Примери за пресметување деривати на елементарни и сложени функции. Онлајн калкулатор. Најдете (со решение) изводот на функцијата
Во „старите“ учебници тоа се нарекува и правило „синџир“. Па ако y = f (u), и u = φ (x), тоа е
y = f (φ (x))
сложено - композитна функција (состав на функции) тогаш
Каде 
, по пресметката се смета во u = φ (x).
Забележете дека овде земавме „различни“ композиции од истите функции, а резултатот од диференцијацијата природно се покажа дека зависи од редоследот на „мешање“.
Правилото на синџирот природно се протега на композиции од три или повеќе функции. Во овој случај, ќе има три или повеќе „врски“ во „синџирот“ што го сочинува изводот. Еве аналогија со множење: „имаме“ табела на изводи; „таму“ - табела за множење; „Кај нас“ е правилото на синџирот и „таму“ е правилото за множење со „колона“. При пресметувањето на таквите „комплексни“ деривати, се разбира, не се воведуваат помошни аргументи (u¸v, итн.), но, откако сами го забележаа бројот и низата на функции вклучени во составот, соодветните врски се „нанижани“. по наведениот редослед.
. Овде, со „x“ за да се добие вредноста на „y“, се вршат пет операции, односно има состав од пет функции: „надворешна“ (последната од нив) - експоненцијална - e ; понатаму во обратен редоследседативно. (♦) 2; тригонометриски грев(); седативно. () 3 и на крај логаритамски ln.(). Затоа
Со следните примери ќе „убиеме неколку птици со еден камен“: ќе вежбаме да разликуваме сложени функции и ќе додадеме во табелата со деривати на елементарни функции. Значи:
4. За функцијата моќност - y = x α - препишувајќи ја со употреба на добро познатата „основна логаритамски идентитет" - b=e ln b - во форма x α = x α ln x добиваме
5. Бесплатно експоненцијална функцијакористејќи ја истата техника што ќе ја имаме
6. За произволна логаритамска функција, користејќи ја добро познатата формула за премин кон нова основа, постојано добиваме
.
7. За да ја разликуваме тангентата (котангента), го користиме правилото за диференцијација на количници:
За да ги добиеме изводите на инверзните тригонометриски функции, ја користиме релацијата што ја задоволуваат изводите на две меѓусебно инверзни функции, односно функциите φ (x) и f (x) поврзани со односите:
Ова е соодносот
Тоа е од оваа формула за меѓусебно инверзни функции
И 
,
Конечно, да ги сумираме овие и некои други деривати кои исто така лесно се добиваат во следната табела.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Ако ја следите дефиницијата, тогаш изводот на функцијата во точка е граница на односот на зголемувањето на функцијата Δ yдо зголемувањето на аргументот Δ x:
Се чини дека сè е јасно. Но, обидете се да ја користите оваа формула за да го пресметате, да речеме, дериватот на функцијата ѓ(x) = x 2 + (2x+ 3) · д xгрев x. Ако правите сè по дефиниција, тогаш по неколку страници пресметки едноставно ќе заспиете. Затоа, постојат поедноставни и поефикасни начини.
За почеток, забележуваме дека од целата разновидност на функции можеме да ги разликуваме таканаречените елементарни функции. Ова се релативно едноставни изрази, чии деривати се одамна пресметани и внесени во табелата. Ваквите функции се прилично лесни за паметење - заедно со нивните деривати.
Изводи на елементарни функции
Елементарните функции се сите оние наведени подолу. Дериватите на овие функции мора да се знаат напамет. Покрај тоа, воопшто не е тешко да се запаметат - затоа се елементарни.
Значи, деривати на елементарни функции:
| Име | Функција | Дериват |
| Постојана | ѓ(x) = В, В ∈ Р | 0 (да, нула!) |
| Моќ со рационален експонент | ѓ(x) = x n | n · x n − 1 |
| Синус | ѓ(x) = грев x | cos x |
| Косинусот | ѓ(x) = кос x | −грев x(минус синус) |
| Тангента | ѓ(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Котангента | ѓ(x) = ctg x | − 1/грев 2 x |
| Природен логаритам | ѓ(x) = дневник x | 1/x |
| Произволен логаритам | ѓ(x) = дневник а x | 1/(x ln а) |
| Експоненцијална функција | ѓ(x) = д x | д x(ништо не се смени) |
Ако елементарна функција се помножи со произволна константа, тогаш лесно се пресметува и изводот на новата функција:
(В · ѓ)’ = В · ѓ ’.
Генерално, константите може да се извадат од знакот на дериватот. На пример:
(2x 3)' = 2 · ( x 3)“ = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Очигледно, елементарните функции можат да се додадат една на друга, да се множат, поделат - и многу повеќе. Така ќе се појават нови функции, веќе не особено елементарни, туку и диференцирани според одредени правила. Овие правила се дискутирани подолу.
Извод на збир и разлика
Нека се дадени функциите ѓ(x) И е(x), чии деривати ни се познати. На пример, можете да ги земете елементарните функции дискутирани погоре. Потоа можете да го најдете изводот на збирот и разликата на овие функции:
- (ѓ + е)’ = ѓ ’ + е ’
- (ѓ − е)’ = ѓ ’ − е ’
Значи, изводот на збирот (разликата) на две функции е еднаков на збирот (разликата) на изводите. Може да има повеќе термини. На пример, ( ѓ + е + ч)’ = ѓ ’ + е ’ + ч ’.
Строго кажано, не постои концепт на „одземање“ во алгебрата. Постои концепт на „негативен елемент“. Затоа разликата ѓ − еможе да се препише како збир ѓ+ (−1) е, а потоа останува само една формула - дериватот на збирот.
ѓ(x) = x 2 + грев x; е(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Функција ѓ(x) е збир на две елементарни функции, затоа:
ѓ ’(x) = (x 2 + грев x)’ = (x 2)“ + (грев x)’ = 2x+ cos x;
Слично размислуваме за функцијата е(x). Само што веќе има три термини (од гледна точка на алгебра):
е ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Одговор:
ѓ ’(x) = 2x+ cos x;
е ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Дериват на производот
Математиката е логичка наука, па многу луѓе веруваат дека ако изводот на збирот е еднаков на збирот на деривати, тогаш изводот на производот штрајк">еднаков на производот на деривати. Ама зафркни си! Изводот на производ се пресметува со сосема друга формула. Имено:
(ѓ · е) ’ = ѓ ’ · е + ѓ · е ’
Формулата е едноставна, но често се заборава. И не само ученици, туку и студенти. Резултатот е неправилно решени проблеми.
Задача. Најдете деривати на функции: ѓ(x) = x 3 cos x; е(x) = (x 2 + 7x− 7) · д x .
Функција ѓ(x) е производ на две елементарни функции, така што сè е едноставно:
ѓ ’(x) = (x 3 кос x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (кос x)’ = 3x 2 кос x + x 3 (− грев x) = x 2 (3 кос x − xгрев x)
Функција е(x) првиот фактор е малку покомплициран, но општа шемаова не се менува. Очигледно, првиот фактор на функцијата е(x) е полином и неговиот извод е извод од збирот. Ние имаме:
е ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · д x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · д x + (x 2 + 7x− 7) · ( д x)’ = (2x+ 7) · д x + (x 2 + 7x− 7) · д x = д x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · д x = x(x+ 9) · д x .
Одговор:
ѓ ’(x) = x 2 (3 кос x − xгрев x);
е ’(x) = x(x+ 9) · д
x
.
Ве молиме имајте предвид дека во последниот чекор дериватот е факторизиран. Формално, тоа не треба да се прави, но повеќето деривати не се пресметуваат сами, туку за да се испита функцијата. Тоа значи дека понатаму дериватот ќе се изедначи со нула, ќе се утврдат неговите знаци итн. За таков случај, подобро е да се факторизира изразот.
Ако има две функции ѓ(x) И е(x), и е(x) ≠ 0 на множеството што не интересира, можеме да дефинираме нова функција ч(x) = ѓ(x)/е(x). За таква функција можете да го најдете и изводот:
Не е слаб, а? Од каде минусот? Зошто е 2? И вака! Ова е едно од најпознатите сложени формули- Не можете да сфатите без шише. Затоа, подобро е да го проучите конкретни примери.
Задача. Најдете деривати на функции:
Броителот и именителот на секоја дропка содржат елементарни функции, така што сè што ни треба е формулата за изводот на количникот:
Според традицијата, ајде да го факторизираме броителот - ова во голема мера ќе го поедностави одговорот:
Сложената функција не е нужно формула долга половина километар. На пример, доволно е да се земе функцијата ѓ(x) = грев xи заменете ја променливата x, да речеме, на x 2 + ln x. Ќе успее ѓ(x) = грев ( x 2 + ln x) - ова е сложена функција. Исто така, има дериват, но нема да биде можно да се најде користејќи ги правилата дискутирани погоре.
Што да правам? Во такви случаи, заменувањето на променливата и формулата за извод помага комплексна функција:
ѓ ’(x) = ѓ ’(т) · т“, Ако xсе заменува со т(x).
Како по правило, ситуацијата со разбирањето на оваа формула е уште потажна отколку со дериватот на количникот. Затоа, исто така е подобро да се објасни со конкретни примери, со Детален описсекој чекор.
Задача. Најдете деривати на функции: ѓ(x) = д 2x + 3 ; е(x) = грев ( x 2 + ln x)
Забележете дека ако во функцијата ѓ(x) наместо изразот 2 x+ 3 ќе биде лесно x, тогаш ќе успее елементарна функција ѓ(x) = д x. Затоа, правиме замена: нека 2 x + 3 = т, ѓ(x) = ѓ(т) = д т. Бараме извод на сложена функција користејќи ја формулата:
ѓ ’(x) = ѓ ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’
И сега - внимание! Вршиме обратна замена: т = 2x+ 3. Добиваме:
ѓ ’(x) = д т · т ’ = д 2x+ 3 (2 x + 3)’ = д 2x+ 3 2 = 2 д 2x + 3
Сега да ја погледнеме функцијата е(x). Очигледно треба да се замени x 2 + ln x = т. Ние имаме:
е ’(x) = е ’(т) · т“ = (грев т)’ · т’ = коз т · т ’
Обратна замена: т = x 2 + ln x. Потоа:
е ’(x) = коз ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)“ = коз ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
Тоа е се! Како што може да се види од последниот израз, целиот проблем е сведена на пресметување на изводниот збир.
Одговор:
ѓ ’(x) = 2 · д
2x + 3 ;
е ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).
Многу често на моите часови, наместо терминот „дериват“, го користам зборот „prime“. На пример, ударот на збирот е еднаков на збирот на ударите. Дали е тоа појасно? Па тоа е добро.
Така, пресметувањето на дериватот се сведува на ослободување од истите овие удари според правилата дискутирани погоре. Како последен пример, да се вратиме на деривативната моќност со рационален експонент:
(x n)’ = n · x n − 1
Малкумина го знаат тоа во улогата nможе да биде фракционен број. На пример, коренот е x 0,5. Што ако има нешто фенси под коренот? Повторно, резултатот ќе биде сложена функција - тие сакаат да им даваат такви конструкции тестовиах и испити.
Задача. Најдете го изводот на функцијата:
Прво, да го преработиме коренот како моќ со рационален експонент:
ѓ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Сега правиме замена: нека x 2 + 8x − 7 = т. Го наоѓаме дериватот користејќи ја формулата:
ѓ ’(x) = ѓ ’(т) · т ’ = (т 0,5)“ · т’ = 0,5 · т−0,5 · т ’.
Ајде да направиме обратна замена: т = x 2 + 8x− 7. Имаме:
ѓ ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Конечно, назад кон корените:
И теоремата за изводот на сложена функција, чија формулација е како што следува:
Нека 1) функцијата $u=\varphi (x)$ има во одреден момент $x_0$ изводот $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) функцијата $y=f(u)$ имаат во соодветната во точката $u_0=\varphi (x_0)$ изводот $y_(u)"=f"(u)$. Тогаш сложената функција $y=f\left(\varphi (x) \right)$ во споменатата точка ќе има и извод еднаков на производот од изводите на функциите $f(u)$ и $\varphi ( x) $:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \десно)\cdot \varphi"(x_0) $$
или, пократко: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Во примерите во овој дел, сите функции имаат форма $y=f(x)$ (т.е., сметаме само функции на една променлива $x$). Според тоа, во сите примери се зема изводот $y"$ во однос на променливата $x$. За да се нагласи дека изводот се зема во однос на променливата $x$, $y"_x$ често се пишува наместо $y „$.
Примерите бр. 1, бр. 2 и бр. 3 го прикажуваат деталниот процес за пронаоѓање на изводот на сложените функции. Примерот бр. 4 е наменет за поцелосно разбирање на табелата со деривати и има смисла да се запознаете со неа.
Препорачливо е по проучувањето на материјалот во примерите бр. 1-3 да се продолжи независна одлукапримери бр.5, бр.6 и бр.7. Примерите #5, #6 и #7 содржат кратко решение за да може читателот да ја провери точноста на неговиот резултат.
Пример бр. 1
Најдете го изводот на функцијата $y=e^(\cos x)$.
Треба да го најдеме изводот на сложена функција $y"$. Бидејќи $y=e^(\cos x)$, тогаш $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. најдете го изводот $ \left(e^(\cos x)\right)"$ ја користиме формулата бр. 6 од табелата со деривати. За да ја искористиме формулата бр. 6, треба да земеме предвид дека во нашиот случај $u=\cos x$. Понатамошното решение се состои во едноставно замена на изразот $\cos x$ наместо $u$ во формула бр. 6:
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \ознака (1.1)$$
Сега треба да ја најдеме вредноста на изразот $(\cos x)"$. Повторно се свртуваме кон табелата со деривати, избирајќи ја формулата бр. 10 од неа. Заменувајќи ја $u=x$ во формулата бр. 10, имаме : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Сега да продолжиме со еднаквоста (1.1), дополнувајќи ја со пронајдениот резултат:
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \ознака (1.2) $$
Бидејќи $x"=1$, продолжуваме со еднаквоста (1.2):
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \ознака (1.3) $$
Значи, од еднаквоста (1.3) имаме: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Нормално, објаснувањата и средните еднаквости обично се прескокнуваат, запишувајќи го наодот на изводот во една линија. како во еднаквоста ( 1.3. Значи, изводот на сложената функција е најден, останува само да се запише одговорот).
Одговори: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Пример бр. 2
Најдете го изводот на функцијата $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Треба да го пресметаме изводот $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За почеток, забележуваме дека константата (т.е. бројот 9) може да се извади од дериватниот знак:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)" \ознака (2.1) $$
Сега да се свртиме кон изразот $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За полесно да ја изберете саканата формула од табелата со деривати, ќе го претставам изразот во прашање во оваа форма: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Сега е јасно дека е неопходно да се користи формула бр.2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Да ги замениме $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$ во оваа формула:
Дополнувајќи ја еднаквоста (2.1) со добиениот резултат, имаме:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \ознака (2,2) $$
Во оваа ситуација, често се прави грешка кога решавачот на првиот чекор ја избира формулата $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ наместо формулата $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Поентата е дека изводот на надворешната функција мора да биде на прво место. За да разберете која функција ќе биде надворешна на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, замислете дека ја пресметувате вредноста на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ по некоја вредност $x$. Прво ќе ја пресметате вредноста на $5^x$, а потоа ќе го помножите резултатот со 4, добивајќи $4\cdot 5^x$. Сега ја земаме арктангентата од овој резултат, добивајќи $\arctg(4\cdot 5^x)$. Потоа го подигаме добиениот број до дванаесеттата моќност, добивајќи $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Последната акција, т.е. подигањето на моќноста од 12 ќе биде надворешна функција. И токму од ова мора да започнеме да го наоѓаме изводот, што беше направено во еднаквост (2.2).
Сега треба да најдеме $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Ја користиме формулата бр. 19 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=4\cdot \ln x$ во неа:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Ајде малку да го поедноставиме добиениот израз, земајќи го предвид $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Еднаквоста (2.2) сега ќе стане:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ознака (2,3) $$
Останува да се најде $(4\cdot \ln x)"$. Да ја извадиме константата (т.е. 4) од знакот за извод: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ For За да најдеме $(\ln x)"$ ја користиме формулата бр. 8, заменувајќи ја $u=x$ во неа: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. „$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Заменувајќи го добиениот резултат во формулата (2.3), добиваме:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).
Да ве потсетам дека изводот на сложена функција најчесто се наоѓа во една линија, како што е напишано во последната еднаквост. Затоа, при подготовка на стандардни пресметки или контролна работа, воопшто не е неопходно да се опише решението толку детално.
Одговори: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Пример бр. 3
Најдете $y"$ од функцијата $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Прво, малку да ја трансформираме функцијата $y$, изразувајќи го радикалот (root) како моќност: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \десно)^(\frac(3)(7))$. Сега да почнеме да го наоѓаме дериватот. Бидејќи $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, тогаш:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\десно)" \ознака (3.1) $$
Да ја користиме формулата бр. 2 од табелата со деривати, заменувајќи ги $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac(3)(7)$ во неа:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Да продолжиме со еднаквоста (3.1) користејќи го добиениот резултат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \ознака (3.2) $$
Сега треба да најдеме $(\sin(5\cdot 9^x))"$. За ова ја користиме формулата бр. 9 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=5\cdot 9^x$ во неа:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Откако ја дополнивме еднаквоста (3.2) со добиениот резултат, имаме:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \ознака (3.3) $$
Останува да се најде $(5\cdot 9^x)"$. Прво, да ја земеме константата (бројот $5$) надвор од знакот за извод, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. За да го пронајдете дериватот $(9^x)"$, примени ја формулата бр. 5 од табелата со деривати, заменувајќи ги $a=9$ и $u=x$ во неа: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Сега можеме да продолжиме со еднаквоста (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можеме повторно да се вратиме од моќ до радикали (т.е. корени), пишувајќи $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ во форма $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Тогаш дериватот ќе биде напишан во оваа форма:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).
Одговори: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.
Пример бр. 4
Покажете дека формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се посебен случај на формулата бр. 2 од оваа табела.
Формулата бр. 2 од табелата со деривати го содржи изводот на функцијата $u^\alpha$. Заменувајќи го $\alpha=-1$ во формула бр. 2, добиваме:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\таг (4.1)$$
Бидејќи $u^(-1)=\frac(1)(u)$ и $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, тогаш еднаквоста (4.1) може да се препише на следниов начин: $ \left(\frac(1)(u) \десно)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ова е формула бр. 3 од табелата со деривати.
Да се свртиме повторно кон формулата бр. 2 од табелата со деривати. Ајде да го замениме $\alpha=\frac(1)(2)$ во него:
$$\лево(u^(\frac(1)(2))\десно)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\ознака (4.2) $$
Бидејќи $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ и $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тогаш еднаквоста (4.2) може да се препише на следниов начин:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Добиената еднаквост $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ е формула бр. 4 од табелата со деривати. Како што можете да видите, формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се добиени од формулата бр. 2 со замена на соодветната вредност $\alpha$.
Прво ниво
Извод на функција. Сеопфатен водич (2019)
Ајде да замислиме прав пат кој минува низ ридско подрачје. Тоа е, оди нагоре-надолу, но не врти десно или лево. Ако оската е насочена хоризонтално долж патот и вертикално, тогаш линијата на патот ќе биде многу слична на графикот на некоја континуирана функција:
Оската е одредено ниво на нулта надморска височина во животот, како што го користиме нивото на морето.
Како што се движиме напред по таков пат, се движиме и нагоре или надолу. Можеме да кажеме и: кога се менува аргументот (движење по оската на апсцисата), вредноста на функцијата се менува (движење по оската на ординатите). Сега да размислиме како да ја одредиме „стрмноста“ на нашиот пат? Каква вредност може да биде ова? Многу е едноставно: колку ќе се промени висината кога се движите напред на одредено растојание. На крајот на краиштата, на различни областипатишта, движејќи се напред (по x-оската) за еден километар, ќе се издигнеме или паднеме за различен број метри во однос на нивото на морето (по должината на y-оската).
Да го означиме напредокот (читај „делта x“).
Грчката буква (делта) најчесто се користи во математиката како префикс што значи „промена“. Тоа е - ова е промена во количината, - промена; тогаш што е тоа? Така е, промена во големината.
Важно: изразот е единствена целина, една променлива. Никогаш не одвојувајте ја „делтата“ од „х“ или која било друга буква! Тоа е, на пример,.
Значи, ние тргнавме напред, хоризонтално, со. Ако ја споредиме линијата на патот со графикот на функцијата, тогаш како го означуваме подемот? Секако,. Односно, како што одиме напред, се издигнуваме повисоко.
Вредноста е лесно да се пресмета: ако на почетокот бевме на височина, а по движењето се најдовме на висина, тогаш. Ако крајната точка е пониска од почетната, таа ќе биде негативна - тоа значи дека не се искачуваме, туку се спуштаме.
Да се вратиме на „стрмноста“: ова е вредност што покажува колку (стрмно) се зголемува висината кога се движите напред една единица растојание:
Да претпоставиме дека на некоја делница од патот, кога се движите напред за километар, патот се издигнува за еден километар. Тогаш наклонот на ова место е еднаков. И ако патот, додека се движи напред за m, паднал за km? Тогаш наклонот е еднаков.
Сега да го погледнеме врвот на еден рид. Ако го земете почетокот на делницата половина километар пред врвот, а крајот половина километар по него, можете да видите дека висината е речиси иста.
Односно, според нашата логика, излегува дека наклонот овде е речиси еднаков на нула, што очигледно не е точно. На растојание од километри многу може да се промени. Потребно е да се земат предвид помали површини за посоодветна и попрецизна проценка на стрмнината. На пример, ако ја измерите промената на висината додека се движите еден метар, резултатот ќе биде многу попрецизен. Но, дури и оваа точност можеби не ни е доволна - на крајот на краиштата, ако има бандера на средината на патот, можеме едноставно да го поминеме. Кое растојание да избереме тогаш? Сантиметар? Милиметар? Помалку е подобро!
ВО вистински животМерењето растојанија до најблискиот милиметар е повеќе од доволно. Но, математичарите секогаш се стремат кон совршенство. Затоа, концептот беше измислен бесконечно мало, односно апсолутната вредност е помала од кој било број што можеме да го именуваме. На пример, велите: еден трилионити! Колку помалку? И го делите овој број со - и ќе биде уште помалку. И така натаму. Ако сакаме да напишеме дека количината е бесконечно мала, пишуваме вака: (читаме „x се стреми кон нула“). Многу е важно да се разбере дека овој број не е нула!Но, многу блиску до тоа. Ова значи дека можете да поделите со тоа.
Концептот спротивен на бесконечно мало е бескрајно голем (). Веројатно веќе сте го сретнале кога сте работеле на неравенки: овој број е модуло поголем од кој било број што можете да го замислите. Ако дојдете до најголемиот можен број, само помножете го со два и ќе добиете уште поголем број. И уште бесконечност Понатамушто ќе се случи. Всушност, бескрајно големото и бесконечно малото се инверзни едно на друго, односно во, и обратно: во.
Сега да се вратиме на нашиот пат. Идеално пресметаниот наклон е наклонот пресметан за бесконечно мал сегмент од патеката, односно:
Забележувам дека со бесконечно мало поместување, промената на висината исто така ќе биде бесконечно мала. Но, да ве потсетам дека бесконечно мало не значи еднакво на нула. Ако поделите бесконечно мали броеви еден со друг, можете да добиете сосема обичен број, на пример, . Тоа е, една мала вредност може да биде точно пати поголема од друга.
За што е сето ова? Патот, стрмнината... Не одиме на рели со автомобили, туку предаваме математика. А во математиката се е сосема исто, само поинаку се нарекува.
Поим на дериват
Изводот на функцијата е односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот за бесконечно мало зголемување на аргументот.
Инкременталново математиката ја нарекуваат промена. Степенот до кој аргументот () се менува додека се движи по оската се нарекува зголемување на аргументоти се означува колку се променила функцијата (висина) при движење напред по оската за растојание зголемување на функцијатаи е назначен.
Значи, изводот на функцијата е односот со кога. Изводот го означуваме со иста буква како функцијата, само со прост горе десно: или едноставно. Значи, ајде да ја напишеме дериватната формула користејќи ги овие ознаки:
Како и во аналогијата со патот, овде кога функцијата се зголемува, изводот е позитивен, а кога се намалува е негативен.
Дали е можно изводот да биде еднаков на нула? Секако. На пример, ако возиме по рамен хоризонтален пат, стрмнината е нула. И точно е, висината воопшто не се менува. Така е и со изводот: изводот на константна функција (константа) е еднаков на нула:
бидејќи зголемувањето на таквата функција е еднакво на нула за која било.
Да се потсетиме на примерот на врвот на ридот. Се покажа дека е можно да се подредат краевите на сегментот на спротивните страни на темето на таков начин што висината на краевите се покажува иста, односно сегментот е паралелен со оската:
Но, големите сегменти се знак за неточно мерење. Ние ќе го подигнеме нашиот сегмент паралелно со себе, а потоа неговата должина ќе се намали.
На крајот, кога сме бесконечно блиску до врвот, должината на отсечката ќе стане бесконечно мала. Но, во исто време, таа остана паралелна со оската, односно разликата во висините на нејзините краеви е еднаква на нула (не се стреми кон, но е еднаква на). Значи дериватот
Ова може да се разбере вака: кога стоиме на самиот врв, мало поместување налево или надесно ја менува нашата висина занемарливо.
Постои и чисто алгебарско објаснување: лево од темето функцијата се зголемува, а десно се намалува. Како што дознавме порано, кога функцијата се зголемува, изводот е позитивен, а кога се намалува, тој е негативен. Но, се менува непречено, без скокови (бидејќи патот никаде нагло не го менува својот наклон). Затоа, помеѓу негативни и позитивни вредностидефинитивно мора да има. Тоа ќе биде местото каде што функцијата ниту се зголемува ниту се намалува - во точката на темето.
Истото важи и за коритото (областа каде што функцијата лево се намалува, а десно се зголемува):
Малку повеќе за зголемувањата.
Значи, го менуваме аргументот во големина. Од која вредност се менуваме? Што стана сега (аргументот)? Можеме да избереме која било точка, и сега ќе танцуваме од неа.
Размислете за точка со координати. Вредноста на функцијата во неа е еднаква. Потоа го правиме истото зголемување: ја зголемуваме координатата за. Кој е сега аргументот? Многу лесно: . Која е вредноста на функцијата сега? Каде оди аргументот, оди и функцијата: . Што е со зголемувањето на функцијата? Ништо ново: ова е сè уште износот за кој функцијата се промени:
Вежбајте да наоѓате зголемувања:
- Најдете го зголемувањето на функцијата во точка кога зголемувањето на аргументот е еднакво на.
- Истото важи и за функцијата во точка.
Решенија:
ВО различни точкисо исто зголемување на аргументот, зголемувањето на функцијата ќе биде различно. Ова значи дека дериватот во секоја точка е различен (за ова разговаравме на самиот почеток - стрмнината на патот е различна на различни точки). Затоа, кога пишуваме извод, мора да наведеме во која точка:
Функција за напојување.
Функција за моќност е функција каде што аргументот е до одреден степен (логично, нели?).
Згора на тоа - до кој било степен: .
Наједноставниот случај- ова е кога експонентот:
Да го најдеме неговиот дериват во една точка. Да се потсетиме на дефиницијата за дериват:
Значи аргументот се менува од до. Колку е зголемувањето на функцијата?
Прираст е ова. Но, функцијата во која било точка е еднаква на нејзиниот аргумент. Затоа:
Дериватот е еднаков на:
Дериватот на е еднаков на:
б) Сега размислете квадратна функција (): .
Сега да се потсетиме на тоа. Ова значи дека вредноста на зголемувањето може да се занемари, бидејќи е бесконечно мала, а со тоа и незначителна во однос на позадината на другиот термин:
Така, дојдовме до друго правило:
в) Ја продолжуваме логичката серија: .
Овој израз може да се поедностави на различни начини: отворете ја првата заграда користејќи ја формулата за скратено множење на коцката од збирот или размножете го целиот израз користејќи ја формулата за разлика од коцки. Обидете се да го направите тоа сами користејќи некој од предложените методи.
Така, го добив следново:
И повторно да се потсетиме на тоа. Ова значи дека можеме да ги занемариме сите термини што содржат:
Добиваме:.
г) Слични правила може да се добијат за големи моќи:
д) Излегува дека ова правило може да се генерализира за функција на моќност со произволен експонент, па дури ни цел број:
| (2) |
Правилото може да се формулира со зборовите: „степенот се пренесува како коефициент, а потоа се намалува за .
Ова правило ќе го докажеме подоцна (речиси на самиот крај). Сега да погледнеме неколку примери. Најдете го изводот на функциите:
- (на два начина: со формула и со користење на дефиницијата за извод - со пресметување на зголемувањето на функцијата);
- . Верувале или не, ова е функција за напојување. Ако имате прашања како „Како е ова? Каде е степенот?“, запомнете ја темата „“!
Да, да, и коренот е степен, само фракционо: .
Значи нашите Квадратен корен- ова е само диплома со индикатор:
.
Го бараме дериватот користејќи ја неодамна научената формула:Ако во овој момент повторно стане нејасно, повторете ја темата „“!!! (околу степен со негативен експонент)
- . Сега експонентот:
И сега преку дефиницијата (сè уште сте заборавиле?):
;
.
Сега, како и обично, го занемаруваме терминот што содржи:
. - . Комбинација на претходни случаи: .
Тригонометриски функции.
Овде ќе искористиме еден факт од вишата математика:
Со изразување.
Доказот ќе го научите во првата година на институтот (а за да стигнете таму, треба добро да го положите обединетиот државен испит). Сега ќе го прикажам само графички:
Гледаме дека кога функцијата не постои - точката на графикот е отсечена. Но, колку е поблиску до вредноста, толку е поблиску функцијата до тоа „цели“.
Дополнително, можете да го проверите ова правило користејќи калкулатор. Да, да, не биди срамежлив, земете калкулатор, сè уште не сме на унифициран државен испит.
Значи, ајде да се обидеме: ;
Не заборавајте да го префрлите вашиот калкулатор во режим Radians!
итн. Гледаме дека колку е помал, толку е поблиску вредноста на односот.
а) Размислете за функцијата. Како и обично, да го најдеме неговиот прираст:
Разликата на синусите да ја претвориме во производ. За да го направите ова, ја користиме формулата (запомнете ја темата „“): .
Сега дериватот:
Ајде да направиме замена: . Тогаш за бесконечно мало е и бесконечно мало: . Изразот за има форма:
И сега се сеќаваме на тоа со изразот. И, исто така, што ако бесконечно мало количество може да се занемари во збирот (т.е. во).
Значи добиваме следното правило:дериватот на синусот е еднаков на косинус:
Ова се основни („табеларни“) деривати. Еве ги во една листа:
Подоцна ќе додадеме уште неколку на нив, но овие се најважни, бидејќи најчесто се користат.
Вежбајте:
- Најдете го изводот на функцијата во точка;
- Најдете го изводот на функцијата.
Решенија:
- Прво, да го најдеме дериватот во општ поглед, а потоа заменете ја неговата вредност:
;
. - Тука имаме нешто слично на функција за напојување. Ајде да се обидеме да ја доведеме до
нормален поглед:
.
Одлично, сега можете да ја користите формулата:
.
. - . Еееееее….. Што е ова????
Добро, во право си, уште не знаеме како да најдеме такви деривати. Овде имаме комбинација од неколку типови на функции. За да работите со нив, треба да научите уште неколку правила:
Експонент и природен логаритам.
Во математиката постои функција чиј извод за која било вредност е еднаков на вредноста на самата функција во исто време. Се нарекува „експонент“ и е експоненцијална функција
Основата на оваа функција е константа - таа е бесконечна децимална, односно ирационален број (како на пример). Се нарекува „број на Ојлер“, поради што се означува со буква.
Значи, правилото:
Многу лесно се памети.
Па, да не одиме далеку, да го погледнеме веднаш инверзна функција. Која функција е инверзна на експоненцијалната функција? Логаритам:
Во нашиот случај, основата е бројот:
Таквиот логаритам (т.е. логаритам со основа) се нарекува „природен“ и користиме посебна нотација за него: наместо тоа пишуваме.
На што е еднакво? Секако, .
Дериватот на природниот логаритам е исто така многу едноставен:
Примери:
- Најдете го изводот на функцијата.
- Кој е изводот на функцијата?
Одговори: Излагач и природен логаритам- функциите се уникатно едноставни во однос на деривати. Експоненцијалните и логаритамските функции со која било друга основа ќе имаат различен извод, кој ќе го анализираме подоцна, откако ќе ги поминеме правилата за диференцијација.
Правила на диференцијација
Правила за што? Пак нов мандат, пак?!...
Диференцијацијае процес на пронаоѓање на дериватот.
Тоа е се. Како друго можете да го наречете овој процес со еден збор? Не извод... Математичарите диференцијалот го нарекуваат исто зголемување на функцијата во. Овој термин доаѓа од латинскиот диференција - разлика. Еве.
Кога ги изведуваме сите овие правила, ќе користиме две функции, на пример, и. Ќе ни требаат и формули за нивните зголемувања:
Има вкупно 5 правила.
Константата се вади од дериватниот знак.
Ако - некој константен број (константа), тогаш.
Очигледно ова правило функционира и за разликата: .
Да го докажеме тоа. Нека биде, или поедноставно.
Примери.
Најдете ги изводите на функциите:
- во точка;
- во точка;
- во точка;
- во точката.
Решенија:
- (изводот е ист во сите точки, бидејќи ова линеарна функција, се сеќаваш?);
Дериват на производот
Сè е слично овде: да воведеме нова функција и да го најдеме нејзиниот прираст:
Дериват:
Примери:
- Најди ги изводите на функциите и;
- Најдете го изводот на функцијата во точка.
Решенија:
Извод на експоненцијална функција
Сега вашето знаење е доволно за да научите како да го пронајдете изводот на која било експоненцијална функција, а не само на експоненти (сè уште сте заборавиле што е тоа?).
Значи, каде е некој број.
Веќе го знаеме изводот на функцијата, па ајде да се обидеме да ја намалиме нашата функција на нова база:
За ова ќе користиме едноставно правило: . Потоа:
Па, тоа функционираше. Сега обидете се да го пронајдете изводот и не заборавајте дека оваа функција е сложена.
Се случи?
Еве, проверете се:
Се покажа дека формулата е многу слична на изводот на експонент: како што беше, таа останува иста, се појави само фактор, кој е само број, но не и променлива.
Примери:
Најдете ги изводите на функциите:
Одговори:
Ова е само бројка што не може да се пресмета без калкулатор, односно не може да се запише повеќе во едноставна форма. Затоа, го оставаме во оваа форма во одговорот.
Извод на логаритамска функција
Слично е овде: веќе го знаете дериватот на природниот логаритам:
Затоа, да се најде произволен логаритам со различна основа, на пример:
Треба да го намалиме овој логаритам на основата. Како се менува основата на логаритам? Се надевам дека се сеќавате на оваа формула:
Само сега наместо тоа ќе напишеме:
Именителот е едноставно константа (константен број, без променлива). Дериватот се добива многу едноставно:
Деривати на експоненцијални и логаритамски функции речиси никогаш не се наоѓаат во унифицираниот државен испит, но нема да биде излишно да ги знаеме.
Извод на сложена функција.
Што е „комплексна функција“? Не, ова не е логаритам, ниту арктангенс. Овие функции може да бидат тешки за разбирање (иако ако ви е тежок логаритмот, прочитајте ја темата „Логаритми“ и ќе бидете во ред), но од математичка гледна точка, зборот „комплекс“ не значи „тешко“.
Замислете мала подвижна лента: две лица седат и прават некои активности со некои предмети. На пример, првиот завиткува чоколадна лента во обвивка, а втората ја врзува со лента. Резултатот е композитен предмет: чоколадна лента завиткана и врзана со лента. За да јадете чоколадна лента, треба да ги направите обратните чекори во обратен редослед.
Ајде да создадеме сличен математички цевковод: прво ќе го најдеме косинусот на некој број, а потоа ќе го квадратиме добиениот број. Значи, ни се дава број (чоколадо), јас го наоѓам неговиот косинус (обвивка), а потоа го квадрирате она што го добив (врзете го со лента). Што се случи? Функција. Ова е пример за сложена функција: кога, за да ја најдеме нејзината вредност, го извршуваме првото дејство директно со променливата, а потоа второто дејство со она што произлегло од првото.
Можеме лесно да ги правиме истите чекори во обратен редослед: прво го квадратите, а потоа го барам косинусот на добиениот број: . Лесно е да се погоди дека резултатот речиси секогаш ќе биде различен. Важна карактеристикасложени функции: кога се менува редоследот на дејствата, функцијата се менува.
Со други зборови, комплексна функција е функција чиј аргумент е друга функција: .
За првиот пример,.
Втор пример: (истото). .
Дејството што го правиме последно ќе се вика „надворешна“ функција, и дејството извршено прво - соодветно „внатрешна“ функција(ова се неформални имиња, ги користам само за да го објаснам материјалот на едноставен јазик).
Обидете се сами да одредите која функција е надворешна, а која внатрешна:
Одговори:Одвојувањето на внатрешните и надворешните функции е многу слично на менувањето на променливите: на пример, во функција
- Која акција прво ќе ја извршиме? Прво, да го пресметаме синусот, па дури потоа да го коцкаме. Тоа значи дека тоа е внатрешна функција, но надворешна.
А оригиналната функција е нивниот состав: . - Внатрешна: ; надворешен: .
Испитување: . - Внатрешна: ; надворешен: .
Испитување: . - Внатрешна: ; надворешен: .
Испитување: . - Внатрешна: ; надворешен: .
Испитување: .
Ги менуваме променливите и добиваме функција.
Па, сега ќе ја извадиме нашата чоколадна лента и ќе го бараме дериватот. Постапката е секогаш обратна: прво го бараме изводот на надворешната функција, а потоа резултатот го множиме со изводот на внатрешната функција. Во однос на оригиналниот пример, тоа изгледа вака:
Друг пример:
Значи, конечно да го формулираме официјалното правило:
Алгоритам за пронаоѓање на извод на сложена функција:
Се чини едноставно, нели?
Ајде да провериме со примери:
Решенија:
1) Внатрешна: ;
Надворешен: ;
2) Внатрешна: ;
(Само не обидувајте се да го пресечете досега! Ништо не излегува од косинусот, се сеќавате?)
3) Внатрешна: ;
Надворешен: ;
Веднаш е јасно дека ова е сложена функција на три нивоа: на крајот на краиштата, ова е веќе сложена функција сама по себе, а од него го извлекуваме и коренот, односно го извршуваме третото дејство (чоколадото го ставаме во обвивка и со лента во актовката). Но, нема причина да се плашиме: ние сепак ќе ја „отпакуваме“ оваа функција по истиот редослед како и обично: од крајот.
Односно, прво го разликуваме коренот, па косинусот, па дури потоа изразот во загради. И тогаш сето тоа го множиме.
Во такви случаи, погодно е да се нумерираат дејствата. Односно, да замислиме што знаеме. По кој редослед ќе извршиме дејства за да ја пресметаме вредноста на овој израз? Ајде да погледнеме на пример:
Колку подоцна се изврши дејството, толку „понадворешна“ ќе биде соодветната функција. Редоследот на дејствата е ист како и претходно:
Овде гнездењето е генерално на 4 нивоа. Ајде да го одредиме текот на дејствувањето.
1. Радикално изразување. .
2. Корен. .
3. Синус. .
4. Плоштад. .
5. Спојување на сето тоа заедно:
ДЕРИВАТИВ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ
Извод на функција- односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот за бесконечно мало зголемување на аргументот:
Основни деривати:
Правила за диференцијација:
Константата се вади од дериватниот знак:
Извод на збирот:
Дериват на производот:
Извод на количникот:
Извод на сложена функција:
Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:
- Ја дефинираме „внатрешната“ функција и го наоѓаме нејзиниот дериват.
- Ја дефинираме функцијата „надворешна“ и го наоѓаме нејзиниот дериват.
- Ги множиме резултатите од првата и втората точка.
Даден е доказ за формулата за извод на сложена функција. Детално се разгледуваат случаите кога сложената функција зависи од една или две променливи. Се прави генерализација на случајот на произволен број на променливи.
Овде даваме изведување на следните формули за извод на сложена функција.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.
Извод на сложена функција од една променлива
Нека функција од променливата x е претставена како сложена функција во следната форма:
,
каде што има некои функции. Функцијата е диференцијабилна за некоја вредност на променливата x. Функцијата е диференцијабилна по вредноста на променливата.
Тогаш сложената (композитна) функција е диференцијабилна во точката x и нејзиниот извод се одредува со формулата:
(1)
.
Формулата (1) може да се запише и на следниов начин:
;
.
Доказ
Да ја воведеме следната нотација.
;
.
Овде постои функција на променливите и , постои функција на променливите и . Но, ќе ги испуштиме аргументите на овие функции за да не ги натрупуваме пресметките.
Бидејќи функциите и се диференцијабилни во точките x и , соодветно, тогаш во овие точки постојат изводи на овие функции, кои се следните граници:
;
.
Размислете за следнава функција:
.
За фиксна вредност на променливата u, е функција од . Очигледно е дека
.
Потоа
.
Бидејќи функцијата е диференцијабилна функција во точката, таа е континуирана во таа точка. Затоа
.
Потоа
.
Сега го наоѓаме дериватот.
.
Формулата е докажана.
Последица
Ако функција од променлива x може да се претстави како сложена функција од сложена функција
,
тогаш неговиот дериват се одредува со формулата
.
Еве , и има некои диференцијабилни функции.
За да ја докажеме оваа формула, последователно го пресметуваме изводот користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција.
Размислете за сложената функција
.
Неговиот дериват
.
Размислете за оригиналната функција
.
Неговиот дериват
.
Извод на сложена функција од две променливи
Сега нека комплексната функција зависи од неколку променливи. Прво да погледнеме случај на сложена функција од две променливи.
Нека функцијата во зависност од променливата x биде претставена како сложена функција од две променливи во следнава форма:
,
Каде
и има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- функција од две променливи, диференцијабилни во точката , . Тогаш комплексната функција е дефинирана во одредено соседство на точката и има извод, кој се одредува со формулата:
(2)
.
Доказ
Бидејќи функциите и се диференцијабилни во точката, тие се дефинирани во одредено соседство на оваа точка, се континуирани во точката, а нивните изводи постојат во точката, што се следните граници:
;
.
Еве
;
.
Поради континуитетот на овие функции во една точка, имаме:
;
.
Бидејќи функцијата е диференцијабилна во точката, таа е дефинирана во одредено соседство на оваа точка, е континуирана во оваа точка, а нејзиното зголемување може да се запише во следната форма:
(3)
.
Еве
- зголемување на функцијата кога нејзините аргументи се зголемуваат со вредности и ;
;
- парцијални изводи на функцијата во однос на променливите и .
За фиксни вредности на и и се функции на променливите и . Тие имаат тенденција на нула на и:
;
.
Оттогаш и тогаш
;
.
Зголемување на функцијата:
.
:
.
Да го замениме (3):
.
Формулата е докажана.
Извод на сложена функција од неколку променливи
Горенаведениот заклучок лесно може да се генерализира во случај кога бројот на променливи на сложена функција е повеќе од две.
На пример, ако f е функција од три променливи, Тоа
,
Каде
, и има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- диференцијабилна функција од три променливи во точка , , .
Потоа, од дефиницијата за диференцијабилност на функцијата, имаме:
(4)
.
Бидејќи, поради континуитет,
;
;
,
Тоа
;
;
.
Поделувајќи го (4) со и преминувајќи до границата, добиваме:
.
И, конечно, да размислиме најопшт случај.
Нека функција од променлива x е претставена како сложена функција од n променливи во следнава форма:
,
Каде
има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- диференцијабилна функција на n променливи во точка
,
,
... , .
Потоа
.
