Phương trình logarit và bất đẳng thức. Tác phẩm “Bậc bất đẳng thức logarit trong kỳ thi thống nhất bang” của Manov Giải bất đẳng thức logarit cách giải
Phương trình logarit và bất đẳng thức trong Kỳ thi Thống nhất về toán học, nó được dành cho vấn đề C3 . Mỗi học sinh phải học cách giải các bài tập C3 của Kỳ thi Thống nhất về toán nếu muốn vượt qua kỳ thi sắp tới với mức “tốt” hoặc “xuất sắc”. Bài viết này cung cấp một cái nhìn tổng quan ngắn gọn về các phương trình và bất đẳng thức logarit thường gặp cũng như các phương pháp cơ bản để giải chúng.
Vì vậy, hôm nay chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ. phương trình logarit và bất đẳng thức, được cung cấp cho học sinh trong Kỳ thi Thống nhất môn toán những năm trước. Nhưng nó sẽ bắt đầu bằng một bản tóm tắt ngắn gọn về những điểm lý thuyết chính mà chúng ta sẽ cần để giải quyết chúng.
hàm logarit
Sự định nghĩa
Chức năng của biểu mẫu
0,\, a\ne 1 \]" title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
gọi điện hàm logarit.
Các tính chất cơ bản
Các tính chất cơ bản của hàm logarit y= nhật ký cây rìu:
Đồ thị của hàm logarit là đường cong logarit:
Tính chất của logarit
Logarit của sản phẩm hai số dương bằng tổng logarit của các số đó:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Logarit của thương hai số dương bằng hiệu logarit của các số này:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Nếu như Một Và b Một≠ 1 thì với mọi số r bình đẳng là đúng:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Bình đẳng nhật ký Một t= nhật ký Một S, Ở đâu Một > 0, Một ≠ 1, t > 0, S> 0, hợp lệ khi và chỉ khi t = S.
Nếu như Một, b, c là các số dương và Một Và c khác với sự thống nhất thì sự bình đẳng ( công thức chuyển sang cơ số logarit mới):
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Định lý 1. Nếu như f(x) > 0 và g(x) > 0 thì logarit phương trình một f(x) = nhật ký một g(x) (Ở đâu Một > 0, Một≠ 1) tương đương với phương trình f(x) = g(x).
Giải phương trình logarit và bất đẳng thức
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Giải pháp. Phạm vi giá trị được chấp nhận chỉ bao gồm những giá trị x, trong đó biểu thức dưới dấu logarit lớn hơn 0. Các giá trị này được xác định bởi hệ bất đẳng thức sau:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Xem xét rằng
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
chúng ta thu được khoảng xác định phạm vi giá trị cho phép của phương trình logarit này:
Dựa trên Định lý 1, tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn ở đây, chúng ta tiến tới phương trình bậc hai tương đương sau:
Phạm vi giá trị được chấp nhận chỉ bao gồm gốc đầu tiên.
Trả lời: x = 7.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
Giải pháp. Phạm vi giá trị chấp nhận được của phương trình được xác định bởi hệ bất đẳng thức:
ql-right-eqno">
Giải pháp.Ở đây, phạm vi giá trị chấp nhận được của phương trình được xác định một cách dễ dàng: x > 0.
Chúng tôi sử dụng thay thế:
Phương trình trở thành:
Thay thế ngược lại:
Cả hai trả lời nằm trong khoảng giá trị chấp nhận được của phương trình vì chúng là số dương.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
Giải pháp. Hãy bắt đầu lại lời giải bằng cách xác định phạm vi giá trị chấp nhận được của phương trình. Nó được xác định bởi hệ bất đẳng thức sau:
ql-right-eqno">
Các cơ số của logarit là như nhau, vì vậy trong phạm vi giá trị chấp nhận được, chúng ta có thể tiến hành phương trình bậc hai sau:
Căn thứ nhất không nằm trong phạm vi giá trị chấp nhận được của phương trình, nhưng căn thứ hai thì nằm trong phạm vi đó.
Trả lời: x = -1.
Ví dụ 5. Giải phương trình:
Giải pháp. Chúng tôi sẽ tìm kiếm giải pháp ở giữa x > 0, x≠1. Hãy biến đổi phương trình thành phương trình tương đương:
Cả hai trả lời nằm trong khoảng giá trị chấp nhận được của phương trình.
Ví dụ 6. Giải phương trình:
Giải pháp. Hệ bất đẳng thức xác định khoảng giá trị cho phép của phương trình lần này có dạng:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Sử dụng các tính chất của logarit, chúng ta biến đổi phương trình thành phương trình tương đương trong phạm vi các giá trị có thể chấp nhận được:
Sử dụng công thức chuyển sang cơ số logarit mới, chúng ta có:
Phạm vi giá trị được chấp nhận chỉ bao gồm một trả lời: x = 4.
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang bất đẳng thức logarit . Đây chính xác là những gì bạn sẽ phải giải quyết trong Kỳ thi Thống nhất môn toán. Để giải các ví dụ tiếp theo ta cần định lý sau:
Định lý 2. Nếu như f(x) > 0 và g(x) > 0 thì:
Tại Một> 1 bất đẳng thức logarit log a f(x) > đăng nhập một g(x) tương đương với bất đẳng thức cùng nghĩa: f(x) > g(x);
lúc 0< Một < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > đăng nhập một g(x) tương đương với bất đẳng thức có nghĩa ngược lại: f(x) < g(x).
Ví dụ 7. Giải bất đẳng thức:
Giải pháp. Hãy bắt đầu bằng cách xác định phạm vi giá trị chấp nhận được của bất đẳng thức. Biểu thức dưới dấu của hàm logarit chỉ được nhận giá trị dương. Điều này có nghĩa là phạm vi giá trị chấp nhận được mong muốn được xác định bởi hệ bất đẳng thức sau:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Vì cơ số của logarit là một số nhỏ hơn một nên hàm logarit tương ứng sẽ giảm dần và do đó, theo Định lý 2, việc chuyển đổi sang bất đẳng thức bậc hai sau đây sẽ tương đương:
Cuối cùng, có tính đến phạm vi giá trị chấp nhận được, chúng tôi thu được trả lời:
Ví dụ 8. Giải bất đẳng thức:
Giải pháp. Hãy bắt đầu lại bằng cách xác định phạm vi giá trị có thể chấp nhận được:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Trên tập các giá trị chấp nhận được của bất đẳng thức, ta thực hiện các phép biến đổi tương đương:
Sau khi rút gọn và chuyển sang bất đẳng thức tương đương theo Định lý 2, ta thu được:
Có tính đến phạm vi giá trị chấp nhận được, chúng tôi có được kết quả cuối cùng trả lời:
Ví dụ 9. Giải bất đẳng thức logarit:
Giải pháp. Phạm vi giá trị chấp nhận được của bất đẳng thức được xác định bởi hệ thống sau:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Có thể thấy, trong khoảng giá trị chấp nhận được, biểu thức tại cơ số logarit luôn lớn hơn 1, và do đó, theo Định lý 2, việc chuyển sang bất đẳng thức sau sẽ tương đương:
Có tính đến phạm vi giá trị chấp nhận được, chúng tôi có được câu trả lời cuối cùng:
Ví dụ 10. Giải bất đẳng thức:
Giải pháp.
Phạm vi giá trị chấp nhận được của bất đẳng thức được xác định bởi hệ bất đẳng thức:
Title="Được kết xuất bởi QuickLaTeX.com">!}
Phương pháp tôi Chúng ta hãy sử dụng công thức chuyển đổi sang cơ số logarit mới và chuyển sang bất đẳng thức tương đương trong phạm vi các giá trị chấp nhận được.
Bất đẳng thức logarit
Trong các bài học trước, chúng ta đã làm quen với các phương trình logarit và bây giờ chúng ta đã biết chúng là gì và cách giải chúng. Bài học hôm nay sẽ tập trung nghiên cứu về bất đẳng thức logarit. Những bất đẳng thức này là gì và sự khác biệt giữa việc giải phương trình logarit và bất đẳng thức là gì?
Bất đẳng thức logarit là bất đẳng thức có một biến xuất hiện dưới dấu logarit hoặc ở gốc của nó.
Hoặc, chúng ta cũng có thể nói rằng bất đẳng thức logarit là bất đẳng thức trong đó giá trị chưa biết của nó, như trong phương trình logarit, sẽ xuất hiện dưới dấu của logarit.
Bất đẳng thức logarit đơn giản nhất có dạng sau:
trong đó f(x) và g(x) là một số biểu thức phụ thuộc vào x.
Hãy xem xét điều này bằng ví dụ sau: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Giải bất đẳng thức logarit
Trước khi giải các bất đẳng thức logarit, cần lưu ý rằng khi giải chúng tương tự như các bất đẳng thức hàm mũ, cụ thể là:
Đầu tiên, khi chuyển từ logarit sang biểu thức dưới dấu logarit, chúng ta cũng cần so sánh cơ số của logarit với 1;
Thứ hai, khi giải bất đẳng thức logarit bằng phép biến đổi, chúng ta cần giải các bất đẳng thức theo biến số cho đến khi thu được bất đẳng thức đơn giản nhất.
Nhưng bạn và tôi đã xem xét các khía cạnh tương tự của việc giải bất đẳng thức logarit. Bây giờ chúng ta hãy chú ý đến một sự khác biệt khá đáng kể. Bạn và tôi đều biết rằng hàm logarit có miền định nghĩa hạn chế, do đó, khi chuyển từ logarit sang biểu thức dưới dấu logarit, chúng ta cần tính đến phạm vi giá trị cho phép (ADV).
Tức là, cần lưu ý rằng khi giải phương trình logarit, trước tiên tôi và bạn có thể tìm nghiệm của phương trình, sau đó kiểm tra nghiệm này. Nhưng việc giải bất đẳng thức logarit sẽ không diễn ra theo cách này, vì khi chuyển từ logarit sang biểu thức dưới dấu logarit, cần phải viết ra ODZ của bất đẳng thức.
Ngoài ra, cần nhớ rằng lý thuyết bất đẳng thức bao gồm các số thực, là số dương và số âm, cũng như số 0.
Ví dụ: khi số “a” là dương thì bạn cần sử dụng ký hiệu sau: a >0. Trong trường hợp này, cả tổng và tích của các số này cũng sẽ dương.
Nguyên tắc chính để giải bất đẳng thức là thay thế nó bằng bất đẳng thức đơn giản hơn, nhưng điều quan trọng chính là nó tương đương với bất đẳng thức đã cho. Hơn nữa, chúng ta cũng thu được bất đẳng thức và lại thay thế nó bằng bất đẳng thức có dạng đơn giản hơn, v.v.
Khi giải bất phương trình bằng một biến, bạn cần tìm tất cả các nghiệm của nó. Nếu hai bất đẳng thức có cùng biến x thì các bất đẳng thức đó tương đương với điều kiện nghiệm của chúng trùng nhau.
Khi thực hiện nhiệm vụ giải bất phương trình logarit, bạn phải nhớ rằng khi a > 1 thì hàm logarit tăng và khi 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Các phương pháp giải bất đẳng thức logarit
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số phương pháp áp dụng khi giải bất đẳng thức logarit. Để hiểu rõ hơn và dễ hiểu hơn, chúng tôi sẽ cố gắng hiểu chúng bằng các ví dụ cụ thể.
Chúng ta đều biết rằng bất đẳng thức logarit đơn giản nhất có dạng sau:
Trong bất đẳng thức này, V – là một trong các dấu bất đẳng thức sau:<,>, ≤ hoặc ≥.
Khi cơ số của logarit đã cho lớn hơn một (a>1), thực hiện chuyển đổi từ logarit sang biểu thức dưới dấu logarit, thì trong phiên bản này, dấu bất đẳng thức được giữ nguyên và bất đẳng thức sẽ có dạng sau:
tương đương với hệ thống này:
Trong trường hợp cơ số của logarit lớn hơn 0 và nhỏ hơn một (0 Điều này tương đương với hệ thống này: Chúng ta hãy xem thêm các ví dụ về giải các bất đẳng thức logarit đơn giản nhất được hiển thị trong hình dưới đây: Bài tập. Hãy thử giải bất đẳng thức này: Giải quyết phạm vi các giá trị chấp nhận được. Bây giờ hãy thử nhân vế phải của nó với: Hãy xem những gì chúng ta có thể nghĩ ra: Bây giờ, hãy chuyển sang chuyển đổi biểu thức logarit con. Vì cơ số của logarit bằng 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Và từ đó suy ra khoảng mà chúng ta thu được hoàn toàn thuộc về ODZ và là nghiệm của bất đẳng thức đó. Đây là câu trả lời chúng tôi nhận được: Bây giờ chúng ta hãy thử phân tích những gì chúng ta cần để giải thành công các bất đẳng thức logarit? Đầu tiên, hãy tập trung toàn bộ sự chú ý của bạn và cố gắng không mắc sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi được đưa ra trong bất đẳng thức này. Ngoài ra, cần nhớ rằng khi giải các bất phương trình như vậy, cần tránh việc mở rộng và thu hẹp các bất phương trình, điều này có thể dẫn đến việc mất hoặc thu được các nghiệm ngoại lai. Thứ hai, khi giải bất phương trình logarit, bạn cần học cách suy nghĩ logic và hiểu sự khác biệt giữa các khái niệm như hệ bất phương trình và tập hợp bất phương trình, để có thể dễ dàng lựa chọn giải pháp cho bất phương trình, đồng thời được hướng dẫn bởi DL của nó. Thứ ba, để giải thành công các bất đẳng thức đó, mỗi bạn phải biết đầy đủ các tính chất của hàm cơ bản và hiểu rõ ý nghĩa của chúng. Các hàm như vậy không chỉ bao gồm logarit mà còn bao gồm số hữu tỉ, lũy thừa, lượng giác, v.v., nói tóm lại, tất cả những hàm mà bạn đã học trong đại số ở trường. Như bạn có thể thấy, khi nghiên cứu chủ đề về bất đẳng thức logarit, không có gì khó khăn trong việc giải các bất đẳng thức này, miễn là bạn cẩn thận và kiên trì để đạt được mục tiêu của mình. Để tránh mọi vấn đề trong việc giải bất đẳng thức, bạn cần thực hành càng nhiều càng tốt, giải các nhiệm vụ khác nhau, đồng thời ghi nhớ các phương pháp cơ bản để giải các bất đẳng thức đó và hệ thống của chúng. Nếu không giải được các bất phương trình logarit, bạn nên phân tích kỹ những sai lầm của mình để không tái phạm trong tương lai. Để hiểu rõ hơn về chủ đề và củng cố tài liệu được đề cập, hãy giải các bất đẳng thức sau: BẤT BÌNH ĐẲNG logarit trong việc sử dụng
Sechin Mikhail Alexandrovich Học viện Khoa học Nhỏ dành cho Sinh viên Cộng hòa Kazakhstan “Iskatel” MBU "Trường THCS Sovetskaya số 1", lớp 11, thị trấn. Quận Sovetsky Sovetsky Gunko Lyudmila Dmitrievna, giáo viên của Cơ quan Giáo dục Ngân sách Thành phố “Trường Trung học Sovetskaya số 1” huyện Sovetsky Mục tiêu của công việc: nghiên cứu cơ chế giải bất phương trình logarit C3 bằng các phương pháp phi chuẩn, xác định những sự thật thú vị về logarit. Đề tài nghiên cứu:
3) Học cách giải các bất đẳng thức logarit cụ thể C3 bằng các phương pháp không chuẩn. Kết quả:
Nội dung
Giới thiệu…………………………………….4
Chương 1. Lịch sử vấn đề………………………..5
Chương 2. Tập hợp các bất đẳng thức logarit …………………… 7
2.1. Các phép chuyển tiếp tương đương và phương pháp tổng quát của các khoảng…… 7 2.2. Phương pháp hợp lý hóa…………………………………… 15 2.3. Sự thay thế không chuẩn.................................................................................. ............ 22 2.4. Nhiệm vụ có bẫy……………………………………27 Kết luận…………………………………………… 30
Văn học……………………………………………………………………. 31
Giới thiệu
Tôi đang học lớp 11 và dự định vào một trường đại học với môn học chính là toán. Đó là lý do tại sao tôi phải làm việc nhiều với các bài toán ở phần C. Trong task C3, tôi cần giải một bất đẳng thức hoặc hệ bất phương trình không chuẩn, thường liên quan đến logarit. Khi chuẩn bị ôn thi, em gặp phải vấn đề thiếu phương pháp, kỹ thuật giải bất phương trình logarit trong C3. Các phương pháp được nghiên cứu trong chương trình giảng dạy ở trường về chủ đề này không làm cơ sở cho việc giải các bài tập C3. Giáo viên dạy toán đề nghị tôi làm bài tập C3 một cách độc lập dưới sự hướng dẫn của cô. Ngoài ra, tôi còn quan tâm đến câu hỏi: chúng ta có gặp phải logarit trong cuộc sống không? Với ý nghĩ đó, chủ đề đã được chọn: “Các bất đẳng thức logarit trong kỳ thi thống nhất quốc gia”
Mục tiêu của công việc: nghiên cứu cơ chế giải các bài toán C3 bằng các phương pháp phi chuẩn, xác định những sự thật thú vị về logarit. Đề tài nghiên cứu:
1) Tìm những thông tin cần thiết về các phương pháp phi chuẩn để giải bất phương trình logarit. 2) Tìm thêm thông tin về logarit. 3) Học cách giải các bài toán C3 cụ thể bằng các phương pháp không chuẩn. Kết quả:
Ý nghĩa thực tiễn nằm ở việc mở rộng bộ máy giải các bài toán C3. Tài liệu này có thể được sử dụng trong một số bài học, câu lạc bộ và các lớp tự chọn môn toán. Sản phẩm của dự án sẽ là bộ sưu tập “Bất đẳng thức logarit C3 có nghiệm”. Chương 1. Bối cảnh
Trong suốt thế kỷ 16, số lượng phép tính gần đúng tăng lên nhanh chóng, chủ yếu trong thiên văn học. Cải tiến các thiết bị, nghiên cứu chuyển động của hành tinh và các công việc khác đòi hỏi những phép tính khổng lồ, đôi khi kéo dài nhiều năm. Thiên văn học thực sự có nguy cơ chìm đắm trong những tính toán chưa hoàn thành. Khó khăn nảy sinh trong các lĩnh vực khác, chẳng hạn như trong kinh doanh bảo hiểm, cần có bảng lãi suất kép cho các mức lãi suất khác nhau. Khó khăn chính là phép nhân và chia các số có nhiều chữ số, đặc biệt là các đại lượng lượng giác. Việc phát hiện ra logarit dựa trên các tính chất của cấp số cộng đã được biết đến rộng rãi vào cuối thế kỷ 16. Archimedes đã nói về mối liên hệ giữa các số hạng của cấp số nhân q, q2, q3, ... với cấp số nhân của các lũy thừa 1, 2, 3,... trong Thánh vịnh. Một điều kiện tiên quyết khác là việc mở rộng khái niệm độ sang số mũ âm và phân số. Nhiều tác giả đã chỉ ra rằng phép nhân, chia, lũy thừa và rút căn trong cấp số nhân tương ứng về số học - theo cùng một thứ tự - cộng, trừ, nhân và chia. Đây là ý tưởng về logarit như một số mũ. Trong lịch sử phát triển của học thuyết logarit, đã trải qua một số giai đoạn. Giai đoạn 1
Logarit được phát minh độc lập không muộn hơn năm 1594 bởi Nam tước Napier người Scotland (1550-1617) và mười năm sau bởi thợ cơ khí người Thụy Sĩ Bürgi (1552-1632). Cả hai đều muốn cung cấp một phương tiện tính toán số học mới, thuận tiện, mặc dù họ tiếp cận vấn đề này theo những cách khác nhau. Napier biểu diễn hàm logarit bằng phương pháp động học và từ đó bước vào một lĩnh vực mới của lý thuyết hàm số. Bürgi vẫn dựa trên cơ sở xem xét các tiến trình rời rạc. Tuy nhiên, định nghĩa logarit cho cả hai không giống với định nghĩa hiện đại. Thuật ngữ "logarit" (logaritmus) thuộc về Napier. Nó bắt nguồn từ sự kết hợp của các từ Hy Lạp: logos - “quan hệ” và ariqmo - “số”, có nghĩa là “số lượng quan hệ”. Ban đầu, Napier sử dụng một thuật ngữ khác: số nhân tạo - “số nhân tạo”, trái ngược với số tự nhiên - “số tự nhiên”. Năm 1615, trong một cuộc trò chuyện với Henry Briggs (1561-1631), giáo sư toán học tại Đại học Gresh ở London, Napier đề nghị lấy số 0 làm logarit của một và 100 làm logarit của mười, hay, tương đương với điều, chỉ là 1. Đây là cách in logarit thập phân và bảng logarit đầu tiên. Sau đó, các bảng của Briggs được bổ sung bởi người bán sách người Hà Lan và người đam mê toán học Adrian Flaccus (1600-1667). Napier và Briggs, mặc dù họ đến với logarit sớm hơn những người khác, nhưng đã xuất bản bảng của họ muộn hơn những người khác - vào năm 1620. Nhật ký ký hiệu và Nhật ký được I. Kepler giới thiệu vào năm 1624. Thuật ngữ “logarit tự nhiên” được Mengoli giới thiệu vào năm 1659 và tiếp theo là N. Mercator vào năm 1668, và giáo viên John Speidel ở London đã xuất bản các bảng logarit tự nhiên của các số từ 1 đến 1000 dưới tên “Logarit mới”. Bảng logarit đầu tiên được xuất bản bằng tiếng Nga vào năm 1703. Nhưng trong tất cả các bảng logarit đều có lỗi tính toán. Các bảng không có lỗi đầu tiên được xuất bản vào năm 1857 tại Berlin, do nhà toán học người Đức K. Bremiker (1804-1877) xử lý. Giai đoạn 2
Sự phát triển hơn nữa của lý thuyết logarit gắn liền với ứng dụng rộng rãi hơn của hình học giải tích và phép tính vi phân. Vào thời điểm đó, mối liên hệ giữa bình phương của một hyperbol đều và logarit tự nhiên đã được thiết lập. Lý thuyết logarit thời kỳ này gắn liền với tên tuổi của một số nhà toán học. Nhà toán học, thiên văn học và kỹ sư người Đức Nikolaus Mercator trong một bài tiểu luận "Logaritmotechnics" (1668) đưa ra một chuỗi khai triển ln(x+1) theo lũy thừa của x: Cách diễn đạt này hoàn toàn phù hợp với dòng suy nghĩ của ông, mặc dù tất nhiên, ông không sử dụng các dấu d, ... mà là những biểu tượng rườm rà hơn. Với việc phát hiện ra chuỗi logarit, kỹ thuật tính logarit đã thay đổi: chúng bắt đầu được xác định bằng cách sử dụng chuỗi vô hạn. Trong bài giảng “Toán học cơ bản từ một quan điểm cao hơn” được đưa ra vào năm 1907-1908, F. Klein đã đề xuất sử dụng công thức làm điểm khởi đầu để xây dựng lý thuyết logarit. Giai đoạn 3
Định nghĩa hàm logarit là hàm nghịch đảo hàm mũ, logarit là số mũ của một cơ số cho trước đã không được hình thành ngay lập tức. Tiểu luận của Leonhard Euler (1707-1783) "Giới thiệu về phân tích vô số" (1748) phục vụ cho việc tiếp tục sự phát triển của lý thuyết về hàm logarit. Như vậy, 134 năm đã trôi qua kể từ khi logarit được giới thiệu lần đầu tiên (tính từ năm 1614), trước khi các nhà toán học đi tới định nghĩa khái niệm logarit, hiện là nền tảng của khóa học ở trường. Chương 2. Tập hợp các bất đẳng thức logarit
2.1. Chuyển tiếp tương đương và phương pháp tổng quát của khoảng. Chuyển tiếp tương đương
Phương pháp khoảng tổng quát
Phương pháp này là phương pháp phổ biến nhất để giải hầu hết mọi loại bất đẳng thức. Sơ đồ giải pháp trông như thế này: 1. Đưa bất đẳng thức về dạng trong đó hàm ở vế trái là 2. Tìm miền xác định của hàm số 3. Tìm các số 0 của hàm số 4. Vẽ miền định nghĩa và các số 0 của hàm số trên trục số. 5. Xác định dấu của hàm số 6. Chọn các khoảng trong đó hàm lấy các giá trị cần thiết và viết ra câu trả lời. Ví dụ 1.
Giải pháp:
Hãy áp dụng phương pháp khoảng Ở đâu Đối với những giá trị này, tất cả các biểu thức dưới dấu logarit đều dương. Trả lời:
Ví dụ 2.
Giải pháp:
thứ nhất
đường
.
ADL được xác định bởi sự bất đẳng thức x> 3. Lấy logarit cho x trong cơ sở 10, chúng tôi nhận được Bất đẳng thức cuối cùng có thể được giải bằng cách áp dụng các quy tắc khai triển, tức là so sánh các yếu tố với số không. Tuy nhiên, trong trường hợp này dễ dàng xác định được các khoảng dấu không đổi của hàm số do đó, phương pháp khoảng có thể được áp dụng. Chức năng f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3µ liên tục tại x> 3 và biến mất tại các điểm x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Từ đó ta xác định được các khoảng dấu không đổi của hàm số f(x):
Trả lời: phương pháp thứ 2
.
Chúng ta hãy áp dụng trực tiếp các ý tưởng của phương pháp khoảng cho bất đẳng thức ban đầu. Để làm điều này, hãy nhớ lại rằng các biểu thức Một b- Một c và ( Một - 1)(b- 1) có một dấu hiệu. Khi đó bất đẳng thức của chúng ta tại x> 3 tương đương với bất đẳng thức hoặc Bất đẳng thức cuối cùng được giải bằng phương pháp khoảng Trả lời: Ví dụ 3.
Giải pháp:
Hãy áp dụng phương pháp khoảng Trả lời: Ví dụ 4.
Giải pháp:
Kể từ 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 với mọi số thực x, Cái đó Để giải bất đẳng thức thứ hai ta sử dụng phương pháp khoảng Trong bất đẳng thức thứ nhất ta thực hiện thay thế thì ta đi đến bất đẳng thức 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, thỏa mãn bất đẳng thức -0,5< y < 1.
Từ đâu, từ bao giờ chúng ta nhận được sự bất bình đẳng được thực hiện khi x, trong đó 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Bây giờ, xét đến nghiệm của bất đẳng thức thứ hai của hệ, cuối cùng chúng ta thu được Trả lời:
Ví dụ 5.
Giải pháp:
Bất bình đẳng tương đương với một tập hợp các hệ thống hoặc Hãy sử dụng phương pháp khoảng hoặc Trả lời:
Ví dụ 6.
Giải pháp:
Hệ thống bình đẳng bất bình đẳng Cho phép Sau đó y > 0,
và bất đẳng thức thứ nhất hệ thống có dạng hoặc, mở ra hệ số tam thức bậc hai, Áp dụng phương pháp khoảng cho bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta thấy rằng nghiệm của nó thỏa mãn điều kiện y> 0 sẽ là tất cả y > 4.
Do đó, bất đẳng thức ban đầu tương đương với hệ: Vì vậy, các giải pháp cho bất đẳng thức đều là 2.2. Phương pháp hợp lý hóa. Trước đây, sự bất bình đẳng không được giải quyết bằng phương pháp hợp lý hóa; Đây là “một phương pháp mới, hiện đại, hiệu quả để giải các bất đẳng thức hàm mũ và logarit” (trích từ cuốn sách của S.I. Kolesnikova) "Bảng ma thuật"
Trong các nguồn khác
Nếu như a >1 và b >1, sau đó log a b >0 và (a -1)(b -1)>0; Nếu như a >1 và 0 nếu 0<Một<1 и b
>1 thì log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
nếu 0<Một<1 и 00 và (a -1)(b -1)>0. Lý luận được thực hiện rất đơn giản, nhưng đơn giản hóa đáng kể việc giải các bất đẳng thức logarit. Ví dụ 4.
log x (x 2 -3)<0
Giải pháp:
Ví dụ 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) Giải pháp: Ví dụ 6.
Để giải bất đẳng thức này, thay vì mẫu số, chúng ta viết (x-1-1)(x-1), và thay vì tử số, chúng ta viết tích (x-1)(x-3-9 + x). Ví dụ 7.
Ví dụ 8.
2.3. Sự thay thế không chuẩn. Ví dụ 1.
Ví dụ 2.
Ví dụ 3.
Ví dụ 4.
Ví dụ 5.
Ví dụ 6.
Ví dụ 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Hãy thay thế y=3 x -1; thì bất đẳng thức này sẽ có dạng Nhật ký 4 nhật ký 0,25 Bởi vì log 0,25 Chúng ta hãy thay thế t =log 4 y và thu được bất đẳng thức t 2 -2t + ≥0, nghiệm của nó là các khoảng - Như vậy, để tìm các giá trị của y ta có tập hợp hai bất đẳng thức đơn giản Do đó, bất đẳng thức ban đầu tương đương với tập hợp hai bất đẳng thức hàm mũ, Nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất của tập hợp này là khoảng 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Ví dụ 8.
Giải pháp:
Hệ thống bình đẳng bất bình đẳng Lời giải của bất đẳng thức thứ hai xác định ODZ sẽ là tập hợp các bất đẳng thức đó x,
mà x > 0.
Để giải bất đẳng thức thứ nhất ta thực hiện thay thế Khi đó ta thu được bất đẳng thức hoặc Tập nghiệm của bất đẳng thức cuối cùng được tìm bằng phương pháp khoảng: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, chúng tôi nhận được hoặc Rất nhiều trong số đó x, thỏa mãn bất đẳng thức cuối cùng thuộc về ODZ ( x> 0), do đó, là nghiệm của hệ thống, và do đó có bất đẳng thức ban đầu. Trả lời: 2.4. Nhiệm vụ có bẫy. Ví dụ 1.
Giải pháp. ODZ của bất đẳng thức là tất cả x thỏa mãn điều kiện 0 Ví dụ 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1. Phần kết luận
Không dễ để tìm ra các phương pháp cụ thể để giải các bài toán C3 từ rất nhiều nguồn giáo dục khác nhau. Trong quá trình thực hiện công việc, tôi đã có thể nghiên cứu các phương pháp không chuẩn để giải các bất đẳng thức logarit phức tạp. Đó là: các chuyển đổi tương đương và phương pháp tổng quát của các khoảng, phương pháp hợp lý hóa ,
thay thế không chuẩn ,
nhiệm vụ có bẫy trên ODZ. Những phương pháp này không được đưa vào chương trình giảng dạy ở trường. Bằng nhiều phương pháp khác nhau, tôi đã giải được 27 bất đẳng thức đặt ra trong Kỳ thi Thống nhất phần C, cụ thể là C3. Những bất đẳng thức có lời giải bằng phương pháp này đã hình thành nên cơ sở của bộ sưu tập “Các bất đẳng thức logarit C3 có lời giải”, bộ sưu tập này đã trở thành một sản phẩm dự án trong hoạt động của tôi. Giả thuyết tôi đặt ra khi bắt đầu dự án đã được xác nhận: Các bài toán C3 có thể được giải quyết một cách hiệu quả nếu bạn biết các phương pháp này. Ngoài ra, tôi còn phát hiện ra những sự thật thú vị về logarit. Thật thú vị khi tôi làm điều này. Sản phẩm dự án của tôi sẽ hữu ích cho cả học sinh và giáo viên. Kết luận:
Như vậy, mục tiêu của dự án đã đạt được và vấn đề đã được giải quyết. Và tôi đã nhận được những trải nghiệm đầy đủ và đa dạng nhất về các hoạt động của dự án ở tất cả các giai đoạn của công việc. Trong khi thực hiện dự án, tác động phát triển chính của tôi là năng lực trí tuệ, các hoạt động liên quan đến hoạt động tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, sáng kiến cá nhân, trách nhiệm, tính kiên trì và hoạt động. Sự đảm bảo thành công khi thực hiện một dự án nghiên cứu cho Tôi đã đạt được: kinh nghiệm học tập đáng kể, khả năng thu thập thông tin từ nhiều nguồn khác nhau, kiểm tra độ tin cậy của nó và xếp hạng nó theo tầm quan trọng. Ngoài kiến thức trực tiếp về môn toán, tôi còn mở rộng các kỹ năng thực hành của mình trong lĩnh vực khoa học máy tính, thu thập kiến thức và kinh nghiệm mới trong lĩnh vực tâm lý học, thiết lập mối quan hệ với các bạn cùng lớp và học cách hợp tác với người lớn. Trong quá trình thực hiện các hoạt động của dự án, các kỹ năng giáo dục tổng quát về tổ chức, trí tuệ và giao tiếp đã được phát triển. Văn học
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Hệ bất đẳng thức một biến (nhiệm vụ tiêu chuẩn C3). 2. Malkova A. G. Chuẩn bị cho kỳ thi Toán thống nhất cấp bang. 3. Samarova S. S. Giải bất đẳng thức logarit. 4. Toán học. Tuyển tập các công trình đào tạo do A.L. Semenov và I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 tr.-
Trong số tất cả các bất đẳng thức logarit, bất đẳng thức có cơ số thay đổi được nghiên cứu riêng biệt. Chúng được giải bằng một công thức đặc biệt, vì lý do nào đó hiếm khi được dạy ở trường: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0 Thay vì đánh dấu vào hộp kiểm “∨”, bạn có thể đặt bất kỳ dấu bất đẳng thức nào: nhiều hơn hoặc ít hơn. Điều chính là trong cả hai bất đẳng thức, các dấu đều giống nhau. Bằng cách này, chúng ta loại bỏ logarit và đưa vấn đề về một bất đẳng thức hợp lý. Câu sau dễ giải hơn nhiều, nhưng khi loại bỏ logarit, các nghiệm phụ có thể xuất hiện. Để cắt chúng đi, chỉ cần tìm phạm vi giá trị có thể chấp nhận được là đủ. Nếu bạn quên ODZ của logarit, tôi thực sự khuyên bạn nên lặp lại nó - xem phần “Logarit là gì”. Mọi thứ liên quan đến phạm vi giá trị có thể chấp nhận được phải được viết ra và giải quyết riêng: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Bốn bất đẳng thức này tạo thành một hệ thống và phải được thỏa mãn đồng thời. Khi đã tìm thấy phạm vi giá trị có thể chấp nhận được, tất cả những gì còn lại là giao nó với nghiệm của bất đẳng thức hợp lý - và câu trả lời đã sẵn sàng. Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức: Đầu tiên, hãy viết ODZ của logarit: Hai bất đẳng thức đầu tiên được thỏa mãn một cách tự động, nhưng bất đẳng thức cuối cùng sẽ phải được viết ra. Vì bình phương của một số bằng 0 khi và chỉ khi chính số đó bằng 0, nên ta có: x 2 + 1 ≠ 1; Hóa ra ODZ của logarit đều là các số ngoại trừ 0: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Bây giờ chúng ta giải bất đẳng thức chính: Chúng ta thực hiện quá trình chuyển đổi từ bất đẳng thức logarit sang bất đẳng thức hữu tỉ. Bất đẳng thức ban đầu có dấu “nhỏ hơn”, nghĩa là bất đẳng thức thu được cũng phải có dấu “nhỏ hơn”. Chúng ta có: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0; Các số 0 của biểu thức này là: x = 3; x = −3; x = 0. Hơn nữa, x = 0 là nghiệm của bội số thứ hai, nghĩa là khi đi qua nó thì dấu của hàm số không đổi. Chúng ta có: Chúng ta nhận được x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Bộ này hoàn toàn chứa trong ODZ của logarit, có nghĩa đây là đáp án. Thường thì bất đẳng thức ban đầu khác với bất đẳng thức trên. Điều này có thể dễ dàng sửa chữa bằng cách sử dụng các quy tắc tiêu chuẩn để làm việc với logarit - xem “Các thuộc tính cơ bản của logarit”. Cụ thể là: Riêng biệt, tôi muốn nhắc bạn về phạm vi giá trị có thể chấp nhận được. Vì có thể có nhiều logarit trong bất đẳng thức ban đầu nên cần phải tìm VA của từng logarit. Vì vậy, sơ đồ chung để giải bất đẳng thức logarit như sau: Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức: Hãy tìm miền định nghĩa (DO) của logarit thứ nhất: Chúng tôi giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp khoảng. Tìm các số 0 của tử số: 3x − 2 = 0; Sau đó - các số 0 của mẫu số: x − 1 = 0; Chúng tôi đánh dấu số 0 và dấu trên mũi tên tọa độ: Chúng ta nhận được x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logarit thứ hai sẽ có cùng VA. Nếu bạn không tin tôi, bạn có thể kiểm tra nó. Bây giờ chúng ta biến đổi logarit thứ hai sao cho cơ số là hai: Như bạn có thể thấy, số ba ở đáy và phía trước logarit đã bị giảm. Chúng ta có hai logarit có cùng cơ số. Hãy cộng chúng lại: log 2 (x − 1) 2< 2; Chúng tôi thu được bất đẳng thức logarit tiêu chuẩn. Chúng tôi loại bỏ logarit bằng công thức. Vì bất đẳng thức ban đầu chứa dấu “nhỏ hơn” nên biểu thức hữu tỉ thu được cũng phải nhỏ hơn 0. Chúng ta có: (f(x) − g(x)) (k(x) − 1)< 0; Chúng tôi có hai bộ: Vẫn còn phải giao nhau với các tập hợp này - chúng ta nhận được câu trả lời thực sự: Chúng ta quan tâm đến giao điểm của các tập hợp, vì vậy chúng ta chọn các khoảng được tô bóng trên cả hai mũi tên. Chúng ta nhận được x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tất cả các điểm đều bị thủng. Khi nghiên cứu hàm logarit, chúng ta chủ yếu xét đến các bất đẳng thức có dạng Giải log bất đẳng thức (x + 1) 2 (1). Giải pháp.
1) Vế phải của bất đẳng thức đang xét có ý nghĩa với mọi giá trị của x và vế trái có ý nghĩa với x + 1 > 0, tức là. với x > -1. 2) Khoảng x > -1 được gọi là miền định nghĩa của bất đẳng thức (1). Hàm logarit cơ số 10 đang tăng, do đó, với điều kiện x + 1 > 0, bất đẳng thức (1) được thỏa mãn nếu x + 1 ≤ 100 (vì 2 = log 100). Như vậy, bất đẳng thức (1) và hệ bất đẳng thức (x > -1, (2) là tương đương, nói cách khác, tập nghiệm của bất đẳng thức (1) và hệ bất phương trình (2) là như nhau. 3) Hệ giải (2), ta tìm được -1< х ≤ 99. Trả lời. -1< х ≤ 99.
Giải bất đẳng thức log 2 (x – 3) + log 2 (x – 2) ≤ 1 (3). Giải pháp. 1) Miền định nghĩa của hàm logarit đang xét là tập hợp các giá trị dương của đối số, do đó vế trái của bất đẳng thức có ý nghĩa đối với x – 3 > 0 và x – 2 > 0. Do đó, miền định nghĩa của bất đẳng thức này là khoảng x > 3. 2) Theo tính chất của logarit, bất đẳng thức (3) với x > 3 tương đương với bất đẳng thức log 2 (x – 3)(x – 2) ≤ log 2 (4). 3) Hàm logarit cơ số 2 tăng. Do đó, với x > 3, bất đẳng thức (4) được thỏa mãn nếu (x – 3)(x – 2) 2. 4) Như vậy, bất đẳng thức ban đầu (3) tương đương với hệ bất đẳng thức ((x – 3)(x – 2) 2, Giải bất đẳng thức thứ nhất của hệ này, ta thu được x 2 – 5x + 4 ≤ 0, từ đó 1 ≤ x ≤ 4. Kết hợp đoạn này với khoảng x > 3, ta được 3< х ≤ 4. Trả lời. 3< х ≤ 4.
Giải bất đẳng thức log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ -4. (5) Giải pháp. 1) Miền định nghĩa của bất đẳng thức được tìm từ điều kiện x 2 + 2x – 8 > 0. 2) Bất đẳng thức (5) có thể viết dưới dạng: log 1/2 (x 2 + 2x – 8) ≥ log 1/2 16. 3) Vì hàm logarit với cơ số ½ đang giảm dần, nên với mọi x từ toàn bộ miền định nghĩa của bất đẳng thức, ta thu được: x 2 + 2x – 8 ≤ 16. Như vậy, đẳng thức ban đầu (5) tương đương với hệ bất đẳng thức (x 2 + 2x – 8 > 0, hoặc (x 2 + 2x – 8 > 0, Giải bất đẳng thức bậc hai ta được x< -4, х >2. Giải bất đẳng thức bậc hai thứ hai, ta thu được -6 ≤ x 4. Do đó, cả hai bất đẳng thức của hệ đều được thỏa mãn đồng thời với -6 ≤ x< -4 и при 2 < х ≤ 4. Trả lời. -6 ≤ x< -4; 2 < х ≤ 4.
trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.
Giải ví dụ
3x > 24;
x > 8. 
Để giải bất đẳng thức logarit cần làm gì?
Bài tập về nhà
, nếu a > 1
, nếu 0 <
а <
1
, và ở bên phải 0..
, tức là giải phương trình 
(và giải phương trình thường dễ hơn giải bất phương trình).trên các khoảng thu được.
Và ngay cả khi giáo viên biết anh ta, người ta vẫn lo sợ - chuyên gia thi Thống nhất có biết anh ta không, và tại sao họ không cho anh ta ở trường? Có những tình huống giáo viên nói với học sinh: “Em ngồi xuống ở đâu vậy?”
Bây giờ phương pháp này đang được quảng bá khắp nơi. Và đối với các chuyên gia, có những hướng dẫn liên quan đến phương pháp này và trong “Phiên bản hoàn chỉnh nhất của các tùy chọn tiêu chuẩn…” trong Giải pháp C3, phương pháp này được sử dụng.
PHƯƠNG PHÁP TUYỆT VỜI!
Trả lời. (0; 0,5)U.
Trả lời :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , sau đó chúng ta viết lại bất đẳng thức cuối cùng thành 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Giải pháp cho tập hợp này là các khoảng 0<у≤2 и 8≤у<+.
tức là tập hợp 
. Như vậy, bất đẳng thức ban đầu được thỏa mãn với mọi giá trị của x từ các khoảng 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Do đó, mọi x đều nằm trong khoảng 0
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.
Chuyển đổi bất đẳng thức logarit
x = 2/3.
x = 1.
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
ghi lại x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
(x + 1 ≤ 100,
(x > 3.
(x 2 + 2x – 8 ≤ 16, (x 2 + 2x – 24 ≤ 0.
