Најдете ја најголемата и најмалата вредност. Најголемата и најмалата вредност на функцијата. Задача Б15 (2014)
Најголемата (најмалата) вредност на функцијата е најголемата (најмалата) прифатена вредност на ординатата на разгледуваниот интервал.
За да ја пронајдете најголемата или најмалата вредност на функцијата, треба:
- Проверете кои неподвижни точки се вклучени во даден сегмент.
- Пресметајте ја вредноста на функцијата на краевите на отсечката и во неподвижните точки од чекор 3
- Изберете ја најголемата или најмалата вредност од добиените резултати.
За да ги најдете максималните или минималните поени, потребно е:
- Најдете го изводот на функцијата $f"(x)$
- Најдете стационарни точки со решавање на равенката $f"(x)=0$
- Факторирајте го изводот на функцијата.
- Нацртајте координатна линија, поставете стационарни точки на неа и утврдете ги знаците на изводот во добиените интервали, користејќи ја ознаката во чекор 3.
- Најдете ги максималните или минималните поени според правилото: ако во одредена точка изводот се промени знак од плус во минус, тогаш ова ќе биде максималната точка (ако од минус до плус, тогаш ова ќе биде минималната точка). Во пракса, погодно е да се користи сликата на стрелките во интервали: на интервалот каде што дериватот е позитивен, стрелката е нацртана нагоре и обратно.
Табела на деривати на некои елементарни функции:
| Функција | Дериват |
| $c$ | $0$ |
| $ x $ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx $ |
| $cosx $ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(грев^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $грев^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Основни правила на диференцијација
1. Изводот на збирот и разликата е еднаков на изводот на секој член
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Најдете го изводот на функцијата $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Изводот на збирот и разликата е еднаков на изводот на секој член
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+(1)/(x))“=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Дериват на производот.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Најдете го изводот $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Извод на количник
$((f(x))/(g(x))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) ) $
Најдете го изводот $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Дериват комплексна функцијае еднаков на производот од изводот на надворешната функција и изводот на внатрешната функција
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Најдете ја минималната точка на функцијата $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Најдете го ODZ на функцијата: $x+11>0; x> -11 $
2. Најдете го изводот на функцијата $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Најдете стационарни точки со изедначување на изводот на нула
$(2x+21)/(x+11)=0$
Дропката е еднаква на нула ако броителот е нула, а именителот не е нула.
$2x+21=0; x≠-11$
4. Да нацртаме координатна линија, да поставиме стационарни точки на неа и да ги одредиме знаците на изводот во добиените интервали. За да го направите ова, заменете го кој било број од најдесниот регион со изводот, на пример, нула.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Во минималната точка, дериватот го менува знакот од минус во плус, според тоа, точката $-10,5$ е минималната точка.
Одговор: -10,5 $
Најдете ја најголемата вредност на функцијата $y=6x^5-90x^3-5$ на сегментот $[-5;1]$
1. Најдете го изводот на функцијата $y′=30x^4-270x^2$
2. Изедначете го изводот на нула и најдете стационарни точки
$30x^4-270x^2=0$
Да го земеме вкупниот фактор $30x^2$ од заградите
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Ајде да го изедначиме секој фактор со нула
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Изберете стационарни точки што припаѓаат на дадениот сегмент $[-5;1]$
Ни одговараат неподвижните точки $x=0$ и $x=-3$
4. Пресметајте ја вредноста на функцијата на краевите на отсечката и во стационарни точки од чекор 3
Ситна и убава едноставна задачаод категоријата на оние кои служат како спасител за пловечки ученик. Средината на јули е во природа, па време е да се смирите со вашиот лаптоп на плажа. Рано наутро почна да свири сончевиот зрак на теоријата, за набрзо да се фокусира на праксата, која и покрај декларираната леснотија содржи парчиња стакло во песокот. Во овој поглед, препорачувам совесно да ги разгледате неколкуте примери на оваа страница. За да решите практични проблеми мора да бидете способни најдете дериватии разберете го материјалот на статијата Интервали на монотонија и екстреми на функцијата.
Прво, накратко за главната работа. Во лекцијата за континуитет на функцијатаДадов дефиниција за континуитет во точка и континуитет во интервал. Примерното однесување на функцијата на сегмент е формулирано на сличен начин. Функцијата е континуирана во интервал ако:
1) тој е континуиран во интервалот;
2) континуирано во точка деснои во точката лево.
Во вториот пасус зборувавме за т.н едностран континуитетфункционира во точка. Постојат неколку пристапи за негово дефинирање, но јас ќе се задржам на линијата што ја започнав порано:
Функцијата е континуирана во точката десно, ако е дефинирана во дадена точка и нејзината десна граница се совпаѓа со вредноста на функцијата во дадена точка: 
. Во точката е континуирано лево, ако е дефинирано во дадена точка и нејзината граница од левата страна е еднаква на вредноста во оваа точка: 
Замислете дека зелените точки се клинци со волшебна еластична лента закачена на нив:
Ментално земете ја црвената линија во ваши раце. Очигледно, колку и да го истегнеме графикот нагоре и надолу (по оската), функцијата сепак ќе остане ограничен– ограда на врвот, ограда на дното, а нашиот производ пасе во падокот. Така, на неа е ограничена функцијата континуирана на интервал. Во текот на математичката анализа, овој навидум едноставен факт е наведен и строго докажан. Првата теорема на Вајерштрас....Многу луѓе се нервираат што елементарните искази се досадно поткрепени во математиката, но тоа има важно значење. Да претпоставиме дека одреден жител на терискиот среден век извлекол графикон на небото надвор од границите на видливоста, ова е вметната. Пред пронаоѓањето на телескопот, ограничената функција во вселената воопшто не била очигледна! Навистина, како знаеш што не чека на хоризонтот? На крајот на краиштата, Земјата некогаш се сметала за рамна, па денес дури и обичната телепортација бара доказ =)
Според Втората теорема на Вајерштрас, континуирано на сегментфункцијата го достигнува своето точната горна границаи твоја точниот долен раб .
Се повикува и бројот максималната вредност на функцијата на сегментоти се означуваат со , а бројот е минималната вредност на функцијата на сегментотобележан .
Во нашиот случај: 
Забелешка
: во теорија, снимките се вообичаени 
.
Грубо кажано, најголемата вредност е местото каде што е највисоката точка на графикот, а најмалата вредност е местото каде што е најниската точка.
Важно!Како што веќе беше нагласено во написот за крајност на функцијата, најголема вредност на функцијатаИ најмала функционална вредност – НЕ Е ИСТО, Што максимална функцијаИ минимална функција. Значи, во разгледуваниот пример, бројот е минимумот на функцијата, но не и минималната вредност.
Патем, што се случува надвор од сегментот? Да, дури и поплава, во контекст на проблемот што се разгледува, ова воопшто не не интересира. Задачата вклучува само наоѓање два броја 
и тоа е тоа!
Згора на тоа, решението е чисто аналитичко, затоа нема потреба да се прави цртеж!
Алгоритмот лежи на површината и се сугерира од горната слика:
1) Најдете ги вредностите на функцијата во критични точки, кои припаѓаат на овој сегмент.
Фатете уште еден бонус: тука нема потреба да се провери доволната состојба за екстрем, бидејќи, како што беше прикажано, присуството на минимум или максимум уште не гарантира, колкав е минимумот или максимална вредност. Функцијата за демонстрација достигнува максимум и, по волја на судбината, истиот број е најголемата вредност на функцијата на сегментот. Но, се разбира, таква случајност не се случува секогаш.
Значи, во првиот чекор, побрзо и полесно е да се пресметаат вредностите на функцијата во критичните точки кои припаѓаат на сегментот, без да се мачиме дали има екстреми во нив или не.
2) Ги пресметуваме вредностите на функцијата на краевите на сегментот.
3) Меѓу вредностите на функциите пронајдени во 1-ви и 2-ри ставови, изберете ги најмалите и повеќето голем број, запишете го одговорот.
Седнуваме на брегот на синото море и со пети удираме во плитката вода:
Пример 1
Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегмент
Решение:
1) Да ги пресметаме вредностите на функцијата во критичните точки кои припаѓаат на овој сегмент:
Да ја пресметаме вредноста на функцијата во втората критична точка:
2) Да ги пресметаме вредностите на функцијата на краевите на сегментот: 
3) „Задебелени“ резултати се добиени со експоненти и логаритми, што значително ја отежнува нивната споредба. Поради оваа причина, да се вооружиме со калкулатор или Excel и да пресметаме приближни вредности, не заборавајќи дека: 
Сега се е јасно.
Одговори:
Дробна рационална инстанца за независна одлука:
Пример 6
Најдете ги максималните и минималните вредности на функцијата на сегмент
Што е екстрем на функција и кој е неопходен услов за екстрем?
Екстремумот на функцијата е максимумот и минимумот на функцијата.
ПредусловМаксимумот и минимумот (екстремумот) на функцијата се како што следува: ако функцијата f(x) има екстрем во точката x = a, тогаш во оваа точка изводот е или нула, или бесконечен, или не постои.
Оваа состојба е неопходна, но не и доволна. Изводот во точката x = a може да оди на нула, бесконечност или да не постои без функцијата да има екстрем во оваа точка.
Кој е доволен услов за екстремност на функцијата (максимум или минимум)?
Прв услов:
Ако, во доволна близина на точката x = a, изводот f?(x) е позитивен лево од a и негативен десно од a, тогаш во точката x = a функцијата f(x) има максимум
Ако, во доволна близина на точката x = a, изводот f?(x) е негативен лево од a и позитивен десно од a, тогаш во точката x = a функцијата f(x) има минимумпод услов функцијата f(x) овде да е континуирана.
Наместо тоа, можете да го користите вториот доволен услов за екстремноста на функцијата:
Нека во точката x = a исчезне првиот извод f?(x); ако вториот извод f??(a) е негативен, тогаш функцијата f(x) има максимум во точката x = a, ако е позитивен, тогаш има минимум.
Која е критичната точка на функцијата и како да се најде?
Ова е вредноста на функцискиот аргумент на кој функцијата има екстрем (т.е. максимум или минимум). За да го најдете ви треба најдете го изводотфункција f?(x) и, изедначувајќи ја на нула, реши ја равенката f?(x) = 0. Корените на оваа равенка, како и оние точки на кои не постои изводот на оваа функција, се критични точки, т.е. вредности на аргументот во кои може да има екстрем. Тие лесно може да се идентификуваат со гледање деривативен график: ние сме заинтересирани за оние вредности на аргументот кај кои графикот на функцијата ја пресекува оската на апсцисата (оската Ox) и оние на кои графикот претрпува дисконтинуитети.
На пример, ајде да најдеме екстрем на парабола.
Функција y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Извод на функцијата: y?(x) = 6x + 2
Решете ја равенката: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
ВО во овој случајкритичната точка е x0=-1/3. Токму со оваа вредност на аргументот ја има функцијата екстремен. До него најдете, пронајдениот број во изразот заменете го за функцијата наместо „x“:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Како да се одреди максимумот и минимумот на функцијата, т.е. неговите најголеми и најмали вредности?
Ако знакот на изводот при минување низ критичната точка x0 се промени од „плус“ во „минус“, тогаш x0 е максимална точка; ако знакот на изводот се менува од минус во плус, тогаш x0 е минимална точка; ако знакот не се промени, тогаш во точката x0 нема ниту максимум ниту минимум.
За разгледаниот пример:
Земаме произволна вредност на аргументот лево од критичната точка: x = -1
При x = -1, вредноста на изводот ќе биде y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знакот е „минус“).
Сега земаме произволна вредност на аргументот десно од критичната точка: x = 1
При x = 1, вредноста на изводот ќе биде y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакот е „плус“).
Како што можете да видите, дериватот го смени знакот од минус во плус кога минува низ критичната точка. Тоа значи дека кај критичната вредност x0 имаме минимална точка.
Најголема и најмала вредност на функција на интервалот(на сегмент) се пронајдени со истата постапка, само земајќи го предвид фактот дека, можеби, сите критични точки нема да лежат во наведениот интервал. Оние критични точки кои се надвор од интервалот мора да бидат исклучени од разгледување. Ако има само една критична точка во интервалот, таа ќе има или максимум или минимум. Во овој случај, за да ги одредиме најголемите и најмалите вредности на функцијата, ги земаме предвид и вредностите на функцијата на краевите на интервалот.
На пример, да ги најдеме најголемите и најмалите вредности на функцијата
y (x) = 3sin (x) - 0,5x
во интервали:
Значи, изводот на функцијата е
y?(x) = 3cos (x) - 0,5
Ја решаваме равенката 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos (0,16667) + 2πk.
Наоѓаме критични точки на интервалот [-9; 9]:
x = arccos (0,16667) - 2π*2 = -11,163 (не е вклучено во интервалот)
x = -arccos (0,16667) - 2π*1 = -7,687
x = arccos (0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos (0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos (0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos (0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos (0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos (0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не е вклучено во интервалот)
Ги наоѓаме вредностите на функциите на критичните вредности на аргументот:
y (-7,687) = 3cos (-7,687) - 0,5 = 0,885
y (-4,88) = 3cos (-4,88) - 0,5 = 5,398
y (-1,403) = 3cos (-1,403) - 0,5 = -2,256
y (1,403) = 3cos (1,403) - 0,5 = 2,256
y (4,88) = 3cos (4,88) - 0,5 = -5,398
y (7,687) = 3cos (7,687) - 0,5 = -0,885
Се гледа дека на интервалот [-9; 9] функцијата има најголема вредност на x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
а најмалиот - на x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
На интервалот [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Вредноста на функцијата при x = -4,88 е еднаква на y = 5,398.
Најдете ја вредноста на функцијата на краевите на интервалот:
y (-6) = 3cos (-6) - 0,5 = 3,838
y (-3) = 3cos (-3) - 0,5 = 1,077
На интервалот [-6; -3] имаме најголема вредност на функцијата
y = 5,398 при x = -4,88
најмала вредност -
y = 1,077 на x = -3
Како да се најдат точките на флексија на графикот на функции и да се одредат конвексните и конкавните страни?
За да ги најдете сите точки на флексија на правата y = f(x), треба да го пронајдете вториот извод, да го изедначите на нула (решете ја равенката) и да ги тестирате сите оние вредности на x за кои вториот извод е нула, бесконечна или не постои. Ако, кога поминува низ една од овие вредности, вториот извод го промени знакот, тогаш графикот на функцијата има флексија во оваа точка. Ако не се промени, тогаш нема кривина.
Корените на равенката f? (x) = 0, како и можните точки на дисконтинуитет на функцијата и вториот извод, го делат доменот на дефинирање на функцијата на голем број интервали. Конвексноста на секој од нивните интервали се одредува со знакот на вториот дериват. Ако вториот извод во точка од испитуваниот интервал е позитивен, тогаш правата y = f(x) е конкавна нагоре, а ако е негативна, тогаш надолу.
Како да се најде екстремите на функција од две променливи?
За да ги пронајдете екстремите на функцијата f(x,y), диференцијабилна во доменот на нејзината спецификација, потребно е:
1) најдете ги критичните точки и за ова - решете го системот на равенки
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) за секоја критична точка P0(a;b) испита дали знакот на разликата останува непроменет
за сите точки (x;y) доволно блиску до P0. Ако разликата остане позитивен знак, тогаш во точката P0 имаме минимум, ако е негативен, тогаш имаме максимум. Ако разликата не го задржи својот знак, тогаш нема екстрем во точката P0.
Слично се одредуваат екстремите на функцијата за повеќеаргументи.
Нека функцијата $z=f(x,y)$ е дефинирана и континуирана во некој ограничен затворен домен $D$. Нека дадената функција во овој регион има конечни парцијални изводи од прв ред (освен, можеби, конечен број точки). За да се најдат најголемите и најмалите вредности на функција од две променливи во даден затворен регион, потребни се три чекори од едноставен алгоритам.
Алгоритам за наоѓање на најголемите и најмалите вредности на функцијата $z=f(x,y)$ во затворен домен $D$.
- Најдете ги критичните точки на функцијата $z=f(x,y)$ што припаѓа на доменот $D$. Пресметајте ги вредностите на функциите во критичните точки.
- Истражете го однесувањето на функцијата $z=f(x,y)$ на границата на регионот $D$, наоѓајќи ги точките на можните максимални и минимални вредности. Пресметајте ги вредностите на функциите на добиените точки.
- Од вредностите на функциите добиени во претходните два параграфи, изберете го најголемиот и најмалиот.
Кои се критичните точки? покаже/скриј
Под критични точкиимплицираат точки во кои двата парцијални изводи од прв ред се еднакви на нула (т.е. $\frac(\делумно z)(\делумно x)=0$ и $\frac(\делумно z)(\делумно y)=0 $) или барем еден парцијален извод не постои.
Честопати се повикуваат точките во кои парцијалните изводи од прв ред се еднакви на нула стационарни точки. Така, неподвижните точки се подмножество на критични точки.
Пример бр. 1
Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата $z=x^2+2xy-y^2-4x$ во затворен регион ограничен со линиите $x=3$, $y=0$ и $y=x +1$.
Ќе го следиме горенаведеното, но најпрво ќе се занимаваме со цртање на дадена област, која ќе ја означиме со буквата $D$. Дадени ни се равенки од триправи линии кои ја ограничуваат оваа област. Правата $x=3$ поминува низ точката $(3;0)$ паралелна со оската на ординатите (оска Oy). Правата $y=0$ е равенка на оската на апсцисата (оска Ox). Па, за да ја конструираме правата $y=x+1$, ќе најдеме две точки низ кои ќе ја повлечеме оваа права. Можете, се разбира, да замените неколку произволни вредности наместо $x$. На пример, заменувајќи $x=10$, добиваме: $y=x+1=10+1=11$. Ја најдовме точката $(10;11)$ како лежи на правата $y=x+1$. Сепак, подобро е да се најдат оние точки во кои правата $y=x+1$ ги пресекува правите $x=3$ и $y=0$. Зошто е ова подобро? Затоа што ќе убиеме неколку птици со еден камен: ќе добиеме две точки за да ја конструираме правата линија $y=x+1$ и во исто време да откриеме во кои точки оваа права линија ги пресекува другите линии што ја ограничуваат дадената област. Правата $y=x+1$ ја сече правата $x=3$ во точката $(3;4)$, а правата $y=0$ се сече во точката $(-1;0)$. За да не го натрупувам напредокот на решението со помошни објаснувања, прашањето за добивање на овие две точки ќе го поставам во белешка.
Како се добиени поени $(3;4)$ и $(-1;0)$? покаже/скриј
Да почнеме од пресечната точка на правите $y=x+1$ и $x=3$. Координатите на саканата точка припаѓаат и на првата и на втората права линија, затоа, за да ги пронајдете непознатите координати, треба да го решите системот на равенки:
$$ \лево \( \почеток (порамнет) & y=x+1;\\ & x=3. \крај (порамнет) \десно. $$
Решението за таков систем е тривијално: заменувајќи го $x=3$ во првата равенка ќе имаме: $y=3+1=4$. Точката $(3;4)$ е саканата пресечна точка на линиите $y=x+1$ и $x=3$.
Сега да ја најдеме пресечната точка на линиите $y=x+1$ и $y=0$. Ајде повторно да го составиме и решиме системот на равенки:
$$ \лево \( \почеток (порамнет) & y=x+1;\\ & y=0. \крај (порамнет) \десно. $$
Заменувајќи $y=0$ во првата равенка, добиваме: $0=x+1$, $x=-1$. Точката $(-1;0)$ е саканата пресечна точка на линиите $y=x+1$ и $y=0$ (x-оска).
Сè е подготвено за да се изгради цртеж кој ќе изгледа вака:
Прашањето за белешката изгледа очигледно, бидејќи сè е видливо на сликата. Сепак, вреди да се запамети дека цртежот не може да послужи како доказ. Цртежот е само за илустративни цели.
Нашата област беше дефинирана со помош на равенки на права линија што ја врзуваа. Очигледно, овие линии дефинираат триаголник, нели? Или не е сосема очигледно? Или можеби ни е дадена различна област, ограничена со истите линии:
Се разбира, условот вели дека областа е затворена, така што прикажаната слика е неточна. Но, за да се избегнат такви нејаснотии, подобро е да се дефинираат регионите со нееднаквости. Дали нè интересира делот од рамнината што се наоѓа под права линија $y=x+1$? Во ред, значи $y ≤ x+1$. Дали нашата област треба да се наоѓа над линијата $y=0$? Одлично, тоа значи $y ≥ 0$. Патем, последните две неравенки лесно може да се комбинираат во едно: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \лево \( \почеток (порамнет) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end (порамнет) \десно. $$
Овие нееднаквости го дефинираат регионот $D$ и го дефинираат недвосмислено, без да дозволат никаква двосмисленост. Но, како ова ни помага со прашањето наведено на почетокот на белешката? Ќе помогне и :) Треба да провериме дали точката $M_1(1;1)$ припаѓа на областа $D$. Да ги замениме $x=1$ и $y=1$ во системот на неравенки што го дефинираат овој регион. Ако двете нееднаквости се задоволени, тогаш поентата е внатре во регионот. Ако барем една од нееднаквостите не е задоволена, тогаш точката не припаѓа на регионот. Значи:
$$ \лево \( \почеток (порамнет) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \крај (порамнет) \десно. \;\; \лево \( \почеток (порамнет) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end (порамнет) \десно $$.
И двете нееднаквости се валидни. Точката $M_1(1;1)$ припаѓа на регионот $D$.
Сега е редот да се проучи однесувањето на функцијата на границата на регионот, т.е. ајде да одиме на. Да почнеме со права линија $y=0$.
Правата линија $y=0$ (оска на апсциса) го ограничува регионот $D$ под условот $-1 ≤ x ≤ 3$. Ајде да го замениме $y=0$ во дадена функција$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Функцијата на една променлива $x$ добиена како резултат на замена ја означуваме како $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Сега за функцијата $f_1(x)$ треба да ги најдеме најголемите и најмалите вредности на интервалот $-1 ≤ x ≤ 3$. Да го најдеме изводот на оваа функција и да го изедначиме со нула:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Вредноста $x=2$ припаѓа на сегментот $-1 ≤ x ≤ 3$, така што ќе додадеме и $M_2(2;0)$ на списокот со точки. Дополнително, да ги пресметаме вредностите на функцијата $z$ на краевите на сегментот $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. во точките $M_3(-1;0)$ и $M_4(3;0)$. Патем, ако точката $M_2$ не припаѓаше на сегментот што се разгледува, тогаш, се разбира, нема да има потреба да се пресметува вредноста на функцијата $z$ во неа.
Значи, да ги пресметаме вредностите на функцијата $z$ во точките $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можете, се разбира, да ги замените координатите на овие точки во оригиналниот израз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. На пример, за точката $M_2$ добиваме:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cточка 2\cточка 0-0^2-4\cточка 2=-4.$$
Сепак, пресметките може малку да се поедностават. За да го направите ова, вреди да се запамети дека на сегментот $M_3M_4$ имаме $z(x,y)=f_1(x)$. Ќе го напишам ова подетално:
\почеток(порамнет) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cточка 3=-3. \end (порамнет)
Се разбира, обично нема потреба од толку детални записи, а во иднина накратко ќе ги запишеме сите пресметки:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cточка 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cточка 3=-3.$$
Сега да се свртиме кон права линија $x=3$. Оваа права линија го ограничува регионот $D$ под условот $0 ≤ y ≤ 4$. Да ја замениме $x=3$ во дадената функција $z$. Како резултат на оваа замена ја добиваме функцијата $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
За функцијата $f_2(y)$ треба да ги најдеме најголемите и најмалите вредности на интервалот $0 ≤ y ≤ 4$. Да го најдеме изводот на оваа функција и да го изедначиме со нула:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Вредноста $y=3$ припаѓа на сегментот $0 ≤ y ≤ 4$, така што ќе додадеме и $M_5(3;3)$ на претходно пронајдените точки. Дополнително, потребно е да се пресмета вредноста на функцијата $z$ на точките на краевите на сегментот $0 ≤ y ≤ 4$, т.е. во точките $M_4(3;0)$ и $M_6(3;4)$. Во точката $M_4(3;0)$ веќе ја пресметавме вредноста на $z$. Дозволете ни да ја пресметаме вредноста на функцијата $z$ во точките $M_5$ и $M_6$. Да ве потсетам дека на сегментот $M_4M_6$ имаме $z(x,y)=f_2(y)$, затоа:
\почеток(порамнет) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cточка 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cточка 4-3=5. \end (порамнет)
И, конечно, разгледајте ја последната граница на регионот $D$, т.е. права линија $y=x+1$. Оваа права линија го ограничува регионот $D$ под условот $-1 ≤ x ≤ 3$. Заменувајќи $y=x+1$ во функцијата $z$, ќе имаме:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Уште еднаш имаме функција од една променлива $x$. И повторно треба да ги најдеме најголемите и најмалите вредности на оваа функција на интервалот $-1 ≤ x ≤ 3$. Да го најдеме изводот на функцијата $f_(3)(x)$ и да го изедначиме со нула:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Вредноста $x=1$ припаѓа на интервалот $-1 ≤ x ≤ 3$. Ако $x=1$, тогаш $y=x+1=2$. Ајде да додадеме $M_7(1;2)$ на списокот со точки и да дознаеме која е вредноста на функцијата $z$ во овој момент. Поени на краевите на отсечката $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. точките $M_3(-1;0)$ и $M_6(3;4)$ беа разгледани порано, веќе ја најдовме вредноста на функцијата во нив.
$$z_7=f_3(1)=2\cточка 1^2-4\cточка 1-1=-3.$$
Вториот чекор од решението е завршен. Добивме седум вредности:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Да се свртиме кон. Избирајќи ги најголемите и најмалите вредности од броевите добиени во третиот пасус, ќе имаме:
$$z_(мин)=-4; \; z_(max)=6.$$
Проблемот е решен, останува само да се запише одговорот.
Одговори: $z_(мин)=-4; \; z_(max)=6$.
Пример бр. 2
Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата $z=x^2+y^2-12x+16y$ во регионот $x^2+y^2 ≤ 25$.
Прво, ајде да изградиме цртеж. Равенката $x^2+y^2=25$ (ова е граничната линија на дадена област) дефинира круг со центар на почетокот (т.е. во точката $(0;0)$) и радиус од 5. Неравенката $x^2 +y^2 ≤ $25 ги задоволува сите точки внатре и на споменатата кружница.
Ќе постапиме според. Ајде да најдеме парцијални деривати и да ги дознаеме критичните точки.
$$ \frac(\делумно z)(\делумно x)=2x-12; \frac(\делумно z)(\делумно y)=2y+16. $$
Нема точки во кои не постојат пронајдените парцијални деривати. Дозволете ни да откриеме во кои точки двата парцијални изводи се истовремено еднакви на нула, т.е. ајде да најдеме неподвижни точки.
$$ \лево \( \почеток (порамнет) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end (порамнет) \десно. \;\; \лево \( \почеток (порамнет) & x =6;\\ & y=-8 \end(порамнет) \десно $$.
Добивме стационарна точка $(6;-8)$. Сепак, пронајдената точка не припаѓа на регионот $D$. Ова е лесно да се покаже без дури и да се прибегне кон цртање. Ајде да провериме дали важи неравенката $x^2+y^2 ≤ 25$, што го дефинира нашиот регион $D$. Ако $x=6$, $y=-8$, тогаш $x^2+y^2=36+64=100$, т.е. не важи неравенката $x^2+y^2 ≤ 25$. Заклучок: точката $(6;-8)$ не припаѓа на областа $D$.
Значи, нема критични точки во регионот $D$. Ајде да продолжиме на... Треба да го проучуваме однесувањето на функцијата на граница на даден регион, т.е. на кругот $x^2+y^2=25$. Можеме, се разбира, да го изразиме $y$ во однос на $x$, а потоа да го замениме добиениот израз во нашата функција $z$. Од равенката на круг добиваме: $y=\sqrt(25-x^2)$ или $y=-\sqrt(25-x^2)$. Заменувајќи го, на пример, $y=\sqrt(25-x^2)$ во дадената функција, ќе имаме:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$
Понатамошното решение ќе биде целосно идентично со проучувањето на однесувањето на функцијата на границата на регионот во претходниот пример бр.1. Сепак, ми се чини поразумно да се примени методот Лагранж во оваа ситуација. Ќе нè интересира само првиот дел од овој метод. По примената на првиот дел од методот Лагранж, ќе добиеме точки на кои ќе ја испитаме функцијата $z$ за минимални и максимални вредности.
Ја составуваме функцијата Лагранж:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Ги наоѓаме парцијалните изводи на функцијата Лагранж и го составуваме соодветниот систем на равенки:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \лево \( \почеток (порамнети) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \лево \( \почеток (порамнет) & x+\ламбда x=6;\\ & y+\ламбда y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \крај (порамнет)\десно.$ $
За да го решиме овој систем, веднаш да истакнеме дека $\lambda\neq -1$. Зошто $\lambda\neq -1$? Ајде да се обидеме да го замениме $\lambda=-1$ во првата равенка:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Резултирачката контрадикција $0=6$ покажува дека вредноста $\lambda=-1$ е неприфатлива. Излез: $\lambda\neq -1$. Да ги изразиме $x$ и $y$ во однос на $\lambda$:
\почеток(порамнет) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ламбда)=6;\; x=\frac(6)(1+\ламбда). \\ & y+\ламбда y=-8;\; y(1+\ламбда)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\ламбда). \end (порамнет)
Верувам дека овде станува очигледно зошто конкретно го наведовме условот $\lambda\neq -1$. Ова беше направено за да се вклопи изразот $1+\lambda$ во именителот без пречки. Односно, да бидете сигурни дека именителот $1+\lambda\neq 0$.
Дозволете ни да ги замениме добиените изрази за $x$ и $y$ во третата равенка на системот, т.е. во $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \десно)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \десно)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\ламбда)^2)+\frac(64)((1+\ламбда)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\ламбда)^2)=25 ; \; (1+\ламбда)^2=4. $$
Од добиената еднаквост следува дека $1+\lambda=2$ или $1+\lambda=-2$. Оттука имаме две вредности на параметарот $\lambda$, имено: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Според тоа, добиваме два пара вредности $x$ и $y$:
\begin(порамнет) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (порамнет)
Значи, добивме две точки на можен условен екстрем, т.е. $M_1(3;-4)$ и $M_2(-3;4)$. Ајде да ги најдеме вредностите на функцијата $z$ во точките $M_1$ и $M_2$:
\почеток(порамнет) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cточка 3+16\cточка (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (порамнет)
Треба да ги избереме најголемите и најмалите вредности од оние што ги добивме во првиот и вториот чекор. Но, во овој случај изборот е мал :) Имаме:
$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$
Одговори: $z_(мин)=-75; \; z_(max) = $125.
