дома > Поправка и доработка > Моќни графикони. Моќните функции, нивните својства и графикони. Моќта функционира со рационален експонент


Моќни графикони. Моќните функции, нивните својства и графикони. Моќта функционира со рационален експонент




Обезбедува референтни податоци за експоненцијалната функција - основни својства, графикони и формули. Се разгледуваат следниве прашања: домен на дефиниција, збир на вредности, монотоност, инверзна функција, извод, интеграл, проширување и претставување на серии на моќност со помош на сложени броеви.

Дефиниција

Експоненцијална функцијае генерализација на производот од n броеви еднаков на a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
на множеството реални броеви x:
y (x) = секира.
Овде a е фиксен реален број, кој се нарекува основа на експоненцијалната функција.
Се нарекува и експоненцијална функција со основа a експонент на основа a.

Генерализацијата се врши на следниов начин.
За природни x = 1, 2, 3,... , експоненцијалната функција е производ на x фактори:
.
Покрај тоа, има својства (1,5-8) (), кои произлегуваат од правилата за множење броеви. На нула и негативни вредностицели броеви, експоненцијалната функција се одредува со помош на формули (1.9-10). За фракциони вредности x = m/n рационални броеви, , се одредува со формулата (1.11). За реално, експоненцијалната функција е дефинирана како граница на низа:
,
каде што е произволна низа од рационални броеви што конвергираат на x: .
Со оваа дефиниција, експоненцијалната функција е дефинирана за сите , и ги задоволува својствата (1,5-8), како за природниот x.

Ригорозна математичка формулација за дефиницијата на експоненцијална функција и доказ за нејзините својства е дадена на страницата „Дефиниција и доказ за својствата на експоненцијална функција“.

Својства на експоненцијалната функција

Експоненцијалната функција y = a x ги има следните својства на множеството реални броеви ():
(1.1) дефинирани и континуирани, за , за сите ;
(1.2) за ≠ 1 има многу значења;
(1.3) строго се зголемува на, строго се намалува на,
е константна во ;
(1.4) во ;
во ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Други корисни формули.
.
Формула за претворање во експоненцијална функција со различна база на експоненти:

Кога b = e, го добиваме изразот на експоненцијалната функција преку експоненцијалната:

Приватни вредности

, , , , .

На сликата се прикажани графикони на експоненцијалната функција
y (x) = секира
за четири вредности степени бази: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Се гледа дека за а > 1 експоненцијалната функција монотоно се зголемува. Како поголема основастепен а, толку е посилен растот. На 0 < a < 1 експоненцијалната функција монотоно се намалува. Колку е помал експонентот a, толку е посилно намалувањето.

Растечки, опаѓачки

Експоненцијалната функција за е строго монотона и затоа нема екстреми. Неговите главни својства се претставени во табелата.

y = a x, a > 1 y = секира, 0 < a < 1
Домен - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Опсег на вредности 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Монотон монотоно се зголемува монотоно се намалува
Нули, y = 0 бр бр
Пресечни точки со ординатна оска, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Инверзна функција

Инверзната на експоненцијална функција со основа a е логаритам со основата a.

Ако тогаш
.
Ако тогаш
.

Диференцијација на експоненцијална функција

За да се диференцира експоненцијална функција, нејзината основа мора да се сведе на бројот e, да се примени табелата со деривати и правилото за диференцијација комплексна функција.

За да го направите ова, треба да го користите својството на логаритми
и формулата од табелата со деривати:
.

Нека е дадена експоненцијална функција:
.
Го доведуваме до основата e:

Да го примениме правилото за диференцијација на сложените функции. За да го направите ова, воведете ја променливата

Потоа

Од табелата со деривати имаме (променливата x заменете ја со z):
.
Бидејќи е константа, изводот на z во однос на x е еднаков на
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција:
.

Извод на експоненцијална функција

.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >

Пример за диференцирање на експоненцијална функција

Најдете го изводот на функцијата
y= 3 5 x

Решение

Да ја изразиме основата на експоненцијалната функција преку бројот e.
3 = e ln 3
Потоа
.
Внесете променлива
.
Потоа

Од табелата на деривати наоѓаме:
.
Затоа што 5ln 3е константа, тогаш изводот на z во однос на x е еднаков на:
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција, имаме:
.

Одговори

Интегрален

Изрази кои користат сложени броеви

Размислете за функцијата комплексен број z:
ѓ (z) = a z
каде z = x + iy; јас 2 = - 1 .
Да ја изразиме сложената константа a во однос на модулот r и аргументот φ:
a = r e i φ
Потоа


.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. ВО општ поглед
φ = φ 0 + 2 πn,
каде n е цел број. Затоа функцијата f (з)исто така не е јасно. Неговото главно значење често се разгледува
.

Проширување на серијата


.

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендијаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

). За реални основни вредности Xи индикатор Аобично се земаат предвид само реалните вредности на S. f. xa.Тие постојат, барем за сите x > 0; Ако А -рационален бројсо непарен именител, тогаш постојат и за сите x 0; ако именителот е рационален број Адури, или ако е ирационално, тогаш xaнема вистинско значење на кој било начин x 0. Кога x = 0 функција за напојување xaеднакво на нула за секого А> 0 и не е дефинирано кога а 0; 0° нема специфично значење. С. ф. (во реалниот опсег) е недвосмислена, освен во случаи кога А -рационален број претставен со нередуцирана дропка со парен именител: во овие случаи тој е двоцифрен, а неговите вредности за истата вредност на аргументот X> 0 се еднакви во абсолутна вредност, но спротивно во знакот. Обично тогаш се разгледува само ненегативната или аритметичката вредност на Sf. За X> 0 S. f. - зголемување ако А> 0, и се намалува ако А x = 0, во случај на 0 а xa)" = секира a-1 .Понатаму,

Функции на формата y = cx a,Каде Со- постојан коефициент, игра важна улогаво математиката и нејзините примени; на А= 1 овие функции изразуваат директна пропорционалност (нивните графикони се прави линии што минуваат низ потеклото, види сл. 1), во a =-1 - обратна пропорционалност(графиците се рамнострани хиперболи со центар на почетокот, со координатни оски како нивни асимптоти, види сл. 2). Многу физички закони се изразуваат математички користејќи функции на формата y = cx a(види сл. 3); На пример, y = cx 2го изразува законот за рамномерно забрзано или подеднакво забавено движење ( y -патека, X -време, 2 в- забрзување; почетната патека и брзината се нула).

Во сложениот домен на S. f. zа е дефинирано за сите z≠ 0 според формулата:

Каде к= 0, ± 1, ± 2,.... Ако А -целина, потоа С. ф. zа е недвосмислена:

Ако А -рационално (а = p/q,Каде РИ qсе релативно едноставни), тогаш S. f. z aприфаќа qразлични значења:

каде ε k = - корени на степен qод единство: k = 0, 1, ..., q - 1. Ако А -ирационален, потоа С. ф. zа - бесконечно: множител ε α2κ π ι прифаќа за различни к различни значења. За сложени вредности на a, S.f. z aсе одредува со истата формула (*). На пример,

па особено k = 0, ± 1, ± 2,....

Под главното значење ( z a) 0 С. ф. се разбира неговото значење k = 0 ако -πz ≤ π (или 0 ≤ арг z z а) = |z a|e ia arg z, (јас) 0 =e -π/2, итн.


Големо Советска енциклопедија. - М.: Советска енциклопедија. 1969-1978 .

Погледнете што е „функција за напојување“ во другите речници:

    Функција од формата y = axn, каде што a и n се сите реални броеви... Голем енциклопедиски речник

    Функција за напојувањефункција, каде што (експонент) е некој реален број ... Википедија

    Функција од формата y = axn, каде a и n се валидни. броеви, S. f. корици голем бројобрасци во природата. На сл. прикажува графикони на S. f. за n = 1, 2, 3, 1/2 и a = 1. До ул. Функција за напојување… Голем енциклопедиски политехнички речник

    Функција од формата y=axn, каде што a и n се сите реални броеви. На сликата се прикажани графикони на функцијата моќност за n = 1, 2, 3, 1/2 и a = 1. ... енциклопедиски речник

    функција за напојување- laipsninė funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. функција за напојување vok. Potenzfunktion, f rus. моќ функција, f pranc. функциска моќност, ф … Автоматски терминали

    Функција y = x a, каде што a е константен број. Ако a е цел број, тогаш S. f. посебен случај на рационална функција. За сложени вредности на chi aC. ѓ. е двосмислена ако a е нецел број. За фиксни реални. а бројот x a е моќ... Математичка енциклопедија

    Функција од формата y = axn, каде што a и n се сите реални броеви. На сл. прикажува графикони на S. f. за n= 1, 2, 3, 1/2 и a=1 ... Природна наука. енциклопедиски речник

    функција на побарувачка- Функција која покажува како обемот на продажба на одреден производ се менува во зависност од неговата цена со еднакви маркетинг напори за негово промовирање на пазарот. Побарувачка функција Функција која рефлектира... ... Водич за технички преведувач

    Функција на побарувачка- функција која ја одразува зависноста на обемот на побарувачката за поединечни добра и услуги (стока за широка потрошувачка) од збир на фактори кои влијаат на тоа. Потесно толкување: Ф.с ја изразува меѓусебната зависност помеѓу побарувачката за производ и цената... ... Економско-математички речник

    Y = 1 + x + x2 + x3 + ... дефинирано за реално или комплексни вредности x, чии модули се помали од еден. Функции од формата y = p0xn + p1xn 1 + p2xn 2 + ... + рn 1x + pn, каде што коефициентите, р0, р1, р2, ..., рn овие броеви се нарекуваат цела функција n th... ... Енциклопедија на Брокхаус и Ефрон

Книги

  • Комплет маси. Алгебра и почетоците на анализата. 11 одделение. 15 табели + методологија, . Табелите се испечатени на дебел печатен картон со димензии 680 x 980 mm. Комплетот вклучува брошура со методолошки препоракиза наставникот. Едукативен албум од 15 листови.…

Функција каде X – променлива количина, А– се повикува даден број Функција за напојување .

Ако тогаш - линеарна функција, неговиот график е права линија (види став 4.3, сл. 4.7).

Ако тогаш - квадратна функција, неговиот график е парабола (види параграф 4.3, сл. 4.8).

Ако тогаш неговиот график е кубна парабола (види параграф 4.3, сл. 4.9).

Функција за напојување

Ова е инверзна функција за

1. Домен:

2. Повеќе значења:

3. Парни и непарни:функцијата е непарна.

4. Фреквенција на функција:непериодични.

5. Функции нули: X= 0 - единствената нула.

6. најголемите и најниски вредностифункција нема.

7.

8. График на функцијаСиметрично на графикот на кубна парабола во однос на права линија Y=Xи е прикажано на сл. 5.1.

Функција за напојување

1. Домен:

2. Повеќе значења:

3. Парни и непарни:функцијата е рамномерна.

4. Фреквенција на функција:непериодични.

5. Функции нули:единечна нула X = 0.

6. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:зема најмала вредност за X= 0, тоа е еднакво на 0.

7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се намалува во интервалот и се зголемува во интервалот

8. График на функција(за секој Н Î Н) е „сличен“ на графикот на квадратна парабола (графиците на функции се прикажани на сл. 5.2).

Функција за напојување

1. Домен:

2. Повеќе значења:

3. Парни и непарни:функцијата е непарна.

4. Фреквенција на функција:непериодични.

5. Функции нули: X= 0 - единствената нула.

6. Највисоки и најниски вредности:

7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.

8. График на функција(за секоја ) е „слична“ на графикот на кубна парабола (графиците на функции се прикажани на сл. 5.3).

Функција за напојување

1. Домен:

2. Повеќе значења:

3. Парни и непарни:функцијата е непарна.

4. Фреквенција на функција:непериодични.

5. Функции нули:нема нули.

6. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:функцијата нема најголеми и најмали вредности за ниту една

7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се намалува во својот домен на дефиниција.

8. Асимптоти:(оска ОУ) – вертикална асимптота;

(оска О) – хоризонтална асимптота.

9. График на функција(за било кој Н) е „сличен“ на графикот на хипербола (графиците на функции се прикажани на сл. 5.4).

Функција за напојување

1. Домен:

2. Повеќе значења:

3. Парни и непарни:функцијата е рамномерна.

4. Фреквенција на функција:непериодични.

5. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:функцијата нема најголеми и најмали вредности за ниту една

6. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се зголемува за, а се намалува за

7. Асимптоти: X= 0 (оска ОУ) – вертикална асимптота;

Y= 0 (оска О) – хоризонтална асимптота.

8. Графикони на функцииТие се квадратни хиперболи (сл. 5.5).

Функција за напојување

1. Домен:

2. Повеќе значења:

3. Парни и непарни:функцијата нема својство парни и непарни.

4. Фреквенција на функција:непериодични.

5. Функции нули: X= 0 - единствената нула.

6. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:функцијата ја зема најмалата вредност еднаква на 0 во точката X= 0; највисока вредностнема.

7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.

8. Секоја таква функција за одреден експонент е инверзна на дадената функција

9. График на функција„наликува“ на графикот на функцијата за која било Ни е прикажано на сл. 5.6.

Функција за напојување

1. Домен:

2. Повеќе значења:

3. Парни и непарни:функцијата е непарна.

4. Фреквенција на функција:непериодични.

5. Функции нули: X= 0 - единствената нула.

6. Најголемите и најмалите вредности на функцијата:функцијата нема најголеми и најмали вредности за ниту една

7. Зголемување и намалување на интервали:функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.

8. График на функцијаПрикажано на Сл. 5.7.