дома > Изолација > Поедноставување на дробни равенки. Конвертирање на изрази. Детална теорија (2019)


Поедноставување на дробни равенки. Конвертирање на изрази. Детална теорија (2019)




Алгебарскиот израз во кој заедно со операциите собирање, одземање и множење користи и делење на изрази на букви, се нарекува фракционо алгебарски израз. Тоа се, на пример, изразите

Алгебарска дропка нарекуваме алгебарски израз кој има форма на количник на делење на два цели бројни алгебарски изрази (на пример, мономи или полиноми). Тоа се, на пример, изразите

Третиот од изразите).

Идентичните трансформации на фракционите алгебарски изрази во најголем дел се наменети да ги претстават во форма алгебарска дропка. За да се најде заедничкиот именител, се користи факторизација на именителот на дропките - поими со цел да се најде нивниот најмал заеднички множител. Кога се намалуваат алгебарските фракции, може да се наруши строгиот идентитет на изразите: неопходно е да се исклучат вредностите на количините при кои факторот со кој се врши намалувањето станува нула.

Да дадеме примери на идентични трансформации на дробни алгебарски изрази.

Пример 1: Поедноставете израз

Сите поими може да се сведат на заеднички именител (погодно е да се смени знакот во именителот на последниот член и знакот пред него):

Нашиот израз е еднаков на еден за сите вредности, освен овие вредности, тој е недефиниран и намалувањето на фракцијата е нелегално).

Пример 2. Претстави го изразот како алгебарска дропка

Решение. Изразот може да се земе како заеднички именител. Секвенцијално наоѓаме:

Вежби

1. Најдете ги вредностите на алгебарските изрази за наведените вредности на параметрите:

2. Факторизирај.

Ајде да ја разгледаме темата за трансформирање на изразите со моќи, но прво да се задржиме на голем број трансформации што можат да се извршат со какви било изрази, вклучително и со моќни. Ќе научиме како да отвораме загради, да додаваме слични поими, да работиме со бази и експоненти и да ги користиме својствата на моќите.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Што се изрази на моќ?

На училишните курсеви, малку луѓе ја користат фразата „моќни изрази“, но овој термин постојано се наоѓа во збирките за подготовка за обединет државен испит. Во повеќето случаи, фразата означува изрази кои содржат степени во нивните записи. Ова е она што ќе го одразиме во нашата дефиниција.

Дефиниција 1

Израз на моќе израз кој содржи степени.

Да дадеме неколку примери на изрази на моќ, почнувајќи од моќта со природен индикатора завршува со диплома со реален експонент.

Наједноставните изрази на моќ може да се сметаат за моќи на број со природен експонент: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . И, исто така, моќи со нула експонент: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. И степени со цели броеви негативни моќи: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Малку е потешко да се работи со диплома што има рационални и ирационални експоненти: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Индикаторот може да биде променливата 3 x - 54 - 7 3 x - 58 или логаритам x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Се занимававме со прашањето што се изразите на моќ. Сега да почнеме да ги конвертираме.

Основни видови трансформации на изрази на моќ

Најпрво ќе ги разгледаме основните идентитетски трансформации на изразите што можат да се изведат со изрази на моќ.

Пример 1

Пресметајте ја вредноста на изразот на моќност 2 3 (4 2 − 12).

Решение

Сите трансформации ќе ги извршиме во согласност со редоследот на дејствијата. ВО во овој случајЌе започнеме со извршување на дејствата во загради: ќе го замениме степенот со дигитална вредност и ќе ја пресметаме разликата од два броја. Ние имаме 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Сè што треба да направиме е да го замениме степенот 2 3 неговото значење 8 и пресметајте го производот 8 4 = 32. Еве го нашиот одговор.

Одговор: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Пример 2

Поедноставете го изразот со моќи 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Решение

Изразот што ни е даден во изјавата за проблемот содржи слични термини што можеме да ги дадеме: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Одговор: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Пример 3

Изрази го изразот со моќи 9 - b 3 · π - 1 2 како производ.

Решение

Да го замислиме бројот 9 како моќ 3 2 и примени ја скратената формула за множење:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Одговор: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.

Сега да преминеме на анализата на идентитетските трансформации кои можат да се применат конкретно на изразите на моќ.

Работа со база и експонент

Степенот во основата или експонентот може да има броеви, променливи и некои изрази. На пример, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7И . Работењето со такви записи е тешко. Многу е полесно да се замени изразот во основата на степенот или изразот во експонентот со идентично еднаков израз.

Трансформациите на степенот и експонентот се вршат според правилата што ни се познати одделно едни од други. Најважно е дека трансформацијата резултира со израз идентичен на оригиналниот.

Целта на трансформациите е да се поедностави оригиналниот израз или да се добие решение за проблемот. На пример, во примерот што го дадовме погоре, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 можете да ги следите чекорите за да отидете до степенот 4 , 1 1 , 3 . Со отворање на заградите, можеме да претставиме слични термини на основата на моќта (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)и добијте израз на моќ за повеќе едноставен тип a 2 (x + 1).

Користење на својствата на степенот

Својствата на моќите, напишани во форма на еднаквости, се една од главните алатки за трансформирање на изразите со моќи. Овде ги презентираме главните, земајќи го предвид тоа аИ бсе некои позитивни бројки, и рИ с- произволни реални броеви:

Дефиниција 2

  • a r · a s = a r + s ;
  • a r: a s = a r − s ;
  • (a · b) r = a r · b r ;
  • (a: b) r = a r: b r ;
  • (a r) s = a r · s .

Во случаи кога имаме работа со природни, цели, позитивни експоненти, ограничувањата на броевите a и b можат да бидат многу помалку строги. Така, на пример, ако ја земеме предвид еднаквоста a m · a n = a m + n, Каде мИ n – цели броеви, тогаш тоа ќе биде точно за сите вредности на a, и позитивни и негативни, како и за a = 0.

Можете да ги примените својствата на моќите без ограничувања во случаи кога основите на моќите се позитивни или содржат променливи, област прифатливи вредностишто е такво што основата врз неа прифаќа само позитивни вредности. Всушност, во рамките на училишна наставна програмапо математика задача на ученикот е да избере соодветно својство и правилно да го примени.

Кога се подготвувате за влез на универзитети, може да наидете на проблеми во кои неточната примена на својствата ќе доведе до стеснување на DL и други тешкотии во решавањето. Во овој дел ќе испитаме само два такви случаи. Повеќе информации за оваа тема може да се најдат во темата „Конвертирање на изрази користејќи својства на моќи“.

Пример 4

Замислете го изразот a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5, 5во форма на моќност со основа а.

Решение

Прво, го користиме својството на степенување и го трансформираме вториот фактор користејќи го (а 2) - 3. Потоа ги користиме својствата на множење и делење на силите со иста основа:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Одговор: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Трансформацијата на изразите на моќта според својството на моќите може да се изврши и од лево кон десно и во спротивна насока.

Пример 5

Најдете ја вредноста на изразот за моќност 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Ако примениме еднаквост (а · б) r = a r · b r, од десно кон лево, добиваме производ од формата 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и потоа 21 1 3 · 21 2 3 . Да ги собереме експонентите при множење на силите со по истите основи: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Постои уште еден начин да се изврши трансформацијата:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Одговор: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Пример 6

Даден израз на моќ a 1, 5 − a 0, 5 − 6, внесете нова променлива t = a 0,5.

Решение

Ајде да го замислиме степенот а 1, 5Како а 0,5 3. Користење на својството на степени до степени (a r) s = a r · sод десно кон лево и добиваме (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Можете лесно да воведете нова променлива во добиениот израз t = a 0,5: добиваме t 3 − t − 6.

Одговор: t 3 − t − 6 .

Конвертирање на дропки кои содржат моќи

Обично се занимаваме со две верзии на изрази на моќ со дропки: изразот претставува дропка со моќност или содржи таква дропка. Сите основни трансформации на дропки се применливи за такви изрази без ограничувања. Тие можат да се намалат, да се доведат до нов именител или да се работат одделно со броителот и именителот. Ајде да го илустрираме ова со примери.

Пример 7

Поедноставете го изразот за моќност 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Решение

Имаме работа со дропка, па ќе извршиме трансформации и во броителот и во именителот:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Поставете знак минус пред дропката за да го промените знакот на именителот: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Одговор: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Дропките што содржат моќи се сведуваат на нов именител на ист начин како рационални дропки. За да го направите ова, треба да пронајдете дополнителен фактор и да ги помножите броителот и именителот на дропката со него. Неопходно е да се избере дополнителен фактор на таков начин што тој не оди на нула за која било вредност на променливите од променливите ODZ за оригиналниот израз.

Пример 8

Намали ги дропките на нов именител: а) a + 1 a 0, 7 на именителот а, б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 до именителот x + 8 · y 1 2 .

Решение

а) Да избереме фактор што ќе ни овозможи да се намалиме на нов именител. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,затоа како дополнителен фактор ќе земеме а 0, 3. Опсегот на дозволени вредности на променливата a го вклучува множеството на сите позитивни реални броеви. Диплома во оваа област а 0, 3не оди на нула.

Ајде да ги помножиме броителот и именителот на дропка со а 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

б) Да обрнеме внимание на именителот:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Да го помножиме овој израз со x 1 3 + 2 · y 1 6, го добиваме збирот на коцките x 1 3 и 2 · y 1 6, т.е. x + 8 · y 1 2 . Ова е нашиот нов именител на кој треба да ја намалиме првобитната дропка.

Така го најдовме дополнителниот фактор x 1 3 + 2 · y 1 6 . На опсегот на дозволените вредности на променливите xИ yизразот x 1 3 + 2 y 1 6 не исчезнува, затоа, можеме да ги помножиме броителот и именителот на дропката со него:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Одговор:а) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, б) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Пример 9

Намали ја дропот: а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Решение

а) Го користиме најголемиот заеднички именител (GCD), со кој можеме да ги намалиме броителот и именителот. За броевите 30 и 45 е 15. Можеме да направиме и намалување за x0,5+1и на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Добиваме:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

б) Овде присуството на идентични фактори не е очигледно. Ќе треба да извршите некои трансформации за да ги добиете истите фактори во броителот и именителот. За да го направите ова, го прошируваме именителот користејќи ја формулата за разлика од квадрати:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Одговор:а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Основните операции со дропки вклучуваат претворање на дропки во нов именител и намалување на дропките. Двете дејства се вршат во согласност со голем број правила. При собирање и одземање дропки, прво дропките се сведуваат на заеднички именител, по што се вршат операции (собирање или одземање) со броителите. Именителот останува ист. Резултатот од нашите дејства е нова дропка, чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот.

Пример 10

Направете ги чекорите x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Да почнеме со одземање на дропките што се во загради. Да ги доведеме до заеднички именител:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Да ги одземеме броителите:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Сега ги множиме дропките:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Ајде да намалиме за една моќ x 1 2, добиваме 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Дополнително, можете да го поедноставите изразот на моќност во именителот користејќи ја формулата за разлика на квадрати: квадрати: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Одговор: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Пример 11

Поедноставете го изразот на законот за моќ x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Решение

Можеме да ја намалиме дропот за (x 2 , 7 + 1) 2. Добиваме дропка x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Ајде да продолжиме со трансформирање на моќите на x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Сега можете да го користите својството на делење моќи со истите основи: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Се движиме од последниот производ до дропот x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Одговор: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Во повеќето случаи, попогодно е да се префрлат факторите со негативни експоненти од броителот до именителот и назад, менувајќи го знакот на експонентот. Оваа акција ви овозможува да ја поедноставите понатамошната одлука. Да дадеме пример: изразот на моќност (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 може да се замени со x 3 · (x + 1) 0, 2.

Конвертирање на изрази со корени и моќи

Во проблемите има изрази на моќ што содржат не само моќи со фракциони експоненти, туку и корени. Препорачливо е таквите изрази да се сведат само на корени или само на моќи. Пожелно е да се оди по дипломи бидејќи е полесна за работа со нив. Оваа транзиција особено се претпочита кога ODZ на променливи за оригиналниот израз ви дозволува да ги замените корените со моќи без потреба да пристапите до модулот или да го поделите ODZ на неколку интервали.

Пример 12

Изрази го изразот x 1 9 · x · x 3 6 како моќност.

Решение

Опсег на дозволени променливи вредности xсе дефинира со две неравенки x ≥ 0и x x 3 ≥ 0, кои го дефинираат множеството [ 0 , + ∞) .

На овој сет имаме право да се движиме од корени кон моќи:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Користејќи ги својствата на моќите, го поедноставуваме добиениот израз на моќност.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Одговор: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Конвертирање на моќи со променливи во експонентот

Овие трансформации се прилично лесно да се направат ако правилно ги користите својствата на степенот. На пример, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Можеме да го замениме со производ на моќи, чии експоненти се збир на некоја променлива и број. На левата страна, ова може да се направи со првиот и последниот член од левата страна на изразот:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Сега да ги поделиме двете страни на равенката со 7 2 x. Овој израз за променливата x зема само позитивни вредности:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Да ги намалиме дропките со моќи, добиваме: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Конечно, односот на моќи со исти експоненти се заменува со моќи на соодноси, што резултира со равенката 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, што е еквивалентно на 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Дозволете ни да воведеме нова променлива t = 5 7 x , која го намалува решението на оригиналот експоненцијална равенкана одлука квадратна равенка 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Конвертирање на изрази со моќи и логаритми

Во проблемите се среќаваат и изрази кои содржат моќи и логаритми. Пример за такви изрази е: 1 4 1 - 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Трансформацијата на таквите изрази се врши со користење на пристапите и својствата на логаритмите дискутирани погоре, за кои детално разговаравме во темата „Трансформација на логаритамски изрази“.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Меѓу различните изрази што се разгледуваат во алгебрата, збировите на мономи заземаат важно место. Еве примери на такви изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Збирот на мономи се нарекува полином. Поимите во полиномот се нарекуваат членови на полиномот. Мономите исто така се класифицираат како полиноми, сметајќи дека мономот е полином кој се состои од еден член.

На пример, полином
\(8b^5 - 2b \cточка 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cточка (-12)b + 16 \)
може да се поедностави.

Да ги претставиме сите поими во форма на мономи стандарден поглед:
\(8b^5 - 2b \cточка 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cточка (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Да претставиме слични поими во добиениот полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатот е полином, чии сите членови се мономи од стандардната форма, а меѓу нив нема слични. Таквите полиноми се нарекуваат полиноми со стандардна форма.

Зад степен на полиномод стандардна форма ги преземаат најголемите овластувања на нејзините членови. Така, биномот \(12a^2b - 7b\) има трет степен, а триномот \(2b^2 -7b + 6\) го има вториот.

Вообичаено, термините на полиномите од стандардна форма што содржат една променлива се подредени по опаѓачки редослед на експоненти. На пример:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Збирот на неколку полиноми може да се трансформира (поедностави) во полином со стандардна форма.

Понекогаш термините на полиномот треба да се поделат во групи, затворајќи ја секоја група во загради. Бидејќи затворањето заграда е инверзна трансформација на отворањето загради, лесно е да се формулира правила за отворање на загради:

Ако пред заградите се става знакот „+“, тогаш термините затворени во загради се пишуваат со истите знаци.

Ако пред заградите се става знакот „-“, тогаш термините затворени во заградите се пишуваат со спротивни знаци.

Трансформација (поедноставување) на производот од моном и полином

Користејќи го дистрибутивното својство на множење, можете да го трансформирате (поедноставите) производот од моном и полином во полином. На пример:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Производот на моном и полином е идентично еднаков на збирот на производите од овој моном и секој од членовите на полиномот.

Овој резултат обично се формулира како правило.

За да помножите моном со полином, мора да го помножите тој моном со секој од членовите на полиномот.

Ние веќе го користевме ова правило неколку пати за да се множиме со збир.

Производ на полиноми. Трансформација (поедноставување) на производот од два полиноми

Општо земено, производот на два полиноми е идентично еднаков на збирот на производот на секој член на еден полином и секој член на другиот.

Обично се користи следново правило.

За да помножите полином со полином, треба да го помножите секој член од еден полином со секој член на другиот и да ги додадете добиените производи.

Скратени формули за множење. Збирни квадрати, разлики и разлика на квадрати

Треба да се справите со некои изрази во алгебарските трансформации почесто од другите. Можеби најчестите изрази се \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т.е. квадратот на збирот, квадратот на разликата и разликата на квадратите. Забележавте дека имињата на овие изрази се чини дека се нецелосни, на пример, \((a + b)^2 \) не е, се разбира, само квадратот на збирот, туку квадратот на збирот a и b . Меѓутоа, квадратот на збирот a и b по правило не се јавува многу често, наместо буквите a и b, содржи различни, понекогаш доста сложени изрази.

Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) може лесно да се претворат (поедностават) во полиноми од стандардната форма, всушност, веќе сте се сретнале со оваа задача при множење на полиноми;
\((а + б)^2 = (а + б)(а + б) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Корисно е да се запаметат добиените идентитети и да се применат без посредни пресметки. Кратките вербални формулации помагаат во тоа.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадратот на збирот е еднаков на збирот на квадратите и двојниот производ.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратот на разликата е еднаков на збирот на квадрати без удвоениот производ.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е еднаква на производот од разликата и збирот.

Овие три идентитети овозможуваат да се заменат неговите леви делови со десни во трансформациите и обратно - десните делови со левите. Најтешко е да се видат соодветните изрази и да се разбере како во нив се заменуваат променливите a и b. Ајде да погледнеме неколку примери за користење на скратени формули за множење.

Буквален израз (или израз со променливи) е математичко изразување, кој се состои од броеви, букви и симболи на математички операции. На пример, следниов израз е буквален:

a+b+4

Со користење на буквални изразиМожете да пишувате закони, формули, равенки и функции. Способноста да се манипулира со изразите на буквите е клучот за добро познавање на алгебрата и вишата математика.

Било кој сериозна задачаво математиката се сведува на решавање равенки. А за да можеш да решаваш равенки, треба да знаеш да работиш со буквални изрази.

За да работите со буквални изрази, треба добро да ја познавате основната аритметика: собирање, одземање, множење, делење, основни математички закони, дропки, операции со дропки, пропорции. И не само проучување, туку разбирање темелно.

Содржина на лекцијата

Променливи

Буквите кои се содржани во буквални изрази се нарекуваат променливи. На пример, во изразот а+б+4променливите се буквите аИ б. Ако замениме било кој број наместо овие променливи, тогаш буквалниот израз а+б+4ќе се претвори во нумерички израз чија вредност може да се најде.

Се повикуваат броевите кои се заменети со променливите вредности на променливи. На пример, да ги промениме вредностите на променливите аИ б. Знакот за еднаквост се користи за промена на вредностите

a = 2, b = 3

Ги променивме вредностите на променливите аИ б. Променлива адоделена вредност 2 , променлива бдоделена вредност 3 . Како резултат на тоа, буквалниот израз а+б+4се претвора во правилен нумерички израз 2+3+4 чија вредност може да се најде:

2 + 3 + 4 = 9

Кога променливите се множат, тие се пишуваат заедно. На пример, рекорд abзначи исто како и записот a×b. Ако ги замениме променливите аИ бброеви 2 И 3 , тогаш добиваме 6

2 × 3 = 6

Можете исто така да напишете заедно множење на број со израз во заграда. На пример, наместо a×(b + c)може да се запише a(b + c). Применувајќи го законот за распределба на множење, добиваме a(b + c)=ab+ac.

Шансите

Во буквалните изрази често можете да најдете ознака во која број и променлива се напишани заедно, на пример 3а. Ова е всушност стенографија за множење на бројот 3 со променлива. аи овој запис изгледа како 3×а .

Со други зборови, изразот 3ае производ на бројот 3 и променливата а. Број 3 во ова дело викаат коефициент. Овој коефициент покажува колку пати променливата ќе се зголеми а. Овој израз може да се прочита како „ атри пати“ или „три пати А", или "зголемете ја вредноста на променливата атри пати“, но најчесто се чита како „три а«

На пример, ако променливата аеднаква на 5 , потоа вредноста на изразот 3аќе биде еднакво на 15.

3 × 5 = 15

Зборувајќи на едноставен јазик, коефициентот е бројот што доаѓа пред буквата (пред променливата).

Може да има неколку букви, на пример 5abc. Овде коефициентот е бројот 5 . Овој коефициент покажува дека производот на променливите abcсе зголемува петкратно. Овој израз може да се прочита како „ abcпет пати“ или „зголемете ја вредноста на изразот abcпет пати“ или „пет abc«.

Ако наместо променливи abcзаменете ги броевите 2, 3 и 4, а потоа вредноста на изразот 5abcќе бидат еднакви 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можете ментално да замислите како прво биле помножени броевите 2, 3 и 4, а добиената вредност се зголемила пет пати:

Знакот на коефициентот се однесува само на коефициентот и не важи за променливите.

Размислете за изразот −6б. Минус пред коефициентот 6 , важи само за коефициентот 6 , и не припаѓа на променливата б. Разбирањето на овој факт ќе ви овозможи да не правите грешки во иднина со знаците.

Ајде да ја најдеме вредноста на изразот −6бна b = 3.

−6б −6×b. За јасност, да го напишеме изразот −6бво проширена форма и заменете ја вредноста на променливата б

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот −6бна b = −5

Ајде да го запишеме изразот −6бво проширена форма

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот −5a+bна a = 3И b = 2

−5a+bова е кратка форма за −5 × a + b, па за јасност го пишуваме изразот −5×a+bво проширена форма и заменете ги вредностите на променливите аИ б

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Понекогаш буквите се пишуваат без коефициент, на пример аили ab. Во овој случај, коефициентот е единство:

но традиционално единицата не се запишува, па едноставно пишуваат аили ab

Ако има минус пред буквата, тогаш коефициентот е број −1 . На пример, изразот −aвсушност изгледа −1а. Ова е производ од минус еден и променливата а.Испадна вака:

−1 × a = −1a

Тука има мал улов. Во изразувањето −aзнакот минус пред променливата авсушност се однесува на „невидлива единица“ наместо на променлива а. Затоа, треба да бидете внимателни кога ги решавате проблемите.

На пример, ако е даден изразот −aи од нас се бара да ја најдеме неговата вредност во a = 2, потоа на училиште заменивме две наместо променлива аи доби одговор −2 , без да се фокусираме премногу на тоа како испадна. Всушност, минус еден беше помножен со позитивен број 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Ако се даде изразот −aи треба да ја пронајдете неговата вредност во a = −2, потоа заменуваме −2 наместо променлива а

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

За да се избегнат грешките, на почетокот невидливите единици може експлицитно да се запишат.

Пример 4.Најдете ја вредноста на изразот abcна a=2 , b=3И c=4

Изразување abc 1×a×b×c.За јасност, да го напишеме изразот abc а, бИ в

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Пример 5.Најдете ја вредноста на изразот abcна a=−2, b=−3И c=−4

Ајде да го запишеме изразот abcво проширена форма и заменете ги вредностите на променливите а, бИ в

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Пример 6.Најдете ја вредноста на изразот − abcна a=3, b=5 и c=7

Изразување − abcова е кратка форма за −1×a×b×c.За јасност, да го напишеме изразот − abcво проширена форма и заменете ги вредностите на променливите а, бИ в

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Пример 7.Најдете ја вредноста на изразот − abcна a=−2 , b=−4 и c=−3

Ајде да го запишеме изразот − abcво проширена форма:

−abc = −1 × a × b × c

Ајде да ги замениме вредностите на променливите а , бИ в

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Како да се одреди коефициентот

Понекогаш треба да решите проблем во кој треба да го одредите коефициентот на изразот. Во принцип, оваа задача е многу едноставна. Доволно е да можете правилно да множите броеви.

За да го одредите коефициентот во изразот, треба посебно да ги помножите броевите вклучени во овој израз и одделно да ги помножите буквите. Резултирачкиот нумерички фактор ќе биде коефициентот.

Пример 1. 7m×5a×(−3)×n

Изразот се состои од неколку фактори. Ова може јасно да се види ако го напишете изразот во проширена форма. Односно делата 7мИ 5анапишете го во форма 7×mИ 5×а

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Ајде да го примениме асоцијативниот закон за множење, кој ви овозможува да множите фактори во кој било редослед. Имено, одделно ќе ги множиме броевите и посебно ќе ги множиме буквите (променливи):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 човек

Коефициентот е −105 . По завршувањето, препорачливо е да се организира делот на буквите по азбучен редослед:

−105 часот

Пример 2.Одреди го коефициентот во изразот: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коефициентот е 6.

Пример 3.Одреди го коефициентот во изразот:

Ајде да множиме броеви и букви одделно:

Коефициентот е −1. Ве молиме имајте предвид дека единицата не е запишана, бидејќи вообичаено е да не се запишува коефициентот 1.

Овие навидум наједноставни задачи можат да ни играат многу сурова шега. Често излегува дека знакот на коефициентот е поставен погрешно: или недостасува минус или, напротив, залудно е поставен. За да се избегнат овие досадни грешки, мора да се изучува на добро ниво.

Додавки во буквални изрази

При собирање на неколку броеви се добива збирот на овие броеви. Броевите што собираат се нарекуваат додатоци. Може да има неколку термини, на пример:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Кога изразот се состои од термини, многу е полесно да се оцени бидејќи собирањето е полесно отколку одземањето. Но, изразот може да содржи не само собирање, туку и одземање, на пример:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Во овој израз, броевите 3 и 5 се подредници, а не собирачи. Но, ништо не не спречува да го замениме одземањето со собирање. Потоа повторно добиваме израз кој се состои од термини:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не е важно што броевите −3 и −5 сега имаат знак минус. Главната работа е што сите броеви во овој израз се поврзани со знак за собирање, односно изразот е збир.

И двата израза 1 + 2 − 3 + 4 − 5 И 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) еднаква на иста вредност - минус еден

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Така, значењето на изразот нема да страда ако некаде го замениме одземањето со собирање.

Можете исто така да го замените одземањето со собирање во буквални изрази. На пример, разгледајте го следниов израз:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

За сите вредности на променливите а бе це деИ сизрази 7a + 6b − 3c + 2d − 4s И 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) ќе биде еднаква на истата вредност.

Мора да бидете подготвени за фактот дека наставникот на училиште или наставникот во институтот може да повика парни броеви (или променливи) кои не се додавања.

На пример, ако разликата е напишана на табла a − b, тогаш наставникот нема да го каже тоа ае минуенд, и б- одзема. Тој ќе ги повика двете променливи со еден заеднички збор - термини. И сето тоа затоа што изразот на формата a − bматематичарот гледа како збирот a+(−b). Во овој случај, изразот станува збир, а променливите аИ (-б)стануваат термини.

Слични термини

Слични термини- тоа се термини кои имаат ист дел од буквите. На пример, разгледајте го изразот 7а + 6б + 2а. Компоненти 7аИ 2аимаат иста буква дел - променлива а. Значи условите 7аИ 2асе слични.

Вообичаено, слични термини се додаваат за да се поедностави изразот или да се реши равенката. Оваа операција се нарекува носејќи слични термини.

За да донесете слични термини, треба да ги додадете коефициентите на овие поими и да го помножите добиениот резултат со делот за заедничка буква.

На пример, да претставиме слични термини во изразот 3а + 4а + 5а. Во овој случај, сите термини се слични. Ајде да ги собереме нивните коефициенти и да го помножиме резултатот со заедничкиот дел од буквата - со променливата а

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Слични термини обично се на ум и резултатот се запишува веднаш:

3а + 4а + 5а = 12а

Исто така, може да се резонира на следниов начин:

Имаше 3 променливи a , на нив беа додадени уште 4 променливи a и уште 5 променливи a. Како резултат на тоа, добивме 12 променливи a

Ајде да погледнеме неколку примери за донесување слични термини. Со оглед на тоа оваа темае многу важно, најпрво детално ќе го запишеме секој мал детал. Иако овде сè е многу едноставно, повеќето луѓе прават многу грешки. Најмногу поради невнимание, а не незнаење.

Пример 1. 3а + 2а + 6а + 8а

Ајде да ги собереме коефициентите во овој израз и да го помножиме добиениот резултат со делот од заедничката буква:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

дизајн (3 + 2 + 6 + 8)×aНе мора да го запишувате, па веднаш ќе го запишеме одговорот

3а + 2а + 6а + 8а = 19а

Пример 2.Наведете слични термини во изразот 2а+а

Втор мандат анапишано без коефициент, но всушност има коефициент пред него 1 , кој не го гледаме бидејќи не е снимен. Значи, изразот изгледа вака:

2а + 1а

Сега да претставиме слични термини. Тоа е, ги собираме коефициентите и го множиме резултатот со делот од заедничката буква:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Ајде накратко да го запишеме решението:

2а + а = 3а

2а+а, можете да размислувате поинаку:

Пример 3.Наведете слични термини во изразот 2a−a

Да го замениме одземањето со собирање:

2a + (−a)

Втор мандат (−а)напишано без коефициент, но во реалноста изгледа (-1а).Коефициент −1 повторно невидлив поради тоа што не е снимен. Значи, изразот изгледа вака:

2a + (−1a)

Сега да претставиме слични термини. Да ги собереме коефициентите и да го помножиме резултатот со делот за заедничка буква:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обично се пишува пократко:

2a − a = a

Давање слични термини во изразот 2a−aМожете да размислувате поинаку:

Имаше 2 променливи a, одземе една променлива a, и како резултат остана само една променлива a

Пример 4.Наведете слични термини во изразот 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Сега да претставиме слични термини. Да ги собереме коефициентите и да го помножиме резултатот со вкупниот дел од буквите

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Ајде накратко да го запишеме решението:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Постојат изрази кои содржат неколку различни групи на слични поими. На пример, 3а + 3б + 7а + 2б. За ваквите изрази важат истите правила како и за другите, имено, собирање на коефициентите и множење на резултатот со делот за заедничка буква. Но, за да се избегнат грешките, погодно е да се истакнат различни групи термини со различни линии.

На пример, во изразот 3а + 3б + 7а + 2боние термини кои содржат променлива а, може да се подвлече со една линија, и оние поими што содржат променлива б, може да се нагласи со два реда:

Сега можеме да претставиме слични термини. Тоа е, додадете ги коефициентите и помножете го добиениот резултат со вкупниот дел од буквите. Ова мора да се направи за двете групи поими: за поими што содржат променлива аи за поими кои содржат променлива б.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Повторно, повторуваме, изразот е едноставен и може да се имаат предвид слични термини:

3а + 3б + 7а + 2б = 10а + 5б

Пример 5.Наведете слични термини во изразот 5a − 6a −7b + b

Да го замениме одземањето со собирање каде што е можно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Да подвлечеме слични термини со различни линии. Услови кои содржат променливи аподвлекуваме со една линија, а поимите се содржината на променливите б, подвлечете со два реда:

Сега можеме да претставиме слични термини. Односно, додадете ги коефициентите и помножете го добиениот резултат со делот за заедничка буква:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Ако изразот содржи обични броеви без букви фактори, тогаш тие се додаваат посебно.

Пример 6.Наведете слични термини во изразот 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Да го замениме одземањето со собирање каде што е можно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Да претставиме слични термини. Броеви −5 И 7 немаат букви фактори, но тие се слични поими - само треба да се додадат. И терминот 2бќе остане непроменет, бидејќи е единствениот во овој израз кој има фактор на буква б,и нема со што да се додаде:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Ајде накратко да го запишеме решението:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Термините може да се подредат така што оние поими што имаат ист дел од буквите се наоѓаат во истиот дел од изразот.

Пример 7.Наведете слични термини во изразот 5t+2x+3x+5t+x

Бидејќи изразот е збир од неколку поими, ова ни овозможува да го оцениме по кој било редослед. Затоа, термините што ја содржат променливата т, може да се напишат на почетокот на изразот, а термините што ја содржат променливата xна крајот од изразот:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Сега можеме да претставиме слични термини:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Ајде накратко да го запишеме решението:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Збирот на спротивните броеви е нула. Ова правило работи и за буквални изрази. Ако изразот содржи идентични термини, но со спротивни знаци, тогаш можете да се ослободите од нив во фазата на намалување на слични термини. Со други зборови, едноставно исфрлете ги од изразот, бидејќи нивниот збир е нула.

Пример 8.Наведете слични термини во изразот 3t − 4t − 3t + 2t

Да го замениме одземањето со собирање каде што е можно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Компоненти 3 тИ (−3t)се спротивни. Збирот на спротивни членови е нула. Ако ја отстраниме оваа нула од изразот, вредноста на изразот нема да се промени, па ќе ја отстраниме. И ние ќе го отстраниме со едноставно прекрстување на условите 3 тИ (−3t)

Како резултат на тоа, ќе ни остане изразот (−4t) + 2t. Во овој израз, можете да додадете слични термини и да го добиете конечниот одговор:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Ајде накратко да го запишеме решението:

Поедноставување на изрази

„поедностави го изразот“ а подолу е изразот што треба да се поедностави. Поедностави израззначи да се направи поедноставно и пократко.

Всушност, ние веќе ги поедноставивме изразите кога ги намаливме дропките. По намалувањето, дропот стана пократок и полесен за разбирање.

Размислете за следниот пример. Поедноставете го изразот.

Оваа задача буквално може да се разбере на следниов начин: „Применете ги сите валидни дејства на овој израз, но поедноставете го“. .

Во овој случај, можете да ја намалите фракцијата, имено, да ги поделите броителот и именителот на фракцијата за 2:

Што друго можете да направите? Можете да ја пресметате добиената дропка. Потоа ја добиваме децималната дропка 0,5

Како резултат на тоа, фракцијата беше поедноставена на 0,5.

Првото прашање што треба да си го поставите кога решавате вакви проблеми треба да биде „Што може да се направи? . Затоа што има дејствија што можете да ги направите, а има и дејства што не можете да ги направите.

Друга важна точкаОна што треба да се запамети е дека вредноста на изразот не треба да се менува по поедноставување на изразот. Да се ​​вратиме на изразот. Овој израз претставува поделба што може да се изврши. Откако ја извршивме оваа поделба, ја добиваме вредноста на овој израз, која е еднаква на 0,5

Но, го поедноставивме изразот и добивме нов поедноставен израз. Вредноста на новиот поедноставен израз е сè уште 0,5

Но, ние исто така се обидовме да го поедноставиме изразот со пресметување. Како резултат на тоа, добивме конечен одговор од 0,5.

Така, без разлика како го поедноставуваме изразот, вредноста на добиените изрази сепак е еднаква на 0,5. Ова значи дека поедноставувањето е извршено правилно во секоја фаза. Токму кон тоа треба да се стремиме кога ги поедноставуваме изразите - значењето на изразот не треба да страда од нашите постапки.

Често е потребно да се поедностават буквалните изрази. За нив важат истите правила за поедноставување како и за нумеричките изрази. Може да извршите какви било валидни дејства, сè додека вредноста на изразот не се менува.

Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример 1.Поедностави израз 5,21 с × t × 2,5

Да се ​​поедностави овој израз, можете да множите броеви одделно и да множите букви одделно. Оваа задача е многу слична на онаа што ја разгледавме кога научивме да го одредиме коефициентот:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Значи изразот 5,21 с × t × 2,5поедноставен на 13.025-ти.

Пример 2.Поедностави израз −0,4 × (−6,3б) × 2

Второ парче (-6,3б)може да се преведе во форма разбирлива за нас, имено напишана во форма ( −6,3)×b ,потоа помножете ги броевите одделно и множете ги буквите одделно:

− 0,4 × (−6,3б) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Значи изразот −0,4 × (−6,3б) × 2 поедноставен на 5.04б

Пример 3.Поедностави израз

Ајде да го напишеме овој израз подетално за јасно да видиме каде се броевите и каде се буквите:

Сега ајде да ги помножиме броевите одделно и да ги множиме буквите одделно:

Значи изразот поедноставен на −abc.Ова решение може да се напише накратко:

При поедноставување на изразите, дропките може да се намалат за време на процесот на решавање, а не на самиот крај, како што правевме со обичните дропки. На пример, ако во текот на решавањето наидеме на израз на формата, тогаш воопшто не е потребно да се пресметаат броителот и именителот и да се направи нешто вака:

Дропка може да се намали со избирање фактор во броителот и именителот и намалување на овие фактори за нивниот најголем заеднички делител. Со други зборови, употреба во која не опишуваме детално на што се поделени броителот и именителот.

На пример, во броителот факторот е 12, а во именителот факторот 4 може да се намали за 4. Четирите ги чуваме во нашиот ум, и делејќи го 12 и 4 со оваа четворка, ги запишуваме одговорите до овие броеви. откако прво ги прецртал

Сега можете да ги помножите добиените мали фактори. Во овој случај, има малку од нив и можете да ги умножите во вашиот ум:

Со текот на времето, може да откриете дека кога решавате одреден проблем, изразите почнуваат да „се здебелуваат“, па затоа е препорачливо да се навикнете на брзи пресметки. Она што може да се пресмета во умот мора да се пресмета во умот. Она што може брзо да се намали мора брзо да се намали.

Пример 4.Поедностави израз

Значи изразот поедноставен на

Пример 5.Поедностави израз

Ајде да ги помножиме броевите одделно и буквите одделно:

Значи изразот поедноставен на мн.

Пример 6.Поедностави израз

Ајде да го напишеме овој израз подетално за јасно да видиме каде се броевите и каде се буквите:

Сега ајде да ги помножиме броевите одделно и буквите одделно. За полесно пресметување, децималната дропка −6,4 и мешан бројможе да се претвори во обични фракции:

Значи изразот поедноставен на

Решението за овој пример може да се напише многу пократко. Ќе изгледа вака:

Пример 7.Поедностави израз

Ајде да множиме броеви одделно и букви одделно. За полесно пресметување, мешан број и децимали 0,1 и 0,6 може да се претворат во обични фракции:

Значи изразот поедноставен на а бе це де. Ако ги прескокнете деталите, ова решение може да се напише многу пократко:

Забележете како дропот е намален. Дозволено е да се намалат и нови фактори кои се добиваат како резултат на намалување на претходните фактори.

Сега да разговараме за тоа што не треба да правиме. При поедноставување на изрази, строго е забрането да се множат броеви и букви ако изразот е збир, а не производ.

На пример, ако сакате да го поедноставите изразот 5а+4б, тогаш не можете да го напишете вака:

Ова е исто како од нас да беше побарано да собереме два броја, а ние да ги помножиме наместо да ги собереме.

При замена на која било променлива вредност аИ бизразување 5а + 4бсе претвора во обичен нумерички израз. Да претпоставиме дека променливите аИ бги имаат следните значења:

a = 2, b = 3

Тогаш вредноста на изразот ќе биде еднаква на 22

5а + 4б = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Прво се врши множење, а потоа се собираат резултатите. И ако се обидеме да го поедноставиме овој израз со множење броеви и букви, ќе го добиеме следново:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Излегува сосема поинакво значење на изразот. Во првиот случај тоа функционираше 22 , во вториот случај 120 . Ова значи дека поедноставувањето на изразот 5а+4бе изведена погрешно.

По поедноставувањето на изразот, неговата вредност не треба да се менува со истите вредности на променливите. Ако, при замена на која било вредност на променливата во оригиналниот израз, се добие една вредност, тогаш по поедноставување на изразот, треба да се добие истата вредност како и пред поедноставувањето.

Со изразување 5а+4бнавистина не можете ништо да направите. Тоа не го поедноставува.

Ако изразот содржи слични поими, тогаш тие можат да се додадат ако нашата цел е да го поедноставиме изразот.

Пример 8.Поедностави израз 0,3а−0,4а+а

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или пократко: 0,3а − 0,4а + а = 0,9а

Значи изразот 0,3а−0,4а+апоедноставен на 0,9а

Пример 9.Поедностави израз −7,5а − 2,5б + 4а

За да го поедноставиме овој израз, можеме да додадеме слични термини:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или пократко −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Термин (−2,5б)остана непроменет бидејќи немаше со што да се стави.

Пример 10.Поедностави израз

За да го поедноставиме овој израз, можеме да додадеме слични термини:

Коефициентот беше за полесно пресметување.

Значи изразот поедноставен на

Пример 11.Поедностави израз

За да го поедноставиме овој израз, можеме да додадеме слични термини:

Значи изразот поедноставен на .

Во овој пример, би било посоодветно прво да се додадат првиот и последниот коефициент. Во овој случај би имале кратко решение. Тоа би изгледало вака:

Пример 12.Поедностави израз

За да го поедноставиме овој израз, можеме да додадеме слични термини:

Значи изразот поедноставен на .

Терминот остана непроменет, бидејќи немаше што да се додаде.

Ова решение може да се напише многу пократко. Ќе изгледа вака:

Краткото решение ги прескокна чекорите на замена на одземањето со собирање и детално објаснување како дропките се сведени на заеднички именител.

Друга разлика е што во деталното решение одговорот изгледа вака , но накратко како . Всушност, тие се истиот израз. Разликата е во тоа што во првиот случај, одземањето се заменува со собирање, бидејќи на почетокот кога го напишавме решението во во детали, го заменивме одземањето со собирање каде што беше можно, и оваа замена беше зачувана за одговорот.

Идентитети. Идентично еднакви изрази

Откако ќе го поедноставиме секој израз, тој станува поедноставен и пократок. За да проверите дали поедноставениот израз е точен, доволно е да ги замените вредностите на променливите прво во претходниот израз што требаше да се поедностави, а потоа во новиот што беше поедноставен. Ако вредноста во двата изрази е иста, тогаш поедноставениот израз е вистинит.

Ајде да размислиме наједноставен пример. Нека биде неопходно да се поедностави изразот 2a×7b. За да го поедноставите овој израз, можете одделно да множите броеви и букви:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Ајде да провериме дали правилно го поедноставивме изразот. За да го направите ова, ајде да ги замениме сите вредности на променливите аИ бпрво во првиот израз што требаше да се поедностави, а потоа во вториот, кој беше поедноставен.

Оставете ги вредностите на променливите а , бќе биде како што следува:

a = 4, b = 5

Ајде да ги замениме во првиот израз 2a×7b

Сега да ги замениме истите вредности на променливите во изразот што произлезе од поедноставувањето 2a×7b, имено во изразот 14аб

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Тоа го гледаме кога a=4И b=5вредноста на првиот израз 2a×7bи значењето на вториот израз 14абеднакви

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Истото ќе се случи и за сите други вредности. На пример, нека a=1И b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Така, за сите вредности на променливите на изразот 2a×7bИ 14абсе еднакви на иста вредност. Таквите изрази се нарекуваат идентично еднакви.

Заклучуваме дека меѓу изразите 2a×7bИ 14абможете да ставите знак за еднаквост бидејќи тие се еднакви на иста вредност.

2a × 7b = 14ab

Еднаквост е секој израз што е поврзан со знак за еднаквост (=).

И еднаквост на формата 2a×7b = 14abповикани идентитет.

Идентитетот е еднаквост што важи за сите вредности на променливите.

Други примери на идентитети:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, математичките закони што ги проучувавме се идентитети.

Вистинските нумерички еднаквости се исто така идентитети. На пример:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Одлучувајќи тешка задачаЗа да се олесни пресметката, сложениот израз се заменува со поедноставен израз кој е идентично еднаков на претходниот. Оваа замена се нарекува идентична трансформација на изразотили едноставно трансформирање на изразот.

На пример, го поедноставивме изразот 2a×7b, и доби поедноставен израз 14аб. Ова поедноставување може да се нарече трансформација на идентитетот.

Често може да најдете задача која вели „Докажете дека еднаквоста е идентитет“ а потоа се дава еднаквоста што треба да се докаже. Обично оваа еднаквост се состои од два дела: левиот и десниот дел на еднаквоста. Наша задача е да извршиме идентитетски трансформации со еден од деловите на еднаквоста и да го добиеме другиот дел. Или направете идентични трансформации на двете страни на еднаквоста и погрижете се двете страни на еднаквоста да ги содржат истите изрази.

На пример, да докажеме дека еднаквоста 0,5а × 5б = 2,5абе идентитет.

Ајде да ја поедноставиме левата страна на оваа еднаквост. За да го направите ова, помножете ги броевите и буквите одделно:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5аб = 2,5аб

Како резултат на мала трансформација на идентитетот, левата страна на еднаквоста стана еднаква на десната страна на еднаквоста. Значи ние докажавме дека еднаквоста 0,5а × 5б = 2,5абе идентитет.

Од идентични трансформации научивме да собираме, одземаме, множиме и делиме броеви, да намалуваме дропки, да додаваме слични термини, а исто така да поедноставуваме некои изрази.

Но, ова не се сите идентични трансформации што постојат во математиката. Трансформации на идентитетотМногу повеќе. Ова ќе го видиме повеќе од еднаш во иднина.

Задачи за независно решение:

Дали ви се допадна лекцијата?
Придружете се на нашата нова група VKontakte и започнете да добивате известувања за нови лекции

Секој јазик може да ги изрази истите информации со различни зборовии револуции. Математичкиот јазик не е исклучок. Но, истиот израз може да биде еквивалентно напишан на различни начини. И во некои ситуации, еден од записите е поедноставен. Ќе зборуваме за поедноставување на изразите во оваа лекција.

Луѓето комуницираат на различни јазици. За нас, важна споредба е парот „руски јазик - математички јазик“. Истата информација може да се пренесе на различни јазици. Но, покрај ова, може да се изговара на различни начини на еден јазик.

На пример: „Петја е пријател со Васија“, „Васија е пријател со Петја“, „Петја и Васија се пријатели“. Кажано поинаку, но истото. Од која било од овие фрази би сфатиле за што зборуваме.

Ајде да ја погледнеме оваа фраза: „Момчето Петја и момчето Васија се пријатели“. Ние разбираме за што зборуваме. Сепак, не ни се допаѓа звукот на оваа фраза. Зарем не можеме да го поедноставиме, да го кажеме истото, но поедноставно? „Момче и момче“ - можете да кажете еднаш: „Момците Петја и Васија се пријатели“.

„Момци“... Зар не е јасно од нивните имиња дека не се девојчиња? Ги отстрануваме „момчињата“: „Петја и Васија се пријатели“. И зборот „пријатели“ може да се замени со „пријатели“: „Петја и Васија се пријатели“. Како резултат на тоа, првата, долга, грда фраза беше заменета со еквивалентна изјава што е полесно да се каже и полесно да се разбере. Ја поедноставивме оваа фраза. Да се ​​поедностави значи да се каже поедноставно, но да не се изгуби или искривува значењето.

Во математичкиот јазик, приближно истото се случува. Може да се каже едно исто, различно напишано. Што значи да се поедностави изразот? Тоа значи дека за оригиналниот израз има многу еквивалентни изрази, односно оние што значат исто. И од сета оваа разновидност мора да го избереме наједноставниот, според нашето мислење, или најсоодветен за нашите понатамошни цели.

На пример, земете го нумеричкиот израз. Тоа ќе биде еквивалентно на.

Исто така, ќе биде еквивалентно на првите две: .

Излегува дека ги поедноставивме нашите изрази и го најдовме најкраткиот еквивалентен израз.

За нумерички изрази, секогаш треба да направите сè и да го добиете еквивалентниот израз како единечен број.

Ајде да погледнеме пример за буквален израз . Очигледно, ќе биде поедноставно.

При поедноставување на буквални изрази, потребно е да се извршат сите можни дејства.

Дали е секогаш потребно да се поедностави изразот? Не, понекогаш ќе ни биде попогодно да имаме еквивалентен, но подолг влез.

Пример: треба да одземе број од број.

Можно е да се пресмета, но кога првиот број би бил претставен со неговата еквивалентна ознака: , тогаш пресметките би биле моментални: .

Односно, поедноставен израз не е секогаш корисен за нас за понатамошни пресметки.

Сепак, многу често се соочуваме со задача која само звучи како „поедноставување на изразот“.

Поедностави го изразот: .

Решение

1) Изведете ги дејствата во првата и втората заграда: .

2) Да ги пресметаме производите: .

Очигледно, последниот израз има поедноставна форма од почетната. Го поедноставивме.

За да се поедностави изразот, тој мора да се замени со еквивалент (еднаков).

За да го одредите еквивалентниот израз ви треба:

1) ги изврши сите можни дејства,

2) користете ги својствата на собирање, одземање, множење и делење за да ги поедноставите пресметките.

Својства на собирање и одземање:

1. Комутативно својство на собирањето: преуредувањето на поимите не го менува збирот.

2. Комбинативно својство на собирање: за да додадете трет број на збирот од два броја, можете да го додадете збирот на вториот и третиот број на првиот број.

3. Својството на одземање на збир од број: за одземање на сума од број, можете да го одземете секој член посебно.

Својства на множење и делење

1. Комутативно својство на множење: преуредувањето на факторите не го менува производот.

2. Комбинирачко својство: за да помножите број со производ од два броја, прво можете да го помножите со првиот фактор, а потоа да го помножите добиениот производ со вториот фактор.

3. Дистрибутивно својство на множење: за да помножите број со збир, треба да го помножите со секој член посебно.

Ајде да видиме како всушност правиме ментални пресметки.

Пресметајте:

Решение

1) Ајде да замислиме како

2) Да го замислиме првиот фактор како збир од членовите на битови и да го извршиме множењето:

3) можете да замислите како и да извршите множење:

4) Заменете го првиот фактор со еквивалентна сума:

Законот за распределба може да се користи и во спротивна насока: .

Следете ги овие чекори:

1) 2)

Решение

1) За погодност, можете да го користите дистрибутивниот закон, користете го само во спротивна насока - извадете го заедничкиот фактор од заградите.

2) Да го извадиме заедничкиот фактор од загради

Неопходно е да се купи линолеум за кујната и ходникот. Кујнски простор - , ходник - . Постојат три вида линолеуми: за и рубли за. Колку ќе чини секој? три видалинолеум? (сл. 1)

Ориз. 1. Илустрација за исказот на проблемот

Решение

Метод 1. Можете одделно да дознаете колку пари ќе бидат потребни за да купите линолеум за кујната, а потоа во ходникот и да ги соберете добиените производи.