да расте без ограничување, т.е.
.
Ако оваа граница постои и е еднаква на некој број наместо бесконечност, тогаш неправилниот интеграл се нарекува конвергентен, а како вредност се зема бројот на кој лимитот е еднаков. Во спротивно неправилниот интеграл се нарекува дивергентени не му се припишува никакво значење.
Пример 1. Пресметај неправилен интеграл(ако се конвергира).
Решение. Врз основа на дефиницијата за неправилен интеграл, наоѓаме
Бидејќи границата постои и е еднаква на 1, тогаш ова неправилен интеграл конвергираи е еднакво на 1.
Во следниот пример, интеграндот е речиси ист како во примерот 1, само степенот x не е два, туку буквата алфа, а задачата е да се проучи неправилниот интеграл за конвергенција. Односно, останува да се одговори на прашањето: при кои вредности на алфа се спојува овој несоодветен интеграл и во кои вредности се разминува?
Пример 2. Испитајте го неправилниот интеграл за конвергенција(долната граница на интеграција е поголема од нула).
Решение. Ајде прво да го претпоставиме тоа, тогаш
Во добиениот израз, се движиме до границата на:
Лесно е да се види дека границата на десната страна постои и е еднаква на нула кога, односно, и не постои кога, т.е.
Во првиот случај, односно кога . Ако тогаш 
и не постои.
Заклучокот од нашата студија е следниот: ова неправилен интеграл конвергирана и се разминуваво .
Примена на формулата Њутн-Лајбниц за типот на неправилен интеграл што се проучува 
, можете да ја изведете следната формула, која е многу слична на неа:
.
Ова е генерализирана формула на Њутн-Лајбниц.
Пример 3. Пресметај неправилен интеграл(ако се конвергира).
Границата на овој интеграл постои:
Вториот интеграл, составен збир што го изразува оригиналниот интеграл:
Границата на овој интеграл исто така постои:
.
Го наоѓаме збирот на два интеграли, што е и вредноста на оригиналниот неправилен интеграл со две бесконечни граници:
Неправилни интеграли од втор вид - од неограничени функции и нивна конвергенција
Нека функцијата ѓ(x) дадена на сегментот од а пред б и е неограничен на него. Да претпоставиме дека функцијата оди до бесконечност во точката б , додека во сите други точки од отсечката е континуирана.
Дефиниција. Несоодветен интеграл на функција ѓ(x) на сегментот од а пред б се нарекува граница на интегралот на оваа функција со горната граница на интеграција в , ако кога се стремиме в До б функцијата се зголемува без ограничување, и во точка x = б функцијата не е дефинирана, т.е.
.
Ако оваа граница постои, тогаш неправилниот интеграл од вториот вид се нарекува конвергентен, во спротивно се нарекува дивергентен.
Користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц, изведуваме.
Дали си тука сега? =) Не, не се обидував никого да заплашам, само темата за неправилни интеграли е многу добра илустрација за тоа колку е важно да не се започне виша математикаи други егзактни науки. Сè што ви треба за да ја научите лекцијата е на веб-страницата - во детална и достапна форма, доколку сакате...
Значи, да почнеме со. Фигуративно кажано, неправилниот интеграл е „напреден“ определен интеграл и всушност нема толку многу тешкотии со нив, а освен тоа, неправилниот интеграл има многу добро геометриско значење.
Што значи да се оцени несоодветен интеграл?
Пресметај неправилен интеграл - ова значи наоѓање на БРОЈОТ(точно исто како и во определениот интеграл), или да докаже дека се разминува(односно, завршувате со бесконечност наместо број).
Постојат два вида несоодветни интеграли.
Несоодветен интеграл со бесконечна граница(и) на интеграција
Понекогаш таков несоодветен интеграл се нарекува неправилен интеграл од прв вид. ВО општ погледнеправилен интеграл со бесконечна граница најчесто изгледа вака: . Како се разликува од определен интеграл? На горната граница. Бесконечно е: .
Поретки се интегралите со бесконечна долна граница или со две бесконечни граници: , а ќе ги разгледаме подоцна - кога ќе сфатите :)
Па, сега да го погледнеме најпопуларниот случај. Во огромното мнозинство на примери, интеграндот функционира континуиранопомеѓу, и овој важен фактпрво треба да се провери!Затоа што ако има празнини, тогаш има дополнителни нијанси. За дефинитивно, да претпоставиме дека и тогаш типичното закривен трапезќе изгледа вака:
Забележете дека е бесконечна (не е ограничена десно), и неправилен интегралнумерички еднаква на неговата површина. Следниве опции се можни:
1) Првата мисла што ми доаѓа на ум: „бидејќи фигурата е бесконечна, тогаш 
“, со други зборови, областа е исто така бесконечна. Можеби е така.Во овој случај велат дека неправилниот интеграл се разминува.
2) Но. Колку и да звучи парадоксално, плоштината на бесконечна фигура може да биде еднаква на... конечен број! На пример: . Дали ова може да биде така? Лесно. Во вториот случај, неправилниот интеграл конвергира.
3) За третата опција малку подоцна.
Во кои случаи несоодветниот интеграл се разминува и во кои случаи се спојува? Ова зависи од интеграндот и ќе разгледаме конкретни примери многу наскоро.
Што се случува ако бесконечно заоблен трапез се наоѓа под оската? Во овој случај, неправилниот интеграл 
(разминува) или еднакво на финалето негативен број.
Така, неправилниот интеграл може да биде негативен.
Важно!Кога ќе ви биде даден СЕКОЈ несоодветен интеграл за решавање, тогаш, генерално кажано, Не се зборува за ниту една област и нема потреба да се гради цртеж. Го објаснив геометриското значење на неправилниот интеграл само за полесно да се разбере материјалот.
Бидејќи неправилниот интеграл е многу сличен на определениот интеграл, да се потсетиме на формулата Њутн-Лајбниц: 
. Всушност, формулата е применлива и за несоодветни интеграли, само што треба малку да се измени. Што е разликата? На бесконечната горна граница на интеграција: . Веројатно, многумина претпоставуваа дека ова веќе мириса на примена на теоријата на граници, а формулата ќе биде напишана вака: 
.
Која е разликата од определен интеграл? Ништо посебно! Како и во дефинитивниот интеграл, треба да можете да ја пронајдете антидеривативната функција (неопределен интеграл) и да можете да ја примените формулата Њутн-Лајбниц. Единственото нешто што е додадено е пресметката на лимитот. Кој лошо се забавува со нив, извлече лекција Ограничувања на функциите. Примери на решенија, затоа што е подобро доцна отколку во војска.
Ајде да погледнеме два класични примери:
Пример 1
За јасност, ќе нацртам цртеж, иако, уште еднаш нагласувам, на пракса Нема потреба да се градат цртежи во оваа задача.
Функцијата интегранд е континуирана на полу-интервалот, што значи дека се е во ред и неправилниот интеграл може да се пресмета со „стандарден“ метод.
Примена на нашата формула 
а решението на проблемот изгледа вака:
Односно, несоодветниот интеграл се разминува, а површината на засенчениот заоблен трапез е еднаква на бесконечноста.
Во разгледаниот пример го имаме наједноставниот табеларен интеграл и истата техника за примена на формулата Њутн-Лајбниц како и во определениот интеграл. Но, оваа формула ќе се применува под знакот на граница. Наместо вообичаената буква од „динамична“ променлива, се појавува буквата „be“. Ова не треба да збунува или збунува, бидејќи секоја буква не е полоша од стандардната „Х“.
Ако не разбирате зошто во , тогаш ова е многу лошо, или не ги разбирате наједноставните граници (и генерално не разбирате што е граница), или не знаете како изгледа графикот на логаритамска функција. Во вториот случај, посетете лекција Графикони и својства на елементарните функции.
При решавање на неправилни интеграли, многу е важно да се знае како изгледаат графиците на главните интеграли. елементарни функции!
Чистењезадачата треба да изгледа вака:
“
! Кога подготвуваме пример, секогаш го прекинуваме решението и укажуваме што се случува со интеградот – дали е континуирано на интервалот на интеграција или не?. Со ова го идентификуваме типот на неправилен интеграл и ги оправдуваме понатамошните дејствија.
Пример 2
Пресметајте го неправилниот интеграл или утврдете ја неговата дивергенција.
Ајде да го направиме цртежот: 
Прво, го забележуваме следново: интеграндот е континуиран на полуинтервалот. Аспиратор. Решаваме со помош на формулата 
:
(1) Го земаме наједноставниот интеграл од функција за напојување(овој посебен случај е во многу табели). Подобро е веднаш да се помести знакот минус надвор од знакот за граница за да не се попречи во понатамошните пресметки.
(2) Ги заменуваме горните и долните граници користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц.
(3) Посочуваме дека кај (Господа, ова одамна требаше да се разбере) и го поедноставуваме одговорот.
Овде областа на бесконечен заоблен трапез е конечен број! Неверојатно но вистинито.
Завршениот пример треба да изгледа вака:
“
Функцијата интегранд е континуирано вклучена
“
Што да направите ако наидете на интегрален како - со точка на прекинна интервалот на интеграција? Ова значи дека има печатна грешка во примерот. (Најверојатно), или за напредно ниво на обука. Во вториот случај, поради својства на адитивност, треба да разгледаме два неправилни интеграли на интервали и потоа да се справиме со збирот.
Понекогаш, поради печатна грешка или намера, неправилен интеграл може воопшто не постои, така, на пример, ако го ставиме именителот на горенаведениот интеграл Квадратен коренод „x“, тогаш дел од интервалот за интеграција воопшто нема да биде вклучен во доменот на дефинирање на интеградот.
Згора на тоа, несоодветниот интеграл може да не постои дури и со сета „привидна благосостојба“. Класичен пример:. И покрај определеноста и континуитетот на косинус, таков неправилен интеграл не постои! Зошто? Многу е едноставно затоа што:
- не постои соодветна граница.
А такви примери, иако ретки, сепак се случуваат во пракса! Така, покрај конвергенцијата и дивергенцијата, постои и трет исход од решението со валиден одговор: „нема несоодветен интеграл“.
Исто така, треба да се напомене дека строгата дефиниција на неправилен интеграл е дадена токму преку границата, а оние кои сакаат можат да се запознаат со него во едукативната литература. Па, продолжуваме со практичната лекција и преминуваме на позначајни задачи:
Пример 3
Пресметајте го неправилниот интеграл или утврдете ја неговата дивергенција.
Прво, да се обидеме да ја најдеме антидеривативната функција (неопределен интеграл). Ако не успееме да го направиме ова, тогаш нормално дека нема да можеме да го решиме ниту неправилниот интеграл.
На кој од интегралите на табелата е сличен интеграндот? Ме потсетува на арктангенс: 
. Овие размислувања сугерираат дека би било убаво да се има квадрат во именителот. Ова се прави со замена.
Да го замениме:
Неопределениот интеграл е пронајден, константата е ин во овој случајнема смисла да се додава.
Секогаш е корисно да се провери нацртот, односно да се разликува добиениот резултат:
Добиен е оригиналниот интегранд, што значи дека неопределениот интеграл е правилно пронајден.
Сега го наоѓаме несоодветниот интеграл:
(1) Решението го пишуваме во согласност со формулата 
. Подобро е веднаш да се премести константата надвор од граничниот знак за да не се меша во понатамошните пресметки.
(2) Ги заменуваме горните и долните граници во согласност со формулата Њутн-Лајбниц. Зошто 
во ? Видете го графикот на арктангенс во веќе препорачаната статија.
(3) Го добиваме конечниот одговор. Факт што е корисно да се знае напамет.
Напредните студенти можеби нема да го пронајдат неопределениот интеграл одделно и да не го користат методот за замена, туку го користат методот на замена на функцијата под диференцијалниот знак и решавање на неправилниот интеграл „веднаш“. Во овој случај, решението треба да изгледа вака:
“
Интеграндот е континуиран на . 
“
Пример 4
Пресметајте го неправилниот интеграл или утврдете ја неговата дивергенција.
! Ова типичен пример, а слични интеграли се јавуваат многу често. Работете го добро! Антидеривативна функцијаеве го методот за избор на целосен квадрат, повеќе детали за методот може да најдете во лекцијата Интегрирање на некои дропки.
Пример 5
Пресметајте го неправилниот интеграл или утврдете ја неговата дивергенција.
Овој интеграл може детално да се реши, односно прво да се најде неопределен интеграл со правење промена на променлива. Или можете да го решите „веднаш“ - со подведување на функцијата под диференцијалниот знак. Кој има некаква математичка обука?
Комплетни решенијаи одговори на крајот од часот.
Примери на решенија за неправилни интеграли со бесконечна долна граница на интеграција може да се најдат на страницата Ефикасни методи за решавање на неправилни интеграли. Таму го анализиравме и случајот кога и двете граници на интеграција се бесконечни.
Неправилни интеграли на неограничени функции
Или неправилни интеграли од втор вид. Несоодветните интеграли од вториот вид подмолно се „шифрираат“ под вообичаениот определен интеграл и изгледаат исто: Но, за разлика од определениот интеграл, интеграндот трпи бесконечен дисконтинуитет (не постои): 1) во точката , 2) или во точката , 3) или во двете точки одеднаш, 4) или дури и на сегментот за интеграција. Ќе ги разгледаме првите два случаи за случаите 3-4 на крајот од статијата има врска до дополнителна лекција.
Само пример за да стане јасно: . Се чини дека е дефинитивен интеграл. Но, всушност, ова е неправилен интеграл од вториот вид, ако ја замениме вредноста на долната граница во интеградот, тогаш нашиот именител оди на нула, односно интеградот едноставно не постои во овој момент;
Во принцип, кога се анализира несоодветен интеграл секогаш треба да ги замените двете граници на интеграција во интеграндот. Во овој поглед, да ја провериме горната граница: 
. Се е во ред овде.
Криволинеарниот трапез за видот на неправилен интеграл што се разгледува во основа изгледа вака:
Овде сè е речиси исто како во интегралот од првиот вид.
Нашиот интеграл е нумерички еднаква на површиназасенчен заоблен трапез кој не е ограничен на врвот. Во овој случај, може да има две опции*: неправилниот интеграл се разминува (областа е бесконечна) или неправилниот интеграл е еднаков на конечен број (односно, областа на бесконечна фигура е конечна!).
* стандардно обично претпоставуваме дека несоодветниот интеграл постои
Останува само да се измени формулата Њутн-Лајбниц. Се менува и со помош на лимит, но границата повеќе не се стреми кон бесконечност, туку до вредноста од десната страна.Лесно е да се следи од цртежот: по должината на оската мора да се приближиме до точката на прекин бесконечно блиску десно.
Ајде да видиме како ова се спроведува во пракса.
Пример 6
Пресметајте го неправилниот интеграл или утврдете ја неговата дивергенција.
Интеграндот има бесконечен дисконтинуитет во одредена точка (не заборавајте да проверите вербално или на нацрт дека сè е во ред со горната граница!)
Прво, да го пресметаме неопределениот интеграл: 
Замена: 
Ако имате какви било потешкотии со замена, ве молиме погледнете ја лекцијата Метод на замена во неопределен интеграл.
Да го пресметаме неправилниот интеграл:
(1) Што има ново овде? Практично нема ништо во однос на технологијата на решенија. Единственото нешто што се промени е записот под иконата за ограничување: . Додавањето значи дека се стремиме кон вредноста од десната страна (што е логично - видете го графиконот). Таквата граница во теоријата на граници се нарекува еднострана граница. Во овој случај имаме граница на десната рака.
(2) Ги заменуваме горните и долните граници користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц.
(3) Ајде да се справиме со во . Како да одредите каде оди изразот? Грубо кажано, само треба да ја замените вредноста во неа, да замените три четвртини и да покажете дека . Ајде да го прочешламе одговорот.
Во овој случај, неправилниот интеграл е еднаков на негативен број. Нема криминал во ова, само соодветниот заоблен трапез се наоѓа под оската.
И сега два примери за независни решенија.
Пример 7
Пресметајте го неправилниот интеграл или утврдете ја неговата дивергенција.
Пример 8
Пресметајте го неправилниот интеграл или утврдете ја неговата дивергенција.
Ако интеграндот не постои во точката
Бесконечно заоблен трапез за таков несоодветен интеграл фундаментално изгледа вака.
Дефинитивни интеграли онлајн на страницата за студенти и ученици да го консолидираат материјалот што го опфатија. И обучете ги вашите практични вештини. Комплетното решение на дефинитивни интеграли онлајн за вас во неколку моменти ќе ви помогне да ги одредите сите фази од процесот на Интернет - дефинитивен интеграл онлајн. Одредени интеграли онлајн на страницата за студенти и ученици целосно да го консолидираат материјалот што го опфатиле и да ги обучат нивните практични вештини. Комплетното решение на дефинитивни интеграли онлајн за вас во неколку моменти ќе ви помогне да ги одредите сите фази од процесот на Интернет - дефинитивен интеграл онлајн. За нас, преземањето дефинитивен интегрален онлајн не се чини дека е нешто супер природно, бидејќи студиравме оваа темаврз основа на книга од извонредни автори. Им благодариме многу и ја изразуваме нашата почит кон овие поединци. Помага да се одреди определениот интеграл онлајн услугаза да се пресметаат таквите проблеми за кратко време. Само наведете ги точните информации и сè ќе биде добро! Секој дефинитивен интеграл како решение на проблем ќе ја подобри писменоста на учениците. Секој мрзлив човек сонува за ова, а ние не сме исклучок, искрено признаваме. Ако сè уште успеете да пресметате дефинитивен интеграл онлајн со решение бесплатно, тогаш ве молиме напишете ја адресата на веб-страницата на сите што сакаат да ја користат. Како што велат, споделете корисна врска и тие ќе ви се заблагодарат добри луѓебесплатно. Многу интересно ќе биде прашањето за анализа на проблем во кој одреден интеграл калкулаторот сам ќе го реши, а не со губење на вашето драгоцено време. Затоа се машини, да работат за луѓе. Сепак, решавањето дефинитивни интеграли онлајн не е нешто што секоја веб-страница може да се справи, и ова е лесно да се провери, имено, само земете комплексен примери обидете се да го решите користејќи ја секоја таква услуга. Ќе ја почувствувате разликата од прва рака. Честопати, наоѓањето дефинитивен интегрален онлајн без никаков напор ќе стане доста тешко и вашиот одговор ќе изгледа смешен во однос на позадината на целокупната слика на резултатот. Би било подобро прво да се земе курс за млад борец. Секое решение за неправилни интеграли на интернет се сведува прво на пресметување на неопределеното, а потоа со користење на теоријата на граници за пресметување, по правило, еднострани граници од добиените изрази со заменети граници А и Б. Откако го испитавте дефинитивниот интеграл што го наведовте онлајн со детално решение, заклучивме дека сте погрешиле на петтиот чекор, имено кога ја користевте формулата за замена на променливата Чебишев. Бидете многу внимателни во вашата понатамошна одлука. Ако вашиот дефинитивен интеграл онлајн калкулаторАко не можевте да го преземете првиот пат, тогаш прво треба да ги проверите пишаните податоци во соодветните обрасци на веб-страницата. Уверете се дека сè е во ред и одете, Go-Go! За секој ученик пречка е да се пресметаат неправилни интеграли преку интернет со самиот наставник, бидејќи ова е или испит, или колоквиум, или само тестна пар.. Штом дадениот неправилен интегрален онлајн калкулатор ви стои на располагање, тогаш веднаш внесете дадена функција, заменете ги наведените граници на интеграција и кликнете на копчето Решение, по што ќе имате пристап до целосен, детален одговор. Сепак, добро е кога постои таква прекрасна страница како страница, бидејќи е бесплатна, лесна за употреба, а содржи и многу делови. кои студентите ги користат секојдневно, еден од нив е дефинитивен интегрален онлајн со решение во целосна форма. Во истиот дел, неправилниот интеграл можете да го пресметате онлајн со детално решение за понатамошна примена на одговорот и во институтот и во инженерски работи. Се чини дека одредувањето дефинитивен интеграл онлајн е едноставна работа за секого ако однапред решите таков пример без горната и долната граница, односно не Лајбницовиот интеграл, туку неопределен интеграл. Но, овде јас и ти категорично не се согласуваме, бидејќи на прв поглед ова може да изгледа токму вака, но има значајна разлика, ајде да разделиме сè. Решението не дава таков дефинитивен интеграл експлицитно, туку како последица на трансформирање на изразот во ограничувачка вредност. Со други зборови, прво мора да го решите интегралот со замена симболички вредностиграници и потоа пресметајте ја границата или во бесконечност или во одредена точка. Оттука, бесплатното пресметување на дефинитивен интеграл онлајн со решение не значи ништо повеќе од презентирање на точното решение со помош на формулата Њутн-Лајбниц. Ако го земеме предвид нашиот дефинитивен интегрален калкулатор, тој ќе ви помогне да го пресметате за неколку секунди веднаш пред вашите очи. Оваа брзање е неопходна за секој што сака да ја заврши задачата што е можно побрзо и да се ослободи за лични работи. Не треба да пребарувате на Интернет за страници што ќе ве замолат да се регистрирате, а потоа ќе додадете пари на вашето салдо, се за доброто на некој паметен човек што подготвува решенија за одредени интеграли наводно онлајн. Запомнете ја адресата Math24 е бесплатна услуга за решавање на многу математички проблеми, вклучително и ние ќе ви помогнеме да најдете одреден интеграл на интернет, а за да се уверите во тоа, ве молиме проверете ја нашата изјава на конкретни примери. Внесете го интеградот во соодветното поле, потоа наведете или бесконечни гранични вредности (во овој случај, решението на несоодветните интеграли ќе се пресмета и добие онлајн), или наведете ги вашите нумерички или симболични граници и дефинитивниот интеграл онлајн со детално решение ќе се прикаже на страницата откако ќе кликнете на копчето „Решение“. Нели - многу е едноставно, не бара никакви непотребни дејства од вас, бесплатно е, што е најважно, а во исто време е и ефективно. Услугата можете сами да ја користите за одреден интегрален онлајн калкулатор да ви донесе максимална корист и да добиете удобна состојба без да се напрегате над сложеноста на сите пресметковни процеси, дозволете ни да направиме сè за вас и да ја покажеме целосната моќ на компјутерската технологија модерен свет. Ако се нурнете во дивината најсложените формулии сами проучете ја пресметката на несоодветните интеграли на интернет, тогаш ова е за пофалба, и можете да се квалификувате за можноста да напишете докторска теза, но да се вратиме на реалноста на студентскиот живот. Кој е студент? Како прво, тој е млад човек, енергичен и весел, кој сака да има време да се опушти и да си ја заврши домашната задача! Затоа се погриживме за студентите кои се обидуваат да ги најдат на отворените простори глобална мрежанеправилен интегрален онлајн калкулатор, и еве ви го вниманието - страницата е најкорисниот онлајн решавач за младите. Патем, иако нашата услуга е претставена како асистент на студенти и ученици, таа е целосно погодна за секој инженер, бидејќи ние сме способни за секаков вид на проблем и нивното решение е претставено во професионален формат. На пример, ние нудиме дефинитивен интеграл онлајн со целосно решение во фази, односно на секој логички блок (подзадача) му е даден посебен запис со сите пресметки во текот на целокупниот процес на решение. Ова, се разбира, ја поедноставува перцепцијата на повеќестепените секвенцијални распореди, а со тоа е предност на проектот на страницата во однос на сличните услуги за наоѓање несоодветни интеграли на интернет со детално решение.
\[ I=\int_a^bf(x)dx \]
беше конструиран под претпоставка дека броевите $a,\,b$ се конечни и $f(x)$ е континуирана функција. Ако една од овие претпоставки е прекршена, зборуваме за несоодветни интеграли.
10.1 Неправилни интеграли од 1-виот вид
Неправилен интеграл од првиот вид се јавува кога барем еден од броевите $a,\,b$ е бесконечен.
10.1.1 Дефиниција и основни својства
Ајде прво да ја разгледаме ситуацијата кога долната граница на интеграција е конечна, а горната граница е еднаква на $+\infty$, ќе разговараме за другите опции малку подоцна. За $f(x)$, континуирано за сите $x$ од нас, земете го во предвид интегралот
\почеток(равенка) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(равенка)
Пред сè, треба да го утврдиме значењето на овој израз. За да го направите ова, ја воведуваме функцијата
\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]
и размислете за неговото однесување за $N\rightarrow +\infty$.
Дефиниција.
Нека има конечна граница
\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]
Тогаш велиме дека неправилниот интеграл од првиот вид (19) е конвергентен и вредноста $A$ му е доделена на самата функција на интервалот $\left[ a, \, +\infty \right) $. Ако наведената граница не постои или е еднаква на $\pm \infty$, тогаш се вели дека интегралот (19) се разминува.
Размислете за интегралот
\[ I=\int _0^(+\infty) \frac(dx)(1+x^2). \]
\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2). \]
Во овој случај, познат е антидериватот на функцијата интегранд, па
\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2)=arctgx|_0^(N)=arctgN. \]
Познато е дека $arctg N \rightarrow \pi /2 $ за $N \rightarrow +\infty$. Така, $I(N)$ има конечна граница, нашиот несоодветен интеграл конвергира и е еднаков на $\pi /2$.
Конвергентни неправилни интеграли од 1-виот вид ги имаат сите стандардни својства на обичните определени интеграли.
1. Ако $f(x)$, $g(x)$ се интегрирани на интервалот $\left[ a, \, +\infty \right)$, тогаш нивниот збир $f(x)+g(x) $ е исто така може да се интегрира на овој интервал, и \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. Ако $f(x)$ може да се интегрира на интервалот $\left[a, \, +\infty \right)$, тогаш за која било константа $C$ функцијата $C\cdot f(x)$ исто така може да се интегрира на овој интервал, и \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. Ако $f(x)$ може да се интегрира на интервалот $\left[a, \, +\infty \right)$, и на овој интервал $f(x)>0$, тогаш \[ \int _a^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Ако $f(x)$ може да се интегрира на интервалот $\left[ a, \, +\infty \right)$, тогаш за кој било $b>a$ интегралот \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] конвергира, и \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (адитивност на интегралот преку интервалот).
Тогаш велиме дека неправилниот интеграл од првиот вид (19) е конвергентен и вредноста $A$ му е доделена на самата функција на интервалот $\left[ a, \, +\infty \right) $. Ако наведената граница не постои или е еднаква на $\pm \infty$, тогаш се вели дека интегралот (19) се разминува.
\begin(равенка) I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x^k)\,dx. \quad (20) \label (mod) \end (равенка)
Ајде да ја претставиме функцијата
\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx. \]
Во овој случај антидеривативот е познат, па
\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k)|_1^N = \frac(N^(1-k))(1-k)-\frac(1)(1-k) \]
за $k \neq 1$,
\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_1^N= lnN \]
за $k = 1$. Со оглед на однесувањето за $N \rightarrow +\infty$, доаѓаме до заклучок дека интегралот (20) конвергира за $k>1$, а се разминува за $k \leq 1$.
Сега да ја разгледаме опцијата кога долната граница на интеграција е еднаква на $-\infty$, а горната е конечна, т.е. да ги погледнеме интегралите
\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]
Меѓутоа, оваа опција може да се сведе на претходната ако направиме промена на променливите $x=-s$ и потоа ги смениме границите на интеграција на места, така што
\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]
$g(s)=f(-s)$. Сега да го разгледаме случајот кога има две бесконечни граници, т.е. интегрален
\почеток(равенка) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(равенка)
и $f(x)$ е континуиран за сите $x \in \mathbb(R)$. Ајде да го поделиме интервалот на два дела: земеме $c \in \mathbb(R)$ и разгледаме два интеграли,
\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]
Дефиниција.
Ако двата интеграли $I_1$, $I_2$ се спојуваат, тогаш интегралот (21) се нарекува конвергентен и му е доделена вредност $I=I_1+I_2$ (во согласност со адитивност во интервалот). Ако барем еден од интегралите $I_1$, $I_2$ дивергира, интегралот (21) се нарекува дивергентен.
Може да се докаже дека конвергенцијата на интегралот (21) не зависи од изборот на точка $c$.
Неправилните интеграли од првиот вид со интервали на интеграција $\left(-\infty, \, c \right]$ или $(-\infty, \, +\infty)$ исто така ги имаат сите стандардни својства на одредени интеграли (со соодветни преформулирање земајќи го предвид интервалот на интеграција на избор).
10.1.2 Тестови за конвергенција на неправилни интеграли од првиот вид
Теорема (првиот знак за споредба). Нека $f(x)$, $g(x)$ се континуирани за $x>a$ и $0 a$. Потоа
1. Ако интегралот \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] се конвергира, тогаш интегралот \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx конвергира. \] 2. Ако интегралот \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] дивергира, тогаш интегралот \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx дивергира. \]
Теорема (втор споредбен критериум). Нека $f(x)$, $g(x)$ се континуирани и позитивни за $x>a$, и нека има конечна граница
Потоа интегралите
\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]
се спојуваат или се разминуваат истовремено.
Тогаш велиме дека неправилниот интеграл од првиот вид (19) е конвергентен и вредноста $A$ му е доделена на самата функција на интервалот $\left[ a, \, +\infty \right) $. Ако наведената граница не постои или е еднаква на $\pm \infty$, тогаш се вели дека интегралот (19) се разминува.
\[ I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]
Интеграндскиот израз е позитивна функција на интервалот на интеграција. Понатаму, за $x \rightarrow +\infty$ имаме:
$\sin x$ е „мала“ корекција на именителот. Поточно, ако земеме $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, тогаш
\[ \lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(x)(x+\sin x) =1. \]
Применувајќи го вториот споредбен критериум, доаѓаме до заклучок дека нашиот интеграл конвергира или дивергира истовремено со интегралот
\[ \int _1^(+\infty)\frac(1)(x)\,dx . \]
Како што беше прикажано во претходниот пример, овој интеграл се разминува ($k=1$). Следствено, оригиналниот интеграл се разминува.
Пресметајте го неправилниот интеграл или воспоставете ја неговата конвергенција (дивергенција).
1. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\,dx. \] 2. \[ \int _(0)^(+\infty)xe^(-x^2)\,dx. \] 3. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(2xdx)(x^2+1). \] 4. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)((x+2)^3). \] 5. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(dx)(x^2+2x+2). \] 6. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(lnx)(x^2)\,dx. \] 7. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(dx)((1+x)\sqrt(x)). \] 8. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-\sqrt(x))\,dx. \] 9. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)(x^3+1). \]
