дома > Дизајн > Основи на геометријата: правилна пирамида е. Правилна четириаголна пирамида


Основи на геометријата: правилна пирамида е. Правилна четириаголна пирамида




Видео туторијал 2: Проблем со пирамидата. Волумен на пирамидата

Видео туторијал 3: Проблем со пирамидата. Правилна пирамида

Предавање: Пирамида, нејзината основа, странични ребра, висина, странична површина; триаголна пирамида; редовна пирамида

Пирамида, нејзините својства

Пирамидае тродимензионално тело кое има многуаголник во основата, а сите негови лица се состојат од триаголници.

Посебен случај на пирамида е конус со круг во основата.


Ајде да ги погледнеме главните елементи на пирамидата:


Апотема- ова е сегмент што го поврзува врвот на пирамидата со средината на долниот раб на страничното лице. Со други зборови, ова е висината на работ на пирамидата.


На сликата можете да ги видите триаголниците ADS, ABS, BCS, CDS. Ако внимателно ги погледнете имињата, можете да видите дека секој триаголник има една заедничка буква во своето име - S. Тоа значи дека сите странични лица (триаголници) се спојуваат во една точка, што се нарекува врв на пирамидата. .


Сегментот ОС што го поврзува темето со точката на пресек на дијагоналите на основата (во случај на триаголници - во точката на пресек на висините) се нарекува висина на пирамидата.


Дијагонален пресек е рамнина што минува низ врвот на пирамидата, како и една од дијагоналите на основата.


Бидејќи страничната површина на пирамидата се состои од триаголници, за да се најде вкупната површина на страничната површина, неопходно е да се најде плоштината на секое лице и да се соберат. Бројот и обликот на лицата зависи од обликот и големината на страните на многуаголникот што лежи во основата.


Се нарекува единствената рамнина во пирамидата што не припаѓа на нејзиното теме основапирамиди.

На сликата гледаме дека основата е паралелограм, но може да биде кој било произволен многуаголник.

Својства:


Размислете за првиот случај на пирамида, во која има рабови со иста должина:

  • Околу основата на таквата пирамида може да се нацрта круг. Ако го проектирате врвот на таквата пирамида, тогаш нејзината проекција ќе се наоѓа во центарот на кругот.
  • Аглите на основата на пирамидата се исти на секое лице.
  • Во овој случај, доволен услов е да може да се опише круг околу основата на пирамидата, а исто така можеме да претпоставиме дека сите рабови различни должини, можеме да разгледаме еднакви агли помеѓу основата и секој раб на лицата.

Ако наидете на пирамида во која аглите помеѓу страничните страни и основата се еднакви, тогаш следниве својства се вистинити:

  • Ќе можете да опишете круг околу основата на пирамидата, чиј врв е проектиран точно во центарот.
  • Ако го нацртате секој страничен раб на висината до основата, тогаш тие ќе бидат со еднаква должина.
  • За да ја пронајдете страничната површина на таквата пирамида, доволно е да го пронајдете периметарот на основата и да го помножите за половина од должината на висината.
  • S bp = 0,5P oc H.
  • Видови пирамиди.
  • Во зависност од тоа кој многуаголник лежи во основата на пирамидата, тие можат да бидат триаголни, четириаголни итн. Ако основата на пирамидата лежи правилен многуаголник(со еднакви страни), тогаш таквата пирамида ќе се нарече редовна.

Правилна триаголна пирамида

Вовед

Кога почнавме да ги проучуваме стереометриските фигури, ја допревме темата „Пирамида“. Ни се допадна оваа тема бидејќи пирамидата многу често се користи во архитектурата. И бидејќи нашата идна професија архитектура е инспирирана од оваа фигура, мислиме дека таа може да не турне кон одлични проекти.

Силата на архитектонските структури е нивниот најважен квалитет. Силата на поврзување, прво, со материјалите од кои се создадени и, второ, со карактеристиките конструктивни решенија, излегува дека силата на структурата е директно поврзана со геометриската форма која е основна за неа.

Со други зборови, зборуваме за таа геометриска фигура што може да се смета како модел на соодветната архитектонска форма. Излегува дека геометриска формаја одредува и силата на архитектонската структура.

Од античките времиња, египетските пирамиди се сметаат за најтрајните архитектонски структури. Како што знаете, тие имаат форма на правилни четириаголни пирамиди.

Токму оваа геометриска форма обезбедува најголема стабилност поради големата основна површина. Од друга страна, обликот на пирамидата гарантира дека масата се намалува како што се зголемува висината над земјата. Токму овие две својства ја прават пирамидата стабилна, а со тоа и силна во услови на гравитација.



Цел на проектот: научи нешто ново за пирамидите, продлабочи го своето знаење и најде практична примена.

За да се постигне оваа цел, неопходно беше да се решат следниве задачи:

· Научете историски информации за пирамидата

· Сметајте ја пирамидата како геометриска фигура

· Најдете примена во животот и архитектурата

· Најдете ги сличностите и разликите помеѓу пирамидите лоцирани во различни деловиСвета


Теоретски дел

Историски информации

Почетокот на геометријата на пирамидата бил поставен во Стариот Египет и Вавилон, меѓутоа активен развојпримени во Античка Грција. Првиот што го утврдил обемот на пирамидата бил Демокрит, а Евдокс од Книд го докажал тоа. Античкиот грчки математичар Евклид го систематизираше знаењето за пирамидата во XII том од неговите „Елементи“, а исто така ја изведе првата дефиниција за пирамида: цврста фигура ограничена со рамнини што се спојуваат од една рамнина до една точка.

Гробници на египетските фараони. Најголемите од нив - пирамидите на Кеопс, Кафре и Микерин во Ел Гиза - се сметале за едно од седумте светски чуда во античко време. Изградбата на пирамидата, во која Грците и Римјаните веќе видоа споменик на невидената гордост на кралевите и суровоста што го осуди целиот народ на Египет на бесмислена градба, беше најважниот култен чин и требаше да го изрази, очигледно, мистичен идентитет на земјата и нејзиниот владетел. Населението во земјата работеше на изградбата на гробницата во делот од годината ослободен од земјоделски работи. Голем број текстови сведочат за вниманието и грижата што самите кралеви (иако во подоцнежно време) ја посветувале на изградбата на нивната гробница и нејзините градители. Познато е и за посебните култни почести кои и биле доделени на самата пирамида.


Основни концепти

Пирамидасе нарекува многуедар чија основа е многуаголник, а останатите лица се триаголници кои имаат заедничко теме.

Апотема- висината на страничната страна на правилната пирамида, извлечена од нејзиното теме;

Странични лица- триаголници кои се среќаваат на теме;

Странични ребра- заеднички страни на страничните лица;

Врвот на пирамидата- точка што ги поврзува страничните ребра и не лежи во рамнината на основата;

Висина- нормална отсечка извлечена низ врвот на пирамидата до рамнината на нејзината основа (краевите на овој сегмент се врвот на пирамидата и основата на нормалната);

Дијагонален пресек на пирамида- дел од пирамидата што минува низ врвот и дијагоналата на основата;

База- многуаголник што не припаѓа на темето на пирамидата.

Основни својства на правилна пирамида

Страничните рабови, страничните лица и апотемите се соодветно еднакви.

Диедралните агли на основата се еднакви.

Диедралните агли на страничните рабови се еднакви.

Секоја висинска точка е еднакво оддалечена од сите темиња на основата.

Секоја висинска точка е подеднакво оддалечена од сите странични лица.


Основни пирамидални формули

Странична површина и целосна површинапирамиди.

Површината на страничната површина на пирамидата (целосна и скратена) е збир на површините на сите нејзини странични лица, вкупната површина е збир на површините на сите нејзини лица.

Теорема: плоштината на страничната површина на правилната пирамида е еднаква на половина од производот на периметарот на основата и апотемата на пирамидата.

стр- основен периметар;

ч- апотема.

Областа на страничните и полните површини на скратена пирамида.

стр 1, стр 2 - периметри на основата;

ч- апотема.

Р- вкупна површина на правилна скратена пирамида;

S страна- површина на страничната површина на правилна скратена пирамида;

S 1 + S 2- база на површина

Волумен на пирамидата

Форма волумен ula се користи за пирамиди од секаков вид.

Х- висина на пирамидата.


Агли на пирамидата

Аглите формирани од страничното лице и основата на пирамидата се нарекуваат диедрални агли во основата на пирамидата.

Диедрален агол се формира со две нормални.

За да го одредите овој агол, честопати треба да ја користите теоремата за три нормални.

Се нарекуваат аглите формирани од страничниот раб и неговата проекција на основната рамнина агли помеѓу страничниот раб и рамнината на основата.

Аголот формиран од два странични рабови се нарекува диедрален агол на страничниот раб на пирамидата.

Аголот формиран од два странични рабови на едното лице на пирамидата се нарекува агол на врвот на пирамидата.


Пирамидални делови

Површината на пирамидата е површина на полиедар. Секое негово лице е рамнина, затоа делот на пирамидата дефиниран со рамнина за сечење е скршена линија која се состои од поединечни прави линии.

Дијагонален пресек

Пресекот на пирамидата со рамнина што минува низ два странични рабови кои не лежат на истото лице се нарекува дијагонален пресекпирамиди.

Паралелни делови

Теорема:

Ако пирамидата е пресечена со рамнина паралелна на основата, тогаш страничните рабови и висини на пирамидата се поделени со оваа рамнина на пропорционални делови;

Пресекот на оваа рамнина е многуаголник сличен на основата;

Областите на пресекот и основата се поврзани една со друга како квадрати на нивните растојанија од темето.

Видови пирамиди

Правилна пирамида– пирамида чија основа е правилен многуаголник, а врвот на пирамидата е проектиран во центарот на основата.

За редовна пирамида:

1. страничните ребра се еднакви

2. страничните лица се еднакви

3. апотемите се еднакви

4. диедралните агли во основата се еднакви

5. диедралните агли на страничните рабови се еднакви

6. секоја висинска точка е подеднакво оддалечена од сите темиња на основата

7. секоја висинска точка е подеднакво оддалечена од сите странични рабови

Скратена пирамида- дел од пирамидата затворен помеѓу нејзината основа и рамнината за сечење паралелна со основата.

Основата и соодветниот дел на скратена пирамида се нарекуваат основи на скратена пирамида.

Се нарекува нормално извлечена од која било точка на една основа до рамнината на друга висина на скратена пирамида.


Задачи

бр.1. Во правилна четириаголна пирамида, точката O е центар на основата, SO=8 cm, BD=30 cm Најди го страничниот раб SA.


Решавање на проблем

бр.1. Во редовна пирамида, сите лица и рабови се еднакви.

Размислете за OSB: OSB е правоаголен правоаголник, бидејќи.

SB 2 =SO 2 +OB 2

СБ 2 =64+225=289

Пирамида во архитектурата

Пирамидата е монументална градба во форма на обичен правилен геометриска пирамида, во која страните се спојуваат во една точка. Од страна на функционална наменаПирамидите во античко време биле места за погребување или култно обожавање. Основата на пирамидата може да биде триаголна, четириаголна или во форма на многуаголник со произволен број темиња, но најчестата верзија е четириаголната основа.

Изградени се значителен број пирамиди различни култури Антички светглавно како храмови или споменици. Големите пирамиди ги вклучуваат египетските пирамиди.

Низ целата Земја можете да видите архитектонски структуриво форма на пирамиди. Пирамидалните згради потсетуваат на античките времиња и изгледаат многу убаво.

Египетски пирамидинајголемите архитектонски споменици Антички Египет, меѓу кои едно од „Седумте светски чуда“ е Кеопсовата пирамида. Од подножјето до врвот достигнува 137,3 m, а пред да го изгуби врвот, неговата висина била 146,7 m

Зградата на радио станицата во главниот град на Словачка, која наликува на превртена пирамида, е изградена во 1983 година. Покрај канцелариите и сервисните простории, во внатрешноста на јачината има прилично пространа концертна сала, која има еден од најголемите органи во Словачка.

Лувр, кој е „тивок, непроменет и величествен, како пирамида“, претрпел многу промени низ вековите пред да стане најголемиот музеј во светот. Роден е како тврдина, подигната од Филип Август во 1190 година, која набрзо станала кралска резиденција. Во 1793 година палатата стана музеј. Колекциите се збогатуваат преку оставини или купувања.

Пирамида. Скратена пирамида

Пирамидае полиедар, чие едно лице е многуаголник ( база ), а сите други лица се триаголници со заедничко теме ( странични лица ) (сл. 15). Пирамидата се нарекува точно , ако неговата основа е правилен многуаголник и врвот на пирамидата е проектиран во центарот на основата (сл. 16). Се нарекува триаголна пирамида со сите рабови еднакви тетраедар .



Странично реброна пирамидата е страната на страничното лице што не припаѓа на основата Висина пирамида е растојанието од нејзиниот врв до рамнината на основата. Сите странични рабови на правилната пирамида се еднакви еден на друг, сите странични лица се еднакви рамнокраки триаголници. Висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од темето се нарекува апотема . Дијагонален пресек се нарекува дел од пирамидата со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице.

Странична површинапирамидата е збир на површините на сите странични лица. Вкупна површина се нарекува збир на плоштините на сите странични страни и основата.

Теореми

1. Ако во пирамидата сите странични рабови се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш врвот на пирамидата се проектира во центарот на кругот опкружен во близина на основата.

2. Ако сите странични рабови на пирамидата имаат еднакви должини, тогаш врвот на пирамидата е проектиран во центарот на кругот опкружен во близина на основата.

3. Ако сите лица во пирамидата се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш врвот на пирамидата се проектира во центарот на кругот впишан во основата.

За да се пресмета волуменот на произволна пирамида, точната формула е:

Каде В- волумен;

S база– основна површина;

Х– висина на пирамидата.

За обична пирамида, следните формули се точни:

Каде стр– периметар на основата;

ч а– апотема;

Х- висина;

С полни

S страна

S база– основна површина;

В– волумен на правилна пирамида.

Скратена пирамиданаречен дел од пирамидата затворен помеѓу основата и рамнината за сечење паралелна со основата на пирамидата (сл. 17). Редовна скратена пирамида наречен дел од правилна пирамида затворена помеѓу основата и рамнината за сечење паралелна со основата на пирамидата.

Основискратена пирамида - слични многуаголници. Странични лица – трапезоиди. Висина на скратена пирамида е растојанието помеѓу нејзините основи. Дијагонала скратена пирамида е сегмент што ги поврзува нејзините темиња кои не лежат на истото лице. Дијагонален пресек е дел од скратена пирамида со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице.


За скратена пирамида важат следните формули:

(4)

Каде С 1 , С 2 – области на горните и долните основи;

С полни– вкупна површина;

S страна– странична површина;

Х- висина;

В– волумен на скратена пирамида.

За редовна скратена пирамида формулата е точна:

Каде стр 1 , стр 2 – периметри на основите;

ч а– апотема на правилна скратена пирамида.

Пример 1.Во правилна триаголна пирамида, диедралниот агол на основата е 60º. Најдете ја тангентата на аголот на наклон на страничниот раб до рамнината на основата.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 18).


Пирамидата е правилна, што значи дека во основата има рамностран триаголник и сите странични страни се еднакви рамнокраки триаголници. Диедралниот агол на основата е аголот на наклон на страничното лице на пирамидата до рамнината на основата. Линеарен аголќе има агол апомеѓу две нормални: итн. Врвот на пирамидата е проектиран во центарот на триаголникот (центарот на кружниот круг и впишаниот круг на триаголникот ABC). Аголот на наклон на страничниот раб (на пример С.Б.) е аголот помеѓу самиот раб и неговата проекција на рамнината на основата. За реброто С.Б.овој агол ќе биде аголот SBD. За да ја пронајдете тангентата, треба да ги знаете нозете ПАИ О.Б.. Нека должината на сегментот БДеднакво на 3 А. Точка ЗАлиниски сегмент БДсе дели на делови: и Од наоѓаме ПА: Од наоѓаме:

Одговор:

Пример 2.Најдете го волуменот на правилна скратена четириаголна пирамида ако дијагоналите на нејзините основи се еднакви на cm и cm, а нејзината висина е 4 cm.

Решение.За да го пронајдеме волуменот на скратена пирамида, ја користиме формулата (4). За да ја пронајдете областа на основите, треба да ги пронајдете страните на основните квадрати, знаејќи ги нивните дијагонали. Страните на основите се еднакви на 2 cm и 8 cm, соодветно.

Одговор: 112 см 3.

Пример 3.Најдете ја областа на страничното лице на правилна триаголна скратена пирамида, чии страни на основите се 10 cm и 4 cm, а висината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 19).


Страничната страна на оваа пирамида е рамнокрак трапез. За да ја пресметате површината на трапезот, треба да ја знаете основата и висината. Основите се дадени според условот, останува непозната само висината. Ќе ја најдеме од каде А 1 Енормално од точка А 1 на рамнината на долната основа, А 1 Д– нормално од А 1 на AC. А 1 Е= 2 cm, бидејќи ова е висината на пирамидата. Да најде ДЕАјде да направиме дополнителен цртеж што го прикажува горниот приказ (сл. 20). Точка ЗА– проекција на центрите на горните и долните основи. бидејќи (види Сл. 20) и Од друга страна добро– радиус впишан во кругот и ОМ- радиус впишан во круг:

МК = ДЕ.

Според Питагоровата теорема од

Областа на странично лице:


Одговор:

Пример 4.Во основата на пирамидата лежи рамнокрак трапез, чии основи АИ б (а> б). Секое странично лице формира агол еднаков на рамнината на основата на пирамидата ј. Најдете ја вкупната површина на пирамидата.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 21). Вкупна површина на пирамидата SABCDеднаков на збирот на површините и површината на трапезоидот А БЕ ЦЕ ДЕ.

Да ја искористиме изјавата дека ако сите лица на пирамидата се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш темето се проектира во центарот на кругот впишан во основата. Точка ЗА– теме проекција Сво основата на пирамидата. Тријаголник СОДе ортогоналната проекција на триаголникот ЦДХВдо рамнината на основата. Користејќи ја теоремата за плоштината на ортогоналната проекција на рамна фигура, добиваме:


Исто така значи Така, проблемот се сведе на пронаоѓање на областа на трапезоидот А БЕ ЦЕ ДЕ. Ајде да нацртаме трапез А БЕ ЦЕ ДЕодделно (сл. 22). Точка ЗА– центар на круг впишан во трапез.


Бидејќи кругот може да се впише во трапез, тогаш или Од Питагоровата теорема имаме

Тридимензионална фигура која често се појавува во геометриските проблеми е пирамидата. Наједноставната од сите фигури во оваа класа е триаголна. Во оваа статија детално ќе ги анализираме основните формули и својства на точниот

Геометриски идеи за фигурата

Пред да продолжиме да ги разгледуваме својствата на правилната триаголна пирамида, ајде внимателно да погледнеме за каква фигура зборуваме.

Да претпоставиме дека има произволен триаголник во тродимензионалниот простор. Дозволете ни да избереме која било точка во овој простор што не лежи во рамнината на триаголникот и да ја поврземе со трите темиња на триаголникот. Добивме триаголна пирамида.

Се состои од 4 страни, од кои сите се триаголници. Точките каде што се спојуваат три лица се нарекуваат темиња. Бројката има и четири од нив. Линиите на пресек на две лица се рабови. Пирамидата за која станува збор има 6 рабови На сликата подолу е прикажан пример за оваа фигура.

Бидејќи фигурата е формирана од четири страни, таа се нарекува и тетраедар.

Правилна пирамида

Погоре разгледавме произволна фигура со триаголна основа. Сега да претпоставиме дека цртаме нормална отсечка од врвот на пирамидата до нејзината основа. Овој сегмент се нарекува висина. Очигледно, можно е да се изврши 4 различни висиниза фигурата. Ако висината ја пресекува триаголната основа во геометрискиот центар, тогаш таквата пирамида се нарекува права.

Правилната пирамида, чија основа е рамностран триаголник, се нарекува правилна. За неа, сите три триаголници што ја формираат страничната површина на фигурата се рамнокраки и еднакви еден на друг. Посебен случај на правилна пирамида е ситуацијата кога сите четири страни се рамностран идентични триаголници.

Да ги разгледаме својствата на правилна триаголна пирамида и да ги дадеме соодветните формули за пресметување на нејзините параметри.

Основна страна, висина, страничен раб и апотема

Било кои два од наведените параметри уникатно ги одредуваат другите две карактеристики. Да ги претставиме формулите што ги поврзуваат овие количини.

Да претпоставиме дека страната на основата на правилна триаголна пирамида е a. Должината на неговиот страничен раб е b. Која ќе биде висината на правилната триаголна пирамида и нејзината апотема?

За висина h го добиваме изразот:

Оваа формула произлегува од Питагоровата теорема за која се страничниот раб, висината и 2/3 од висината на основата.

Апотемата на пирамидата е висината за кој било страничен триаголник. Должината на апотемата a b е еднаква на:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Од овие формули е јасно дека без оглед на страната на основата на триаголната правилна пирамида и должината на нејзиниот страничен раб, апотемата секогаш ќе биде поголема од висината на пирамидата.

Презентираните две формули ги содржат сите четири линеарни карактеристики на сликата за која станува збор. Затоа, со оглед на познатите две од нив, остатокот можете да го најдете со решавање на системот на пишани еднаквости.

Волумен на фигурата

За апсолутно секоја пирамида (вклучувајќи и наклонета), вредноста на обемот на просторот ограничен со него може да се одреди со познавање на висината на фигурата и површината на нејзината основа. Соодветната формула е:

Применувајќи го овој израз на сликата за која станува збор, ја добиваме следната формула:

Каде што висината на правилна триаголна пирамида е h, а нејзината основна страна е a.

Не е тешко да се добие формула за волумен на тетраедар во која сите страни се еднакви една со друга и претставуваат рамностран триаголник. Во овој случај, обемот на фигурата се одредува со формулата:

Односно, се одредува единствено со должината на страната a.

Површина

Да продолжиме да ги разгледуваме својствата на правилната триаголна пирамида. Вкупната површина на сите лица на фигурата се нарекува нејзина површина. Вториот може погодно да се проучува со разгледување на соодветниот развој. Сликата подолу покажува како изгледа развојот на правилна триаголна пирамида.

Да претпоставиме дека ја знаеме висината h и страната на основата a на сликата. Тогаш површината на нејзината основа ќе биде еднаква на:

Секој ученик може да го добие овој израз ако се сети како да ја најде плоштината на триаголник, а исто така земе предвид дека висината на рамностран триаголник е исто така симетрала и средна.

Страничната површина формирана од три идентични рамнокрак триаголници е:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Оваа еднаквост произлегува од изразот на апотемата на пирамидата во однос на висината и должината на основата.

Вкупната површина на сликата е:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Забележете дека за тетраедар во кој сите четири страни се идентични рамностран триаголници, областа S ќе биде еднаква на:

Својства на правилна скратена триаголна пирамида

Ако врвот на разгледуваната триаголна пирамида е отсечен со рамнина паралелна на основата, тогаш преостанатиот долен дел ќе се нарече скратена пирамида.

Во случај на триаголна основа, резултатот од опишаниот метод на пресек е нов триаголник, кој исто така е рамностран, но има пократка должина на страната од страната на основата. Скратена триаголна пирамида е прикажана подолу.

Гледаме дека оваа бројка е веќе ограничена на два триаголни основии три рамнокрак трапезоиди.

Да претпоставиме дека висината на добиената бројка е еднаква на h, должините на страните на долната и горната основа се a 1 и a 2, соодветно, а апотемата (висина на трапезоидот) е еднаква на a b. Потоа, површината на скратената пирамида може да се пресмета со формулата:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Овде првиот термин е областа на страничната површина, вториот термин е областа на триаголните основи.

Волуменот на фигурата се пресметува на следниов начин:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

За недвосмислено да се утврдат карактеристиките на скратената пирамида, неопходно е да се знаат нејзините три параметри, како што е прикажано со дадените формули.

Учениците се среќаваат со концептот на пирамида долго пред да студираат геометрија. Вината е во познатите големи египетски чуда на светот. Затоа, кога почнуваат да го проучуваат овој прекрасен полиедар, повеќето студенти веќе јасно го замислуваат. Сите горенаведени атракции имаат правилен облик. Што се случи редовна пирамида, и какви својства има ќе се дискутира понатаму.

Во контакт со

Дефиниција

Има доста дефиниции за пирамида. Од античките времиња, таа е многу популарна.

На пример, Евклид ја дефинирал како телесна фигура која се состои од рамнини кои, почнувајќи од една, се спојуваат во одредена точка.

Херон даде попрецизна формулација. Тој инсистираше на тоа дека тоа е бројката што има основа и рамнини во форма на триаголници,конвергирање во една точка.

Потпирајќи се на модерна интерпретација, пирамидата е претставена како просторен полиедар кој се состои од одреден k-аголник и k рамни триаголни фигури кои имаат една заедничка точка.

Ајде да го разгледаме подетално, од кои елементи се состои:

  • К-гонот се смета за основа на фигурата;
  • Како рабовите на страничниот дел излегуваат 3-аголни форми;
  • горниот дел од кој потекнуваат странични елементи, наречен врв;
  • сите сегменти што поврзуваат теме се нарекуваат рабови;
  • ако права линија се спушти од темето до рамнината на сликата под агол од 90 степени, тогаш нејзиниот дел затворен во внатрешен простор- висина на пирамидата;
  • во кој било страничен елемент, нормална, наречена апотема, може да се повлече на страната на нашиот полиедар.

Бројот на рабовите се пресметува со помош на формулата 2*k, каде што k е бројот на страните на k-аголникот. Колку лица има полиедар како што е пирамидата, може да се одреди со изразот k+1.

Важно!Пирамида со правилна форма е стереометриска фигура чија основна рамнина е k-аголник со еднакви страни.

Основни својства

Правилна пирамида има многу својства,кои се единствени за неа. Да ги наведеме:

  1. Основата е фигура со правилна форма.
  2. Рабовите на пирамидата што ги ограничуваат страничните елементи имаат еднакви нумерички вредности.
  3. Страничните елементи се рамнокрак триаголници.
  4. Основата на висината на фигурата паѓа во центарот на многуаголникот, а истовремено е и централна точка на впишаното и опфатеното.
  5. Сите странични ребра се наклонети кон рамнината на основата под ист агол.
  6. Сите странични површини имаат ист агол на наклон во однос на основата.

Благодарение на сите наведени својства, извршувањето на пресметките на елементите е многу поедноставно. Врз основа на горенаведените својства, обрнуваме внимание два знака:

  1. Во случај кога многуаголникот се вклопува во круг, страничните лица ќе ја имаат основата еднакви агли.
  2. Кога се опишува круг околу многуаголник, сите рабови на пирамидата што произлегуваат од темето ќе имаат еднаква должинаи еднакви агли со основата.

Основата е квадрат

Правилна четириаголна пирамида - многуедар чија основа е квадрат.

Има четири странични лица, кои се рамнокраки по изглед.

Плоштадот е прикажан на рамнина, но се заснова на сите својства на правилен четириаголник.

На пример, ако е неопходно да се поврзе страната на квадрат со неговата дијагонала, тогаш користете ја следнава формула: дијагоналата е еднаква на производот на страната на квадратот и квадратниот корен од два.

Се заснова на правилен триаголник

Правилна триаголна пирамида е полиедар чија основа е правилен 3-аголник.

Ако основата е правилен триаголник, а страничните рабови се еднакви на рабовите на основата, тогаш таквата фигура наречен тетраедар.

Сите лица на тетраедар се рамнострани 3-аголници. ВО во овој случајТреба да знаете некои точки и да не губите време на нив кога пресметувате:

  • аголот на наклон на ребрата кон која било основа е 60 степени;
  • големината на сите внатрешни лица е исто така 60 степени;
  • секое лице може да дејствува како основа;
  • , нацртани внатре во фигурата, тоа се еднакви елементи.

Пресеци на полиедар

Во секој полиедар има неколку видови на деловирамен. Често во училишниот курс по геометрија тие работат со две:

  • аксијален;
  • паралелно со основата.

Аксијален пресек се добива со пресекување на полиедар со рамнина што минува низ темето, страничните рабови и оската. Во овој случај, оската е висината извлечена од темето. Рамнината за сечење е ограничена со линиите на пресек со сите лица, што резултира со триаголник.

Внимание!Во правилна пирамида, аксијалниот пресек е рамнокрак триаголник.

Ако рамнината за сечење работи паралелно со основата, тогаш резултатот е втората опција. Во овој случај, имаме фигура на пресек слична на основата.

На пример, ако има квадрат во основата, тогаш делот паралелен со основата исто така ќе биде квадрат, само со помали димензии.

Кога решаваат проблеми под оваа состојба, тие користат знаци и својства на сличност на фигурите, врз основа на теоремата на Талес. Пред сè, неопходно е да се одреди коефициентот на сличност.

Ако рамнината е нацртана паралелно со основата и таа се отсече горниот делполиедар, тогаш во долниот дел се добива правилна скратена пирамида. Тогаш се вели дека основите на скратениот полиедар се слични многуаголници. Во овој случај, страничните лица се рамнокрак трапезоиди. Аксијалниот пресек е исто така рамнокрак.

За да се одреди висината на скратениот полиедар, неопходно е да се нацрта висината во аксијалниот пресек, односно во трапезоидот.

Површински површини

Главните геометриски проблеми што треба да се решат во училишниот курс по геометрија се наоѓање на површината и волуменот на пирамидата.

Постојат два вида вредности на површината:

  • областа на страничните елементи;
  • површина на целата површина.

Од самото име е јасно за што зборуваме. Странична површинавклучува само странични елементи. Од ова произлегува дека за да го пронајдете, едноставно треба да ги соберете областите на страничните рамнини, односно областите на рамнокрак 3-агони. Ајде да се обидеме да ја изведеме формулата за површината на страничните елементи:

  1. Плоштината на рамнокрак 3-аголник е Str=1/2(aL), каде што a е страната на основата, L е апотема.
  2. Бројот на странични рамнини зависи од типот на k-gon во основата. На пример, правилна четириаголна пирамида има четири странични рамнини. Затоа, неопходно е да се додаде површина од четирибројки Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Изразот е поедноставен на овој начин бидејќи вредноста е 4a = Rosn, каде што Rosn е периметарот на основата. А изразот 1/2*Rosn е негов полупериметар.
  3. Значи, заклучуваме дека површината на страничните елементи на правилната пирамида е еднаква на производот на полупериметарот на основата и апотемата: Ссајд = Росн * Л.

Површината на вкупната површина на пирамидата се состои од збирот на површините на страничните рамнини и основата: Sp.p = Sside + Sbas.

Што се однесува до површината на основата, тука формулата се користи според типот на многуаголникот.

Волумен на редовна пирамидаеднаков на производот од плоштината на основната рамнина и висината поделена со три: V=1/3*Sbas*H, каде што H е висината на полиедарот.

Што е правилна пирамида во геометријата

Својства на правилна четириаголна пирамида