trang chủ > kính > Nghiên cứu đồ thị của hàm số. Các hàm cơ bản cơ bản: thuộc tính và đồ thị của chúng Tất cả các đồ thị và công thức của chúng


Nghiên cứu đồ thị của hàm số. Các hàm cơ bản cơ bản: thuộc tính và đồ thị của chúng Tất cả các đồ thị và công thức của chúng




Tài liệu giảng dạy này chỉ mang tính tham khảo và liên quan đến nhiều chủ đề. Bài viết cung cấp cái nhìn tổng quan về đồ thị của các hàm cơ bản cơ bản và xét vấn đề quan trọng nhất - cách xây dựng biểu đồ chính xác và NHANH CHÓNG. Trong quá trình học toán cao cấp nếu không có kiến ​​thức về đồ thị của các hàm cơ bản cơ bản sẽ gặp khó khăn nên việc nhớ đồ thị của parabol, hyperbol, sin, cos, v.v. trông như thế nào và ghi nhớ một số kiến ​​thức là rất quan trọng. về ý nghĩa của các chức năng. Chúng ta cũng sẽ nói về một số tính chất của các hàm chính.

Tôi không khẳng định tính đầy đủ và kỹ lưỡng về mặt khoa học của tài liệu; trước hết, sự nhấn mạnh sẽ được đặt vào thực hành - những thứ mà qua đó người ta gặp phải ở mọi bước, trong bất kỳ chủ đề nào của toán học cao cấp. Biểu đồ dành cho người giả? Người ta có thể nói như vậy.

Do có nhiều yêu cầu từ độc giả mục lục có thể nhấp vào:

Ngoài ra, còn có một bản tóm tắt cực ngắn về chủ đề này
– nắm vững 16 loại biểu đồ bằng cách nghiên cứu SÁU trang!

Nghiêm túc mà nói, sáu, ngay cả tôi cũng ngạc nhiên. Bản tóm tắt này chứa đồ họa được cải tiến và có sẵn với một khoản phí danh nghĩa; bạn có thể xem phiên bản demo. Thật thuận tiện khi in tập tin để luôn có sẵn đồ thị. Cảm ơn bạn đã ủng hộ dự án!

Và hãy bắt đầu ngay:

Làm thế nào để xây dựng trục tọa độ chính xác?

Trong thực tế, các bài kiểm tra hầu như luôn được học sinh hoàn thành vào các vở riêng, xếp thành hình vuông. Tại sao bạn cần đánh dấu ca rô? Xét cho cùng, về nguyên tắc, công việc có thể được thực hiện trên tờ A4. Và cái lồng chỉ cần thiết để thiết kế bản vẽ chất lượng cao và chính xác.

Mọi bản vẽ đồ thị hàm số đều bắt đầu bằng trục tọa độ.

Bản vẽ có thể là hai chiều hoặc ba chiều.

Trước tiên hãy xem xét trường hợp hai chiều Hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes:

1) Vẽ trục tọa độ. Trục được gọi là trục x , và trục là trục y . Chúng tôi luôn cố gắng vẽ chúng gọn gàng và không quanh co. Các mũi tên cũng không được giống bộ râu của Papa Carlo.

2) Chúng tôi ký tên các trục bằng chữ cái lớn “X” và “Y”. Đừng quên gắn nhãn cho các trục.

3) Đặt tỷ lệ dọc theo các trục: vẽ số 0 và hai số một. Khi vẽ, thang đo tiện lợi và thường xuyên sử dụng nhất là: 1 đơn vị = 2 ô (vẽ bên trái) - nếu có thể hãy bám sát vào đó. Tuy nhiên, thỉnh thoảng xảy ra trường hợp hình vẽ không vừa với trang vở - khi đó chúng ta giảm tỷ lệ: 1 đơn vị = 1 ô (hình vẽ bên phải). Điều này rất hiếm, nhưng điều đó xảy ra là tỷ lệ của bản vẽ phải giảm (hoặc tăng) hơn nữa

KHÔNG CẦN “súng máy”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Vì mặt phẳng tọa độ không phải là tượng đài của Descartes, và học sinh không phải là chim bồ câu. Chúng ta đặt số không Và hai đơn vị dọc theo trục. Thỉnh thoảng thay vìđơn vị, sẽ rất thuận tiện khi “đánh dấu” các giá trị khác, ví dụ: “hai” trên trục hoành độ và “ba” trên trục tọa độ - và hệ thống này (0, 2 và 3) cũng sẽ xác định duy nhất lưới tọa độ.

Tốt hơn là ước tính kích thước ước tính của bản vẽ TRƯỚC KHI xây dựng bản vẽ. Vì vậy, ví dụ, nếu nhiệm vụ yêu cầu vẽ một hình tam giác có các đỉnh , , , thì hoàn toàn rõ ràng rằng thang đo phổ biến 1 đơn vị = 2 ô sẽ không hoạt động. Tại sao? Hãy nhìn vào vấn đề - ở đây bạn sẽ phải đo chiều dài mười lăm centimet, và rõ ràng, hình vẽ sẽ không vừa (hoặc hầu như không vừa) trên một tờ vở. Vì vậy, chúng tôi chọn ngay tỷ lệ nhỏ hơn: 1 đơn vị = 1 ô.

Nhân tiện, về centimet và ô máy tính xách tay. Có đúng là 30 ô sổ có kích thước 15 cm? Để giải trí, hãy đo 15 cm vào sổ tay của bạn bằng thước kẻ. Ở Liên Xô, điều này có thể đúng... Thật thú vị khi lưu ý rằng nếu bạn đo cùng một centimet theo chiều ngang và chiều dọc, thì kết quả (trong các ô) sẽ khác! Nói đúng ra, máy tính xách tay hiện đại không có hình ca rô mà là hình chữ nhật. Điều này có vẻ vô nghĩa, nhưng việc vẽ một vòng tròn bằng la bàn chẳng hạn trong những tình huống như vậy là rất bất tiện. Thành thật mà nói, những lúc như vậy bạn bắt đầu nghĩ về sự đúng đắn của Đồng chí Stalin, người đã bị đưa vào trại vì tội hack vào sản xuất, chưa kể ngành công nghiệp ô tô trong nước, máy bay rơi hay nhà máy điện phát nổ.

Nói về chất lượng, hoặc một lời giới thiệu ngắn gọn về văn phòng phẩm. Ngày nay, hầu hết các máy tính xách tay được bán đều hoàn toàn là rác rưởi. Vì lý do chúng bị ướt, không chỉ do bút gel mà còn do bút bi! Họ tiết kiệm tiền trên giấy. Để hoàn thành các bài kiểm tra, tôi khuyên bạn nên sử dụng sổ ghi chép của Nhà máy giấy và bột giấy Arkhangelsk (18 tờ, hình vuông) hoặc “Pyaterochka”, mặc dù nó đắt hơn. Nên chọn bút gel, ngay cả loại bút gel rẻ nhất của Trung Quốc cũng tốt hơn nhiều so với bút bi làm lem hoặc rách giấy. Cây bút bi “cạnh tranh” duy nhất mà tôi có thể nhớ được là Erich Krause. Cô ấy viết rõ ràng, đẹp đẽ và nhất quán – dù là viết đầy nội dung hay gần như trống rỗng.

Ngoài ra: Tầm nhìn của hệ tọa độ hình chữ nhật qua con mắt hình học giải tích được đề cập trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở của vectơ, thông tin chi tiết về các khu tọa độ có thể được tìm thấy trong đoạn thứ hai của bài học Bất đẳng thức tuyến tính.

trường hợp 3D

Ở đây gần như giống nhau.

1) Vẽ trục tọa độ. Tiêu chuẩn: trục áp dụng – hướng lên trên, trục – hướng sang phải, trục – hướng xuống dưới sang trái nghiêm ngặtở một góc 45 độ.

2) Dán nhãn cho các trục.

3) Đặt tỷ lệ dọc theo các trục. Tỷ lệ dọc theo trục nhỏ hơn hai lần so với tỷ lệ dọc theo các trục khác. Cũng lưu ý rằng trong bản vẽ bên phải, tôi đã sử dụng một "vết khía" không chuẩn dọc theo trục (khả năng này đã được đề cập ở trên). Theo quan điểm của tôi, điều này chính xác hơn, nhanh hơn và thẩm mỹ hơn - không cần phải tìm phần giữa của tế bào dưới kính hiển vi và “điêu khắc” một đơn vị gần với gốc tọa độ.

Khi tạo bản vẽ 3D, một lần nữa, hãy ưu tiên tỷ lệ
1 đơn vị = 2 ô (hình bên trái).

Tất cả những quy tắc này để làm gì? Các quy tắc được thực hiện để bị phá vỡ. Đó là những gì tôi sẽ làm bây giờ. Thực tế là các bản vẽ tiếp theo của bài viết sẽ được tôi thực hiện bằng Excel và các trục tọa độ sẽ trông không chính xác theo quan điểm của thiết kế chính xác. Tôi có thể vẽ tất cả các biểu đồ bằng tay, nhưng thực sự rất đáng sợ khi vẽ chúng vì Excel không muốn vẽ chúng chính xác hơn nhiều.

Đồ thị và tính chất cơ bản của hàm cơ bản

Một hàm tuyến tính được cho bởi phương trình. Đồ thị của hàm tuyến tính là trực tiếp. Để dựng một đường thẳng, chỉ cần biết hai điểm là đủ.

ví dụ 1

Xây dựng đồ thị của hàm số. Hãy tìm hai điểm. Sẽ thuận lợi hơn nếu chọn số 0 làm một trong các điểm.

Nếu , thì

Hãy lấy một điểm khác, ví dụ: 1.

Nếu , thì

Khi hoàn thành nhiệm vụ, tọa độ các điểm thường được tóm tắt dưới dạng bảng:


Và bản thân các giá trị được tính bằng miệng hoặc trên bản nháp, máy tính.

Hai điểm đã được tìm thấy, hãy vẽ:


Khi chuẩn bị bản vẽ, chúng tôi luôn ký tên vào đồ họa.

Sẽ rất hữu ích khi nhớ lại các trường hợp đặc biệt của hàm tuyến tính:


Hãy chú ý cách tôi đặt chữ ký, chữ ký không được phép có sự khác biệt khi nghiên cứu bản vẽ. Trong trường hợp này, việc đặt chữ ký bên cạnh điểm giao nhau của các đường hoặc ở dưới cùng bên phải giữa các biểu đồ là điều cực kỳ không mong muốn.

1) Hàm tuyến tính có dạng () được gọi là tỉ lệ trực tiếp. Ví dụ, . Đồ thị tỉ lệ trực tiếp luôn đi qua gốc tọa độ. Do đó, việc xây dựng một đường thẳng được đơn giản hóa - chỉ cần tìm một điểm là đủ.

2) Phương trình có dạng xác định một đường thẳng song song với trục, cụ thể bản thân trục được cho bởi phương trình. Đồ thị của hàm số được dựng ngay lập tức mà không cần tìm điểm nào. Nghĩa là, mục này nên được hiểu như sau: “y luôn bằng –4, với mọi giá trị của x”.

3) Phương trình có dạng xác định một đường thẳng song song với trục, cụ thể bản thân trục được cho bởi phương trình. Đồ thị của hàm số cũng được vẽ ngay lập tức. Mục này nên được hiểu như sau: “x luôn luôn, với mọi giá trị của y, bằng 1.”

Có người sẽ hỏi, tại sao lại nhớ lớp 6?! Nó là như vậy, có thể là vậy, nhưng qua nhiều năm thực hành, tôi đã gặp hàng tá học sinh gặp khó khăn trước nhiệm vụ xây dựng một đồ thị như hoặc.

Xây dựng một đường thẳng là hành động phổ biến nhất khi thực hiện bản vẽ.

Đường thẳng được bàn chi tiết trong quá trình hình học giải tích, ai quan tâm có thể tham khảo bài viết Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng.

Đồ thị của hàm số bậc hai, bậc ba, đồ thị của đa thức

Parabol. Đồ thị của hàm số bậc hai () đại diện cho một parabol. Hãy xem xét trường hợp nổi tiếng:

Hãy nhắc lại một số tính chất của hàm.

Vì vậy, nghiệm của phương trình của chúng ta: – tại thời điểm này là đỉnh của parabol. Tại sao lại như vậy bạn có thể tìm thấy trong bài viết lý thuyết về đạo hàm và bài học về cực trị của hàm số. Trong lúc chờ đợi, hãy tính giá trị “Y” tương ứng:

Vậy đỉnh đó là điểm

Bây giờ chúng ta tìm những điểm khác, trong khi sử dụng tính đối xứng của parabol một cách táo bạo. Cần lưu ý rằng chức năng – thậm chí còn không, nhưng tuy nhiên, không ai hủy bỏ tính đối xứng của parabol.

Để tìm ra số điểm còn lại, tôi nghĩ xem bảng cuối cùng sẽ rõ:

Thuật toán xây dựng này có thể được gọi theo nghĩa bóng là nguyên lý “con thoi” hoặc “qua lại” với Anfisa Chekhova.

Hãy thực hiện bản vẽ:


Từ các biểu đồ được kiểm tra, tôi nghĩ đến một tính năng hữu ích khác:

Đối với hàm bậc hai () điều sau đây là đúng:

Nếu , thì các nhánh của parabol hướng lên trên.

Nếu , thì các nhánh của parabol hướng xuống dưới.

Kiến thức chuyên sâu về đường cong có thể thu được trong bài Hyperbola và parabola.

Một parabol bậc ba được cho bởi hàm. Đây là một bức vẽ quen thuộc ở trường:


Hãy liệt kê các tính chất chính của hàm

Đồ thị của hàm số

Nó đại diện cho một trong các nhánh của parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:


Các thuộc tính chính của hàm:

Trong trường hợp này, trục là tiệm cận đứng cho đồ thị của một hyperbol tại .

Sẽ là một sai lầm TỔNG THỂ nếu khi vẽ một bản vẽ, bạn bất cẩn để đồ thị giao nhau với một đường tiệm cận.

Giới hạn một phía cũng cho chúng ta biết rằng hyperbol không bị giới hạn từ trên Và không giới hạn từ bên dưới.

Hãy xem xét hàm số ở vô cực: , tức là nếu chúng ta bắt đầu di chuyển dọc theo trục sang trái (hoặc phải) đến vô cùng, thì các “trò chơi” sẽ theo một bước có trật tự vô cùng gần gũi tiến tới 0, và theo đó, các nhánh của hyperbol vô cùng gần gũi tiếp cận trục.

Vậy trục là tiệm cận ngang đối với đồ thị của hàm số, nếu “x” có xu hướng cộng hoặc trừ vô cùng.

Chức năng là số lẻ, và do đó, hyperbol đối xứng qua gốc tọa độ. Thực tế này là hiển nhiên từ bản vẽ, ngoài ra, nó có thể dễ dàng được xác minh bằng phương pháp phân tích: .

Đồ thị hàm số có dạng () biểu diễn hai nhánh của hyperbol.

Nếu , thì hyperbol nằm ở phần tư tọa độ thứ nhất và thứ ba(xem hình trên).

Nếu , thì hyperbol nằm ở phần tư tọa độ thứ hai và thứ tư.

Mô hình cư trú hyperbol được chỉ định rất dễ phân tích từ quan điểm biến đổi hình học của đồ thị.

Ví dụ 3

Xây dựng nhánh phải của hyperbol

Chúng tôi sử dụng phương pháp xây dựng theo điểm và sẽ thuận lợi hơn khi chọn các giá trị sao cho chúng có thể chia hết cho tổng thể:

Hãy thực hiện bản vẽ:


Sẽ không khó để xây dựng nhánh trái của hyperbol; tính kỳ lạ của hàm sẽ giúp ích ở đây. Nói một cách đại khái, trong bảng xây dựng theo điểm, chúng ta nhẩm cộng dấu trừ cho mỗi số, đặt các điểm tương ứng và vẽ nhánh thứ hai.

Thông tin hình học chi tiết về đường thẳng đang xét có thể được tìm thấy trong bài viết Hyperbola và parabola.

Đồ thị của hàm số mũ

Trong phần này, tôi sẽ xem xét ngay hàm mũ, vì trong các bài toán cao cấp, trong 95% trường hợp, hàm mũ xuất hiện.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng đây là một số vô tỷ: , điều này sẽ được yêu cầu khi xây dựng một biểu đồ, trên thực tế, tôi sẽ xây dựng mà không cần nghi lễ. Ba điểm có lẽ là đủ:

Bây giờ chúng ta hãy để lại đồ thị của hàm số và nói thêm về nó sau.

Các thuộc tính chính của hàm:

Đồ thị hàm số, v.v., về cơ bản trông giống nhau.

Tôi phải nói rằng trường hợp thứ hai ít xảy ra hơn trong thực tế, nhưng nó vẫn xảy ra nên tôi thấy cần phải đưa nó vào bài viết này.

Đồ thị của hàm logarit

Xét một hàm có logarit tự nhiên.
Hãy vẽ từng điểm một:

Nếu bạn quên logarit là gì, vui lòng tham khảo sách giáo khoa ở trường của bạn.

Các thuộc tính chính của hàm:

Lãnh địa:

Phạm vi giá trị: .

Chức năng không bị giới hạn ở trên: , tuy chậm nhưng nhánh của logarit lại tiến đến vô cùng.
Chúng ta hãy xem xét hành vi của hàm gần 0 ở bên phải: . Vậy trục là tiệm cận đứng cho đồ thị của hàm số “x” có xu hướng tiến về 0 tính từ bên phải.

Bắt buộc phải biết và nhớ giá trị điển hình của logarit: .

Về nguyên tắc, đồ thị của logarit cơ số trông giống nhau: , , (logarit thập phân cơ số 10), v.v. Hơn nữa, đáy càng lớn thì đồ thị sẽ càng phẳng.

Chúng ta sẽ không xem xét trường hợp này; tôi không nhớ lần cuối cùng tôi xây dựng một biểu đồ với cơ sở như vậy là khi nào. Và logarit dường như là vị khách rất hiếm hoi trong các bài toán cao cấp.

Ở cuối đoạn này tôi sẽ nói thêm một sự thật nữa: Hàm số mũ và hàm logarit- đây là hai hàm nghịch đảo lẫn nhau. Nếu bạn nhìn kỹ vào biểu đồ logarit, bạn có thể thấy rằng đây là cùng một số mũ, nó chỉ nằm ở vị trí hơi khác một chút.

Đồ thị hàm số lượng giác

Sự đau khổ lượng giác bắt đầu từ đâu ở trường? Phải. Từ sin

Hãy vẽ đồ thị hàm số

Dòng này được gọi là hình sin.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng “pi” là một số vô tỷ: , và trong lượng giác, nó làm bạn lóa mắt.

Các thuộc tính chính của hàm:

Chức năng này là định kỳ với thời kỳ . Nó có nghĩa là gì? Chúng ta hãy nhìn vào phân khúc. Ở bên trái và bên phải của nó, cùng một phần của biểu đồ được lặp lại không ngừng.

Lãnh địa: , nghĩa là, với bất kỳ giá trị nào của “x” đều có giá trị sin.

Phạm vi giá trị: . Chức năng là giới hạn: , tức là tất cả các “trò chơi” đều nằm trong phân khúc này .
Điều này không xảy ra: hay chính xác hơn là nó xảy ra, nhưng những phương trình này không có nghiệm.

Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ hình chữ nhật trên mặt phẳng và vẽ các giá trị của đối số trên trục abscissa X, và trên tọa độ - các giá trị của hàm y = f(x).

Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm có hoành độ thuộc miền định nghĩa của hàm và tọa độ bằng các giá trị tương ứng của hàm.

Nói cách khác, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm thuộc mặt phẳng, tọa độ X, Tại thỏa mãn mối quan hệ y = f(x).



Trong bộ lễ phục. 45 và 46 thể hiện đồ thị hàm số y = 2x + 1 Và y = x 2 - 2x.

Nói một cách chính xác, người ta nên phân biệt giữa đồ thị của một hàm số (định nghĩa toán học chính xác của nó đã được đưa ra ở trên) và một đường cong được vẽ, luôn chỉ đưa ra một bản phác thảo chính xác ít nhiều của đồ thị (và thậm chí sau đó, như một quy luật, không phải toàn bộ đồ thị mà chỉ phần của nó nằm ở phần cuối cùng của mặt phẳng). Tuy nhiên, trong phần tiếp theo, chúng ta thường sẽ nói “đồ thị” thay vì “bản phác thảo đồ thị”.

Bằng cách sử dụng đồ thị, bạn có thể tìm thấy giá trị của hàm số tại một điểm. Cụ thể là nếu điểm x = một thuộc miền định nghĩa của hàm y = f(x), sau đó tìm số f(a)(tức là các giá trị hàm tại điểm x = một) Bạn nên làm điều này. Nó là cần thiết thông qua điểm abscissa x = một vẽ đường thẳng song song với trục hoành; đường này sẽ cắt đồ thị của hàm số y = f(x) tại một điểm; tọa độ của điểm này, theo định nghĩa của đồ thị, sẽ bằng f(a)(Hình 47).



Ví dụ, đối với hàm f(x) = x 2 - 2x sử dụng đồ thị (Hình 46) chúng ta tìm được f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, v.v.

Biểu đồ hàm minh họa rõ ràng hành vi và thuộc tính của hàm. Ví dụ, từ việc xem xét Hình. 46 rõ ràng là chức năng y = x 2 - 2x nhận giá trị dương khi X< 0 và tại x > 2, âm - tại 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x chấp nhận tại x = 1.

Để vẽ đồ thị một hàm số f(x) bạn cần tìm tất cả các điểm của mặt phẳng, tọa độ X,Tại thỏa mãn phương trình y = f(x). Trong hầu hết các trường hợp, điều này là không thể thực hiện được vì có vô số điểm như vậy. Do đó, đồ thị của hàm được mô tả gần đúng - với độ chính xác cao hơn hoặc thấp hơn. Đơn giản nhất là phương pháp vẽ đồ thị bằng nhiều điểm. Nó bao gồm trong thực tế là lập luận Xđưa ra một số lượng giá trị hữu hạn - giả sử x 1, x 2, x 3,..., x k và tạo một bảng bao gồm các giá trị hàm đã chọn.

Bảng trông như thế này:



Sau khi biên soạn một bảng như vậy, chúng ta có thể phác thảo một số điểm trên biểu đồ của hàm y = f(x). Sau đó, nối các điểm này bằng một đường thẳng, chúng ta sẽ có được cái nhìn gần đúng về đồ thị của hàm số y = f(x).

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng phương pháp vẽ đồ thị đa điểm rất không đáng tin cậy. Trong thực tế, hành vi của đồ thị giữa các điểm dự định và hành vi của nó bên ngoài đoạn giữa các điểm cực trị đã lấy vẫn chưa được biết.

ví dụ 1. Để vẽ đồ thị một hàm số y = f(x) ai đó đã biên soạn một bảng các giá trị đối số và hàm:

Năm điểm tương ứng được thể hiện trong hình. 48.



Dựa vào vị trí của các điểm này, ông kết luận rằng đồ thị của hàm số là một đường thẳng (như hình 48 có nét chấm). Kết luận này có thể được coi là đáng tin cậy? Trừ khi có những cân nhắc bổ sung để hỗ trợ cho kết luận này, nếu không nó khó có thể được coi là đáng tin cậy. đáng tin cậy.

Để chứng minh tuyên bố của chúng tôi, hãy xem xét chức năng

.

Tính toán cho thấy các giá trị của hàm này tại các điểm -2, -1, 0, 1, 2 được mô tả chính xác theo bảng trên. Tuy nhiên, đồ thị của hàm số này hoàn toàn không phải là một đường thẳng (như trong Hình 49). Một ví dụ khác là hàm y = x + l + sinπx;ý nghĩa của nó cũng được mô tả trong bảng trên.

Những ví dụ này cho thấy rằng ở dạng “thuần túy” của nó, phương pháp vẽ đồ thị sử dụng nhiều điểm là không đáng tin cậy. Do đó, để vẽ đồ thị của một hàm số nhất định, người ta thường tiến hành như sau. Đầu tiên, chúng ta nghiên cứu các tính chất của hàm này, nhờ đó chúng ta có thể xây dựng một bản phác thảo của biểu đồ. Sau đó, bằng cách tính các giá trị của hàm tại một số điểm (sự lựa chọn phụ thuộc vào các thuộc tính đã thiết lập của hàm), các điểm tương ứng của biểu đồ sẽ được tìm thấy. Và cuối cùng, một đường cong được vẽ thông qua các điểm đã xây dựng bằng cách sử dụng các thuộc tính của hàm này.

Chúng ta sẽ xem xét một số thuộc tính (đơn giản nhất và được sử dụng thường xuyên nhất) của các hàm được sử dụng để tìm bản phác thảo đồ thị sau, nhưng bây giờ chúng ta sẽ xem xét một số phương pháp thường được sử dụng để xây dựng đồ thị.


Đồ thị của hàm số y = |f(x)|.

Thường cần vẽ đồ thị hàm số y = |f(x)|, ở đâu f(x) - chức năng quy định. Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn làm thế nào điều này được thực hiện. Bằng cách xác định giá trị tuyệt đối của một số, chúng ta có thể viết

Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm y =|f(x)| có thể thu được từ đồ thị, hàm y = f(x) như sau: tất cả các điểm trên đồ thị của hàm số y = f(x), có tọa độ không âm, nên được giữ nguyên; hơn nữa, thay vì các điểm của đồ thị hàm số y = f(x) có tọa độ âm nên dựng các điểm tương ứng trên đồ thị của hàm số y = -f(x)(tức là một phần của đồ thị của hàm
y = f(x), nằm dưới trục X, nên được phản xạ đối xứng qua trục X).



Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số y = |x|.

Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = x(Hình 50, a) và một phần của biểu đồ này tại X< 0 (nằm dưới trục X) phản xạ đối xứng với trục X. Kết quả ta thu được đồ thị của hàm y = |x|(Hình 50, b).

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị hàm số y = |x 2 - 2x|.


Đầu tiên hãy vẽ đồ thị hàm số y = x 2 - 2x.Đồ thị của hàm số này là một parabol, các nhánh hướng lên trên, đỉnh của parabol có tọa độ (1; -1), đồ thị của nó cắt trục x tại các điểm 0 và 2. Trong khoảng (0; 2) hàm nhận các giá trị âm, do đó phần này của biểu đồ được phản ánh đối xứng so với trục hoành. Hình 51 thể hiện đồ thị của hàm số y = |x 2 -2x|, dựa vào đồ thị của hàm số y = x 2 - 2x

Đồ thị của hàm số y = f(x) + g(x)

Xét bài toán xây dựng đồ thị của hàm số y = f(x) + g(x). nếu đồ thị hàm số được đưa ra y = f(x) Và y = g(x).

Lưu ý rằng miền định nghĩa của hàm y = |f(x) + g(x)| là tập hợp tất cả các giá trị của x mà cả hai hàm y = f(x) và y = g(x) đều được xác định, tức là miền định nghĩa này là giao của các miền định nghĩa, hàm f(x) và g(x).

Hãy để điểm (x 0 , y 1) Và (x 0, y 2) lần lượt thuộc đồ thị hàm số y = f(x) Và y = g(x), tức là y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Khi đó điểm (x0;. y1 + y2) thuộc đồ thị của hàm số y = f(x) + g(x)(vì f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. và bất kỳ điểm nào trên đồ thị của hàm y = f(x) + g(x) có thể có được bằng cách này. Do đó, đồ thị của hàm y = f(x) + g(x) có thể thu được từ đồ thị hàm y = f(x). Và y = g(x) thay thế từng điểm ( xn, y 1) đồ họa chức năng y = f(x) dấu chấm (xn, y 1 + y 2),Ở đâu y 2 = g(x n), tức là bằng cách dịch chuyển từng điểm ( xn, y 1) đồ thị hàm số y = f(x) dọc theo trục Tại theo số lượng y 1 = g(x n). Trong trường hợp này, chỉ những điểm như vậy mới được xem xét X n mà cả hai chức năng được xác định y = f(x) Và y = g(x).

Phương pháp vẽ đồ thị hàm số này y = f(x) + g(x) được gọi là phép cộng đồ thị hàm số y = f(x) Và y = g(x)

Ví dụ 4. Trong hình vẽ đồ thị của hàm số được xây dựng bằng phương pháp cộng đồ thị
y = x + sinx.

Khi vẽ đồ thị hàm số y = x + sinx chúng tôi đã nghĩ rằng f(x) = x, MỘT g(x) = sinx.Để vẽ đồ thị hàm số, ta chọn các điểm có hoành độ -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Hãy tính toán tại các điểm đã chọn và đặt kết quả vào bảng.



Kiến thức các hàm cơ bản cơ bản, tính chất và đồ thị của chúng không kém phần quan trọng so với việc biết bảng cửu chương. Chúng giống như nền tảng, mọi thứ đều dựa trên chúng, mọi thứ đều được xây dựng từ chúng và mọi thứ đều do chúng tạo ra.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ liệt kê tất cả các hàm cơ bản chính, cung cấp biểu đồ của chúng và đưa ra mà không cần kết luận hay chứng minh tính chất của các hàm cơ bản cơ bản theo sơ đồ:

  • hành vi của hàm số tại các ranh giới của miền định nghĩa, tiệm cận đứng (nếu cần, xem phần phân loại bài viết về điểm gián đoạn của hàm số);
  • chẵn và lẻ;
  • các khoảng lồi (lồi hướng lên) và độ lõm (lồi hướng xuống), các điểm uốn (nếu cần, xem bài viết độ lồi của hàm số, hướng lồi, điểm uốn, điều kiện lồi và uốn);
  • tiệm cận xiên và ngang;
  • điểm số ít của chức năng;
  • tính chất đặc biệt của một số hàm (ví dụ: chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm lượng giác).

Nếu bạn quan tâm hoặc có thể vào các phần lý thuyết này.

Các hàm cơ bản cơ bản là: hàm hằng (hằng số), căn bậc n, hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác và hàm lượng giác nghịch đảo.

Điều hướng trang.

Chức năng vĩnh viễn.

Một hàm hằng được xác định trên tập hợp tất cả các số thực theo công thức , trong đó C là một số thực. Hàm hằng liên kết từng giá trị thực của biến độc lập x với cùng giá trị của biến phụ thuộc y - giá trị C. Hàm hằng còn được gọi là hằng số.

Đồ thị của hàm số là đường thẳng song song với trục x và đi qua điểm có tọa độ (0,C). Ví dụ: hãy hiển thị đồ thị của các hàm không đổi y=5, y=-2 và trong hình bên dưới tương ứng với các đường màu đen, đỏ và xanh lam.

Tính chất của hàm hằng.

  • Miền: toàn bộ tập hợp số thực.
  • Hàm hằng số là số chẵn.
  • Phạm vi giá trị: một tập hợp bao gồm số ít C.
  • Hàm hằng là không tăng và không giảm (đó là lý do tại sao nó không đổi).
  • Thật vô nghĩa khi nói về độ lồi và độ lõm của một hằng số.
  • Không có tiệm cận.
  • Hàm đi qua điểm (0,C) của mặt phẳng tọa độ.

gốc thứ n.

Hãy xem xét hàm cơ bản cơ bản, được tính theo công thức , trong đó n là số tự nhiên lớn hơn một.

Căn bậc n, n là số chẵn.

Hãy bắt đầu với hàm căn bậc n cho các giá trị chẵn của số mũ căn n.

Ví dụ: đây là hình ảnh có hình ảnh của đồ thị hàm số và , chúng tương ứng với các đường màu đen, đỏ và xanh.


Đồ thị của hàm nghiệm bậc chẵn có hình thức tương tự đối với các giá trị khác của số mũ.

Tính chất của hàm căn bậc n với n chẵn.

Căn bậc n, n là số lẻ.

Hàm căn bậc n với số mũ căn lẻ n được xác định trên toàn bộ tập hợp số thực. Ví dụ: đây là đồ thị hàm số và , chúng tương ứng với các đường cong màu đen, đỏ và xanh.


Đối với các giá trị lẻ khác của số mũ gốc, đồ thị hàm số sẽ có hình thức tương tự.

Thuộc tính của hàm căn bậc n cho n lẻ.

Chức năng điện.

Hàm công suất được cho bởi công thức có dạng .

Chúng ta hãy xem xét dạng đồ thị của hàm lũy thừa và các tính chất của hàm lũy thừa tùy thuộc vào giá trị của số mũ.

Hãy bắt đầu với hàm lũy thừa với số mũ nguyên a. Trong trường hợp này, sự xuất hiện của đồ thị hàm lũy thừa và tính chất của hàm số phụ thuộc vào số chẵn hoặc số lẻ của số mũ, cũng như dấu của nó. Do đó, trước tiên chúng ta sẽ xem xét các hàm lũy thừa cho các giá trị dương lẻ của số mũ a, sau đó cho số mũ dương chẵn, sau đó cho số mũ âm lẻ và cuối cùng, cho a âm chẵn.

Các tính chất của hàm lũy thừa với số mũ phân số và số mũ vô tỷ (cũng như loại đồ thị của các hàm lũy thừa đó) phụ thuộc vào giá trị của số mũ a. Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét chúng đối với a từ 0 đến một, thứ hai, đối với số lớn hơn một, thứ ba, đối với a từ âm một đến 0, thứ tư, đối với số nhỏ hơn âm một.

Ở cuối phần này, để hoàn thiện, chúng tôi sẽ mô tả hàm lũy thừa có số mũ bằng 0.

Hàm lũy thừa với số mũ dương lẻ.

Xét hàm lũy thừa có số mũ dương lẻ, tức là với a = 1,3,5,....

Hình bên dưới hiển thị đồ thị của các hàm công suất – đường màu đen, – đường màu xanh lam, – đường màu đỏ, – đường màu xanh lá cây. Với a=1 ta có hàm tuyến tính y=x.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ dương lẻ.

Hàm lũy thừa với số mũ dương chẵn.

Chúng ta hãy xem xét một hàm lũy thừa với số mũ dương chẵn, nghĩa là với a = 2,4,6,...

Ví dụ: chúng tôi đưa ra đồ thị của hàm lũy thừa – đường màu đen, – đường màu xanh, – đường màu đỏ. Với a=2 chúng ta có hàm bậc hai, đồ thị của nó là parabol bậc hai.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ dương chẵn.

Hàm lũy thừa với số mũ âm lẻ.

Nhìn vào đồ thị hàm lũy thừa để biết giá trị âm lẻ của số mũ, tức là với a = -1, -3, -5,....

Hình vẽ hiển thị đồ thị của các hàm công suất làm ví dụ - đường màu đen, - đường màu xanh lam, - đường màu đỏ, - đường màu xanh lá cây. Với a=-1 ta có tỷ lệ nghịch đảo, đồ thị của nó là hypebol.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ âm lẻ.

Hàm lũy thừa với số mũ âm chẵn.

Hãy chuyển sang hàm lũy thừa của a=-2,-4,-6,….

Hình vẽ hiển thị đồ thị của các hàm công suất – đường màu đen, – đường màu xanh, – đường màu đỏ.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ âm chẵn.

Hàm lũy thừa có số mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ có giá trị lớn hơn 0 và nhỏ hơn một.

Ghi chú! Nếu a là một phân số dương có mẫu số lẻ thì một số tác giả coi phạm vi định nghĩa của hàm lũy thừa là khoảng. Người ta quy định rằng số mũ a là một phân số tối giản. Hiện nay, tác giả của nhiều sách giáo khoa về đại số và nguyên lý giải tích KHÔNG ĐỊNH NGHĨA hàm lũy thừa với số mũ ở dạng phân số có mẫu số lẻ cho các giá trị âm của đối số. Chúng tôi sẽ tuân thủ chính xác quan điểm này, nghĩa là, chúng tôi sẽ coi tập hợp là các miền định nghĩa của hàm lũy thừa với số mũ dương phân số. Chúng tôi khuyến nghị học sinh nên tìm hiểu ý kiến ​​của giáo viên về điểm tế nhị này để tránh xảy ra bất đồng.

Chúng ta hãy xem xét một hàm lũy thừa với số mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ a, và .

Chúng ta hãy trình bày đồ thị hàm lũy thừa của a=11/12 (đường màu đen), a=5/7 (đường màu đỏ), (đường màu xanh), a=2/5 (đường màu xanh lá cây).

Hàm lũy thừa có số mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ không nguyên lớn hơn một.

Chúng ta hãy xem xét một hàm lũy thừa với số mũ hữu tỷ hoặc vô tỷ không nguyên a, và .

Hãy vẽ đồ thị hàm số lũy thừa theo công thức (lần lượt là các đường màu đen, đỏ, xanh lam và xanh lục).

>

Đối với các giá trị khác của số mũ a, đồ thị của hàm sẽ có hình thức tương tự.

Tính chất của hàm công suất tại .

Hàm lũy thừa có số mũ thực lớn hơn âm một và nhỏ hơn 0.

Ghi chú! Nếu a là một phân số âm có mẫu số lẻ thì một số tác giả coi phạm vi định nghĩa của hàm lũy thừa là khoảng . Người ta quy định rằng số mũ a là một phân số tối giản. Hiện nay, tác giả của nhiều sách giáo khoa về đại số và nguyên lý giải tích KHÔNG ĐỊNH NGHĨA hàm lũy thừa với số mũ ở dạng phân số có mẫu số lẻ cho các giá trị âm của đối số. Chúng tôi sẽ tuân thủ chính xác quan điểm này, nghĩa là, chúng tôi sẽ coi các miền định nghĩa của hàm lũy thừa với số mũ âm phân số tương ứng là một tập hợp. Chúng tôi khuyến nghị học sinh nên tìm hiểu ý kiến ​​của giáo viên về điểm tế nhị này để tránh xảy ra bất đồng.

Hãy chuyển sang chức năng nguồn, kgod.

Để hình dung rõ dạng đồ thị hàm lũy thừa của , ta đưa ra ví dụ về đồ thị hàm số (tương ứng là các đường cong màu đen, đỏ, xanh lam và xanh lục).

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ a, .

Hàm lũy thừa có số mũ thực không nguyên nhỏ hơn âm một.

Hãy cho ví dụ về đồ thị hàm số lũy thừa của , chúng được mô tả lần lượt bằng các đường màu đen, đỏ, xanh lam và xanh lục.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ âm không nguyên nhỏ hơn âm một.

Khi a = 0, chúng ta có một hàm - đây là một đường thẳng trong đó điểm (0;1) bị loại trừ (người ta đã đồng ý không gán bất kỳ ý nghĩa nào cho biểu thức 0 0).

Hàm số mũ.

Một trong những hàm cơ bản chính là hàm mũ.

Đồ thị của hàm số mũ, trong đó và có các dạng khác nhau tùy thuộc vào giá trị của cơ số a. Hãy tìm hiểu điều này.

Đầu tiên, hãy xem xét trường hợp cơ số của hàm số mũ nhận một giá trị từ 0 đến một, nghĩa là .

Ví dụ: chúng tôi trình bày đồ thị của hàm số mũ cho a = 1/2 – đường màu xanh, a = 5/6 – đường màu đỏ. Đồ thị của hàm số mũ có hình thức tương tự đối với các giá trị cơ số khác trong khoảng.

Tính chất của hàm mũ có cơ số nhỏ hơn một.

Chúng ta hãy chuyển sang trường hợp khi cơ số của hàm số mũ lớn hơn một, nghĩa là .

Để minh họa, chúng tôi trình bày đồ thị của hàm số mũ - đường màu xanh và - đường màu đỏ. Đối với các giá trị cơ số khác lớn hơn một, đồ thị của hàm số mũ sẽ có hình thức tương tự.

Tính chất của hàm mũ có cơ số lớn hơn một.

Hàm logarit.

Hàm cơ bản cơ bản tiếp theo là hàm logarit, trong đó , . Hàm logarit chỉ được xác định cho các giá trị dương của đối số, nghĩa là đối với .

Đồ thị của hàm logarit có các dạng khác nhau tùy thuộc vào giá trị của cơ số a.

Hãy bắt đầu với trường hợp khi .

Ví dụ: chúng tôi trình bày đồ thị của hàm logarit cho a = 1/2 – đường màu xanh, a = 5/6 – đường màu đỏ. Đối với các giá trị cơ số khác không vượt quá một, đồ thị của hàm logarit sẽ có hình thức tương tự.

Tính chất của hàm logarit có cơ số nhỏ hơn một.

Hãy chuyển sang trường hợp cơ số của hàm logarit lớn hơn một ().

Hãy hiển thị đồ thị của hàm logarit - đường màu xanh, - đường màu đỏ. Đối với các giá trị cơ số khác lớn hơn một, đồ thị của hàm logarit sẽ có hình thức tương tự.

Tính chất của hàm logarit có cơ số lớn hơn một.

Hàm lượng giác, tính chất và đồ thị của chúng.

Tất cả các hàm lượng giác (sin, cos, tiếp tuyến và cotang) đều thuộc về các hàm cơ bản cơ bản. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét biểu đồ của chúng và liệt kê các thuộc tính của chúng.

Hàm số lượng giác có khái niệm Tính thường xuyên(sự lặp lại của các giá trị hàm cho các giá trị đối số khác nhau khác nhau theo dấu chấm , trong đó T là chu kỳ), do đó, một mục đã được thêm vào danh sách tính chất của hàm lượng giác "thời kỳ tích cực nhỏ nhất". Ngoài ra, đối với mỗi hàm lượng giác, chúng ta sẽ chỉ ra các giá trị của đối số tại đó hàm tương ứng biến mất.

Bây giờ chúng ta hãy giải quyết tất cả các hàm lượng giác theo thứ tự.

Hàm sin y = sin(x) .

Chúng ta hãy vẽ đồ thị của hàm sin, nó được gọi là “sóng hình sin”.


Tính chất của hàm sin y = sinx.

Hàm cosin y = cos(x) .

Đồ thị của hàm cosine (được gọi là "cosine") trông như thế này:


Tính chất của hàm cosin y = cosx.

Hàm tang y = tan(x) .

Đồ thị của hàm tiếp tuyến (được gọi là "tangentsoid") trông như thế này:

Tính chất của hàm tiếp tuyến y = tanx.

Hàm côtang y = ctg(x) .

Chúng ta hãy vẽ đồ thị của hàm cotang (nó được gọi là “cotangentoid”):

Tính chất của hàm cotang y = ctgx.

Hàm lượng giác nghịch đảo, tính chất và đồ thị của chúng.

Các hàm lượng giác nghịch đảo (arc sin, arc cosin, arc tang và arc cotang) là các hàm cơ bản cơ bản. Thông thường, do tiền tố "cung", các hàm lượng giác nghịch đảo được gọi là hàm cung. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét biểu đồ của chúng và liệt kê các thuộc tính của chúng.

Hàm arcsin y = arcsin(x) .

Hãy vẽ hàm arcsine:

Tính chất của hàm arccotang y = arcctg(x) .

Thư mục.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. và những môn khác. Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. cơ sở giáo dục nói chung.
  • Vygodsky M.Ya. Sổ tay Toán tiểu học.
  • Novoselov S.I. Đại số và các hàm cơ bản.
  • Tumanov S.I. Đại số sơ cấp. Hướng dẫn tự học.

Độ dài đoạn trên trục tọa độ được xác định theo công thức:

Độ dài của một đoạn trên mặt phẳng tọa độ được tìm thấy bằng công thức:

Để tìm độ dài của một đoạn trong hệ tọa độ ba chiều, hãy sử dụng công thức sau:

Tọa độ của phần giữa của đoạn (đối với trục tọa độ chỉ sử dụng công thức đầu tiên, đối với mặt phẳng tọa độ - hai công thức đầu tiên, đối với hệ tọa độ ba chiều - cả ba công thức) được tính bằng các công thức:

Chức năng– đây là sự tương ứng của hình thức y= f(x) giữa các đại lượng thay đổi, do đó mỗi giá trị được xem xét của một số đại lượng biến đổi x(đối số hoặc biến độc lập) tương ứng với một giá trị nhất định của biến khác, y(biến phụ thuộc, đôi khi giá trị này được gọi đơn giản là giá trị của hàm). Lưu ý rằng hàm giả định rằng một giá trị đối số X chỉ có một giá trị của biến phụ thuộc có thể tương ứng Tại. Tuy nhiên, cùng một giá trị Tại có thể thu được bằng cách khác nhau X.

Miền chức năng– đây là tất cả các giá trị của biến độc lập (đối số hàm, thường là giá trị này X), trong đó hàm được xác định, tức là ý nghĩa của nó tồn tại. Khu vực xác định được chỉ định D(y). Nhìn chung, bạn đã quen thuộc với khái niệm này. Miền định nghĩa của hàm còn được gọi là miền giá trị cho phép, hay VA, mà bạn đã có thể tìm thấy từ lâu.

Phạm vi chức năng là tất cả các giá trị có thể có của biến phụ thuộc của một hàm nhất định. được chỉ định E(Tại).

Chức năng tăng trên khoảng trong đó giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm. Chức năng đang giảm dần trên khoảng trong đó giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm.

Các khoảng dấu hằng số của hàm số- đây là các khoảng của biến độc lập mà trong đó biến phụ thuộc giữ nguyên dấu dương hoặc âm.

Số không của hàm– đây là các giá trị của đối số mà tại đó giá trị của hàm bằng 0. Tại các điểm này, đồ thị hàm số cắt trục hoành (trục OX). Rất thường xuyên, nhu cầu tìm các số 0 của hàm có nghĩa là cần phải giải phương trình một cách đơn giản. Ngoài ra, thường thì nhu cầu tìm các khoảng không đổi của dấu có nghĩa là cần phải giải bất đẳng thức một cách đơn giản.

Chức năng y = f(x) được gọi là thậm chí X

Điều này có nghĩa là đối với bất kỳ giá trị đối diện nào của đối số, các giá trị của hàm chẵn đều bằng nhau. Đồ thị của hàm chẵn luôn đối xứng với trục tọa độ của op-amp.

Chức năng y = f(x) được gọi là số lẻ, nếu nó được xác định trên một tập đối xứng và với mọi X từ miền định nghĩa, đẳng thức giữ:

Điều này có nghĩa là đối với bất kỳ giá trị đối diện nào của đối số, các giá trị của hàm lẻ cũng ngược lại. Đồ thị của hàm số lẻ luôn đối xứng qua gốc tọa độ.

Tổng các nghiệm của hàm chẵn và hàm lẻ (điểm giao nhau của trục x OX) luôn bằng 0, bởi vì với mọi nghiệm dương X có gốc âm - X.

Điều quan trọng cần lưu ý: một số hàm không nhất thiết phải là số chẵn hoặc số lẻ. Có nhiều hàm số không chẵn cũng không lẻ. Những chức năng như vậy được gọi là chức năng chung, và đối với chúng không có đẳng thức hoặc tính chất nào nêu trên được thỏa mãn.

Hàm tuyến tính là một hàm có thể được cho bởi công thức:

Đồ thị của hàm tuyến tính là một đường thẳng và trong trường hợp tổng quát trông như thế này (một ví dụ được đưa ra cho trường hợp khi k> 0, trong trường hợp này hàm số tăng; nhân dịp này k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Đồ thị hàm số bậc hai (Parabola)

Đồ thị của parabol được cho bởi hàm bậc hai:

Một hàm bậc hai, giống như bất kỳ hàm nào khác, cắt trục OX tại các điểm là gốc của nó: ( x 1 ; 0) và ( x 2 ; 0). Nếu không có nghiệm thì hàm bậc hai không cắt trục OX; nếu chỉ có một nghiệm thì tại điểm này ( x 0 ; 0) hàm bậc hai chỉ chạm vào trục OX chứ không cắt nó. Hàm số bậc hai luôn cắt trục OY tại điểm có tọa độ: (0; c). Đồ thị của hàm bậc hai (parabol) có thể trông như thế này (hình vẽ hiển thị các ví dụ không sử dụng hết tất cả các loại parabol có thể có):

Trong đó:

  • nếu hệ số Một> 0, đang hoạt động y = cây rìu 2 + bx + c, khi đó các nhánh của parabol hướng lên trên;
  • nếu như Một < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Tọa độ đỉnh của parabol có thể được tính bằng các công thức sau. X ngọn (P- trong các hình trên) parabol (hoặc điểm mà tam thức bậc hai đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất):

ngọn Igrek (q- trong các hình trên) parabol hoặc cực đại nếu các nhánh của parabol hướng xuống dưới ( Một < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (Một> 0), giá trị của tam thức bậc hai:

Đồ thị của các hàm khác

Chức năng nguồn

Dưới đây là một số ví dụ về đồ thị của hàm lũy thừa:

Tỉ lệ nghịch là một hàm được cho bởi công thức:

Dựa vào dấu của số kĐồ thị phụ thuộc tỷ lệ nghịch có thể có hai tùy chọn cơ bản:

tiệm cận là một đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiến tới gần vô cùng nhưng không cắt nhau. Các tiệm cận của đồ thị tỷ lệ nghịch đảo thể hiện trong hình trên là các trục tọa độ mà đồ thị của hàm tiến đến gần vô cùng nhưng không cắt chúng.

hàm số mũ với cơ sở MỘT là một hàm được cho bởi công thức:

MộtĐồ thị của hàm số mũ có thể có hai tùy chọn cơ bản (chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ, xem bên dưới):

hàm logarit là một hàm được cho bởi công thức:

Tùy thuộc vào số lớn hơn hay nhỏ hơn một MộtĐồ thị của hàm logarit có thể có hai tùy chọn cơ bản:

Đồ thị của hàm số y = |x| như sau:

Đồ thị hàm số tuần hoàn (lượng giác)

Chức năng Tại = f(x) được gọi là định kỳ, nếu có một số khác 0 như vậy T, Cái gì f(x + T) = f(x), cho bât ki ai X từ miền của hàm f(x). Nếu chức năng f(x) là tuần hoàn với chu kỳ T, thì hàm:

Ở đâu: MỘT, k, b là các số không đổi và k không bằng 0, cũng tuần hoàn với chu kỳ T 1, được xác định theo công thức:

Hầu hết các ví dụ về hàm tuần hoàn là hàm lượng giác. Chúng tôi trình bày đồ thị của các hàm lượng giác chính. Hình dưới đây cho thấy một phần của đồ thị của hàm y= tội lỗi x(toàn bộ đồ thị tiếp tục vô tận sang trái và phải), đồ thị của hàm số y= tội lỗi x gọi điện hình sin:

Đồ thị của hàm số y= cos x gọi điện cô sin. Biểu đồ này được thể hiện trong hình dưới đây. Vì đồ thị sin tiếp tục vô tận dọc theo trục OX ở bên trái và bên phải:

Đồ thị của hàm số y= tg x gọi điện tiếp tuyến. Biểu đồ này được thể hiện trong hình dưới đây. Giống như đồ thị của các hàm tuần hoàn khác, đồ thị này lặp lại vô tận dọc theo trục OX sang trái và phải.

Và cuối cùng là đồ thị của hàm y=ctg x gọi điện cotangoid. Biểu đồ này được thể hiện trong hình dưới đây. Giống như đồ thị của các hàm tuần hoàn và lượng giác khác, đồ thị này lặp lại vô tận dọc theo trục OX sang trái và phải.

  • Mặt sau
  • Phía trước

Làm thế nào để chuẩn bị thành công cho CT vật lý và toán học?

Để chuẩn bị thành công cho CT môn vật lý và toán học, cùng những thứ khác, cần phải đáp ứng ba điều kiện quan trọng nhất:

  1. Nghiên cứu tất cả các chủ đề và hoàn thành tất cả các bài kiểm tra và bài tập được đưa ra trong các tài liệu giáo dục trên trang web này. Để làm được điều này, bạn không cần gì cả, cụ thể là: dành ba đến bốn giờ mỗi ngày để chuẩn bị cho CT vật lý và toán học, nghiên cứu lý thuyết và giải các bài toán. Thực tế là CT là một kỳ thi mà chỉ biết vật lý hoặc toán học là chưa đủ, bạn còn cần phải có khả năng giải quyết nhanh chóng và không sai sót một số lượng lớn các vấn đề về các chủ đề khác nhau và có độ phức tạp khác nhau. Cái sau chỉ có thể học được bằng cách giải quyết hàng ngàn vấn đề.
  2. Tìm hiểu tất cả các công thức và định luật trong vật lý cũng như các công thức và phương pháp trong toán học. Trên thực tế, việc này cũng rất đơn giản để thực hiện; chỉ có khoảng 200 công thức cần thiết trong vật lý, và thậm chí còn ít hơn một chút trong toán học. Trong mỗi môn học này, có khoảng chục phương pháp tiêu chuẩn để giải các bài toán ở mức độ phức tạp cơ bản, cũng có thể học được và do đó, hoàn toàn tự động và không gặp khó khăn khi giải hầu hết các CT vào đúng thời điểm. Sau này, bạn sẽ chỉ phải nghĩ đến những nhiệm vụ khó khăn nhất.
  3. Tham dự cả ba giai đoạn kiểm tra diễn tập môn vật lý và toán học. Mỗi RT có thể được truy cập hai lần để quyết định cả hai lựa chọn. Một lần nữa, trên CT, ngoài khả năng giải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả cũng như kiến ​​​​thức về công thức và phương pháp, bạn còn phải có khả năng lập kế hoạch hợp lý về thời gian, phân bổ lực lượng và quan trọng nhất là điền chính xác vào phiếu trả lời, không cần nhầm lẫn giữa số câu trả lời và bài toán, hoặc họ của chính bạn. Ngoài ra, trong RT, điều quan trọng là phải làm quen với phong cách đặt câu hỏi trong các vấn đề, điều này có vẻ rất bất thường đối với một người chưa chuẩn bị ở DT.

Việc thực hiện thành công, siêng năng và có trách nhiệm ba điểm này, cũng như nghiên cứu có trách nhiệm các bài kiểm tra đào tạo cuối cùng, sẽ cho phép bạn thể hiện kết quả xuất sắc tại CT, ở mức tối đa những gì bạn có thể làm được.

Tìm thấy một sai lầm?

Nếu bạn cho rằng mình đã tìm thấy lỗi trong tài liệu đào tạo, vui lòng viết về lỗi đó qua email (). Trong thư, hãy cho biết chủ đề (vật lý hoặc toán học), tên hoặc số của chủ đề hoặc bài kiểm tra, số của bài tập hoặc vị trí trong văn bản (trang) mà theo ý kiến ​​​​của bạn, có sai sót. Đồng thời mô tả lỗi nghi ngờ là gì. Thư của bạn sẽ không bị chú ý, lỗi sẽ được sửa hoặc bạn sẽ được giải thích tại sao đó không phải là lỗi.

Xây dựng chức năng

Chúng tôi cung cấp cho bạn dịch vụ xây dựng đồ thị hàm số trực tuyến, tất cả các quyền thuộc về công ty Desmos. Sử dụng cột bên trái để nhập chức năng. Bạn có thể nhập thủ công hoặc sử dụng bàn phím ảo ở cuối cửa sổ. Để phóng to cửa sổ có biểu đồ, bạn có thể ẩn cả cột bên trái và bàn phím ảo.

Lợi ích của biểu đồ trực tuyến

  • Hiển thị trực quan các chức năng đã nhập
  • Xây dựng đồ thị rất phức tạp
  • Xây dựng các đồ thị được chỉ định ngầm định (ví dụ: hình elip x^2/9+y^2/16=1)
  • Khả năng lưu biểu đồ và nhận liên kết tới chúng, liên kết này sẽ có sẵn cho mọi người trên Internet
  • Kiểm soát tỷ lệ và màu đường
  • Khả năng vẽ đồ thị theo điểm, sử dụng hằng số
  • Vẽ đồng thời nhiều đồ thị hàm số
  • Vẽ đồ thị theo tọa độ cực (sử dụng r và θ(\theta))

Với chúng tôi, thật dễ dàng để xây dựng các biểu đồ trực tuyến có độ phức tạp khác nhau. Việc xây dựng được thực hiện ngay lập tức. Dịch vụ này đang có nhu cầu tìm các điểm giao nhau của các hàm, để mô tả các biểu đồ để tiếp tục chuyển chúng thành tài liệu Word dưới dạng minh họa khi giải quyết vấn đề, để phân tích các đặc điểm hành vi của biểu đồ hàm. Trình duyệt tối ưu để làm việc với biểu đồ trên trang web này là Google Chrome. Hoạt động chính xác không được đảm bảo khi sử dụng các trình duyệt khác.