дома > Завеси > Корени на природниот степен на својствата на радикалите. Моќ функција и корени - дефиниција, својства и формули


Корени на природниот степен на својствата на радикалите. Моќ функција и корени - дефиниција, својства и формули




Во оваа статија ќе воведеме концепт на корен од број. Ќе продолжиме последователно: ќе започнеме со квадратниот корен, од таму ќе преминеме на описот на кубниот корен, по што ќе го генерализираме концептот на корен, дефинирајќи го n-тиот корен. Истовремено ќе воведеме дефиниции, ознаки, ќе даваме примери на корени и ќе ги дадеме потребните објаснувања и коментари.

Квадратен корен, аритметички квадратен корен

За да ја разберете дефиницијата за коренот на број, а особено за квадратниот корен, треба да имате . Во овој момент често ќе се сретнеме со втората сила на бројот - квадратот на бројот.

Да почнеме со дефиниции од квадратен корен.

Дефиниција

Квадратен корен од ае број чиј квадрат е еднаков на a.

Со цел да се донесе примери квадратни корени , земете неколку броеви, на пример, 5, −0,3, 0,3, 0 и квадрат ги добивате броевите 25, 0,09, 0,09 и 0, соодветно (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 и 0 2 =0·0=0 ). Тогаш, според дефиницијата дадена погоре, бројот 5 е квадратниот корен на бројот 25, броевите -0,3 и 0,3 се квадратните корени од 0,09, а 0 е квадратниот корен на нулата.

Треба да се забележи дека за ниеден број a не постои a чиј квадрат е еднаков на a. Имено, за секој негативен број a не постои реален број b чиј квадрат е еднаков на a. Всушност, еднаквоста a=b 2 е невозможна за секој негативен a, бидејќи b 2 не е негативен бројза било кој б. Така, нема квадратен корен од негативен број на множеството реални броеви. Со други зборови, на множеството реални броеви квадратниот корен на негативен број не е дефиниран и нема значење.

Ова води до логично прашање: „Дали има квадратен корен од a за кое било ненегативно a“? Одговорот е да. Овој факт може да се оправда со конструктивниот метод што се користи за да се најде вредноста на квадратниот корен.

Тогаш се поставува следното логично прашање: „Колкав е бројот на сите квадратни корени на даден ненегативен број a - еден, два, три или уште повеќе“? Еве го одговорот: ако a е нула, тогаш единствениот квадратен корен од нулата е нула; ако a е некој позитивен број, тогаш бројот на квадратните корени на бројот a е два, а корените се . Да го оправдаме ова.

Да почнеме со случајот a=0 . Прво, да покажеме дека нулата е навистина квадратен корен од нула. Ова произлегува од очигледната еднаквост 0 2 =0·0=0 и дефиницијата за квадратен корен.

Сега да докажеме дека 0 е единствениот квадратен корен од нулата. Ајде да го користиме спротивниот метод. Да претпоставиме дека има некој ненулти број b кој е квадратен корен од нула. Тогаш мора да се исполни условот b 2 =0, што е невозможно, бидејќи за која било не-нула b вредноста на изразот b 2 е позитивна. Дојдовме до контрадикторност. Ова докажува дека 0 е единствениот квадратен корен од нулата.

Да преминеме на случаи каде што a е позитивен број. Рековме погоре дека секогаш има квадратен корен од кој било ненегативен број, нека квадратен корен на a е бројот b. Да речеме дека има број c, кој исто така е квадратен корен на a. Тогаш, според дефиницијата за квадратен корен, вистинити се равенствата b 2 =a и c 2 =a, од што произлегува дека b 2 −c 2 =a−a=0, но бидејќи b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , потоа (b−c)·(b+c)=0. Добиената еднаквост е валидна својства на операции со реални броевиможно само кога b−c=0 или b+c=0 . Така, броевите b и c се еднакви или спротивни.

Ако претпоставиме дека има број d, кој е уште еден квадратен корен од бројот a, тогаш со расудување слично на веќе дадените, се докажува дека d е еднаков на бројот b или на бројот c. Значи, бројот на квадратни корени на позитивен броје еднакво на два, при што квадратните корени се спротивни броеви.

За погодност за работа со квадратни корени, негативниот корен е „одделен“ од позитивниот. За таа цел се воведува дефиниција на аритметички квадратен корен.

Дефиниција

Аритметички квадратен корен на ненегативен број aе ненегативен број чиј квадрат е еднаков на a.

Ознаката за аритметичкиот квадратен корен на a е . Знакот се нарекува знак за аритметички квадратен корен. Се нарекува и радикален знак. Затоа, понекогаш можете да слушнете и „корен“ и „радикал“, што значи ист предмет.

Се нарекува бројот под знакот за аритметички квадратен корен радикален број, а изразот под знакот за корен е радикално изразување, додека терминот „радикален број“ често се заменува со „радикален израз“. На пример, во ознаката бројот 151 е радикален број, а во ознаката изразот a е радикален израз.

При читањето, зборот „аритметика“ често се испушта, на пример, записот се чита како „квадратен корен од седум точки дваесет и девет“. Зборот „аритметика“ се користи само кога сакаат да нагласат дека зборуваме конкретно за позитивниот квадратен корен на број.

Во светлината на воведената нотација, од дефиницијата за аритметички квадратен корен произлегува дека за кој било ненегативен број a .

Квадратни корени на позитивен број a се пишуваат со аритметичкиот знак квадратен корен како и . На пример, квадратните корени од 13 се и . Аритметичкиот квадратен корен на нула е нула, односно . За негативните броеви a, нема да придаваме значење на ознаката додека не проучиме сложени броеви. На пример, изразите и се бесмислени.

Врз основа на дефиницијата за квадратен корен, се докажуваат својствата на квадратните корени, кои често се користат во пракса.

Како заклучок на оваа точка, забележуваме дека квадратните корени на бројот a се решенија од формата x 2 =a во однос на променливата x.

Коцкан корен на број

Дефиниција за корен од коцкана бројот a е даден слично како и дефиницијата за квадратен корен. Само што се заснова на концептот на коцка од број, а не на квадрат.

Дефиниција

Коцкан корен на ае број чија коцка е еднаква на a.

Ајде да дадеме примери на коцки корени. За да го направите ова, земете неколку броеви, на пример, 7, 0, −2/3 и коцкајте ги: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Потоа, врз основа на дефиницијата за корен од коцка, можеме да кажеме дека бројот 7 е коцканиот корен од 343, 0 е коцканиот корен од нула, а −2/3 е коцканиот корен од −8/27.

Може да се покаже дека коцканиот корен на број, за разлика од квадратниот корен, секогаш постои, не само за ненегативниот a, туку и за секој реален број a. За да го направите ова, можете да го користите истиот метод што го споменавме при проучувањето на квадратните корени.

Покрај тоа, постои само еден коцкан корен од даден број a. Да ја докажеме последната изјава. За да го направите ова, разгледајте три случаи одделно: a е позитивен број, a=0 и a е негативен број.

Лесно е да се покаже дека ако a е позитивен, коцканиот корен на a не може да биде ниту негативен број ниту нула. Навистина, нека b е коцканиот корен на a, тогаш по дефиниција можеме да ја напишеме еднаквоста b 3 =a. Јасно е дека оваа еднаквост не може да биде вистина за негативното b и за b=0, бидејќи во овие случаи b 3 =b·b·b ќе биде негативен број или нула, соодветно. Значи, коцканиот корен на позитивен број a е позитивен број.

Сега да претпоставиме дека покрај бројот b има уште еден коцкан корен од бројот a, да го означиме c. Тогаш c 3 =a. Затоа, b 3 −c 3 =a−a=0, но b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(ова е скратената формула за множење разлика на коцки), од каде (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Добиената еднаквост е можна само кога b−c=0 или b 2 +b·c+c 2 =0. Од првото равенство имаме b=c, а второто равенство нема решенија, бидејќи неговата лева страна е позитивен број за кои било позитивни броеви b и c како збир од три позитивни членови b 2, b·c и c 2. Ова ја докажува единственоста на коцканиот корен на позитивен број a.

Кога a=0, коренот на коцката на бројот a е само бројот нула. Навистина, ако претпоставиме дека има број b, кој е ненулти коцкан корен од нула, тогаш мора да важи еднаквоста b 3 =0, што е можно само кога b=0.

За негативно a, може да се дадат аргументи слични на случајот за позитивен a. Прво, покажуваме дека коцканиот корен на негативен број не може да биде еднаков ниту на позитивен број ниту на нула. Второ, претпоставуваме дека има втор коцкан корен од негативен број и покажуваме дека тој нужно ќе се совпадне со првиот.

Значи, секогаш постои коцкан корен од кој било даден реален број a и единствен.

Ајде да дадеме дефиниција на аритметички корен коцка.

Дефиниција

Аритметички коцкан корен на ненегативен број aе ненегативен број чија коцка е еднаква на a.

Аритметичкиот коцкан корен на ненегативен број a се означува како , знакот се нарекува знак на коренот на аритметичката коцка, бројот 3 во оваа нотација се нарекува корен индекс. Бројот под знакот за корен е радикален број, изразот под знакот на коренот е радикално изразување.

Иако коренот на аритметичката коцка е дефиниран само за ненегативни броеви a, исто така е погодно да се користат ознаки во кои негативните броеви се наоѓаат под знакот на коренот на аритметичката коцка. Ќе ги разбереме на следниов начин: , каде што a е позитивен број. На пример, .

Ќе зборуваме за својствата на коцките корени во општиот напис својства на корените.

Пресметувањето на вредноста на коренот на коцката се нарекува извлекување на корен од коцка.

За да ја заклучиме оваа точка, да речеме дека коцканиот корен на бројот a е решение од формата x 3 =a.

n-ти корен, аритметички корен од степен n

Дозволете ни да го генерализираме концептот на корен од број - воведуваме дефиниција на n-ти коренза n.

Дефиниција

n-ти корен од ае број чија n-та моќ е еднаква на a.

Од оваа дефиницијајасно е дека коренот од прв степен на бројот a е самиот број a, бидејќи кога се проучува степенот c природен индикаторприфативме 1 =а.

Погоре разгледавме посебни случаи на n-тиот корен за n=2 и n=3 - квадратен корен и коцкан корен. Односно, квадратен корен е корен од втор степен, а корен од коцка е корен од трет степен. За проучување на корените од n-ти степен за n=4, 5, 6, ..., погодно е да се поделат во две групи: првата група - корени од парни степени (т.е. за n = 4, 6, 8 , ...), втората група - корени непарни степени (односно, со n=5, 7, 9, ...). Ова се должи на фактот дека корените на парните сили се слични на квадратните корени, а корените на непарните сили се слични на кубните корени. Ајде да се справиме со нив еден по еден.

Да почнеме со корените чии моќи се парните броеви 4, 6, 8, ... Како што веќе рековме, тие се слични на квадратниот корен на бројот a. Односно, коренот на кој било парен степен на бројот a постои само за ненегативниот a. Притоа, ако a=0, тогаш коренот на a е единствен и еднаков на нула, а ако a>0, тогаш има два корени со парен степен на бројот a, а тие се спротивни броеви.

Да ја поткрепиме последната изјава. Нека b е корен со парен степен (го означуваме како 2 m, каде што m е малку природен број) од број а . Да претпоставиме дека има број c - друг корен од степен 2·m од бројот a. Тогаш b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Но, ја знаеме формата b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), тогаш (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Од оваа еднаквост произлегува дека b−c=0, или b+c=0, или b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Првите две еднаквости значат дека броевите b и c се еднакви или b и c се спротивни. А последното равенство важи само за b=c=0, бидејќи на неговата лева страна има израз кој е ненегативен за било кои b и c како збир на ненегативни броеви.

Што се однесува до корените на n-тиот степен за непарни n, тие се слични на коренот на коцката. Односно, коренот на кој било непарен степен на бројот a постои за секој реален број a, а за даден број a тој е единствен.

Единственоста на корен со непарен степен 2·m+1 од бројот a се докажува по аналогија со доказот за единственоста на коцканиот корен на a. Само овде наместо еднаквост a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)се користи еднаквост од формата b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Изразот во последната заграда може да се препише како b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). На пример, со m=2 имаме b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Кога a и b се двете позитивни или и двете негативни, нивниот производ е позитивен број, тогаш изразот b 2 +c 2 +b·c во загради висок степенгнездење, е позитивно како збир на позитивни броеви. Сега, движејќи се последователно кон изразите во заградите на претходните степени на гнездење, убедени сме дека тие се исто така позитивни како збир на позитивни броеви. Како резултат на тоа, добиваме дека еднаквоста b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можно само кога b−c=0, односно кога бројот b е еднаков на бројот c.

Време е да се разбере ознаката на n-ти корени. За таа цел е дадена дефиниција на аритметички корен од n-ти степен.

Дефиниција

Аритметички корен од n-ти степен на ненегативен број aе ненегативен број чија n-та сила е еднаква на a.

Цели на лекцијата:

Образовни: создаваат услови за формирање кај студентите на холистичко разбирање на коренот на n-ти степен, вештини за свесност и рационална употребасвојства на коренот при решавање на разни проблеми.

Развојна: создаде услови за развој на алгоритамски, креативно размислување, развиваат вештини за самоконтрола.

Образовни: промовирајте го развојот на интерес за темата, активноста, негувајте точност во работата, способност да го изразите сопственото мислење и да давате препораки.

За време на часовите

1. Организациски момент.

Добар ден Добар час!

Многу ми е мило што те гледам.

Ѕвоното веќе заѕвони

Лекцијата започнува.

Се насмевнавме. Се фативме.

Се погледнавме

И седнаа тивко заедно.

2. Мотивација на лекцијата.

Извонредниот француски филозоф и научник Блез Паскал тврди: „Големината на човекот е во неговата способност да размислува“. Денес ќе се обидеме да се чувствуваме како големи луѓе откривајќи знаење за себе. Мотото за денешниот час ќе бидат зборовите на старогрчкиот математичар Талес:

Што има повеќе од се во светот? - Простор.

Што е најбрзо? - Умот.

Што е најмудрото? - Време.

Кој е најдобриот дел? - Постигнете го она што го сакате.

Би сакал секој од вас да го постигне посакуваниот резултат на денешната лекција.

3. Ажурирање на знаењето.

1. Именувај ги меѓусебните алгебарски операции на броеви. (Собирање и одземање, множење и делење)

2. Дали е секогаш можно да се изврши алгебарска операција како што е делењето? (Не, не можете да делите со нула)

3. Која друга операција можете да ја извршите со бројки? (Експоненција)

4. Која операција ќе биде нејзината реверзија? (Екстракција на корен)

5. Кој степен на корен може да се извлече? (Втор корен)

6. Кои својства на квадратниот корен ги знаете? (Извлекување на квадратен корен на производ, од количник, од корен, подигање до моќ)

7. Најдете ги значењата на изразите:

Од историјата.Дури и пред 4000 години, вавилонските научници составиле, заедно со табелите и табелите за множење реципроцитети(со чија помош се сведуваше делењето на броевите на множење) табели со квадрати на броеви и квадратни корени на броеви. Во исто време, тие беа во можност да ја најдат приближната вредност на квадратниот корен на кој било цел број.

4. Проучување на нов материјал.

Очигледно, во согласност со основните својства на силите со природни експоненти, од кој било позитивен број има две спротивни вредности на коренот на парен степен, на пример, броевите 4 и -4 се квадратни корени од 16, бидејќи ( -4) 2 = 42 = 16, а броевите 3 и -3 се четврти корени од 81, бидејќи (-3)4 = 34 = 81.

Исто така, не постои парен корен на негативен број затоа што парната моќ на кој било реален број е ненегативна. Што се однесува до коренот на непарен степен, за секој реален број има само еден корен од непарен степен од овој број. На пример, 3 е третиот корен од 27, бидејќи 33 = 27, а -2 е петтиот корен од -32, бидејќи (-2)5 = 32.

Поради постоењето на два корени со парен степен од позитивен број, го воведуваме концептот на аритметички корен со цел да се елиминира оваа нејасност на коренот.

Ненегативна коренска вредност n-ти степенна ненегативен број се нарекува аритметички корен.

Ознака: - корен од n-ти степен.

Бројот n се нарекува моќ на аритметичкиот корен. Ако n = 2, тогаш степенот на коренот не е означен и е запишан. Коренот од вториот степен обично се нарекува квадратен корен, а коренот од третиот степен се нарекува кубен корен.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = a, p - дури и a ≥ 0, b ≥ 0

n - непарен a, b - кој било

Својства

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b >0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - природни броеви

5. Консолидација на нов материјал.

Усна работа

а) Кои изрази имаат смисла?

б) За кои вредности на променливата a има смисла изразот?

Реши бр. 3, 4, 7, 9, 11.

6. Записник за физичко воспитување.

Потребна е умереност во сите работи,

Нека биде главното правило.

Правете гимнастика, бидејќи размислувате долго време,

Гимнастиката не го исцрпува телото,

Но, целосно го чисти телото!

Затворете ги очите, опуштете го телото,

Замислете - вие сте птици, одеднаш летате!

Сега пливаш во океанот како делфин,

Сега берете зрели јаболка во градината.

Лево, десно, погледна наоколу,

Отворете ги очите и вратете се на бизнисот!

7. Самостојна работа.

Работете во парови со. 178 бр.1, бр.2.

8. Д/з.Научете ја точката 10 (стр. 160-161), решете ги бр. 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2).

9. Резиме на лекцијата. Одраз на активност.

Дали лекцијата ја постигна својата цел?

Што научивте?

Скрипта за час за 11 одделение на тема:

„Н-ти корен од реален број. »

Целта на лекцијата:Формирање кај учениците на сеопфатно разбирање на коренот n-ти степен и аритметички корен од n-ти степен, формирање на пресметковни вештини, вештини за свесно и рационално користење на својствата на коренот при решавање на разни проблеми кои содржат радикал. Проверете го нивото на разбирање на прашањата на темата од страна на учениците.

Предмет:создаваат значајни и организациски условида го совладате материјалот на тема „Нумерички и буквални изрази» на ниво на перцепција, разбирање и примарно меморирање; развиваат способност за користење на овие информации при пресметување на n-тиот корен на реален број;

Мета-тема:промовирање на развојот на компјутерските вештини; способност за анализа, споредување, генерализирање, извлекување заклучоци;

Лично:негувајте ја способноста да го изразите своето гледиште, да ги слушате одговорите на другите, да учествувате во дијалог и да развиете способност за позитивна соработка.

Планиран резултат.

Предмет: да може да ги применува во реална ситуација својствата на n-тиот корен на реален број при пресметување корени и решавање равенки.

Лично: да развие внимание и точност во пресметките, барачки став кон себе и кон својата работа и да негува чувство на взаемна помош.

Тип на лекција: лекција за проучување и првично консолидирање на новото знаење

    Мотивација за едукативни активности:

Источната мудрост вели: „Можеш да го одведеш коњот до вода, но не можеш да го натераш да пие“. И невозможно е да се присили човек да учи добро ако тој самиот не се труди да научи повеќе и нема желба да работи на својот ментален развој. На крајот на краиштата, знаењето е само знаење кога се стекнува преку напорите на нечии мисли, а не само преку меморијата.

Нашиот час ќе се одржи под мотото: „Ќе го освоиме секој врв ако се стремиме кон него“. За време на лекцијата, јас и ти треба да имаме време да надминеме неколку врвови и секој од вас мора да ги вложи сите свои напори за да ги освои овие врвови.

„Денес имаме лекција во која мора да се запознаеме со нов концепт: „Н-ти корен“ и да научиме како да го примениме овој концепт за трансформација на различни изрази.

Вашата цел се заснова на различни формиработи на активирање на постојното знаење, придонес за изучување на материјалот и добивање добри оценки“
Проучивме квадратен корен на реален број во 8 одделение. Квадратниот корен е поврзан со функција на формата y=x 2. Момци, се сеќавате ли како ги пресметавме квадратните корени и какви својства имаше?
а) индивидуална анкета:

    каков израз е ова

    што се нарекува квадратен корен

    што се нарекува аритметички квадратен корен

    наведете ги својствата на квадратниот корен

б) работа во парови: пресметај.

-

2. Ажурирање на знаењето и создавање проблемска ситуација:Решете ја равенката x 4 =1. Како можеме да го решиме? (Аналитички и графички). Ајде да го решиме графички. За да го направите ова, во еден координатен систем ќе конструираме график на функцијата y = x 4 права линија y = 1 (сл. 164 а). Тие се вкрстуваат во две точки: A (-1;1) и B(1;1). Апсциси на точките А и Б, т.е. x 1 = -1,

x 2 = 1 се корените на равенката x 4 = 1.
Расудувајќи на ист начин, ги наоѓаме корените на равенката x 4 =16: Сега да се обидеме да ја решиме равенката x 4 =5; геометриска илустрација е прикажана на сл. 164 б. Јасно е дека равенката има два корени x 1 и x 2, а овие бројки, како и во двата претходни случаи, се меѓусебно спротивни. Но, за првите две равенки корените беа пронајдени без тешкотии (тие можеа да се најдат без користење графикони), но со равенката x 4 = 5 има проблеми: од цртежот не можеме да ги означиме вредностите на корените, но ние може само да утврди дека едниот корен се наоѓа на левата точка -1, а вториот е десно од точката 1.

x 2 = - (читај: „четврт корен од пет“).

Зборувавме за равенката x 4 = a, каде што a 0. Можеме подеднакво да зборуваме и за равенката x 4 = a, каде што a 0 и n е секој природен број. На пример, со графички решавање на равенката x 5 = 1, наоѓаме x = 1 (сл. 165); решавајќи ја равенката x 5 "= 7, утврдуваме дека равенката има еден корен x 1, кој се наоѓа на оската x малку десно од точката 1 (види слика 165). За бројот x 1, го воведуваме нотација .

Дефиниција 1. Корен n-тимоќи на ненегативен број a (n = 2, 3,4, 5,...) е ненегативен број кој, кога ќе се подигне на сила n, резултира со бројот a.

Овој број се означува, бројот a се нарекува радикален број, а бројот n е експонент на коренот.
Ако n=2, тогаш тие обично не велат „втор корен“, туку велат „квадратен корен“ Во овој случај, тие не го пишуваат ова .

Ако n = 3, тогаш наместо „корен од трет степен“ честопати велат „корен од коцка“. Вашето прво запознавање со коренот на коцката се случило и на курсот алгебра за 8-мо одделение. Користевме коцкасти корени во алгебрата од 9-то одделение.

Значи, ако a ≥0, n= 2,3,4,5,…, тогаш 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Општо земено, =b и b n =a се иста врска помеѓу ненегативните броеви a и b, но само вториот е опишан повеќе на едноставен јазик(користи поедноставни знаци) од првиот.

Операцијата за наоѓање на коренот на ненегативен број обично се нарекува екстракција на коренот. Оваа операција е обратна од подигањето до соодветната моќност. Спореди:


Ве молиме запомнете повторно: во табелата се појавуваат само позитивни броеви, бидејќи тоа е наведено во Дефиницијата 1. И иако, на пример, (-6) 6 = 36 е правилна еднаквост, одете од него до ознака користејќи го квадратниот корен, т.е. напиши дека тоа е невозможно. По дефиниција, позитивен број значи = 6 (не -6). На ист начин, иако 2 4 =16, t (-2) 4 =16, преместувајќи се кон знаците на корените, мора да напишеме = 2 (и во исто време ≠-2).

Понекогаш изразот се нарекува радикал (од Латински зборгадикс - „корен“). На руски, терминот радикал се користи доста често, на пример, „радикални промени“ - тоа значи „радикални промени“. Патем, самата ознака на коренот потсетува на зборот gadix: симболот е стилизирана буква r.

Операцијата на извлекување на коренот се одредува и за негативен радикален број, но само во случај на непарен коренски експонент. Со други зборови, еднаквоста (-2) 5 = -32 може да се препише во еквивалентна форма како =-2. Се користи следнава дефиниција.

Дефиниција 2.Непарен корен n од негативен број a (n = 3,5,...) е негативен број кој, кога ќе се подигне на силата n, го добива бројот a.

Овој број, како и во дефиницијата 1, се означува со , бројот a е радикалниот број, а бројот n е експонент на коренот.
Значи, ако a , n=,5,7,…, тогаш: 1) 0; 2) () n = a.

Така, парен корен има значење (т.е. е дефиниран) само за ненегативен радикален израз; непарен корен има смисла за секој радикален израз.

5. Примарна консолидација на знаењето:

1. Пресметај: бр.33,5; 33,6; 33,74 33,8 усно а) ; б) ; V) ; G) .

г) За разлика од претходните примери, не можеме да ја означиме точната вредност на бројот. Јасно е само дека е поголем од 2, но помал од 3, бидејќи 2 4 = 16 (ова е помало од 17) и 3 4 = 81. (ова повеќе од 17). Забележуваме дека 24 е многу поблиску до 17 отколку 34, така што постои причина да се користи приближниот знак за еднаквост:
2. Најдете ги значењата на следните изрази.

Поставете ја соодветната буква до примерот.

Малку информации за големиот научник. Рене Декарт (1596-1650) француски благородник, математичар, филозоф, физиолог, мислител. Рене Декарт ги постави темелите на аналитичката геометрија, воведена ознаки на букви x 2 , y 3 . Сите ги знаат декартовските координати кои ја дефинираат функцијата променлива големина.

3 . Решете ги равенките: а) = -2; б) = 1; в) = -4

Решение:а) Ако = -2, тогаш y = -8. Всушност двата дела дадена равенкамора да коцкаме. Добиваме: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. б) Расудување како во примерот а), ги подигаме двете страни на равенката на четврта сила. Добиваме: x=1.

в) Нема потреба да се подигне на четврта сила оваа равенка нема решенија; Зошто? Бидејќи, според дефиницијата 1, парен корен е ненегативен број.
На вашето внимание се нудат неколку задачи. Кога ќе ги завршите овие задачи, ќе го научите името и презимето на големиот математичар. Овој научник бил првиот што го вовел коренскиот знак во 1637 година.

6. Ајде да се одмориме малку.

Класот ги крева рацете - ова е „едно“.

Главата се сврте - беше „два“.

Рацете надолу, гледајте напред - ова е „три“.

Рацете се свртеа пошироко на страните на „четири“

Притискањето на нив со сила во ваши раце е „висока петка“.

Сите момци треба да седнат - тоа е „шест“.

7. Самостојна работа:

    опција: опција 2:

б) 3-. б) 12 -6.

2. Реши ја равенката: а) x 4 = -16; б) 0,02x 6 -1,28=0; а) x 8 = -3; б)0,3x 9 – 2,4=0;

в) = -2; в)= 2

8. Повторување:Најдете го коренот на равенката = - x. Ако равенката има повеќе од еден корен, напишете го одговорот со помалиот корен.

9. Рефлексија:Што научивте на лекцијата? Што беше интересно? Што беше тешко?

Корен степен nод реален број а, Каде n- природен број, се нарекува таков реален број x, nчиј степен е еднаков на а.

Корен степен nод бројот асе означува со симболот. Според оваа дефиниција.

Наоѓање на коренот n-ти степен од меѓу анаречена екстракција на коренот. Број Асе нарекува радикален број (израз), n- корен индикатор. За чудни nима корен n-ти моќ за кој било реален број а. Кога дури nима корен n-та моќ само за ненегативни броеви а. Да се ​​разјасни коренот n-ти степен од меѓу а, се воведува концептот на аритметички корен n-ти степен од меѓу а.

Концептот на аритметички корен од степен N

Ако n- природен број, поголем 1 , тогаш има, и само еден, ненегативен број X, така што еднаквоста . Овој број Xнаречен аритметички корен nта моќ на ненегативен број Аи е назначен . Број Асе нарекува радикален број, n- корен индикатор.

Значи, според дефиницијата, ознаката , каде што , значи, прво, тоа и, второ, дека, т.е. .

Концепт за степен в рационален индикатор

Степен со природен експонент: нека Ае реален број, и n- природен број поголем од еден, n-та моќ на бројот Ајавете се на работата nфактори, од кои секој е еднаков А, т.е. . Број А- основата на степенот, n- експонент. Моќ со нулта експонент: по дефиниција, ако , тогаш . Нулта моќност на број 0 нема смисла. Степен со негативен цел број експонент: претпоставен по дефиниција ако и nе природен број, тогаш . Степен со дробен експонент: по дефиниција се претпоставува ако и n- природен број, ме цел број, тогаш .

Операции со корени.

Во сите формули подолу, симболот значи аритметички корен (радикалниот израз е позитивен).

1. Коренот на производот од неколку фактори е еднаков на производот од корените на овие фактори:

2. Коренот на соодносот е еднаков на односот на корените на дивидендата и делителот:

3. Кога се подига коренот до моќ, доволно е да се подигне радикалниот број на оваа моќност:

4. Ако го зголемите степенот на коренот n пати и во исто време го подигнете радикалниот број на n-та моќност, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

5. Ако го намалите степенот на коренот за n пати и истовремено го извлечете n-тиот корен од радикалниот број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

Проширување на концептот на степен. Досега ги разгледувавме степените само со природни експоненти; но операциите со моќи и корени може да доведат и до негативни, нула и дробни експоненти. Сите овие експоненти бараат дополнителна дефиниција.


Степен со негативен експонент. Моќта на одреден број со негативен (цел број) експонент се дефинира како еден поделен со моќноста на истиот број со експонент еднаков на абсолутна вредностнегативен индикатор:

Сега формулата a m: a n = a m - n може да се користи не само за m поголема од n, туку и за m помала од n.

ПРИМЕР a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Ако сакаме формулата a m: a n = a m - n да важи за m = n, потребна ни е дефиниција за степенот нула.

Степен со нула индекс. Моќта на кој било ненулта број со експонент нула е 1.

ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степен со дробен експонент. За да го подигнете реалниот број a до моќноста m / n, треба да го извлечете n-тиот корен од mth моќноста на овој број a:

За изразите кои немаат значење. Има неколку такви изрази.

Случај 1.

Каде што a ≠ 0 не постои.

Всушност, ако претпоставиме дека x е одреден број, тогаш во согласност со дефиницијата за операцијата делење имаме: a = 0 x, т.е. a = 0, што е во спротивност со условот: a ≠ 0

Случај 2.

Било кој број.

Всушност, ако претпоставиме дека овој израз е еднаков на одреден број x, тогаш според дефиницијата за операцијата делење имаме: 0 = 0 · x. Но, оваа еднаквост важи за кој било број x, што е она што треба да се докаже.

Навистина,

Решение Ајде да разгледаме три главни случаи:

1) x = 0 - оваа вредност не задоволува оваа равенка

2) за x > 0 добиваме: x / x = 1, т.е. 1 = 1, што значи дека x е кој било број; но имајќи предвид дека во нашиот случај x > 0, одговорот е x > 0;

3) на x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

во овој случај нема решение. Така x> 0.

Дадени се основните својства на функцијата моќност, вклучувајќи формули и својства на корените. Презентирани се дериватот, интегралниот, проширувањето на сериите на моќност и претставувањето на сложени броеви на функцијата на моќност.

Дефиниција

Дефиниција
Функција за напојувањесо експонент стре функцијата f (x) = xp, чија вредност во точката x е еднаква на вредноста на експоненцијалната функција со основа x во точката p.
Покрај тоа, ѓ (0) = 0 p = 0за стр > 0 .

За природните вредности на експонентот, функцијата на моќност е производ од n броеви еднакви на x:
.
Тоа е дефинирано за сите валидни .

За позитивни рационални вредности на експонентот, функцијата на моќност е производ од n корени од степен m од бројот x:
.
За непарен m, тој е дефиниран за сите реални x. За дури m, функцијата за моќност е дефинирана за ненегативни.

За негативни, функцијата за моќност се одредува со формулата:
.
Затоа, таа не е дефинирана во точката.

За ирационални вредности на експонентот p, функцијата на моќност се одредува со формулата:
,
каде што a е произволен позитивен број кој не е еднаков на еден: .
Кога , тој е дефиниран за .
Кога , функцијата за напојување е дефинирана за .

Континуитет. Функцијата на моќност е континуирана во својот домен на дефиниција.

Својства и формули на функции за моќност за x ≥ 0

Овде ќе ги разгледаме својствата на функцијата моќност за не негативни вредностиаргумент x. Како што е наведено погоре, за одредени вредности на експонентот p, функцијата на моќност е дефинирана и за негативни вредности на x. Во овој случај, неговите својства може да се добијат од својствата на , користејќи парни или непарни. Овие случаи се детално дискутирани и илустрирани на страницата "".

Функција на моќност, y = x p, со експонент p ги има следните својства:
(1.1) дефинирана и континуирана на сетот
во,
во ;
(1.2) има многу значења
во,
во ;
(1.3) строго се зголемува со,
строго се намалува како ;
(1.4) во ;
во ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Доказ за својства е даден на страницата „Функција за напојување (доказ за континуитет и својства)“

Корени - дефиниција, формули, својства

Дефиниција
Корен на број x од степен nе бројот што кога ќе се подигне на моќноста n го дава x:
.
Еве n = 2, 3, 4, ... - природен број поголем од еден.

Можете исто така да кажете дека коренот на број x од степен n е коренот (т.е. решение) на равенката
.
Забележете дека функцијата е инверзна на функцијата.

Квадратен корен од xе корен од степен 2: .

Коцкан корен од xе корен од степен 3: .

Дури и степен

За парни сили n = 2 м, коренот е дефиниран за x ≥ 0 . Формулата што често се користи е валидна и за позитивен и за негативен x:
.
За квадратен корен:
.

Овде е важен редоследот по кој се извршуваат операциите - односно, прво се изведува квадратот, што резултира со ненегативен број, а потоа се зема коренот од него (квадратниот корен може да се земе од ненегативен број ). Ако го смениме редоследот: , тогаш за негативен x коренот би бил недефиниран, а со тоа и целиот израз би бил недефиниран.

Непарен степен

За непарните сили, коренот е дефиниран за сите x:
;
.

Својства и формули на корените

Коренот на x е функција на моќност:
.
Кога x ≥ 0 важат следните формули:
;
;
, ;
.

Овие формули може да се применат и за негативни вредности на променливите. Треба само да се погрижите радикалното изразување на дури и моќите да не биде негативно.

Приватни вредности

Коренот на 0 е 0:.
Коренот 1 е еднаков на 1:.
Квадратниот корен од 0 е 0:.
Квадратниот корен од 1 е 1:.

Пример. Корен на корени

Ајде да погледнеме пример за квадратен корен од корени:
.
Ајде да го трансформираме внатрешниот квадратен корен користејќи ги формулите погоре:
.
Сега да го трансформираме оригиналниот корен:
.
Значи,
.

y = x p за различни вредности на експонентот p.

Еве графикони на функцијата за ненегативни вредности на аргументот x. Графиконите на функцијата за моќност дефинирана за негативни вредности на x се дадени на страницата „Функција на моќност, нејзините својства и графикони“

Инверзна функција

Инверзната функција на моќност со експонент p е функција на моќност со експонент 1/p.

Ако тогаш.

Извод на функција за моќност

Извод од n-ти ред:
;

Изведување формули > > >

Интеграл на функција на моќност

P ≠ - 1 ;
.

Проширување на серијата на моќност

на - 1 < x < 1 се случува следното распаѓање:

Изрази кои користат сложени броеви

Размислете за функцијата на сложената променлива z:
ѓ (z) = z т.
Да ја изразиме сложената променлива z во однос на модулот r и аргументот φ (r = |z|):
z = r e i φ .
Комплексниот број t го претставуваме во форма на реални и имагинарни делови:
t = p + i q.
Ние имаме:

Следно, земаме предвид дека аргументот φ не е уникатно дефиниран:
,

Да го разгледаме случајот кога q = 0 , односно, експонентот е реален број, t = p. Потоа
.

Ако p е цел број, тогаш kp е цел број. Потоа, поради периодичноста на тригонометриските функции:
.
Тоа е експоненцијална функцијаза цел број експонент, за даден z, има само една вредност и затоа е недвосмислен.

Ако p е ирационален, тогаш производите kp за кое било k не произведуваат цел број. Бидејќи k поминува низ бесконечна серија вредности k = 0, 1, 2, 3, ..., тогаш функцијата z p има бесконечно многу вредности. Секогаш кога аргументот z се зголемува 2π(едно вртење), преминуваме во нова гранка на функцијата.

Ако p е рационално, тогаш може да се претстави како:
, Каде m, n- целина, не содржи заеднички делители. Потоа
.
Први n вредности, со k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, даде n различни значења kp:
.
Сепак, следните вредности даваат вредности што се разликуваат од претходните со цел број. На пример, кога k = k 0+nние имаме:
.
Тригонометриски функции, чии аргументи се разликуваат по вредности кои се множители на 2π, имаат еднакви вредности. Затоа, со дополнително зголемување на k, ги добиваме истите вредности на z p како и за k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Така, експоненцијална функција со рационален експонент е повеќевредна и има n вредности (гранки). Секогаш кога аргументот z се зголемува 2π(едно вртење), преминуваме во нова гранка на функцијата. По n такви револуции се враќаме на првата гранка од која започна одбројувањето.

Особено, коренот на степенот n има n вредности. Како пример, земете го n-тиот корен на реален позитивен број z = x. Во овој случај φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Значи, за квадратен корен, n = 2 ,
.
За дури к, (- 1 ) k = 1. За непарен к, (- 1 ) k = - 1.
Односно, квадратниот корен има две значења: + и -.

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.