trang chủ > Cửa > Giải bất đẳng thức bằng mô đun. Bất đẳng thức bậc hai Tìm nghiệm số nguyên lớn nhất của bất đẳng thức trực tuyến


Giải bất đẳng thức bằng mô đun. Bất đẳng thức bậc hai Tìm nghiệm số nguyên lớn nhất của bất đẳng thức trực tuyến




Nhưng ngày nay những bất bình đẳng hợp lý không thể giải quyết được mọi thứ. Chính xác hơn, không chỉ ai cũng có thể quyết định. Rất ít người có thể làm được điều này.
Klitschko

Bài học này sẽ khó khăn. Khó đến mức chỉ có Người được chọn mới đi đến cuối cùng. Vì vậy, trước khi bắt đầu đọc, tôi khuyên bạn nên loại bỏ phụ nữ, mèo, trẻ em đang mang thai và... khỏi màn hình.

Thôi nào, nó thực sự đơn giản. Giả sử bạn đã thành thạo phương pháp khoảng (nếu bạn chưa thành thạo, tôi khuyên bạn nên quay lại và đọc nó) và đã học cách giải bất đẳng thức dạng $P\left(x \right) \gt 0$, trong đó $ P\left(x \right)$ là một đa thức hoặc tích của đa thức.

Tôi tin rằng sẽ không khó để bạn giải quyết, chẳng hạn như thế này (nhân tiện, hãy thử nó như một cách khởi động):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Bây giờ chúng ta hãy phức tạp hóa vấn đề một chút và xem xét không chỉ các đa thức, mà cả cái gọi là phân số hữu tỷ có dạng:

trong đó $P\left(x \right)$ và $Q\left(x \right)$ là các đa thức giống nhau có dạng $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ hoặc tích của các đa thức đó.

Đây sẽ là một bất đẳng thức hợp lý. Điểm cơ bản là sự hiện diện của biến $x$ trong mẫu số. Ví dụ: đây là những bất bình đẳng hợp lý:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0. \\ \end(căn chỉnh)\]

Và đây không phải là bất đẳng thức hợp lý mà là bất đẳng thức phổ biến nhất, có thể giải bằng phương pháp khoảng:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Nhìn về phía trước, tôi sẽ nói ngay: có ít nhất hai cách để giải các bất đẳng thức hữu tỉ, nhưng tất cả chúng, bằng cách này hay cách khác, đều tuân theo phương pháp khoảng mà chúng ta đã biết. Vì vậy, trước khi phân tích các phương pháp này, chúng ta hãy nhớ lại những sự thật cũ, nếu không thì tài liệu mới sẽ chẳng có ý nghĩa gì.

Những gì bạn đã cần biết

Không bao giờ có quá nhiều sự thật quan trọng. Chúng tôi thực sự chỉ cần bốn.

Công thức nhân viết tắt

Vâng, vâng: chúng sẽ ám ảnh chúng ta trong suốt chương trình toán học ở trường. Và ở trường đại học cũng vậy. Có khá nhiều công thức như vậy nhưng chúng ta chỉ cần những công thức sau:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \right); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\đúng). \\ \end(căn chỉnh)\]

Hãy chú ý đến hai công thức cuối cùng - đây là tổng và hiệu của các lập phương (chứ không phải lập phương của tổng hoặc hiệu!). Chúng rất dễ nhớ nếu bạn nhận thấy rằng dấu trong ngoặc đầu tiên trùng với dấu trong biểu thức ban đầu và trong dấu ngoặc thứ hai thì ngược lại với dấu trong biểu thức ban đầu.

Các phương trình tuyến tính

Đây là những phương trình đơn giản nhất có dạng $ax+b=0$, trong đó $a$ và $b$ là các số bình thường và $a\ne 0$. Phương trình này có thể được giải đơn giản:

\[\begin(căn chỉnh) & ax+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(căn chỉnh)\]

Xin lưu ý rằng chúng ta có quyền chia cho hệ số $a$, vì $a\ne 0$. Yêu cầu này khá logic, vì với $a=0$ chúng ta có được điều này:

Đầu tiên, không có biến $x$ trong phương trình này. Nói chung, điều này không nên làm chúng ta bối rối (điều này xảy ra trong hình học và khá thường xuyên), nhưng đây vẫn không còn là một phương trình tuyến tính nữa.

Thứ hai, nghiệm của phương trình này chỉ phụ thuộc vào hệ số $b$. Nếu $b$ cũng bằng 0 thì phương trình của chúng ta có dạng $0=0$. Sự bình đẳng này luôn đúng; điều này có nghĩa $x$ là bất kỳ số nào (thường được viết như thế này: $x\in \mathbb(R)$). Nếu hệ số $b$ không bằng 0 thì đẳng thức $b=0$ không bao giờ được thỏa mãn, tức là. không có câu trả lời nào (viết $x\in \varnothing $ và đọc “bộ giải pháp trống”).

Để tránh tất cả những khó khăn này, chúng ta chỉ cần giả sử $a\ne 0$, điều này hoàn toàn không hạn chế chúng ta suy nghĩ sâu hơn.

phương trình bậc hai

Hãy để tôi nhắc bạn rằng đây là tên gọi của phương trình bậc hai:

Ở đây bên trái là một đa thức bậc hai, và một lần nữa $a\ne 0$ (nếu không, thay vì phương trình bậc hai, chúng ta sẽ nhận được một phương trình tuyến tính). Các phương trình sau được giải bằng cách phân biệt:

  1. Nếu $D \gt 0$, chúng ta có hai nghiệm khác nhau;
  2. Nếu $D=0$, thì nghiệm sẽ giống nhau, nhưng thuộc bội số thứ hai (đây là loại bội số nào và cách tính đến nó - sẽ nói thêm về điều đó sau). Hoặc chúng ta có thể nói rằng phương trình có hai nghiệm giống nhau;
  3. Đối với $D \lt 0$ không có nghiệm nào cả, và dấu của đa thức $a((x)^(2))+bx+c$ với mọi $x$ trùng với dấu của hệ số $a $. Nhân tiện, đây là một thực tế rất hữu ích mà vì lý do nào đó mà họ quên nói đến trong các bài học đại số.

Bản thân các gốc được tính bằng công thức nổi tiếng:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Do đó, nhân tiện, những hạn chế đối với người phân biệt đối xử. Rốt cuộc, căn bậc hai của số âm không tồn tại. Nhiều học sinh có một mớ hỗn độn khủng khiếp trong đầu về căn số, vì vậy tôi đã đặc biệt viết ra cả một bài học: căn số trong đại số là gì và cách tính nó - tôi thực sự khuyên bạn nên đọc nó :)

Các phép toán với phân số hữu tỉ

Bạn đã biết mọi thứ được viết ở trên nếu bạn đã nghiên cứu phương pháp ngắt quãng. Nhưng những gì chúng ta sẽ phân tích bây giờ không có điểm tương đồng trong quá khứ - đây là một thực tế hoàn toàn mới.

Sự định nghĩa. Phân số hữu tỉ là biểu thức có dạng

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

trong đó $P\left(x \right)$ và $Q\left(x \right)$ là các đa thức.

Rõ ràng, rất dễ nhận được bất đẳng thức từ một phân số như vậy—bạn chỉ cần thêm dấu “lớn hơn” hoặc “nhỏ hơn” vào bên phải. Và xa hơn một chút, chúng ta sẽ phát hiện ra rằng giải quyết những vấn đề như vậy là một niềm vui, mọi thứ đều rất đơn giản.

Vấn đề bắt đầu khi có một số phân số như vậy trong một biểu thức. Chúng phải được đưa về một mẫu số chung - và chính tại thời điểm này, một số lượng lớn các sai lầm tấn công đã được mắc phải.

Vì vậy, để giải thành công phương trình hữu tỉ, bạn cần nắm vững hai kỹ năng:

  1. Phân tích đa thức $P\left(x \right)$;
  2. Thực ra là đưa phân số về mẫu số chung.

Làm thế nào để phân tích một đa thức? Rất đơn giản. Cho ta có một đa thức có dạng

Chúng tôi đánh đồng nó bằng không. Chúng ta thu được phương trình bậc $n$:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Giả sử chúng ta đã giải phương trình này và có nghiệm $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (đừng lo lắng: trong hầu hết các trường hợp sẽ có không quá hai trong số các gốc này). Trong trường hợp này, đa thức ban đầu của chúng ta có thể được viết lại như sau:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(căn chỉnh)\]

Đó là tất cả! Xin lưu ý: hệ số dẫn đầu $((a)_(n))$ chưa biến mất ở bất cứ đâu - nó sẽ là một số nhân riêng biệt ở phía trước dấu ngoặc và nếu cần, nó có thể được chèn vào bất kỳ dấu ngoặc nào (thực hành cho thấy rằng với $((a)_ (n))\ne \pm 1$ hầu như luôn có các phân số giữa các nghiệm).

Nhiệm vụ. Đơn giản hóa biểu thức:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Giải pháp. Trước tiên, chúng ta hãy xem xét các mẫu số: chúng đều là các nhị thức tuyến tính và không có yếu tố nào ở đây. Vì vậy, hãy phân tích các tử số:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right). \\\end(căn chỉnh)\]

Xin lưu ý: trong đa thức thứ hai, hệ số dẫn đầu “2”, hoàn toàn phù hợp với sơ đồ của chúng tôi, lần đầu tiên xuất hiện ở phía trước dấu ngoặc và sau đó được đưa vào dấu ngoặc đầu tiên, vì phân số xuất hiện ở đó.

Điều tương tự cũng xảy ra ở đa thức thứ ba, chỉ có điều ở đó thứ tự của các số hạng cũng bị đảo ngược. Tuy nhiên, hệ số “−5” cuối cùng lại được đưa vào dấu ngoặc thứ hai (hãy nhớ: bạn có thể nhập hệ số vào một và chỉ một dấu ngoặc!), điều này đã giúp chúng ta tránh khỏi sự bất tiện liên quan đến các nghiệm phân số.

Đối với đa thức thứ nhất, mọi thứ đều đơn giản: nghiệm của nó được tìm kiếm một cách tiêu chuẩn thông qua phân biệt hoặc sử dụng định lý Vieta.

Hãy quay lại biểu thức ban đầu và viết lại nó với các tử số được phân tích thành nhân tử:

\[\begin(matrix) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(ma trận)\]

Đáp án: $5x+4$.

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp. Một chút toán lớp 7-8 là xong. Mục đích của tất cả các phép biến đổi là tạo ra thứ gì đó đơn giản và dễ thực hiện từ một biểu thức phức tạp và đáng sợ.

Tuy nhiên, điều này sẽ không luôn luôn như vậy. Vì vậy bây giờ chúng ta sẽ xem xét một vấn đề nghiêm trọng hơn.

Nhưng trước tiên, hãy tìm cách đưa hai phân số về mẫu số chung. Thuật toán cực kỳ đơn giản:

  1. Thừa số cả hai mẫu số;
  2. Hãy xem xét mẫu số thứ nhất và thêm vào đó các yếu tố có ở mẫu số thứ hai, nhưng không có ở mẫu số thứ nhất. Sản phẩm thu được sẽ là mẫu số chung;
  3. Tìm xem mỗi phân số ban đầu còn thiếu những thừa số nào để mẫu số bằng mẫu số chung.

Đối với bạn, thuật toán này có vẻ chỉ thích nhắn tin với “rất nhiều chữ cái”. Do đó, hãy xem xét mọi thứ bằng một ví dụ cụ thể.

Nhiệm vụ. Đơn giản hóa biểu thức:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Giải pháp. Tốt hơn là giải quyết các vấn đề quy mô lớn như vậy theo từng phần. Hãy viết ra những gì trong ngoặc đầu tiên:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Không giống như vấn đề trước, ở đây mẫu số không đơn giản như vậy. Hãy tính từng yếu tố trong số đó.

Tam thức bình phương $((x)^(2))+2x+4$ không thể phân tích thành nhân tử, vì phương trình $((x)^(2))+2x+4=0$ không có nghiệm (phân biệt số âm ). Chúng tôi để nó không thay đổi.

Mẫu số thứ hai - đa thức bậc ba $((x)^(3))-8$ - khi kiểm tra cẩn thận là hiệu của các lập phương và có thể dễ dàng khai triển bằng cách sử dụng các công thức nhân viết tắt:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]

Không có gì khác có thể được phân tích thành thừa số, vì trong ngoặc đầu tiên có nhị thức tuyến tính, và trong ngoặc thứ hai có một cấu trúc đã quen thuộc với chúng ta, không có gốc thực sự.

Cuối cùng, mẫu số thứ ba là nhị thức tuyến tính không thể khai triển được. Do đó, phương trình của chúng ta sẽ có dạng:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

Một điều khá rõ ràng là mẫu số chung sẽ chính xác là $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, và rút gọn tất cả các phân số về nó cần phải nhân phân số đầu tiên trên $\left(x-2 \right)$ và phân số cuối cùng - trên $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Sau đó, tất cả những gì còn lại là đưa ra những cái tương tự:

\[\begin(matrix) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ right))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(ma trận)\]

Hãy chú ý đến dòng thứ hai: khi mẫu số đã chung, tức là. Thay vì ba phân số riêng biệt, chúng tôi đã viết một phân số lớn; bạn không nên bỏ dấu ngoặc đơn ngay lập tức. Tốt hơn hết bạn nên viết thêm một dòng và lưu ý rằng, chẳng hạn, có một dấu trừ trước phân số thứ ba - và nó sẽ không đi đến đâu mà sẽ “treo” vào tử số phía trước dấu ngoặc. Điều này sẽ cứu bạn khỏi rất nhiều sai lầm.

Chà, ở dòng cuối cùng, việc phân tích tử số là hữu ích. Hơn nữa, đây là một bình phương chính xác và các công thức nhân viết tắt một lần nữa giúp ích cho chúng ta. Chúng ta có:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Bây giờ hãy xử lý khung thứ hai theo cách tương tự. Ở đây tôi sẽ chỉ viết một chuỗi đẳng thức:

\[\begin(matrix) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(ma trận)\]

Hãy quay lại vấn đề ban đầu và nhìn vào sản phẩm:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Trả lời: \[\frac(1)(x+2)\].

Ý nghĩa của nhiệm vụ này cũng giống như nhiệm vụ trước: chỉ ra cách đơn giản hóa các biểu thức hữu tỉ nếu bạn tiếp cận sự biến đổi của chúng một cách khôn ngoan.

Và bây giờ bạn đã biết tất cả những điều này, chúng ta hãy chuyển sang chủ đề chính của bài học hôm nay - giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số. Hơn nữa, sau khi chuẩn bị như vậy, bạn sẽ tự mình giải quyết được những bất bình đẳng :)

Phương pháp cơ bản để giải bất đẳng thức hợp lý

Có ít nhất hai cách tiếp cận để giải bất đẳng thức hữu tỉ. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một trong số chúng - một trong số đó thường được chấp nhận trong khóa học toán ở trường.

Nhưng trước tiên, hãy lưu ý một chi tiết quan trọng. Tất cả các bất bình đẳng được chia thành hai loại:

  1. Nghiêm ngặt: $f\left(x \right) \gt 0$ hoặc $f\left(x \right) \lt 0$;
  2. Lax: $f\left(x \right)\ge 0$ hoặc $f\left(x \right)\le 0$.

Bất đẳng thức loại thứ hai có thể dễ dàng quy về loại thứ nhất, cũng như phương trình:

“Phép cộng” nhỏ $f\left(x \right)=0$ này dẫn đến một điều khó chịu là điểm được lấp đầy - chúng ta đã làm quen với chúng trong phương pháp khoảng. Mặt khác, không có sự khác biệt giữa bất đẳng thức nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt, vì vậy hãy xem xét thuật toán phổ quát:

  1. Tập hợp tất cả các phần tử khác 0 về một phía của dấu bất đẳng thức. Ví dụ, ở bên trái;
  2. Quy đổi tất cả các phân số về mẫu số chung (nếu có nhiều phân số như vậy), mang những phân số tương tự. Sau đó, nếu có thể, hãy phân tích tử số và mẫu số. Bằng cách này hay cách khác, chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức có dạng $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, trong đó “tick” là dấu bất đẳng thức .
  3. Chúng ta đánh đồng tử số bằng 0: $P\left(x \right)=0$. Chúng ta giải phương trình này và nhận được các nghiệm $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Sau đó, chúng ta yêu cầu rằng mẫu số không bằng 0: $Q\left(x \right)\ne 0$. Tất nhiên, về bản chất, chúng ta phải giải phương trình $Q\left(x \right)=0$, và chúng ta thu được nghiệm $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (trong các bài toán thực tế sẽ khó có nhiều hơn ba nghiệm như vậy).
  4. Chúng tôi đánh dấu tất cả các gốc này (cả có và không có dấu hoa thị) trên một dòng số duy nhất, và các gốc không có ngôi sao được sơn đè lên, còn những gốc có ngôi sao thì bị thủng.
  5. Chúng tôi đặt các dấu “cộng” và “trừ”, chọn các khoảng mà chúng tôi cần. Nếu bất đẳng thức có dạng $f\left(x \right) \gt 0$, thì câu trả lời sẽ là các khoảng được đánh dấu bằng dấu “cộng”. Nếu $f\left(x \right) \lt 0$, thì chúng ta xem xét các khoảng có “điểm trừ”.

Thực tiễn cho thấy những khó khăn lớn nhất là do điểm 2 và 4 - các phép biến đổi thành thạo và việc sắp xếp chính xác các số theo thứ tự tăng dần. Chà, ở bước cuối cùng, hãy cực kỳ cẩn thận: chúng tôi luôn đặt các biển báo dựa trên bất đẳng thức cuối cùng được viết trước khi chuyển sang các phương trình. Đây là một quy tắc phổ quát, được kế thừa từ phương pháp khoảng.

Vì vậy, có một kế hoạch. Hãy cùng luyện tập.

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Giải pháp. Chúng ta có một bất đẳng thức nghiêm ngặt có dạng $f\left(x \right) \lt 0$. Rõ ràng, điểm 1 và 2 trong sơ đồ của chúng tôi đã được đáp ứng: tất cả các yếu tố bất bình đẳng được thu thập ở bên trái, không cần phải đưa bất cứ thứ gì về mẫu số chung. Vì vậy, hãy chuyển thẳng đến điểm thứ ba.

Chúng ta đánh đồng tử số bằng 0:

\[\begin(căn chỉnh) & x-3=0; \\ & x=3. \end(căn chỉnh)\]

Và mẫu số:

\[\begin(căn chỉnh) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(căn chỉnh)\]

Đây là điểm khiến nhiều người gặp khó khăn, vì về lý thuyết, bạn cần phải viết $x+7\ne 0$, theo yêu cầu của ODZ (bạn không thể chia cho 0, chỉ vậy thôi). Nhưng trong tương lai, chúng tôi sẽ chọn ra các điểm đến từ mẫu số, vì vậy bạn không cần phải phức tạp hóa phép tính của mình nữa - hãy viết dấu bằng ở mọi nơi và đừng lo lắng. Không ai sẽ trừ điểm cho việc này :)

Điểm thứ tư. Chúng tôi đánh dấu các gốc kết quả trên dòng số:

Tất cả các điểm đều được ghim ra, vì bất đẳng thức là nghiêm ngặt

Ghi chú: tất cả các điểm đều được ghim ra, vì bất đẳng thức ban đầu là nghiêm ngặt. Và ở đây không quan trọng những điểm này đến từ tử số hay mẫu số.

Vâng, chúng ta hãy nhìn vào các dấu hiệu. Hãy lấy bất kỳ số nào $((x)_(0)) \gt 3$. Ví dụ: $((x)_(0))=100$ (nhưng với cùng thành công, người ta có thể lấy $((x)_(0))=3.1$ hoặc $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000$). Chúng tôi nhận được:

Vì vậy, ở bên phải của tất cả các nghiệm chúng ta có một vùng dương. Và khi đi qua từng gốc, dấu sẽ thay đổi (điều này không phải lúc nào cũng đúng, nhưng sẽ nói thêm về điều đó sau). Do đó, hãy chuyển sang điểm thứ năm: sắp xếp các dấu hiệu và chọn cái bạn cần:

Hãy quay lại bất đẳng thức cuối cùng trước khi giải phương trình. Trên thực tế, nó trùng khớp với bản gốc vì chúng tôi không thực hiện bất kỳ phép biến đổi nào trong nhiệm vụ này.

Vì chúng ta cần giải bất đẳng thức có dạng $f\left(x \right) \lt 0$, tôi đã tô màu khoảng $x\in \left(-7;3 \right)$ - đó là khoảng duy nhất được đánh dấu bằng dấu trừ. Đây là câu trả lời.

Trả lời: $x\in \left(-7;3 \right)$

Đó là tất cả! Là khó khăn? Không, nó không khó. Đúng là nhiệm vụ này rất dễ dàng. Bây giờ chúng ta hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút và xem xét một bất đẳng thức “phức tạp” hơn. Khi giải, tôi sẽ không đưa ra những tính toán chi tiết như vậy nữa - tôi chỉ phác thảo những điểm chính. Nói chung, chúng tôi sẽ định dạng nó giống như cách chúng tôi định dạng nó trong quá trình làm việc độc lập hoặc trong kỳ thi :)

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

Giải pháp. Đây là một bất đẳng thức không chặt chẽ có dạng $f\left(x \right)\ge 0$. Tất cả các phần tử khác 0 được thu thập ở bên trái, không có mẫu số khác nhau. Hãy chuyển sang các phương trình.

Tử số:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\Rightarrow ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Rightarrow ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(căn chỉnh)\]

Mẫu số:

\[\begin(căn chỉnh) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(căn chỉnh)\]

Tôi không biết loại kẻ biến thái nào đã tạo ra vấn đề này, nhưng gốc rễ của nó không được tốt lắm: sẽ rất khó để đặt chúng trên trục số. Và nếu với gốc $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ mọi thứ ít nhiều rõ ràng (đây là số dương duy nhất - nó sẽ ở bên phải), thì $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ và $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ yêu cầu nghiên cứu bổ sung: cái nào lớn hơn?

Bạn có thể tìm ra điều này, ví dụ như thế này:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Tôi hy vọng không cần phải giải thích tại sao phân số $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Nếu cần, tôi khuyên bạn nên nhớ cách thực hiện các phép tính với phân số.

Và chúng ta đánh dấu cả ba gốc trên trục số:

Điền dấu chấm ở tử số, chấm dấu chấm ở mẫu số

Chúng tôi đang đặt các dấu hiệu. Ví dụ: bạn có thể lấy $((x)_(0))=1$ và tìm ra dấu hiệu tại thời điểm này:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(căn chỉnh)\]

Bất đẳng thức cuối cùng trước các phương trình là $f\left(x \right)\ge 0$, vì vậy chúng ta quan tâm đến dấu cộng.

Chúng ta có hai bộ: một là đoạn thẳng thông thường, và một là tia hở trên trục số.

Trả lời: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Một lưu ý quan trọng về các số mà chúng ta thay thế để tìm ra dấu ở khoảng ngoài cùng bên phải. Hoàn toàn không cần thiết phải thay thế số gần gốc ngoài cùng bên phải nhất. Bạn có thể lấy hàng tỷ hoặc thậm chí cộng vô cùng - trong trường hợp này, dấu của đa thức trong ngoặc, tử số hoặc mẫu số, chỉ được xác định bằng dấu của hệ số dẫn đầu.

Chúng ta hãy xem lại hàm $f\left(x \right)$ từ bất đẳng thức cuối cùng:

Ký hiệu của nó chứa ba đa thức:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\left(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end(căn chỉnh)\]

Tất cả chúng đều là nhị thức tuyến tính và tất cả các hệ số dẫn đầu của chúng (số 7, 11 và 13) đều dương. Vì vậy, khi thay thế những số rất lớn thì bản thân các đa thức cũng sẽ dương.

Quy tắc này có vẻ quá phức tạp, nhưng chỉ lúc đầu khi chúng ta phân tích những bài toán rất dễ. Trong những bất đẳng thức nghiêm trọng, việc thay thế “cộng vô cực” sẽ cho phép chúng ta tìm ra dấu nhanh hơn nhiều so với $((x)_(0))=100$ tiêu chuẩn.

Chúng ta sẽ sớm phải đối mặt với những thách thức như vậy. Nhưng trước tiên, chúng ta hãy xem xét một cách khác để giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số.

Thay đổi phương pháp

Kỹ thuật này được một học trò của tôi gợi ý cho tôi. Bản thân tôi chưa bao giờ sử dụng nhưng thực tế cho thấy nhiều học sinh thực sự thấy giải bất phương trình theo cách này thuận tiện hơn.

Vì vậy, dữ liệu ban đầu là như nhau. Chúng ta cần giải bất đẳng thức hữu tỉ phân số:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

Hãy nghĩ xem: tại sao đa thức $Q\left(x \right)$ lại “xấu” hơn đa thức $P\left(x \right)$? Tại sao chúng ta phải xem xét các nhóm gốc riêng biệt (có và không có dấu hoa thị), nghĩ đến các điểm bị thủng, v.v.? Thật đơn giản: một phân số có một miền định nghĩa, theo đó phân số chỉ có ý nghĩa khi mẫu số của nó khác 0.

Mặt khác, không có sự khác biệt giữa tử số và mẫu số: chúng ta cũng đánh đồng nó bằng 0, tìm các nghiệm rồi đánh dấu trên trục số. Vậy tại sao không thay thế dòng phân số (trên thực tế là dấu chia) bằng phép nhân thông thường và viết ra tất cả các yêu cầu của ODZ dưới dạng bất đẳng thức riêng biệt? Ví dụ như thế này:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(căn chỉnh) \right.\]

Xin lưu ý: cách tiếp cận này sẽ chuyển vấn đề về phương pháp khoảng, nhưng sẽ không làm phức tạp lời giải. Rốt cuộc, chúng ta vẫn sẽ đánh đồng đa thức $Q\left(x \right)$ bằng 0.

Hãy xem cách này hoạt động như thế nào trên các vấn đề thực tế.

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Giải pháp. Vì vậy, hãy chuyển sang phương pháp khoảng:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Rightarrow \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(căn chỉnh) \right.\]

Bất đẳng thức thứ nhất có thể được giải một cách sơ đẳng. Chúng tôi chỉ đơn giản đánh đồng mỗi dấu ngoặc bằng 0:

\[\begin(align) & x+8=0\Rightarrow ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Rightarrow ((x)_(2))=11. \\ \end(căn chỉnh)\]

Bất đẳng thức thứ hai cũng đơn giản:

Đánh dấu các điểm $((x)_(1))$ và $((x)_(2))$ trên trục số. Tất cả đều bị loại vì sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt:

Điểm bên phải đã bị khoét ra hai lần. Điều này ổn.

Hãy chú ý đến điểm $x=11$. Thì ra là “bị thủng kép”: một mặt, chúng ta châm chọc nó vì mức độ nghiêm trọng của sự bất bình đẳng, mặt khác vì yêu cầu bổ sung của DL.

Trong mọi trường hợp, nó sẽ chỉ là một điểm bị thủng. Do đó, chúng tôi sắp xếp các dấu hiệu cho bất đẳng thức $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - dấu cuối cùng chúng tôi thấy trước khi bắt đầu giải phương trình:

Chúng tôi quan tâm đến các vùng dương, vì chúng tôi đang giải bất đẳng thức có dạng $f\left(x \right) \gt 0$ - chúng tôi sẽ tô màu chúng. Tất cả những gì còn lại là viết ra câu trả lời.

Trả lời. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

Lấy giải pháp này làm ví dụ, tôi muốn cảnh báo bạn về một sai lầm phổ biến ở những học viên mới bắt đầu. Cụ thể: không bao giờ mở ngoặc trong bất đẳng thức! Ngược lại, hãy cố gắng tính đến mọi yếu tố - điều này sẽ đơn giản hóa giải pháp và giúp bạn tránh khỏi nhiều vấn đề.

Bây giờ hãy thử một cái gì đó phức tạp hơn.

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

Giải pháp. Đây là một bất đẳng thức không nghiêm ngặt có dạng $f\left(x \right)\le 0$, vì vậy ở đây bạn cần chú ý đến các điểm được tô bóng.

Hãy chuyển sang phương pháp khoảng:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(căn chỉnh) \right.\]

Chúng ta hãy đi đến phương trình:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Rightarrow ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Mũi tên phải ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Rightarrow ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(căn chỉnh)\]

Chúng tôi tính đến yêu cầu bổ sung:

Chúng tôi đánh dấu tất cả các gốc kết quả trên dòng số:

Nếu một điểm vừa bị thủng vừa bị lấp thì coi là bị thủng

Một lần nữa, hai điểm “chồng lên nhau” - điều này là bình thường, nó sẽ luôn như vậy. Điều quan trọng là phải hiểu rằng một điểm được đánh dấu vừa bị thủng vừa được sơn đè lên thực chất là một điểm bị thủng. Những thứ kia. “chích” là một hành động mạnh hơn “vẽ tranh”.

Điều này hoàn toàn hợp lý, bởi vì bằng cách chụm chúng ta đánh dấu các điểm ảnh hưởng đến dấu của hàm nhưng bản thân chúng không tham gia vào câu trả lời. Và nếu tại một thời điểm nào đó, con số đó không còn phù hợp với chúng tôi nữa (ví dụ: nó không rơi vào ODZ), chúng tôi sẽ gạch bỏ nó từ khi xem xét cho đến khi kết thúc nhiệm vụ.

Nói chung, hãy ngừng triết lý. Chúng tôi đặt các dấu hiệu và vẽ lên những khoảng được đánh dấu bằng dấu trừ:

Trả lời. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

Và một lần nữa tôi muốn bạn chú ý đến phương trình này:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

Một lần nữa: đừng bao giờ mở ngoặc trong những phương trình như vậy! Bạn sẽ chỉ làm mọi việc trở nên khó khăn hơn cho chính mình. Hãy nhớ: tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Do đó, phương trình này chỉ đơn giản là “phân rã” thành nhiều phương trình nhỏ hơn mà chúng ta đã giải trong bài toán trước.

Có tính đến sự đa dạng của rễ

Từ các bài toán trước, dễ dàng nhận thấy rằng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt là khó nhất, vì trong chúng bạn phải theo dõi các điểm tô đậm.

Nhưng có một tội ác còn lớn hơn trên thế giới - đây là nguồn gốc của sự bất bình đẳng. Ở đây bạn không còn phải theo dõi một số dấu chấm được tô bóng - ở đây dấu bất đẳng thức có thể không thay đổi đột ngột khi đi qua chính những dấu chấm này.

Chúng ta chưa xem xét bất cứ điều gì như thế này trong bài học này (mặc dù vấn đề tương tự thường gặp phải trong phương pháp khoảng). Vì vậy, chúng tôi đưa ra một định nghĩa mới:

Sự định nghĩa. Căn nguyên của phương trình $((\left(x-a \right))^(n))=0$ bằng $x=a$ và được gọi là nghiệm của bội số thứ $n$.

Thực ra, chúng ta không đặc biệt quan tâm đến giá trị chính xác của bội số. Điều duy nhất quan trọng là số $n$ này là chẵn hay lẻ. Bởi vì:

  1. Nếu $x=a$ là nghiệm của bội số chẵn thì dấu của hàm số không thay đổi khi đi qua nó;
  2. Và ngược lại, nếu $x=a$ là nghiệm của bội lẻ thì dấu của hàm số sẽ thay đổi.

Tất cả các bài toán trước được thảo luận trong bài học này là trường hợp đặc biệt của nghiệm của bội số lẻ: mọi nơi bội số đều bằng một.

Và xa hơn. Trước khi chúng ta bắt đầu giải quyết vấn đề, tôi muốn bạn chú ý đến một sự tinh tế có vẻ hiển nhiên đối với một học sinh có kinh nghiệm, nhưng lại khiến nhiều người mới bắt đầu rơi vào trạng thái sững sờ. Cụ thể là:

Căn nguyên của bội số $n$ chỉ phát sinh trong trường hợp khi toàn bộ biểu thức được nâng lên lũy thừa này: $((\left(x-a \right))^(n))$, chứ không phải $\left(((x) ^( n))-a \right)$.

Một lần nữa: dấu ngoặc $((\left(x-a \right))^(n))$ cho chúng ta gốc $x=a$ của bội số $n$, nhưng dấu ngoặc $\left(((x)^( n)) -a \right)$ hoặc, như thường lệ, $(a-((x)^(n)))$ cho chúng ta một nghiệm (hoặc hai nghiệm, nếu $n$ là số chẵn) của bội số đầu tiên , bất kể giá trị bằng $n$ là bao nhiêu.

So sánh:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\Rightarrow x=3\left(5k \right)\]

Ở đây mọi thứ đều rõ ràng: toàn bộ dấu ngoặc được nâng lên lũy thừa thứ năm, vì vậy đầu ra chúng ta nhận được là căn của lũy thừa thứ năm. Và bây giờ:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\Rightarrow ((x)^(2))=4\Rightarrow x=\pm 2\]

Chúng ta có hai nghiệm, nhưng cả hai đều có bội số thứ nhất. Hoặc đây là một cái khác:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\Rightarrow ((x)^(10))=1024\Rightarrow x=\pm 2\]

Và đừng để mức độ thứ mười làm phiền bạn. Điều chính là 10 là một số chẵn, vì vậy ở đầu ra chúng ta có hai gốc và cả hai đều có bội số đầu tiên.

Nói chung, hãy cẩn thận: bội số chỉ xảy ra khi mức độ đề cập đến toàn bộ dấu ngoặc đơn, không chỉ biến.

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\left(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

Giải pháp. Hãy thử giải quyết nó theo một cách khác - thông qua việc chuyển từ thương sang tích:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(căn chỉnh )\Phải.\]

Hãy giải quyết bất đẳng thức đầu tiên bằng phương pháp khoảng:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Rightarrow x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\Rightarrow x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\Rightarrow x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\Rightarrow x=-7\left(5k \right). \\ \end(căn chỉnh)\]

Ngoài ra, chúng tôi giải quyết bất đẳng thức thứ hai. Trên thực tế, chúng tôi đã giải quyết nó rồi, nhưng để người đánh giá không tìm thấy lỗi trong giải pháp, tốt hơn hết là giải quyết lại:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\Rightarrow x\ne -7\]

Xin lưu ý: không có bội số trong bất đẳng thức cuối cùng. Trên thực tế: có bao nhiêu lần bạn gạch bỏ điểm $x=-7$ trên trục số? Ít nhất một lần, ít nhất năm lần, kết quả đều giống nhau: bị thủng một điểm.

Hãy đánh dấu mọi thứ chúng ta có trên trục số:

Như tôi đã nói, điểm $x=-7$ cuối cùng sẽ bị thủng. Các bội số được sắp xếp dựa trên việc giải bất đẳng thức bằng phương pháp khoảng.

Tất cả những gì còn lại là đặt các biển báo:

Vì điểm $x=0$ là nghiệm của bội số chẵn nên dấu không thay đổi khi đi qua nó. Các điểm còn lại có bội số lẻ và mọi thứ đều đơn giản với chúng.

Trả lời. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Một lần nữa, hãy chú ý đến $x=0$. Do tính đa dạng đồng đều, một hiệu ứng thú vị sẽ nảy sinh: mọi thứ ở bên trái của nó đều được sơn lên, mọi thứ ở bên phải cũng được sơn lên và bản thân điểm đó cũng được sơn lên hoàn toàn.

Nhờ đó, không cần phải cách ly khi ghi đáp án. Những thứ kia. không cần phải viết một cái gì đó như $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (mặc dù về mặt chính thức một câu trả lời như vậy cũng sẽ đúng). Thay vào đó, chúng ta viết ngay $x\in \left[ -4;6 \right]$.

Những hiệu ứng như vậy chỉ có thể xảy ra với các gốc có số bội chẵn. Và ở bài toán tiếp theo chúng ta sẽ gặp “biểu hiện” ngược của hiệu ứng này. Sẵn sàng?

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Giải pháp. Lần này chúng ta sẽ làm theo sơ đồ tiêu chuẩn. Chúng ta đánh đồng tử số bằng 0:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\Rightarrow ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\Rightarrow ((x)_(2))=4. \\ \end(căn chỉnh)\]

Và mẫu số:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(căn chỉnh)\]

Vì chúng ta đang giải một bất đẳng thức không nghiêm ngặt có dạng $f\left(x \right)\ge 0$, nên các nghiệm từ mẫu số (có dấu hoa thị) sẽ bị loại bỏ và các nghiệm từ tử số sẽ được tô bóng.

Chúng tôi đặt các biển báo và tô màu các khu vực được đánh dấu bằng dấu “cộng”:

Điểm $x=3$ bị cô lập. Đây là một phần của câu trả lời

Trước khi viết ra câu trả lời cuối cùng, chúng ta hãy nhìn kỹ vào bức tranh:

  1. Điểm $x=1$ có bội số chẵn, nhưng bản thân nó bị thủng. Do đó, nó sẽ phải được tách biệt trong câu trả lời: bạn cần phải viết $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ chứ không phải $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.
  2. Điểm $x=3$ cũng có bội số chẵn và được tô bóng. Việc sắp xếp các biển báo cho thấy rằng bản thân điểm đó phù hợp với chúng ta, nhưng chỉ cần bước sang trái hoặc phải - và chúng ta thấy mình đang ở trong một khu vực chắc chắn không phù hợp với mình. Những điểm như vậy được gọi là điểm cô lập và được viết dưới dạng $x\in \left\( 3 \right\)$.

Chúng tôi kết hợp tất cả các phần nhận được thành một bộ chung và viết ra câu trả lời.

Trả lời: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Sự định nghĩa. Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh tập này rỗng.

Có vẻ như: điều gì có thể khó hiểu ở đây? Đúng, thực tế của vấn đề là các tập hợp có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau. Hãy viết lại câu trả lời cho vấn đề cuối cùng:

Chúng tôi thực sự đọc những gì được viết. Biến “x” thuộc về một tập hợp nhất định, có được bằng cách kết hợp (dấu “U”) bốn tập hợp riêng biệt:

  • Khoảng $\left(-\infty ;1 \right)$, có nghĩa đen là “tất cả các số nhỏ hơn một, nhưng không phải chính đơn vị”;
  • Khoảng $\left(1;2 \right)$, tức là “tất cả các số trong phạm vi từ 1 đến 2, nhưng không phải chính các số 1 và 2”;
  • Tập hợp $\left\( 3 \right\)$, bao gồm một số duy nhất - ba;
  • Khoảng $\left[ 4;5 \right)$ chứa tất cả các số trong phạm vi từ 4 đến 5, cũng như chính số bốn, nhưng không chứa số năm.

Điểm thứ ba đáng quan tâm ở đây. Không giống như các khoảng, xác định các tập hợp số vô hạn và chỉ biểu thị ranh giới của các tập hợp này, tập hợp $\left\( 3 \right\)$ chỉ định rõ ràng một số bằng cách liệt kê.

Để hiểu rằng chúng tôi đang liệt kê các số cụ thể có trong tập hợp (và không đặt ranh giới hoặc bất kỳ thứ gì khác), dấu ngoặc nhọn được sử dụng. Ví dụ: ký hiệu $\left\( 1;2 \right\)$ có nghĩa chính xác là “một tập hợp gồm hai số: 1 và 2,” nhưng không phải là một phân đoạn từ 1 đến 2. Đừng nhầm lẫn các khái niệm này trong bất kỳ trường hợp nào .

Quy tắc cộng bội số

Chà, ở cuối bài học hôm nay, một chút tin tức từ Pavel Berdov :)

Những học sinh chăm chú có lẽ đã tự hỏi: điều gì sẽ xảy ra nếu tử số và mẫu số có cùng gốc? Vì vậy, quy tắc sau hoạt động:

Sự đa dạng của các gốc giống hệt nhau được thêm vào. Luôn luôn. Ngay cả khi gốc này xuất hiện ở cả tử số và mẫu số.

Đôi khi quyết định còn tốt hơn là nói chuyện. Vì vậy, chúng tôi giải quyết vấn đề sau:

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \right))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(căn chỉnh)\]

Chưa có gì đặc biệt. Chúng ta đánh đồng mẫu số bằng 0:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Rightarrow x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Rightarrow x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(căn chỉnh)\]

Hai nghiệm giống hệt nhau đã được phát hiện: $((x)_(1))=-2$ và $x_(4)^(*)=-2$. Cả hai đều có bội số thứ nhất. Do đó, chúng ta thay thế chúng bằng một nghiệm $x_(4)^(*)=-2$, nhưng có bội số là 1+1=2.

Ngoài ra, còn có các nghiệm giống nhau: $((x)_(2))=-4$ và $x_(2)^(*)=-4$. Chúng cũng thuộc bội số đầu tiên, vì vậy chỉ $x_(2)^(*)=-4$ của bội số 1+1=2 sẽ còn lại.

Xin lưu ý: trong cả hai trường hợp, chúng tôi đã để lại chính xác phần gốc "bị thủng" và loại trừ phần "được sơn" khỏi xem xét. Vì ngay đầu bài chúng ta đã thống nhất: nếu một điểm vừa bị thủng vừa bị sơn đè lên thì chúng ta vẫn coi đó là điểm bị thủng.

Kết quả là chúng ta có bốn gốc và tất cả chúng đều bị cắt bỏ:

\[\begin(căn chỉnh) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right). \\ \end(căn chỉnh)\]

Chúng tôi đánh dấu chúng trên dòng số, có tính đến bội số:

Chúng tôi đặt các biển báo và sơn lên các khu vực mà chúng tôi quan tâm:

Tất cả. Không có điểm cô lập hoặc những đồi trụy khác. Bạn có thể viết ra câu trả lời.

Trả lời. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

Quy tắc nhân bội số

Đôi khi một tình huống thậm chí còn khó chịu hơn xảy ra: một phương trình có nhiều nghiệm được nâng lên một lũy thừa nào đó. Trong trường hợp này, bội số của tất cả các nghiệm ban đầu thay đổi.

Điều này hiếm khi xảy ra nên hầu hết học sinh không có kinh nghiệm giải những bài toán như vậy. Và quy tắc ở đây là:

Khi một phương trình được nâng lên lũy thừa $n$, bội số của tất cả các nghiệm của nó cũng tăng $n$ lần.

Nói cách khác, việc nâng lũy ​​thừa sẽ dẫn đến việc nhân các bội số với cùng một lũy thừa. Hãy xem quy tắc này bằng một ví dụ:

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

Giải pháp. Chúng ta đánh đồng tử số bằng 0:

Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Mọi thứ đều rõ ràng với yếu tố đầu tiên: $x=0$. Nhưng rồi vấn đề bắt đầu:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(align)\]

Như chúng ta thấy, phương trình $((x)^(2))-6x+9=0$ có một nghiệm duy nhất của bội số thứ hai: $x=3$. Toàn bộ phương trình này sau đó được bình phương. Do đó, bội số của nghiệm sẽ là $2\cdot 2=4$, đó là những gì cuối cùng chúng ta đã viết ra.

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\Rightarrow x=4\left(5k \right)\]

Không có vấn đề gì với mẫu số:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\Rightarrow x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\Rightarrow x_(2)^(*)=1\left(2k \right). \\ \end(căn chỉnh)\]

Tổng cộng, chúng tôi có năm chấm: hai chấm thủng và ba chấm sơn. Không có nghiệm nào trùng nhau ở tử số và mẫu số nên ta chỉ đánh dấu chúng trên trục số:

Chúng tôi sắp xếp các dấu hiệu có tính đến sự đa dạng và vẽ theo các khoảng thời gian mà chúng tôi quan tâm:

Lại một điểm biệt lập và một điểm bị thủng

Do nguồn gốc của tính bội số chẵn, chúng ta lại có một vài phần tử “không chuẩn”. Đây là $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, chứ không phải $x\in \left[ 0;2 \right)$, và cũng là một điểm cô lập $ x\in \left\( 3 \right\)$.

Trả lời. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Như bạn có thể thấy, mọi thứ không quá phức tạp. Điều chính là sự chú ý. Phần cuối cùng của bài học này được dành cho các phép biến đổi - những biến đổi tương tự mà chúng ta đã thảo luận ở phần đầu.

Chuyển đổi trước

Những bất đẳng thức mà chúng ta sẽ xem xét trong phần này không thể gọi là phức tạp. Tuy nhiên, không giống như các nhiệm vụ trước, ở đây bạn sẽ phải áp dụng các kỹ năng từ lý thuyết phân số hữu tỉ - phân tích nhân tử và rút gọn về mẫu số chung.

Chúng ta đã thảo luận vấn đề này một cách chi tiết ngay từ đầu bài học hôm nay. Nếu bạn không chắc mình hiểu những gì tôi đang nói, tôi thực sự khuyên bạn nên quay lại và lặp lại nó. Bởi vì việc nhồi nhét các phương pháp giải bất phương trình sẽ chẳng ích gì nếu bạn “thả nổi” trong việc chuyển đổi phân số.

Nhân tiện, trong bài tập về nhà, cũng sẽ có nhiều nhiệm vụ tương tự. Chúng được đặt trong một tiểu mục riêng biệt. Và ở đó bạn sẽ tìm thấy những ví dụ rất không tầm thường. Nhưng điều này sẽ có trong bài tập về nhà, và bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài bất đẳng thức như vậy.

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Giải pháp. Di chuyển mọi thứ sang trái:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Chúng ta đưa về mẫu số chung, mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự vào tử số:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ phải))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(căn chỉnh)\]

Bây giờ chúng ta có trước mắt một bất đẳng thức phân số hữu tỉ cổ điển, việc giải nó không còn khó khăn nữa. Tôi đề xuất giải quyết nó bằng một phương pháp thay thế - thông qua phương pháp khoảng:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(căn chỉnh)\]

Đừng quên ràng buộc xuất phát từ mẫu số:

Chúng tôi đánh dấu tất cả các số và hạn chế trên dòng số:

Tất cả các rễ đều có bội số thứ nhất. Không có gì. Chúng tôi chỉ cần đặt các biển hiệu và sơn lên những khu vực chúng tôi cần:

Đây là tất cả. Bạn có thể viết ra câu trả lời.

Trả lời. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Tất nhiên, đây là một ví dụ rất đơn giản. Vì vậy bây giờ chúng ta hãy xem xét vấn đề một cách nghiêm túc hơn. Và nhân tiện, mức độ của nhiệm vụ này khá phù hợp với bài tập độc lập và bài kiểm tra về chủ đề này ở lớp 8.

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Giải pháp. Di chuyển mọi thứ sang trái:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Trước khi đưa cả hai phân số về mẫu số chung, chúng ta hãy phân tích các mẫu số này thành nhân tử. Điều gì sẽ xảy ra nếu các dấu ngoặc tương tự xuất hiện? Với mẫu số đầu tiên thật dễ dàng:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

Cái thứ hai khó hơn một chút. Vui lòng thêm một hệ số không đổi vào dấu ngoặc nơi phân số xuất hiện. Hãy nhớ rằng: đa thức ban đầu có hệ số nguyên, do đó rất có thể hệ số phân tích sẽ có hệ số nguyên (trên thực tế, nó luôn như vậy, trừ khi phân biệt đối xử là vô tỷ).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(align)\]

Như bạn có thể thấy, có một dấu ngoặc chung: $\left(x-1 \right)$. Chúng ta quay trở lại bất đẳng thức và đưa cả hai phân số về mẫu số chung:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(căn chỉnh)\]

Chúng ta đánh đồng mẫu số bằng 0:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( căn chỉnh)\]

Không có bội số hoặc gốc trùng nhau. Chúng tôi đánh dấu bốn số trên dòng:

Chúng tôi đang đặt các dấu hiệu:

Chúng tôi viết ra câu trả lời.

Trả lời: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

Tất cả! Như thế này thì tôi đọc tới dòng này.

xem thêm Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng đồ họa, Dạng chuẩn của bài toán quy hoạch tuyến tính

Hệ thống các ràng buộc cho bài toán này bao gồm các bất đẳng thức hai biến:
và hàm mục tiêu có dạng F = C 1 x + C 2 yđiều cần được tối đa hóa.

Hãy cùng chúng tôi trả lời câu hỏi: cặp số nào ( x; y) là nghiệm của hệ bất phương trình, tức là chúng có thỏa mãn đồng thời từng bất phương trình không? Nói cách khác, việc giải quyết một hệ thống bằng đồ họa có ý nghĩa gì?
Trước tiên, bạn cần hiểu nghiệm của một bất đẳng thức tuyến tính với hai ẩn số là gì.
Giải bất đẳng thức tuyến tính với hai ẩn số có nghĩa là xác định tất cả các cặp giá trị chưa biết mà bất đẳng thức đó giữ.
Ví dụ: bất đẳng thức 3 x – 5y≥ 42 cặp thỏa mãn ( x , y) : (100, 2); (3, –10), v.v. Nhiệm vụ là tìm tất cả các cặp như vậy.
Xét hai bất đẳng thức: cây rìu + qua≤ c, cây rìu + qua≥ c. Thẳng cây rìu + qua = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng sao cho tọa độ các điểm của một trong chúng thỏa mãn bất đẳng thức cây rìu + qua >c, và bất đẳng thức khác cây rìu + +qua <c.
Thật vậy, chúng ta hãy lấy một điểm với tọa độ x = x 0 ; khi đó một điểm nằm trên một đường thẳng và có trục hoành x 0, có tọa độ

Hãy chắc chắn Một< 0, b>0, c> 0. Tất cả các điểm có hoành độ x 0 nằm phía trên P(ví dụ: chấm M), có y M>y 0 và tất cả các điểm dưới điểm P, với abscissa x 0, có y N<y 0 . Bởi vì x 0 là một điểm tùy ý thì sẽ luôn có những điểm nằm về một phía của đường thẳng mà cây rìu+ qua > c, tạo thành một nửa mặt phẳng và ở phía bên kia - các điểm mà cây rìu + qua< c.

Bức tranh 1

Dấu bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng phụ thuộc vào các số Một, b , c.
Điều này dẫn đến phương pháp sau đây để giải các hệ bất phương trình tuyến tính hai biến bằng đồ thị. Để giải hệ phương trình bạn cần:

  1. Với mỗi bất đẳng thức, hãy viết phương trình tương ứng với bất đẳng thức đó.
  2. Xây dựng các đường thẳng là đồ thị của hàm số được xác định bởi phương trình.
  3. Với mỗi đường thẳng, hãy xác định nửa mặt phẳng được cho bởi bất đẳng thức. Để làm điều này, hãy lấy một điểm tùy ý không nằm trên một đường thẳng và thay tọa độ của nó vào bất đẳng thức. nếu bất đẳng thức đúng thì nửa mặt phẳng chứa điểm đã chọn là nghiệm của bất đẳng thức ban đầu. Nếu bất đẳng thức sai thì nửa mặt phẳng bên kia đường thẳng là tập nghiệm của bất đẳng thức này.
  4. Để giải hệ bất phương trình cần tìm diện tích giao của tất cả các nửa mặt phẳng là nghiệm của từng bất phương trình của hệ.

Diện tích này có thể trống rỗng, khi đó hệ bất đẳng thức không có lời giải và không nhất quán. Ngược lại, hệ thống được cho là nhất quán.
Có thể có một số hữu hạn hoặc vô số lời giải. Khu vực này có thể là một đa giác khép kín hoặc không giới hạn.

Hãy xem xét ba ví dụ có liên quan.

Ví dụ 1. Giải hệ bằng đồ thị:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2y + 5 ≤ 0.

  • Xét các phương trình x+y–1=0 và –2x–2y+5=0 tương ứng với các bất đẳng thức;
  • Hãy dựng các đường thẳng cho bởi các phương trình này.

Hình 2

Chúng ta hãy định nghĩa các nửa mặt phẳng được xác định bởi các bất đẳng thức. Hãy lấy một điểm tùy ý, gọi là (0; 0). Hãy xem xét x+ y– 1 0, thay điểm (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Điều này có nghĩa là trong nửa mặt phẳng nơi điểm (0; 0) nằm, x + y – 1 0, tức là nửa mặt phẳng nằm dưới đường thẳng là nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất. Thay điểm này (0; 0) vào điểm thứ hai, chúng ta nhận được: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tức là trong nửa mặt phẳng nơi điểm (0; 0) nằm, -2 x – 2y+ 5 ≥ 0, và chúng tôi được hỏi ở đâu –2 x – 2y+ 5 0, do đó, ở nửa mặt phẳng kia - ở nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng.
Hãy tìm giao điểm của hai nửa mặt phẳng này. Các đường thẳng song song nên các mặt phẳng không giao nhau ở bất cứ đâu, điều đó có nghĩa là hệ các bất đẳng thức này không có nghiệm và không nhất quán.

Ví dụ 2. Tìm nghiệm đồ họa của hệ bất phương trình:

Hình 3
1. Viết các phương trình tương ứng với các bất đẳng thức và dựng đường thẳng.
x + 2y– 2 = 0

x 2 0
y 0 1

y – x – 1 = 0
x 0 2
y 1 3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Sau khi chọn điểm (0; 0), ta xác định dấu các bất đẳng thức trong nửa mặt phẳng:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tức là x + 2y– 2  0 trong nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tức là y –x– 1  0 trong nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng;
0 + 2 =2 ≥ 0, tức là y+ 2 ≥ 0 trong nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng.
3. Giao điểm của ba nửa mặt phẳng này sẽ là diện tích là một hình tam giác. Không khó để tìm ra các đỉnh của miền là giao điểm của các đường thẳng tương ứng


Như vậy, MỘT(–3; –2), TRONG(0; 1), VỚI(6; –2).

Hãy xem xét một ví dụ khác trong đó miền giải pháp thu được của hệ thống không bị giới hạn.

Giải bất đẳng thức trực tuyến

Trước khi giải bất phương trình, bạn cần hiểu rõ cách giải phương trình.

Không quan trọng bất đẳng thức là nghiêm ngặt () hay không nghiêm ngặt (≤, ≥), bước đầu tiên là giải phương trình bằng cách thay thế dấu bất đẳng thức bằng đẳng thức (=).

Hãy để chúng tôi giải thích ý nghĩa của việc giải bất đẳng thức?

Sau khi nghiên cứu các phương trình, học sinh sẽ hình dung ra trong đầu: em cần tìm các giá trị của biến sao cho cả hai vế của phương trình đều có cùng giá trị. Nói cách khác, tìm tất cả các điểm tại đó đẳng thức đạt được. Mọi thứ đều chính xác!

Khi chúng ta nói về bất đẳng thức, chúng ta muốn nói đến việc tìm các khoảng (đoạn) mà bất đẳng thức đó đúng. Nếu có hai biến trong bất đẳng thức thì nghiệm sẽ không còn là các khoảng nữa mà là một số diện tích trên mặt phẳng. Hãy tự đoán xem nghiệm của bất đẳng thức ba biến sẽ là gì?

Làm thế nào để giải quyết bất đẳng thức?

Một cách phổ biến để giải bất đẳng thức được coi là phương pháp khoảng (còn được gọi là phương pháp khoảng), bao gồm việc xác định tất cả các khoảng trong ranh giới mà bất đẳng thức đã cho sẽ được thỏa mãn.

Không đi sâu vào loại bất đẳng thức, trong trường hợp này không phải là vấn đề, bạn cần giải phương trình tương ứng và xác định nghiệm của nó, sau đó ký hiệu các nghiệm này trên trục số.

Làm thế nào để viết đúng nghiệm của bất đẳng thức?

Khi bạn đã xác định được khoảng thời gian nghiệm của bất đẳng thức, bạn cần phải viết chính xác nghiệm đó. Có một sắc thái quan trọng - ranh giới của các khoảng có được đưa vào giải pháp không?

Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Nếu nghiệm của phương trình thỏa mãn ODZ và bất đẳng thức không nghiêm ngặt thì ranh giới của khoảng được đưa vào nghiệm của bất đẳng thức. Nếu không thì không.

Xét từng khoảng, nghiệm của bất đẳng thức có thể là chính khoảng đó, hoặc nửa khoảng (khi một trong các biên của nó thỏa mãn bất đẳng thức), hoặc một đoạn - khoảng cùng với các biên của nó.

Tâm điểm

Đừng nghĩ rằng chỉ có các khoảng, nửa quãng và các đoạn mới có thể giải được bất đẳng thức. Không, giải pháp cũng có thể bao gồm các điểm riêng lẻ.

Ví dụ: bất đẳng thức |x|<0 chỉ có một nghiệm duy nhất - đây là điểm 0.

Và bất đẳng thức |x|

Tại sao bạn cần một máy tính bất đẳng thức?

Máy tính bất đẳng thức đưa ra câu trả lời cuối cùng đúng. Trong hầu hết các trường hợp, hình ảnh minh họa về trục số hoặc mặt phẳng được cung cấp. Có thể thấy liệu ranh giới của các khoảng có được đưa vào giải pháp hay không - các điểm được hiển thị dưới dạng bóng mờ hoặc bị thủng.

Nhờ công cụ tính bất đẳng thức trực tuyến, bạn có thể kiểm tra xem mình đã tìm đúng nghiệm của phương trình hay chưa, đánh dấu chúng trên trục số và kiểm tra sự thỏa mãn điều kiện của bất đẳng thức trên các khoảng (và biên) hay không?

Nếu câu trả lời của bạn khác với câu trả lời của máy tính thì bạn chắc chắn cần phải kiểm tra lại lời giải của mình và xác định lỗi.

Sau khi có được thông tin ban đầu về bất đẳng thức có biến, chúng ta chuyển sang câu hỏi giải chúng. Chúng ta sẽ phân tích cách giải bất phương trình tuyến tính một biến và tất cả các phương pháp giải chúng bằng các thuật toán và ví dụ. Chỉ các phương trình tuyến tính có một biến mới được xem xét.

Bất bình đẳng tuyến tính là gì?

Trước tiên, bạn cần xác định một phương trình tuyến tính và tìm ra dạng chuẩn của nó cũng như nó sẽ khác với các phương trình khác như thế nào. Từ khóa học ở trường, chúng ta thấy rằng không có sự khác biệt cơ bản giữa các bất đẳng thức, vì vậy cần phải sử dụng một số định nghĩa.

Định nghĩa 1

Bất đẳng thức tuyến tính một biến x là bất đẳng thức có dạng a · x + b > 0, khi bất kỳ dấu bất đẳng thức nào được sử dụng thay cho >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Định nghĩa 2

Bất đẳng thức a x< c или a · x >c, với x là một biến và a và c là một số số, được gọi là bất đẳng thức tuyến tính với một biến.

Vì không có gì nói về việc hệ số có thể bằng 0 hay không, nên bất đẳng thức nghiêm ngặt có dạng 0 x > c và 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Sự khác biệt của họ là:

  • dạng ký hiệu a · x + b > 0 ở dạng thứ nhất và a · x > c – ở dạng thứ hai;
  • khả năng chấp nhận của hệ số a bằng 0, a ≠ 0 - trong trường hợp thứ nhất và a = 0 - trong trường hợp thứ hai.

Người ta tin rằng các bất đẳng thức a · x + b > 0 và a · x > c là tương đương nhau, bởi vì chúng thu được bằng cách chuyển một số hạng từ phần này sang phần khác. Giải bất đẳng thức 0 x + 5 > 0 sẽ dẫn đến cần phải giải và trường hợp a = 0 sẽ không được.

Định nghĩa 3

Người ta tin rằng các bất đẳng thức tuyến tính một biến x là các bất đẳng thức có dạng a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b 0 Và a x + b ≥ 0, trong đó a và b là các số thực. Thay vì x có thể là một số thông thường.

Dựa vào quy tắc, ta có 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 được gọi là có thể rút gọn về tuyến tính.

Cách giải bất đẳng thức tuyến tính

Cách chính để giải các bất đẳng thức đó là sử dụng các phép biến đổi tương đương để tìm các bất đẳng thức cơ bản x< p (≤ , >, ≥) , p là một số nhất định, với a ≠ 0 và có dạng a< p (≤ , >, ≥) với a = 0.

Để giải bất đẳng thức trong một biến, bạn có thể sử dụng phương pháp khoảng hoặc biểu diễn nó bằng đồ thị. Bất kỳ trong số họ có thể được sử dụng riêng biệt.

Sử dụng các phép biến đổi tương đương

Để giải bất đẳng thức tuyến tính dạng a x + b< 0 (≤ , >, ≥), cần áp dụng các phép biến đổi bất đẳng thức tương đương. Hệ số có thể bằng 0 hoặc không. Hãy xem xét cả hai trường hợp. Để tìm hiểu, bạn cần tuân thủ sơ đồ bao gồm 3 điểm: bản chất của quy trình, thuật toán và chính giải pháp.

Định nghĩa 4

Thuật toán giải bất đẳng thức tuyến tính a x + b< 0 (≤ , >, ≥) với a ≠ 0

  • số b sẽ được chuyển sang vế phải của bất đẳng thức với dấu ngược lại, điều này sẽ cho phép chúng ta đạt được a x tương đương< − b (≤ , > , ≥) ;
  • Cả hai vế của bất đẳng thức sẽ được chia cho một số không bằng 0. Hơn nữa, khi a dương thì dấu vẫn giữ nguyên; khi a âm thì nó đổi dấu ngược lại.

Hãy xem xét việc áp dụng thuật toán này để giải các ví dụ.

ví dụ 1

Giải bất đẳng thức dạng 3 x + 12 0.

Giải pháp

Bất đẳng thức tuyến tính này có a = 3 và b = 12. Điều này có nghĩa là hệ số a của x không bằng 0. Hãy áp dụng các thuật toán trên và giải quyết nó.

Cần phải chuyển số hạng 12 sang phần khác của bất đẳng thức và đổi dấu đằng trước nó. Khi đó ta thu được bất đẳng thức có dạng 3 x ≤ − 12. Cần phải chia cả hai phần cho 3. Dấu sẽ không thay đổi vì 3 là số dương. Ta thu được (3 x) : 3 ≤ (- 12) : 3, cho kết quả x ≤ − 4.

Bất đẳng thức có dạng x ≤ − 4 là tương đương. Nghĩa là, nghiệm của 3 x + 12 ≤ 0 là bất kỳ số thực nào nhỏ hơn hoặc bằng 4. Câu trả lời được viết dưới dạng bất đẳng thức x ≤ − 4 hoặc một khoảng số có dạng (- ∞, − 4].

Toàn bộ thuật toán được mô tả ở trên được viết như thế này:

3 x + 12 0 ; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Trả lời: x ≤ − 4 hoặc (− ∞ , − 4 ] .

Ví dụ 2

Chỉ ra tất cả các nghiệm có sẵn của bất đẳng thức − 2, 7 · z > 0.

Giải pháp

Từ điều kiện chúng ta thấy rằng hệ số a cho z bằng - 2,7 và b rõ ràng vắng mặt hoặc bằng 0. Bạn không thể sử dụng bước đầu tiên của thuật toán mà ngay lập tức chuyển sang bước thứ hai.

Chúng tôi chia cả hai vế của phương trình cho số - 2, 7. Vì số âm nên cần phải đảo dấu bất đẳng thức. Tức là, chúng ta thu được (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Chúng ta hãy viết toàn bộ thuật toán dưới dạng ngắn gọn:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Trả lời: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Ví dụ 3

Giải bất đẳng thức - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Giải pháp

Theo điều kiện, ta thấy cần giải bất phương trình với hệ số a cho biến x bằng - 5, với hệ số b tương ứng với phân số - 15 22. Cần giải bất đẳng thức theo thuật toán, đó là: chuyển - 15 22 sang phần khác trái dấu, chia cả hai phần cho - 5, đổi dấu của bất đẳng thức:

5 x 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Trong lần chuyển đổi cuối cùng cho vế phải, quy tắc chia số có dấu khác nhau được sử dụng 15 22: - 5 = - 15 22: 5, sau đó chúng ta chia phân số thường cho số tự nhiên - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Trả lời: x ≥ - 3 22 và [ - 3 22 + ∞) .

Xét trường hợp a = 0. Biểu thức tuyến tính dạng a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Mọi thứ đều dựa trên việc xác định giải pháp cho sự bất bình đẳng. Với bất kỳ giá trị x nào, chúng ta thu được bất đẳng thức số có dạng b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Chúng ta sẽ xem xét tất cả các phán đoán dưới dạng thuật toán giải các bất đẳng thức tuyến tính 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Định nghĩa 5

Bất đẳng thức số dạng b< 0 (≤ , >, ≥) là đúng thì bất đẳng thức ban đầu có nghiệm với bất kỳ giá trị nào và sai khi bất đẳng thức ban đầu không có nghiệm.

Ví dụ 4

Giải bất đẳng thức 0 x + 7 > 0.

Giải pháp

Bất đẳng thức tuyến tính 0 x + 7 > 0 này có thể nhận bất kỳ giá trị x nào. Khi đó ta thu được bất đẳng thức có dạng 7 > 0. Bất đẳng thức cuối cùng được coi là đúng, có nghĩa là bất kỳ số nào cũng có thể là nghiệm của nó.

Trả lời: khoảng (− ∞ , + ∞) .

Ví dụ 5

Tìm nghiệm của bất đẳng thức 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Giải pháp

Khi thay biến x bằng một số bất kỳ, ta thu được bất đẳng thức có dạng − 12, 7 ≥ 0. Nó không đúng. Nghĩa là 0 x − 12, 7 ≥ 0 vô nghiệm.

Trả lời: không có giải pháp nào

Hãy xem xét việc giải các bất đẳng thức tuyến tính trong đó cả hai hệ số đều bằng 0.

Ví dụ 6

Xác định bất đẳng thức không giải được từ 0 x + 0 > 0 và 0 x + 0 ≥ 0.

Giải pháp

Khi thay số bất kỳ vào x, ta thu được hai bất đẳng thức có dạng 0 > 0 và 0 ≥ 0. Đầu tiên là không chính xác. Điều này có nghĩa là 0 x + 0 > 0 không có nghiệm và 0 x + 0 ≥ 0 có vô số nghiệm, tức là bất kỳ số nào.

Trả lời: bất đẳng thức 0 x + 0 > 0 không có nghiệm nhưng 0 x + 0 ≥ 0 có nghiệm.

Phương pháp này được thảo luận trong khóa học toán ở trường. Phương pháp khoảng có khả năng giải quyết nhiều loại bất đẳng thức khác nhau, bao gồm cả bất đẳng thức tuyến tính.

Phương pháp khoảng được sử dụng cho các bất đẳng thức tuyến tính khi giá trị của hệ số x không bằng 0. Nếu không, bạn sẽ phải tính toán bằng một phương pháp khác.

Định nghĩa 6

Phương pháp ngắt quãng là:

  • giới thiệu hàm y = a · x + b ;
  • tìm kiếm các số 0 để chia miền định nghĩa thành các khoảng;
  • định nghĩa các dấu hiệu cho các khái niệm của họ trên các khoảng.

Hãy tập hợp một thuật toán giải phương trình tuyến tính a x + b< 0 (≤ , >, ≥) với a ≠ 0 bằng phương pháp khoảng:

  • tìm các số 0 của hàm số y = a · x + b để giải phương trình dạng a · x + b = 0 . Nếu a ≠ 0 thì nghiệm sẽ là một nghiệm đơn, sẽ lấy ký hiệu x 0;
  • xây dựng đường tọa độ với hình ảnh của một điểm có tọa độ x 0, với bất đẳng thức nghiêm ngặt, điểm được biểu thị bằng điểm bị thủng, với bất đẳng thức không nghiêm ngặt – bằng bất đẳng thức bóng mờ;
  • xác định dấu của hàm y = a · x + b trên các khoảng; để làm được điều này cần tìm các giá trị của hàm tại các điểm trên khoảng;
  • giải bất đẳng thức có dấu > hoặc ≥ trên đường tọa độ, thêm bóng trên khoảng dương,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Chúng ta hãy xem xét một số ví dụ về giải bất đẳng thức tuyến tính bằng phương pháp khoảng.

Ví dụ 6

Giải bất đẳng thức − 3 x + 12 > 0.

Giải pháp

Theo thuật toán, trước tiên bạn cần tìm nghiệm của phương trình − 3 x + 12 = 0. Chúng ta nhận được − 3 · x = − 12 , x = 4 . Cần phải vẽ một đường tọa độ nơi chúng ta đánh dấu điểm 4. Nó sẽ bị thủng vì sự bất bình đẳng là nghiêm ngặt. Hãy xem xét bản vẽ dưới đây.

Nó là cần thiết để xác định các dấu hiệu trong khoảng thời gian. Để xác định nó trên khoảng (- ∞, 4), cần tính hàm y = − 3 x + 12 tại x = 3. Từ đây ta có − 3 3 + 12 = 3 > 0. Dấu hiệu trên khoảng là dương.

Ta xác định dấu từ khoảng (4, + ∞), sau đó thay giá trị x = 5. Ta có − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Chúng ta giải bất đẳng thức bằng dấu > và việc tô bóng được thực hiện trong khoảng dương. Hãy xem xét bản vẽ dưới đây.

Từ hình vẽ, rõ ràng nghiệm mong muốn có dạng (- ∞ , 4) hoặc x< 4 .

Trả lời: (- ∞ , 4) hoặc x< 4 .

Để hiểu cách mô tả bằng đồ họa, cần xem xét 4 bất đẳng thức tuyến tính làm ví dụ: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 và 0, 5 x − 1 ≥ 0. Nghiệm của họ sẽ là các giá trị của x< 2 , x ≤ 2 , x >2 và x ≥ 2. Để làm điều này, hãy vẽ đồ thị hàm tuyến tính y = 0, 5 x − 1 như bên dưới.

Rõ ràng là

Định nghĩa 7

  • giải bất đẳng thức 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
  • nghiệm 0, 5 x − 1 ≤ 0 được coi là khoảng trong đó hàm số y = 0, 5 x − 1 nhỏ hơn O x hoặc trùng khớp;
  • nghiệm 0, 5 · x − 1 > 0 được coi là một khoảng, hàm số nằm trên O x;
  • nghiệm 0, 5 · x − 1 ≥ 0 được coi là khoảng mà đồ thị trên O x hoặc trùng khớp.

Mục đích của việc giải bất đẳng thức bằng đồ họa là tìm các khoảng cần được mô tả trên đồ thị. Trong trường hợp này, ta thấy vế trái có y = a · x + b, vế phải có y = 0 và trùng với O x.

Định nghĩa 8

Đồ thị của hàm số y = a x + b được vẽ:

  • khi giải bất đẳng thức a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
  • khi giải bất đẳng thức a · x + b 0, khoảng được xác định khi đồ thị nằm dưới trục O x hoặc trùng nhau;
  • khi giải bất đẳng thức a · x + b > 0, khoảng được xác định tại vị trí đồ thị trên O x;
  • Khi giải bất đẳng thức a · x + b ≥ 0, khoảng được xác định khi đồ thị nằm trên O x hoặc trùng khớp.

Ví dụ 7

Giải bất đẳng thức - 5 · x - 3 > 0 bằng đồ thị.

Giải pháp

Cần xây dựng đồ thị của hàm tuyến tính - 5 · x - 3 > 0. Đường này đang giảm dần vì hệ số của x âm. Để xác định tọa độ giao điểm của nó với O x - 5 · x - 3 > 0, ta thu được giá trị - 3 5. Hãy mô tả nó bằng đồ họa.

Giải bất đẳng thức bằng dấu > thì cần chú ý đến khoảng trên O x. Chúng ta hãy đánh dấu phần cần thiết của mặt phẳng bằng màu đỏ và lấy phần đó

Khoảng cách yêu cầu là phần O x màu đỏ. Điều này có nghĩa là tia số mở - ∞ , - 3 5 sẽ là nghiệm của bất đẳng thức. Nếu theo điều kiện, chúng ta có một bất đẳng thức không nghiêm ngặt, thì giá trị của điểm - 3 5 cũng sẽ là nghiệm của bất đẳng thức. Và nó sẽ trùng với O x.

Trả lời: - ∞ , - 3 5 hoặc x< - 3 5 .

Giải pháp đồ họa được sử dụng khi vế trái tương ứng với hàm y = 0 x + b, tức là y = b. Khi đó đường thẳng sẽ song song với O x hoặc trùng nhau tại b = 0. Những trường hợp này chứng tỏ rằng bất đẳng thức có thể không có nghiệm hoặc nghiệm có thể là số bất kỳ.

Ví dụ 8

Xác định từ các bất đẳng thức 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Giải pháp

Biểu diễn y = 0 x + 7 là y = 7, khi đó sẽ cho một mặt phẳng tọa độ có đường thẳng song song với O x và nằm phía trên O x. Vậy 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Đồ thị của hàm số y = 0 x + 0 được coi là y = 0, tức là đường thẳng trùng với O x. Điều này có nghĩa là bất đẳng thức 0 x + 0 ≥ 0 có nhiều nghiệm.

Trả lời: Bất đẳng thức thứ hai có nghiệm với mọi giá trị x.

Bất bình đẳng giảm xuống tuyến tính

Nghiệm của các bất đẳng thức có thể quy về nghiệm của phương trình tuyến tính, gọi là các bất đẳng thức quy về tuyến tính.

Những bất đẳng thức này đã được xem xét trong quá trình học ở trường, vì chúng là một trường hợp đặc biệt để giải bất đẳng thức, dẫn đến việc mở ngoặc đơn và rút gọn các số hạng tương tự. Ví dụ, xét 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Các bất đẳng thức nêu trên luôn được rút gọn về dạng phương trình tuyến tính. Sau đó, các dấu ngoặc được mở ra và các thuật ngữ tương tự được đưa ra, được chuyển từ các phần khác nhau, đổi dấu thành ngược lại.

Khi rút gọn bất đẳng thức 5 − 2 x > 0 thành tuyến tính, chúng ta biểu diễn nó theo cách nó có dạng − 2 x + 5 > 0, và để rút gọn giây chúng ta thu được 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Cần mở ngoặc, đưa các thuật ngữ tương tự, chuyển tất cả các thuật ngữ sang bên trái và đưa các thuật ngữ tương tự. Nó trông như thế này:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Điều này dẫn đến giải pháp cho một bất đẳng thức tuyến tính.

Những bất đẳng thức này được coi là tuyến tính, vì chúng có cùng nguyên lý nghiệm, sau đó có thể quy chúng về các bất đẳng thức cơ bản.

Để giải quyết loại bất đẳng thức này, cần phải quy nó về dạng tuyến tính. Nó nên được thực hiện theo cách này:

Định nghĩa 9

  • dấu ngoặc đơn mở;
  • thu thập các biến ở bên trái và các số ở bên phải;
  • đưa ra các điều khoản tương tự;
  • chia cả hai vế cho hệ số x.

Ví dụ 9

Giải bất đẳng thức 5 · (x + 3) + x 6 · (x − 3) + 1.

Giải pháp

Mở ngoặc, ta thu được bất đẳng thức có dạng 5 x + 15 + x 6 x − 18 + 1. Sau khi rút gọn các số hạng tương tự, chúng ta có 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Sau khi di chuyển các số hạng từ trái sang phải, chúng ta thấy 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Do đó tồn tại bất đẳng thức có dạng 32 ≤ 0 từ bất đẳng thức thu được bằng cách tính 0 x + 32 ≤ 0. Có thể thấy rằng bất đẳng thức này sai, tức là bất đẳng thức cho trước điều kiện không có nghiệm.

Trả lời: không có giải pháp

Điều đáng chú ý là có nhiều loại bất đẳng thức khác có thể quy về tuyến tính hoặc bất đẳng thức như đã trình bày ở trên. Ví dụ: 5 2 x − 1 ≥ 1 là một phương trình hàm mũ rút gọn về nghiệm có dạng tuyến tính 2 x − 1 ≥ 0. Những trường hợp này sẽ được xét khi giải các bất đẳng thức loại này.

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter

Bất bình đẳng là một biểu thức với, ≤, hoặc ≥. Ví dụ: 3x - 5 Giải bất đẳng thức có nghĩa là tìm tất cả các giá trị của các biến mà bất đẳng thức đó đúng. Mỗi số trong số này là một nghiệm của bất đẳng thức và tập hợp tất cả các nghiệm như vậy là của nó nhiều giải pháp. Các bất đẳng thức có cùng tập nghiệm được gọi là bất đẳng thức tương đương.

Bất đẳng thức tuyến tính

Nguyên tắc giải bất phương trình cũng tương tự như nguyên tắc giải phương trình.

Nguyên tắc giải bất đẳng thức
Với mọi số thực a, b, c:
Nguyên tắc cộng bất đẳng thức: Nếu một Nguyên tắc nhân cho bất đẳng thức: Nếu 0 đúng thì ac Nếu a bc cũng đúng.
Những phát biểu tương tự cũng áp dụng cho a ≤ b.

Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm thì dấu của bất đẳng thức phải đảo ngược.
Bất đẳng thức cấp một, như trong ví dụ 1 (dưới đây), được gọi là bất đẳng thức tuyến tính.

ví dụ 1 Giải mỗi bất đẳng thức sau. Sau đó rút ra một tập hợp các giải pháp.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Giải pháp
Bất kỳ số nào nhỏ hơn 11/5 đều là một giải pháp.
Tập nghiệm là (x|x
Để kiểm tra, ta vẽ đồ thị y 1 = 3x - 5 và y 2 = 6 - 2x. Khi đó rõ ràng là với x
Tập nghiệm là (x|x ≤ 1) hoặc (-∞, 1). Đồ thị của tập nghiệm được hiển thị bên dưới.

Bất đẳng thức kép

Khi hai bất đẳng thức được kết nối bằng một từ Và, hoặc, sau đó nó được hình thành bất bình đẳng kép. Bất đẳng thức kép như
-3 Và 2x + 5 ≤ 7
gọi điện đã kết nối, bởi vì nó sử dụng Và. Mục -3 Bất đẳng thức kép có thể được giải bằng cách sử dụng nguyên tắc cộng và nhân của bất đẳng thức.

Ví dụ 2 Giải -3 Giải pháp Chúng ta có

Tập nghiệm (x|x ≤ -1 hoặc x > 3). Chúng ta cũng có thể viết nghiệm bằng ký hiệu khoảng và ký hiệu của hiệp hội hoặc bao gồm cả hai tập hợp: (-∞ -1] (3, ∞). Đồ thị của tập nghiệm được trình bày dưới đây.

Để kiểm tra, hãy vẽ đồ thị y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 và y 3 = 1. Lưu ý rằng với (x|x ≤ -1 hoặc x > 3), y 1 ≤ y 2 hoặc y 1 > y 3 .

Bất đẳng thức có giá trị tuyệt đối (mô đun)

Bất đẳng thức đôi khi chứa các mô đun. Các tính chất sau đây được sử dụng để giải quyết chúng.
Với a > 0 và biểu thức đại số x:
|x| |x| > a tương đương với x hoặc x > a.
Tuyên bố tương tự cho |x| ≤ a và |x| ≥ một.

Ví dụ,
|x| |y| ≥ 1 tương đương với y ≤ -1 hoặc y ≥ 1;
và |2x + 3| 4 4 tương đương với -4 2x + 3 4.

Ví dụ 4 Giải mỗi bất đẳng thức sau. Vẽ đồ thị tập hợp các giải pháp.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Giải pháp
a) |3x + 2|

Tập nghiệm là (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Tập nghiệm là (x|x 2 hoặc x ≥ 3), hoặc (-∞, 2] )