Головна > Дизайн > Властивості вписаної трапеції. Прямокутна та рівнобедрена трапеція: властивості та ознаки


Властивості вписаної трапеції. Прямокутна та рівнобедрена трапеція: властивості та ознаки




У цій статті ми намагатимемося наскільки можна повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, мова піде про загальні ознакиі властивості трапеції, а також про властивості вписаної трапеції та про коло, вписане в трапецію. Зачепимо ми і властивості рівнобедреної та прямокутної трапеції.

Приклад розв'язання задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях у голові та краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція – фігура-чотирикутник, дві із сторін якої паралельні одна одній (це підстави). І дві не паралельні – це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота – перпендикуляр до основ. Проведено середня лініята діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можна провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма цими елементами та їх комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте собі на аркуші трапецію АКМЕ і проведіть у ній діагоналі.

  1. Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) і з'єднайте їх, вийде відрізок. Одна з властивостей діагоналей трапеції полягає в тому, що ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на дві: ХТ = (a – b)/2.
  2. Перед нами та сама трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Розгляньмо трикутники АОЕ і МОК, утворені відрізками діагоналей разом з основами трапеції. Ці трикутники – подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення основ трапеції: k = АЕ/КМ.
    Відношення площ трикутників АОЕ та МОК описується коефіцієнтом k 2 .
  3. Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки цього разу ми розглядатимемо трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО та ЕМО є рівновеликими – їхні площі однакові.
  4. Ще одна властивість трапеції включає побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МЕ в напрямку меншої основи, то рано чи пізно вони перетнуться до певної точки. Далі, через середини основ трапеції проведемо пряму. Вона перетинає основи у точках Х і Т.
    Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, вона разом з'єднає точку перетину діагоналей трапеції О, точку, у якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
  5. Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає основи трапеції (Т лежить на меншій підставі КМ, Х – на більшому АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок у наступному співвідношенні: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
  6. А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний підставамтрапеції (a та b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab/(a + b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть у трапеції паралельно до її підстав.

  1. Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини основ і розділити їх навпіл: m = (a + b)/2.
  2. Якщо провести через обидві підстави трапецію будь-який відрізок (висота, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції та проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут КАЄ нашої трапеції АКМЕ. Виконавши побудову самостійно, ви легко переконаєтеся - бісектриса відсікається від основи (або його продовження на прямій за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що й бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

  1. Яку б із двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів у парі завжди становить 180 0: α + β = 180 0 і γ + δ = 180 0 .
  2. З'єднаємо середини основ трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при основах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0 довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ = (АЕ - КМ) / 2.
  3. Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (рівнобічної) трапеції

  1. У рівнобедреній трапеції рівні кути при будь-якій підставі.
  2. Тепер знову збудуйте трапецію, щоб простіше було уявити, про що йдеться. Подивіться уважно на основу АЕ – вершина протилежної основи М проектується на якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М та середня лінія рівнобедреної трапеції – рівні.
  3. Кілька слів про властивість діагоналей рівнобедреної трапеції – їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
  4. Тільки біля рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 1800 – обов'язкова умова для цього.
  5. З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції – якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреною.
  6. З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми основ: h = (a + b)/2.
  7. Знову проведіть відрізок ТХ через середини основ трапеції – у рівнобедреній трапеції він є перпендикуляром до основ. І водночас ТХ – вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
  8. Цього разу опустіть на більшу основу (позначимо його a) висоту з протилежної вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти та розділити навпіл: (a + b)/2. Другий отримаємо, коли з більшої основивіднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (a – b)/2.

Властивості трапеції, вписаної в коло

Раз вже мова зайшла про вписану в коло трапецію, зупинимося на цьому питанні докладніше. Зокрема на тому, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець до рук і накреслити те, про що йтиметься нижче. Так і зрозумієте швидше і запам'ятайте краще.

  1. Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до його боці. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бокової сторони. У такому разі більша основа перетинає центр описаного кола точно посередині (R = ½АЕ).
  2. Діагональ і бічний бік можуть зустрічатися і під гострим кутом – тоді центр кола виявляється всередині трапеції.
  3. Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за її основою, якщо між діагоналлю трапеції і бічною стороною – тупий кут.
  4. Кут, утворений діагоналлю і великою основою трапеції АКМЕ (вписаний кут) складає половину того центрального кута, Що йому відповідає: ТРАВНЕ = ½МОЄ.
  5. Коротко про два способи визначити радіус описаного кола. Спосіб перший: уважно подивіться на своє креслення – що ви бачите? Ви легко помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помноженого на два. Наприклад, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогічно формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
  6. Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною та основою трапеції: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має низку цікавих властивостей.

  1. Якщо в трапецію вписано коло, довжину її середньої лінії можна легко знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m = (c + d)/2.
  2. У трапеції АКМЕ, описаної біля кола, сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ = КМ + АЕ.
  3. З цієї властивості основ трапеції випливає зворотне твердження: коло можна вписати в ту трапецію, сума основ якої дорівнює сумі бічних сторін.
  4. Точка торкання кола з радіусом r, вписаної в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a та b. Радіус кола можна обчислити за такою формулою: r = √ab.
  5. І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад також накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція АКМЕ, описана біля кола. У ній проведені діагоналі, що перетинаються у точці О. Утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трикутники АОК та ЕОМ – прямокутні.
    Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції – збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутною називають трапецію, один із кутів якої є прямим. І її властивості випливають із цієї обставини.

  1. У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
  2. Висота та бічна сторона трапеції, що прилягає до прямому куту, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції ( загальна формула S = (a + b) * h/2) не тільки через висоту, а й через бічну сторону, що прилягає до прямого кута.
  3. Для прямокутної трапеції актуальні описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів на підставі рівнобедреної трапеції:

  • Ви вже напевно і самі здогадалися, що тут нам знову знадобиться трапеція АКМЕ – накресліть рівнобедрену трапецію. Проведіть із вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК | | МТ, КМ | | АТ). Оскільки МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – рівнобедрений та МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, отже МТЕ = КАЄ, МЕТ = МТЕ = КАЄ.

Звідки АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЄ = КМЕ.

Що й потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреною:

  • Спочатку проведемо пряму МХ – МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава – МХ || КЕ та КМ || ЕХ).

∆АМХ - рівнобедрений, оскільки АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, тому МАЄ = МХЕ.

У нас вийшло, що трикутники АКЕ та ЕМА рівні між собою, тому що АМ = КЕ та АЕ – загальна сторона двох трикутників. А також ТРАВНІ = МХЕ. Можемо дійти невтішного висновку, що АК = МЕ, а звідси випливає і що трапеція АКМЕ – равнобедренная.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ дорівнюють 9 см і 21 см, бічна сторона КА, що дорівнює 8 см, утворює кут 150 0 з меншою основою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини До опустимо висоту до більшої основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ та КАН є односторонніми. А це означає, що в сумі вони дають 180 0 . Тому КАН = 300 (на підставі властивості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ∆АНК (вважаю, цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН – у трикутнику вона є катетом, що лежить навпроти кута 30 0 . Тому КН = ?АВ = 4 см.

Площу трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем у руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано засвоїтися.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і навіть навіть заплутаної: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаної. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є докладний конспект усіх загальних властивостейтрапеції. А також специфічних властивостей та ознак трапецій рівнобедреної та прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі та поділіться посиланням з друзями!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.


























Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку:

  • навчальна– запровадити поняття трапеції, ознайомитися з видами трапецій, вивчити властивості трапеції, навчити учнів застосовувати отримані знання у процесі розв'язання задач;
  • розвиваюча- Розвиток комунікативних якостей учнів, розвиток вміння проводити експеримент, узагальнювати, робити висновки, розвиток інтересу до предмета.
  • виховна- Виховувати увагу, створити ситуацію успіху, радості від самостійного подолання труднощів, розвинути в учнів потребу у самовираженні через різні видиробіт.

Форми роботи:фронтальна, парна, групова.

Форма організації діяльності дітей:уміння слухати, будувати обговорення, висловлювати думку, питання, доповнення.

Обладнання:комп'ютер, мультимедійний проектор, екран. На учнівських столах: - розрізний матеріал для складання трапеції у кожного учня на парті; картки із завданнями (роздруківки креслень та завдань із конспекту уроку).

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

Привітання перевірка готовності робочого місця до уроку.

ІІ. Актуалізація знань

  • розвиток умінь класифікувати об'єкти;
  • виділення основних та другорядних ознак при класифікації.

Розглядається рисунок №1.

Далі йде обговорення малюнка.
– З чого складено цю геометричну фігуру? Відповідь хлопці знаходять на малюнках: [з прямокутника та трикутників].
– Якими мають бути трикутники, які становлять трапецію?
Вислуховуються та обговорюються всі думки, вибирається один варіант: [трикутники мають бути обов'язково прямокутними].
– Як складаються трикутники та прямокутник? [Так, щоб протилежні сторони прямокутника збігалися з катетом кожного із трикутників].
– А що ви знаєте про протилежні сторони прямокутника? [Вони паралельні].
– Значить, і в цьому чотирикутнику будуть паралельні сторони? [Так].
- Скільки їх? [Дві].
Після обговорення вчитель демонструє «королеву уроку» – трапецію.

ІІІ. Пояснення нового матеріалу

1. Визначення трапеції, елементи трапеції

  • навчити учнів давати визначення трапеції;
  • називати її елементи;
  • розвиток асоціативної пам'яті.

– А тепер спробуйте дати повне визначення трапеції. Кожен учень продумує у відповідь питання. Обмінюються думками у парі, готують єдину відповідь на запитання. Усну відповідь дають по одному учню від 2-3 пар.
[Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні].

– Як називаються сторони трапеції? [Паралельні сторони називаються основами трапеції, а дві інші – бічними сторонами].

Вчитель пропонує скласти із розрізних фігур трапеції. Учні працюють у парах, складають фігури. Добре, якщо пари учнів будуть різнорівневими, тоді один із учнів є консультантом і допомагає товаришу у разі утруднення.

– Побудуйте у зошитах трапецію, запишіть назви сторін трапеції. Задайте питання щодо креслення своєму сусідові, вислухайте його відповіді, повідомте свої варіанти відповідей.

Історична довідка

«Трапеція»- Слово грецьке, що означало в давнину «столик» (грецькою «трапедзіон» означає столик, обідній стіл. Геометрична фігура була названа так на зовнішній схожості з маленьким столом.
У «Початках» (грец. Στοιχεῖα, лат. Elementa) – головна праця Евкліда, написана близько 300 р. до н. е. і присвячений систематичному побудові геометрії) термін «трапеція» застосовується над сучасному, а іншому сенсі: будь-який чотирикутник (не паралелограмм). «Трапеція» у сенсі зустрічаються вперше в давньогрецького математика Посидонія (Iв.). У середні віки трапецією називали, за Евклідом, будь-який чотирикутник (не паралелограм); лише у XVIIIв. це слово набуває сучасного змісту.

Побудова трапеції за її заданими елементами. Діти виконують завдання на картці №1.

Учням доводиться конструювати трапеції найрізноманітніших прихильностей і накреслень. У пункті 1 необхідно збудувати прямокутну трапецію. У пункті 2 з'являється можливість побудувати рівнобедрену трапецію. У пункті 3 трапеція виявиться «лежачою на боці». У пункті 4 малюнок передбачають побудову такої трапеції, яка має одну з підстав виявляється незвично маленькою.
Учні «дивують» вчителі різними фігурами, які мають одне загальна назва- Трапеція. Вчитель демонструє можливі варіантипобудови трапецій.

Завдання 1. Чи дорівнюватимуть дві трапеції, у яких відповідно рівні одна з підстав і дві бічні сторони?
Обговорюють вирішення завдання у групах, доводять правильність міркування.
По одному учню від групи виконує креслення на дошці, пояснює перебіг міркувань.

2. Види трапеції

  • розвиток рухової пам'яті, умінь розбивати трапецію на відомі постаті, необхідних вирішення завдань;
  • розвиток умінь узагальнювати, порівнювати, давати визначення за аналогією, висувати гіпотези.

Розглянемо малюнок:

– Чим відрізняються трапеції, зображені на малюнку?
Діти помітили, що вид трапеції залежить від виду трикутника, розташованого зліва.
– Доповніть пропозицію:

Трапеція називається прямокутною, якщо …
Трапеція називається рівнобедреною, якщо …

3. Властивості трапеції. Властивості рівнобедреної трапеції.

  • висування за аналогією з рівнобедреним трикутником гіпотези про властивість рівнобедреної трапеції;
  • розвиток аналітичних умінь (порівнювати, висувати гіпотезу, доводити, будувати).
  • Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює напіврізниці основ.
  • У рівнобедреної трапеції кути за будь-якої підстави рівні.
  • У рівнобедреної трапеції діагоналі рівні.
  • У рівнобедреної трапеції висота, опущена з вершини на більшу основу, ділить його на два відрізки, один з яких дорівнює напівсумі основ, інший - напіврізності основ.

Завдання 2.Доведіть, що в рівнобедреній трапеції: а) кути при кожній підставі рівні; б) діагоналі рівні. Для доказу цих властивостей рівнобедреної трапеції згадуються ознаки рівності трикутників. Учні виконують завдання у групах, обговорюють, записують рішення у зошити.
За одним учнем від групи проводять доказ біля дошки.

4. Вправа на увагу

5. Приклади застосування форм трапецій у повсякденному житті:

  • в інтер'єрах (дивани, стіни, навісні стелі);
  • в ландшафтний дизайн(кордони газонів, штучних водойм, каміння);
  • в індустрії моди (одяг, взуття, аксесуари);
  • у дизайні предметів повсякденного користування (світильники, посуд з використанням форм трапеції);
  • в архітектурі.

Практична робота(За варіантами).

– В одній системі координат побудуйте рівнобедрені трапеції за заданими трьома вершинами.

1 варіант: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) та (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3) , (…; …).
2 варіант: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) та (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), ( …;

– Визначте координати четвертої вершини.
Рішення перевіряється та коментується всім класом. Учні вказують координати четвертої знайденої точки і усно намагаються пояснити, чому ці умови визначають лише одну точку.

Цікаве завдання.Скласти трапецію із: а) чотирьох прямокутних трикутників; б) із трьох прямокутних трикутників; в) із двох прямокутних трикутників.

IV. Домашнє завдання

  • виховання правильної самооцінки;
  • створення ситуації “успіху” кожному за учня.

п.44, знати визначення, елементи трапеції, її види, знати властивості трапеції, вміти їх доводити, №388, №390.

V. Підсумок уроку. Наприкінці уроку дається хлопцям анкета,яка дозволяє здійснити самоаналіз, дати якісну та кількісну оцінку уроку .

Для позначення елементів трапеції існує термінологія. Паралельні сторони цієї геометричної фігуриназиваються її основами. Як правило, вони не рівні між собою. Однак існує , в якому про непаралельні сторони нічого не йдеться. Тому деякі математики розглядають як окремий випадок трапеції паралелограм. Однак у переважній більшості підручників таки згадується непаралельність другої пари сторін, які називаються бічними.

Існує кілька видів трапецій. Якщо її бічні сторони між собою рівні, то трапеція називається рівнобедреною або рівнобокою. Одна з бічних сторін може бути перпендикулярна до основ. Відповідно, у цьому випадку фігура буде прямокутною.

Є ще кілька ліній, що визначають трапеції та допомагають обчисленням інших параметрів. Розділіть бічні сторони навпіл і проведіть пряму через отримані точки. Ви отримаєте середню лінію трапеції. Вона паралельна підставам та їх напівсумі. Виразити її можна формулою n = (a + b) / 2, де n - Довжина , а і b - Довжини основ. Середня лінія – дуже важливий параметр. Наприклад, через неї можна виразити площу трапеції, яка дорівнює довжині середньої лінії, помноженої на висоту, тобто S = nh.

Проведіть з кута між боковою стороною і коротшою основою перпендикуляр до довгої основи. Ви отримаєте висоту трапеції. Як і будь-який перпендикуляр, висота – найкоротша відстань між заданими прямими.

Є додаткові властивості, які потрібно знати. Кути між бічними сторонами та основою у такої між собою. Крім того, рівні її діагоналі, що легко порівнявши утворені ними трикутники.

Розділіть підстави навпіл. Знайдіть точку перетину діагоналей. Продовжіть бічні сторони до їхнього перетину. У вас вийдуть 4 точки, через які можна провести пряму, до того ж лише одну.

Одним з важливих властивостейбудь-якого чотирикутника є можливість побудувати вписане або описане коло. Із трапецією це виходить не завжди. Вписане коло вийде тільки в тому випадку, якщо сума підстав дорівнює сумі бічних сторін. Описати коло можна лише навколо рівнобедреної трапеції.

Циркова трапеція може бути стаціонарною та рухомою. Перша - це невелика кругла поперечина. Вона з двох боків кріпиться залізними лозинами до купола цирку. Рухлива трапеція кріпиться тросами або канатами, вона може вільно хитатися. Трапляються подвійні і навіть потрійні трапеції. Цим самим терміном називається і сам жанр циркової акробатики.

Термін «трапеція»

- (Греч. trapezion). 1) у геометрії чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві ні. 2) фігура, пристосована для гімнастичних вправ. Словник іноземних слів, що увійшли до складу російської мови Чудінов А.Н., 1910. ТРАПЕЦІЯ… … Словник іноземних слів російської мови

Трапеція- Трапеція. ТРАПЕЦІЯ (від грецького trapezion, буквально столик), опуклий чотирикутник, у якому дві сторони паралельні (основи трапеції). Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми основ (середньої лінії) на висоту. … Ілюстрований енциклопедичний словник

Чотирьохкутник, снаряд, перекладина Словник російських синонімів. трапеція сущ., кіл у синонімів: 3 перекладина (21) … Словник синонімів

- (Від грецького trapezion, буквально столик), опуклий чотирикутник, в якому дві сторони паралельні (основи трапеції). Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми основ (середньої лінії) на висоту … Сучасна енциклопедія

- (Від грецьк. trapezion букв. столик), чотирикутник, у якому дві протилежні сторони, звані основами трапеції, паралельні (на малюнку АD і ВС), а інші дві непаралельні. Відстань між основами називають висотою трапеції (на… … Великий Енциклопедичний словник

ТРАПЕЦІЯ, чотирикутна плоска фігура, в якій дві протилежні сторони є паралельними. Площа трапеції дорівнює напівсумі паралельних сторін, помноженої на довжину перпендикуляра між ними. Науково-технічний енциклопедичний словник

ТРАПЕЦІЯ, трапеції, жін. (Від грецьк. trapeza стіл). 1. Чотирьохкутник з двома паралельними та двома непаралельними сторонами (мат.). 2. Гімнастичний снаряд, що складається з перекладини, підвішеної на двох мотузках (спорт.). Акробатичні… Тлумачний словникУшакова

ТРАПЕЦІЯ, та, дружин. 1. Чотирьохкутник з двома паралельними та двома непаралельними сторонами. Підстави трапеції (її паралельні сторони). 2. Цирковий або гімнастичний снарядпоперечина, підвішена на двох тросах. Тлумачний словник Ожегова. З … Тлумачний словник Ожегова

Жін., Геом. чотирикутник з нерівними сторонами, з яких дві опостінні (паралельні). Трапецеоїд, подібний до чотирикутника, у якого всі сторони йдуть нарізно. Трапецеедр, тіло, огранене трапеціями. Тлумачний словник Даля. В.І. Даль. 1863 1866 … Тлумачний словник Даля

- (Trapeze), США, 1956, 105 хв. Мелодрама. Акробат-початківець Тіно Орсіні вступає до циркової трупи, де працює Майк Ріббл, відомий у минулому повітряний гімнаст. Колись Майк виступав разом з батьком Тіно. Молодий Орсіні хоче, щоб Майк… … Енциклопедія кіно

Чотирьохкутник, дві сторони якого паралельні, а дві інші сторони не паралельні. Відстань між паралельними сторонами зв. висотою Т. Якщо паралельні сторони та висота містять а, b і hметрів, то площа Т. містить квадратних метрів … Енциклопедія Брокгауза та Єфрона

Трапеція - це окремий випадок чотирикутника, у якого одна пара сторін є паралельною. Термін «трапеція» походить від грецького слова τράπεζα, що означає "стіл", "столик". У цій статті ми розглянемо види трапеції та її властивості. Крім того, розберемося, як розраховувати окремі елементиНаприклад, діагональ рівнобічної трапеції, середню лінію, площу та ін. Матеріал викладений у стилі елементарної популярної геометрії, тобто в легкодоступній формі.

Загальні відомості

Спочатку давайте розберемося, що таке чотирикутник. Ця фігура є окремим випадком багатокутника, що містить чотири сторони і чотири вершини. Дві вершини чотирикутника, які є сусідніми, називаються протилежними. Те саме можна сказати і про дві несуміжні сторони. Основні види чотирикутників - це паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та дельтоїд.

Отже, повернемося до трапецій. Як ми вже говорили, у цієї постаті дві сторони є паралельними. Їх називають основами. Дві інші (непаралельні) – бічні сторони. У матеріалах іспитів та різних контрольних робітдуже часто можна зустріти завдання, пов'язані з трапеціями, вирішення яких найчастіше вимагає від учня знань, не передбачених програмою. Шкільний курс геометрії знайомить учнів із властивостями кутів та діагоналей, а також середньої лінії рівнобедреної трапеції. Але, крім цього, згадана геометрична фігура має й інші особливості. Але про них трохи згодом...

Види трапеції

Існує багато видів цієї постаті. Однак найчастіше прийнято розглядати два з них – рівнобедрену та прямокутну.

1. Прямокутна трапеція- це фігура, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. У неї два кути завжди дорівнюють дев'яноста градусам.

2. Рівностегновий трапеція - це геометрична фігура, у якої бічні сторони рівні між собою. Отже, і кути біля основ також попарно рівні.

Основні принципи методики вивчення властивостей трапеції

До основного принципу можна зарахувати використання так званого задачного підходу. По суті, немає необхідності для введення в теоретичний курсгеометрії нових властивостей цієї постаті. Їх можна відкривати і формулювати в процесі вирішення різних завдань (краще системних). При цьому дуже важливо, щоб викладач знав, які завдання потрібно поставити перед школярами в той чи інший момент навчального процесу. Більше того, кожна властивість трапеції може бути представлена ​​у вигляді ключового завдання у системі задач.

Другим принципом є так звана спіральна організація вивчення «чудових» властивостей трапеції. Це передбачає повернення процесі навчання до окремих ознак даної геометричної постаті. Таким чином, учням легше їх запам'ятовувати. Наприклад, властивість чотирьох точок. Його можна доводити як із вивченні подоби, і згодом з допомогою векторів. А рівновеликість трикутників, прилеглих до боків фігури, можна доводити, застосовуючи як властивості трикутників з рівними висотами, проведеними до сторон, які лежать однією прямої, а й з допомогою формули S= 1/2(ab*sinα). Крім того, можна відпрацювати на вписаній трапеції або прямокутний трикутник на описаній трапеції і т.д.

Застосування «позапрограмних» особливостей геометричної фігури у змісті шкільного курсу – це задачна технологія їхнього викладання. Постійне звернення до властивостей, що вивчаються при проходженні інших тем, дозволяє учням глибше пізнавати трапецію і забезпечує успішність вирішення поставлених завдань. Отже, приступимо до вивчення цієї чудової постаті.

Елементи та властивості рівнобедреної трапеції

Як ми вже зазначали, у цієї геометричної фігури бічні сторони рівні. Ще вона відома як правильна трапеція. А чим же вона така примітна і чому отримала таку назву? До особливостей цієї постаті належить те, у неї рівні як бічні боку й кути біля основ, а й діагоналі. Крім того, сума кутів рівнобедреної трапеції дорівнює 360 градусів. Але це ще не все! З усіх відомих трапецій тільки навколо рівнобедреного можна описати коло. Це пов'язано з тим, що сума протилежних кутів цієї фігури дорівнює 180 градусам, а тільки за такої умови можна описати коло навколо чотирикутника. Наступною властивістю аналізованої геометричної фігури є те, що відстань від вершини основи до проекції протилежної вершини на пряму, яка містить цю основу, дорівнюватиме середньої лінії.

А тепер давайте розберемося, як знайти кути рівнобедреної трапеції. Розглянемо варіант розв'язання цього завдання за умови, що відомі розміри сторін фігури.

Рішення

Зазвичай чотирикутник прийнято позначати літерами А, Б, С, Д, де БС та АТ - це підстави. У рівнобедреній трапеції бічні сторони рівні. Вважатимемо, що й розмір дорівнює Х, а розміри підстав рівні Y і Z (меншого і більшого відповідно). Для проведення обчислення необхідно з кута провести висоту Н. В результаті вийшов прямокутний трикутник АБН, де АБ - гіпотенуза, а БН і АН - катети. Обчислюємо розмір катета АН: від більшої основи забираємо менше, і результат ділимо на 2. Запишемо у вигляді формули: (Z-Y)/2 = F. Тепер для обчислення гострого кута трикутника скористаємося функцією cos. Отримуємо наступний запис: cos(β) = Х/F. Тепер обчислюємо кут: β=arcos (Х/F). Далі, знаючи один кут, ми можемо визначити і другий, для цього чинимо елементарну арифметичну дію: 180 - β. Усі кути визначені.

Існує і друге вирішення цієї задачі. Спочатку опускаємо з кута У висоту Н. Обчислюємо значення катета БН. Нам відомо, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутникадорівнює сумі квадратів катетів. Отримуємо: БН = √(Х2-F2). Далі використовуємо тригонометричну функцію tg. В результаті маємо: β = arctg (БН/F). Гострий кутзнайдено. Далі визначаємо аналогічно першому способу.

Властивість діагоналей рівнобедреної трапеції

Спочатку запишемо чотири правила. Якщо діагоналі в рівнобедреній трапеції перпендикулярні, то:

Висота фігури дорівнюватиме сумі підстав, поділеної на дві;

Її висота та середня лінія рівні;

Центр кола є точкою, в якій перетинаються;

Якщо бічний бік ділиться точкою торкання на відрізки Н і М, тоді дорівнює квадратного коренятвори цих відрізків;

Чотирьохкутник, який утворився точками торкання, вершиною трапеції та центром вписаного кола - це квадрат, у якого сторона дорівнює радіусу;

Площа постаті дорівнює добутку підстав та добутку напівсуми підстав на її висоту.

Подібні трапеції

Ця тема дуже зручна для вивчення властивостей цієї прикладу. Наприклад, діагоналі розбивають трапецію на чотири трикутники, причому прилеглі до основ є подібними, а до бічних сторін - рівновеликими. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями. Перша частина цього твердження доводиться через ознаку подібності з двох кутів. Для доказу другої частини краще скористатися способом, наведеним нижче.

Доказ теореми

Приймаємо, що фігура АБСД (АТ та БС – основи трапеції) розбивається діагоналями ВД та АС. Точка їх перетину - О. Отримуємо чотири трикутники: АОС - у нижньої основи, БОС - у верхньої основи, АБО та СОД у бокових сторін. Трикутники СОД та БОС мають загальну висоту в тому випадку, якщо відрізки БО та ОД є їх підставами. Отримуємо, що різниця їх площ (П) дорівнює різниці цих відрізків: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Отже, ПСОД = ПБОС/К. Аналогічно, трикутники БОС та АОБ мають загальну висоту. Приймаємо за їх підстави відрізки СО та ОА. Отримуємо ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К та ПАОБ = ПБОС/К. На цьому випливає, що ПСОД = ПАОБ.

Для закріплення матеріалу учням рекомендується знайти зв'язок між площами отриманих трикутників, куди розбита трапеція її діагоналями, вирішивши таке завдання. Відомо, що у трикутників БОС та АОД площі рівні, необхідно знайти площу трапеції. Оскільки ПСОД = ПАОБ, отже, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. З подоби трикутників БОС та АОД випливає, що БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отже, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Отримуємо ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тоді ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Властивості подоби

Продовжуючи розвивати цю тему, можна доводити інші цікаві особливостітрапецій. Так, за допомогою подібності можна довести властивість відрізка, який проходить через точку, утворену перетином діагоналей цієї геометричної фігури, паралельно до основ. Для цього розв'яжемо наступне завдання: необхідно знайти довжину відрізка РК, який проходить через точку О. З подоби трикутників АОД і БОС випливає, що АО/ОС=АД/БС. З подоби трикутників АОР і АСБ випливає, що АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Звідси отримуємо, що РВ = БС * АТ / (БС + АТ). Аналогічно з подоби трикутників ДОК і ДБС випливає, що ОК = БС * АД / (БС + АД). Звідси отримуємо, що РВ=ОК і РК=2*БС*АД/(БС+АД). Відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей, паралельний основам і сполучає дві бічні сторони, ділиться точкою перетину навпіл. Його довжина - це середня гармонійна підстава фігури.

Розглянемо таку якість трапеції, яку називають властивістю чотирьох точок. Точки перетину діагоналей (О), перетину продовження бічних сторін (Е), а також середини основ (Т та Ж) завжди лежать на одній лінії. Це легко доводиться методом подібності. Отримані трикутники БЕС та АЕД подібні, і в кожному з них медіани ЕТ та ЇЖ ділять кут при вершині Е на рівні частини. Отже, точки Е, Т та Ж лежать на одній прямій. Так само на одній прямій розташовуються точки Т, О, і Ж. Все це випливає з подоби трикутників БОС та АОД. Звідси робимо висновок, що всі чотири точки – Е, Т, Про та Ж – лежатимуть на одній прямій.

Використовуючи такі трапеції, можна запропонувати учням знайти довжину відрізка (ЛФ), який розбиває фігуру на дві подібні. Даний відрізок повинен бути паралельний до основ. Оскільки отримані трапеції АЛФД і ЛБСФ подібні, БС/ЛФ=ЛФ/АД. Звідси випливає, що ЛФ=√(БС*АД). Отримуємо, що відрізок, що розбиває трапецію на дві подібні, має довжину, що дорівнює середньому геометричному довжини основ фігури.

Розглянемо таку властивість подібності. В його основі лежить відрізок, який поділяє трапецію на дві рівновеликі постаті. Вважаємо, що трапеція АБСД розділена відрізком ЄП на дві подібні. З вершини Б опущена висота, яка розбивається відрізком ЄП на дві частини – В1 та В2. Отримуємо: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 та ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далі складаємо систему, перше рівняння якої (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 та друге (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Звідси випливає, що В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) і БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Отримуємо, що довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює середньому квадратичному довжини основ: √((БС2+АД2)/2).

Висновки подібності

Таким чином, ми довели, що:

1. Відрізок, що з'єднує у трапеції середини бічних сторін, паралельний АТ і БС і дорівнює середньому арифметичному БС та АТ (довжина основи трапеції).

2. Риса, яка проходить через точку Про перетину діагоналей паралельно АТ і БС, дорівнюватиме середньому гармонійному чисел АТ і БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Відрізок, що розбиває трапецію на подібні, має довжину середньої геометричної основ БС та АТ.

4. Елемент, що ділить фігуру на дві рівновеликі, має довжину середнього квадратичного чисел АТ та БС.

Для закріплення матеріалу та усвідомлення зв'язку між розглянутими відрізками учню необхідно збудувати їх для конкретної трапеції. Він легко зможе відобразити середню лінію і відрізок, який проходить через точку О - перетин діагоналей фігури - паралельно підставам. А ось де будуть перебувати третій та четвертий? Ця відповідь приведе учня до відкриття шуканого зв'язку між середніми величинами.

Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції

Розглянемо таку властивість цієї фігури. Приймаємо, що відрізок МН паралельний основам і поділяє діагоналі навпіл. Точки перетину назвемо Ш і Щ. Даний відрізок дорівнюватиме напіврізності підстав. Розберемо це детальніше. МШ – середня лінія трикутника АБС, вона дорівнює БС/2. МЩ – середня лінія трикутника АБД, вона дорівнює АТ/2. Тоді отримуємо, що ШЩ = МЩ-МШ, отже, ШЩ = АТ/2-БС/2 = (АТ+ВС)/2.

Центр ваги

Давайте розглянемо, як визначається цей елемент для даної геометричної фігури. Для цього необхідно продовжити підстави у протилежні сторони. Що це означає? Потрібно до верхньої основи додати нижнє - у будь-яку зі сторін, наприклад, праворуч. А нижнє подовжуємо на довжину верхнього вліво. Далі з'єднуємо їхню діагоналлю. Точка перетину цього відрізка із середньою лінією фігури і є центром тяжкості трапеції.

Вписані та описані трапеції

Давайте перерахуємо особливості таких фігур:

1. Трапеція може бути вписана в коло тільки у тому випадку, якщо вона рівнобедрена.

2. Біля кола можна описати трапецію, за умови, що сума довжин їх підстав дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Наслідки вписаного кола:

1. Висота описаної трапеції завжди дорівнює двом радіусам.

2. Бічна сторона описаної трапеції спостерігається із центру кола під прямим кутом.

Перше слідство очевидно, а для доказу другого потрібно встановити, що кут СОД є прямим, що, по суті, також не складе величезної праці. Зате знання даної властивостідозволить під час вирішення завдань застосовувати прямокутний трикутник.

Тепер конкретизуємо ці наслідки для рівнобедреної трапеції, яка вписана у коло. Отримуємо, що висота є середнім геометричним підставам фігури: Н=2R=√(БС*АД). Відпрацьовуючи основний прийом розв'язання завдань для трапецій (принцип проведення двох висот), учень має вирішити таке завдання. Приймаємо, що БТ – висота рівнобедреної фігури АБСД. Необхідно знайти відрізки АТ та ТД. Застосовуючи формулу, описану вище, це зробити не складно.

Тепер давайте розберемося, як визначити радіус кола, використовуючи площу описаної трапеції. Опускаємо з вершини Б висоту на основу АТ. Оскільки коло вписано в трапецію, то БС+АД = 2АБ або АБ = (БС+АД)/2. З трикутника АБН знаходимо sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АТ). ПАБСД = (БС + АТ) * БН / 2, БН = 2R. Отримуємо ПАБСД = (БС+АД)*R, звідси випливає, що R = ПАБСД/(БС+АД).

Усі формули середньої лінії трапеції

Тепер настав час перейти до останнього елемента даної геометричної фігури. Розберемося, чому дорівнює середня лінія трапеції (М):

1. Через підстави: М = (А + Б)/2.

2. Через висоту, основу та кути:

М = А-Н * (ctgα + ctgβ) / 2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через висоту, діагоналі та кут між ними. Наприклад, Д1 і Д2 - діагоналі трапеції; α , β - кути між ними:

М = Д1 * Д2 * sinα / 2Н = Д1 * Д2 * sinβ / 2Н.

4. Через площу та висоту: М = П/Н.