Головна > скління > Рівняння площини через визначник матриці. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої


Рівняння площини через визначник матриці. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої




Рівняння площини. Як скласти рівняння площини?
Взаємне розташуванняплощин. завдання

Просторова геометрія не набагато складніше «плоскою» геометрії, і наші польоти в просторі починаються з даної статті. Для засвоєння теми необхідно добре розібратися в векторах, Крім того, бажано бути знайомим з геометрією площині - буде багато схожого, багато аналогій, тому інформація перетравиться значно краще. У серії моїх уроків 2D-світ відкривається статтею Рівняння прямої на площині. Але зараз Бетмен зійшов з плоского екрану телевізора і стартує з космодрому Байконур.

Почнемо з креслень і позначень. Схематично площину можна намалювати у вигляді паралелограма, що створює враження простору:

Площина нескінченна, але у нас є можливість зобразити лише її шматочок. На практиці крім паралелограма також прорисовують овал або навіть хмарка. Мені з технічних причин зручніше зображати площину саме так і саме в такому положенні. Реальні площині, які ми розглянемо в практичних прикладах, Можуть розташовуватися як завгодно - подумки візьміть креслення в руки і покрутіть його в просторі, надавши площині будь-який нахил, будь-який кут.

позначення: Площині прийнято позначати маленькими грецькими буквами, мабуть, щоб не плутати їх з прямий на площиніабо з прямої в просторі. Я звик використовувати букву. На кресленні саме буква «сигма», а зовсім не дірочка. Хоча, дірява площину, це, безумовно, дуже забавно.

У ряді випадків для позначення площин зручно використовувати ті ж грецькі літериз нижніми підрядковими індексами, наприклад,.

Очевидно, що площина однозначно визначається трьома різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трьохбуквені позначення площин - за належними їм точкам, наприклад, і т.д. Нерідко букви беруть у круглі дужки: , Щоб не переплутати площину з іншого геометричною фігурою.

Для досвідчених читачів наведу меню швидкого доступу:

  • Як скласти рівняння площини по точці і двох векторах?
  • Як скласти рівняння площини по точці і вектору нормалі?

і ми не будемо нудитися довгими очікуваннями:

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд, де коефіцієнти одночасно не рівні нулю.

Ряд теоретичних викладок і практичних завдань справедливі як для звичного ортонормированного базису, так і для афінного базису простору (якщо масло - масляне, поверніться до уроку Лінійна (не) залежність векторів. базис векторів). Для простоти будемо вважати, що всі події відбуваються в ортонормированном базисі і декартовій прямокутній системі координат.

А тепер трохи потренуємо просторову уяву. Нічого страшного, якщо у вас воно погане, зараз трохи розвинемо. Навіть для гри на нервах потрібні тренування.

У найзагальнішому випадку, коли числа не рівні нулю, площина перетинає всі три координатні осі. Наприклад, так:

Ще раз повторю, що площину нескінченно триває на всі боки, і у нас є можливість зобразити тільки її частину.

Розглянемо найпростіші рівняння площин:

Як розуміти дане рівняння? Вдумайтеся: «зет» ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях «ікс» і «ігрек» дорівнює нулю. Це рівняння «рідний» координатної площини. Дійсно, формально рівняння можна переписати так: , Звідки добре видно, що нам по барабану, які значення приймають «ікс» і «ігрек», важливо, що «зет» дорівнює нулю.

аналогічно:
- рівняння координатної площини;
- рівняння координатної площини.

Трохи ускладнити завдання, розглянемо площину (тут і далі в параграфі припускаємо, що числові коефіцієнти не рівні нулю). Перепишемо рівняння у вигляді:. Як його розуміти? «Ікс» ЗАВЖДИ, при будь-яких значеннях «ігрек» та «зет» дорівнює деякому числу. Ця площина паралельна координатній площині. Наприклад, площина паралельна площині і проходить через точку.

аналогічно:
- рівняння площини, яка паралельна координатній площині;
- рівняння площини, яка паралельна координатній площині.

Додамо членів:. Рівняння можна переписати так:, тобто «зет» може бути будь-яким. Що це означає? «Ікс» і «ігрек» пов'язані співвідношенням, яке прокреслює в площині деяку пряму (впізнаєте рівняння прямої на площині?). Оскільки «зет» може бути будь-яким, то ця пряма «тиражується» на будь-якій висоті. Таким чином, рівняння визначає площину, паралельну координатної осі

аналогічно:
- рівняння площини, яка паралельна координатної осі;
- рівняння площини, яка паралельна координатної осі.

Якщо вільні члени нульові, то площини будуть безпосередньо проходити через відповідні осі. Наприклад, класична «пряма пропорційність»:. Накресліть в площині пряму і подумки розмножте її вгору і вниз (так як «зет» any). Висновок: площину, задана рівнянням, проходить через координатну вісь.

Завершуємо огляд: рівняння площини проходить через початок координат. Ну, тут абсолютно очевидно, що точка задовольняє даному рівнянню.

І, нарешті, випадок, який зображений на кресленні: - площину дружить з усіма координатними осями, при цьому вона завжди «відсікає» трикутник, який може розташовуватися в будь-якому з восьми октантів.

Лінійні нерівності в просторі

Для розуміння інформації необхідно добре вивчити лінійні нерівності на площині, Оскільки багато речей буду схожі. Параграф носитиме короткий оглядовий характер з декількома прикладами, так як матеріал на практиці зустрічається досить рідко.

Якщо рівняння задає площину, то нерівності
задають півпростору. Якщо нерівність Нечитка (два останніх у списку), то в рішення нерівності крім полупространства входить і сама площина.

приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площини .

Рішення: Єдиний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Позначимо цей вектор через. Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні:

Спочатку з рівняння площині знімемо вектор нормалі:.

Як знайти одиничний вектор? Для того щоб знайти одиничний вектор, потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора.

Перепишемо вектор нормалі в вигляді і знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

відповідь:

Перевірка:, що і було потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку, напевно, помітили, що координати одиничного вектора - це в точності напрямні косинуси вектора:

Відвернемося від розібраної завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, І за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (див. Останні завдання уроку Скалярний добуток векторів), То ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному. Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає в деяких задачах математичного аналізу.

З Вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежний питання:

Як скласти рівняння площини по точці і вектору нормалі?

Цю жорстку конструкцію вектора нормалі і точки добре знає мету для гри в дартс. Будь ласка, витягніть руку вперед і подумки виберіть довільну точку простору, наприклад, маленьку кішечку в серванті. Очевидно, що через дану точкуможна провести єдину площину, перпендикулярну вашій руці.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору, виражається формулою:

Нехай потрібно знайти рівняння площини, що проходить через три дані точки, що не лежать на одній прямій. Позначаючи їх радіуси-вектори через а поточний радіус-вектор через, ми легко отримаємо шукане рівняння у векторній формі. Справді, вектори, повинні бути компланарність (вони всі лежать в шуканої площини). Отже, векторно-скалярний добуток цих векторів має дорівнювати нулю:

Це і є рівняння площини, що проходить через три дані точки, в векторній формі.

Переходячи до координат, отримаємо рівняння в координатах:

Якби три дані точки лежали на одній прямій, то вектори були б колінеарні. Тому відповідні елементи двох останніх рядків визначника, що стоїть в рівнянні (18), були б пропорційні і визначник тотожно дорівнює нулю. Отже, рівняння (18) зверталося б в тотожність при будь-яких значеннях х, у і z. Геометрично це означає, що через кожну точку простору проходить площину, в якій лежать і три дані точки.

Зауваження 1. Цю ж задачу можна вирішити, не користуючись векторами.

Позначаючи координати трьох даних точок відповідно через напишемо рівняння будь-якій площині, що проходить через першу точку:

Щоб отримати рівняння шуканої площини, потрібно вимагати, щоб рівняння (17) задовольнялося координатами двох інших точок:

З рівнянь (19) потрібно визначити відносини двох коефіцієнтів до третього і внести знайдені значення в рівняння (17).

Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через точки.

Рівняння площини, що проходить через першу з даних точок, буде:

Умови проходження площині (17) через дві інші точки і першу точку суть:

Складаючи друге рівняння з першим, знайдемо:

Підставляючи в друге рівняння, отримаємо:

Підставляючи в рівняння (17) замість А, В, С відповідно 1, 5, -4 (числа, їм пропорційні), отримаємо:

Приклад 2. Скласти рівняння площини, що проходить через точки (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Рівняння будь-якій площині, що проходить через точку (0, 0, 0), буде]

Умови проходження цієї площини, через точки (1, 1, 1) і (2, 2, 2) суть:

Скорочуючи друге рівняння на 2, бачимо, що для визначення двох невідомих відношенні має одне рівняння з

Звідси отримаємо. Підставляючи тепер в рівняння площини замість його значення, знайдемо:

Це і є рівняння шуканої площини; воно залежить від довільних

кількостей В, С (а саме, від ставлення т. е. є незліченна безліч площин, що проходять через три дані точки (три дані точки лежать на одній прямій лінії).

Зауваження 2. Завдання щодо проведення площині через три дані точки, що не лежать на одній прямій, легко вирішується в Загалом вигляді, Якщо скористатися визначниками. Дійсно, так як в рівняннях (17) і (19) коефіцієнти А, В, С не можуть бути одночасно дорівнюють нулю, то, розглядаючи ці рівняння як однорідну систему з трьома невідомими А, В, С, пишемо необхідна і достатня умова існування рішення цієї системи, відмінного від нульового (ч. 1, гл. VI, § 6):

Розклавши цей визначник за елементами першого рядка, отримаємо рівняння першого ступеня щодо поточних координат, якому будуть задовольняти, зокрема, координати трьох даних точок.

В цьому останньому можна також переконатися і безпосередньо, якщо підставити в рівняння, записане за допомогою визначника, координати будь-якої з даних точок замість. У лівій частині виходить визначник, у якого або елементи першого рядка нулі, або є дві однакові рядки. Таким чином, складене рівняння являє площину, що проходить через три дані точки.

13.Угол між площинами, відстань від точки до площини.

Нехай площині α і β перетинаються по прямій с.
Кут між площинами - це кут між перпендикулярами до лінії їх перетину, проведеними в цих площинах.

Іншими словами, в площині α ми провели пряму а, перпендикулярну с. У площині β - пряму b, також перпендикулярну с. Кут між площинами α і β дорівнює кутуміж прямими а і b.

Зауважимо, що при перетині двох площин взагалі-то утворюються чотири кути. Бачите їх на малюнку? Як кута між площинами ми беремо гострийкут.

Якщо кут між площинами дорівнює 90 градусів, то площини перпендикулярні,

Це визначення перпендикулярності площин. Вирішуючи завдання по стереометрії, ми використовуємо також ознака перпендикулярності площин:

Якщо площину α проходить через перпендикуляр до площини β, то площини α і β перпендикулярні.

відстань від точки до площини

Розглянемо точку T, задану своїми координатами:

T = (x 0, y 0, z 0)

Також розглянемо площину α, задану рівнянням:

Ax + By + Cz + D = 0

Тоді відстань L від точки T до площини α можна вважати за формулою:

Іншими словами, ми підставляємо координати точки в рівняння площини, а потім ділимо це рівняння на довжину вектора-нормалі n до площини:

Отримане число і є відстань. Давайте подивимося, як ця теорема працює на практиці.


Ми вже виводили параметіческіе рівняння прямої на площині, давайте отримаємо параметричні рівняння прямої, яка задана в прямокутній системі координат в тривимірному просторі.

Нехай в тривимірному просторі зафіксована прямокутна система координат Oxyz. Задамо в ній пряму a(Дивіться розділ способи завдання прямої в просторі), вказавши спрямовує вектор прямої і координати деякої точки прямої . Від цих даних будемо відштовхуватися при складанні параметричних рівнянь прямої в просторі.

Нехай - довільна точка тривимірного простору. Якщо відняти від координат точки Мвідповідні координати точки М 1, То ми отримаємо координати вектора (дивіться статтю знаходження координат вектора за координатами точок його кінця і початку), тобто, .

Очевидно, що безліч точок визначає пряму атоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні.

Запишемо необхідна і достатня умова коллинеарности векторів і : , Де - деяке дійсне число. Отримане рівняння називається векторно-параметричних рівнянням прямоїв прямокутній системі координат Oxyzв тривимірному просторі. Векторно-параметричне рівняння прямої в координатної формі має вигляд і являє собою параметричні рівняння прямої a. Назва "параметричні" не випадково, так як координати всіх точок прямої задаються за допомогою параметра.

Наведемо приклад параметричних рівнянь прямої в прямокутній системі координат Oxyzв просторі: . тут


15.Угол між прямою і площиною. Точка перетину прямої з площиною.

Будь-яке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

задає площину, і навпаки: будь-яка площина може бути представлена ​​рівнянням (3.1), яке називається рівнянням площини.

вектор n(A, B, C), прямокутний площині, називається нормальним векторомплощині. У рівнянні (3.1) коефіцієнти A, B, C одночасно не рівні 0.

особливі випадкирівняння (3.1):

1. D = 0, Ax + By + Cz = 0 - площина проходить через початок координат.

2. C = 0, Ax + By + D = 0 - площина паралельна осі Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - площина проходить через вісь Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - площина паралельна площині Oyz.

Рівняння координатних площин: x = 0, y = 0, z = 0.

Пряма в просторі може бути задана:

1) як лінія перетину двох площин, тобто. системою рівнянь:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двома своїми точками M 1 (x 1, y 1, z 1) і M 2 (x 2, y 2, z 2), тоді пряма, через них проходить, задається рівняннями:

3) точкою M 1 (x 1, y 1, z 1), їй належить, і вектором a(M, n, р), їй колінеарну. Тоді пряма визначається рівняннями:

. (3.4)

Рівняння (3.4) називаються канонічними рівняннямипрямий.

вектор aназивається напрямних вектором прямої.

Параметричні рівняння прямої отримаємо, прирівнявши кожне з відносин (3.4) параметру t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + рt. (3.5)

Вирішуючи систему (3.2) як систему лінійних рівняньщодо невідомих xі y, Приходимо до рівнянь прямої в проекціяхабо до наведеним рівнянням прямої:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Від рівнянь (3.6) можна перейти до канонічним рівнянням, знаходячи zз кожного рівняння і прирівнюючи отримані значення:

.

Від загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічним і іншим способом, якщо знайти яку-небудь точку цієї прямої і її спрямовує вектор n= [n 1 , n 2], де n 1 (A 1, B 1, C 1) і n 2 (A 2, B 2, C 2) - нормальні вектори заданих площин. Якщо один з знаменників m, nабо рв рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник відповідної дробу треба покласти рівним нулю, тобто система

рівносильна системі ; така пряма перпендикулярна до осі Ох.

система рівносильна системі x = x 1, y = y 1; пряма паралельна осі Oz.

приклад 1.15. Cоставьте рівняння площини, знаючи, що точка А (1, -1,3) служить підставою перпендикуляра, проведеного з початку координат до цієї площини.

Рішення.За умовою завдання вектор ОА(1, -1,3) є нормальним вектором площини, тоді її рівняння можна записати у вигляді
x-y + 3z + D = 0. Підставивши координати точки А (1, -1,3), що належить площині, знайдемо D: 1 - (- 1) + 3 × 3 + D = 0 Þ D = -11. Отже, x-y + 3z-11 = 0.

приклад 1.16. Складіть рівняння площини, що проходить через вісь Оz і утворює з площиною 2x + y- z-7 = 0 кут 60 о.

Рішення.Площина, що проходить через вісь Oz, задається рівнянням Ax + By = 0, де А і В одночасно не звертаються в нуль. Нехай В не
дорівнює 0, A / Bx + y = 0. За формулою косинуса кута між двома площинами

.

вирішуючи квадратне рівняння 3m 2 + 8m - 3 = 0, знаходимо його корені
m 1 = 1/3, m 2 = -3, звідки отримуємо дві площини 1 / 3x + y = 0 і -3x + y = 0.

Приклад 1.17.Складіть канонічні рівняння прямої:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Рішення.Канонічні рівняння прямої мають вигляд:

де m, n, р- координати направляючого вектора прямої, x 1, y 1, z 1- координати будь-якої точки, що належить прямій. Пряма задана як лінія перетину двох площин. Щоб знайти точку, що належить прямій, фіксують одну з координат (найпростіше покласти, наприклад, x = 0) і отриману систему вирішують як систему лінійних рівнянь з двома невідомими. Отже, нехай x = 0, тоді y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, звідки y = -1, z = 1. Координати точки М (x 1, y 1, z 1), що належить даній прямій, ми знайшли: M (0, -1,1). Спрямовує вектор прямої легко знайти, знаючи нормальні вектори вихідних площин n 1 (5,1,1) і n 2 (2,3, -2). тоді

Канонічні рівняння прямої мають вигляд: x / (- 5) = (y + 1) / 12 =
= (Z - 1) / 13.

приклад 1.18. У пучку, який визначається площинами 2х-у + 5z-3 = 0 і х + у + 2z + 1 = 0, знайти дві перпендикулярні площині, одна з яких проходить через точку М (1,0,1).

Рішення.Рівняння пучка, що визначається даними площинами, має вигляд u (2х-у + 5z-3) + v (х + у + 2z + 1) = 0, де u і v не звертаються в нуль одночасно. Перепишемо рівняння пучка в такий спосіб:

(2u + v) x + (- u + v) y + (5u + 2v) z - 3u + v = 0.

Для того, щоб з пучка виділити площину, що проходить через точку М, підставимо координати точки М в рівняння пучка. отримаємо:

(2u + v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v = 0, або v = - u.

Тоді рівняння площини, що містить M, знайдемо, підставивши v = - u в рівняння пучка:

u (2x-y + 5z - 3) - u (x + y + 2z +1) = 0.

Оскільки u¹0 (інакше v = 0, а це суперечить визначенню пучка), то маємо рівняння площини x-2y + 3z-4 = 0. Друга площина, що належить пучку, повинна бути їй перпендикулярна. Запишемо умову ортогональності площин:

(2u + v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u + 2v) × 3 = 0, або v = - 19 / 5u.

Значить, рівняння другий площині має вигляд:

u (2x -y + 5z - 3) - 19/5 u (x + y + 2z +1) = 0 або 9x + 24y + 13z + 34 = 0

Дана стаття дає уявлення про те, як скласти рівняння площини, що проходить через задану точку тривимірного простору перпендикулярно до заданої прямої. Розберемо наведений алгоритм на прикладі вирішення типових задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку простору перпендикулярно до заданої прямої

Нехай задано тривимірний простір і прямокутна система координат O x y z в ньому. Задані також точка М 1 (x 1, y 1, z 1), пряма a і площину α, що проходить через точку М 1 перпендикулярно прямій a. Необхідно записати рівняння площини α.

Перш ніж приступити до вирішення цього завдання, згадаємо теорему геометрії з програми 10 - 11 класів, в якій мовиться:

визначення 1

Через задану точку тривимірного простору проходить єдина площина, перпендикулярна до заданої прямої.

Тепер розглянемо, як же знайти рівняння цієї єдиної площини, що проходить через вихідну точку і перпендикулярної даній прямій.

Можливо записати загальне рівняння площини, якщо відомі координати точки, що належить цій площині, а також координати нормального вектора площини.

Умовою завдання нам задані координати x 1, y 1, z 1 точки М 1, через яку проходить площину α. Якщо ми визначимо координати нормального вектора площини α, то отримаємо можливість записати шукане рівняння.

Нормальним вектором площини α, так як він ненульовий і лежить на прямій a, перпендикулярній площині α, буде будь-який спрямовує вектор прямої a. Так, завдання знаходження координат нормального вектора площини α перетворюється в задачу визначення координат направляючого вектора прямої a.

Визначення координат направляючого вектора прямої a може здійснюватися різними методами: залежить від варіанта завдання прямої a в початкових умовах. Наприклад, якщо пряма a в умові завдання задана канонічними рівняннями виду

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

або параметричними рівняннями виду:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то спрямовує вектор прямої буде мати координати а x, а y і а z. У разі, коли пряма a представлена ​​двома точками М 2 (x 2, y 2, z 2) і М 3 (x 3, y 3, z 3), то координати направляючого вектора буду визначатися як (x3 - x2, y3 - y2 , z3 - z2).

визначення 2

Алгоритм для знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданої прямої:

Визначаємо координати направляючого вектора прямої a: a → = (а x, а y, а z) ;

Визначаємо координати нормального вектора площини α як координати направляючого вектора прямої a:

n → = (A, B, C), де A = a x, B = a y, C = a z;

Записуємо рівняння площини, що проходить через точку М 1 (x 1, y 1, z 1) і має нормальний вектор n → = (A, B, C) у вигляді A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Це і буде необхідним рівнянням площини, яка проходить через задану точку простору і перпендикулярна до даної прямої.

Отримане загальне рівняння площини: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 дає можливість отримати рівняння площини в відрізках або нормальне рівняння площині.

Вирішимо кілька прикладів, використовуючи отриманий вище алгоритм.

приклад 1

Задана точка М 1 (3, - 4, 5), через яку проходить площину, і ця площина перпендикулярна координатної прямої Про z.

Рішення

напрямних вектором координатної прямої O z буде координатний вектор k ⇀ = (0, 0, 1). Отже, нормальний вектор площини має координати (0, 0, 1). Запишемо рівняння площини, що проходить через задану точку М 1 (3, - 4, 5), нормальний вектор якої має координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 3) + 0 · (y - (- 4)) + 1 · (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

відповідь: z - 5 = 0.

Розглянемо ще один спосіб вирішити це завдання:

приклад 2

Площина, яка перпендикулярна прямий O z буде задана неповним загальним рівнянням площини виду С z + D = 0, C ≠ 0. Визначимо значення C і D: такі, при яких площина проходить через задану точку. Підставами координати цієї точки в рівняння З z + D = 0, отримаємо: З · 5 + D = 0. Тобто числа, C і D пов'язані співвідношенням - D C = 5. Прийнявши С = 1, отримаємо D = - 5.

Підставами ці значення в рівняння З z + D = 0 і отримаємо необхідну рівняння площини, перпендикулярної до прямої O z і проходить через точку М 1 (3, - 4, 5).

Воно буде мати вигляд: z - 5 = 0.

відповідь: z - 5 = 0.

приклад 3

Складіть рівняння площини, що проходить через початок координат і перпендикулярної до прямої x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Рішення

Спираючись на умови завдання, можна стверджувати, що за нормальний вектор n → заданої площині можна прийняти спрямовує вектор заданої прямої. Таким, чином: n → = (- 3, - 7, 2). Запишемо рівняння площини, що проходить через точку О (0, 0, 0) і має нормальний вектор n → = (- 3, - 7, 2):

3 · (x - 0) - 7 · (y - 0) + 2 · (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Ми набули необхідного рівняння площини, що проходить через початок координат перпендикулярно до заданої прямої.

відповідь:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

приклад 4

Задана прямокутна система координат O x y z в тривимірному просторі, в ній - дві точки А (2, - 1, - 2) і B (3, - 2, 4). Площина α проходить через точку A перпендикулярно прямий А В. Необхідно скласти рівняння площини α в відрізках.

Рішення

Площина α перпендикулярна до прямої А В, тоді вектор А В → буде нормальним вектором площини α. Координати цього вектора визначаються як різниці відповідних координат точок В (3, - 2, 4) і А (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2, - 2 - (- 1), 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1, - 1, 6)

Загальне рівняння площини буде записано в наступному вигляді:

1 · x - 2 - 1 · y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Тепер складемо шукане рівняння площини в відрізках:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

відповідь:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Також потрібно відзначити, що зустрічаються завдання, вимога яких - написати рівняння площини, що проходить через задану точку і перпендикулярної до двох заданих площинах. Загалом, рішення цього завдання в тому, щоб скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої, тому що дві площини, що перетинаються задають пряму лінію.

приклад 5

Задана прямокутна система координат O x y z, в ній - точка М 1 (2, 0, - 5). Задані також рівняння двох площин 3 x + 2 y + 1 = 0 і x + 2 z - 1 = 0, які перетинаються по прямій a. Необхідно скласти рівняння площини, що проходить через точку М 1 перпендикулярно до прямої a.

Рішення

Визначимо координати направляючого вектора прямої a. Він перпендикулярний як нормальному вектору n 1 → (3, 2, 0) площині n → (1, 0, 2), так і нормальному вектору 3 x + 2 y + 1 = 0 площині x + 2 z - 1 = 0.

Тоді напрямних вектором α → прямий a візьмемо векторний добуток векторів n 1 → і n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → - 6 · j → - 2 · k → ⇒ a → = (4, - 6, - 2 )

Таким чином, вектор n → = (4, - 6, - 2) буде нормальним вектором площини, перпендикулярної до прямої a. Запишемо шукане рівняння площині:

4 · (x - 2) - 6 · (y - 0) - 2 · (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

відповідь: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Для того, щоб через три будь-які точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) в загальній декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М (x, y, z) лежала в одній площині з точками М 1, М 2, М 3 необхідно, щоб вектори були компланарність.

(
) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини по двох точках і вектору, колінеарну площині.

Нехай задані точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) і вектор
.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М 1 і М 2 і довільну точку М (х, у, z) паралельно вектору .

вектори
і вектор
повинні бути компланарність, тобто

(
) = 0

Рівняння площини:

Рівняння площини по одній точці і двох векторах,

колінеарну площині.

Нехай задані два вектори
і
, Колінеарні площині. Тоді для довільної точки М (х, у, z), що належить площині, вектори
повинні бути компланарність.

Рівняння площини:

Рівняння площини по точці і вектору нормалі .

Теорема. Якщо в просторі задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), То рівняння площини, що проходить через точку М 0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Доведення. Для довільної точки М (х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Оскільки вектор - вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний і вектору
. Тоді скалярний твір

= 0

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорема доведена.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-D)

,

замінивши
, Отримаємо рівняння площини в відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно з осями х, у, z.

Рівняння площини у векторній формі.

де

- радіус-вектор поточної точки М (х, у, z),

Одиничний вектор, який має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину з початку координат.

,  і  - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p - довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точки М 0 (х 0, у 0, z 0) до площини Ах + Ву + Сz + D = 0 дорівнює:

Приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р (4; -3; 12) - підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A (x - x 0 ) + B (y - y 0 ) + C (z - z 0 ) = 0.

Приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P (2; 0; -1) і

Q (1; -1; 3) перпендикулярно площині 3х + 2у - z + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у - z + 5 = 0
паралельний шуканої площини.

отримуємо:

Приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А (2, -1, 4) і

В (3, 2, -1) перпендикулярно площині х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: A x+ B y+ C z+ D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). вектор
(1, 3, -5) належить площині. Задана нам площину, перпендикулярна шуканої має вектор нормалі (1, 1, 2). Оскільки точки А і В належать обом площинам, а площині взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Оскільки точка А належить шуканої площини, то її координати повинні задовольняти рівняння цієї площини, тобто 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

Разом, отримуємо рівняння площині: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р (4, -3, 12) - підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі
= (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

Разом, отримуємо дані рівняння: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Приклад.Дано координати вершин піраміди А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

    Знайти довжину ребра А 1 А 2.

    Знайти кут між ребрами А 1 А 2 і А 1 А 4.

    Знайти кут між ребром А 1 А 4 і гранню А 1 А 2 А 3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до межі А 1 А 2 А 3 як векторний добуток векторів
і
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Знайдемо кут між вектором нормалі і вектором
.

-4 – 4 = -8.

Шуканий кут  між вектором і площиною буде дорівнює  = 90 0 - .

    Знайти площу грані А 1 А 2 А 3.

    Знайти об'єм піраміди.

    Знайти рівняння площини А 1 А 2 А 3.

Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

При використанні комп'ютерної версії " Курсу вищої математики"Можна запустити програму, яка вирішить розглянутий вище приклад для будь-яких координат вершин піраміди.

Для запуску програми двічі клацніть на значку:

У вікні програми введіть координати вершин піраміди і, нажімітеEnter. Таким чином, по черзі можуть бути отримані всі пункти рішення.

Примітка: Для запуску програми необхідно щоб на комп'ютері була встановлена ​​програма Maple ( Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.