Нека се исцртаат еднакви отсечки на права линија l. Теорема на Талес. Средна линија на триаголникот
Теорема 6.6 (Талесова теорема).Ако паралелните линии што ги сечат страните на аголот отсекуваат еднакви отсечки од едната страна, тогаш тие отсекуваат еднакви отсечки од другата страна.(Сл. 131).
Доказ. Нека A 1, A 2, A 3 се пресечните точки на паралелните прави со една од страните на аголот и A 2 лежи помеѓу A 1 и A 3 (сл. 131). Нека B 1, B 2, B 3 се соодветните точки на пресек на овие прави со другата страна на аголот. Да докажеме дека ако A 1 A 2 = A 2 Az, тогаш B 1 B 2 = B 2 B 3.
Дозволете ни да повлечеме права линија EF низ точката B 2, паралелна на правата линија A 1 A 3. Според својството на паралелограм, A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E. И бидејќи A 1 A 2 = A 2 A 3, тогаш FB 2 = B 2 E.
Триаголниците B 2 B 1 F и B 2 B 3 E се еднакви според вториот критериум. Имаат B 2 F=B 2 E според докажаното. Аглите на темето B 2 се еднакви како вертикални, а аглите B 2 FB 1 и B 2 EB 3 се еднакви како внатрешни попречно поставени со паралелни A 1 B 1 и A 3 B 3 и секантата EF.
Од еднаквоста на триаголниците следи еднаквоста на страните: B 1 B 2 = B 2 B 3. Теоремата е докажана.
Коментар. Во услови на теоремата на Талес, наместо страните на аголот, можете да земете кои било две прави, а заклучокот на теоремата ќе биде ист:
Паралелните прави кои сечат две дадени прави и отсекуваат еднакви отсечки на една права, исто така, отсекуваат еднакви отсечки на другата права.
Понекогаш теоремата на Талес ќе се примени во оваа форма.
Проблем (48). Дадената отсечка AB поделете ја на n еднакви делови.
Решение. Да повлечеме од точката А полуправа a што не лежи на правата AB (сл. 132). Да нацртаме еднакви отсечки на полуправата a: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n. Да ги поврземе точките A n и B. Нацртајте низ точките A 1, A 2, .... A n -1 прави паралелни со права линија A n B. Тие ја пресекуваат отсечката AB во точките B 1, B 2, B n- 1, кои ја делат отсечката AB на n еднакви отсечки (според теоремата на Талес).
А. В. Погорелов, Геометрија за 7-11 одделение, Учебник за образовни институции
Тема на лекцијата
Цели на часот
- Запознајте се со новите дефиниции и запомнете некои веќе проучени.
- Формулирајте и докажете ги својствата на квадрат, докажете ги неговите својства.
- Научете да ги применувате својствата на формите кога решавате проблеми.
- Развојно - да се развие вниманието на учениците, истрајноста, истрајноста, логично размислување, математички говор.
- Образовни - преку лекцијата, негувајте внимателен однос еден кон друг, всадете способност да ги слушате другарите, взаемна помош и независност.
Цели на часот
- Тестирајте ги вештините на учениците за решавање проблеми.
План за лекција
- Историска референца.
- Талес како математичар и неговите дела.
- Корисно е да се запамети.
Историска референца
- Теоремата на Талес сè уште се користи во поморската пловидба како правило според кое судирот на бродови кои се движат со постојана брзина, е неизбежна доколку се задржи курсот на бродовите еден кон друг.
- Надвор од литературата на руски јазик, теоремата на Талес понекогаш се нарекува друга теорема на планиметријата, имено, изјавата дека впишаниот агол врз основа на дијаметарот на кругот е правилен. Откривањето на оваа теорема навистина му се припишува на Талес, како што е потврдено од Проклус.
- Талес ги научил основите на геометријата во Египет.
Откритија и заслуги на неговиот автор
Дали знаевте дека Талес од Милет беше еден од седумте најпознати во тоа време, мудрец на Грција. Го основал Јонското училиште. Идејата што Талес ја промовираше во ова училиште беше единството на сите нешта. Мудрецот верувал дека постои единствен почеток од кој потекнуваат сите нешта.
Големата заслуга на Талес од Милет е создавањето научна геометрија. Ова големо учење можеше да создаде дедуктивна геометрија од египетската уметност на мерење, чија основа е заедничка основа.
Покрај неговото огромно познавање на геометријата, Талес бил добро упатен и во астрономијата. Тој беше првиот што предвиде целосно затемнувањеСонцето. Но, тоа не се случи во модерен свет, а уште во 585 година, дури п.н.е.
Талес од Милет бил човекот кој сфатил дека северот може точно да се определи со соѕвездието Мала Мечка. Но, ова не беше неговото последно откритие, бидејќи тој беше во можност точно да ја одреди должината на годината, да ја подели на триста шеесет и пет дена, а исто така го утврди времето на рамнодениците.
Талес всушност бил сеопфатно развиен и мудар човек. Покрај тоа што бил познат како одличен математичар, физичар и астроном, тој бил и вистински метеоролог и можел сосема точно да ја предвиди жетвата на маслинките.
Но, највпечатливо е тоа што Талес никогаш не го ограничи своето знаење само на научното и теоретското поле, туку секогаш се обидуваше да ги консолидира доказите за своите теории во пракса. И најинтересното е тоа голем мудрецне се фокусираше на ниту една област од своето знаење, неговиот интерес имаше различни насоки.
Името Талес станало познато име за мудрец уште тогаш. Неговата важност и значење за Грција беше исто толку големо колку и името на Ломоносов за Русија. Се разбира, неговата мудрост може да се толкува на различни начини. Но, дефинитивно можеме да кажеме дека тој се одликуваше со генијалност, практична генијалност и, до одреден степен, одвоеност.
Талес од Милет бил одличен математичар, филозоф, астроном, сакал да патува, бил трговец и претприемач, се занимавал со трговија, а бил и добар инженер, дипломат, провидник и активно учествувал во политичкиот живот.
Тој дури успеал да ја одреди висината на пирамидата користејќи стап и сенка. И така беше. Еден убав сончев ден, Талес го поставил својот стап на границата каде што завршувала сенката на пирамидата. Потоа, тој чекаше додека должината на сенката на неговиот стап да биде еднаква на нејзината висина и ја измери должината на сенката на пирамидата. Така, се чини дека Талес едноставно ја одредил висината на пирамидата и докажал дека должината на една сенка е поврзана со должината на друга сенка, исто како што висината на пирамидата е поврзана со висината на стапот. Тоа го погодило и самиот фараон Амасис.
Благодарение на Талес, сите знаења познати во тоа време беа пренесени на полето на научен интерес. Тој можеше да ги пренесе резултатите на ниво погодно за научна потрошувачка, истакнувајќи одреден сет на концепти. И можеби со помош на Талес започна последователниот развој на античката филозофија.
Талесовата теорема игра една важни улогипо математика. Таа беше позната не само во Антички Египети Вавилон, но и во други земји и беше основа за развој на математиката. Да и во Секојдневниот живот, за време на изградбата на згради, објекти, патишта, итн., не може без теоремата на Талес.
Теорема на Талес во културата
Теоремата на Талес стана позната не само во математиката, туку беше воведена и во културата. Еден ден, аргентинската музичка група Les Luthiers (шпански) претстави песна на публиката, која ја посвети на познатата теорема. Членовите на Les Luthiers, во нивниот видео клип специјално за оваа песна, дадоа докази за директната теорема за пропорционални отсечки.
Прашања
- Кои прави се нарекуваат паралелни?
- Каде практично се применува теоремата на Талес?
- Што вели теоремата на Талес?
Список на користени извори
- Енциклопедија за деца. Т.11. Математика/Главен уредник М.Д.Аксенова.-м.: Аванта+, 2001 г.
- „Единствен државен испит 2006. Математика. Материјали за едукација и обука за подготовка на студенти / Рособрнадзор, ИСОП - М.: Интелект-Центар, 2006 година"
- Л. С. Атанасјан, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позњак, И. И. Јудина „Геометрија, 7 – 9: учебник за образовни институции“
Теоремата нема ограничувања за меѓусебно уредувањесеканти (ова важи и за пресечните и за паралелните линии). Исто така, не е важно каде се наоѓаат сегментите на секантите.
Доказ во случај на паралелни прави
Да повлечеме права линија п.н.е. Аглите ABC и BCD се еднакви како внатрешни попречно лежени со паралелни прави AB и CD и секент BC, а аглите ACB и CBD се еднакви како внатрешни вкрстено лежени со паралелни прави AC и BD и секант BC. Тогаш, според вториот критериум за еднаквост на триаголниците, триаголниците ABC и DCB се еднакви. Следи дека AC = BD и AB = CD. ■
Исто така постои теорема на пропорционален сегмент:
Паралелните линии ги отсекуваат пропорционалните отсечки на секантите:Теоремата на Талес е посебен случај на теоремата за пропорционални отсечки, бидејќи еднаквите отсечки може да се сметаат за пропорционални отсечки со коефициент на пропорционалност еднаков на 1.
Конверзна теорема
Ако во теоремата на Талес започнуваат еднакви отсечки од темето (оваа формулација често се користи во училишната литература), тогаш и обратната теорема ќе биде вистинита. За пресечни секанти, тој е формулиран на следниов начин:
Така (види слика) од фактот дека следи дека директно .
Ако секантите се паралелни, тогаш е неопходно да се бара отсечките на двете секанти да бидат еднакви една со друга, инаку оваа изјава станува лажна (контрапример е трапезоид пресечен со права што минува низ средните точки на базите).
Варијации и генерализации
Следната изјава е двојна со лемата на Солертински:
Напишете рецензија за написот „Теорема на Талес“Литература
Белешкиисто така види
Извадок што ја карактеризира теоремата на Талес- Не мислам ништо, едноставно не го разбирам тоа...- Чекај, Соња, сè ќе разбереш. Ќе видите каков човек е. Немој да мислиш лоши работи за мене или за него. – Не мислам ништо лошо за никого: ги сакам сите и жалам за сите. Но, што да правам? Соња не попушти пред нежниот тон со кој ѝ се обрати Наташа. Колку беше помек и попребарувачки изразот на лицето на Наташа, толку беше посериозно и построго лицето на Соња. „Наташа“, рече таа, „ти ме замоли да не зборувам со тебе, јас не, сега ти самиот почна“. Наташа, не му верувам. Зошто оваа тајна? - Повторно, повторно! – прекина Наташа. – Наташа, се плашам за тебе. - Од што да се плашиш? „Се плашам дека ќе се уништиш“, решително рече Соња, и самата исплашена од она што го кажа. Лицето на Наташа повторно изрази лутина. „И ќе уништам, ќе уништам, ќе се уништам себеси што е можно побрзо“. Не е твоја работа. Ќе се чувствува лошо не за тебе, туку за мене. Остави ме, остави ме. Те мразам. - Наташа! – исплашено извика Соња. - Мразам, мразам! И ти си мој непријател засекогаш! Наташа истрча од собата. Наташа повеќе не зборуваше со Соња и ја избегнуваше. Со истиот израз на возбудено изненадување и криминал, таа шеташе по собите, преземајќи ја прво оваа или онаа активност и веднаш напуштајќи ги. Колку и да и беше тешко на Соња, таа внимаваше на својата пријателка. Во пресрет на денот кога грофот требало да се врати, Соња забележала дека Наташа цело утро седела на прозорецот од дневната соба, како да очекува нешто, и дека му дала некаков знак на еден војник кој поминувал. Соња помеша со Анатол. Соња почна уште повнимателно да ја набљудува својата пријателка и забележа дека Наташа беше во чудна и неприродна состојба цело време за време на ручекот и навечер (таа одговараше на прашања поставени по случаен избор, почнуваше и не завршуваше реченици, се смееше на сè). По чајот, Соња видела слугинка на плашлива девојка како ја чека на вратата на Наташа. Ја пуштила да помине и, слушајќи на вратата, дознала дека повторно било доставено писмо. И одеднаш ѝ стана јасно на Соња дека Наташа има ужасен план за оваа вечер. Соња тропна на нејзината врата. Наташа не ја пушти да влезе. „Таа ќе побегне со него! помисли Соња. Таа е способна за се. Денеска имаше нешто особено жално и одлучно во нејзиното лице. Плачеше, збогувајќи се со својот вујко, се присети Соња. Да, точно е, таа трча со него, но што да правам? помисли Соња, сега потсетувајќи се на оние знаци кои јасно докажаа зошто Наташа имаше некоја страшна намера. „Нема пребројување. Што да правам, да му пишам на Курагин, барајќи објаснување од него? Но, кој му вели да одговори? Напиши му на Пјер, како што праша принцот Андреј, во случај на несреќа?... Но, можеби, всушност, таа веќе го одбила Болконски (вчера испрати писмо до принцезата Марија). Нема чичко!“ На Соња и се чинеше страшно да и каже на Марија Дмитриевна, која толку многу веруваше во Наташа. „Но, вака или онака“, си помисли Соња, стоејќи во темниот коридор: сега или никогаш не дојде време да докажам дека се сеќавам на придобивките од нивното семејство и го сакам Никола. Не, дури и да не спијам три ноќи, нема да го напуштам овој коридор и насилно да ја пуштам да влезе, и нема да дозволам да падне срам врз нивното семејство“, си помисли таа. Анатоле неодамна се пресели кај Долохов. Планот за киднапирање на Ростова го осмислил и подготвувал Долохов неколку дена, а на денот кога Соња, откако ја слушнала Наташа на вратата, решила да ја заштити, овој план морал да се спроведе. Наташа вети дека ќе излезе на задниот трем на Курагин во десет часот навечер. Курагин мораше да ја стави во подготвена тројка и да и ги однесе 60-те версти од Москва во селото Каменка, каде што беше подготвен разголен свештеник кој требаше да се ожени со нив. Во Каменка беше подготвен сетап што требаше да ги однесе до Варшавскиот пат и таму требаше да се возат во странство со поштенски. |
Ако страните на аголот се пресечени со прави паралелни линии кои делат една од страните на неколку отсечки, тогаш втората страна, прави линии, исто така ќе се подели на отсечки еквивалентни на другата страна.
Теорема на Талесго докажува следното: C 1, C 2, C 3 се местата каде што се сечат паралелни прави на која било страна од аголот. C 2 е во средината во однос на C 1 и C 3.. Точките D 1, D 2, D 3 се местата каде што линиите се сечат, што одговараат на линиите од другата страна на аголот. Докажуваме дека кога C 1 C 2 = C 2 C h, тогаш D 1 D 2 = D 2 D 3.
На местото D 2 цртаме права отсечка KR, паралелна со делот C 1 C 3. Во својствата на паралелограм, C 1 C 2 = KD 2, C 2 C 3 = D 2 P. Ако C 1 C 2 = C 2 C 3, тогаш KD 2 = D 2 P. 
Добиените триаголни фигури D 2 D 1 K и D 2 D 3 P се еднакви. И D 2 K=D 2 P со доказ. Аглите со горната точка D 2 се еднакви како вертикални, а аглите D 2 KD 1 и D 2 PD 3 се еднакви како внатрешни попречно поставени со паралелни C 1 D 1 и C 3 D 3 и делењето KP.
Бидејќи D 1 D 2 =D 2 D 3 теоремата се докажува со еднаквоста на страните на триаголникот
Белешката:
Ако не ги земеме страните на аголот, туку два прави отсечки, доказот ќе биде ист.
Сите прави отсечки паралелни една на друга, кои ги сечат двете прави што ги разгледуваме и ја делат едната на еднакви делови, го прават истото и со втората.
Ајде да погледнеме неколку примери
Прв пример
Условот на задачата е да се подели ЦД-то со права линија на Пидентични сегменти.
Од точката C цртаме полуправа c, која не лежи на правата CD. Да означиме делови со иста големина. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 .....C p-1 C стр Поврзете C p со D. Нацртајте прави линии од точките C 1, C 2,...., C p-1 кој ќе биде паралелен во однос на C p D. Правите ќе го сечат CD на местата D 1 D 2 D p-1 и ја делат правата CD на n еднакви отсечки. 
Втор пример
Точката CK е означена на страната AB на триаголникот ABC. Сегментот SC ја пресекува средната AM на триаголникот во точката P, додека AK = AP. Потребно е да се најде односот на VC и RM.
Нацртаме права отсечка низ точката M, паралелна со SC, која ја сече AB во точката D 
Од страна на Теорема на ТалесВД=КД
Користејќи ја теоремата за пропорционална отсечка, откриваме дека
РМ = КД = ВК/2, значи, ВК: РМ = 2:1
Одговор: VK: RM = 2:1
Трет пример
Во триаголникот ABC, страната BC = 8 cm Правата DE ги пресекува страните AB и BC паралелно со AC. И го отсекува сегментот EC = 4 cm на страната BC. Докажете дека AD = DB. 
Бидејќи BC = 8 cm и EC = 4 cm, тогаш
BE = BC-EC, затоа BE = 8-4 = 4 (cm)
Од страна на Теорема на Талес, бидејќи AC е паралелна со DE и EC = BE, затоа, AD = DB. Q.E.D.
ВО женско списание- онлајн, ќе најдете многу интересни информацииза мене. Има и дел посветен на песни напишани од Сергеј Есенин. Влезете, нема да зажалите!
План:
- Вовед
- 1 Конверзна теорема
- 2 Теорема на Талес во културата
- 3 Интересни факти Белешки
Вовед
Оваа теорема е за паралелни прави. За агол заснован на дијаметар, видете друга теорема.Теорема на Талес- една од теоремите на планиметријата.
Теоремата нема ограничувања за релативната положба на секантите (тоа е точно и за пресечните и за паралелните прави). Исто така, не е важно каде се сегментите на секантите.
Доказ во случај на секанти
Доказ за теоремата на Талес
Ајде да ја разгледаме опцијата со неповрзани парови на отсечки: нека аголот се сече со прави линии АА 1 | | ББ 1 | | ВВ 1 | | ДД 1 и каде АБ = ВД .
Доказ во случај на паралелни прави
Да повлечеме права линија п.н.е. Аглите ABC и BCD се еднакви како внатрешни попречно лежени со паралелни прави AB и CD и секент BC, а аглите ACB и CBD се еднакви како внатрешни вкрстено лежени со паралелни прави AC и BD и секант BC. Тогаш, според првиот критериум за еднаквост на триаголниците, триаголниците ABC и DCB се складни. Следи дека AC = BD и AB = CD. ■
Исто така постои генерализирана теорема на Талес:
Паралелните линии ги отсекуваат пропорционалните отсечки на секантите:
Теоремата на Талес е посебен случај генерализирана теоремаТалес, бидејќи еднаквите отсечки може да се сметаат за пропорционални отсечки со коефициент на пропорционалност еднаков на 1.
1. Конверзна теорема
Ако во теоремата на Талес започнуваат еднакви отсечки од темето (оваа формулација често се користи во училишната литература), тогаш и обратната теорема ќе биде вистинита. За пресечни секанти, тој е формулиран на следниов начин:
Во конверзната теорема на Талес, важно е еднаквите отсечки да започнуваат од темето
Така (види слика) од она што следи дека прави линии .
Ако секантите се паралелни, тогаш е неопходно да се бара отсечките на двете секанти да бидат еднакви една со друга, инаку оваа изјава станува лажна (контрапример е трапезоид пресечен со права што минува низ средните точки на базите).
2. Теорема на Талес во културата
Аргентинската музичка група Les Luthiers ( шпански) претстави песна посветена на теоремата. Видеото за оваа песна дава доказ за директната теорема за пропорционални отсечки.
3. Интересни факти
- Теоремата на Талес сè уште се користи во поморската пловидба како правило дека судирот меѓу бродовите што се движат со константна брзина е неизбежен доколку бродовите се движат еден кон друг.
- Надвор од литературата на руски јазик, теоремата на Талес понекогаш се нарекува друга теорема на планиметријата, имено, изјавата дека впишаниот агол врз основа на дијаметарот на кругот е правилен. Откривањето на оваа теорема навистина му се припишува на Талес, како што е потврдено од Проклус.
- Талес ги научил основите на геометријата во Египет.
Белешки
- El Teorema de Thales por Les Luthiers en You Tube - www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
- 3. Патување во Египет / Дома / Античка литература и филозофија. Талес од Милет - www.fales-iz-mileta.narod.ru/3_puteshestvie_v_egipet
Овој апстракт е заснован на статија од руската Википедија. Синхронизацијата е завршена 16.07.11 23:06:34
Слични апстракти:
