Изучение спектра атома водорода. Спектральные серии в спектре водорода. Результаты работы и их анализ
Спектральная линия излучается или поглощается в результате перехода между двумя дискретными уровнями энергии. Формулы, выведенные в предыдущей главе, позволяют получить представление о спектрах атома водорода и водородоподобных ионов.
14.1. Спектральные серии атома водорода
Спектральной серией называется совокупность переходов с общим нижним уровнем. Например, серию Лаймана атома водорода и водородоподобных ионов составляют переходы на первый уровень: n→ 1, где главное квантовое число верхнего уровня, или его номер n, принимает значения 2, 3, 4, 5 и т.д., а серию Бальмера - переходы n→ 2 для n > 2. В табл.14.1.1 приведены названия первых нескольких серий атома водорода.
Таблица 1 4.1.1 Спектральные серии атома водорода
|
Названиесерии |
|
|
n → 1 |
Лаймана (Ly ) |
|
n → 2 |
Бальмера (H) |
|
n → 3 |
Пашена (P) |
|
n → 4 |
Брекета (B) |
|
n → 5 |
Пфунда (Pf) |
|
n → 6 |
Хэмфри |
|
n → 7 |
Хансена –Стронга |
Серия Лаймана атома водорода целиком попадает в область вакуумного ультрафиолета. В оптическом диапазоне находится серия Бальмера, а в ближней инфракрасной области - серия Пашена. Первые несколько переходов любой серии нумеруются буквами греческого алфавита по схеме табл.14.1.2:
Таблица 14.1.2 Обозначения первых линий спектральной серии
|
D n |
||||||||
В результате спонтанного перехода с верхнего уровня i на нижний j атом излучает квант, энергия E ij которого равна разности
При радиационном переходе с j на i поглощается квант с такой же энергией. В планетарной модели атома водорода энергия уровней вычисляется по формуле (13.5.2), причём заряд ядра равен единице:
.
Разделив эту формулу на hc , получим волновое число перехода:
Длина волны в вакууме равна обратной величине волнового числа:
По мере увеличения номера верхнего уровня i длина волны перехода монотонно уменьшается. При этом линии неограниченно сближаются. Существует нижний предел длины волны серии, соответствующий границе ионизации. Он обычно обозначается индексом «С» рядом с символом серии. На рис.14.1.1 схематически изображены
переходы, а на рис.14.1.2 - спектральные линии лаймановской серии атома
водорода.
Хорошо видно сгущение уровней и линий вблизи границы ионизации.
По формулам (1.3) и (1.4) с постоянной Ридберга (13.6.4) мы можем вычислить длины волн для любой серии атома водорода. В таблице 14.1.3 собраны сведения о первых
Таблица 14.1.3. Лаймановская серия атома водорода
|
n |
E 12 , эВ |
E 12 , Ry |
Длина волны, Å |
||
|
l эксп. |
l теор. |
||||
|
Ly a |
10. 20 |
0.75 |
1215.67 |
1215.68 |
|
|
Ly b |
12.09 |
0.89 |
1025.72 |
1025.73 |
|
|
Ly g |
12.75 |
0.94 |
972.537 |
972.548 |
|
|
Ly d |
13.05 |
0.96 |
949.743 |
949.754 |
|
|
Ly C |
13.60 |
1.00 |
______ |
911.763 |
|
линиях серии Лаймана. В первом столбце приведён номер числа верхнего уровня n , во втором - обозначение перехода. В третьем и четвёртом содержится энергия перехода, соответственно, в электронвольтах и в ридбергах. В пятом помещены измеренные длины волны переходов, в шестом - их теоретические значения, вычисленные по планетарной модели. Излучение с l <2000Å сильно поглощается в земной атмосфере, поэтому длины волн серии Лаймана приведены для вакуума.
Хорошее согласие теории с экспериментом говорит о разумности положений, лежащих в основе теории Бора. Расхождение в сотых долях ангстрема обусловлено релятивистскими эффектами, о которых упоминалось в предыдущем разделе. Их мы рассмотрим ниже.
Формула (1.4) даёт длину волны в вакууме λ вак. . Для оптического диапазона (λ > 2000Å) в спектроскопических таблицах приводятся длины волн λ атм. , измеренные в условиях земной атмосферы. Переход к λ вак. выполняется умножением на показатель преломления N :
(1.5) λ вак. = N ·λ атм. .
Для показателя преломления воздуха при нормальной влажности справедлива следующая эмпирическая формула:
(1.6) N - 1 = 28.71·10 -5 (1+5.67·10 -3 λ 2 а тм. )
Здесь атмосферная длина волны выражена в микронах. В правую часть (1.6) можно подставить также λ вак. : незначительная ошибка в длине волны мало сказывается на величине N – 1.
Сведения о бальмеровской серии (j = 2) содержатся в табл.14.1.4. Экспериментальные значения длины волны перехода в пятом столбце даны для
Таблица 14.1.4 Бальмеровская серия водорода
|
n |
Линия |
Энергия перехода |
Длина волны . , Å |
|||
|
эВ |
Измерена в атмосфере |
Теоретическая для вакуума |
Теоретическая для атмосферы |
|||
|
H a |
1.89 |
0.14 |
6562.80 |
6564.70 |
6562.78 |
|
|
H b |
2.55 |
0.18 |
4861.32 |
4862.74 |
4861.27 |
|
|
H g |
2.86 |
0.21 |
4340.60 |
4341.73 |
4340.40 |
|
|
H d |
3.02 |
0.22 |
4101.73 |
4102.94 |
4101.66 |
|
|
3.40 |
0.25 |
______ |
3647 |
3646 |
||
нормальных атмосферных условий. Теоретические длины волн, исправленные преломления по формулам (1.5) и (1.6), приведены в последнем столбце. Спектральные линии бальмеровской серии можно схематически изображены на
рис.14.1.3. Положение линии отмечено цветной линией; сверху - длина волны в ангстремах, снизу - принятое обозначение перехода. Головная линия H a находится в красном диапазоне спектра; обычно она оказывается самой сильной линией серии. Остальные переходы монотонно ослабевают по мере увеличения главного квантового числа верхнего номера. Линия H b расположена в сине–зелёном участке спектра, а остальные - в синей и фиолетовой областях.
Природа бальмеровского скачка
Бальмеровским скачком называется депрессия излучения в спектрах звёзд на длинах волн короче 3700Å. На рис.14.1.4 изображены регистрограммы спектров двух звёзд. Красная граница
фотоэффекта, обусловленного ионизацией атома водорода со второго уровня, помечена красной пунктирной линией (l =3646Å), а собственно бальмеровский скачок - синей (l =3700Å). На нижнем спектре отчётливо видна депрессия вблизи синей линии. Для сравнения сверху помещён спектр зв езды, не имеющий никаких особенностей в промежутке 3600 < l < 3700 Å.
Заметное расхождение красной и синей линий на рис.14.1.4 не позволяет считать фотоэффект непосредственной причиной рассматриваемого явления. Здесь важную роль играет наложение линий бальмеровской серии при больших значениях n . Вычислим разность длин волн ∆λ двух соседних переходов: i →2 и (i +1)→2. Дважды воспользуемся формулами (1.3), (1.4) при j = 2, заменив индекс i на n : Для n ? 1 можно пренебречь единицей по сравнению с n , а также четвёркой по сравнению с (n +1) 2:
Мы получили количественное выражение для упомянутого выше неограниченного сближения верхних членов любой серии водорода. Последняя формула при n > 10 имеет точность не хуже 5%.
Абсорбционные линии имеют определённую ширину, зависящую от физических условий в атмосфере звезды. В качестве грубого приближения её можно принять равной 1Å. Будем считать две линии неразличимыми, если ширина каждой из них равна расстоянию между линиями. Тогда из (1.7) получается, что слияние линий должно происходить при n ≈15. Примерно такая картина наблюдается в спектрах реальных звёзд. Итак, бальмеровский скачок определяется слиянием высоких членов бальмеровской серии. Подробнее этот вопрос мы обсудим в семнадцатой главе.
Бальмеровская серия дейтерия
Ядро тяжёлого изотопа водорода - дейтерия - состоит из протона и нейтрона, и приблизительно вдвое тяжелее ядра атома водорода - протона. Постоянная Ридберга у дейтерия R D (13.6.5) больше, чем у водорода R H , поэтому линии дейтерия смещены в синюю сторону спектра относительно линий водорода. Длины волн бальмеровской серии водорода и дейтерия, выраженные в ангстремах, приведены в табл. 14.1.5.
Таблица 14.1.5. Длины волн бальмеровской серии водорода и дейтерия.
|
дейтерий |
||
|
6562.78 |
||
|
4861.27 |
||
|
4340.40 |
||
|
4101.66 |
Атомный вес трития приблизительно равен трём. Его линии также подчиняются закону планетарной модели атома. Они смещены примерно на 0.6Å в синюю сторону относительно линий дейтерия.
14.2. Переходы между высоковозбуждёнными состояниями
Переходы между соседними уровнями атома водорода с номерами n > 60 попадают в сантиметровый и более длинноволновый диапазоны спектра, поэтому их называют «радиолиниями». Частоты переходов между уровнями с номерами i и j получаются из (1.3), если обе части формулы разделить на постоянную Планка h :
Постоянная Ридберга, выраженная в герцах, равна
.
Формулой, аналогичной (2.1), для состояний с n ? 1 можно пользоваться не только в случае водорода, но и для любого атома. Согласно материалу предыдущей главы, мы можем написать
где R
(Гц) выражается
через R
∞ (Гц) по формуле (13.8.1),
как и R
через R
∞ .
В настоящее время радиолинии стали мощным инструментом изучения межзвёздного газа. Они получаются в результате рекомбинации, то есть образования атома водорода при столкновении протона и электрона с одновременным излучением избыточной энергии в виде кванта света. Отсюда следует их другое название - рекомбинационные радиолинии. Их излучают диффузные и планетарные туманности, области нейтрального водорода вокруг областей ионизованного водорода и остатки сверхновых. Излучение радиолиний от космических объектов обнаружено в диапазоне длин волн от 1 мм до 21 м.
Система обозначения радиолиний аналогична оптическим переходам водорода. Линия обозначается тремя символами. Сначала записывается имя химического элемента (в данном случае - водорода), затем номер нижнего уровня и, наконец - греческая буква, с помощью которой зашифрована разность j - i :
Обозначение α β γ δ
Разность j - i 1 2 3 4
Например, H109α обозначает переход со 110–го на 109–й уровень водорода, а H137β - переход между его 139–м и 137–м уровнями. Приведём частоты и длины волн трёх переходов атома водорода, часто встречающихся в астрономической литературе:
Переход H66α H109α H137β
n (МГц)223645008.95005.03
l (см)1.3405.98535.9900
Линии H109α и H137β всегда видны раздельно, несмотря на то, что они очень близки в спектре. Это является следствием двух причин. Во–первых, методами радиоастрономии длины волн измеряются очень точно: с шестью, а иногда и с семью верными знаками (в оптическом диапазоне обычно получается не более пяти верных знаков). Во–вторых, сами линии в спокойных областях межзвёздной среды значительно ýже, чем линии в звёздных атмосферах. В разреженном межзвёздном газе единственным механизмом уширения линий остаётся эффект Доплера, в то время как в плотных атмосферах звёзд большую роль играет уширение давлением.
Постоянная Ридберга растет с увеличением атомного веса химического элемента. Поэтому линия He109α сдвинута в сторону бóльших частот, чем линия H109α. По аналогичной причине ещё выше частота перехода C109α.
Сказанное иллюстрируется рис.14.2.1, на котором приведён участок спектра типичной газовой туманности (NGC 1795). По горизонтальной оси отложена частота, измеренная в мегагерцах, по вертикальной - яркостная температура в градусах Кельвина. В поле рисунка указана доплеровская скорость туманности (–42.3 км/с), которая несколько меняет длины волн линий по сравнению с их лабораторными значениями.
14.3. Изоэлектронная последовательность водорода
Согласно определению, данному в четвёртом разделе седьмой главы, ионы, состоящие из ядра и одного электрона, называются водородоподобными. Другими словами, говорят, что они относятся к изоэлектронной последовательности водорода. Их структура качественно напоминает атом водорода, а положение энергетических уровней ионов, заряд ядра которых не слишком велик (Z < 10), может быть вычислено по простой формуле (13.5.2). Однако у многозарядных ионов (Z > 20) появляются количественные отличия, связанные с релятивистскими эффектами: зависимостью массы электрона от скорости и спин–орбитальным взаимодействием.
Оптические переходы иона HeII
Заряд ядра гелия равен двум, поэтому длины волн всех спектральных серий иона HeII в четыре раза меньше, чем у аналогичных переходов атома водорода: например, длина волны линии H a равна 1640Å.
Лаймановская и бальмеровская серии HeII лежат в ультрафиолетовой части спектра; а в оптический диапазон частично попадают серии Пашена (P ) и Брекета (B ). Наиболее интересные переходы собраны в табл.14.3.1. Как и в случае бальмеровской серии водорода, приведены «атмосферные» длины волн.
Таблица 14.3.1. Длины волн пашеновской и брекетовской серий иона HeII
|
Обозначение |
P a |
P b |
B g |
B e |
|
Длина волны, Å |
4686 |
3202 |
5411 |
4541 |
Постоянная Ридберга для гелия равна:
.
Отметим важную особенность иона HeII. Из 13.5.2 следует, что энергия уровня Zn водородоподобного иона с зарядом ядра Z , равна энергии уровня n атома водорода. Поэтому переходы между чётными уровнями 2n и 2m иона HeII и переходы n → m атома водорода имеют очень близкие длины волн. Отсутствие полного совпадения обусловлено, главным образом, различием значений R H и R He .
На рис. 14.3.1 сопоставлены схемы переходов атома водорода (слева) и иона HeII (справа). Пунктиром обозначены переходы HeII, практически совпадающие с бальмеровскими линиями водорода. Сплошными линиями отмечены переходы B γ , B ε и B η , для которых нет пары среди линий водорода. В верхней строке табл.14.3.2 приведены длины волн серии Брекета HeII, а в нижней - линии бальмеровской серии водорода. Линии серии Брекета называются также серией
Таблица 14.3.2. Серия Брекета иона HeII и серия Бальмера атома водорода
|
HeII |
6560 (6 → 4) B b |
5411 (7 → 4) B g |
4859 (8 → 4) B d |
4541 (9 → 4) B ε |
4339 B ζ |
4200 B η |
4100 B θ |
B 13 |
|
6563 H a |
_______ |
4861 H b |
_______ |
4340 H g |
_______ |
4102 H d |
______ |
Пикеринга , по фамилии директора Гарвардской обсерватории, впервые исследовавшего их в спектрах горячих звёзд южного неба. Отметим, что серия Пикеринга была удачно объяснена именно в рамках планетарной модели атома. Тем самым, она способствовала установлению современных взглядов на природу атома.
Приведённая масса выше у более тяжёлого химического элемента, поэтому уровень с номером 2m иона гелия лежит глубже уровня m атома водорода. Следовательно, линии серии Брекета HeII сдвинуты в синюю сторону относительно соответствующих переходов серии Бальмера. Относительная величина сдвига линий D l /l определяется в данном случае отношением постоянных Ридберга:
Абсолютное значение D l для l = 6560Å составляет примерно 3Å, в согласии с данными табл.(14.3.2).
Линии HeII, соответствующие переходам между уровнями с чётными номерами перекрываются с линиями водорода, так как ширины линий значительно больше расстояния между ними. Обычно линии водорода значительно сильнее линий гелия, но есть одно исключение - это звёзды типа Вольфа–Райе. Температура их атмосфер превышает 30000К, а содержание гелия по числу частиц в десять раз больше, чем водорода. Поэтому ионов гелия там много, а нейтрального водорода, наоборот, мало. В результате в спектрах звёзд Вольфа–Райе все линии водорода наблюдаются только как слабые добавки к линиям HeII. Содержание водорода в звёздах этого типа оценивается путём сравнения глубин линий брекетовской серии HeII с чётными и нечётными номерами верхнего уровня: первые несколько больше из-за дополнительного вклада водорода.
В спектрах нормальных звёзд самыми сильными линиями поглощения всегда остаются линии водорода, если температура атмосферы выше 10000К. На рис.14.3.2
приведена регистрограмма горячей звезды спектрального класса О3. На рисунке хорошо видны линии серии Пикеринга и три бальмеровские линии.
Другой пример взаимодействия линий водорода и HeII даёт переход P α иона HeII с длиной волны λ=4686Å. Эта линия в спектрах звёзд может наблюдаться как эмиссионная, в то время как следующий член пашеновской серии - l 3202Å - представляет собой обычную абсорбционную линию. Различие в поведении линий обусловлено тем, что населённость верхнего уровня (n = 4) линии l 4686 может быть значительно увеличена путём поглощения сильной линии Ly a водорода: длины волн переходов 2→1 атома водорода и 4→2 иона HeII очень близки. Этот процесс совершенно не влияет на излучение в линии l 3202Å, у которой оба уровня имеют нечётные номера (переход 5→3). Эффект взаимодействия ослабляется, если нижний уровень расположен достаточно высоко, например, l 5411 и l 4541. Последний используется в спектральной классификации звёзд как критерий температуры.
Многозарядные ионы
Планетарная модель, как мы убедились, является весьма эффективным инструментом исследования атома водорода и водородоподобных ионов. Однако она остаётся весьма грубым приближением к реальной структуре атомов и, в особенности, многокозарядных ионов. В табл.14.3.3 сопоставлены экспериментальные и теоретические длины волн резонансного перехода Ly a для нескольких водородоподобных ионов, представляющих интерес в астрономии. В первой строке таблицы приведены
Таблица 14.3.3. Длины волн резонансных переходов водородоподобных ионов
|
l теор , Å |
||||||||||||||||
|
l эксп . , Å |
303.78при i =2 и j = 1, а в третьей - их экспериментальные значения. Если, согласно табл.14.1.3, у атома водорода расхождение с экспериментом наблюдается только в шестой значащей цифре, то у HeII - в пятой, у ионов CVI и OVIII - в четвёртой, а у FeXXVI - уже в третьей. Эти различия обусловлены релятивистскими эффектами, о которых мы писали в начале главы. Исходя из (13.7.7), вычислим разность энергий второго и первого уровней:  Множитель перед левой скобкой равен энергии перехода в нерелятивистском приближении, он получается из (3.1a ) при j = 1 и i = 2: Величина ΔE B соответствует теоретической длине волны из второй строки табл.(14.3.3). Теперь мы можем уточнить длину волны перехода. Для этого сопоставимотносительную величину релятивистской поправки  с относительной разностью  чисел из табл.(14.1.3). Результаты расчётов собраны в табл.(14.3.4). Таблица 14.3 .4. Сопоставление релятивистской поправки с экспериментом
Сравнение второй и третьей строк таблицы показывает, что можно получить хорошее согласие теории с экспериментом, даже оставаясь в рамках полуклассической модели круговых орбит. Заметное расхождение между d R и d l присутствует у иона железа. Несмотря на небольшую величину, оно неустранимо в рамках применяемой модели: расчёты по формуле (13.7.5) не приводят к улучшению результата. Причина заключается в принципиальном недостатке планетарной модели с круговыми орбитами электронов: она связывает энергию уровня только с одним квантовым числом. В действительности верхний уровень резонансного перехода расщеплён на два подуровня. Такое расщепление называется тонкой структурой уровня. Именно оно вносит неопределённость в длину волны перехода. Тонкая структура есть у всех водородоподобных ионов, причём величина расщепления быстро растёт по мере увеличения заряда ядра. Для объяснения тонкой структуры нам придётся отказаться от простой модели круговых орбит. Оставаясь в рамках полуклассических представлений, перейдём к модели эллиптических орбит, которую называют моделью Бора–Зоммерфельда. |
Цель работы :
1. Исследовать видимую часть спектра атома водорода .
2. Определить постоянную Ридберга и энергию ионизации атома водорода .
Основные теоретические положения работы .
Законы классической физики описывают непрерывные процессы. Атом, состоящий из положительно заряженного ядра и окружающих его электронов, согласно этим законам, будет находиться в равновесии только при условии, что электроны непрерывно движутся вокруг ядра по некоторым орбитам. Но с точки зрения классической электродинамики движущиеся с ускорением электроны излучают электромагнитные волны, вследствие чего они теряют энергию и постепенно падают на ядро. В этих условиях частота обращения электрона меняется непрерывным образом и спектр излучения атома должен быть сплошным. Когда электрон упадет на ядро, атом перестает существовать.
Несложными вычислениями можно убедиться в том, что промежуток времени, через который электрон упадет на ядро, составляет 10 -11 с. Эксперимент показывает, что атомные спектры состоят из отдельных линий или групп линий. Все это указывает на то, что процессам, в которых участвуют микрообъекты, свойственна прерывность (дискретность), и методы классической физики, вообще говоря, неприменимы к описанию внутриатомных движений.
В 1913 году Н.Бору удалось построить непротиворечивую теорию, которая успешно объясняла строение атома водорода. Бор распространил Постулат М.Планка (1900г.) о существовании устойчивых стационарных состояний осцилляторов (который является необходимой предпосылкой для вывода правильной формулы излучения абсолютно черного тела) на любые атомные системы. В основе теории Бора лежат два постулата:
1. Атом и атомные системы могут длительно пребывать только в определенных (стационарных) состояниях, в которых, несмотря на происходящие в них движения заряженных частиц, они не излучают и не поглощают энергию. В этих состояниях атомные системы обладают энергиями, образующими дискретный ряд: Е 1 , Е 2 , …, Е n . Состояния эти характеризуются своей устойчивостью: всякое изменение энергии в результате поглощения или испускания электромагнитного излучения или в результате соударения может происходить только при полном переходе (скачком) из одного состояния в другое.
2. При переходе из одного состояния в другое атомы испускают (или поглощают) излучение только строго определенной частоты. Излучение, испускаемое (или поглощаемое) при переходе из состояния с энергией Е m в состояние Е n монохроматично, и его частота определяется из условия
Оба постулата противоречат требованиям классической электродинамики. Первый постулат утверждает, что атомы не излучают, хотя образующие его электроны совершают ускоренное движение (обращение по замкнутым орбитам). Согласно второму постулату, испускаемые частоты не имеют ничего общего с частотами периодических движений электронов.
Спектр излучения того или иного вещества - важная его характеристика, которая позволяет установить его состав, некоторые характеристики его строения, свойства атомов и молекул.
Атомы газа испускают линейчатые спектры, состоящие из групп отдельных спектральных линий, называемых спектральными сериями . Наиболее простой спектр имеет атом водорода. Уже в 1885 году Бальмер показал, что длины волн четырех линий, лежащих в видимой части спектра, могут быть очень точно представлены эмпирической формулой
где n = 3, 4, 5, 6,…, В – эмпирическая константа.
Закономерность, выражаемая этой формулой, становится особенно наглядной, если представить ее в том виде, в котором ей обычно пользуются в настоящее время:
Величину иногда обозначают через и называют спектроскопическим волновым числом. Константа носит название постоянной Ридберга. Таким образом, окончательно получим
С увеличением номера n линии интенсивность линии уменьшается. Уменьшается также разность между волновыми числами соседних линий. При n = ∞ получается постоянное значение = . Если схематически представить расположение спектральных линий, определяемых (4) и условно изображать длиной линии их интенсивность, получится картина, представленная на рис.1.
Совокупность спектральных линий, обнаруживающие в своей последовательности и в распределении интенсивности закономерность, показанную на рис.1, называется спектральной серией . Предельная длина волны, около которой сгущаются линии при n → ∞, называется границей серии. Серия, описываемая формулой (4) носит название серии Бальмера.
Наряду с серией Бальмера в спектре атома водорода был обнаружен ряд других серий, представляемых совершенно аналогичными формулами.
В ультрафиолетовой области была найдена серия Лаймана:
В инфракрасной области спектра были обнаружены
Серия Пашена
Серия Брэкета
Серия Пфунда
Серия Хэмфри
Таким образом, все известные серии атомарного водорода можно представить так называемой обобщенной формулой Бальмера:
где m в каждой серии имеет постоянной значение, а n – ряд целых значений, начинающихся с m+1.
Поиски физического смысла формулы (10)привели к созданию квантовой теории атома водорода. Уравнение Шредингера для него записывается в виде:
где Ψ(r) – волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, Е – полная энергия электрона.
Решение этого уравнения – спектр возможных значений полной энергии атома водорода:
Согласно (1) частота перехода между состояниями определяется
С другой стороны, по известной формуле
Комбинируя (12), (13) и (14), получаем:
совпадает с обобщенной формулой Бальмера.
Теоретическое значение постоянной Ридберга (16) все же значительно отличается от экспериментально полученного из спектроскопических измерений. Это связано с тем, что при выводе формулы (16) принимаются два допущения: а) масса ядра атома бесконечно велика по сравнению с массой электрона (отсюда и символ «∞» в обозначении постоянной) и б) ядро неподвижно. В действительности, например, для атома водорода, масса ядра всего лишь в 1836,1 раз больше массы электрона. Учет этого обстоятельства приводит к следующей формуле:
где М – масса ядра атома. В этом приближении постоянная Ридберга зависит от массы ядра, и поэтому ее значение для различных водородоподобных атомов отличаются друг от друга (рис.2).
Рис.2 Рис.3
Для того, чтобы получить всю совокупность сведений об атоме, удобно пользоваться диаграммой уровней энергии (рис.3). Горизонтальные прямые отвечают различным энергетическим состояниям атома водорода. По мере увеличения номера состояния расстояние между соседними уровнями уменьшается и в пределе обращается в нуль. Выше места слияния расположена сплошная область неквантованных положительных энергий. За нулевой уровень энергии принимается энергия уровня с n = ∞. Ниже этого значения энергетические уровни дискретны. Им соответствуют отрицательные значения полной энергии атома. Это обстоятельство указывает на то, что энергия электрона в таких состояниях меньше его энергии в том случае, когда он отделен от атома и покоится на бесконечно большом расстоянии, то есть на то, что электрон находится в связанном состоянии.
Наличие несвязанных электронов делает возможными квантовые переходы между состояниями непрерывного энергетического спектра, а также между такими состояниями и состояниями дискретного спектра энергии. Это проявляется в виде сплошного спектра испускания или поглощения, накладывающегося на линейчатый спектр атома. Поэтому спектр не обрывается на границе серии, а продолжается за нее в сторону более коротких волн, где он становится сплошным. Переходы из состояний непрерывного спектра (тех состояний, в которых атом ионизирован) в состояния дискретного спектра сопровождается рекомбинацией электрона и положительного иона. Возникающее при этом излучение называется рекомбинационным.
Переход атома из нормального состояния на более высокий энергетический уровень дискретного спектра есть возбуждение атома. Переход же атома с одного из уровней дискретного спектра в область сплошного спектра превращает атом в несвязанную систему. Это есть процесс ионизации атома . Энергия, соответствующая волновому числу начала сплошного спектра со стороны длинных волн (волновому числу границы серии) должна быть равной энергии ионизации, то есть энергии, необходимой для отделения электрона от атома и удаления его на бесконечное расстояние. Таким образом, волновое число границы серии Лаймана дает энергию ионизации атома водорода в основном, наиболее устойчивом состоянии.
В данной работе изучаются четыре первые линии серии Бальмера, которые имеют следующие обозначения:
Красная линия (n = 3),
Сине – голубая линия (n = 4),
Голубая линия (n = 5),
Фиолетовая линия (n = 6).
Студент группы
1. Цель работы 2
2. Описание установки и методики эксперимента 2
3. Результаты работы и их анализ 3
4. Выводы 6
Ответы на контрольные вопросы 7
Список используемой литературы 10
Приложение А 11
1. Цель работы
Целью работы является изучение спектра излучения атомов водорода и экспериментальное определение постоянной Ридберга.
2. Описание установки и методики эксперимента
Для изучения спектра атома водорода используется спектроскоп на основе призменного монохроматора УМ-2. Схема экспериментальной установки приведена на Рисунок 2.1.
1 - лазер; 2 - щель; 3 - экран с миллиметровой шкалой
Рисунок 2.1 – Принципиальная схема наблюдения дифракции Фраунгофера с использованием в качестве лазера
Свет от источника 1 через входную щель 2 и объектив 3 параллельным пучком падает на спектральную призму с высокой 4. Призмой свет разлагается в спектр и через объектив 6 направляется в окуляр 8. При повороте призмы в центре поля зрения появляются различные участки спектра. Призму поворачивают при помощи барабана 5, на которой нанесена шкала в градусах. Вращением барабана спектральную линию подводят к стрелке указателя 7, расположенного в окуляре, и фиксируют отсчёт по шкале барабана.
Источником света в данной работе являются газоразрядная водородная трубка и ртутная лампа высокого давления ДРШ-250-3.
3. Результаты работы и их анализ
Таблица 3.1 – Данные градуировки спектроскопа по спектру ртути*
*Длины волн спектральных линий ртути, взятые из таблицы 5.1 на стр.8 руководства .
Рисунок 3.1 – Градуировочный график
Значения длин волн λ спектральных линий водорода определяются по градуировочному графику: на оси Y откладываются значения ϕ, а соответствующие им значения на оси X подбираются так, чтобы точка совпала с линией.
Таблица 3.2 – Экспериментальные данные спектра атома водорода
Таблица3.3 – Обратные значения длин волн спектральных линий водорода, главных квантовых чисел.
Для проверки справедливости формулы Бальмера строится график зависимости 1/л/(1/n 2).
Рисунок 3.2 – График линейной зависимости 1/л(1/n 2)
Из графика определяем постоянную Ридберга, как угловой коэффициент линейной зависимости 1/л/(1/) по формуле (3.1).
Параметры прямой1на Рисунке 3.2 |
|||
Абсолютное значение углового коэффициента K прямой является постоянной Ридберга R = |K| = 1,108E+07
Абсолютная погрешность найденной постоянной Ридберга s(R) = s(K) = 1,057E+05
Табличное значение постоянной Ридберга : 1,097E+07
Отличие найденного и табличного значений постоянной Ридберга |1 - R/ |Ч100% = 0,98 %
В соответствии с §8 на стр. 8 п. результат записывается с гарантией.
R = (1,108 ± 0,01) ;
Здесь e(R) – относительная погрешность, которая вычисляется по ф. (1.2) на стр. 2 п. .
Используя полученные из опыта значения длин волн построим фрагмент энергетического спектра атома водорода.
Переходы, наблюдаемые в опыте: 6s → 2p, 5s → 2p, 4s → 2p, 3s → 2p.
4. Выводы
В ходе лабораторной работы был изучен спектр излучения атомов
водорода. Был построен график линейной зависимости (1/л)/(1/), по которому удалось определить постоянную Ридберга:
R = (1,108 ± 0,01) ;
Ошибка определения постоянной Ридберга составила 0,9 %.
Полученные результаты соотносятся с теоретическими данным.
Ответы на контрольные вопросы
1. Объяснить принцип действия призменного спектроскопа.
Принцип действия призменного спектроскопа основан на явлении дисперсии света. Распад входного светового потока на разные спектральные составляющие.
2. В чем заключается градуировка спектроскопа?
Угол отклонения призмой лучей монохроматического света не пропорционален ни длине волны, ни его частоте. Поэтому дисперсионные спектральные приборы необходимо предварительно градуировать с помощью эталонных источников света. В данной лабораторной работе эталонным источником света являлась ртутная лампа.
Градуировка заключалась в следующем:
Установить перед входной щелью спектроскопа на расстоянии 30-40 см ртутную лампу. Включить ртутной лампы тумблерами «СЕТЬ» и «ЛАМПА ДРШ». Зажечь ртутную лампу, нажимая несколько раз на кнопку «ПУСК», и дать разогреться лампе в течение 3-5 минут. Изменяя ширину входной щели и перемещая окуляр, добиться, чтобы спектральные линии, видимые через окуляр, были тонкие и резкие.
Измерить значения угла поворота барабана для различных линий спектра ртути, совмещая последовательно линии со стрелкой указателя в окуляре. Подводить линии к указателю следует только с одной стороны, чтобы уменьшить погрешность за счет люфта барабана.
3. Как задают состояние электрона в атоме водорода в квантовой механике?
Соответствующие энергиям En собственные функции
задают стационарные состояния электрона в атоме водорода и зависят от квантовых чисел n, l и m.
Орбитальное квантовое число l при определенном n может принимать значения l=0, 1, 2, …, n-1. Магнитное квантовое число при данном l принимает значения .
4. Какой смысл имеет квадрат модуля волновой функции?
В соответствии с интерпретацией волновой функции квадрат модуля волновой функции дает плотность вероятности нахождения электрона в различных точках пространства.
5. Записать стационарное уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода.
Rnl(r) – радиальная часть волновой функции;
Ylm(и, ц) – угловая часть волновой функции;
n – главное квантовое число;
l – орбитальное квантовое число;
m – магнитное квантовое число.
6. Привести возможные состояния для электрона в атоме водорода с n = 3.
При n = 3 возможные состояния электрона в атоме водорода: s, p, d.
7. Что называют энергией ионизации атома водорода?
Состояние 1s атома называют основным. Ему соответствует наименьший энергетический уровень E1=-13,6 эВ, также называемый основным. Все другие состояния и энергетические уровни называются возбужденными. Величина |E1| является энергией ионизации атома водорода.
8. Доказать, что плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии равном боровскому радиусу является максимальной.
Вероятность обнаружения электрона в шаровом слое от r до r+dr равна объему этого слоя , умноженному на . Плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянии r от ядра
достигает максимума при r=r0.
Величина r0, имеющая размерность длины, совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Следовательно, в квантовой механике радиус первой боровской орбиты интерпретируется как расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружения электрона максимальна.
9. Какому правилу отбора подчиняется орбитальное квантовое число и почему?
Из закона сохранения момента импульса при испускании и поглощении света атомом для орбитального квантового числа l возникает правило отбора .
10. Указать типы переходов для серий Лаймана и Пашена.
Для серии Лаймана: np → 1s (n = 2, 3 ...).
Для серии Пашена: np → 3s, ns → 3p, nd → 3p, np → 3d, nf → 3d (n = 4, 5 ...)
11. Найти коротковолновую и длинноволновую границы (л1 и л∞) для серий Лаймана, Бальмера, Пашена.
Для серии Лаймана: m = 1, n = 2, 3, … ∞.
R = 1,097 ∙ 107 (м-1)
при n = ∞. , л1 = 1/(1,097 ∙ 107) ∙ 109 = 91,2 (нм)
Л∞ = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 3/4) ∙ 109 = 121,5 (нм)
Для серии Бальмера: m = 2, n = 3, 4 … ∞.
R = 1,097 ∙ 107 (м-1)
при n = ∞. , л1 = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 1/4) ∙ 109 = 364,6 (нм)
Л∞ = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 0,1389) ∙ 109 = 656,3 (нм)
Для серии Пашена: m = 3, n = 4, 5 … ∞.
R = 1,097 ∙ 107 (м-1)
при n = ∞. , л1 = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 1/9) ∙ 109 = 820,4 (нм)
Л∞ = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 0,04861) ∙ 109 = 1875,3 (нм)
Список используемой литературы
, Кириллов спектра атома водорода. Руководство к лабораторным работам для студентов всех специальностей. – Томск: ТУСУР, 2005. – 10 с. Рипп погрешностей измерений. Методические указания к лабораторному практикуму по курсу физики для студентов всех специальностей. – Томск: ФДО, ТУСУР, 2006. – 13 с.Приложение А
К файлу отчёта прикладывается регистрационный файл с результатами экспериментов phyLab7.reg.
1 В Excel параметры построенной по заданным точкам прямой можно получить с помощью функции ЛИНЕЙН(), в которой реализован метод наименьших квадратов (МНК). В пособии МНК описан на стр. 12–13 ф. (10.2)–(10.5).
Федеральное Агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра физики
Лабораторная работа по курсу "Общая физика"
ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА АТОМА ВОДОРОДА
г.Томск 2012
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью работы является изучение спектра излучения атомов водорода и экспериментальное определение постоянной Ридберга.
2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА
Для изучения спектра атома водорода используется спектроскоп на основе призменного монохроматора УМ-2. Схема экспериментальной установки приведена на рис.2.1.
1 – источник света, 2 – входная щель спектроскопа, 3 – входной объектив, 4 – сложная спектральная призма, 5 – микрометрический винт с отсчетным барабаном, 6 – входной объектив, 7 – указатель, 8 - окуляр
Рис.2.1 Схема экспериментальной установки
Свет от источника 1 через входную щель 2 и объектив 3 параллельным пучком падает на спектральную призму с высокой дисперсией 4. Призмой свет разлагается в спектр и через объектив 6 направляется в окуляр 8. При повороте призмы в центре поля зрения появляются различные участки спектра. Призму поворачивают при помощи барабана 5, на которой нанесена шкала в градусах. Вращением барабана спектральную линию подводят к стрелке указателя 7, расположенного в окуляре, и фиксируют отсчет по шкале барабана.
Источником света в данной работе являются газоразрядная водородная трубка и ртутная лампа высокого давления ДРШ-250-3.
3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Постоянная Ридберга (угловой коэффициент), расчёт по графику:
,
где (3.1)
λ – длина волны спектральных линий;
n – главное квантовое число.
Вспомогательные формулы для расчёта абсолютной погрешности постоянной Ридберга:
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Угловой коэффициент прямой k= n*S 3 -S 1 S 2 /D (3.9)
Абсолютная погрешность постоянной Ридберга, как абсолютная погрешность углового коэффициента прямой k:
,
где (3.10)
n – количество точек.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.
Таблица 4.1 – Данные градуировки спектроскопа по спектру ртути
Построим градуировочный график φ(λ).
Значения длин волн λ спектральных линий водорода определяются по градуировочному графику: на оси Y откладываются значения φ, а соответствующие им значения на оси X подбираются так, чтобы точка совпала с линией. Используя график, определяем значения длин волн линий спектра водорода. Данные заносим в таблицу 4.2.
Таблица 4.2 – Экспериментальные данные спектра атома водорода
Проверим справедливость формулы Бальмера. Для этого нужно построить график зависимости 1/λ(1/n 2). Рассчитываем необходимые данные, заносим в таблицу 4.3.
Таблица 4.3 – Данные для построения зависимости 1/λ(1/n 2)
|
1/, мкм 1 |
||||
Построим график линейной зависимости 1/λ(1/n 2)
Из графика определяем постоянную Ридберга, как угловой коэффициент линейной зависимости 1/λ(1/n 2) по формуле (3.1).
R = (2,445*10 -6 – 1,517*10 -6)/(0,111– 0,028) = 1,108*10 7 (м -1)
Оцениваем абсолютную погрешность R по формулам 3.2 – 3.10.
k= n*S 3 -S 1 S 2 /D=4*0.457-0.241*8.323/0.1623=1,108E+07 м 1
Ошибка определения постоянной Ридберга составила0,98%.
Используя полученные из опыта значения длин волн построим фрагмент энергетического спектра атома водорода.
Рис. 4.3 Фрагмент энергетического спектра атома водорода
Переходы, наблюдаемые в опыте: 6s → 2p, 5s → 2p, 4s → 2p, 3s → 2p.
В ходе лабораторной работы был изучен спектр излучения атомов водорода. Был построен график линейной зависимости 1/λ(1/n 2), по которому удалось определить постоянную Ридберга (R). Погрешность экспериментального определения R составила 1,057E+05 м -1 . Ошибка определения постоянной Ридберга составила 0,98%.
6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №7 «ИЗУЧЕНИЕ спектра атома водорода»
Объяснить принцип действия призменного спектроскопа.
Принцип действия призменного спектроскопа основан на явлении дисперсии света.
В чем заключается градуировка спектроскопа?
Угол отклонения призмой лучей монохроматического света не пропорционален ни длине волны, ни его частоте. Поэтому дисперсионные спектральные приборы необходимо предварительно градуировать с помощью эталонных источников света. В данной лабораторной работе эталонным источником света являлась ртутная лампа.
Градуировка заключалась в следующем:
Установить перед входной щелью спектроскопа на расстоянии 30-40 см ртутную лампу. Включить блок питания ртутной лампы тумблерами «СЕТЬ» и «ЛАМПА ДРШ». Зажечь ртутную лампу, нажимая несколько раз на кнопку «ПУСК», и дать разогреться лампе в течение 3-5 минут. Изменяя ширину входной щели и перемещая окуляр, добиться, чтобы спектральные линии, видимые через окуляр, были тонкие и резкие.
Измерить значения угла поворота барабана для различных линий спектра ртути, совмещая последовательно линии со стрелкой указателя в окуляре. Подводить линии к указателю следует только с одной стороны, чтобы уменьшить погрешность за счет люфта барабана.
Как задают состояние электрона в атоме водорода в квантовой механике?
Соответствующие энергиям E n собственные функции
задают стационарные состояния электрона в атоме водорода и зависят от квантовых чисел n , l и m .
Орбитальное
квантовое число l
при определенном n
может принимать значения l
=0,
1, 2, …, n
-1.
Магнитное квантовое число при данном
l
принимает
значения
.
Какой смысл имеет квадрат модуля волновой функции?
В соответствии с
интерпретацией волновой функции квадрат
модуля волновой функции
дает плотность вероятности нахождения
электрона в различных точках пространства.
Записать стационарное уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода.
,
где
R nl (r ) – радиальная часть волновой функции;
Y lm (θ ,φ) – угловая часть волновой функции;
n – главное квантовое число;
l – орбитальное квантовое число;
m – магнитное квантовое число.
Привести возможные состояния для электрона в атоме водорода с n = 3.
При n = 3 возможные состояния электрона в атоме водорода: s, p, d.
Что называют энергией ионизации атома водорода?
Состояние 1s атома называют основным. Ему соответствует наименьший энергетический уровень E 1 =-13,6 эВ, также называемый основным. Все другие состояния и энергетические уровни называются возбужденными. Величина |E 1 | является энергией ионизации атома водорода.
Доказать, что плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии равном боровскому радиусу является максимальной.
Вероятность
обнаружения электрона в шаровом слое
от r
до r
+
dr
равна объему этого слоя
,
умноженному на
.
Плотность вероятности обнаружения
электрона на расстоянии r
от ядра
достигает максимума при r = r 0 .
Величина r 0 , имеющая размерность длины, совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Следовательно, в квантовой механике радиус первой боровской орбиты интерпретируется как расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружения электрона максимальна.
Какому правилу отбора подчиняется орбитальное квантовое число и почему?
Из закона сохранения
момента импульса при испускании и
поглощении света атомом для орбитального
квантового числа l
возникает правило отбора
.
Указать типы переходов для серий Лаймана и Пашена .
Для серии Лаймана: np → 1s (n = 2, 3 ...).
Для серии Пашена: np → 3s, ns → 3p, nd → 3p, np → 3d, nf → 3d (n = 4, 5 ...)
Найти коротковолновую и длинноволновую границы (λ 1 и λ ∞ ) для серий Лаймана, Бальмера, Пашена .
Для серии Лаймана: m = 1, n = 2, 3, … ∞.
,
R
= 1,097 ∙ 10 7
(м -1)
при n
= ∞.
,
λ1 = 1/(1,097 ∙ 10 7)
∙ 10 9
= 91,2 (нм)
,
λ∞ = 1/(1,097 ∙ 10 7
∙ 3/4) ∙ 10 9
= 121,5 (нм)
Для серии Бальмера: m = 2, n = 3, 4 … ∞.
,
R
= 1,097 ∙ 10 7
(м -1)
при n
= ∞.
,
λ1 = 1/(1,097 ∙ 10 7
∙ 1/4) ∙ 10 9
= 364,6 (нм)
,
λ∞ = 1/(1,097 ∙ 10 7
∙ 0,1389) ∙
10 9
= 656,3 (нм)
Для серии Пашена: m = 3, n = 4, 5 … ∞.
,
R
= 1,097 ∙ 10 7
(м -1)
при n
= ∞.
,
λ1 = 1/(1,097 ∙ 10 7
∙ 1/9) ∙ 10 9
= 820,4 (нм)
,
λ∞ = 1/(1,097 ∙ 10 7
∙ 0,04861) ∙
10 9
= 1875,3 (нм)
7. ПРИЛОЖЕНИЕ
К работе прилагается регистрационный файл (*.REG).
Атомный спектр испускания водорода представляет собой совокупность лини среди которых можно различить три группы линий, или серии (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Атомный спектр испускания водорода.
Серия линий в ультрафиолетовой области спектра называется серией Лаймана. Ее линии подчиняются уравнению
Бор связал значения чисел и в этих уравнениях с «квантовыми числами» (порядко-. выми номерами) энергетических уровней электрона в атоме водорода (рис. 1.14). Когда этот электрон находится в своем основном состоянии, его квантовое число и = 1. Каждая линия серии Лаймана соответствует возвращению возбужденного электрона с одного из высших энергетических уровней в основное состояние. Серия Бальмера соответствует возвращению электронов с различных высокорасположенных энергетических уровней в первое возбужденное состояние (на уровень с квантовым числом и = 2). Серия Пашена соответствует возвращению электронов на уровень с квантовым числом и = 3 (во второе возбужденное состояние).
Обратим внимание на то, что линии каждой серии по мере уменьшения длины волны постепенно приближаются к некоторому пределу (см. рис. 1.13 и 1.14). Длина волны такого предела сходимости для каждой серии определяется соответствующей пунктирной линией на рисунках. По мере увеличения квантового числа энергетические уровни электрона в атоме водорода все больше сгущаются, приближаясь к некоторому пределу. Пределы сходимости спектральных серий соответствуют переходам электронов, находящихся на этих самых высоких энергетических уровнях.
Но что произойдет, если электрон получит еще большую энергию? В этом случае электрон сможет отделиться от атома. В результате атом станет ионизованным, превратится в положительно заряженный ион. Энергия, необходимая для такого возбуждения электрона, чтобы он смог отделиться от атома, называется энергией ионизации. Значения энергий ионизации атомов позволяют получить важные сведения об их электронном строении.
