Ví dụ về cách tìm đạo hàm của hàm số phức. Giải đạo hàm cho người giả: định nghĩa, cách tìm, ví dụ về nghiệm. Đạo hàm của hàm cơ bản
Sau khi chuẩn bị pháo binh sơ bộ, các ví dụ có chức năng lồng nhau 3-4-5 sẽ bớt đáng sợ hơn. Hai ví dụ sau đây có vẻ phức tạp đối với một số người, nhưng nếu bạn hiểu chúng (ai đó sẽ đau khổ), thì hầu hết mọi thứ khác trong phép tính vi phân sẽ giống như một trò đùa của trẻ con.
Ví dụ 2
Tìm đạo hàm của một hàm số
Như đã lưu ý, khi tìm đạo hàm của một hàm phức, trước hết cần phải Phải HIỂU khoản đầu tư của bạn. Trong trường hợp có nghi ngờ, tôi nhắc bạn về một kỹ thuật hữu ích: ví dụ: chúng tôi lấy giá trị thử nghiệm của “x” và thử (trong đầu hoặc trong bản nháp) để thay thế giá trị này thành “biểu thức khủng khiếp”.
1) Đầu tiên chúng ta cần tính biểu thức, nghĩa là tổng là nhúng sâu nhất.
2) Sau đó, bạn cần tính logarit:
4) Sau đó lập phương cosin:
5) Ở bước thứ năm, sự khác biệt là:
6) Và cuối cùng, hàm ngoài cùng là căn bậc hai: 
Công thức đạo hàm hàm phức 
được áp dụng theo thứ tự ngược lại, từ chức năng ngoài cùng đến chức năng trong cùng. Chúng tôi quyết định:
Có vẻ như không có lỗi:
1) Lấy đạo hàm của căn bậc hai.
2) Lấy đạo hàm của hiệu bằng quy tắc 
3) Đạo hàm của bộ ba bằng 0. Trong thuật ngữ thứ hai, chúng ta lấy đạo hàm của độ (khối lập phương).
4) Lấy đạo hàm của cosin.
6) Và cuối cùng, chúng tôi lấy đạo hàm của mức nhúng sâu nhất.
Nó có vẻ quá khó khăn, nhưng đây không phải là ví dụ tàn bạo nhất. Lấy ví dụ, bộ sưu tập của Kuznetsov và bạn sẽ đánh giá cao tất cả vẻ đẹp và sự đơn giản của đạo hàm được phân tích. Tôi nhận thấy rằng họ thích đưa ra một điều tương tự trong một bài kiểm tra để kiểm tra xem học sinh có hiểu cách tìm đạo hàm của một hàm số phức hay không hiểu.
Ví dụ sau là để bạn tự giải quyết.
Ví dụ 3
Tìm đạo hàm của một hàm số
Gợi ý: Đầu tiên chúng ta áp dụng quy tắc tuyến tính và quy tắc phân biệt sản phẩm
Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.
Đã đến lúc chuyển sang thứ gì đó nhỏ hơn và đẹp hơn.
Không có gì lạ khi một ví dụ cho thấy sản phẩm không phải hai mà là ba chức năng. Làm thế nào để tìm đạo hàm của tích của ba thừa số?
Ví dụ 4
Tìm đạo hàm của một hàm số 
Đầu tiên chúng ta xem, có thể biến tích của ba hàm thành tích của hai hàm không? Ví dụ: nếu chúng ta có hai đa thức trong tích thì chúng ta có thể mở dấu ngoặc. Nhưng trong ví dụ đang xem xét, tất cả các hàm đều khác nhau: bậc, số mũ và logarit.
Trong những trường hợp như vậy cần thiết tuần tựáp dụng quy tắc phân biệt sản phẩm 
hai lần
Bí quyết là bằng “y” chúng ta biểu thị tích của hai hàm: , và với “ve” chúng ta biểu thị logarit: . Tại sao điều này có thể được thực hiện? Có thể được không 
- đây không phải là tích của hai yếu tố và quy luật không có tác dụng?! Không có gì phức tạp:
Bây giờ vẫn phải áp dụng quy tắc lần thứ hai để đóng khung:
Bạn cũng có thể vặn vẹo và đặt thứ gì đó ra khỏi ngoặc, nhưng trong trường hợp này, tốt hơn hết bạn nên để lại câu trả lời chính xác ở dạng này - sẽ dễ kiểm tra hơn.
Ví dụ đang xem xét có thể được giải theo cách thứ hai:
Cả hai giải pháp đều hoàn toàn tương đương.
Ví dụ 5
Tìm đạo hàm của một hàm số
Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập; trong mẫu, nó được giải quyết bằng phương pháp đầu tiên.
Hãy xem xét các ví dụ tương tự với phân số.
Ví dụ 6
Tìm đạo hàm của một hàm số 
Có một số cách bạn có thể vào đây:
Hoặc như thế này:
Nhưng lời giải sẽ được viết gọn hơn nếu trước tiên chúng ta sử dụng quy tắc lấy đạo hàm của thương 
, lấy toàn bộ tử số:
Về nguyên tắc, ví dụ đã được giải quyết và nếu nó được giữ nguyên thì sẽ không có lỗi. Nhưng nếu có thời gian, bạn nên kiểm tra bản nháp để xem câu trả lời có thể đơn giản hóa được không?
Hãy rút gọn biểu thức của tử số thành mẫu số chung và loại bỏ cấu trúc ba tầng của phân số:
Nhược điểm của việc đơn giản hóa bổ sung là có nguy cơ mắc sai lầm không phải khi tìm đạo hàm mà trong các phép biến đổi trường phái tầm thường. Mặt khác, giáo viên thường từ chối bài tập và yêu cầu “ghi nhớ” đạo hàm.
Một ví dụ đơn giản hơn để bạn tự giải quyết:
Ví dụ 7
Tìm đạo hàm của một hàm số
Chúng ta tiếp tục nắm vững các phương pháp tìm đạo hàm và bây giờ chúng ta sẽ xem xét một trường hợp điển hình khi đề xuất logarit “khủng” để lấy đạo hàm
Trong bài học này chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của hàm phức. Bài học là sự tiếp nối hợp lý của bài học Làm thế nào để tìm đạo hàm?, trong đó chúng ta đã xem xét các đạo hàm đơn giản nhất, đồng thời làm quen với các quy tắc vi phân và một số kỹ thuật tìm đạo hàm. Vì vậy, nếu bạn không giỏi về đạo hàm hoặc một số điểm trong bài viết này chưa rõ ràng thì trước tiên hãy đọc bài học trên. Xin hãy có tâm trạng nghiêm túc - tài liệu không hề đơn giản nhưng tôi vẫn sẽ cố gắng trình bày một cách đơn giản và rõ ràng.
Trong thực tế, bạn phải thường xuyên xử lý đạo hàm của một hàm phức, tôi thậm chí có thể nói, hầu như luôn luôn, khi bạn được giao nhiệm vụ tìm đạo hàm.
Chúng ta nhìn vào bảng theo quy tắc (số 5) để phân biệt một hàm phức:
Hãy tìm ra nó. Trước hết, chúng ta hãy chú ý đến mục nhập. Ở đây chúng ta có hai hàm - và , và hàm này, nói theo nghĩa bóng, được lồng trong hàm . Hàm thuộc loại này (khi một hàm được lồng trong một hàm khác) được gọi là hàm phức.
Tôi sẽ gọi hàm chức năng bên ngoài, và hàm – hàm nội bộ (hoặc lồng nhau).
! Những định nghĩa này không mang tính lý thuyết và không nên xuất hiện trong thiết kế cuối cùng của bài tập. Tôi chỉ sử dụng các cách diễn đạt không chính thức “chức năng bên ngoài”, chức năng “nội bộ” để giúp bạn hiểu tài liệu dễ dàng hơn.
Để làm rõ tình hình, hãy xem xét:
ví dụ 1
Tìm đạo hàm của một hàm số
Dưới sin, chúng ta không chỉ có chữ “X” mà còn có cả một biểu thức, vì vậy việc tìm đạo hàm ngay từ bảng sẽ không hiệu quả. Chúng ta cũng nhận thấy rằng không thể áp dụng bốn quy tắc đầu tiên ở đây, dường như có sự khác biệt, nhưng thực tế là sin không thể “xé thành từng mảnh”:
Trong ví dụ này, theo lời giải thích của tôi, bằng trực giác, rõ ràng rằng một hàm là một hàm phức và đa thức là một hàm bên trong (nhúng) và một hàm bên ngoài.
Bước đầu tiênĐiều bạn cần làm khi tìm đạo hàm của hàm phức là hiểu chức năng nào là bên trong và chức năng nào là bên ngoài.
Trong trường hợp các ví dụ đơn giản, có vẻ rõ ràng rằng một đa thức được nhúng dưới sin. Nhưng nếu mọi thứ không rõ ràng thì sao? Làm thế nào để xác định chính xác chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong? Để làm điều này, tôi khuyên bạn nên sử dụng kỹ thuật sau, kỹ thuật này có thể được thực hiện trong đầu hoặc bằng bản nháp.
Hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần tính giá trị của biểu thức trên máy tính (thay vì một số có thể có bất kỳ số nào).
Đầu tiên chúng ta sẽ tính gì? đầu tiên bạn sẽ cần thực hiện hành động sau: , do đó đa thức sẽ là một hàm nội tại: 
Thứ hai sẽ cần phải được tìm thấy, vì vậy sin – sẽ là một hàm ngoài: 
Ngay sau khi chúng ta BÁN HẾT Với các hàm bên trong và bên ngoài, đã đến lúc áp dụng quy tắc lấy vi phân của các hàm phức tạp.
Hãy bắt đầu quyết định. Từ lớp học Làm thế nào để tìm đạo hàm? chúng tôi nhớ rằng việc thiết kế một giải pháp cho bất kỳ đạo hàm nào luôn bắt đầu như thế này - chúng tôi đặt biểu thức trong ngoặc và đặt một nét ở trên cùng bên phải:
Lúc đầu Ta tìm đạo hàm của hàm ngoài (sine), nhìn vào bảng đạo hàm của các hàm cơ bản và nhận thấy rằng . Tất cả các công thức bảng cũng có thể áp dụng được nếu “x” được thay thế bằng một biểu thức phức tạp, trong trường hợp này:
Xin lưu ý rằng chức năng bên trong không thay đổi, chúng tôi không chạm vào nó.
Chà, điều đó khá rõ ràng
Kết quả cuối cùng của việc áp dụng công thức trông như thế này:
Hệ số không đổi thường được đặt ở đầu biểu thức:
Nếu có sự hiểu lầm, hãy viết lời giải ra giấy và đọc lại lời giải thích.
Ví dụ 2
Tìm đạo hàm của một hàm số
Ví dụ 3
Tìm đạo hàm của một hàm số
Như mọi khi, chúng tôi viết ra: 
Hãy cùng tìm hiểu xem chúng ta có chức năng bên ngoài ở đâu và nơi nào chúng ta có chức năng bên trong. Để làm điều này, chúng tôi cố gắng (trong đầu hoặc trong bản nháp) tính giá trị của biểu thức tại . Bạn nên làm gì đầu tiên? Trước hết, bạn cần tính cơ số bằng bao nhiêu: do đó, đa thức là hàm bên trong: 
Và chỉ khi đó phép lũy thừa mới được thực hiện, do đó, hàm lũy thừa là hàm ngoài: 
Theo công thức, trước tiên bạn cần tìm đạo hàm của hàm ngoài, trong trường hợp này là độ. Chúng ta tìm công thức cần tìm trong bảng: . Chúng tôi nhắc lại một lần nữa: bất kỳ công thức dạng bảng nào cũng hợp lệ không chỉ với “X” mà còn hợp lệ với biểu thức phức tạp. Như vậy, kết quả của việc áp dụng quy tắc đạo hàm hàm phức như sau:
Tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng khi chúng ta lấy đạo hàm của hàm ngoài thì hàm bên trong của chúng ta không thay đổi: 
Bây giờ tất cả những gì còn lại là tìm một đạo hàm rất đơn giản của hàm nội và điều chỉnh kết quả một chút:
Ví dụ 4
Tìm đạo hàm của một hàm số
Đây là ví dụ để các bạn tự giải (có đáp án ở cuối bài).
Để củng cố sự hiểu biết của các bạn về đạo hàm của một hàm phức, tôi sẽ đưa ra một ví dụ không cần nhận xét, các bạn thử tự tìm hiểu xem tại sao hàm bên ngoài và hàm bên trong nằm ở đâu, tại sao các nhiệm vụ lại được giải quyết theo cách này?
Ví dụ 5
a) Tìm đạo hàm của hàm số
b) Tìm đạo hàm của hàm số
Ví dụ 6
Tìm đạo hàm của một hàm số 
Ở đây chúng ta có một gốc, và để phân biệt được gốc thì nó phải được biểu diễn dưới dạng lũy thừa. Vì vậy, trước tiên chúng ta đưa hàm về dạng thích hợp để lấy vi phân:
Phân tích hàm số, chúng ta đi đến kết luận rằng tổng của ba số hạng là hàm bên trong, còn lũy thừa là hàm bên ngoài. Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt các hàm phức tạp:
Một lần nữa, chúng ta biểu diễn bậc dưới dạng căn (căn) và đối với đạo hàm của hàm nội, chúng ta áp dụng một quy tắc đơn giản để lấy đạo hàm tổng:
Sẵn sàng. Bạn cũng có thể rút gọn biểu thức thành mẫu số chung trong ngoặc và viết mọi thứ dưới dạng một phân số. Tất nhiên là đẹp nhưng khi gặp những đạo hàm dài dòng, rườm rà thì tốt nhất bạn không nên làm điều này (dễ nhầm lẫn, mắc sai lầm không đáng có và giáo viên sẽ bất tiện khi kiểm tra).
Ví dụ 7
Tìm đạo hàm của một hàm số
Đây là ví dụ để các bạn tự giải (có đáp án ở cuối bài).
Thật thú vị khi lưu ý rằng đôi khi thay vì quy tắc lấy đạo hàm một hàm số phức, bạn có thể sử dụng quy tắc lấy đạo hàm một thương số. 
, nhưng giải pháp như vậy sẽ giống như một trò đồi trụy buồn cười. Đây là một ví dụ điển hình:
Ví dụ 8
Tìm đạo hàm của một hàm số
Ở đây bạn có thể sử dụng quy tắc phân biệt thương số , nhưng sẽ có lợi hơn nhiều khi tìm đạo hàm thông qua quy tắc đạo hàm của hàm phức:
Chúng ta chuẩn bị hàm để phân biệt - chúng ta chuyển dấu trừ ra khỏi dấu đạo hàm và nâng cosin vào tử số:
Cosine là hàm bên trong, lũy thừa là hàm bên ngoài.
Hãy sử dụng quy tắc của chúng tôi:
Chúng ta tìm đạo hàm của hàm nội và đặt lại cosin:
Sẵn sàng. Trong ví dụ được xem xét, điều quan trọng là không bị nhầm lẫn giữa các dấu hiệu. Nhân tiện, hãy thử giải nó bằng cách sử dụng quy tắc , các câu trả lời phải trùng khớp.
Ví dụ 9
Tìm đạo hàm của một hàm số
Đây là ví dụ để các bạn tự giải (có đáp án ở cuối bài).
Cho đến nay chúng ta đã xem xét các trường hợp trong đó chúng ta chỉ có một lần lồng trong một hàm phức tạp. Trong các nhiệm vụ thực tế, bạn thường có thể tìm thấy các dẫn xuất, trong đó, giống như những con búp bê lồng nhau, cái này bên trong cái kia, 3 hoặc thậm chí 4-5 hàm được lồng cùng một lúc.
Ví dụ 10
Tìm đạo hàm của một hàm số
Hãy hiểu các tệp đính kèm của chức năng này. Hãy thử tính biểu thức bằng cách sử dụng giá trị thử nghiệm. Làm sao chúng ta có thể đếm được trên một chiếc máy tính?
Trước tiên, bạn cần tìm , có nghĩa là arcsine là phần nhúng sâu nhất:
Arcsine này của một sẽ được bình phương:
Và cuối cùng, chúng ta nâng số 7 lên lũy thừa: 
Nghĩa là, trong ví dụ này, chúng ta có ba hàm khác nhau và hai hàm nhúng, trong khi hàm trong cùng là arcsine và hàm ngoài cùng là hàm mũ.
Hãy bắt đầu quyết định
Theo quy tắc, trước tiên bạn cần lấy đạo hàm của hàm ngoài. Chúng ta nhìn vào bảng đạo hàm và tìm đạo hàm của hàm số mũ: Điểm khác biệt duy nhất là thay vì “x”, chúng ta có một biểu thức phức, không phủ nhận tính hợp lệ của công thức này. Vì vậy, kết quả của việc áp dụng quy tắc lấy đạo hàm của hàm phức như sau:
Dưới nét vẽ, chúng ta lại có một hàm phức tạp! Nhưng nó đã đơn giản hơn rồi. Dễ dàng xác minh rằng hàm bên trong là arcsine, hàm bên ngoài là bậc. Theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm số phức, trước tiên bạn cần lấy đạo hàm lũy thừa.
Rất dễ nhớ.
Chà, đừng đi xa, hãy xem xét ngay hàm nghịch đảo. Hàm số nào là nghịch đảo của hàm số mũ? Logarit:
Trong trường hợp của chúng tôi, cơ sở là số:
Một logarit như vậy (nghĩa là logarit có cơ số) được gọi là "tự nhiên" và chúng tôi sử dụng một ký hiệu đặc biệt cho nó: thay vào đó chúng tôi viết.
Nó bằng gì? Tất nhiên rồi, .
Đạo hàm logarit tự nhiên cũng rất đơn giản:
Ví dụ:
- Tìm đạo hàm của hàm số.
- Đạo hàm của hàm số là gì?
Câu trả lời: Logarit hàm mũ và logarit tự nhiên là các hàm đơn giản duy nhất xét theo góc độ đạo hàm. Các hàm số mũ và logarit với bất kỳ cơ số nào khác sẽ có đạo hàm khác nhau mà chúng ta sẽ phân tích sau, sau khi chúng ta đi qua các quy tắc lấy vi phân.
Quy luật phân biệt
Quy tắc của cái gì? Lại một thuật ngữ mới nữa phải không?!...
Sự khác biệt là quá trình tìm đạo hàm.
Đó là tất cả. Bạn có thể gọi quá trình này bằng một từ nào khác? Không phải đạo hàm... Các nhà toán học gọi vi phân là cùng một số gia của hàm số. Thuật ngữ này xuất phát từ tiếng Latin Differentia - sự khác biệt. Đây.
Khi rút ra tất cả các quy tắc này, chúng ta sẽ sử dụng hai hàm, ví dụ: và. Chúng ta cũng sẽ cần các công thức tính số gia của chúng:
Tổng cộng có 5 quy tắc.
Hằng số được lấy ra khỏi dấu đạo hàm.
Nếu - một số không đổi (hằng số), thì.
Rõ ràng, quy tắc này cũng có tác dụng đối với sự khác biệt: .
Hãy chứng minh điều đó. Hãy để nó như vậy, hoặc đơn giản hơn.
Ví dụ.
Tìm đạo hàm của hàm số:
- Tại một điểm;
- Tại một điểm;
- Tại một điểm;
- tại điểm.
Các giải pháp:
- (đạo hàm giống nhau ở mọi điểm, vì nó là hàm tuyến tính, nhớ không?);
Dẫn xuất của sản phẩm
Mọi thứ ở đây đều tương tự: hãy giới thiệu một hàm mới và tìm phần tăng của nó:
Phát sinh:
Ví dụ:
- Tìm đạo hàm của hàm số và;
- Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Các giải pháp:
Đạo hàm của hàm số mũ
Bây giờ kiến thức của bạn đã đủ để học cách tìm đạo hàm của bất kỳ hàm mũ nào chứ không chỉ số mũ (bạn đã quên đó là gì chưa?).
Vì vậy, một số số ở đâu.
Chúng ta đã biết đạo hàm của hàm số, vì vậy hãy thử đưa hàm số của chúng ta sang một cơ sở mới:
Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một quy tắc đơn giản: . Sau đó:
Vâng, nó đã hoạt động. Bây giờ hãy thử tìm đạo hàm và đừng quên rằng hàm số này rất phức tạp.
Đã xảy ra?
Ở đây, hãy tự kiểm tra:
Công thức hóa ra rất giống với đạo hàm của số mũ: nó vẫn giữ nguyên, chỉ xuất hiện một thừa số, chỉ là một số chứ không phải một biến.
Ví dụ:
Tìm đạo hàm của hàm số:
Câu trả lời:
Đây chỉ là một con số không thể tính được nếu không có máy tính, tức là nó không thể được viết ra dưới dạng đơn giản hơn. Vì vậy, chúng tôi để nó ở dạng này trong câu trả lời.
Lưu ý đây là thương của hai hàm số nên ta áp dụng quy tắc lấy vi phân tương ứng:
Trong ví dụ này, tích của hai hàm:
Đạo hàm của hàm logarit
Ở đây cũng tương tự: bạn đã biết đạo hàm của logarit tự nhiên:
Do đó, để tìm logarit tùy ý với cơ số khác, ví dụ:
Chúng ta cần giảm logarit này về cơ số. Làm thế nào để bạn thay đổi cơ số của logarit? Tôi hy vọng bạn nhớ công thức này:
Chỉ bây giờ chúng tôi sẽ viết thay thế:
Mẫu số chỉ đơn giản là một hằng số (một số không đổi, không có biến). Đạo hàm thu được rất đơn giản:
Đạo hàm của hàm số mũ và logarit hầu như không bao giờ được tìm thấy trong Kỳ thi Thống nhất, nhưng sẽ không thừa khi biết chúng.
Đạo hàm của hàm phức.
"hàm phức hợp" là gì? Không, đây không phải là logarit và cũng không phải là arctang. Các hàm này có thể khó hiểu (mặc dù nếu bạn thấy logarit khó, hãy đọc chủ đề “Logarit” và bạn sẽ ổn thôi), nhưng theo quan điểm toán học, từ “phức tạp” không có nghĩa là “khó”.
Hãy tưởng tượng một băng chuyền nhỏ: hai người đang ngồi và thực hiện một số hành động với một số đồ vật. Ví dụ, cái đầu tiên bọc một thanh sô cô la trong giấy gói và cái thứ hai buộc nó bằng một dải ruy băng. Kết quả là một vật thể tổng hợp: một thanh sô cô la được gói và buộc bằng một dải ruy băng. Để ăn một thanh sô cô la, bạn cần thực hiện các bước ngược lại theo thứ tự ngược lại.
Hãy tạo một quy trình toán học tương tự: đầu tiên chúng ta sẽ tìm cosin của một số, sau đó bình phương số kết quả. Vì vậy, chúng ta được cho một con số (sô cô la), tôi tìm cosin của nó (vỏ bọc), và sau đó bạn bình phương những gì tôi nhận được (buộc nó bằng một dải ruy băng). Chuyện gì đã xảy ra thế? Chức năng. Đây là ví dụ về hàm phức tạp: khi, để tìm giá trị của nó, chúng ta thực hiện hành động đầu tiên trực tiếp với biến và sau đó là hành động thứ hai với kết quả của hành động đầu tiên.
Nói cách khác, một hàm phức tạp là một hàm có đối số là một hàm khác: .
Ví dụ của chúng tôi, .
Chúng ta có thể dễ dàng thực hiện các bước tương tự theo thứ tự ngược lại: đầu tiên bạn bình phương nó, sau đó tôi tìm cosin của số kết quả: . Thật dễ dàng để đoán rằng kết quả sẽ hầu như luôn khác nhau. Một đặc điểm quan trọng của hàm phức tạp: khi thứ tự các hành động thay đổi thì hàm cũng thay đổi.
Ví dụ thứ hai: (điều tương tự). .
Hành động chúng ta thực hiện cuối cùng sẽ được gọi chức năng "bên ngoài" và hành động được thực hiện đầu tiên - tương ứng chức năng "nội bộ"(đây là những tên không chính thức, tôi chỉ sử dụng chúng để giải thích tài liệu bằng ngôn ngữ đơn giản).
Hãy cố gắng tự mình xác định chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong:
Câu trả lời: Việc tách các hàm bên trong và bên ngoài rất giống với việc thay đổi các biến: ví dụ: trong một hàm
- Hành động nào chúng ta sẽ thực hiện đầu tiên? Đầu tiên, hãy tính sin và chỉ sau đó lập phương cho nó. Điều này có nghĩa là nó là một chức năng bên trong, nhưng là một chức năng bên ngoài.
Và chức năng ban đầu là thành phần của chúng: . - Nội bộ: ; bên ngoài: .
Bài kiểm tra: . - Nội bộ: ; bên ngoài: .
Bài kiểm tra: . - Nội bộ: ; bên ngoài: .
Bài kiểm tra: . - Nội bộ: ; bên ngoài: .
Bài kiểm tra: .
Chúng tôi thay đổi các biến và nhận được một hàm.
Bây giờ chúng ta sẽ trích xuất thanh sô cô la của mình và tìm đạo hàm. Quy trình luôn đảo ngược: đầu tiên chúng ta tìm đạo hàm của hàm ngoài, sau đó chúng ta nhân kết quả với đạo hàm của hàm bên trong. Liên quan đến ví dụ ban đầu, nó trông như thế này:
Một vi dụ khac:
Vì vậy, cuối cùng chúng ta hãy xây dựng quy tắc chính thức:
Thuật toán tìm đạo hàm của hàm phức:
Nó có vẻ đơn giản, phải không?
Hãy kiểm tra với các ví dụ:
Các giải pháp:
1) Nội bộ: ;
Bên ngoài: ;
2) Nội bộ: ;
(Chỉ cần đừng cố cắt nó vào lúc này! Không có gì thoát ra từ dưới cosin, nhớ không?)
3) Nội bộ: ;
Bên ngoài: ;
Rõ ràng ngay rằng đây là một hàm phức tạp ba cấp: xét cho cùng, bản thân nó đã là một hàm phức tạp và chúng ta cũng trích xuất gốc từ nó, tức là chúng ta thực hiện hành động thứ ba (đặt sô cô la vào một cái bọc và với một dải ruy băng trong cặp). Nhưng không có lý do gì phải sợ: chúng ta vẫn sẽ “giải nén” hàm này theo thứ tự như thường lệ: từ cuối.
Nghĩa là, đầu tiên chúng ta phân biệt căn bậc hai, sau đó là cosin và chỉ sau đó là biểu thức trong ngoặc. Và sau đó chúng tôi nhân tất cả.
Trong những trường hợp như vậy, việc đánh số các hành động sẽ thuận tiện hơn. Đó là, hãy tưởng tượng những gì chúng ta biết. Chúng ta sẽ thực hiện các hành động theo thứ tự nào để tính giá trị của biểu thức này? Hãy xem một ví dụ:
Hành động được thực hiện càng muộn thì chức năng tương ứng sẽ càng “bên ngoài”. Trình tự các hành động vẫn giống như trước:
Ở đây việc lồng ghép thường có 4 cấp độ. Hãy xác định thứ tự hành động.
1. Biểu hiện cấp tiến. .
2. Gốc. .
3. Sin. .
4. Hình vuông. .
5. Kết hợp tất cả lại với nhau:
PHÁT SINH. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH
Đạo hàm của hàm- tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số đối với mức tăng vô hạn của đối số:
Các dẫn xuất cơ bản:
Quy luật phân biệt:
Hằng số được lấy ra khỏi dấu đạo hàm:
Đạo hàm của tổng:
Dẫn xuất của sản phẩm:
Đạo hàm của thương:
Đạo hàm của hàm phức:
Thuật toán tìm đạo hàm của hàm phức:
- Chúng ta định nghĩa hàm “nội bộ” và tìm đạo hàm của nó.
- Chúng ta định nghĩa hàm “bên ngoài” và tìm đạo hàm của nó.
- Chúng tôi nhân kết quả của điểm đầu tiên và điểm thứ hai.
Từ khi đến đây chắc hẳn các bạn đã nhìn thấy công thức này trong sách giáo khoa
và làm một khuôn mặt như thế này:
Bạn ơi, đừng lo lắng! Trong thực tế, mọi thứ chỉ đơn giản là thái quá. Bạn chắc chắn sẽ hiểu mọi thứ. Chỉ một yêu cầu - đọc bài viết chậm, cố gắng hiểu từng bước. Tôi đã viết đơn giản và rõ ràng nhất có thể nhưng bạn vẫn cần hiểu ý. Và hãy chắc chắn để giải quyết các nhiệm vụ từ bài viết.
Một chức năng phức tạp là gì?
Hãy tưởng tượng rằng bạn đang chuyển đến một căn hộ khác và do đó bạn đang đóng gói đồ đạc vào những chiếc hộp lớn. Giả sử bạn cần thu thập một số vật dụng nhỏ, chẳng hạn như tài liệu viết ở trường. Nếu bạn chỉ ném chúng vào một chiếc hộp lớn, chúng sẽ bị lạc giữa những thứ khác. Để tránh điều này, trước tiên, bạn hãy đặt chúng, chẳng hạn như vào một chiếc túi, sau đó bạn cho vào một chiếc hộp lớn, sau đó bạn niêm phong lại. Quá trình “phức tạp” này được trình bày trong sơ đồ dưới đây:
Có vẻ như toán học có liên quan gì đến nó? Có, mặc dù thực tế là một hàm phức tạp được hình thành theo cách CHÍNH XÁC CÙNG! Chỉ có điều chúng tôi “đóng gói” không phải sổ và bút mà là \(x\), trong khi “gói” và “hộp” là khác nhau.
Ví dụ: hãy lấy x và “đóng gói” nó thành một hàm:
Tất nhiên, kết quả là chúng ta nhận được \(\cosx\). Đây chính là “túi đựng đồ” của chúng tôi. Bây giờ chúng ta hãy đặt nó vào một “chiếc hộp” - chẳng hạn như đóng gói nó thành một hàm bậc ba.
Điều gì sẽ xảy ra cuối cùng? Vâng, đúng vậy, sẽ có một “túi đựng đồ trong hộp”, tức là “cosine X lập phương”.
Thiết kế kết quả là một chức năng phức tạp. Nó khác với cái đơn giản ở chỗ MỘT SỐ “tác động” (gói) được áp dụng cho một X liên tiếp và hóa ra là “chức năng từ chức năng” - “đóng gói trong bao bì”.
Trong khóa học ở trường có rất ít loại “gói” này, chỉ có bốn loại:
Bây giờ chúng ta hãy “đóng gói” X trước tiên thành một hàm số mũ với cơ số 7, sau đó thành hàm lượng giác. Chúng tôi nhận được:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
Bây giờ hãy “gói” x hai lần vào các hàm lượng giác, đầu tiên là vào và sau đó là:
\(x → sinx → cotg (sinx)\)
Đơn giản phải không?
Bây giờ hãy tự viết các hàm, trong đó x:
- đầu tiên nó được “đóng gói” thành một cosin, sau đó thành một hàm số mũ với cơ số \(3\);
- đầu tiên là lũy thừa thứ năm, sau đó là tiếp tuyến;
- đầu tiên là logarit cơ số \(4\)
, sau đó tới lũy thừa \(-2\).
Tìm câu trả lời cho nhiệm vụ này ở cuối bài viết.
Chúng ta có thể “đóng gói” X không phải hai mà là ba lần không? Không có gì! Và bốn, năm và hai mươi lăm lần. Ví dụ, đây là một hàm trong đó x được “đóng gói” \(4\) lần:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
Nhưng những công thức như vậy sẽ không được tìm thấy trong thực tế ở trường (học sinh may mắn hơn - công thức của họ có thể phức tạp hơn☺).
“Giải nén” một hàm phức tạp
Nhìn lại chức năng trước đó. Bạn có thể tìm ra trình tự “đóng gói” không? Cái gì X được nhét vào đầu tiên, cái gì sau đó, v.v. cho đến cuối cùng. Nghĩa là, hàm nào được lồng trong hàm nào? Hãy lấy một tờ giấy và viết ra những gì bạn nghĩ. Bạn có thể làm điều này với một chuỗi có mũi tên như chúng tôi đã viết ở trên hoặc theo bất kỳ cách nào khác.
Bây giờ câu trả lời đúng là: đầu tiên, x được “đóng gói” vào lũy thừa \(4\)th, sau đó kết quả được đóng gói thành sin, đến lượt nó, x được đặt vào logarit cơ số \(2\) , và cuối cùng toàn bộ công trình này đã bị nhét vào một đống quyền lực.
Nghĩa là, bạn cần phải rút lại trình tự THEO TRÌNH TỰ ĐẢO NGƯỢC. Và đây là gợi ý về cách thực hiện dễ dàng hơn: ngay lập tức nhìn vào chữ X – bạn nên nhảy từ đó. Hãy xem xét một vài ví dụ.
Ví dụ: đây là hàm sau: \(y=tg(\log_2x)\). Chúng ta nhìn vào X – điều gì xảy ra với nó trước tiên? Lấy từ anh ấy. Và sau đó? Tiếp tuyến của kết quả được thực hiện. Trình tự sẽ giống nhau:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Một ví dụ khác: \(y=\cos((x^3))\). Hãy phân tích - đầu tiên chúng ta lập phương X, sau đó lấy cosin của kết quả. Điều này có nghĩa là chuỗi sẽ là: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). Hãy chú ý, chức năng này có vẻ giống với chức năng đầu tiên (có hình ảnh). Nhưng đây là một hàm hoàn toàn khác: ở đây trong khối là x (nghĩa là \(\cos((x·x·x)))\), và trong khối có cosin \(x\) ( tức là \(\cos x·\cosx·\cosx\)). Sự khác biệt này phát sinh từ trình tự "đóng gói" khác nhau.
Ví dụ cuối cùng (có thông tin quan trọng trong đó): \(y=\sin((2x+5))\). Rõ ràng là ở đây trước tiên họ thực hiện các phép tính số học với x, sau đó lấy sin của kết quả: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). Và đây là một điểm quan trọng: mặc dù thực tế là bản thân các phép toán số học không phải là chức năng, nhưng ở đây chúng cũng đóng vai trò như một cách “đóng gói”. Chúng ta hãy đi sâu hơn một chút vào sự tinh tế này.
Như tôi đã nói ở trên, trong các hàm đơn giản x được “đóng gói” một lần và trong các hàm phức tạp - hai hoặc nhiều hơn. Hơn nữa, bất kỳ sự kết hợp nào của các hàm đơn giản (nghĩa là tổng, hiệu, nhân hoặc chia của chúng) cũng là một hàm đơn giản. Ví dụ: \(x^7\) là một hàm đơn giản và \(ctg x\) cũng vậy. Điều này có nghĩa là tất cả các kết hợp của chúng đều là các hàm đơn giản:
\(x^7+ ctg x\) - đơn giản,
\(x^7· cot x\) – đơn giản,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – đơn giản, v.v.
Tuy nhiên, nếu thêm một hàm nữa được áp dụng cho tổ hợp như vậy thì nó sẽ trở thành một hàm phức tạp vì sẽ có hai “gói”. Xem sơ đồ:
Được rồi, tiếp tục đi. Viết trình tự các hàm “gói”:
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Câu trả lời một lần nữa ở cuối bài viết.
Chức năng bên trong và bên ngoài
Tại sao chúng ta cần hiểu hàm lồng nhau? Điều này mang lại cho chúng ta điều gì? Thực tế là nếu không có sự phân tích như vậy, chúng ta sẽ không thể tìm ra đạo hàm của các hàm đã thảo luận ở trên một cách đáng tin cậy.
Và để tiếp tục, chúng ta sẽ cần thêm hai khái niệm nữa: chức năng bên trong và chức năng bên ngoài. Đây là một điều rất đơn giản, hơn nữa, trên thực tế, chúng ta đã phân tích chúng ở trên: nếu chúng ta nhớ lại sự tương tự của chúng ta ngay từ đầu, thì hàm bên trong là một “gói”, và hàm bên ngoài là một “hộp”. Những thứ kia. cái mà X được “bao bọc” trước tiên là một hàm bên trong, và cái mà hàm bên trong được “bọc” vào đã là hàm bên ngoài. Chà, rõ ràng là tại sao - cô ấy ở bên ngoài, có nghĩa là bên ngoài.
Trong ví dụ này: \(y=tg(log_2x)\), hàm \(\log_2x\) là hàm nội bộ và 
- bên ngoài.
Và trong này: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) là nội bộ và 
- bên ngoài.
Hoàn thành bài thực hành cuối cùng về phân tích các hàm phức và cuối cùng chúng ta hãy chuyển sang những gì chúng ta đã bắt đầu - chúng ta sẽ tìm đạo hàm của các hàm phức:
Điền vào chỗ trống trong bảng:
Đạo hàm của hàm phức
Hoan hô chúng ta, cuối cùng chúng ta cũng đã hiểu được “ông trùm” của chủ đề này - trên thực tế, đạo hàm của một hàm phức tạp, và cụ thể là của công thức rất khủng khiếp ở đầu bài viết.☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Công thức này đọc như thế này:
Đạo hàm của một hàm phức bằng tích của đạo hàm của hàm ngoài đối với một hàm trong không đổi và đạo hàm của hàm trong.
Và nhìn ngay vào sơ đồ phân tích cú pháp “từng chữ” để hiểu thế nào là:
Tôi hy vọng thuật ngữ “phái sinh” và “sản phẩm” không gây khó khăn gì. “Chức năng phức tạp” - chúng tôi đã sắp xếp nó rồi. Việc nắm bắt nằm ở “đạo hàm của hàm bên ngoài đối với hàm không đổi bên trong”. Nó là gì?
Trả lời: Đây là đạo hàm thông thường của hàm ngoài, trong đó chỉ có hàm ngoài thay đổi, còn hàm trong không đổi. Vẫn chưa rõ ràng? Được rồi, hãy sử dụng một ví dụ.
Chúng ta hãy có một hàm \(y=\sin(x^3)\). Rõ ràng là hàm bên trong ở đây là \(x^3\) và hàm bên ngoài 
. Bây giờ chúng ta hãy tìm đạo hàm của bên ngoài đối với hằng số bên trong.
Nếu như g(x) Và f(bạn) – hàm khả vi của các đối số tương ứng tại các điểm x Và bạn= g(x), thì hàm phức cũng khả vi tại điểm x và được tìm thấy bởi công thức
Một lỗi điển hình khi giải các bài toán đạo hàm là chuyển một cách máy móc các quy tắc lấy vi phân các hàm số đơn giản sang hàm số phức tạp. Hãy học cách tránh sai lầm này.
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của một hàm số
Giải pháp sai: tính logarit tự nhiên của mỗi số hạng trong ngoặc đơn và tìm tổng các đạo hàm:
Giải pháp đúng: một lần nữa chúng ta xác định đâu là “quả táo” và đâu là “thịt băm”. Ở đây logarit tự nhiên của biểu thức trong ngoặc đơn là một “quả táo”, tức là một hàm trên đối số trung gian bạn, và biểu thức trong ngoặc là “thịt băm”, tức là đối số trung gian bạn bởi biến độc lập x.
Khi đó (dùng công thức 14 từ bảng đạo hàm)
Trong nhiều bài toán thực tế, biểu thức bằng logarit có thể phức tạp hơn một chút, đó là lý do tại sao có một bài học
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của một hàm số
Giải pháp sai:
Giải pháp đúng. Một lần nữa chúng ta xác định đâu là “quả táo” và đâu là “thịt băm”. Ở đây, cosin của biểu thức trong ngoặc (công thức 7 trong bảng đạo hàm) là một quả táo, nó được chuẩn bị ở chế độ 1, chỉ ảnh hưởng đến nó và biểu thức trong ngoặc (đạo hàm của bậc là số 3 trong bảng dẫn xuất) là “thịt băm”, nó được chế biến ở chế độ 2, chỉ ảnh hưởng đến nó. Và như mọi khi, chúng ta kết nối hai đạo hàm với dấu tích. Kết quả:
Đạo hàm của hàm logarit phức là một nhiệm vụ thường xuyên trong các bài kiểm tra, vì vậy chúng tôi đặc biệt khuyên bạn nên tham dự bài học “Đạo hàm của hàm logarit”.
Các ví dụ đầu tiên là về các hàm phức tạp, trong đó đối số trung gian trên biến độc lập là một hàm đơn giản. Nhưng trong các nhiệm vụ thực tế, thường cần phải tìm đạo hàm của một hàm phức, trong đó đối số trung gian hoặc chính nó là một hàm phức hoặc chứa một hàm như vậy. Phải làm gì trong những trường hợp như vậy? Tìm đạo hàm của các hàm số đó bằng cách sử dụng bảng và quy tắc lấy vi phân. Khi đạo hàm của đối số trung gian được tìm thấy, nó chỉ cần được thay thế vào đúng vị trí trong công thức. Dưới đây là hai ví dụ về cách thực hiện việc này.
Ngoài ra, sẽ rất hữu ích khi biết những điều sau. Nếu một hàm phức có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi gồm ba hàm
thì đạo hàm của nó phải được tìm dưới dạng tích của các đạo hàm của từng hàm sau:
Nhiều bài tập về nhà có thể yêu cầu bạn mở hướng dẫn trong cửa sổ mới. Hành động có quyền hạn và nguồn gốc Và Các thao tác với phân số .
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của một hàm số
Chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm phức, không quên rằng trong tích của đạo hàm có một đối số trung gian đối với biến độc lập x không thay đổi:
Chúng tôi chuẩn bị yếu tố thứ hai của sản phẩm và áp dụng quy tắc phân biệt tổng:
Số hạng thứ hai là gốc, vì vậy
Vì vậy, chúng tôi thấy rằng đối số trung gian, là một tổng, chứa một hàm phức như một trong các thuật ngữ: nâng lũy thừa là một hàm phức, và cái đang được nâng lên lũy thừa là một đối số trung gian đối với hàm độc lập. Biến đổi x.
Do đó, chúng ta lại áp dụng quy tắc lấy đạo hàm của hàm phức:
Chúng ta biến bậc của thừa số thứ nhất thành nghiệm và khi lấy đạo hàm của thừa số thứ hai, đừng quên rằng đạo hàm của hằng số bằng 0:
Bây giờ chúng ta có thể tìm đạo hàm của đối số trung gian cần thiết để tính đạo hàm của hàm phức cần có trong câu lệnh bài toán y:
Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của một hàm số
Đầu tiên, chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm tổng:
Chúng ta thu được tổng đạo hàm của hai hàm phức. Hãy tìm cái đầu tiên:
Ở đây, việc nâng sin lên lũy thừa là một hàm phức tạp và bản thân sin là đối số trung gian cho biến độc lập x. Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phức trong quá trình lấy hệ số ra khỏi ngoặc :
Bây giờ chúng ta tìm số hạng thứ hai của đạo hàm của hàm y:
Ở đây việc nâng cosin lên lũy thừa là một hàm phức tạp f và bản thân cosin là một đối số trung gian trong biến độc lập x. Chúng ta hãy sử dụng lại quy tắc đạo hàm một hàm phức:
Kết quả là đạo hàm cần thiết:
Bảng đạo hàm của một số hàm phức
Đối với các hàm phức, dựa trên quy tắc đạo hàm của hàm phức, công thức đạo hàm của hàm đơn giản có dạng khác.
| 1. Đạo hàm của hàm lũy thừa phức, trong đó bạn x |  |
| 2. Đạo hàm của căn biểu thức | |
| 3. Đạo hàm của hàm số mũ |  |
| 4. Trường hợp đặc biệt của hàm mũ | |
| 5. Đạo hàm của hàm logarit với cơ số dương tùy ý MỘT |  |
| 6. Đạo hàm của hàm logarit phức, trong đó bạn– hàm khả vi của đối số x | |
| 7. Đạo hàm của sin |  |
| 8. Đạo hàm của cosin |  |
| 9. Đạo hàm của tiếp tuyến |  |
| 10. Đạo hàm của cotang |  |
| 11. Dẫn xuất của arcsine |  |
| 12. Đạo hàm của cung cosin |  |
| 13. Đạo hàm của arctang |  |
| 14. Đạo hàm của cotang cung |  |
