Головна > Дизайн > Прості квадратні рівняння. Розв'язання квадратних рівнянь


Прості квадратні рівняння. Розв'язання квадратних рівнянь




Сподіваюся, вивчивши цю статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанта вирішуються лише повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівняньвикористовують інші методи, які ви знайдете у статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які квадратні рівняння називаються повними? Це рівняння виду ах 2 + b x + c = 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб розв'язати повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D = b 2 - 4ас.

Залежно від того, яке значення має дискримінант, ми й запишемо відповідь.

Якщо дискримінант є негативним числом (D< 0),то корней нет.

Якщо дискримінант дорівнює нулю, то х = (-b)/2a. Коли дискримінант додатне число(D> 0),

тоді х 1 = (-b - √D) / 2a, і х 2 = (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Вирішити рівняння х 2- 4х + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Відповідь: 2.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 · 2 · 3 = - 23

Відповідь: коріння немає.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + 5х - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (-7) = 81

х 1 = (-5 - √81) / (2 · 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже представимо розв'язок повних квадратних рівнянь схемою на рисунку1.

За цими формулами можна вирішувати будь-яке повне квадратне рівняння. Потрібно лише уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано багаточленом стандартного вигляду

а х 2 + bx + c,інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 = 0 помилково можна вирішити, що

а = 1, b = 3 та с = 2. Тоді

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 і тоді рівняння має два корені. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано не багаточлен стандартного виду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати багаточлен стандартного виду (на першому місці повинен стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , потім з меншим – bx, а потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парним коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати інші формули. Давайте познайомимося з цими формулами. Якщо у повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b = 2k), можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повне квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q = 0. Таке рівняння може бути дано на вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння коефіцієнт а, що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведено схему рішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо з прикладу застосування розглянутих у цій статті формул.

приклад. Вирішити рівняння

3х 2 + 6х - 6 = 0.

Давайте розв'яжемо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D = 6 2 - 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Відповідь: –1 – √3; -1 + √3

Можна помітити, що коефіцієнт при х у цьому рівнянні парне число, тобто b = 6 або b = 2k , звідки k = 3. Тоді спробуємо розв'язати рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Відповідь: –1 – √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти у цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х – 2 = 0 Розв'яжемо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного рівняння
рівняння рисунок 3.

D 2 = 2 2 - 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння по різним формуламми отримали ту саму відповідь. Тому добре засвоївши формули, наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-яке повне квадратне рівняння.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Формули коріння квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних та комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коренів та розкладання на множники.

Основні формули

Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння(1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна поєднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відоме, то багаточлен другого ступеня можна подати у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що дійсні числа.
Розглянемо дискримінант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю, то квадратне рівняння (1) має два кратні (рівні) дійсні корені:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант негативний, то квадратне рівняння (1) має два комплексно пов'язані корені:
;
.
Тут - уявна одиниця, ;
і - дійсна та уявна частини коренів:
; .
Тоді

.

Графічна інтерпретація

Якщо збудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При , графік перетинає вісь абсцис (вісь ) у двох точках.
При , графік стосується осі абсцис в одній точці.
При , графік не перетинає вісь абсцис.

Нижче наведено приклади таких графіків.

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Висновок формули для коріння квадратного рівняння

Виконуємо перетворення та застосовуємо формули (f.1) та (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для багаточлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
та .
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

Приклад 1


(1.1) .

Рішення


.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний, то рівняння має два дійсні корені:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y = 2 x 2 + 7 x + 3перетинає вісь абсцис у двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) у двох точках:
та .
Ці точки є корінням вихідного рівняння (1.1).

Відповідь

;
;
.

Приклад 2

Знайти коріння квадратного рівняння:
(2.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два кратні (рівні) корені:
;
.

Тоді розкладання тричлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y = x 2 - 4 x + 4стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь ) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить у розкладання на множники двічі:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівні корені:
.

Відповідь

;
.

Приклад 3

Знайти коріння квадратного рівняння:
(3.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний, .

Тому дійсних коренів немає.
;
;
.

Можна знайти комплексне коріння:


.

Тоді

Побудуємо графік функції
.
Графік функції не перетинає вісь абсцис. Справжнього коріння немає.

Відповідь

Графік цієї функції параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.
;
;
.

Справжнього коріння немає. Коріння комплексне:

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

  1. Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:
  2. Не мають коріння;
  3. Мають рівно один корінь;

Мають два різні корені. У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ..

дискримінант

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

  1. Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:< 0, корней нет;
  2. Якщо D
  3. Якщо D = 0, є рівно один корінь;

Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

  1. Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:
  2. x 2 − 8x + 12 = 0;
  3. 5x2+3x+7=0;

x 2 − 6x + 9 = 0.
Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;

D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Зрештою, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Зрозуміло, можливий зовсім важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. У цьому випадку рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Очевидно, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з не негативного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

  1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
  2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не знадобився — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Винесення загального множника за дужку

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.


Продовжуємо вивчення теми « вирішення рівнянь». Ми вже познайомилися з лінійними рівняннями та переходимо до знайомства з квадратними рівняннями.

Спочатку ми розберемо, що таке квадратне рівняння, як воно записується у загальному вигляді, і дамо пов'язані визначення. Після цього на прикладах докладно розберемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння. Далі перейдемо до розв'язання повних рівнянь, отримаємо формулу коренів, познайомимося з дискримінантом квадратного рівняння та розглянемо розв'язання характерних прикладів. Нарешті, простежимо зв'язок між корінням і коефіцієнтами.

Навігація на сторінці.

Що таке квадратне рівняння? Їхні види

Спочатку треба чітко розуміти, що таке квадратне рівняння. Тому розмову про квадратні рівняння логічно розпочати з визначення квадратного рівняння, а також пов'язаних із ним визначень. Після цього можна розглянути основні види квадратних рівнянь: наведені та ненаведені, а також повні та неповні рівняння.

Визначення та приклади квадратних рівнянь

Визначення.

Квадратне рівняння– це рівняння виду a x 2 + b x + c = 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому a відмінно від нуля.

Відразу скажемо, що квадратні рівняння часто називають рівняннями другого ступеня. Це пов'язано з тим, що квадратне рівняння є алгебраїчним рівняннямдругого ступеня.

Озвучене визначення дозволяє навести приклади квадратних рівнянь. Так 2 x 2 +6 x 1 = 0, 0,2 x 2 +2,5 x +0,03 = 0 і т.п. - Це квадратні рівняння.

Визначення.

Числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння a x 2 +b x + c = 0 , причому коефіцієнт a називають першим, або старшим, або коефіцієнтом при x 2 b - другим коефіцієнтом, або коефіцієнтом при x , а c - вільним членом.

Наприклад візьмемо квадратне рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 тут старший коефіцієнт є 5 , другий коефіцієнт дорівнює −2 , а вільний член дорівнює −3 . Зверніть увагу, коли коефіцієнти b та/або c негативні, як у наведеному прикладі, то використовується коротка формазаписи квадратного рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2)·x+(−3)=0 .

Варто зазначити, що коли коефіцієнти a та/або b дорівнюють 1 або −1 , то вони в записі квадратного рівняння зазвичай не присутні явно, що пов'язано з особливостями запису таких . Наприклад, у квадратному рівнянні y 2 −y+3=0 старший коефіцієнт є одиниця, а коефіцієнт при y дорівнює −1 .

Наведені та ненаведені квадратні рівняння

Залежно від значення старшого коефіцієнта розрізняють наведені та ненаведені квадратні рівняння. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює 1 називають наведеним квадратним рівнянням. В іншому випадку квадратне рівняння є ненаведеним.

Згідно даному визначеннюквадратні рівняння x 2 −3·x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 тощо. – наведені, у кожному їх перший коефіцієнт дорівнює одиниці. А 5·x 2 −x−1=0 і т.п. - Ненаведені квадратні рівняння, їх старші коефіцієнти відмінні від 1 .

Від будь-якого ненаведеного квадратного рівняння за допомогою поділу обох частин на старший коефіцієнт можна перейти до наведеного. Ця дія є рівносильним перетворенням , тобто отримане таким способом наведене квадратне рівняння має те ж коріння, що і вихідне ненаведене квадратне рівняння, або так само як воно, не має коренів.

Розберемо з прикладу, як виконується перехід від ненаведеного квадратного рівняння до наведеного.

приклад.

Від рівняння 3 x 2 +12 x 7 = 0 перейдіть до відповідного наведеного квадратного рівняння.

Рішення.

Нам достатньо виконати розподіл обох частин вихідного рівняння на старший коефіцієнт 3 він відрізняється від нуля, тому ми можемо виконати цю дію. Маємо (3·x 2 +12·x−7):3=0:3 , що те саме, (3·x 2):3+(12·x):3−7:3=0 , і далі (3:3) · x 2 + (12:3) · x-7: 3 = 0, звідки. Так ми отримали наведене квадратне рівняння, рівносильне вихідному.

Відповідь:

Повні та неповні квадратні рівняння

У визначенні квадратного рівняння є умова a≠0 . Ця умова потрібна для того, щоб рівняння a x 2 + b x + c = 0 було саме квадратним, так як при a = 0 воно фактично стає лінійним рівнянням виду b x + c = 0 .

Що стосується коефіцієнтів b і c, то вони можуть дорівнювати нулю, причому як окремо, так і разом. У таких випадках квадратне рівняння називають неповним.

Визначення.

Квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 називають неповнимякщо хоча б один з коефіцієнтів b , c дорівнює нулю.

В свою чергу

Визначення.

Повне квадратне рівняння- Це рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля.

Такі назви дано не випадково. З наступних міркувань це стане зрозумілим.

Якщо коефіцієнт b дорівнює нулю, то квадратне рівняння набуває вигляду a x 2 +0 x + c = 0 і воно рівносильне рівнянню a x 2 + c = 0 . Якщо c = 0, тобто, квадратне рівняння має вигляд a x 2 + b x + 0 = 0, то його можна переписати як a x 2 + b x = 0 . А при b = 0 і c = 0 ми отримаємо квадратне рівняння a x 2 = 0 . Отримані рівняння відрізняються від повного квадратного рівняння тим, що їх ліві частини не містять або доданку зі змінною x, або вільного члена, або того й іншого. Звідси та його назва – неповні квадратні рівняння.

Так рівняння x 2 +x+1=0 і −2·x 2 −5·x+0,2=0 – це приклади повних квадратних рівнянь, а x 2 =0 , −2·x 2 =0 , 5·x 2 +3=0 , −x 2 −5·x=0 – це неповні квадратні рівняння.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь

З інформації попереднього пункту випливає, що існує три види неповних квадратних рівнянь:

  • a x 2 = 0, йому відповідають коефіцієнти b = 0 і c = 0;
  • a x 2 + c = 0, коли b = 0;
  • і a x 2 + b x = 0 , коли c = 0 .

Розберемо по порядку, як вирішуються неповні квадратні рівняння кожного з цих видів.

a x 2 = 0

Почнемо з розв'язання неповних квадратних рівнянь, у яких коефіцієнти b і c дорівнюють нулю, тобто з рівнянь виду a x 2 =0 . Рівнянню a x 2 = 0 рівносильне рівняння x 2 = 0, яке виходить з вихідного розподілом його обох частин на відмінне від нуля число a. Вочевидь, коренем рівняння x 2 =0 є нуль, оскільки 0 2 =0 . Іншого коріння це рівняння немає, що пояснюється , дійсно, для будь-якого відмінного від нуля числа p має місце нерівність p 2 >0 , звідки випливає, що при p≠0 рівність p 2 =0 ніколи не досягається.

Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 = 0 має єдиний корінь x = 0 .

Як приклад наведемо розв'язок неповного квадратного рівняння −4·x 2 =0 . Йому рівносильне рівняння x 2 =0 його єдиним коренем є x=0 , отже, і вихідне рівняння має єдиний корінь нуль.

Коротке рішення у разі можна оформити так:
−4·x 2 =0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Тепер розглянемо, як розв'язуються неповні квадратні рівняння, в яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c 0 , тобто рівняння виду a x 2 + c = 0 . Ми знаємо, що перенесення доданку з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також розподіл обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести наступні рівносильні перетворення неповного квадратного рівняння a x 2 + c = 0 :

  • перенести c у праву частину, що дає рівняння a x 2 = -c ,
  • і розділити обидві його частини на a, отримуємо.

Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння. Залежно від значень a і c значення виразу може бути негативним (наприклад, якщо a=1 і c=2 , то ) або позитивним, (наприклад, якщо a=−2 і c=6 , то ), воно не дорівнює нулю , оскільки за умовою c≠0. Окремо розберемо випадки та .

Якщо , то рівняння немає коріння. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є невід'ємним числом. З цього випливає, що коли , то ні для якого числа p рівність не може бути вірною.

Якщо , то справа з корінням рівняння йде інакше. У цьому випадку, якщо згадати про , то відразу стає очевидним корінь рівняння , ним є число , оскільки . Неважко здогадатися, як і число теж є коренем рівняння , дійсно, . Іншого коріння це рівняння не має, що можна показати, наприклад, методом від протилежного. Зробимо це.

Позначимо щойно озвучені коріння рівняння як x 1 і −x 1 . Припустимо, що рівняння має ще один корінь x 2 відмінний від зазначених коренів x 1 і −x 1 . Відомо, що підстановка рівняння замість x його коренів звертає рівняння вірну числову рівність . Для x 1 і −x 1 маємо, а для x 2 маємо. Властивості числових рівностей нам дозволяють виконувати почленное віднімання вірних числових рівностей, так віднімання відповідних частин рівностей і дає x 1 2 −x 2 2 =0 . Властивості дій з числами дозволяють переписати отриману рівність як (x 1 -x 2) · (x 1 + x 2) = 0 . Ми знаємо, що добуток двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Отже, з отриманої рівності випливає, що x 1 −x 2 =0 та/або x 1 +x 2 =0 , що те саме, x 2 =x 1 та/або x 2 =−x 1 . Так ми дійшли протиріччя, оскільки спочатку сказали, що корінь рівняння x 2 відмінний від x 1 і −x 1 . Цим доведено, що рівняння не має іншого коріння, окрім і .

Узагальним інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a x 2 +c=0 рівносильне рівнянню , яке

  • не має коріння, якщо ,
  • має два корені і, якщо.

Розглянемо приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь виду a x 2 + c = 0 .

Почнемо з квадратного рівняння 9 x 2 +7 = 0 . Після перенесення вільного члена в праву частину рівняння, воно набуде вигляду 9·x 2 =−7 . Розділивши обидві частини отриманого рівняння на 9, прийдемо до. Так як у правій частині вийшло негативне число, то це рівняння не має коріння, отже, і вихідне неповне квадратне рівняння 9 x 2 +7 = 0 не має коренів.

Розв'яжемо ще одне неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 . Переносимо дев'ятку до правої частини: −x 2 =−9 . Тепер ділимо обидві частини на −1, отримуємо х 2 =9. У правій частині є позитивне число, звідки укладаємо, що або . Після цього записуємо остаточну відповідь: неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 має два корені x=3 або x=−3 .

a x 2 + b x = 0

Залишилося розібратися з рішенням останнього виду неповних квадратних рівнянь при c=0. Неповні квадратні рівняння виду a x 2 + b x = 0 дозволяє вирішити метод розкладання на множники. Очевидно, ми можемо , що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x . Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильного рівняння виду x · (a x + b) = 0 . І це рівняння рівносильно сукупності двох рівнянь x=0 і a·x+b=0 , останнє є лінійним і має корінь x=−b/a .

Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 + b x = 0 має два корені x = 0 і x = - b / a .

Для закріплення матеріалу розберемо рішення конкретного прикладу.

приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

Виносимо x за дужки, це дає рівняння. Воно рівносильне двом рівнянням x = 0 і . Вирішуємо отримане лінійне рівняння: , і виконавши поділ змішаного числана звичайний дріб, знаходимо. Отже, корінням вихідного рівняння є x = 0 і .

Після отримання необхідної практики рішення таких рівнянь можна записувати коротко:

Відповідь:

x = 0 .

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для розв'язання квадратних рівнянь існує формула коренів. Запишемо формулу коренів квадратного рівняння: , де D=b 2 −4·a·c- так званий дискримінант квадратного рівняння. Запис по суті означає, що .

Корисно знати, як було отримано формула коренів, і як вона застосовується під час знаходження коренів квадратних рівнянь. Розберемося із цим.

Висновок формули коріння квадратного рівняння

Нехай нам потрібно вирішити квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 . Виконаємо деякі рівносильні перетворення:

  • Обидві частини цього рівняння ми можемо розділити на відмінне від нуля число a, в результаті отримаємо квадратне рівняння.
  • Тепер виділимо повний квадрату його лівій частині: . Після цього рівняння набуде вигляду.
  • На цьому етапі можна здійснити перенесення двох останніх доданків у праву частину із протилежним знаком, маємо .
  • І ще перетворимо вираз, що опинилося у правій частині: .

У результаті ми приходимо до рівняння, яке рівносильне вихідному квадратному рівнянню a x 2 + b x + c = 0 .

Аналогічні за формою рівняння ми вирішували в попередніх пунктах, коли розбирали . Це дозволяє зробити такі висновки, що стосуються коренів рівняння:

  • якщо , то рівняння немає дійсних рішень;
  • якщо , то рівняння має вигляд , отже , звідки видно його єдиний корінь ;
  • якщо , те чи , що те саме чи , тобто, рівняння має два корені.

Отже, наявність чи відсутність коренів рівняння , отже, і вихідного квадратного рівняння, залежить від знака виразу , що стоїть правої частини. У свою чергу знак цього виразу визначається знаком чисельника, оскільки знаменник 4·a 2 завжди позитивний, тобто, знаком виразу b 2 −4·a·c . Цей вираз b 2 −4·a·c назвали дискримінантом квадратного рівнянняі позначили буквою D. Звідси зрозуміла суть дискримінанта – за його значенням і знаком роблять висновок, чи має квадратне рівняння дійсне коріння, і якщо має, то яке їх кількість - один чи два.

Повертаємося до рівняння , перепишемо з використанням позначення дискримінанта: . І робимо висновки:

  • якщо D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • якщо D=0 , це рівняння має єдиний корінь ;
  • нарешті, якщо D>0 , то рівняння має два корені або , які можна переписати у вигляді або , а після розкриття і приведення дробів до спільного знаменника отримуємо .

Так ми вивели формули коренів квадратного рівняння, вони мають вигляд де дискримінант D обчислюється за формулою D=b 2 −4·a·c .

З їх допомогою при позитивному дискримінанті можна обчислити обидва дійсні корені квадратного рівняння. При рівному нулю дискримінанті обидві формули дають те саме значення кореня, що відповідає єдиному рішенню квадратного рівняння. А за негативного дискримінанта при спробі скористатися формулою коренів квадратного рівняння ми стикаємося з вилученням квадратного кореняз негативного числа, що виводить нас за рамки та шкільні програми. При негативному дискримінанті квадратне рівняння не має дійсних коренів, але має пару комплексно пов'язанихкоренів, які можна знайти за тими самими отриманими нами формулами коренів .

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

Насправді при розв'язанні квадратних рівняння можна одночасно використовувати формулу коренів, з допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставиться до знаходження комплексного коріння.

Однак у шкільному курсі алгебри зазвичай йдеться не про комплексне, а про дійсне коріння квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він невід'ємний (інакше можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.

Наведені міркування дозволяють записати алгоритм розв'язання квадратного рівняння. Щоб розв'язати квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0, треба:

  • за формулою дискримінанта D=b 2 −4·a·c обчислити його значення;
  • зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант негативний;
  • обчислити єдиний корінь рівняння за такою формулою , якщо D=0 ;
  • знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант позитивний.

Тут лише зауважимо, що з рівному нулю дискримінанту можна використовувати формулу , вона дасть те значення, як і .

Можна переходити до прикладів застосування алгоритму розв'язання квадратних рівнянь.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Розглянемо розв'язки трьох квадратних рівнянь із позитивним, негативним та рівним нулю дискримінантом. Розібравшись з їх розв'язанням, за аналогією можна буде вирішити будь-яке інше квадратне рівняння. Почнемо.

приклад.

Знайдіть корені рівняння x 2 +2·x−6=0.

Рішення.

І тут маємо такі коефіцієнти квадратного рівняння: a=1 , b=2 і c=−6 . Відповідно до алгоритму, спочатку треба обчислити дискримінант, для цього підставляємо зазначені a, b і c у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Так як 28>0, тобто, дискримінант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх за формулою коренів, отримуємо, тут можна спростити отримані вирази, виконавши винесення множника за знак кореняз подальшим скороченням дробу:

Відповідь:

Переходимо до такого характерного прикладу.

приклад.

Розв'яжіть квадратне рівняння −4·x 2 +28·x−49=0 .

Рішення.

Починаємо з знаходження дискримінанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Отже, це квадратне рівняння має єдиний корінь, який знаходимо як , тобто,

Відповідь:

x = 3,5.

Залишається розглянути розв'язання квадратних рівнянь із негативним дискримінантом.

приклад.

Розв'яжіть рівняння 5·y 2 +6·y+2=0 .

Рішення.

Тут такі коефіцієнти квадратного рівняння: a = 5, b = 6 і c = 2. Підставляємо ці значення у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискримінант негативний, отже, дане квадратне рівняння немає дійсних коренів.

Якщо ж потрібно вказати комплексне коріння, то застосовуємо відому формулу коренів квадратного рівняння і виконуємо дії з комплексними числами:

Відповідь:

дійсних коренів немає, комплексні коріння такі: .

Ще раз відзначимо, що якщо дискримінант квадратного рівняння негативний, то в школі зазвичай відразу записують відповідь, в якій вказують, що дійсних коренів немає, і не знаходять комплексного коріння.

Формула коренів для парних других коефіцієнтів

Формула коренів квадратного рівняння , де D=b 2 −4·a·c дозволяє отримати формулу більш компактного вигляду, що дозволяє вирішувати квадратні рівняння з парним коефіцієнтом при x (або просто з коефіцієнтом, що має вигляд 2·n , наприклад , або 14· ln5 = 2 · 7 · ln5). Виведемо її.

Допустимо нам потрібно вирішити квадратне рівняння виду a x 2 +2 x x c = 0 . Знайдемо його коріння з використанням відомої формули. Для цього обчислюємо дискримінант D=(2·n) 2 −4·a·c=4·n 2 −4·a·c=4·(n 2 −a·c), і далі використовуємо формулу коренів:

Позначимо вираз n 2 −a·c як D 1 (іноді його позначають D" ). Тоді формула коренів аналізованого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2·n набуде вигляду де D 1 =n 2 −a·c .

Нескладно помітити, що D=4·D 1 або D 1 =D/4 . Іншими словами, D1 – це четверта частина дискримінанта. Зрозуміло, що знак D 1 такий самий, як знак D . Тобто знак D 1 також є індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

Отже, щоб розв'язати квадратне рівняння з другим коефіцієнтом 2·n треба

  • Обчислити D 1 =n 2 −a·c;
  • Якщо D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Якщо D 1 =0, то обчислити єдиний корінь рівняння за формулою;
  • Якщо ж D 1 >0, то знайти два дійсних кореня за формулою.

Розглянемо рішення прикладу з використанням отриманої у цьому пункті формули коренів.

приклад.

Розв'яжіть квадратне рівняння 5·x 2 −6·x−32=0 .

Рішення.

Другий коефіцієнт цього рівняння можна як 2·(−3) . Тобто, можна переписати вихідне квадратне рівняння у вигляді 5·x 2 +2·(−3)·x−32=0 , тут a=5 , n=−3 та c=−32 і обчислити четверту частину дискримінанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Так як його значення позитивне, то рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх, використовуючи відповідну формулу коренів:

Зауважимо, що можна було використовувати звичайну формулу коренів квадратного рівняння, але в цьому випадку довелося б виконати більший обсяг обчислювальної роботи.

Відповідь:

Спрощення виду квадратних рівнянь

Деколи, перш ніж пускатися в обчислення коренів квадратного рівняння за формулами, не завадить запитати себе: «А чи не можна спростити вигляд цього рівняння»? Погодьтеся, що в плані обчислень простіше буде вирішити квадратне рівняння 11 x 2 −4 x 6 = 0, ніж 1100 x 2 −400 x 600 = 0 .

Зазвичай спрощення виду квадратного рівняння досягається шляхом множення або розподілу обох частин на деяке число. Наприклад, у попередньому абзаці вдалося досягти спрощення рівняння 1100 x 2 −400 x 600=0 розділивши обидві його частини на 100 .

Подібне перетворення проводять із квадратними рівняннями, коефіцієнти якого не є . При цьому зазвичай ділять обидві частини рівняння на абсолютних величинйого коефіцієнтів. Для прикладу візьмемо квадратне рівняння 12 x 2 −42 x 48 = 0 . абсолютних величин його коефіцієнтів: НОД (12, 42, 48) = НОД (НОД (12, 42), 48) = НОД (6, 48) = 6 . Розділивши обидві частини вихідного квадратного рівняння на 6, ми прийдемо до рівносильного йому квадратного рівняння 2 x 2 -7 x + 8 = 0 .

А множення обох частин квадратного рівняння зазвичай провадиться для позбавлення від дробових коефіцієнтів. У цьому множення проводять на знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо обидві частини квадратного рівняння помножити на НОК(6, 3, 1)=6 , воно набуде простіший вигляд x 2 +4·x−18=0 .

На закінчення цього пункту зауважимо, що майже завжди позбавляються мінуса при старшому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки всіх членів, що відповідає множенню (або поділу) обох частин на −1 . Наприклад, зазвичай від квадратного рівняння −2·x 2 −3·x+7=0 переходять до рішення 2·x 2 +3·x−7=0 .

Зв'язок між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння

Формула коріння квадратного рівняння виражає коріння рівняння через його коефіцієнти. Відштовхуючись від формули коренів, можна отримати інші залежності між корінням та коефіцієнтами.

Найбільш відомі та застосовні формули з теореми Вієта виду та . Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену. Наприклад, у вигляді квадратного рівняння 3·x 2 −7·x+22=0 можна відразу сказати, що його коренів дорівнює 7/3 , а добуток коренів дорівнює 22/3 .

Використовуючи вже записані формули можна отримати і ряд інших зв'язків між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, можна виразити суму квадратів коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти: .

Список літератури.

  • Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax^2 + bx + c = 0 де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0 інакше це буде вже не квадратне рівняння. Квадратні рівняння або не мають коріння, або мають рівно один корінь, або два різні корені. Першим кроком шукають дискримінанти. Формула: D = b^2 − 4ac.< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >1. Якщо D

0, коріння буде два. З першим варіантом зрозуміло, коріння немає. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти таким чином: x12 = (-b + - √D) / 2a. Що ж до другого варіанта, коли D = 0, можна використовувати верхню формулу. Квадратні рівняння починають вивчати вшкільній програмі

з курсу математики. Але, на превеликий жаль, далеко не кожен розуміє і знає, як правильно вирішити квадратне рівняння та обчислити його коріння. Спочатку розберемося що таке квадратне рівняння.

Що таке квадратне рівняння Під терміном квадратне рівняння прийнято мати на увазі алгебраїчне рівняння. загального виглядуЦе рівняння маєнаступний вигляд

  • : ax2 + bx + c = 0, при цьому a, b і c є якими - або певними числами, x - невідоме. Дані три числа прийнято називати коефіцієнтами квадратного рівняння:
  • a – перший коефіцієнт;
  • b – другий коефіцієнт;

с – третій коефіцієнт.

Як знайти коріння квадратного рівняння

Для того, щоб обчислити, чому дорівнюватимуть коріння квадратного рівняння, необхідно знайти дискримінант рівняння. Дискримінантом квадратного рівняння називається вираз, який дорівнює та обчислюється за формулою b2 - 4ac. Якщо дискримінант більший за нуль, корінь обчислюється за формулою: х = -b +-корінь із дискримінанта розділити на 2 а.

Розглянемо з прикладу рівняння 5х у квадраті - 8х +3 = 0

Дискримінант дорівнює вісім у квадраті, мінус чотири помножити на п'ять, помножити на три, тобто = 64 - 4 * 5 * 3 = 64-60 = 4

х1 = 8 +-корінь з чотирьох розділити на два помножені на п'ять = 8 +2/10 = 1

х2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0, 6