Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị của một hàm số. Các dấu hiệu của đồ thị của một hàm số. Các dấu không triệu chứng theo chiều dọc của một đồ thị của một hàm số
Các dấu hiệu của đồ thị của một hàm số
Bóng ma của tiệm cận đã lang thang khắp nơi trong một thời gian dài để cuối cùng hiện thực hóa trong một bài báo duy nhất và mang lại sự thú vị đặc biệt cho độc giả. nghiên cứu đầy đủ chức năng. Tìm các dấu không có dấu hiệu của biểu đồ là một trong số ít phần của nhiệm vụ được chỉ định, chỉ được đề cập trong khóa học ở trường theo thứ tự tổng quan, vì các sự kiện xoay quanh phép tính giới hạn chức năng, nhưng chúng vẫn thuộc về toán học cao hơn. Những khách truy cập kém thành thạo trong phân tích toán học, tôi nghĩ gợi ý là dễ hiểu ;-) ... dừng lại, dừng lại, bạn đang đi đâu? Hạn mức- dễ thôi!
Ví dụ về asymptotes gặp ngay trong bài học đầu tiên về đồ thị của các hàm cơ bản, và bây giờ chủ đề đang được xem xét chi tiết.
Vậy một tiệm cận là gì?
Tưởng tượng điểm thay đổi, "đi" dọc theo đồ thị của hàm. Đường tiệm cận là dài, để whcih đóng không giới hạnđồ thị của hàm số tiến tới khi điểm biến của nó tiến đến vô cùng.
Ghi chú : định nghĩa có ý nghĩa, nếu bạn cần công thức trong phần ký hiệu giải toán có thể tham khảo sách giáo khoa.
Trên mặt phẳng, các thể không triệu chứng được phân loại theo sự sắp xếp tự nhiên của chúng:
1) Các asymptotes dọc, được cho bởi một phương trình có dạng, trong đó "alpha" là một số thực. Đại diện phổ biến xác định trục y,
với một cơn buồn nôn nhẹ, chúng tôi nhớ lại sự cường điệu.
2) Dấu hiệu xiênđược viết theo cách truyền thống phương trình đường thẳng với một hệ số góc. Đôi khi một trường hợp đặc biệt được chọn thành một nhóm riêng biệt - không có triệu chứng ngang. Ví dụ, cùng một hyperbola với asymptote.
Nhanh chóng bắt đầu, chúng ta hãy bắt đầu chủ đề với một loạt ảnh tự động ngắn:
Đồ thị của một hàm số có thể có bao nhiêu dấu nghiệm?
Không, một, hai, ba ... hoặc một số vô hạn. Chúng tôi sẽ không đi xa để lấy ví dụ, chúng tôi sẽ nhớ chức năng cơ bản. Parabol, parabol lập phương, hình sin hoàn toàn không có biểu hiện nào. Đồ thị của hàm số mũ, logarit có một tiệm cận. Arctangent, arccotang có hai trong số chúng, và tiếp tuyến, cotang có một số vô hạn. Không có gì lạ khi một biểu đồ có cả dấu không triệu chứng theo chiều ngang và chiều dọc. Cường tráng, sẽ luôn yêu bạn.
Phương tiện gì?
Các dấu không triệu chứng theo chiều dọc của một đồ thị của một hàm số
Đường tiệm cận đứng của biểu đồ thường là ở điểm vô cùng chức năng. Thật đơn giản: nếu tại một điểm hàm bị đứt vô hạn, thì đường thẳng được cho bởi phương trình là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ghi chú : lưu ý rằng ký hiệu được sử dụng để chỉ hai khái niệm hoàn toàn khác nhau. Điểm được ngụ ý hoặc phương trình của một đường thẳng - phụ thuộc vào ngữ cảnh.
Do đó, để thiết lập sự hiện diện của một tiệm cận đứng tại một điểm, nó đủ để chỉ ra rằng ít nhất một từ giới hạn đơn phương 
bất tận. Thông thường, đây là điểm mà mẫu số của hàm bằng không. Trên thực tế, chúng tôi đã tìm thấy các dấu không triệu chứng theo chiều dọc trong các ví dụ cuối cùng của bài học. về tính liên tục của chức năng. Nhưng trong một số trường hợp chỉ có một giới hạn một phía, và nếu nó là vô hạn, thì một lần nữa - hãy yêu và ủng hộ đường tiệm cận thẳng đứng. Hình minh họa đơn giản nhất: và trục y (xem. Đồ thị và tính chất của các hàm cơ bản).
Từ những điều trên, sự thật hiển nhiên cũng như sau: nếu chức năng liên tục trên, thì không có dấu gạch đầu dòng dọc. Vì lý do nào đó, một parabol xuất hiện trong tâm trí. Thật vậy, bạn có thể "dán" một đường thẳng vào đây ở đâu? ... vâng ... tôi hiểu rồi ... đám người theo dõi bác Freud xúm lại phát cuồng =)
Câu lệnh ngược nói chung không đúng: ví dụ, hàm không được xác định trên toàn bộ dòng thực, nhưng nó hoàn toàn bị loại bỏ bởi các dấu không triệu chứng.
Dấu không có dấu xiên của đồ thị hàm số
Các dấu không dấu xiên (như một trường hợp đặc biệt - ngang) có thể được rút ra nếu đối số hàm có xu hướng "cộng vào vô cùng" hoặc "trừ đi vô cùng". Đó là lý do tại sao đồ thị của một hàm không thể có nhiều hơn hai dấu gạch chéo xiên. Ví dụ: đồ thị của một hàm số mũ có một tiệm cận ngang duy nhất tại và đồ thị của tiếp tuyến của cung tại có hai tiệm cận và các đường tiệm cận khác.
Khi biểu đồ ở đây và ở đó tiếp cận với tiệm cận xiên duy nhất, thì thông thường sẽ kết hợp các "vô hạn" dưới một mục nhập duy nhất. Ví dụ, ... bạn đoán nó đúng:.
Quy tắc chung của ngón tay cái:
Nếu có hai cuối cùng giới hạn 
, khi đó đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tại. Nếu một ít nhất một trong các giới hạn trên là vô hạn thì không có tiệm cận xiên.
Ghi chú : công thức vẫn hợp lệ nếu "x" chỉ có xu hướng "cộng với vô cùng" hoặc chỉ đến "trừ vô cùng".
Hãy để chúng tôi chứng minh rằng hình parabol không có dấu hiệu xiên: 
Giới hạn là vô hạn nên không có tiệm cận xiên. Lưu ý rằng trong việc tìm ra giới hạn 
không còn cần thiết vì câu trả lời đã được nhận.
Ghi chú
: nếu bạn gặp (hoặc sẽ gặp) khó khăn trong việc hiểu các dấu cộng - trừ, dấu cộng, vui lòng xem phần trợ giúp ở đầu bài
về các hàm số thập phân, nơi tôi đã nói cách giải thích chính xác những dấu hiệu này.
Rõ ràng, bất kỳ hàm bậc hai, bậc ba, đa thức bậc 4 trở lên cũng không có dấu xiên.
Và bây giờ hãy đảm bảo rằng trên đồ thị cũng không có một tiệm cận xiên. Để phát hiện ra sự không chắc chắn, chúng tôi sử dụng Quy tắc của L'Hopital:
, đã được xác minh.
Tuy nhiên, khi hàm phát triển vô hạn, không có đường thẳng nào mà đồ thị của nó sẽ tiếp cận gần vô hạn.
Hãy chuyển sang phần thực hành của bài học:
Làm thế nào để tìm các tiệm cận của một đồ thị của một hàm số?
Đây là cách một nhiệm vụ điển hình được xây dựng và nó liên quan đến việc tìm TẤT CẢ các dấu không sớm của biểu đồ (dọc, xiên / ngang). Mặc dù, để chính xác hơn trong việc xây dựng câu hỏi, chúng ta đang nói về một nghiên cứu về sự hiện diện của các triệu chứng (suy cho cùng, có thể không có bất kỳ điều gì). Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản:
ví dụ 1
Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Dung dịch Thật tiện lợi khi chia nó thành hai điểm:
1) Đầu tiên, chúng tôi kiểm tra xem có các dấu hiệu bất thường theo chiều dọc hay không. Mẫu số biến mất tại và ngay lập tức rõ ràng rằng tại thời điểm này, hàm bị khoảng cách vô tận, và đường thẳng cho bởi phương trình là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Nhưng trước khi đưa ra kết luận như vậy, cần phải tìm ra giới hạn một phía: 
Tôi nhắc bạn về kỹ thuật tính toán, mà tôi cũng đã đề cập trong bài viết Tính liên tục của hàm. điểm ngắt. Trong biểu thức dưới dấu giới hạn, ta thay bằng "x". Không có gì thú vị trong tử số:
.
Nhưng ở mẫu số nó hóa ra số âm trong hệ thập phân:
, nó quyết định số phận của giới hạn.
Giới hạn bên trái là vô hạn và về nguyên tắc, có thể đưa ra phán quyết về sự hiện diện của một đường tiệm cận thẳng đứng. Nhưng giới hạn từ một phía không chỉ cần thiết cho điều này - chúng GIÚP ĐỂ HIỂU, THẾ NÀOđồ thị của hàm số được định vị và vẽ nó ĐÚNG. Do đó, chúng ta cũng phải tính toán giới hạn bên phải: 
Sự kết luận: giới hạn một phía là vô hạn tức là đường thẳng là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại.
Giới hạn đầu tiên có hạn, có nghĩa là cần phải “tiếp tục cuộc trò chuyện” và tìm ra giới hạn thứ hai:
Giới hạn thứ hai quá có hạn.
Vì vậy, tiệm cận của chúng ta là:
Sự kết luận: đường thẳng cho bởi phương trình là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại.
Để tìm đường tiệm cận ngang
Bạn có thể sử dụng công thức đơn giản:
Nếu tồn tại có hạn giới hạn thì đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại.
Dễ thấy rằng tử số và mẫu số của hàm số một trật tự của sự phát triển, có nghĩa là giới hạn mong muốn sẽ là hữu hạn: 
Câu trả lời:
Theo điều kiện, không nhất thiết phải hoàn thành bản vẽ, nhưng nếu toàn bộ nghiên cứu chức năng, sau đó trên bản nháp, chúng tôi ngay lập tức tạo một bản phác thảo: 
Dựa trên ba giới hạn vừa tìm được, hãy cố gắng độc lập tìm ra vị trí của đồ thị của hàm số như thế nào. Khá khó khăn? Tìm 5-6-7-8 điểm và đánh dấu chúng trên hình vẽ. Tuy nhiên, đồ thị của hàm này được xây dựng bằng cách sử dụng các phép biến đổi của đồ thị hàm số sơ cấp, và những độc giả đã xem xét kỹ Ví dụ 21 của bài viết này sẽ dễ dàng đoán được nó là dạng đường cong nào.
Ví dụ 2
Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Đây là một ví dụ do-it-yourself. Tôi nhắc bạn, quy trình này được chia thành hai điểm - không giới hạn dọc và không giới hạn xiên. Trong giải pháp mẫu, đường tiệm cận ngang được tìm thấy bằng cách sử dụng một lược đồ đơn giản hóa.
Trong thực tế, các hàm hợp lý phân số thường gặp nhiều nhất và sau khi đào tạo về hyperbol, chúng ta sẽ làm phức tạp thêm nhiệm vụ:
Ví dụ 3
Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số 
Dung dịch: Một, hai và hoàn thành:
1) Các dấu không triệu chứng dọc được tìm thấy tại các điểm gián đoạn vô hạn, vì vậy bạn cần kiểm tra xem mẫu số có về 0 hay không. Chúng tôi sẽ quyết định phương trình bậc hai:
Số phân biệt là số dương, vì vậy phương trình có hai nghiệm thực, và công việc được cộng thêm đáng kể =) 
Để tìm thêm giới hạn một phía, thuận tiện cho việc phân tích thành nhân tử của tam thức bình phương:
(đối với ký hiệu nhỏ gọn, "dấu trừ" được giới thiệu trong dấu ngoặc đơn đầu tiên). Đối với lưới an toàn, chúng tôi sẽ thực hiện kiểm tra, nhẩm hoặc trên bản nháp, mở ngoặc.
Hãy viết lại hàm dưới dạng 
Tìm giới hạn một phía tại điểm: 
Và ở điểm: 
Như vậy, các đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đang xét.
2) Nếu bạn nhìn vào chức năng 
, thì rõ ràng là giới hạn sẽ là hữu hạn và chúng ta có một tiệm cận ngang. Hãy trình bày nó một cách ngắn gọn: 
Như vậy, đường thẳng (abscissa) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này.
Câu trả lời:
Giới hạn tìm được và giới hạn không triệu chứng cho biết nhiều thông tin về đồ thị của hàm số. Hãy cố gắng hình dung bức vẽ, có tính đến các sự kiện sau: 
Phác thảo phiên bản đồ thị của bạn trên bản nháp.
Tất nhiên, các giới hạn được tìm thấy không xác định rõ ràng loại biểu đồ và bạn có thể mắc sai lầm, nhưng bản thân bài tập sẽ giúp ích rất nhiều trong quá trình nghiên cứu đầy đủ chức năng. Hình đúng ở cuối bài.
Ví dụ 4
Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Ví dụ 5
Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số 
Đây là những nhiệm vụ để quyết định độc lập. Cả hai biểu đồ lại có dấu ấn ngang, được phát hiện ngay lập tức bởi các đặc điểm sau: trong Ví dụ 4 thứ tự tăng trưởng mẫu số hơn hơn thứ tự tăng trưởng của tử số và trong Ví dụ 5, tử số và mẫu số một trật tự của sự phát triển. Trong giải pháp mẫu, chức năng đầu tiên được khảo sát về sự hiện diện của các dấu không triệu chứng xiên một cách đầy đủ, và chức năng thứ hai - thông qua giới hạn.
Theo ấn tượng chủ quan của tôi, những dấu hiệu không triệu chứng nằm ngang thường phổ biến hơn những dấu hiệu "nghiêng thực sự". Trường hợp chung được chờ đợi từ lâu:
Ví dụ 6
Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số 
Dung dịch: kinh điển của thể loại:
1) Vì mẫu số là dương nên hàm tiếp diễn trên toàn bộ dòng số và không có dấu gạch đầu dòng dọc. …Liệu nó có tốt không? Không phải từ đúng - xuất sắc! Mục số 1 đã đóng.
2) Kiểm tra sự hiện diện của các dấu hiệu xiên:
Giới hạn đầu tiên có hạn, vì vậy chúng ta hãy tiếp tục. Trong quá trình tính toán giới hạn thứ hai để loại bỏ sự không chắc chắn "vô cùng trừ vô cùng" chúng ta đưa biểu thức về một mẫu số chung: 
Giới hạn thứ hai quá có hạn do đó, đồ thị của hàm số đang xét có một tiệm cận xiên:
Sự kết luận:
Như vậy, đối với đồ thị của hàm số 
gần vô hạn tiếp cận một đường thẳng: 
Lưu ý rằng nó giao với đường tiệm cận xiên của nó tại điểm gốc, và những điểm giao nhau như vậy là khá chấp nhận được - điều quan trọng là "mọi thứ đều bình thường" ở vô cùng (thực tế là ở đó chúng ta đang nói về không triệu chứng).
Ví dụ 7
Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Dung dịch: không có gì nhiều để nhận xét, vì vậy tôi sẽ đưa ra một mẫu gần đúng của một giải pháp cuối cùng:
1) Không triệu chứng dọc. Hãy cùng khám phá vấn đề. 
Đường thẳng là tiệm cận đứng của lô đất tại.
2) Không có triệu chứng xiên: 
Đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị tại.
Câu trả lời: 
Các giới hạn một phía được tìm thấy và các dấu không triệu chứng cho phép chúng ta giả định một cách chắc chắn đồ thị của hàm này trông như thế nào. Hình vẽ đúng cuối bài.
Ví dụ 8
Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập, để thuận tiện cho việc tính toán một số giới hạn, bạn có thể chia tử số cho số hạng ở mẫu số theo số hạng. Và một lần nữa, phân tích kết quả, hãy thử vẽ đồ thị của hàm này.
Rõ ràng, chủ nhân của dấu không có dấu xiên "thực" là đồ thị của các hàm số hữu tỉ phân số mà ở đó bậc cao nhất của tử số một lần nữa bậc cao nhất của mẫu số. Nếu nhiều hơn, sẽ không có tiệm cận xiên (ví dụ:).
Nhưng những điều kỳ diệu khác xảy ra trong cuộc sống:
Ví dụ 9
Ví dụ 11
Kiểm tra đồ thị của một hàm để biết không có dấu hiệu
Dung dịch: hiển nhiên là 
Do đó, ta chỉ xét nửa mặt phẳng bên phải, nơi có đồ thị của hàm số.
Như vậy, đường thẳng (trục y) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại.
2) Việc nghiên cứu đường tiệm cận xiên có thể được thực hiện theo sơ đồ đầy đủ, nhưng trong bài Quy tắc của L'Hospital chúng tôi nhận thấy rằng một hàm tuyến tính có bậc tăng trưởng cao hơn hàm logarit, do đó: 
(xem ví dụ 1 của bài tương tự).
Kết luận: trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại.
Câu trả lời:
, nếu ;
, nếu .
Vẽ cho rõ ràng: 
Điều thú vị là một chức năng dường như tương tự không có dấu hiệu nào cả (những người muốn có thể kiểm tra điều này).
Hai ví dụ tự học cuối cùng:
Ví dụ 12
Kiểm tra đồ thị của một hàm để biết không có dấu hiệu 
- (từ tiếng Hy Lạp là một phần âm, và các dấu hiệu trùng nhau). Một đường thẳng liên tục tiến đến một đường cong và chỉ gặp nó ở vô cùng. Từ điển các từ nước ngoài có trong tiếng Nga. Chudinov A.N., 1910. ASYMPTOE từ ... ... Từ điển các từ nước ngoài của tiếng Nga
ASYMPTOTE- (từ asymptotos trong tiếng Hy Lạp không trùng hợp), một đường thẳng mà nhánh vô hạn của đường cong tiếp cận vô hạn, ví dụ, tiệm cận của một hyperbol ... Bách khoa toàn thư hiện đại
ASYMPTOTE- (từ asymptotos trong tiếng Hy Lạp không khớp) một đường cong với một nhánh vô hạn là một đường thẳng mà nhánh này tiếp cận vô hạn, ví dụ, một tiệm cận của hyperbol ... Từ điển Bách khoa toàn thư lớn
asymptote- Là đường thẳng tiệm cận dần với đường cong. tiệm cận Một đường thẳng tiếp cận (không bao giờ tới nó) bởi một đường cong có nhánh vô hạn của một số hàm khi đối số của nó tăng lên vô hạn hoặc ... Sổ tay phiên dịch kỹ thuật
Asymptote- (từ asymptotos trong tiếng Hy Lạp không khớp), một đường thẳng mà một nhánh vô hạn của đường cong tiếp cận vô hạn, chẳng hạn như tiệm cận của hyperbol. … Từ điển Bách khoa toàn thư có Minh họa
ASYMPTOTE- giống cái, geom. một đường thẳng, luôn tiến tới một đường cong (hyperbol), nhưng không bao giờ hội tụ với nó. Một ví dụ để giải thích điều này: nếu bất kỳ số nào bị chia đôi, thì nó sẽ giảm đến vô cùng, nhưng sẽ không bao giờ trở thành số không. ... Từ điển giải thích của Dahl
asymptote- danh từ, số lượng từ đồng nghĩa: 1 dòng (182) Từ điển đồng nghĩa ASIS. V.N. Trishin. 2013 ... Từ điển đồng nghĩa
Asymptote- (từ các từ Hy Lạp: a, sun, piptw) không khớp. Bởi asymptote có nghĩa là một đường thẳng, được tiếp tục vô thời hạn, tiếp cận một đường cong nhất định hoặc một số phần của nó, để khoảng cách giữa các đường chung trở nên nhỏ hơn ... ...
Asymptote Bề mặt là một đường thẳng cắt bề mặt đó tại ít nhất hai điểm ở vô cùng ... Bách khoa toàn thư của Brockhaus và Efron
ASYMPTOTE- (asymptote) Giá trị mà hàm này hướng đến khi đối số (đối số) thay đổi, nhưng không đạt đến nó với bất kỳ giá trị cuối cùng nào của đối số. Ví dụ, nếu tổng chi phí của sản lượng x được cho bởi hàm TC = a + bx, trong đó a và b là các hằng số ... Từ điển kinh tế
Asymptote- một đường thẳng, có xu hướng (không bao giờ đạt tới nó), có một nhánh vô hạn của một đường cong của một số hàm, khi đối số của nó tăng hoặc giảm vô hạn. Ví dụ, trong hàm: y = c + 1 / x, giá trị của y tiếp cận với ... ... Từ điển Kinh tế và Toán học
- Khái niệm về asymptotes
Một trong những bước quan trọng trong việc xây dựng đồ thị của hàm số là tìm kiếm không dấu. Chúng tôi đã gặp nhiều lần với asymptotes: khi vẽ các hàm, y = tgx, y = ctgx. Chúng tôi đã xác định chúng là các đường mà đồ thị của một hàm “có xu hướng” nhưng không bao giờ cắt. Đã đến lúc đưa ra một định nghĩa chính xác về bệnh không triệu chứng.
Có ba loại không triệu chứng: dọc, ngang và xiên. Trong bản vẽ, các dấu không triệu chứng thường được biểu thị bằng các đường chấm.
Hãy xem xét đồ thị hàm được vẽ nhân tạo sau đây (Hình 16.1), với ví dụ mà tất cả các loại không triệu chứng đều có thể nhìn thấy rõ ràng:
Chúng tôi đưa ra định nghĩa cho từng loại đường tiệm cận:
1. Trực tiếp x = a gọi là tiệm cận đứng các chức năng nếu.
2. Trực tiếp y = s gọi là tiệm cận ngang các chức năng nếu.
3. Trực tiếp y = kx + b gọi là tiệm cận xiên các chức năng nếu.
Về mặt hình học, định nghĩa của một tiệm cận xiên có nghĩa là khi → ∞ đồ thị của một hàm số tiến tới một đường thẳng đóng một cách tùy ý y = kx + b, I E. chúng thực tế giống nhau. Sự khác biệt của các biểu thức gần như giống hệt nhau có xu hướng bằng không.
Lưu ý rằng các dấu không triệu chứng nằm ngang và xiên chỉ được xem xét với điều kiện → ∞. Đôi khi chúng được phân biệt thành các dấu không triệu chứng nằm ngang và xiên như → + ∞ và → -∞.
- Thuật toán tìm kiếm Asymptote
Thuật toán sau có thể được sử dụng để tìm không có dấu hiệu nhận biết:
Có thể có một tiệm cận đứng, một số hoặc không có.
- Nếu c là một số, thì y = s là tiệm cận ngang;
- Nếu c là vô cùng, thì không có dấu thăng nằm ngang.
Nếu một hàm là một tỷ số của hai đa thức, thì nếu hàm có các dấu không lấn ngang, chúng ta sẽ không tìm các dấu xiên xiên - chúng không tồn tại.
Hãy xem xét các ví dụ về việc tìm các dấu không có dấu của một hàm:
Ví dụ 16.1. Tìm các dấu không của đường cong.
Dung dịch X-1≠0; X≠1.
Hãy kiểm tra xem dòng có x = 1 tiệm cận đứng. Để làm điều này, chúng tôi tính toán giới hạn của hàm tại điểm x = 1: .
x = 1 - tiệm cận đứng.
Với= .
Với= =. Tại vì Với= 2 (số), sau đó y = 2 là tiệm cận ngang.
Vì hàm là một tỷ lệ của đa thức, nên khi có mặt không dấu theo chiều ngang, chúng tôi khẳng định rằng không có dấu triệu xiên.
x = 1 và đường tiệm cận ngang y = 2.Để rõ ràng, đồ thị của hàm này được hiển thị trong Hình. 16.2.
Ví dụ 16.2. Tìm các dấu không của đường cong.
Dung dịch. 1. Tìm miền của hàm số: X-2≠0; X≠2.
Hãy kiểm tra xem dòng có x = 2 tiệm cận đứng. Để làm điều này, chúng tôi tính toán giới hạn của hàm tại điểm x = 2: .
Do đó, chúng tôi hiểu rằng x = 2 - tiệm cận đứng.
2. Để tìm kiếm các dấu thăng ngang, chúng tôi tìm: Với= .
Vì giới hạn không chắc chắn, chúng tôi sử dụng quy tắc L'Hopital: Với= =. Tại vì Với là vô cùng, khi đó không có dấu không triệu chứng nằm ngang.
3. Để tìm kiếm các dấu ấn xiên, chúng tôi tìm:
Chúng tôi có dạng không chắc chắn, chúng tôi sử dụng quy tắc L'Hopital: = = 1. b theo công thức: .
b = = =
Hiểu rồi b = 2. Sau đó y = kx + b - tiệm cận xiên. Trong trường hợp của chúng tôi, nó trông giống như: y = x + 2.
|
Câu hỏi kiểm tra:
Bài giảng 17
Trong bài giảng này, chúng tôi sẽ tổng hợp tất cả các tài liệu đã học trước đó. Mục tiêu cuối cùng của cuộc hành trình dài của chúng tôi là có thể khảo sát bất kỳ hàm số đã cho về mặt phân tích nào và xây dựng đồ thị của nó. Các phần quan trọng trong nghiên cứu của chúng tôi sẽ là nghiên cứu về hàm số có cực trị, xác định các khoảng đơn điệu, độ lồi và độ tụ của đồ thị, tìm kiếm các điểm uốn, các dấu cực trị của đồ thị hàm số.
Tính đến tất cả các khía cạnh trên, chúng tôi trình bày lược đồ nghiên cứu chức năng và vẽ biểu đồ .
1. Tìm miền của hàm số.
2. Khảo sát hàm cho chẵn-lẻ:
nếu, thì hàm số chẵn (đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với trục Đơn vị tổ chức);
nếu thì hàm số lẻ (đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với gốc tọa độ);
Nếu không, hàm không chẵn cũng không lẻ.
3. Khảo sát hàm số về tính tuần hoàn (trong số các hàm số ta nghiên cứu, chỉ có hàm số lượng giác là có tính tuần hoàn).
4. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ:
· Ồ: tại= 0 (chúng tôi giải phương trình chỉ khi chúng tôi có thể sử dụng các phương pháp mà chúng tôi đã biết);
· Đơn vị tổ chức: X=0.
5. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số và các điểm tới hạn thuộc loại bậc nhất.
6. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
7. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số và các điểm tới hạn của loại thứ hai.
8. Tìm các khoảng lồi-lõm của đồ thị hàm số và các điểm uốn.
9. Tìm các tiệm cận của đồ thị của hàm số.
10. Vẽ đồ thị của hàm số. Khi xây dựng, hãy cân nhắc các trường hợp có thể có vị trí của biểu đồ gần các dấu hiệu :
11. Nếu cần, hãy chọn các điểm kiểm soát để thi công chính xác hơn.
Hãy xem xét một lược đồ để nghiên cứu một hàm và vẽ đồ thị của nó bằng các ví dụ cụ thể:
Ví dụ 17.1. Vẽ sơ đồ chức năng.
Dung dịch. 1. Hàm này được xác định trên toàn bộ dòng số ngoại trừ X= 3, bởi vì tại thời điểm này, mẫu số bằng không.
2. Để xác định tính chẵn và lẻ của hàm số, ta tìm:
Chúng ta thấy rằng và do đó, hàm không chẵn cũng không lẻ.
3. Hàm số không tuần hoàn.
4. Tìm các giao điểm với các trục tọa độ. Để tìm giao điểm với trục Ồ Chấp nhận tại= 0. Ta nhận được phương trình:. Vậy điểm (0; 0) là giao điểm với các trục tọa độ.
5. Tìm đạo hàm của hàm số theo quy tắc phân biệt một phân số: = = = =.
Để tìm các điểm tới hạn, ta tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại.
Nếu = 0, do đó,. Khi đó tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các yếu tố là 0: hoặc.
X-3) 2 bằng 0, tức là không tồn tại ở X=3.
Vì vậy, hàm có ba điểm tới hạn thuộc loại đầu tiên:; ; .
6. Trên trục thực, chúng tôi đánh dấu các điểm tới hạn của loại đầu tiên và đánh dấu điểm bằng dấu chấm thủng, bởi vì nó không xác định một chức năng.
Sắp xếp các dấu của đạo hàm = trên mỗi khoảng:
|
|
Trong các khoảng thời gian, hàm ban đầu tăng (tại (-∞; 0]), trong đó - giảm (tại).
Chấm X= 0 là điểm cực đại của hàm số. Để tìm cực đại của hàm, hãy tìm giá trị của hàm tại điểm 0:.
Chấm X= 6 là điểm cực tiểu của hàm số. Để tìm cực tiểu của hàm số, ta hãy tìm giá trị của hàm số tại điểm 6:.
Kết quả của nghiên cứu có thể được nhập vào bảng. Số hàng trong bảng là cố định và bằng bốn, và số cột phụ thuộc vào chức năng đang nghiên cứu. Trong các ô của hàng đầu tiên, các khoảng thời gian mà các điểm tới hạn phân chia miền của định nghĩa hàm được nhập tuần tự, bao gồm cả chính các điểm tới hạn. Để tránh sai sót khi dựng các điểm không thuộc vùng định nghĩa, có thể không đưa vào bảng.
Hàng thứ hai của bảng chứa các dấu hiệu của đạo hàm trên mỗi khoảng được xem xét và giá trị của đạo hàm tại các điểm tới hạn. Theo dấu hiệu của đạo hàm của hàm số, các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số được đánh dấu ở dòng thứ ba.
Dòng cuối cùng được sử dụng để biểu thị mức tối đa và tối thiểu của hàm.
| X | (-∞;0) | (0;3) | (3;6) | (6;+ ∞) | |||
| + | - | - | + | ||||
| f (x) | |||||||
| kết luận | tối đa | min |
7. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số dưới dạng đạo hàm của đạo hàm cấp một: = =
Lấy ra trong tử số X-3 bên ngoài dấu ngoặc và thực hiện rút gọn:
Chúng tôi trình bày trong tử số các thuật ngữ như:.
Chúng ta hãy tìm các điểm tới hạn thuộc loại thứ hai: các điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại.
0 nếu = 0. Phân số này không thể bằng không, do đó, không có điểm nào tại đó đạo hàm cấp hai của hàm số bằng không.
Không tồn tại nếu mẫu số ( X-3) 3 là 0, tức là không tồn tại ở X= 3. :Ồ , Đơn vị tổ chức, gốc tọa độ, các đơn vị đo của mỗi trục.
Trước khi vẽ một hàm, bạn cần:
vẽ các dấu không có dấu chấm với các đường chấm;
đánh dấu các điểm giao nhau với các trục tọa độ;
|
· Sử dụng dữ liệu thu được về các khoảng tăng, giảm, độ lồi và độ lõm, hãy xây dựng đồ thị của hàm số. Các nhánh của biểu đồ nên "có xu hướng" đến các nhánh không có dấu hiệu, nhưng không cắt chúng.
Kiểm tra xem đồ thị của hàm số có tương ứng với nghiên cứu không: hàm số chẵn hay lẻ thì quan sát được tính đối xứng hay không; liệu các khoảng tăng và giảm về mặt lý thuyết, độ lồi và độ lõm, điểm uốn.
11. Để xây dựng chính xác hơn, bạn có thể chọn nhiều điểm kiểm soát. Ví dụ, hãy tìm các giá trị của hàm tại các điểm -2 và 7:
Chúng tôi điều chỉnh đồ thị có tính đến các điểm kiểm soát.
Câu hỏi kiểm tra:
- Thuật toán vẽ đồ thị hàm số là gì?
- Một hàm số có thể có cực trị tại những điểm không thuộc miền xác định được không?
CHƯƠNG 3. 3. TÍNH TOÁN TỔNG HỢP CỦA CHỨC NĂNG
Cũng sẽ có các nhiệm vụ cho một giải pháp độc lập mà bạn có thể xem câu trả lời.
Khái niệm về một tiệm cận
Nếu lần đầu tiên bạn dựng các dấu không của đường cong, thì trong nhiều trường hợp, việc xây dựng đồ thị của hàm được tạo điều kiện thuận lợi.
Số phận của đường tiệm cận đầy bi kịch. Hãy tưởng tượng bạn sẽ như thế nào khi đi thẳng đến mục tiêu ấp ủ cả đời, đến gần nó nhất có thể, nhưng không bao giờ đạt được nó. Ví dụ, để cố gắng kết nối con đường cuộc sống của bạn với con đường của người mong muốn, vào một thời điểm nào đó để tiếp cận anh ta gần như gần, nhưng thậm chí không chạm vào anh ta. Hoặc phấn đấu để kiếm được một tỷ, nhưng trước khi đạt được mục tiêu này và ghi vào sách kỷ lục Guinness cho trường hợp của mình, anh ta thiếu một trăm xu. Vân vân. Với tiệm cận cũng vậy: nó không ngừng cố gắng để đạt đến đường cong của đồ thị hàm số, tiếp cận nó ở khoảng cách nhỏ nhất có thể, nhưng không chạm vào nó.
Định nghĩa 1. Các dấu không triệu chứng được gọi là các đường như vậy, mà đồ thị của hàm số tiến tới gần như mong muốn khi biến có xu hướng cộng với vô cực hoặc trừ đi vô cùng.
Định nghĩa 2. Đường thẳng được gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu khoảng cách từ điểm biến Mđồ thị của hàm đến đường thẳng này có xu hướng bằng không khi điểm di chuyển ra xa vô hạn M từ gốc tọa độ dọc theo nhánh bất kỳ của đồ thị hàm số.
Có ba loại không triệu chứng: dọc, ngang và xiên.
Các asymptotes dọc
Điều đầu tiên cần biết về không triệu chứng thẳng đứng: chúng song song với trục Oy .
Sự định nghĩa. Dài x = một Là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu điểm x = một Là điểm phá vỡ của loại thứ hai cho tính năng này.
Nó theo sau từ định nghĩa rằng dòng x = một là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f(x) nếu đáp ứng ít nhất một trong các điều kiện sau:
Đồng thời, chức năng f(x) có thể hoàn toàn không được xác định, tương ứng, cho x ≥ một và x ≤ một .
Bình luận:
ví dụ 1Đồ thị hàm số y= ln x có một tiệm cận đứng x= 0 (tức là trùng với trục Oy) trên ranh giới của miền xác định, vì giới hạn của hàm khi x có xu hướng bằng không ở bên phải bằng trừ đi vô cùng:
(hình trên).
của riêng bạn và sau đó xem các giải pháp
Ví dụ 2 Tìm các tiệm cận của đồ thị của hàm số.
Ví dụ 3 Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Không có dấu hiệu theo chiều ngang
Điều đầu tiên cần biết về không triệu chứng nằm ngang: chúng song song với trục Con bò .
Nếu (giới hạn của hàm khi đối số có xu hướng cộng hoặc trừ vô cùng bằng một giá trị nào đó b), sau đó y = b – tiệm cận ngang quanh co y = f(x ) (bên phải khi x có xu hướng cộng vào vô cùng, bên trái khi x có xu hướng trừ đi vô cùng và hai phía nếu các giới hạn khi x có xu hướng cộng hoặc trừ vô cùng bằng nhau).
Ví dụ 5Đồ thị hàm số
tại một> 1 có một tiệm cận ngang bên trái y= 0 (tức là trùng với trục Con bò), vì giới hạn của hàm khi "x" có xu hướng trừ đi vô cùng bằng 0:
Đường cong không có tiệm cận ngang bên phải, vì giới hạn của hàm khi x có xu hướng cộng với vô cùng bằng vô cùng:
Dấu hiệu xiên
Các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang mà chúng ta đã xem xét ở trên song song với các trục tọa độ, do đó, để xây dựng chúng, chúng ta chỉ cần một số nhất định - một điểm trên trục hoành hoặc tọa độ mà tiệm cận đi qua. Cần nhiều hơn nữa đối với tiệm cận xiên - độ dốc k, cho biết góc nghiêng của đường thẳng và điểm giao nhau b, cho biết dòng nằm trên hoặc dưới điểm gốc bao nhiêu. Những người không có thời gian để quên hình học giải tích, và từ nó - các phương trình của một đường thẳng, sẽ nhận thấy rằng đối với một tiệm cận xiên mà họ tìm thấy phương trình độ dốc. Sự tồn tại của một tiệm cận xiên được xác định bởi định lý sau, trên cơ sở đó tìm được các hệ số vừa nêu.
Định lý.Để tạo một đường cong y = f(x) có một tiệm cận y = kx + b , cần và đủ rằng tồn tại những giới hạn hữu hạn k và b của hàm đang được xem xét vì biến có xu hướng x cộng với vô cực và trừ vô cùng:
(1)
(2)
Các con số như vậy đã tìm thấy k và b và là các hệ số của tiệm cận xiên.
Trong trường hợp đầu tiên (khi x có xu hướng cộng vào vô cùng), tiệm cận xiên phải thu được, trong trường hợp thứ hai (khi x có xu hướng trừ đi vô cùng), nó là trái. Đường tiệm cận xiên bên phải được thể hiện trong Hình. từ phía dưới.
Khi tìm phương trình của tiệm cận xiên, cần tính đến xu hướng của x là cả cộng vô cùng và trừ vô cùng. Đối với một số hàm, ví dụ, đối với số hữu tỉ phân số, các giới hạn này trùng nhau, nhưng đối với nhiều hàm, các giới hạn này khác nhau và chỉ một trong số chúng có thể tồn tại.
Khi các giới hạn trùng với x có xu hướng cộng vào vô cùng và trừ đi vô cùng, đường thẳng y = kx + b là một tiệm cận hai phía của đường cong.
Nếu ít nhất một trong các giới hạn xác định đường tiệm cận y = kx + b , không tồn tại, khi đó đồ thị của hàm số không có tiệm cận xiên (nhưng có thể có tiệm cận đứng).
Dễ dàng nhận thấy rằng đường tiệm cận ngang y = b là một trường hợp đặc biệt của xiên y = kx + b tại k = 0 .
Do đó, nếu một đường cong có một tiệm cận ngang theo bất kỳ hướng nào thì không có tiệm cận xiên theo hướng đó và ngược lại.
Ví dụ 6 Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Dung dịch. Hàm được xác định trên toàn bộ dòng số ngoại trừ x= 0, tức là
Do đó, tại điểm phá vỡ x= 0 đường cong có thể có một tiệm cận đứng. Thật vậy, giới hạn của hàm khi x có xu hướng bằng 0 từ bên trái là cộng với vô hạn:
Do đó, x= 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này.
Đồ thị của hàm số này không có tiệm cận ngang, vì giới hạn của hàm số khi x có xu hướng cộng vào vô cực bằng cộng vô cùng:
Hãy để chúng tôi tìm hiểu sự hiện diện của một tiệm cận xiên:
Có giới hạn hữu hạn k= 2 và b= 0. Dài y = 2x là một tiệm cận xiên hai phía của đồ thị của hàm này (hình bên trong ví dụ).
Ví dụ 7 Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Dung dịch. Hàm có một điểm ngắt x= −1. Hãy để chúng tôi tính toán giới hạn một phía và xác định loại gián đoạn:
Sự kết luận: x= −1 là điểm gián đoạn của loại thứ hai, do đó đường x= −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này.
Tìm kiếm các dấu ấn xiên. Vì hàm này hợp lý theo phân số nên các giới hạn cho và cho sẽ trùng nhau. Do đó, chúng ta tìm thấy các hệ số để thay thế đường thẳng - tiệm cận xiên vào phương trình:
Thay các hệ số tìm được vào phương trình của đường thẳng có hệ số góc, ta được phương trình của tiệm cận xiên:
y = −3x + 5 .
Trong hình bên, đồ thị của hàm được đánh dấu bằng màu đỏ tía và các hàm không có dấu hiệu có màu đen.
Ví dụ 8 Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Dung dịch. Vì hàm này là liên tục, nên đồ thị của nó không có đường tiệm cận đứng. Chúng tôi đang tìm kiếm các dấu ấn xiên:
.
Do đó, đồ thị của hàm số này có một tiệm cận là y= 0 tại và không có tiệm cận tại.
Ví dụ 9 Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Dung dịch. Đầu tiên, chúng tôi tìm kiếm các dấu không có dấu hiệu theo chiều dọc. Để làm điều này, chúng tôi tìm miền của hàm. Hàm được xác định khi bất đẳng thức giữ và. dấu biến x phù hợp với dấu hiệu. Do đó, hãy xem xét bất đẳng thức tương đương. Từ đó chúng ta có được phạm vi của hàm: 
. Đường tiệm cận đứng chỉ có thể nằm trên ranh giới của miền của hàm. Nhưng mà x= 0 không thể là một tiệm cận đứng, vì hàm được xác định cho x = 0
.
Xem xét giới hạn bên phải tại (giới hạn bên trái không tồn tại):
.
Chấm x= 2 là điểm gián đoạn của loại thứ hai, do đó đường x= 2 - tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này.
Chúng tôi đang tìm kiếm các dấu ấn xiên:
Vì thế, y = x+ 1 - tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này tại. Chúng tôi đang tìm kiếm một tiệm cận xiên cho:
Vì thế, y = −x − 1 - tiệm cận xiên tại.
Ví dụ 10 Tìm các dấu không phải của đồ thị của một hàm số
Dung dịch. Hàm có phạm vi 
. Vì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này chỉ có thể nằm trên biên của miền xác định nên ta sẽ tìm các giới hạn một phía của hàm số tại.
