Способи розв'язання дрібно раціональних рівнянь. Розв'язання цілих і дрібно раціональних рівнянь
Розв'язання дробово-раціональних рівнянь
Довідковий посібник
Раціональні рівняння – це рівняння, у яких і ліва, і права частини є раціональними виразами.
(Нагадаємо: раціональними виразами називають цілі та дробові вирази без радикалів, що включають дії додавання, віднімання, множення або поділу - наприклад: 6x; (m – n)2; x/3y тощо)
Дробно-раціональні рівняння, як правило, наводяться до вигляду:
Де P(x) та Q(x) – багаточлени.
Для вирішення подібних рівнянь помножити обидві частини рівняння Q(x), що може призвести до появи сторонніх коренів. Тому при вирішенні дробово-раціональних рівнянь необхідна перевірка знайденого коріння.
Раціональне рівняння називається цілим, або алгебраїчним, якщо в ньому немає поділу на вираз, що містить змінну.
Приклади цілого раціонального рівняння:
5x - 10 = 3 (10 - x)
3x
- = 2x - 10
4
Якщо раціональному рівнянні є розподіл на вираз, що містить змінну (x), то рівняння називається дробово-раціональним.
Приклад дробового раціонального рівняння:
15
x + - = 5x - 17
x
Дробові раціональні рівняння зазвичай вирішуються так:
1) знаходять спільний знаменник дробів та множать на нього обидві частини рівняння;
2) вирішують ціле рівняння, що вийшло;
3) виключають з його коріння ті, які перетворюють на нуль загальний знаменник дробів.
Приклади розв'язання цілих та дробових раціональних рівнянь.
Приклад 1. Розв'яжемо ціле рівняння
x - 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Рішення:
Знаходимо найменший спільний знаменник. Це 6. Ділимо 6 на знаменник і отриманий результат множимо на чисельник кожного дробу. Отримаємо рівняння, що дорівнює цьому:
3(x – 1) + 4x 5х
------ = --
6 6
Оскільки в лівій та правій частинах однаковий знаменник, його можна опустити. Тоді в нас вийде простіше рівняння:
3(x - 1) + 4x = 5х.
Вирішуємо його, розкривши дужки і звівши подібні члени:
3х - 3 + 4х = 5х
3х + 4х - 5х = 3
Приклад вирішено.
Приклад 2. Розв'яжемо дробове раціональне рівняння
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)
Знаходимо спільний знаменник. Це x(x – 5). Отже:
х 2 - 3х x - 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Тепер знову звільняємося від знаменника, оскільки він є однаковим для всіх виразів. Зводимо подібні члени, прирівнюємо рівняння до нуля та одержуємо квадратне рівняння:
х 2 - 3x + x - 5 = x + 5
х 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
х 2 - 3x - 10 = 0.
Розв'язавши квадратне рівняння, знайдемо його коріння: –2 та 5.
Перевіримо, чи є ці числа корінням вихідного рівняння.
При x = –2 загальний знаменник x(x – 5) не перетворюється на нуль. Отже, –2 є коренем вихідного рівняння.
При x = 5 загальний знаменник перетворюється на нуль, і дві висловлювання з трьох втрачають сенс. Отже, число 5 перестав бути коренем вихідного рівняння.
Відповідь: x = -2
Ще приклади
приклад 1.
x 1 = 6, x 2 = - 2,2.
Відповідь: -2,2;6.
приклад 2.
Рівняння» ми ввели вище в § 7. Спочатку нагадаємо, що таке раціональне вираження. Це - вираз алгебри, складений з чисел і змінної х за допомогою операцій складання, віднімання, множення, поділу і зведення в ступінь з натуральним показником.
Якщо r(х) – раціональний вираз, то рівняння r(х) = 0 називають раціональним рівнянням.
Втім, практично зручніше користуватися дещо ширшим тлумаченням терміну «раціональне рівняння»: це рівняння виду h(x) = q(x), де h(x) і q(x) - раціональні висловлювання.
Досі ми могли вирішити не будь-яке раціональне рівняння, а тільки таке, яке в результаті різних перетворень та міркувань зводилося до лінійному рівнянню. Тепер наші можливості значно більші: ми зуміємо вирішити раціональне рівняння, яке зводиться не лише до лінійно-
му, а й до квадратного рівняння.
Нагадаємо, як ми вирішували раціональні рівняння раніше, і спробуємо сформулювати алгоритм розв'язання.
приклад 1.Вирішити рівняння
Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді
При цьому, як завжди, ми користуємося тим, що рівності А = В і А - В = 0 виражають одну і ту ж залежність між А і В. Це дозволило нам перенести член в ліву частину рівняння з протилежним знаком.
Виконаємо перетворення лівої частини рівняння. Маємо
Згадаймо умови рівності дробинулю: тоді, і тільки тоді, коли одночасно виконуються два співвідношення:
1) чисельник дробу дорівнює нулю (а = 0); 2) знаменник дробу відмінний від нуля).
Прирівнявши нулю чисельник дробу в лівій частині рівняння (1), отримаємо
Залишилося перевірити виконання другої зазначеної вище умови. Співвідношення означає рівняння (1), що . Значення х 1 = 2 і х 2 = 0,6 зазначеним співвідношенням задовольняють і тому є корінням рівняння (1), а разом з тим і корінням заданого рівняння.
1) Перетворимо рівняння до виду
2) Виконаємо перетворення лівої частини цього рівняння:
(одночасно змінили знаки в чисельнику та
дроби).
Таким чином, за дане рівняннянабуває вигляду
3) Розв'яжемо рівняння х 2 - 6x + 8 = 0. Знаходимо
4) Для знайдених значень перевіримо виконання умови 
. Число 4 цій умові задовольняє, а число 2 - ні. Значить, 4 – корінь заданого рівняння, а 2 – сторонній корінь.
Відповідь: 4.
2. Вирішення раціональних рівнянь методом введення нової змінної
Метод введення нової змінної вам знайомий, ми не раз ним користувалися. Покажемо на прикладах, як він застосовується під час вирішення раціональних рівнянь.
приклад 3.Розв'язати рівняння х 4 + х 2 – 20 = 0.
Рішення. Введемо нову змінну у = х2. Так як х 4 = (х 2) 2 = у 2 то задане рівнянняможна переписати у вигляді
у 2 + у – 20 = 0.
Це – квадратне рівняння, коріння якого знайдемо, використовуючи відомі формули; отримаємо у 1 = 4, у 2 = - 5.
Але у = х 2, отже, завдання звелося вирішення двох рівнянь:
x 2 = 4; х 2 =-5.
З першого рівняння знаходимо друге рівняння немає коренів.
Відповідь: .
Рівняння виду ах 4 + bx 2 +c = 0 називають біквадратним рівнянням («бі» - два, тобто як би «двічі квадратне» рівняння). Щойно вирішене рівняння було саме біквадратним. Будь-яке біквадратне рівняння вирішується так само, як рівняння з прикладу 3: вводять нову змінну у = х 2 вирішують отримане квадратне рівняння щодо змінної у, а потім повертаються до змінної х.
приклад 4.Вирішити рівняння
Рішення. Зауважимо, що тут двічі зустрічається те саме вираз х 2 + Зх. Отже, має сенс запровадити нову змінну у = х 2 + Зх. Це дозволить переписати рівняння у більш простому та приємному вигляді (що, власне кажучи, і становить мету введення нової змінної- і запис спрощення
ється, і структура рівняння стає більш ясною):
А тепер скористаємося алгоритмом розв'язання раціонального рівняння.
1) Перенесемо всі члени рівняння в одну частину:
= 0
2) Перетворимо ліву частину рівняння
Отже, ми перетворили задане рівняння на вигляд
3) З рівняння - 7у 2 + 29у -4 = 0 знаходимо (ми з вами вже вирішили досить багато квадратних рівнянь, тому завжди наводити в підручнику докладні викладки, напевно, не варто).
4) Виконаємо перевірку знайденого коріння за допомогою умови 5 (у - 3) (у + 1). Обидва корені цій умові задовольняють.
Отже, квадратне рівняння щодо нової змінної у вирішено: 
Оскільки у = х 2 + Зх, а у, як ми встановили, набуває двох значень: 4 і , - нам ще належить вирішити два рівняння: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх =. Корінням першого рівняння є числа 1 і - 4, корінням другого рівняння - числа
У розглянутих прикладах метод запровадження нової змінної був, як люблять висловлюватися математики, адекватний ситуації, т. е. добре їй відповідав. Чому? Та тому, що один і той же вираз явно зустрічався в записі рівняння кілька разів і був сенс позначити цей вираз новою літерою. Але так буває не завжди, іноді нова змінна «виявляється» лише у процесі перетворень. Саме так буде справа в наступному прикладі.
Приклад 5.Вирішити рівняння
х(х-1)(x-2)(x-3) = 24.
Рішення. Маємо
х(х – 3) = х 2 – 3х;
(х - 1) (x - 2) = x 2-Зx +2.
Отже, задане рівняння можна переписати як
(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24
Ось тепер нова змінна "проявилася": у = х 2 - Зх.
З її допомогою рівняння можна переписати у вигляді у (у + 2) = 24 і далі у 2 + 2у - 24 = 0. Корінням цього рівняння є числа 4 і -6.
Повертаючись до вихідної змінної х, отримуємо два рівняння х 2 - Зх = 4 та х 2 - Зх = - 6. З першого рівняння знаходимо х 1 = 4, х 2 = - 1; друге рівняння не має коріння.
Відповідь: 4, - 1.
Цілі уроку:
Навчальна:
- формування поняття дробових раціонального рівняння;
- розглянути різні способи розв'язання дробових раціональних рівнянь;
- розглянути алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь, що включає умову рівності дробу нулю;
- навчити рішенню дробових раціональних рівнянь за алгоритмом;
- перевірка рівня засвоєння теми шляхом проведення тестової роботи.
Розвиваюча:
- розвиток уміння правильно оперувати здобутими знаннями, логічно мислити;
- розвиток інтелектуальних умінь та розумових операцій - аналіз, синтез, порівняння та узагальнення;
- розвиток ініціативи, вміння приймати рішення, не зупинятися на досягнутому;
- розвиток критичного мислення;
- розвиток навичок дослідницької роботи.
Виховує:
- виховання пізнавального інтересу до предмета;
- виховання самостійності під час вирішення навчальних завдань;
- виховання волі та завзяття задля досягнення кінцевих результатів.
Тип уроку: урок - пояснення нового матеріалу
Хід уроку
1. Організаційний момент.
Здрастуйте, хлопці! На дошці написані рівняння подивіться на них уважно. Чи всі з цих рівнянь ви можете вирішити? Які ні і чому?
Рівняння, в яких ліва і правяча частина є дробово-раціональними виразами, називаються дробові раціональні рівняння. Як ви вважаєте, що ми вивчатимемо сьогодні на уроці? Сформулюйте тему уроку. Отже, відкриваємо зошити та записуємо тему уроку «Рішення дробових раціональних рівнянь».
2. Актуалізація знань. Фронтальне опитування, усна робота із класом.
А зараз ми повторимо основний теоретичний матеріал, який знадобиться нам для вивчення нової теми. Дайте відповідь, будь ласка, на такі питання:
- Що таке рівняння? ( Рівність зі змінною чи змінними.)
- Як називається рівняння №1? ( Лінійне.) Спосіб розв'язання лінійних рівнянь. ( Усі з невідомим перенести до лівої частини рівняння, усі числа - до правої. Навести подібні доданки. Знайти невідомий множник).
- Як називається рівняння №3? ( Квадратне.) Способи розв'язання квадратних рівнянь. ( Виділення повного квадрата, за формулами, використовуючи теорему Вієта та її наслідки.)
- Що таке пропорція? ( Рівність двох відносин.) Основна властивість пропорції. ( Якщо пропорція вірна, то добуток її крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.)
- Які властивості використовуються під час вирішення рівнянь? ( 1. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини до іншої, змінивши його знак, то вийде рівняння, що дорівнює даному. 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.)
- Коли дріб дорівнює нулю? ( Дроб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.)
3. Пояснення нового матеріалу.
Вирішити в зошитах та на дошці рівняння №2.
Відповідь: 10.
Яке дробово-раціональне рівнянняЧи можна спробувати вирішити, використовуючи основну властивість пропорції? (№5).
(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)
х 2 -4х-2х +8 = х 2 +3х +2х +6
х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8
Вирішити в зошитах та на дошці рівняння №4.
Відповідь: 1,5.
Яке дробово-раціональне рівняння можна спробувати вирішити, помножуючи обидві частини рівняння на знаменник? (№6).
х 2 -7х +12 = 0
D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.
Відповідь: 3;4.
Тепер спробуйте вирішити рівняння №7 одним із способів.
(х 2 -2х-5) х (х-5) = х (х-5) (х +5) |
|
||
(х 2 -2х-5) х (х-5)-х (х-5) (х +5) = 0 |
х 2 -2х-5 = х +5 |
||
х(х-5)(х 2 -2х-5-(х+5))=0 |
х 2 -2х-5-х-5 = 0 |
||
х(х-5)(х 2 -3х-10)=0 |
|||
х=0 х-5=0 х 2 -3х-10=0 |
|||
х 1 =0 х 2 =5 D=49 |
|||
х 3 =5 х 4 =-2 |
х 3 =5 х 4 =-2 |
||
Відповідь: 0;5;-2. |
Відповідь: 5;-2. |
Поясніть, чому так сталося? Чому в одному випадку три корені, в іншому – два? Які числа є корінням даного дробно-раціонального рівняння?
Досі учні з поняттям стороннього коріння не зустрічалися, їм справді дуже важко зрозуміти, чому так вийшло. Якщо в класі ніхто не може дати чіткого пояснення цієї ситуації, тоді вчитель ставить навідні питання.
- Чим відрізняються рівняння № 2 та 4 від рівнянь № 5,6,7? ( У рівняннях № 2 і 4 у знаменнику числа, № 5-7 – вирази зі змінною.)
- Що таке корінь рівняння? ( Значення змінної, у якому рівняння перетворюється на правильну рівність.)
- Як з'ясувати чи є число коренем рівняння? ( Зробити перевірку.)
Під час перевірки деякі учні зауважують, що доводиться ділити на нуль. Вони роблять висновок, що числа 0 і 5 є корінням даного рівняння. Виникає питання: чи існує спосіб розв'язання дробових раціональних рівнянь, що дозволяє виключити цю помилку? Так, це спосіб ґрунтується на умові рівності дробу нулю.
х 2 -3х-10 = 0, D = 49, х 1 = 5, х 2 = -2.
Якщо х=5, то х(х-5)=0, отже 5- сторонній корінь.
Якщо х=-2, то х(х-5)≠0.
Відповідь: -2.
Спробуймо сформулювати алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь даним способом. Діти самі формулюють алгоритм.
Алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь:
- Перенести все до лівої частини.
- Привести дроби до спільного знаменника.
- Скласти систему: дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.
- Вирішити рівняння.
- Перевірити нерівність, щоб унеможливити стороннє коріння.
- Записати відповідь.
Обговорення: як оформити рішення, якщо використовується основна властивість пропорції та множення обох частин рівняння загальний знаменник. (Доповнити рішення: виключити з його коріння ті, які перетворюють на нуль спільний знаменник).
4. Первинне осмислення нового матеріалу.
Робота у парах. Учні вибирають спосіб розв'язання рівняння самостійно залежно від виду рівняння. Завдання із підручника «Алгебра 8», Ю.М. Макарічев, 2007: № 600 (б, в, і); № 601 (а, д, ж). Вчитель контролює виконання завдання, відповідає на питання, надає допомогу слабоуспевающим учням. Самоперевірка: відповіді записані на дошці.
б) 2 – сторонній корінь. Відповідь:3.
в) 2 – сторонній корінь. Відповідь: 1,5.
а) Відповідь: -12,5.
ж) Відповідь: 1; 1,5.
5. Постановка домашнього завдання.
- Прочитати п.25 із підручника, розібрати приклади 1-3.
- Вивчити алгоритм розв'язання дробових раціональних рівнянь.
- Вирішити в зошитах № 600 (а, г, д); №601(г,з).
- Спробувати вирішити №696(а)(за бажанням).
6. Виконання контролюючого завдання з вивченої теми.
Робота виконується на листочках.
Приклад завдання:
А) Які із рівнянь є дробовими раціональними?
Б) Дроб дорівнює нулю, коли чисельник ______________________ , а знаменник _______________________ .
В) Чи є число -3 коренем рівняння №6?
Р) Вирішити рівняння №7.
Критерії оцінювання завдання:
- "5" ставиться, якщо учень виконав правильно більше 90% завдання.
- "4" - 75%-89%
- "3" - 50%-74%
- «2» ставиться учню, який виконав менше 50% завдання.
- Оцінка 2 у журнал не ставиться, 3 – за бажанням.
7. Рефлексія.
На листочках із самостійною роботою поставте:
- 1 – якщо на уроці вам було цікаво та зрозуміло;
- 2 - цікаво, але не зрозуміло;
- 3 – не цікаво, але зрозуміло;
- 4 – не цікаво, не зрозуміло.
8. Підбиття підсумків уроку.
Отже, сьогодні на уроці ми з вами познайомилися з дрібними раціональними рівняннями, навчилися вирішувати ці рівняння. у різний спосіб, перевірили свої знання за допомогою навчальної самостійної роботи. Результати самостійної роботи ви дізнаєтесь на наступному уроці, вдома ви матимете можливість закріпити отримані знання.
Який метод розв'язання дробових раціональних рівнянь, на Вашу думку, є більш легким, доступним, раціональним? Незалежно від способу розв'язання дробових раціональних рівнянь, про що потрібно не забувати? У чому «підступність» дробових раціональних рівнянь?
Всім дякую, урок закінчено.
Продовжуємо розмову про вирішення рівнянь. У цій статті ми докладно зупинимося на раціональних рівнянняхта принципи розв'язання раціональних рівнянь з однією змінною. Спочатку розберемося, рівняння якого виду називаються раціональними, дамо визначення цілих раціональних та дробових раціональних рівнянь, наведемо приклади. Далі отримаємо алгоритми розв'язання раціональних рівнянь, і, звичайно ж, розглянемо розв'язання характерних прикладів із усіма необхідними поясненнями.
Навігація на сторінці.
Відштовхуючись від озвучених визначень, наведемо кілька прикладів раціональних рівнянь. Наприклад, x = 1, 2 · x-12 · x 2 · y · z 3 = 0, - це все раціональні рівняння.
З наведених прикладів видно, що раціональні рівняння, як, втім, і рівняння інших видів, можуть бути як з однією змінною, так і з двома, трьома і т.д. змінними. У наступних пунктах ми говоритимемо про вирішення раціональних рівнянь із однією змінною. Розв'язання рівнянь із двома зміннимита їх більшим числомзаслуговують на окрему увагу.
Крім поділу раціональних рівнянь за кількістю невідомих змінних, їх поділяють на цілі та дробові. Дамо відповідні визначення.
Визначення.
Раціональне рівняння називають цілим, якщо і ліва, і права його частини є цілими раціональними виразами.
Визначення.
Якщо хоча б одна з частин раціонального рівняння є дробовим виразом, то таке рівняння називається дробово раціональним(або дрібним раціональним).
Зрозуміло, що цілі рівняння не містять поділу на змінну, а дробові раціональні рівняння обов'язково містять поділ на змінну (або змінну в знаменнику). Так 3 x 2 = 0 і (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– це цілі раціональні рівняння, обидві частини є цілими висловлюваннями. А x:(5·x 3 +y 2)=3:(x−1):5 – приклади дробових раціональних рівнянь.
Завершуючи цей пункт, звернемо увагу, що відомі до цього моменту лінійні рівняння і квадратні рівняння є цілими раціональними рівняннями.
Вирішення цілих рівнянь
Одним із основних підходів до вирішення цілих рівнянь є їх зведення до рівносильних алгебраїчним рівнянням. Це можна зробити завжди, виконавши наступні рівносильні перетворення рівняння:
- спочатку вираз із правої частини вихідного цілого рівняння переносять у ліву частину з протилежним знаком, щоб отримати нуль у правій частині;
- після цього в лівій частині рівняння, що утворилося стандартного вигляду.
В результаті виходить алгебраїчне рівняння, Яке рівносильне вихідному цілому рівнянню. Так у самих простих випадкахрозв'язання цілих рівнянь зводяться до розв'язання лінійних чи квадратних рівнянь, а загальному випадку – до розв'язання рівня алгебри ступеня n . Для наочності розберемо рішення прикладу.
приклад.
Знайдіть коріння цілого рівняння 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.
Рішення.
Зведемо розв'язання цього цілого рівняння до рішення рівносильного йому рівняння алгебри. Для цього, по-перше, перенесемо вираз із правої частини до лівої, в результаті приходимо до рівняння 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. І, по-друге, перетворимо вираз, що утворився в лівій частині, в багаточлен стандартного вигляду, виконавши необхідні: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3·x+3)·(x−3)−2·x 2 +x+3= 3·x 2 −9·x+3·x−9−2·x 2 +x+3=x 2 −5·x−6. Таким чином, рішення вихідного цілого рівняння зводиться до рішення квадратного рівняння x 2 −5·x−6=0 .
Обчислюємо його дискримінант D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, він позитивний, отже, рівняння має два дійсні корені, які знаходимо за формулою коренів квадратного рівняння :
Для повної впевненості виконаємо перевірку знайденого коріння рівняння. Спочатку перевіряємо корінь 6, підставляємо його замість змінної x у вихідне ціле рівняння: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, Що те саме, 63 = 63 . Ця вірна числова рівність, отже, x=6 справді є коренем рівняння. Тепер перевіряємо корінь −1, маємо 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, Звідки, 0 = 0 . При x=−1 вихідне рівняння також звернулося до правильної числову рівність, отже, x=−1 теж є коренем рівняння.
Відповідь:
6 , −1 .
Тут ще слід зауважити, що з уявленням цілого рівняння у вигляді рівняння алгебри пов'язаний термін «ступінь цілого рівняння». Дамо відповідне визначення:
Визначення.
ступенем цілого рівнянняназивають ступінь рівносильного йому рівняння алгебри.
Згідно з цим визначенням, ціле рівняння з попереднього прикладу має другий ступінь.
На цьому можна було б закінчити з вирішенням цілих раціональних рівнянь, якби жодне але…. Як відомо, рішення рівнянь алгебри вище другої пов'язане зі значними складнощами, а для рівнянь ступеня вище четвертого взагалі не існує загальних формулкоріння. Тому для вирішення цілих рівнянь третьої, четвертої та більше високих ступенівчасто доводиться вдаватися до інших методів розв'язання.
У таких випадках іноді рятує підхід до вирішення цілих раціональних рівнянь, заснований на методі розкладання на множники. При цьому дотримуються наступного алгоритму:
- спочатку домагаються, щоб у правій частині рівняння був нуль, для цього переносять вираз із правої частини цілого рівняння до лівої;
- потім, отриманий вираз у лівій частині представляють у вигляді добутку кількох множників, що дозволяє перейти до сукупності кількох простіших рівнянь.
Наведений алгоритм розв'язання цілого рівняння через розкладання на множники потребує детального роз'яснення з прикладу.
приклад.
Розв'яжіть ціле рівняння (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2·x·(x 2 −10·x+13) .
Рішення.
Спочатку як зазвичай переносимо вираз із правої частини до лівої частини рівняння, не забувши змінити знак, отримуємо (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2·x·(x 2 −10·x+13)=0 . Тут досить очевидно, що не доцільно перетворювати ліву частину отриманого рівняння в багаточлен стандартного виду, так як це дасть рівняння алгебри четвертого ступеня виду x 4 −12·x 3 +32·x 2 −16·x−13=0, Рішення якого складно.
З іншого боку, очевидно, що в лівій частині отриманого рівняння можна x 2 -10 x 13, тим самим представивши її у вигляді твору. Маємо (x 2 −10·x+13)·(x 2 −2·x−1)=0. Отримане рівняння рівносильне вихідному цілому рівнянню, та її, своєю чергою, можна замінити сукупністю двох квадратних рівнянь x 2 −10·x+13=0 і x 2 −2·x−1=0 . Знаходження їх коренів за відомими формулами коренів через дискримінант не складно, коріння рівні . Вони є шуканим корінням вихідного рівняння.
Відповідь:
Для вирішення цілих раціональних рівнянь також буває корисним метод введення нової змінної. У деяких випадках він дозволяє переходити до рівнянь, ступінь яких нижчий, ніж рівень вихідного цілого рівняння.
приклад.
Знайдіть дійсне коріння раціонального рівняння (x 2 +3 · x +1) 2 +10 = -2 · (x 2 +3 · x-4).
Рішення.
Зведення даного цілого раціонального рівняння до рівня алгебри є, м'яко кажучи, не дуже гарною ідеєю, тому що в цьому випадку ми прийдемо до необхідності вирішення рівняння четвертого ступеня, що не має раціонального коріння. Тому доведеться пошукати інший спосіб рішення.
Тут нескладно помітити, що можна ввести нову змінну y, і замінити нею вираз x 2 +3 x. Така заміна призводить нас до цілого рівняння (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , яке після перенесення виразу −2·(y−4) у ліву частину і подальшого перетворення виразу, що утворився там, зводиться до квадратного рівняння y 2 +4 · y +3 = 0 . Коріння цього рівняння y=−1 та y=−3 легко знаходяться, наприклад, їх можна підібрати, ґрунтуючись на теоремі, зворотній теоремі Вієта.
Тепер переходимо до другої частини методу введення нової змінної, тобто проведення зворотної заміни. Виконавши зворотну заміну, отримуємо два рівняння x 2 +3 x = -1 і x 2 +3 x = -3 , які можна переписати як x 2 +3 x +1 = 0 і x 2 +3 x +3 =0. За формулою коренів квадратного рівняння знаходимо коріння першого рівняння. А друге квадратне рівняння немає дійсних коренів, оскільки його дискримінант негативний (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).
Відповідь:
Взагалі, коли ми маємо справу з цілими рівняннями високих ступенів, завжди треба бути готовим до пошуку нестандартного методу чи штучного прийому для їх вирішення.
Розв'язання дробово раціональних рівнянь
Спочатку корисно розібратися, як розв'язувати дробово раціональні рівняння виду , де p(x) і q(x) – цілі раціональні висловлювання. А далі ми покажемо, як звести рішення решти дробово раціональних рівнянь до розв'язання рівнянь зазначеного виду.
В основі одного з підходів до вирішення рівняння лежить наступне твердження: числовий дріб u/v , де v - відмінне від нуля число (інакше ми зіткнемося з , яке не визначено), дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює нулю, то є, і тоді, коли u=0 . В силу цього твердження рішення рівняння зводиться до виконання двох умов p(x)=0 і q(x)≠0 .
Цьому висновку відповідає наступний алгоритм розв'язання дробово раціонального рівняння. Щоб вирішити дробове раціональне рівняння виду, треба
- вирішити ціле раціональне рівняння p (x) = 0;
- та перевірити, чи виконується для кожного знайденого кореня умова q(x)≠0 , при цьому
- якщо виконується, цей корінь є коренем вихідного рівняння;
- якщо не виконується, цей корінь – сторонній, тобто, не є коренем вихідного рівняння.
Розберемо приклад застосування озвученого алгоритму під час вирішення дробового раціонального рівняння.
приклад.
Знайдіть коріння рівняння.
Рішення.
Це дробово раціональне рівняння, причому виду , де p (x) = 3 · x-2, q (x) = 5 · x 2 -2 = 0 .
Відповідно до алгоритму розв'язання дробово раціональних рівнянь цього виду, нам спочатку треба розв'язати рівняння 3·x−2=0 . Це лінійне рівняння, Коренем якого є x = 2/3.
Залишилося виконати перевірку для цього кореня, тобто перевірити, чи він задовольняє умові 5·x 2 −2≠0 . Підставляємо у вираз 5 x 2 −2 замість x число 2/3, отримуємо. Умова виконана, тому x=2/3 є коренем вихідного рівняння.
Відповідь:
2/3 .
До розв'язання дробового раціонального рівняння можна підходити з трохи іншої позиції. Це рівняння рівносильне цілому рівнянню p(x)=0 на змінній x вихідного рівняння. Тобто, можна дотримуватись такого алгоритму розв'язання дробово-раціонального рівняння :
- розв'язати рівняння p(x)=0;
- знайти ОДЗ змінної x;
- взяти коріння, що належать області допустимих значень, - Вони є шуканим корінням вихідного дробового раціонального рівняння.
Наприклад вирішимо дробове раціональне рівняння з цього алгоритму.
приклад.
Розв'яжіть рівняння.
Рішення.
По-перше, розв'язуємо квадратне рівняння x 2 −2·x−11=0 . Його коріння можна обчислити, використовуючи формулу коренів для парного другого коефіцієнта. D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, та .
По-друге, знаходимо ОДЗ змінної x для вихідного рівняння. Її становлять усі числа, для яких x 2 +3·x≠0 , що те саме x·(x+3)≠0 , звідки x≠0 , x≠−3 .
Залишається перевірити, чи входять знайдене на першому кроці коріння в ОДЗ. Очевидно, що так. Отже, вихідне дробово раціональне рівняння має два корені.
Відповідь:
Зазначимо, що такий підхід вигідніший за перший, якщо легко знаходиться ОДЗ, і особливо вигідний, якщо ще при цьому коріння рівняння p(x)=0 ірраціональне, наприклад, або раціональне, але з досить великим чисельником і/або знаменником, наприклад, 127/1101 та −31/59 . Це з тим, що у разі перевірка умови q(x)≠0 вимагатиме значних обчислювальних зусиль, і простіше виключити сторонні коріння по ОДЗ.
В інших випадках при вирішенні рівняння , особливо коли коріння рівняння p (x) = 0 цілі, вигідніше використовувати перший з наведених алгоритмів. Тобто, доцільно відразу знаходити коріння цілого рівняння p(x)=0, після чого перевіряти, чи виконується для них умова q(x)≠0, а не знаходити ОДЗ, після чого вирішувати рівняння p(x)=0 на цій ОДЗ . Це з тим, що у разі зробити перевірку зазвичай простіше, ніж знайти ОДЗ.
Розглянемо рішення двох прикладів для ілюстрації обумовлених нюансів.
приклад.
Знайдіть коріння рівняння.
Рішення.
Спочатку знайдемо коріння цілого рівняння (2·x−1)·(x−6)·(x 2 −5·x+14)·(x+1)=0, складеного з використанням чисельника дробу Ліва частина цього рівняння – твір, а права – нуль, тому, згідно з методом розв'язання рівнянь через розкладання на множники, це рівняння рівносильне сукупності чотирьох рівнянь 2·x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5·x+ 14=0, x+1=0. Три з цих рівнянь лінійні і одне квадратне, їх ми вміємо вирішувати. З першого рівняння знаходимо x = 1/2, з другого - x = 6, з третього - x = 7, x = -2, з четвертого - x = -1.
Знайденим корінням досить легко виконати їх перевірку на предмет того, чи не звертається при них в нуль знаменник дробу, що знаходиться в лівій частині вихідного рівняння, а визначити ОДЗ, навпаки, не так просто, так як для цього доведеться вирішувати рівняння алгебри п'ятого ступеня. Тому відмовимося від знаходження ОДЗ на користь перевірки коренів. Для цього по черзі підставляємо їх замість змінної x у вираз x 5 −15·x 4 +57·x 3 −13·x 2 +26·x+112, що виходять після підстановки, і порівнюємо їх з нулем: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
Таким чином, 1/2 , 6 і −2 є корінням вихідного дробового раціонального рівняння, а 7 і −1 – сторонні корені.
Відповідь:
1/2 , 6 , −2 .
приклад.
Знайдіть коріння дробового раціонального рівняння.
Рішення.
Спочатку знайдемо коріння рівняння (5·x 2 −7·x−1)·(x−2)=0. Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: квадратного 5 x 2 −7 x 1 = 0 і лінійного x 2 = 0 . За формулою коренів квадратного рівняння знаходимо два корені, та якщо з другого рівняння маємо x=2 .
Перевіряти, чи не звертається в нуль знаменник при знайдених значеннях x досить неприємно. А визначити область допустимих значень змінної x у вихідному рівнянні досить легко. Тому діятимемо через ОДЗ.
У нашому випадку ОДЗ змінної x вихідного дробово раціонального рівняння становлять усі числа, крім тих, для яких виконується умова x 2 +5 x-14 = 0 . Корінням цього квадратного рівняння є x=−7 і x=2 , звідки робимо висновок про ОДЗ: її становлять такі x , що .
Залишається перевірити, чи належать знайдене коріння і x=2 області допустимих значень. Коріння - належать, тому, є корінням вихідного рівняння, а x=2 – не належить, тому, це сторонній корінь.
Відповідь:
Ще корисним буде окремо зупинитися у випадках, як у дробовому раціональному рівнянні виду в чисельнику перебуває число, тобто, коли p(x) представлено якимось числом. При цьому
- якщо це число відмінно від нуля, то рівняння не має коріння, тому що дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює нулю;
- якщо це число нуль, корінням рівняння є будь-яке число з ОДЗ.
приклад.
Рішення.
Так як в чисельнику дробу, що знаходиться в лівій частині рівняння, відмінне від нуля число, то при яких x значення цього дробу не може дорівнювати нулю. Отже, це рівняння не має коріння.
Відповідь:
немає коріння.
приклад.
Розв'яжіть рівняння.
Рішення.
У чисельнику дробу, що знаходиться в лівій частині даного дробового раціонального рівняння, знаходиться нуль, тому значення цього дробу дорівнює нулю для будь-якого x, при якому вона має сенс. Іншими словами, рішенням цього рівняння є будь-яке значення x з ОДЗ цієї змінної.
Залишилося визначити цю область припустимих значень. Вона включає всі такі значення x , при яких x 4 +5 x 3 ≠0 . Розв'язаннями рівняння x 4 +5·x 3 =0 є 0 і −5 , оскільки це рівняння рівносильне рівнянню x 3 ·(x+5)=0 , а воно у свою чергу рівносильне сукупності двох рівнянь x 3 =0 і x +5=0 , звідки і видно це коріння. Отже, областю допустимих значень є будь-які x , крім x=0 і x=−5 .
Таким чином, дробово раціональне рівняння має безліч рішень, якими є будь-які числа, крім нуля і мінус п'яти.
Відповідь:
Зрештою, настав час поговорити про розв'язання дробових раціональних рівнянь довільного вигляду. Їх можна записати як r(x)=s(x) , де r(x) і s(x) – раціональні вирази, причому хоча б один із них дробовий. Забігаючи вперед, скажемо, що їхнє рішення зводиться до вирішення рівнянь вже знайомого нам виду.
Відомо, що перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком призводить до рівносильного рівняння, тому рівняння r(x)=s(x) рівносильне рівняння r(x)−s(x)=0 .
Також ми знаємо, що можна будь-яку, тотожно рівну цьому виразу. Таким чином, раціональний вираз у лівій частині рівняння r(x)−s(x)=0 ми завжди можемо перетворити на тотожно рівний раціональний дріб виду .
Так ми від вихідного дробового раціонального рівняння r(x)=s(x) переходимо до рівняння , яке рішення, як з'ясували вище, зводиться до розв'язання рівняння p(x)=0 .
Але тут обов'язково треба враховувати той факт, що при заміні r(x)−s(x)=0 на , і далі на p(x)=0 може відбутися розширення області допустимих значень змінної x .
Отже, вихідне рівняння r(x)=s(x) і рівняння p(x)=0 , до якого ми прийшли, можуть виявитися нерівносильними, і, вирішивши рівняння p(x)=0 ми можемо отримати коріння, яке буде стороннім корінням вихідного рівняння r(x)=s(x) . Виявити і не включати у відповідь сторонні корені можна, або виконавши перевірку, або перевіривши їх належність ОДЗ вихідного рівняння.
Узагальним цю інформацію в алгоритм розв'язання дробового раціонального рівняння r(x)=s(x). Щоб розв'язати дробове раціональне рівняння r(x)=s(x) треба
- Отримати праворуч нуль за допомогою перенесення виразу з правої частини з протилежним знаком.
- Виконати дії з дробами та багаточленами в лівій частині рівняння, тим самим перетворивши її на раціональний дріб виду .
- Розв'язати рівняння p(x)=0.
- Виявити та виключити сторонні корені, що робиться за допомогою їх підстановки у вихідне рівняння або за допомогою перевірки їх належності ОДЗ вихідного рівняння.
Для більшої наочності покажемо весь ланцюжок розв'язання дробових раціональних рівнянь:
.
Давайте розглянемо рішення кількох прикладів із докладним поясненням ходу рішення, щоб прояснити наведений блок інформації.
приклад.
Розв'яжіть дробове раціональне рівняння.
Рішення.
Діятимемо відповідно до щойно отриманого алгоритму рішення. І спочатку перенесемо доданки з правої частини рівняння до лівої, в результаті переходимо до рівняння .
На другому кроці нам потрібно перетворити дробовий раціональний вираз у лівій частині отриманого рівняння до виду дробу. І тому виконуємо приведення раціональних дробів до спільного знаменника і спрощуємо отримане выражение: . Так ми приходимо до рівняння.
На наступному етапі потрібно вирішити рівняння −2·x−1=0 . Знаходимо x=−1/2.
Залишається перевірити, чи не є знайдене число −1/2 стороннім коренем вихідного рівняння. Для цього можна зробити перевірку або знайти ОДЗ змінної x вихідного рівняння. Продемонструємо обидва підходи.
Почнемо із перевірки. Підставляємо вихідне рівняння замість змінної x число −1/2 , отримуємо , що те саме, −1=−1 . Підстановка дає правильну числову рівність, тому x=−1/2 є коренем вихідного рівняння.
Тепер покажемо, як останній пункт алгоритму виконується через ОДЗ. Областю допустимих значень вихідного рівняння є безліч всіх чисел, крім −1 та 0 (при x=−1 та x=0 перетворюються на нуль знаменники дробів). Знайдений на попередньому кроці корінь x=−1/2 належить ОДЗ, отже, x=−1/2 є коренем вихідного рівняння.
Відповідь:
−1/2 .
Розглянемо ще приклад.
приклад.
Знайдіть коріння рівняння.
Рішення.
Нам потрібно розв'язати дрібно раціональне рівняння, пройдемо всі кроки алгоритму.
По-перше, переносимо доданок з правої частини в ліву, отримуємо .
По-друге, перетворимо вираз, що утворився в лівій частині: . В результаті приходимо до рівняння x = 0.
Його корінь очевидний – це нуль.
На четвертому етапі залишається з'ясувати, чи не є знайдений корінь стороннім для початкового раціонального рівняння. При його підстановці у вихідне рівняння виходить вираз. Вочевидь, воно немає сенсу, оскільки містить розподіл на нуль. Звідки укладаємо, що 0 є стороннім коренем. Отже, вихідне рівняння немає коріння.
7, що призводить до рівняння. Звідси можна зробити висновок, що вираз у знаменнику лівої частини повинен бути рівний з правої частини, тобто, . Тепер віднімаємо з обох частин трійки: . За аналогією, звідки, і далі.
Перевірка показує, що обидва знайдені корені є корінням вихідного дробового раціонального рівняння.
Відповідь:
Список літератури.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
У цій статті я покажу вам алгоритми розв'язання семи типів раціональних рівнянь, які за допомогою заміни змінних зводяться до квадратних. У більшості випадків перетворення, що призводять до заміни, дуже нетривіальні, і самостійно про них здогадатися досить важко.
Для кожного типу рівнянь я поясню, як у ньому робити заміну змінною, а потім у відповідному відеоуроці покажу детальне рішення.
У вас є можливість продовжити розв'язання рівнянь самостійно, а потім звірити своє рішення із відеоуроком.
Тож почнемо.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Зауважимо, що у лівій частині рівняння стоїть твір чотирьох дужок, а правій - число.
1. Згрупуємо дужки по дві так, щоб сума вільних членів була однаковою.
2. Перемножити їх.
3. Введемо заміну змінної.
У нашому рівнянні згрупуємо першу дужку з третьою, а другу з четвертою, оскільки (-1)+(-4)=(-7)+2:
У цьому місці заміна змінної стає очевидною:
Отримуємо рівняння 
Відповідь: 
2 .
Рівняння цього типу схоже на попереднє з однією відмінністю: у правій частині рівняння стоїть твір числа на . І вирішується воно зовсім інакше:
1. Групуємо дужки по дві так, щоб добуток вільних членів був однаковим.
2. Перемножуємо кожну пару дужок.
3. З кожного множника виносимо за дужку х.
4. Ділимо обидві частини рівняння на .
5. Вводимо заміну змінної.
У цьому рівнянні згрупуємо першу дужку з четвертою, а другу з третьою, тому що :
Зауважимо, що у кожній дужці коефіцієнт при і вільний член однакові. Винесемо з кожної дужки множник:
Оскільки х=0 перестав бути коренем вихідного рівняння, розділимо обидві частини рівняння на . Отримаємо:
Отримаємо рівняння: 
Відповідь: 
3
. 
Зауважимо, що у знаменниках обох дробів стоять квадратні тричлени, які мають старший коефіцієнт і вільний член однакові. Винесемо, як і в рівнянні другого типу х за дужку. Отримаємо:
Розділимо чисельник і знаменник кожного дробу на х:
Тепер можемо ввести заміну змінної:
Отримаємо рівняння щодо змінної t:
4 .
Зауважимо, що коефіцієнти рівняння симетричні щодо центрального. Таке рівняння називається зворотним .
Щоб його вирішити,
1. Розділимо обидві частини рівняння на (Ми можемо це зробити, тому що х = 0 не є коренем рівняння.) Отримаємо:
2. Згрупуємо доданки таким чином:
3. У кожній групі винесемо за дужку загальний множник:
4. Введемо заміну:
5. Виразимо через t вираз:
Звідси 
Отримаємо рівняння щодо t:
Відповідь:
5. Однорідні рівняння.
Рівняння, що мають структуру однорідного, можуть зустрітися при вирішенні показових, логарифмічних та тригонометричних рівняньтому її потрібно вміти розпізнавати.
Однорідні рівняння мають таку структуру:
У цьому рівні А, У і З - числа, а квадратиком і кружечком позначені однакові висловлювання. Тобто в лівій частині однорідного рівняння стоїть сума одночленів, які мають однаковий ступінь (у даному випадкуступінь одночленів дорівнює 2), і вільний член відсутній.
Для того щоб вирішити однорідне рівняння, розділимо обидві частини на
Увага! При розподілі правої та лівої частини рівняння на вираз, що містить невідоме, можна втратити коріння. Тому необхідно перевірити, чи не є коріння того виразу, на яке ми ділимо обидві частини рівняння, корінням вихідного рівняння.
Ходімо першим шляхом. Отримаємо рівняння:
Тепер ми вводимо заміну змінної:
Спростимо вираз і отримаємо біквадратне рівняння щодо t:
Відповідь:або
7
. 
Це рівняння має таку структуру:
Щоб його вирішити, потрібно у лівій частині рівняння виділити повний квадрат.
Щоб виділити повний квдарат, потрібно додати або відняти вдоволений твір. Тоді ми отримаємо квадрат суми різниці. Для успішної заміни змінної це має визначальне значення.
Почнемо зі знаходження подвоєного твору. Саме воно буде ключиком для заміни змінної. У нашому рівнянні подвійний добуток дорівнює
Тепер прикинемо, що нам зручніше мати – квадрат суми чи різниці. Розглянемо, для початку суму виразів:
Чудово! це виразі точно точно подвоєному твору. Тоді, щоб у дужках отримати квадрат суми, потрібно додати і відняти подвійний твір:
