Действие со степенями с разными основаниями. Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры
После того как определена степень числа , логично поговорить про свойства степени . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.
Навигация по странице.
Свойства степеней с натуральными показателями
По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем :
- основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение ;
- свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
- свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение ;
- свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
- возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
- сравнение степени с нулем:
- если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
- если a=0 , то a n =0 ;
- если a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , если a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- если a
и b
– положительные числа и a
- если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0
- если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0
Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .
Теперь рассмотрим каждое из них подробно.
Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .
Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n
можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как 
, а это произведение есть степень числа a
с натуральным показателем m+n
, то есть, a m+n
. На этом доказательство завершено.
Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень , имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 - верное, и оно подтверждает основное свойство степени.
Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .
Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .
Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0
необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0
, а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n
вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n
показатель степени a m−n
является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n
), либо отрицательным числом (что происходит при m Доказательство. Основное свойство дроби позволяет записать равенство a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m
. Из полученного равенства a m−n ·a n =a m
и из следует, что a m−n
является частным степеней a m
и a n
. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π
и натуральными показателями 5
и 2
, рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3
. Теперь рассмотрим свойство степени произведения
: натуральная степень n
произведения двух любых действительных чисел a
и b
равна произведению степеней a n
и b n
, то есть, (a·b) n =a n ·b n
. Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем Приведем пример: Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n
произведения k
множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n
. Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7
имеем . Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени
: частное действительных чисел a
и b
, b≠0
в натуральной степени n
равно частному степеней a n
и b n
, то есть, (a:b) n =a n:b n
. Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n
, а из равенства (a:b) n ·b n =a n
следует, что (a:b) n
является частным от деления a n
на b n
. Запишем это свойство на примере конкретных чисел: Теперь озвучим свойство возведения степени в степень
: для любого действительного числа a
и любых натуральных чисел m
и n
степень a m
в степени n
равна степени числа a
с показателем m·n
, то есть, (a m) n =a m·n
. Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6
. Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p
, q
, r
и s
справедливо равенство Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем. Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем. Для начала обоснуем, что a n >0
при любом a>0
. Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a
с натуральным показателем n
по определению является произведением n
множителей, каждый из которых равен a
. Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a
степень a n
есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0
, (0,00201) 2 >0
и Достаточно очевидно, что для любого натурального n
при a=0
степень a n
есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0
. К примеру, 0 3 =0
и 0 762 =0
. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m
, где m
- натуральное. Тогда Наконец, когда основание степени a
является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1
, то Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: из двух степеней с одинаковыми натуральными показателями n
меньше та, основание которой меньше, а больше та, основание которой больше. Докажем его. Неравенство a n свойств неравенств
справедливо и доказываемое неравенство вида a n . Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n
и 0 Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n
и a>1
справедливо a m >a n
. Разность a m −a n
после вынесения a n
за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1)
. Это произведение положительно, так как при a>1
степень a n
есть положительное число, и разность a m−n −1
есть положительное число, так как m−n>0
в силу начального условия, и при a>1
степень a m−n
больше единицы. Следовательно, a m −a n >0
и a m >a n
, что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2
.
. Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как 
, что равно a n ·b n
.
.
.
.
. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. По каждое из произведений вида a·a
равно произведению модулей чисел a
и a
, значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение 
и степень a 2·m
. Приведем примеры: (−6) 4 >0
, (−2,2) 12 >0
и .
. Все произведения a·a
являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a
дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 <0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
Свойства степеней с целыми показателями
Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.
Степень с целым отрицательным показателем , а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.
Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями :
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем ab −n ;
- если m
и n
– целые числа, причем m>n
, то при 0
При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.
Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.
Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .
Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q
. По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда 
. По свойству частного в степени имеем 
. Так как 1 p =1·1·…·1=1
и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q)
, которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q
.
Аналогично 
.
И 
.
По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.
В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Так как по условию a0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.
Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.
Свойства степеней с рациональными показателями
Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:
Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.
По определению степени с дробным показателем и , тогда 
. Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем 
, а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.
Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:
По схожим принципам доказываются и остальные равенства:
Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p<0 и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m<0 и m>0 соответственно. При m>0 и a
Аналогично, при m<0 имеем a m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .
Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p
и q
, p>q при 0
и 
. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q
и 0
Свойства степеней с иррациональными показателями
Из того, как определяется степень с иррациональным показателем , можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями :
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p b p ;
- для иррациональных чисел p
и q
, p>q
при 0
Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
I. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n -й степенью числа а и обозначается а n .
Примеры. Записать произведение в виде степени.
1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5·5·5·5·ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.
Решение.
1) mmmm=m 4 , так как, по определению степени, произведение четырех сомножителей, каждый из которых равен m , будет четвертой степенью числа m .
2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .
II. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, а n – степень, а – основание степени, n – показатель степени. Например:
2 3 — это степень. Число 2 — основание степени, показатель степени равен 3 . Значение степени 2 3 равно 8, так как 2 3 =2·2·2=8.
Примеры. Написать следующие выражения без показателя степени.
5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .
Решение.
5) 4 3 = 4·4·4; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.
III.
а 0 =1
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Например, 25 0 =1.
IV.
а 1 =а
Любое число в первой степени равно самому себе.
V. a m ∙ a n = a m + n При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
Примеры. Упростить:
9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 ·b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .
Решение.
9) a·a 3 ·a 7 =a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 ·b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;
11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 = 1·c 2 ·c·c 4 =c 2+1+4 =c 7 .
VI. a m : a n = a m - n При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Примеры. Упростить:
12) a 8:a 3 ; 13) m 11:m 4 ; 14) 5 6:5 4 .
12) a 8:a 3 =a 8-3 =a 5 ; 13) m 11:m 4 =m 11-4 =m 7 ; 14) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.
VII. (a m ) n = a mn При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.
Примеры. Упростить:
15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2 .
15) (a 3) 4 =a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2 =c 5·2 =c 10 .
Обратите внимание , что, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то :
15) (a 3) 4 =(a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .
V I II . (a∙b) n =a n ∙b n При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
Примеры. Упростить:
17) (2a 2) 5 ; 18) 0,2 6 ·5 6 ; 19) 0,25 2 ·40 2 .
Решение.
17) (2a 2) 5 =2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 ·5 6 =(0,2·5) 6 =1 6 =1;
19) 0,25 2 ·40 2 =(0,25·40) 2 =10 2 =100.
IX.
При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
Примеры. Упростить:
Решение.
Страница 1 из 1 1
Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n -ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:
Определение 1
1. Главное свойство степени: a m · a n = a m + n
Можно обобщить до: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: a m: a n = a m − n
3. Свойство степени произведения: (a · b) n = a n · b n
Равенство можно расширить до: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
4. Свойство частного в натуральной степени: (a: b) n = a n: b n
5. Возводим степень в степень: (a m) n = a m · n ,
Можно обобщить до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k
6. Сравниваем степень с нулем:
- если a > 0 , то при любом натуральном n, a n будет больше нуля;
- при a , равном 0 , a n также будет равна нулю;
- при a < 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- при a < 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Равенство a n < b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Неравенство a m > a n будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и меньше единицы.
В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: a m · a n = a m + n - то же самое, что и a m + n = a m · a n . В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.
1. Начнем с основного свойства степени: равенство a m · a n = a m + n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a . Как доказать это утверждение?
Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:
Это можно сократить до 
(вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m + n . Таким образом, a m + n , значит, основное свойство степени доказано.
Разберем конкретный пример, подтверждающий это.
Пример 1
Итак, у нас есть две степени с основанием 2 . Их натуральные показатели - 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.
Выполним необходимые математические действия: 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 4 · 8 = 32 и 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
В итоге у нас вышло: 2 2 · 2 3 = 2 5 . Свойство доказано.
В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n 1 , n 2 и др. буквой k , мы получим верное равенство:
a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
Пример 2
2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство a m: a n = a m − n , которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n)) и любом отличном от нуля действительном a .
Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0 n = 0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n , нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m , мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.
Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:
a m − n · a n = a (m − n) + n = a m
Из него можно вывести: a m − n · a n = a m
Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что a m − n – частное степеней a m и a n . Это и есть доказательство второго свойства степени.
Пример 3
Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a · b) n = a n · b n при любых действительных a и b и натуральном n .
Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:
Вспомнив свойства умножения, запишем: 
. Это значит то же самое, что и a n · b n .
Пример 4
2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4
Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:
(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
Пример 5
С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2 · (- 2 , 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) 7 · a
4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a: b) n = a n: b n при любых действительных a и b , если b не равно 0 , а n – натуральное число.
Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , а (a: b) n · b n = a n , то из этого выходит, что (a: b) n есть частное от деления a n на b n .
Пример 6
Подсчитаем пример: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Пример 7
Начнем сразу с примера: (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6
А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства: 
Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p , q , r , s , то верно будет:
a p q y s = a p · q · y · s
Пример 8
Добавим конкретики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10
6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.
Для начала сравним степень с нулем. Почему a n > 0 при условии, что а больше 0 ?
Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени a n с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.
Пример 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0
Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.
Пример 10
0 3 = 0 и 0 762 = 0
Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2 · m , где m – натуральное число.
Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a · a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда 
и степень a 2 · m также положительны.
Пример 11
Например, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0
А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2 · m − 1 .
Тогда 
Все произведения a · a , согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a , то конечный результат будет отрицателен.
Тогда получим: (− 5) 3 < 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Как это доказать?
a n < b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Пример 12
Например, верны неравенства: 3 7 < (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.
Докажем эти утверждения.
Для начала нам нужно убедиться, что a m < a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Вынесем a n за скобки, после чего наша разность примет вид a n · (a m − n − 1) . Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m − n > 0 , тогда a m − n − 1 –отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.
У нас вышло, что a m − a n < 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: a m > a справедливо при m > n и a > 1 . Укажем разность и вынесем a n за скобки: (a m − n − 1) .Степень a n при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a > 1 степень a m − n больше единицы. Выходит, a m − a n > 0 и a m > a n , что нам и требовалось доказать.
Пример 13
Пример с конкретными числами: 3 7 > 3 2
Основные свойства степеней с целыми показателями
Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).
Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:
Определение 2
1. a m · a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a · b) n = a n · b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (a m) n = a m · n
6. a n < b n и a − n > b − n при условии целого положительного n , положительных a и b , a < b
7. a m < a n , при условии целых m и n , m > n и 0 < a < 1 , при a > 1 a m > a n .
Если основание степени равно нулю, то записи a m и a n имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n . В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.
Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.
Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (a p) q = a p · q , (a − p) q = a (− p) · q , (a p) − q = a p · (− q) и (a − p) − q = a (− p) · (− q)
Условия: p = 0 или натуральное число; q – аналогично.
Если значения p и q больше 0 , то у нас получится (a p) q = a p · q . Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p = 0 , то:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1
Следовательно, (a 0) q = a 0 · q
Для q = 0 все точно так же:
(a p) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1
Итог: (a p) 0 = a p · 0 .
Если же оба показателя нулевые, то (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 · 0 = a 0 = 1 , значит, (a 0) 0 = a 0 · 0 .
Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:
1 a p q = 1 q a p q
Если 1 p = 1 · 1 · … · 1 = 1 и a p q = a p · q , то 1 q a p q = 1 a p · q
Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a (− p) · q .
Так же: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .
И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p · q = a (- p) · (- q)
Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.
Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a − n > b − n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b .
Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:
1 a n > 1 b n
Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n
Вспомним, что в условии a меньше b , тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: - a n < b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь b n - a n a n · b n , которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1 a n > 1 b n откуда a − n > b − n , что нам и нужно было доказать.
Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.
Основные свойства степеней с рациональными показателями
В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:
Определение 3
1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 при a > 0 , а если m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 , если a > 0 (свойство частного).
3. a · b m n = a m n · b m n при a > 0 и b > 0 , а если m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (свойство произведения в дробной степени).
4. a: b m n = a m n: b m n при a > 0 и b > 0 , а если m n > 0 , то при a ≥ 0 и b > 0 (свойство частного в дробной степени).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 при a > 0 , а если m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (свойство степени в степени).
6. a p < b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p > 0 ; если p < 0 - a p > b p (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).
7. a p < a q при условии рациональных чисел p и q , p > q при 0 < a < 1 ; если a > 0 – a p > a q
Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n -ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.
Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:
a m 1 n 1 = a m 1 n 1 и a m 2 n 2 = a m 2 n 2 , следовательно, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2
Свойства корня позволят нам вывести равенства:
a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2
Из этого получаем: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Преобразуем:
a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Показатель степени можно записать в виде:
m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 · n 2: a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
Доказательства остальных равенств:
a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2
Следующее свойство: докажем, что для любых значений a и b больше 0 , если а меньше b , будет выполняться a p < b p , а для p больше 0 - a p > b p
Представим рациональное число p как m n . При этом m –целое число, n –натуральное. Тогда условия p < 0 и p > 0 будут распространяться на m < 0 и m > 0 . При m > 0 и a < b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Используем свойство корней и выведем: a m n < b m n
Учитывая положительность значений a и b , перепишем неравенство как a m n < b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
Таким же образом при m < 0 имеем a a m > b m , получаем a m n > b m n значит, a m n > b m n и a p > b p .
Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p > q при 0 < a < 1 a p < a q , а при a > 0 будет верно a p > a q .
Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m 1 n и m 2 n
Здесь m 1 и m 2 – целые числа, а n – натуральное. Если p > q , то m 1 > m 2 (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при 0 < a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a > 1 – неравенство a 1 m > a 2 m .
Их можно переписать в следующем виде:
a m 1 n < a m 2 n a m 1 n > a m 2 n
Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:
a m 1 n < a m 2 n a m 1 n > a m 2 n
Подводим итог: при p > q и 0 < a < 1 верно a p < a q , а при a > 0 – a p > a q .
Основные свойства степеней с иррациональными показателями
На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: a > 0 , b > 0 , показатели p и q – иррациональные числа):
Определение 4
1. a p · a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a · b) p = a p · b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p · q
6. a p < b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p > b p
7. a p < a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a > 0 , то a p > a q .
Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a > 0 обладают теми же свойствами.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Урок на тему: "Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Пособие к учебнику Ю.Н. Макарычева
Пособие к учебнику А.Г. Мордковича
Цель урока: научится производить действия со степенями числа.
Для начала вспомним понятие "степень числа". Выражение вида $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}$ можно представить, как $a^n$.
Справедливо также обратное: $a^n= \underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}$.
Это равенство называется "запись степени в виде произведения". Оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.
Запомните:
a
– основание степени.
n
– показатель степени.
Если n = 1
, значит, число а
взяли один раз и соответственно: $a^n= 1$.
Если n= 0
, то $a^0= 1$.
Почему так происходит, мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.
Правила умножения
a) Если умножаются степени с одинаковым основанием.Чтобы $a^n * a^m$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n} * \underbrace{ a * a * \ldots * a }_{m}$.
На рисунке видно, что число а взяли n+m раз, тогда $a^n * a^m = a^{n + m}$.
Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу при возведении числа в большую степень.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
б) Если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем.
Чтобы $a^n * b^n$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n} * \underbrace{ b * b * \ldots * b }_{m}$.
Если поменять местами множители и посчитать получившиеся пары, получим: $\underbrace{ (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) }_{n}$.
Значит, $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Правила деления
a) Основание степени одинаковое, показатели разные.Рассмотрим деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.
Итак, надо $\frac{a^n}{a^m}$ , где n > m .
Запишем степени в виде дроби:
$\frac{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}}{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{m}}$.
Для удобства деление запишем в виде простой дроби.Теперь сократим дробь.
Получается: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n-m}= a^{n-m}$.
Значит, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
.
Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m , тогда $a^0= a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n} =1$.
Примеры.
$\frac{3^3}{3^2}=3^{3-2}=3^1=3$.
$\frac{2^2}{2^2}=2^{2-2}=2^0=1$.
б) Основания степени разные, показатели одинаковые.
Допустим, необходимо $\frac{a^n}{ b^n}$. Запишем степени чисел в виде дроби:
$\frac{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}}{\underbrace{ b * b * \ldots * b }_{n}}$.
Для удобства представим.
Используя свойство дробей, разобьем большую дробь на произведение маленьких, получим.
$\underbrace{ \frac{a}{b} * \frac{a}{b} * \ldots * \frac{a}{b} }_{n}$.
Соответственно: $\frac{a^n}{ b^n}=(\frac{a}{b})^n$.
Пример.
$\frac{4^3}{ 2^3}= (\frac{4}{2})^3=2^3=8$.
