дома > Поправка и декорација > Правилна четириаголна пирамида. Пирамида. Скратена пирамида


Правилна четириаголна пирамида. Пирамида. Скратена пирамида




Овој видео туторијал ќе им помогне на корисниците да добијат идеја за темата Пирамида. Правилна пирамида. Во оваа лекција ќе се запознаеме со концептот на пирамида и ќе му дадеме дефиниција. Ајде да размислиме што е редовна пирамида и какви својства има. Потоа ја докажуваме теоремата на страничната површина редовна пирамида.

Во оваа лекција ќе се запознаеме со концептот на пирамида и ќе му дадеме дефиниција.

Размислете за многуаголник А 1 А 2...А n, која лежи во α рамнината и точката П, кој не лежи во α рамнината (сл. 1). Ајде да ги поврземе точките Псо врвови А 1, А 2, А 3, … А n. Добиваме nтриаголници: А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Ри така натаму.

Дефиниција. Полиедар RA 1 A 2 ...A n, составена од n- квадрат А 1 А 2...А nИ nтриаголници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 се вика n- јагленова пирамида. Ориз. 1.

Ориз. 1

Размислете за четириаголна пирамида PABCD(сл. 2).

Р- врвот на пирамидата.

А БЕ ЦЕ ДЕ- основата на пирамидата.

РА- странично ребро.

АБ- основно ребро.

Од точка Рда ја испуштиме нормалната RNдо основната рамнина А БЕ ЦЕ ДЕ. Исцртано нормално е висината на пирамидата.

Ориз. 2

Целосната површина на пирамидата се состои од страничната површина, односно областа на сите странични лица и областа на основата:

S целосна = S страна + S главна

Пирамидата се нарекува правилна ако:

  • неговата основа е правилен многуаголник;
  • сегментот што го поврзува врвот на пирамидата со центарот на основата е неговата висина.

Објаснување со пример на правилна четириаголна пирамида

Размислете за редовна четириаголна пирамида PABCD(сл. 3).

Р- врвот на пирамидата. Основата на пирамидата А БЕ ЦЕ ДЕ- правилен четириаголник, односно квадрат. Точка ЗА, точката на пресек на дијагоналите, е центарот на квадратот. Средства, ROе висината на пирамидата.

Ориз. 3

Објаснување: во точно nВо триаголник, центарот на впишаниот круг и центарот на кружниот круг се совпаѓаат. Овој центар се нарекува центар на многуаголникот. Понекогаш велат дека темето е проектирано во центарот.

Висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од нејзиното теме се нарекува апотемаи е назначен ч а.

1. сите странични рабови на правилна пирамида се еднакви;

2. Страните страни се еднакви рамнокраки триаголници.

Ќе дадеме доказ за овие својства користејќи го примерот на правилна четириаголна пирамида.

Со оглед на: PABCD- точно четириаголна пирамида,

А БЕ ЦЕ ДЕ- квадрат,

RO- висина на пирамидата.

Доказ:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Види Сл. 4.

Ориз. 4

Доказ.

RO- висина на пирамидата. Тоа е, директно ROнормално на рамнината ABC, а со тоа и директно АД, ВО, СОИ НАПРАВИлежи во него. Значи триаголници ROA, ROV, ROS, ROD- правоаголна.

Размислете за квадрат А БЕ ЦЕ ДЕ. Од својствата на квадрат произлегува дека AO = VO = CO = НАПРАВИ.

Потоа правоаголните триаголници ROA, ROV, ROS, RODнога RO- општи и нозе АД, ВО, СОИ НАПРАВИсе еднакви, што значи дека овие триаголници се еднакви на две страни. Од еднаквоста на триаголниците следува еднаквост на отсечки, RA = PB = RS = PD.Точката 1 е докажана.

Сегменти АБИ Сонцетосе еднакви бидејќи се страни на ист квадрат, RA = PB = RS. Значи триаголници AVRИ VSR -рамнокрак и еднаков на три страни.

На сличен начин ги наоѓаме тие триаголници ABP, VCP, CDP, DAPсе рамнокраки и еднакви, како што се бара да се докаже во став 2.

Површината на страничната површина на правилната пирамида е еднаква на половина од производот од периметарот на основата и апотемата:

За да го докажеме ова, да избереме редовна триаголна пирамида.

Со оглед на: RAVS- правилна триаголна пирамида.

AB = BC = AC.

RO- висина.

Доказ: . Види Сл. 5.

Ориз. 5

Доказ.

RAVS- правилна триаголна пирамида. Тоа е АБ= AC = п.н.е. Нека ЗА- центар на триаголникот ABC, Потоа ROе висината на пирамидата. Во основата на пирамидата лежи рамностран триаголник ABC. забележи, тоа .

Триаголници RAV, RVS, RSA- еднакви рамнокраки триаголници (по својство). Триаголна пирамида има три странични страни: RAV, RVS, RSA. Ова значи дека површината на страничната површина на пирамидата е:

S страна = 3S RAW

Теоремата е докажана.

Радиусот на кругот впишан во основата на правилна четириаголна пирамида е 3 m, висината на пирамидата е 4 m. Најдете ја областа на страничната површина на пирамидата.

Со оглед на: правилна четириаголна пирамида А БЕ ЦЕ ДЕ,

А БЕ ЦЕ ДЕ- квадрат,

р= 3 m,

RO- висина на пирамидата,

RO= 4 m.

Најдете: S страна. Види Сл. 6.

Ориз. 6

Решение.

Според докажаната теорема,.

Ајде прво да ја најдеме страната на основата АБ. Знаеме дека радиусот на кругот впишан во основата на правилна четириаголна пирамида е 3 m.

Потоа, м.

Најдете го периметарот на квадратот А БЕ ЦЕ ДЕсо страна од 6 m:

Размислете за триаголник BCD. Нека М- средината на страната DC. Бидејќи ЗА- средината БД, Тоа (м).

Тријаголник DPC- рамнокрак. М- средината DC. Тоа е, РМ- средна, а со тоа и висината во триаголникот DPC. Потоа РМ- апотема на пирамидата.

RO- висина на пирамидата. Потоа, директно ROнормално на рамнината ABC, а со тоа и директно ОМ, лежејќи во него. Ајде да ја најдеме апотемата РМод правоаголен триаголник ROM.

Сега можеме да ја најдеме страничната површина на пирамидата:

Одговори: 60 м2.

Радиусот на кругот опкружен околу основата на правилна триаголна пирамида е еднаков на m. Страничната површина е 18 m 2. Најдете ја должината на апотемата.

Со оглед на: ABCP- правилна триаголна пирамида,

AB = BC = SA,

Р= m,

S страна = 18 m2.

Најдете: . Види Сл. 7.

Ориз. 7

Решение.

Во правоаголен триаголник ABCДаден е радиусот на ограничениот круг. Ајде да најдеме страна АБовој триаголник користејќи ја теоремата на синусите.

Знаејќи ја страната на правилен триаголник (m), го наоѓаме неговиот периметар.

Според теоремата на страничната површина на правилна пирамида, каде ч а- апотема на пирамидата. Потоа:

Одговори: 4 m.

Значи, погледнавме што е пирамида, што е правилна пирамида и ја докажавме теоремата за страничната површина на правилна пирамида. Во следната лекција ќе се запознаеме со пресечената пирамида.

Библиографија

  1. Геометрија. Одделение 10-11: учебник за ученици од општообразовни институции (основни и нивоа на профили) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5. изд., рев. и дополнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 стр.: илуст.
  2. Геометрија. 10-11 одделение: Учебник за општо образование образовните институции/ Шаригин И.Ф. - М.: Бустард, 1999. - 208 стр.
  3. Геометрија. Одделение 10: Учебник за општообразовни институции со продлабочено и специјализирано изучување по математика /E. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - М.: Бустард, 008. - 233 стр.: илуст.
  1. Интернет портал „Јаклас“ ()
  2. Интернет порталот „Фестивал педагошки идеи„Први септември“ ()
  3. Интернет портал „Slideshare.net“ ()

Домашна работа

  1. Дали правилен многуаголник може да биде основа на неправилна пирамида?
  2. Докажете дека разделените рабови на правилна пирамида се нормални.
  3. Најдете ја вредноста на диедралниот агол на страната на основата на правилна четириаголна пирамида ако апотемата на пирамидата е еднаква на страната на нејзината основа.
  4. RAVS- правилна триаголна пирамида. Конструирај го линеарниот агол на диедралниот агол во основата на пирамидата.

Пирамида. Скратена пирамида

Пирамидае полиедар, чие едно лице е многуаголник ( база ), а сите други лица се триаголници со заедничко теме ( странични лица ) (сл. 15). Пирамидата се нарекува точно , ако неговата основа е правилен многуаголник и врвот на пирамидата е проектиран во центарот на основата (сл. 16). Се нарекува триаголна пирамида со сите рабови еднакви тетраедар .



Странично реброна пирамидата е страната на страничното лице што не припаѓа на основата Висина пирамида е растојанието од нејзиниот врв до рамнината на основата. Сите странични рабови на правилната пирамида се еднакви еден на друг, сите странични лица се еднакви рамнокраки триаголници. Висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од темето се нарекува апотема . Дијагонален пресек се нарекува дел од пирамидата со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице.

Странична површинапирамидата е збир на површините на сите странични лица. Површина целосна површина се нарекува збир на плоштините на сите странични страни и основата.

Теореми

1. Ако во пирамидата сите странични рабови се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш врвот на пирамидата се проектира во центарот на кругот опкружен во близина на основата.

2. Ако во пирамида сите странични рабови имаат еднакви должини, тогаш врвот на пирамидата е проектиран во центарот на кругот опкружен во близина на основата.

3. Ако сите лица во пирамидата се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш врвот на пирамидата се проектира во центарот на кругот впишан во основата.

За да се пресмета волуменот на произволна пирамида, точната формула е:

Каде В- волумен;

S база– основна површина;

Х– висина на пирамидата.

За редовна пирамида, следните формули се точни:

Каде стр– периметар на основата;

ч а– апотема;

Х- висина;

С полни

S страна

S база– основна површина;

В– волумен на правилна пирамида.

Скратена пирамиданаречен дел од пирамидата затворен помеѓу основата и рамнината за сечење, паралелно со основатапирамиди (сл. 17). Редовна скратена пирамида наречен дел од правилна пирамида затворена помеѓу основата и рамнината за сечење паралелна со основата на пирамидата.

Основискратена пирамида - слични многуаголници. Странични лица – трапезоиди. Висина на скратена пирамида е растојанието помеѓу нејзините основи. Дијагонала скратена пирамида е сегмент што ги поврзува нејзините темиња кои не лежат на истото лице. Дијагонален пресек е дел од скратена пирамида со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице.


За скратена пирамида важат следните формули:

(4)

Каде С 1 , С 2 – области на горните и долните основи;

С полни– вкупна површина;

S страна– странична површина;

Х- висина;

В– волумен на скратена пирамида.

За редовна скратена пирамида формулата е точна:

Каде стр 1 , стр 2 – периметри на основите;

ч а– апотема на правилна скратена пирамида.

Пример 1.Во правилна триаголна пирамида, диедралниот агол на основата е 60º. Најдете ја тангентата на аголот на наклон на страничниот раб до рамнината на основата.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 18).


Пирамидата е правилна, што значи дека во основата има рамностран триаголник и сите странични страни се еднакви рамнокраки триаголници. Диедралниот агол на основата е аголот на наклон на страничното лице на пирамидата до рамнината на основата. Линеарен аголќе има агол амеѓу две нормални: итн. Врвот на пирамидата е проектиран во центарот на триаголникот (центарот на кружниот круг и впишаниот круг на триаголникот ABC). Аголот на наклон на страничниот раб (на пример С.Б.) е аголот помеѓу самиот раб и неговата проекција на рамнината на основата. За реброто С.Б.овој агол ќе биде аголот SBD. За да ја пронајдете тангентата, треба да ги знаете нозете ПАИ О.Б.. Нека должината на сегментот БДеднакво на 3 А. Точка ЗАлиниски сегмент БДсе дели на делови: и Од наоѓаме ПА: Од наоѓаме:

Одговор:

Пример 2.Најдете го волуменот на правилна скратена четириаголна пирамида ако дијагоналите на нејзините основи се еднакви на cm и cm, а нејзината висина е 4 cm.

Решение.За да го пронајдеме волуменот на скратена пирамида, ја користиме формулата (4). За да ја пронајдете областа на основите, треба да ги пронајдете страните на основните квадрати, знаејќи ги нивните дијагонали. Страните на основите се еднакви на 2 cm и 8 cm, соодветно.

Одговор: 112 см 3.

Пример 3.Најдете ја областа на страничното лице на правилна триаголна скратена пирамида, чии страни на основите се 10 cm и 4 cm, а висината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 19).


Страничната страна на оваа пирамида е рамнокрак трапез. За да ја пресметате површината на трапезот, треба да ја знаете основата и висината. Основите се дадени според условот, останува непозната само висината. Ќе ја најдеме од каде А 1 Енормално од точка А 1 на рамнината на долната основа, А 1 Д– нормално од А 1 на AC. А 1 Е= 2 cm, бидејќи ова е висината на пирамидата. Да најде ДЕАјде да направиме дополнителен цртеж што го прикажува горниот приказ (сл. 20). Точка ЗА– проекција на центрите на горните и долните основи. бидејќи (види Сл. 20) и Од друга страна добро– радиус впишан во кругот и ОМ- радиус впишан во круг:

МК = ДЕ.

Според Питагоровата теорема од

Областа на странично лице:


Одговор:

Пример 4.Во основата на пирамидата лежи рамнокрак трапез, чии основи АИ б (а> б). Секое странично лице формира агол еднаков на рамнината на основата на пирамидата ј. Најдете ја вкупната површина на пирамидата.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 21). Вкупна површина на пирамидата SABCDеднаков на збирот на површините и површината на трапезоидот А БЕ ЦЕ ДЕ.

Да ја искористиме изјавата дека ако сите лица на пирамидата се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш темето се проектира во центарот на кругот впишан во основата. Точка ЗА– теме проекција Сво основата на пирамидата. Тријаголник СОДе ортогоналната проекција на триаголникот ЦДХВдо рамнината на основата. Користејќи ја теоремата за плоштината на ортогоналната проекција на рамна фигура, добиваме:


Исто така значи Така, проблемот се сведе на пронаоѓање на областа на трапезоидот А БЕ ЦЕ ДЕ. Ајде да нацртаме трапез А БЕ ЦЕ ДЕодделно (сл. 22). Точка ЗА– центар на круг впишан во трапез.


Бидејќи кругот може да биде впишан во трапез, тогаш или Од Питагоровата теорема имаме

Видео туторијал 2: Проблем со пирамидата. Волуменот на пирамидата

Видео туторијал 3: Проблем со пирамидата. Правилна пирамида

Предавање: Пирамидата, нејзината основа, страничните ребра, висината, странична површина; триаголна пирамида; редовна пирамида

Пирамида, нејзините својства

Пирамидае тродимензионално тело кое има многуаголник во основата, а сите негови лица се состојат од триаголници.

Посебен случај на пирамида е конус со круг во основата.


Ајде да ги погледнеме главните елементи на пирамидата:


Апотема- ова е сегмент што го поврзува врвот на пирамидата со средината на долниот раб на страничното лице. Со други зборови, ова е висината на работ на пирамидата.


На сликата можете да ги видите триаголниците ADS, ABS, BCS, CDS. Ако внимателно ги погледнете имињата, можете да видите дека секој триаголник има една заедничка буква во своето име - S. Тоа значи дека сите странични лица (триаголници) се спојуваат во една точка, што се нарекува врв на пирамидата. .


Сегментот ОС што го поврзува темето со точката на пресек на дијагоналите на основата (во случај на триаголници - во точката на пресек на висините) се нарекува висина на пирамидата.


Дијагонален пресек е рамнина што минува низ врвот на пирамидата, како и една од дијагоналите на основата.


Бидејќи страничната површина на пирамидата се состои од триаголници, за да се најде вкупната површина на страничната површина, неопходно е да се најде плоштината на секое лице и да се соберат. Бројот и обликот на лицата зависи од обликот и големината на страните на многуаголникот што лежи во основата.


Се нарекува единствената рамнина во пирамидата што не припаѓа на нејзиното теме основапирамиди.

На сликата гледаме дека основата е паралелограм, но може да биде кој било произволен многуаголник.

Својства:


Размислете за првиот случај на пирамида, во која има рабови со иста должина:

  • Околу основата на таквата пирамида може да се нацрта круг. Ако го проектирате врвот на таквата пирамида, тогаш нејзината проекција ќе се наоѓа во центарот на кругот.
  • Аглите на основата на пирамидата се исти на секое лице.
  • Во овој случај, доволен услов е да може да се опише круг околу основата на пирамидата, а исто така можеме да претпоставиме дека сите рабови различни должини, можеме да разгледаме еднакви агли помеѓу основата и секој раб на лицата.

Ако наидете на пирамида во која аглите помеѓу страничните страни и основата се еднакви, тогаш следниве својства се вистинити:

  • Ќе можете да опишете круг околу основата на пирамидата, чиј врв е проектиран точно во центарот.
  • Ако го нацртате секој страничен раб на висината до основата, тогаш тие ќе бидат со еднаква должина.
  • За да ја пронајдете страничната површина на таквата пирамида, доволно е да го пронајдете периметарот на основата и да го помножите за половина од должината на висината.
  • S bp = 0,5P oc H.
  • Видови пирамиди.
  • Во зависност од тоа кој многуаголник лежи во основата на пирамидата, тие можат да бидат триаголни, четириаголни итн. Ако во основата на пирамидата има правилен многуаголник (со еднакви страни), тогаш таквата пирамида ќе се нарекува правилна.

Правилна триаголна пирамида

Продолжуваме да ги разгледуваме задачите вклучени во Единствениот државен испит по математика. Веќе ги проучувавме проблемите каде условот е даден и се бара да се најде растојанието помеѓу две дадени точки или агол.

Пирамидата е полиедар, чија основа е многуаголник, преостанатите лица се триаголници и имаат заедничко теме.

Правилна пирамида е пирамида во чија основа лежи правилен многуаголник, а нејзиното теме е проектирано во центарот на основата.

Правилна четириаголна пирамида - основата е квадрат Врвот на пирамидата е проектиран на местото на пресекот на дијагоналите на основата (квадрат).


МЛ - апотема
∠MLO - диедрален агол на основата на пирамидата
∠MCO - агол помеѓу страничниот раб и рамнината на основата на пирамидата

Во оваа статија ќе ги разгледаме проблемите за решавање на редовна пирамида. Треба да најдете некој елемент, странична површина, волумен, висина. Се разбира, треба да ја знаете Питагоровата теорема, формулата за површината на страничната површина на пирамидата и формулата за наоѓање на волуменот на пирамидата.

Во статијата „“ ги прикажува формулите кои се неопходни за решавање на проблеми во стереометријата. Значи, задачите:

SABCDточка О- центарот на основата,Стеме, ПА = 51, А.Ц.= 136. Најдете го страничниот рабС.Ц..

ВО во овој случајосновата е квадрат. Тоа значи дека дијагоналите AC и BD се еднакви, се сечат и се пресечени со пресечната точка. Имајте на ум дека во правилна пирамида висината падната од нејзиниот врв поминува низ центарот на основата на пирамидата. Значи SO е висината и триаголникотСПЦправоаголна. Потоа според Питагоровата теорема:

Како да се извлече коренот од голем број.

Одговор: 85

Одлучете сами:

Во редовна четириаголна пирамида SABCDточка О- центарот на основата, Стеме, ПА = 4, А.Ц.= 6. Најдете го страничниот раб С.Ц..

Во редовна четириаголна пирамида SABCDточка О- центарот на основата, Стеме, С.Ц. = 5, А.Ц.= 6. Најдете ја должината на отсечката ПА.

Во редовна четириаголна пирамида SABCDточка О- центарот на основата, Стеме, ПА = 4, С.Ц.= 5. Најдете ја должината на отсечката А.Ц..

SABC Р- средината на реброто п.н.е., С- врв. Познато е дека АБ= 7, а С.Р.= 16. Најдете ја страничната површина.

Површината на страничната површина на правилна триаголна пирамида е еднаква на половина од производот на периметарот на основата и апотемата (апотема е висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од нејзиното теме):

Или можеме да го кажеме ова: површината на страничната површина на пирамидата е еднаква на збирот три квадратистранични рабови. Страничните лица во правилна триаголна пирамида се триаголници со еднаква површина. Во овој случај:

Одговор: 168

Одлучете сами:

Во редовна триаголна пирамида SABC Р- средината на реброто п.н.е., С- врв. Познато е дека АБ= 1, а С.Р.= 2. Најдете ја страничната површина.

Во редовна триаголна пирамида SABC Р- средината на реброто п.н.е., С- врв. Познато е дека АБ= 1, а површината на страничната површина е 3. Најдете ја должината на сегментот С.Р..

Во редовна триаголна пирамида SABC Л- средината на реброто п.н.е., С- врв. Познато е дека SL= 2, а површината на страничната површина е 3. Најдете ја должината на сегментот АБ.

Во редовна триаголна пирамида SABC М. Плоштина на триаголник ABCе 25, волуменот на пирамидата е 100. Најдете ја должината на отсечката ГОСПОЃИЦА.

Основата на пирамидата е рамностран триаголник. Затоа Ме центарот на основата, иГОСПОЃИЦА- висина на правилна пирамидаSABC. Волуменот на пирамидата SABCеднакво на: поглед решение

Во редовна триаголна пирамида SABCмедијаните на основата се сечат во точката М. Плоштина на триаголник ABCе еднакво на 3, ГОСПОЃИЦА= 1. Најдете го волуменот на пирамидата.

Во редовна триаголна пирамида SABCмедијаните на основата се сечат во точката М. Волуменот на пирамидата е 1, ГОСПОЃИЦА= 1. Најдете ја плоштината на триаголникот ABC.

Ајде да завршиме овде. Како што можете да видите, проблемите се решаваат во еден или два чекори. Во иднина ќе разгледаме и други проблеми од овој дел, каде се даваат тела на револуцијата, не пропуштајте!

Ти посакувам успех!

Со почит, Александар Крутицких.

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.


Дефиниција. Страничен раб- ова е триаголник во кој еден агол лежи на врвот на пирамидата, а спротивната страна се совпаѓа со страната на основата (многуаголник).

Дефиниција. Странични ребра- ова се заедничките страни на страничните лица. Пирамидата има рабови колку и аглите на многуаголникот.

Дефиниција. Висина на пирамидата- ова е нормална спуштена од врвот до основата на пирамидата.

Дефиниција. Апотема- ова е нормално на страничното лице на пирамидата, спуштено од врвот на пирамидата до страната на основата.

Дефиниција. Дијагонален пресек- ова е дел од пирамидата со рамнина што минува низ врвот на пирамидата и дијагоналата на основата.

Дефиниција. Правилна пирамидае пирамида во која основата е правилен многуаголник, а висината се спушта до центарот на основата.


Волумен и површина на пирамидата

Формула. Волумен на пирамидатапреку основната површина и висина:


Својства на пирамидата

Ако сите странични рабови се еднакви, тогаш може да се нацрта круг околу основата на пирамидата, а центарот на основата се совпаѓа со центарот на кругот. Исто така, нормален паднат од врвот поминува низ центарот на основата (круг).

Ако сите странични рабови се еднакви, тогаш тие се наклонети кон рамнината на основата под исти агли.

Страничните ребра се еднакви кога се формираат со рамнината на основата еднакви аглиили ако може да се опише круг околу основата на пирамидата.

Ако страничните лица се наклонети кон рамнината на основата под ист агол, тогаш во основата на пирамидата може да се впише круг, а врвот на пирамидата се проектира во нејзиниот центар.

Ако страничните лица се наклонети кон рамнината на основата под ист агол, тогаш апотемите на страничните лица се еднакви.


Својства на правилна пирамида

1. Врвот на пирамидата е подеднакво оддалечен од сите агли на основата.

2. Сите странични рабови се еднакви.

3. Сите странични ребра се наклонети под еднакви агли на основата.

4. Апотемите на сите странични лица се еднакви.

5. Површините на сите странични лица се еднакви.

6. Сите лица имаат исти диедрални (рамни) агли.

7. Околу пирамидата може да се опише сфера. Центарот на ограничената сфера ќе биде пресечната точка на перпендикуларите што минуваат низ средината на рабовите.

8. Можете да вклопите сфера во пирамида. Центарот на впишаната сфера ќе биде точката на пресек на симетралите што произлегуваат од аголот помеѓу работ и основата.

9. Ако центарот на впишаната сфера се совпаѓа со центарот на опишаната сфера, тогаш збирот на аглите на рамнината на темето е еднаков на π или обратно, еден агол е еднаков на π/n, каде што n е бројот на аглите во основата на пирамидата.


Врската помеѓу пирамидата и сферата

Сфера може да се опише околу пирамида кога во основата на пирамидата има полиедар околу кој може да се опише круг (неопходен и доволен услов). Центарот на сферата ќе биде пресечната точка на рамнините што минуваат нормално низ средните точки на страничните рабови на пирамидата.

Секогаш е можно да се опише сфера околу која било триаголна или правилна пирамида.

Сфера може да се впише во пирамида ако симетралните рамнини на внатрешните диедрални агли на пирамидата се сечат во една точка (неопходен и доволен услов). Оваа точка ќе биде центар на сферата.


Поврзување на пирамида со конус

За конус се вели дека е впишан во пирамида ако нивните темиња се совпаѓаат и основата на конусот е впишана во основата на пирамидата.

Конус може да се впише во пирамида ако апотемите на пирамидата се еднакви една со друга.

За конус се вели дека е опкружен околу пирамидата ако нивните темиња се совпаѓаат, а основата на конусот е опкружена околу основата на пирамидата.

Конус може да се опише околу пирамидата ако сите странични рабови на пирамидата се еднакви еден со друг.


Врска помеѓу пирамида и цилиндар

Пирамидата се нарекува впишана во цилиндар ако врвот на пирамидата лежи на една основа од цилиндерот, а основата на пирамидата е впишана во друга основа на цилиндерот.

Цилиндарот може да се опише околу пирамидата ако може да се опише круг околу основата на пирамидата.


Дефиниција. Скратена пирамида (пирамидална призма)е полиедар кој се наоѓа помеѓу основата на пирамидата и рамнината на пресекот паралелна со основата. Така пирамидата има голема основа и помала основа која е слична на поголемата. Страничните лица се трапезоидни.

Дефиниција. Триаголна пирамида (тетраедар)е пирамида во која три лица и основата се произволни триаголници.

Тетраедарот има четири лица и четири темиња и шест рабови, каде што било кои два рабови немаат заеднички темиња, но не се допираат.

Секое теме се состои од три лица и рабови кои се формираат триаголен агол.

Се вика отсечката што го поврзува темето на тетраедар со центарот на спротивната страна медијана на тетраедарот(ГМ).

Бимедијаннаречена отсечка што ги поврзува средните точки на спротивните рабови кои не се допираат (KL).

Сите бимедијани и медијани на тетраедар се сечат во една точка (S). Во овој случај, бимедијаните се поделени на половина, а медијаните се поделени во сооднос 3:1 почнувајќи од врвот.

Дефиниција. Коси пирамидае пирамида во која еден од рабовите формира тап агол (β) со основата.

Дефиниција. Правоаголна пирамида е пирамида во која една од страничните страни е нормална на основата.

Дефиниција. Акутна аголна пирамида- пирамида во која апотемата е повеќе од половина од должината на страната на основата.

Дефиниција. Тапа пирамида- пирамида во која апотемата е помала од половина од должината на страната на основата.

Дефиниција. Регуларен тетраедар- тетраедар во кој сите четири лица се рамнострани триаголници. Тој е еден од петте правилни многуаголници. Во правилен тетраедар, сите диедрални агли (помеѓу лица) и триедарски агли (на темето) се еднакви.

Дефиниција. Правоаголен тетраедарсе нарекува тетраедар во кој има прав агол помеѓу три рабови на врвот (рабовите се нормални). Се формираат три лица правоаголен триаголен агола рабовите се правоаголни триаголници, а основата е произволен триаголник. Апотемата на кое било лице е еднаква на половина од страната на основата на која паѓа апотемата.

Дефиниција. Изохедрален тетраедарнаречен тетраедар чии странични страни се еднакви една на друга, а основата е правилен триаголник. Таквиот тетраедар има лица кои се рамнокрак триаголници.

Дефиниција. Ортоцентричен тетраедарсе нарекува тетраедар во кој сите висини (нормални) кои се спуштени од врвот до спротивната страна се сечат во една точка.

Дефиниција. Ѕвездена пирамидаПолиедар чија основа е ѕвезда се нарекува.

Дефиниција. Бипирамида- полиедар кој се состои од две различни пирамиди (пирамидите исто така може да се отсечат) со заедничка основа, а темињата лежат на спротивните страни од основната рамнина.