Главная > Двери > Вычитание целых чисел с одинаковыми знаками правило. Образовательный портал


Вычитание целых чисел с одинаковыми знаками правило. Образовательный портал




Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

  1. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
  2. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
  3. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

  1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
  2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
  3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
  4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

«Сложение чисел с разными знаками» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)

Краткое описание:


В этом разделе Вы выучите правила сложения чисел с разными знаками: то есть научитесь складывать отрицательные и положительные числа.
Вы уже умеете их складывать на координатной прямой, но ведь в каждом примере не будете рисовать прямую и по ней считать? Поэтому нужно научиться складывать без нее.
Давайте попробуем с Вами к положительному числу добавить отрицательное, например восемь добавить минус шесть: 8+(-6). Вы уже знаете, что добавление отрицательного числа ведет к уменьшению первоначального на значение отрицательного. Это означает, что восемь необходимо уменьшить на шесть, то есть от восьми отнять шесть: 8-6=2, получается два. В этом примере вроде все понятно, от восьми отнимаем шесть.
А если взять такой пример: к отрицательному числу добавить положительное. Например, минус восемь добавить шесть: -8+6. Суть остается та же: положительное число уменьшаем на значение отрицательного, получаем шесть отнять восемь будет минус два: -8+6=-2.
Как Вы заметили, и в первом и во втором примере с числами выполняется действие вычитание. Почему? Потому что они имеют разные знаки (плюс и минус). Чтобы не делать ошибок при сложении чисел с разными знаками следует выполнять такой алгоритм действий:
1. найдите модули чисел;
2. от большего модуля отнимите меньший модуль;
3. перед полученным результатом поставьте знак числа с большим модулем (обычно ставится только знак минус, а знак плюс не ставится).
Если вы будете складывать числа с разными знаками, следуя этому алгоритму, то шансов ошибиться у Вас будет намного меньше.

На этом уроке мы узнаем, что такое отрицательное число и какие числа называются противоположными. Также научимся складывать отрицательные и положительные числа (числа с разными знаками) и разберём несколько примеров сложения чисел с разными знаками.

Посмотрите на эту шестеренку (см. рис. 1).

Рис. 1. Шестеренка часов

Это не стрелка, которая непосредственно показывает время и не циферблат (см. рис. 2). Но без этой детали часы не работают.

Рис. 2. Шестеренка внутри часов

А что обозначает буква Ы? Ничего, кроме звука Ы. Но без нее не будут «работать» многие слова. Например, слово «мЫшь». Так и отрицательные числа: они не показывают никакого количества, но без них механизм вычислений был бы существенно труднее.

Мы знаем, что сложение и вычитание равноправные операции, и их можно выполнять в любом порядке. В записи в прямом порядке мы можем посчитать: , а начать с вычитания нет, так как мы не договорились еще, а что же такое .

Понятно, что увеличить число на , а потом уменьшить на означает в итоге уменьшение на три. Почему бы так и не обозначить этот объект и так и считать: прибавить - значит вычесть . Тогда .

Число может означать, например, яблока. Новое число не обозначает никакого реального количества. Само по себе оно ничего не означает, как буква Ы. Это просто новый инструмент для упрощения вычислений.

Назовем новые числа отрицательными . Теперь мы можем вычитать из меньшего числа большее. Технически всё равно нужно вычесть из большего числа меньшего, но в ответе поставить знак минус: .

Рассмотрим ещё один пример: . Можно сделать все действия подряд: .

Однако из первого числа легче вычесть третье, а потом прибавить второе число:

Отрицательные числа можно определить и по-другому.

Для каждого натурального числа, например , введем новое число, которое обозначим , и определим, что оно обладает следующим свойством: сумма числа и равна : .

Число будем называть отрицательным, а числа и - противоположными. Таким образом, мы получили бесконечное количество новых чисел, например:

Противоположное для числа ;

Противоположное числу ;

Противоположное числу ;

Противоположное числу ;

Вычтем из меньшего числа большее: . Прибавим к данному выражению : . Получили ноль. Однако согласно свойству: число, которое в сумме с пятью дает ноль, обозначается минус пять : . Следовательно, выражение можно обозначить как .

У каждого положительного числа существует число-близнец, которое отличается только тем, что перед ним стоит знак минус Такие числа называются противоположными (см. рис. 3).

Рис. 3. Примеры противоположных чисел

Свойства противоположных чисел

1. Сумма противоположных чисел равна нулю: .

2. Если из нуля вычесть положительное число, то результатом будет противоположное отрицательное число: .

1. Оба числа могут быть положительными, и складывать их мы уже умеем: .

2. Оба числа могут быть отрицательными.

Мы уже прошли сложение таких чисел на предыдущем уроке, но убедимся, что понимаем, что с ними делать. Например: .

Чтобы эту сумму найти, складываем противоположные положительные числа и и ставим знак минус.

3. Одно число может быть положительным, а другое - отрицательным.

Прибавление отрицательного числа мы, если это нам удобно, можем заменять на вычитание положительного: .

Ещё один пример: . Опять сумму записываем как разность. Вычесть из меньшего большее число можно, вычитая из большего меньшее, но поставив знак минус.

Слагаемые можем менять местами: .

Ещё один аналогичный пример: .

Во всех случаях в итоге получается вычитание.

Чтобы коротко сформулировать эти правила, давайте вспомним еще один термин. Противоположные числа, конечно, не равны друг другу. Но было бы странно не заметить у них общего. Это общее мы назвали модулем числа . Модуль у противоположных чисел одинаковый: у положительного числа он равен самому числу, а у отрицательного - противоположному, положительному. Например: , .

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить знак минус:

Чтобы сложить отрицательное и положительное число, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и поставить знак числа с большим модулем:

Оба числа отрицательные, следовательно, складываем их модули и ставим знак минус:

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем):

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем): .

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак плюс (знак числа с большим модулем): .

У положительных и отрицательных чисел исторически разная роль.

Сначала мы ввели натуральные числа для счета предметов:

Потом мы ввели другие положительные числа - дроби, для счета нецелых количеств, частей: .

Отрицательные же числа появились как инструмент для упрощения расчетов. Не было такого, чтобы в жизни были какие-то количества, которые нам было не посчитать, и мы изобрели отрицательные числа.

То есть отрицательные числа не возникли из реального мира. Просто они оказались настолько удобными, что кое-где им нашлось применение и в жизни. Например, мы часто слышим про отрицательную температуру. При этом мы никогда не сталкиваемся с отрицательным количеством яблок. В чем же разница?

Разница в том, что в жизни отрицательные величины используют только для сравнения, но не для количеств. Если в гостинице оборудовали подвал и туда пустили лифт, то, чтобы оставить привычную нумерацию обычных этажей, может появиться минус первый этаж. Этот минус первый означает всего лишь на этаж ниже уровня земли (см. рис. 1).

Рис. 4. Минус первый и минус второй этажи

Отрицательная температура отрицательна только по сравнению с нулем, который выбрал автор шкалы Андерс Цельсий. Есть другие шкалы, и та же самая температура уже может не быть там отрицательной.

При этом мы понимаем, что невозможно поменять точку отсчета так, чтобы яблок стало не пять, а шесть. Таким образом, в жизни положительные числа используются для определения количеств ( яблок, торта).

Еще мы их используем вместо имен. Каждому телефону можно было бы дать свое имя, но количество имен ограничено, а чисел нет. Поэтому мы используем номера для телефонов. Также для упорядочивания ( век идет за веком).

Отрицательные числа в жизни используются в последнем смысле (минус первый этаж ниже нулевого и первого этажей)

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. «Гимназия», 2006.
  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989.
  4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6 классов заочной школы МИФИ. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
  1. Math-prosto.ru ().
  2. Youtube ().
  3. School-assistant.ru ().
  4. Allforchildren.ru ().

Домашнее задание

На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.

Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.

Сложение чисел с разными знаками

Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.

  • Возьмем модули обоих чисел - |a| и |b| - и сравним эти абсолютные значения между собой.
  • Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
  • Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.

Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» - а решение получается со знаком «плюс».

Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться - речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.

Вычитание чисел с разными знаками

Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое - и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.

Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» - произвольного, то есть с любым знаком - отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:

  • Если «а» - положительное число, а «с» - отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
  • Если «а» - отрицательное число, а «с» - положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а)– с = - а+ (-с).

Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками - к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.

Сложение отрицательных чисел.

Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых .

Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.

К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.

Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.

Примечание. Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.

Пример. Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?

Решаем по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».

Записывают обычно так: -23-42-54=-119.

Сложение чисел с разными знаками.

Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший .

Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.

1) -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.

Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:

— 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.

2) Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.

— 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.

Примеры. Вычислить: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.