Приклади з дробом множення і ділення. Ділення звичайних дробів: правила, приклади, рішення
§ 87. Додавання дробів.
Додавання дробів має багато спільного зі складанням цілих чисел. Додавання дробів є дія, що складається в тому, що кілька даних чисел (доданків) з'єднуються в одне число (суму), що містить в собі всі одиниці і частки одиниць доданків.
Ми послідовно розглянемо три випадки:
1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.
2. Додавання дробів з різними знаменниками.
3. Складання змішаних чисел.
1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.
Розглянемо приклад: 1/5 + 2/5.
Візьмемо відрізок АВ (рис. 17), приймемо його за одиницю і розділимо на 5 рівних частин, тоді частина АС цього відрізка буде дорівнює 1/5 відрізка АВ, а частина того ж відрізка CD дорівнюватиме 2/5 АВ.
З креслення видно, що якщо взяти відрізок AD, то він буде дорівнює 3/5 АВ; але відрізок AD якраз і є сума відрізків АС і CD. Значить, можна записати:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Розглядаючи дані складові і отриману суму, ми бачимо, що чисельник суми вийшов від складання числителей доданків, а знаменник залишився без зміни.
Звідси отримуємо наступне правило: щоб скласти дробу з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники і залишити той же знаменник.
Розглянемо приклад:
2. Додавання дробів з різними знаменниками.
Складемо дробу: 3/4 + 3/8 Попередньо їх потрібно привести до найменшого спільного знаменника:
Проміжна ланка 6/8 + 3/8 можна було б і не писати; ми написали його тут для більшої ясності.
Таким чином, щоб скласти дробу з різними знаменниками, потрібно попередньо привести їх до найменшого спільного знаменника, скласти їх чисельники і підписати спільний знаменник.
Розглянемо приклад (додаткові множники писатимемо над відповідними дробами):
3. Складання змішаних чисел.
Складемо числа: 2 3/8 + 3 5/6.
Наведемо спочатку дробові частини наших чисел до спільного знаменника і знову їх перепишемо:
Тепер складемо послідовно цілі і дробові частини:
§ 88. Віднімання дробів.
Віднімання дробів визначається так само, як і віднімання цілих чисел. Це є дія, за допомогою якого по даній сумі двох доданків і одному з них відшукується інше доданок. Розглянемо послідовно три випадки:
1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.
2. Віднімання дробів з різними знаменниками.
3. Віднімання мішаних чисел.
1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.
Розглянемо приклад:
13 / 15 - 4 / 15
Візьмемо відрізок АВ (рис. 18), приймемо його за одиницю і розділимо на 15 рівних частин; тоді частина АС цього відрізка буде являти собою 1/15 від АВ, а частина AD того ж відрізка буде відповідати 13/15 AB. Відкладемо ще відрізок ED, рівний 4/15 АВ.
Нам потрібно відняти від 13/15 дріб 4/15. На кресленні це означає, що від відрізка AD потрібно відняти відрізок ED. В результаті залишиться відрізок AЕ, який становить 9/15 відрізка АВ. Значить, ми можемо написати:
Зроблений нами приклад показує, що чисельник різниці вийшов від вирахування числителей, а знаменник залишився той же самий.
Отже, щоб зробити віднімання дробів з однаковими знаменниками, нужновичесть чисельник від'ємника з чисельника зменшуваного і залишити колишній знаменник.
2. Віднімання дробів з різними знаменниками.
Приклад. 3/4 - 5/8
Попередньо наведемо ці дроби до найменшого спільного знаменника:
Проміжна ланка 6/8 - 5/8 написано тут для більшої ясності, але його можна в подальшому пропускати.
Таким чином, щоб відняти дріб з дробу, потрібно попередньо привести їх до найменшого спільного знаменника, потім з чисельника зменшуваного відняти чисельник від'ємника і під їх різницею підписати спільний знаменник.
Розглянемо приклад:
3. Віднімання мішаних чисел.
Приклад. 10 3/4 - 7 2/3.
Наведемо дробові частини зменшуваного і від'ємника до найменшого спільного знаменника:
Ми відняли ціле з цілого і дріб з дробу. Але бувають випадки, коли дрібна частина від'ємника більше дробової частини зменшуваного. У таких випадках потрібно взяти одну одиницю з цілої частини зменшуваного, роздрібнити її в ті частки, в яких виражена дрібна частина, і додати до дробової частини зменшуваного. А потім віднімання буде виконуватися так само, як і в попередньому прикладі:
§ 89. Множення дробів.
При вивченні множення дробів ми будемо розглядати такі питання:
1. Множення дробу на ціле число.
2. Знаходження дробу даного числа.
3. Множення цілого числа на дріб.
4. Множення дробу на дріб.
5. Множення змішаних чисел.
6. Поняття про відсоток.
7. Знаходження відсотків даного числа. Розглянемо їх послідовно.
1. Множення дробу на ціле число.
Множення дробу на ціле число має таке ж значення, що і множення цілого числа на ціле. Помножити дріб (множимое) на ціле число (множник) - значить скласти суму однакових доданків, в якій кожний доданок одно множимо, а число доданків одно множнику.
Значить, якщо потрібно 1/9 помножити на 7, то це можна виконати так:
Ми легко отримали результат, так як дія звелося до складання дробів з однаковими знаменниками. отже,
Розгляд цієї дії показує, що множення дробу на ціле число рівносильно збільшенню цього дробу в стільки разів, скільки одиниць міститься в цілому числі. А так як збільшення дробу досягається або шляхом збільшення її чисельника
або шляхом зменшення її знаменника 
, То ми можемо або помножити чисельник на ціле, або розділити на нього знаменник, якщо такий розподіл можливо.
Звідси отримуємо правило:
Щоб помножити дріб на ціле число, потрібно помножити на це ціле число чисельник і залишити той же знаменник або, якщо можливо, розділити на це число знаменник, залишивши без зміни чисельник.
При множенні можливі скорочення, наприклад:
2. Знаходження дробу даного числа.Існує безліч завдань, при вирішенні яких доводиться знаходити, або обчислювати, частина даного числа. Відмінність цих завдань від інших полягає в тому, що в них дається число яких-небудь предметів або одиниць вимірювання і потрібно знайти частину цього числа, яка тут же вказується певної дробом. Для полегшення розуміння ми спочатку наведемо приклади таких завдань, а потім познайомимо з способом їх вирішення.
Завдання 1.У мене було 60 руб .; 1/3 цих грошей я витратив на покупку книг. Скільки коштували книги?
Завдання 2.Поїзд повинен пройти відстань між містами А і В, що дорівнює 300 км. Він уже пройшов 2/3 цієї відстані. Скільки це становить кілометрів?
Завдання 3.У селі 400 будинків, з них 3/4 цегельних, інші дерев'яні. Скільки всього цегляних будинків?
Ось деякі з тих численних завдань на знаходження частини від даного числа, з якими нам доводиться зустрічатися. Їх зазвичай називають завданнями на знаходження дробу даного числа.
Рішення завдання 1.З 60 руб. я витратив на книги 1/3; Значить, для знаходження вартості книг потрібно число 60 розділити на 3:
Рішення завдання 2.Сенс завдання полягає в тому, що потрібно знайти 2/3 від 300 км. Обчислимо спочатку 1/3 від 300; це досягається за допомогою ділення 300 км на 3:
300: 3 = 100 (це 1/3 від 300).
Для знаходження двох третин від 300 потрібно отримане приватне збільшити вдвічі, т. Е. Помножити на 2:
100 х 2 = 200 (це 2/3 від 300).
Рішення завдання 3.Тут потрібно визначити число цегляних будинків, які складають 3/4 від 400. Знайдемо спочатку 1/4 від 400,
400: 4 = 100 (це 1/4 від 400).
Для обчислення трьох чвертей від 400 отримане приватне потрібно збільшити втричі, т. Е. Помножити на 3:
100 х 3 = 300 (це 3/4 від 400).
На підставі рішення цих задач ми можемо вивести наступне правило:
Щоб знайти величину дробу від даного числа, потрібно розділити це число на знаменник дробу і отримане приватне помножити на її чисельник.
3. Множення цілого числа на дріб.
Раніше (§ 26) було встановлено, що множення цілих чисел потрібно розуміти, як додавання однакових доданків (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). У цьому параграфі (пункт 1) було встановлено, що помножити дріб на ціле число - це значить знайти суму однакових доданків, рівних цій дробу.
В обох випадках множення складалося в знаходженні суми однакових доданків.
Тепер ми переходимо до множення цілого числа на дріб. Тут ми зустрінемося з таким, наприклад, множенням: 9 2/3. Цілком очевидно, що колишнє визначення множення не підходить до даного випадку. Це видно з того, що ми не можемо таке множення замінити складанням рівних між собою чисел.
В силу цього нам доведеться дати нове визначення множення, т. Е., Іншими словами, відповісти на питання, що слід розуміти під множенням на дріб, як потрібно розуміти цю дію.
Сенс множення цілого числа на дріб з'ясовується з наступного визначення: помножити ціле число (множимое) на дріб (множник) - значить знайти цю дріб множимо.
Саме, помножити 9 на 2/3 - значить знайти 2/3 від дев'яти одиниць. У попередньому пункті вирішувалися такі завдання; тому легко зрозуміти, що у нас в результаті вийде 6.
Але тепер постає цікаве і важливе питання: чому такі на перший погляд різні дії, як знаходження суми рівних чисел і знаходження дробу числа, в арифметиці називаються одним і тим же словом «множення»?
Відбувається це тому, що колишнє дію (повторення числа складовою кілька разів) і нову дію (знаходження дробу числа) дають відповідь на однорідні питання. Значить, ми виходимо тут з тих міркувань, що однорідні питання або завдання вирішуються одним і тим же дією.
Щоб це зрозуміти, розглянемо наступну задачу: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 4 м такого сукна? »
Це завдання вирішується множенням числа рублів (50) на число метрів (4), т. Е. 50 x 4 = 200 (грн.).
Візьмемо таку ж задачу, але в ній кількість сукна буде виражена дробовим числом: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 3/4 м такого сукна? »
Це завдання теж потрібно вирішувати множенням числа рублів (50) на число метрів (3/4).
Можна і ще кілька разів, не змінюючи змісту задачі, змінити в ній числа, наприклад взяти 9/10 м або 2 3/10 м і т. Д.
Так як ці завдання мають один і той же зміст і відрізняються лише числами, то ми називаємо дії, що застосовуються при їх вирішенні, одним і тим же словом - множення.
Як виконується множення цілого числа на дріб?
Візьмемо числа, що зустрілися в останній задачі:
Згідно з визначенням ми повинні знайти 3/4 від 50. Знайдемо спочатку 1/4 від 50, а потім 3/4.
1/4 числа 50 становить 50/4;
3/4 числа 50 складають.
Отже.
Розглянемо ще один приклад: 12, 5/8 =?
1/8 числа 12 становить 12/8,
5/8 числа 12 складають.
отже,
Звідси отримуємо правило:
Щоб помножити ціле число на дріб, треба помножити ціле число на чисельник дробу і цей твір зробити чисельником, а знаменником підписати знаменник даної дробу.
Запишемо це в основному за рахунок букв:
Щоб це правило стало абсолютно зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватна. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом множення числа на приватне, яке було викладено в § 38
Необхідно пам'ятати, що перш ніж виконувати множення, слід робити (якщо можливо) скорочення, Наприклад:
4. Множення дробу на дріб.Множення дробу на дріб має таке ж значення, що і множення цілого числа на дріб, т. Е. При множенні дробу на дріб потрібно від першого дробу (множимо) знайти дріб, що стоїть у множнику.
Саме, помножити 3/4 на 1/2 (половину) - це значить знайти половину від 3/4.
Як виконується множення дробу на дріб?
Візьмемо приклад: 3/4 помножити на 5/7. Це означає, що потрібно знайти 5/7 від 3/4. Знайдемо спочатку 1/7 від 3/4, а потім 5/7
1/7 числа 3/4 виразиться так:
5/7 числа 3/4 виразяться так:
Таким чином,
Ще приклад: 5/8 помножити на 4/9.
1/9 числа 5/8 становить,
4/9 числа 5/8 складають.
Таким чином, 
З розгляду цих прикладів можна вивести наступне правило:
Щоб помножити дріб на дріб, потрібно помножити чисельник на чисельник, а знаменник - на знаменник і перший твір зробити чисельником, а друге - знаменником твори.
Це правило в загальному вигляді можна записати так:
При множенні необхідно робити (якщо можливо) скорочення. Розглянемо приклади:
5. Множення змішаних чисел.Так як змішані числа легко можуть бути замінені неправильними дробами, то ця обставина зазвичай користуються при множенні змішаних чисел. Це означає, що в тих випадках, коли множимое, або множник, або обидва співмножники виражені змішаними числами, то їх замінюють неправильними дробами. Перемножимо, наприклад, змішані числа: 2 1/2 і 3 1/5. Звернемо кожне з них в неправильну дріб і потім будемо множити отримані дробу за правилом множення дробу на дріб:
Правило.Щоб перемножити мішані числа, потрібно попередньо звернути їх у неправильні дроби і потім перемножити за правилом множення дробу на дріб.
Примітка.Якщо один з співмножників - ціле число, то множення може бути виконано на підставі розподільного закону так:
6. Поняття про відсоток.При вирішенні завдань і при виконанні різних практичних розрахунків ми користуємося всілякими дробом. Але потрібно мати на увазі, що багато величини допускають не будь-які, а природні для них підрозділи. Наприклад, можна взяти одну соту (1/100) рубля, це буде копійка, дві сотих - це 2 коп., Три сотих - 3 коп. Можна взяти 1/10 рубля, це буде "10 коп., Або гривеник. Можна взяти чверть рубля, т. Е. 25 коп., Половину рубля, т. Е. 50 коп. (Полтинник). Але практично не беруть, наприклад , 2/7 рубля тому, що рубль на сьому частки не ділиться.
Одиниця виміру ваги, т. Е. Кілограм, допускає насамперед десяткові підрозділи, наприклад 1/10 кг, або 100 г. А такі частки кілограма, як 1/6, 1/11, 1/13 неупотребітельни.
Взагалі наші (метричні) заходи є десятковими і допускають десяткові підрозділи.
Однак слід зауважити, що вкрай корисно і зручно в найрізноманітніших випадках користуватися однаковим (одноманітним) способом підрозділу величин. Багаторічний досвід показав, що таким добре виправдав себе поділом є «сотенне» розподіл. Розглянемо кілька прикладів, що відносяться до найрізноманітніших областях людської практики.
1. Ціна на книги знизилася на 12/100 колишньої ціни.
Приклад. Колишня ціна книги 10 руб. Вона знизилася на 1 рубль. 20 коп.
2. Ощадні каси виплачують протягом року вкладникам 2/100 суми, яка покладена на заощадження.
Приклад. У касу належить 500 руб., Дохід з цієї суми за рік становить 10 руб.
3. Число випускників однієї школи склало 5/100 від загального числа учнів.
П р и м і р. У школі навчалося всього 1 200 вчаться, з них закінчили школу 60 осіб.
Сота частина числа називається відсотком.
Слово «відсоток» запозичене з латинської мови і його корінь «цент» означає сто. Разом з приводом (pro centum) це слово позначає «за сотню». Сенс такого виразу випливає з тієї обставини, що спочатку в стародавньому Римі відсотками називалися гроші, які платив боржник позикодавцеві «за кожну сотню». Слово «цент» чується в таких всім знайомих словах: центнер (сто кілограмів), центіметр (йдеться сантиметр).
Наприклад, замість того щоб говорити, що завод за минулий місяць дав шлюбу 1/100 від всієї виробленої ним продукції, ми будемо говорити так: завод за минулий місяць дав один відсоток браку. Замість того щоб говорити: завод виробив продукції на 4/100 більше встановленого плану, ми будемо говорити: завод перевиконав план на 4 відсотки.
Викладені вище приклади можна висловити інакше:
1. Ціна на книги знизилася на 12 відсотків колишньої ціни.
2. Ощадні каси виплачують вкладникам за рік 2 відсотки з суми, покладеної на збереження.
3. Число випускників однієї школи становило 5 відсотків числа всіх учнів школи.
Для скорочення листи прийнято замість слова «відсоток» писати значок%.
Однак потрібно пам'ятати, що в обчисленнях значок% зазвичай не пишеться, він може бути записаний в умові завдання і в остаточному результаті. При виконанні ж обчислень потрібно писати дріб зі знаменником 100 замість цілого числа з цим значком.
Потрібно вміти замінювати ціле число із зазначеним значком дробом з знаменником 100:
Назад, потрібно звикнути замість дробу з знаменником 100 писати ціле число із зазначеним значком:
7. Знаходження відсотків даного числа.
Завдання 1.Школа отримала 200 куб. м дров, причому березові дрова становили 30%. Скільки було березових дров?
Сенс цього завдання полягає в тому, що березові дрова становили лише частина тих дров, які були доставлені в школу, і ця частина виражається дробом 30/100. Значить, перед нами завдання на знаходження дробу від числа. Для її вирішення ми повинні 200 помножити на 30/100 (завдання на знаходження дробу числа вирішуються множенням числа на дріб.).
Значить, 30% від 200 дорівнюють 60.
Дріб 30/100, що зустрічалася в цьому завданні, допускає скорочення на 10. Можна було б з самого початку виконати це скорочення; рішення задачі від цього не змінилося б.
Завдання 2.У таборі було 300 дітей різних вікових груп. Діти 11 років становили 21%, діти 12 років становили 61% і, нарешті, 13-річних дітей було 18%. Скільки було дітей кожного віку в таборі?
У цьому завданні потрібно виконати три обчислення, т. Е. Послідовно знайти число дітей 11 років, потім 12 років і, нарешті, 13 років.
Значить, тут потрібно буде три рази відшукати дріб від числа. Зробимо це:
1) Скільки було дітей 11-річного віку?
2) Скільки було дітей 12-річного віку?
3) Скільки було дітей 13-річного віку?
Після виконання завдання корисно скласти знайдені числа; сума їх повинна скласти 300:
63 + 183 + 54 = 300
Слід також звернути увагу на те, що сума відсотків, даних в умові завдання, становить 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Це говорить про те, що загальне число дітей, які перебували в таборі, було прийнято за 100%.
3 а д а ч а 3.Робочий отримав за місяць 1 200 руб. З них 65% він витратив на харчування, 6% - на квартиру і опалення, 4% - на газ, електрику і радіо, 10% - на культурні потреби і 15% - зберіг. Скільки грошей витрачено на зазначені в завданні потреби?
Для вирішення цього завдання потрібно 5 раз знайти дріб від числа 1 200. Зробимо це.
1) Скільки грошей витрачено на харчування? У задачі сказано, що ця витрата становить 65% від усього заробітку, т. Е. 65/100 від числа 1 200. Зробимо обчислення:
2) Скільки грошей сплачено за квартиру з опаленням? Розмірковуючи подібно до попереднього, ми прийдемо до наступного обчислення:
3) Скільки грошей сплатили за газ, електрику і радіо?
4) Скільки грошей витрачено на культурні потреби?
5) Скільки грошей робочий зберіг?
Для перевірки корисно скласти числа, знайдені в цих 5 питаннях. Сума повинна становити 1 200 руб. Весь заробіток прийнятий за 100%, що легко перевірити, склавши числа відсотків, дані в умові задачі.
Ми вирішили три завдання. Незважаючи на те, що в цих завданнях йшлося про різні речі (доставка дров для школи, число дітей різних вікових груп, витрати робочого), вони вирішувалися одним і тим же способом. Це сталося через те, що у всіх завданнях потрібно було знайти кілька відсотків від даних чисел.
§ 90. Розподіл дробів.
При вивченні розподілу дробів ми будемо розглядати такі питання:
1. Розподіл цілого числа на ціле.
2. Розподіл дробу на ціле число
3. Розподіл цілого числа на дріб.
4. Розподіл дробу на дріб.
5. Розподіл змішаних чисел.
6. Знаходження числа за даною його дробу.
7. Знаходження числа за його відсотками.
Розглянемо їх послідовно.
1. Розподіл цілого числа на ціле.
Як було зазначено у відділі цілих чисел, розподілом називається дія, що складається в тому, що з даного твору двох співмножників (делимому) і одному з цих співмножників (делителю) відшукується інший співмножник.
Розподіл цілого числа на ціле ми розглядали в відділі цілих чисел. Ми зустріли там два випадки ділення: розподіл без залишку, або «без остачі» (150: 10 = 15), і розподіл із залишком (100: 9 = 11 і 1 в залишку). Ми можемо, отже, сказати, що в області цілих чисел точне поділ не завжди можливо, тому що ділене не завжди є твором подільника на ціле число. Після введення множення на дріб ми можемо всякий випадок ділення цілих чисел вважати можливим (виключається тільки розподіл на нуль).
Наприклад, розділити 7 на 12-це значить знайти таке число, твір якого на 12 було б дорівнює 7. Таким числом є дріб 7/12 бо 7/12 12 = 7. Ще приклад: 14: 25 = 14/25, тому що 14/25 25 = 14.
Таким чином, щоб розділити ціле число на ціле, потрібно скласти дріб, чисельник якого дорівнює делимому, а знаменник - делителю.
2. Розподіл дробу на ціле число.
Розділити дріб 6/7 на 3. Згідно з цим вище визначенням розподілу ми маємо тут твір (6/7) і один із співмножників (3); потрібно знайти такий другий співмножник, який від множення на 3 дав би цей твір 6/7. Очевидно, він повинен бути втричі менше цього твору. Значить, поставлена перед нами завдання полягало в тому, щоб дріб 6/7 зменшити в 3 рази.
Ми вже знаємо, що зменшення дробу можна виконати або шляхом зменшення її чисельника, або шляхом збільшення її знаменника. Тому можна написати:
В даному випадку чисельник 6 ділиться на 3, тому слід зменшити в 3 рази чисельник.
Візьмемо інший приклад: 5/8 розділити на 2. Тут чисельник 5 не ділиться без остачі на 2, значить, на це число доведеться помножити знаменник:
На підставі цього можна висловити правило: щоб розділити дріб на ціле число, потрібно розділити на це ціле число чисельник дробу(якщо це можливо), залишивши той же знаменник, або помножити на це число знаменник дробу, залишивши той же чисельник.
3. Розподіл цілого числа на дріб.
Нехай потрібно розділити 5 на 1/2, т. Е. Знайти таке число, яке після множення на 1/2 дасть твір 5. Очевидно, це число повинне бути більше 5, так як 1/2 є правильна дріб, а при множенні числа на правильну дріб твір має бути менше множимо. Щоб це було зрозуміліше, запишемо наші дії наступним чином: 5: 1/2 = х , Значить, х 1/2 = 5.
Ми повинні знайти таке число х , Яке, будучи помножена на 1/2 дало б 5. Так як помножити деяке число на 1/2 - це означає знайти 1/2 цього числа, то, отже, 1/2 невідомого числа х дорівнює 5, а все число х вдвічі більше, т. е. 5 2 = 10.
Таким чином, 5: 1/2 = 5 2 = 10
перевіримо: 
Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 6 на 2/3. Спробуємо спочатку знайти шуканий результат за допомогою креслення (рис. 19).
рис.19
Зобразимо відрізок АВ, що дорівнює 6 якимось одиницям, і розділимо кожну одиницю на 3 рівні частини. У кожній одиниці три третини (3/3) у всьому відрізку АВ в 6 разів більше, т. е. 18/3. З'єднаємо за допомогою маленьких скобочек 18 отриманих відрізків по 2; вийде всього 9 відрізків. Значить дріб 2/3 міститься в б одиницях 9 разів, або, іншими словами, дріб 2/3 в 9 разів менше 6 цілих одиниць. отже,
Яким чином отримати цей результат без креслення за допомогою одних тільки обчислень? Будемо міркувати так: потрібно 6 розділити на 2/3, т. Е. Потрібно відповісти на питання, скільки разів 2/3 містяться в 6. Дізнаємося спочатку: скільки разів 1/3 міститься в 6? У цілій одиниці - 3 третини, а в 6 одиницях - в 6 разів більше, т. Е. 18 третин; для знаходження цього числа ми повинні 6 помножити на 3. Отже, 1/3 міститься в б одиницях 18 разів, а 2/3 містяться в б не 18 разів, а вдвічі менше раз, т. е. 18: 2 = 9. Отже , при розподілі 6 на 2/3 ми виконали наступні дії:
Звідси отримуємо правило ділення цілого числа на дріб. Щоб розділити ціле число на дріб, треба це ціле число помножити на знаменник даної дробу і, зробивши цей твір числителем, розділити його на чисельник даної дробу.
Запишемо правило за допомогою букв:
Щоб це правило стало абсолютно зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватна. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом ділення числа на приватне, яке було викладено в § 38. Зверніть увагу на те, що там була отримана така ж формула.
При розподілі можливі скорочення, наприклад:
4. Розподіл дробу на дріб.
Нехай потрібно розділити 3/4 на 3/8. Що означатиме число, яке вийде в результаті поділу? Воно буде давати відповідь на питання, скільки разів дріб 3/8 міститься в дроби 3/4. Щоб розібратися в цьому питанні, зробимо креслення (рис. 20).
Візьмемо відрізок АВ, приймемо його за одиницю, розділимо на 4 рівні частини і відзначимо 3 такі частини. Відрізок АС буде дорівнює 3/4 відрізка АВ. Розділимо тепер кожен з чотирьох початкових відрізків навпіл, тоді відрізок АВ розділиться на 8 рівних частин і кожна така частина буде дорівнює 1/8 відрізка АВ. З'єднаємо дугами по 3 таких відрізка, тоді кожен з відрізків AD і DC буде дорівнює 3/8 відрізка АВ. Креслення показує, що відрізок, рівний 3/8, міститься в відрізку, рівному 3/4, рівно 2 рази; значить, результат ділення можна записати так:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 15/16 на 3/32:
Ми можемо міркувати так: потрібно знайти таке число, яке після множення на 3/32 Дасть твір, рівне 15/16. Запишемо обчислення так:
15 / 16: 3 / 32 = х
3 / 32 х = 15 / 16
3/32 невідомого числа х складають 15/16
1/32 невідомого числа х складає,
32/32 числа х складають.
отже,
Таким чином, щоб розділити дріб на дріб, потрібно чисельник першого дробу помножити на знаменник другого, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другого і перший твір зробити чисельником, а друге - знаменником.
Запишемо правило за допомогою букв:
При розподілі можливі скорочення, наприклад:
5. Розподіл змішаних чисел.
При розподілі змішаних чисел їх потрібно попередньо звертати в неправильні дроби, а потім робити поділ отриманих дробів за правилами ділення дробових чисел. Розглянемо приклад:
Звернемо змішані числа в неправильні дроби:
Тепер розділимо:
Таким чином, щоб розділити змішані числа, потрібно звернути їх у неправильні дроби і потім розділити за правилом ділення дробів.
6. Знаходження числа за даною його дробу.
Серед різних завдань на дробу іноді зустрічаються такі, в яких дається величина якої-небудь дробу невідомого числа і потрібно знайти це число. Цього типу завдання будуть зворотними по відношенню до завдань на знаходження дробу даного числа; там давалося число і було потрібно знайти деяку дріб від цього числа, тут дається дріб від числа і потрібно знайти саме це число. Ця думка стане ще ясніше, якщо ми звернемося до вирішення такого типу завдань.
Завдання 1.У перший день склярі засклили 50 вікон, що становить 1/3 всіх вікон побудованого будинку. Скільки всього вікон в цьому будинку?
Рішення.У задачі сказано, що засклені 50 вікон складають 1/3 всіх вікон будинку, значить, все вікон в 3 рази більше, т. Е.
У будинку було 150 вікон.
Завдання 2.Магазин продав 1 500 кг борошна, що становить 3/8 всього запасу борошна, наявного в магазині. Який був початковий запас борошна в магазині?
Рішення.З умови задачі видно, що продані 1 500 кг борошна становлять 3/8 всього запасу; значить, 1/8 цього запасу буде в 3 рази менше, т. е. для її обчислення потрібно 1 500 зменшити в 3 рази:
1 500: 3 = 500 (це 1/8 запасу).
Очевидно, весь запас буде в 8 разів більше. отже,
500 8 = 4 000 (кг).
Початковий запас борошна в магазині був дорівнює 4 000 кг.
З розгляду цього завдання можна вивести наступне правило.
Щоб знайти, число по даній величині його дробу, досить розділити цю величину на чисельник дробу і результат помножити на знаменник дробу.
Ми вирішили два завдання на знаходження числа за даною його дробу. Такі завдання, як це особливо добре видно з останньої, вирішуються двома діями: поділом (коли знаходять одну частину) і множенням (коли знаходять все число).
Однак після того як ми вивчили розподіл дробів, зазначені вище завдання можна вирішувати одним дією, а саме: поділом на дріб.
Наприклад, остання задача може бути вирішена одним дією так:
Надалі завдання на знаходження числа за його дробом ми будемо вирішувати одним дією - діленням.
7. Знаходження числа за його відсотками.
У цих завданнях потрібно буде знайти число, знаючи кілька відсотків цього числа.
Завдання 1.На початку поточного року я отримав в ощадній касі 60 руб. доходу з суми, покладеної мною на заощадження рік тому. Скільки грошей я поклав в ощадну касу? (Каси дають вкладникам 2% доходу в рік.)
Сенс завдання полягає в тому, що деяка сума грошей була покладена мною в ощадну касу і пролежала там рік. Після року я отримав з неї 60 руб. доходу, що становить 2/100 тих грошей, які я поклав. Скільки ж грошей я поклав?
Отже, знаючи частина цих грошей, виражену двома способами (в рублях і дробом), ми повинні знайти всю, поки невідому, суму. Це звичайна задача на знаходження числа за даною його дробу. Вирішуються такі завдання розподілом:
Значить, в ощадну касу було покладено 3000 руб.
Завдання 2.Рибалки за два тижні виконали місячний план на 64%, заготовивши 512 т риби. Який у них був план?
З умови задачі відомо, що рибалки виконали частину плану. Ця частина дорівнює 512 т, що становить 64% плану. Скільки тонн риби потрібно заготовити за планом, нам невідомо. У знаходженні цього числа і складатиметься рішення задачі.
Такі завдання вирішуються розподілом:
Значить, за планом потрібно заготовити 800 т риби.
Завдання 3.Поїзд ішов з Риги до Москви. Коли він минув 276-й кілометр, один з пасажирів запитав проходить кондуктора, яку частину шляху вони вже проїхали. На це кондуктор відповів: «Проїхали вже 30% всього шляху». Яке відстань від Риги до Москви?
З умови задачі видно, що 30% шляху від Риги до Москви становлять 276 км. Нам потрібно знайти все відстань між цими містами, т. Е. По даній частині знайти ціле:
§ 91. Взаємно обернені числа. Заміна ділення множенням.
Візьмемо дріб 2/3 і переставимо чисельник на місце знаменника, вийде 3/2. Ми отримали дріб, зворотний даної.
Для того щоб отримати дріб, зворотний даної, потрібно її чисельник поставити на місце знаменника, а знаменник - на місце чисельника. Цим способом ми можемо отримати дріб, зворотний будь дробу. наприклад:
3/4, зворотна 4/3; 5/6, зворотна 6/5
Дві дробу, що володіють тим властивістю, що чисельник першого є знаменником другий, а знаменник першої є чисельником другий, називаються взаємно зворотними.
Тепер подумаємо, яка дріб буде зворотної для 1/2. Очевидно, це буде 2/1, або просто 2. Шукаючи дріб, зворотний даної, ми отримали ціле число. І цей випадок не поодинокий; навпаки, для всіх дробів з чисельником 1 (одиниця) зворотними будуть цілі числа, наприклад:
1/3, зворотна 3; 1/5, зворотна 5
Так як при знаходженні зворотних дробів ми зустрілися і з цілими числами, то в подальшому ми будемо говорити не про зворотні дробах, а про зворотні числах.
З'ясуємо, як написати число, зворотне цілому числу. Для дробів це вирішується просто: потрібно знаменник поставити на місце чисельника. Цим же способом можна отримати зворотне число і для цілого числа, так як у будь-якого цілого числа можна мати на увазі знаменник 1. Значить, число, зворотне 7, буде 1/7, тому що 7 = 7/1; для числа 10 зворотне буде 1/10, так як 10 = 10/1
Цю думку можна висловити інакше: число, зворотне даному числу, виходить від ділення одиниці на дане число. Таке твердження справедливе не тільки для цілих чисел, але і для дробів. Справді, якщо потрібно написати число, зворотне дробу 5/9, то ми можемо взяти 1 і розділити її на 5/9, т. Е.
Тепер зазначимо одне властивістьвзаємно зворотних чисел, яке буде нам корисно: твір взаємно зворотних чисел дорівнює одиниці.Справді:
Користуючись цією властивістю, ми можемо знаходити обернені числа наступним шляхом. Нехай потрібно знайти число, зворотне 8.
Позначимо його буквою х , Тоді 8 х = 1, звідси х = 1/8. Знайдемо ще число, зворотне 7/12 позначимо його буквою х , Тоді 7/12 х = 1, звідси х = 1: 7/12 або х = 12 / 7 .
Ми ввели тут поняття про взаємно зворотних числах для того, щоб трохи доповнити відомості про розподіл дробів.
Коли ми ділимо число 6 на 3/5, то ми виконуємо наступні дії:
Зверніть особливу увагу на вираз і порівняйте його з заданим:.
Якщо взяти вираз окремо, без зв'язку з попереднім, то не можна вирішити питання, звідки воно виникло: від ділення 6 на 3/5 або від множення 6 на 5/3. В обох випадках виходить одне й те саме. Тому ми можемо сказати, що розподіл одного числа на інше можна замінити множенням діленого на число, протилежне дільнику.
Приклади, які ми даємо нижче, цілком підтверджують цей висновок.
зміст урокуДодавання дробів з однаковими знаменниками
Додавання дробів буває двох видів:
- Додавання дробів з однаковими знаменниками
- Додавання дробів з різними знаменниками
Спочатку вивчимо складання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дробу з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без зміни. Наприклад, складемо дроби і. Складаємо числители, а знаменник залишаємо без зміни:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:
Приклад 2.Скласти дроби і.
У відповіді вийшла неправильна дріб. Якщо настає кінець завдання, то від неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбавиться від неправильного дробу, потрібно виділити в ній цілу частину. У нашому випадку ціла частина виділяється легко - два розділити на два дорівнює одиниці:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:
приклад 3. Скласти дроби і.
Знову ж складаємо числители, а знаменник залишаємо без зміни:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:
Приклад 4.Знайти значення виразу 
Цей приклад вирішується точно також, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:
Спробуємо зобразити наше рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і ще додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.
Як бачите в додаванні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Досить розуміти такі правила:
- Щоб скласти дробу з однаковими знаменника, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без зміни;
Додавання дробів з різними знаменниками
Тепер навчимося додавати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів повинні бути однаковими. Але однаковими вони бувають не завжди.
Наприклад, дробу і скласти можна, оскільки у них однакові знаменники.
А ось дроби і відразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дробу потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.
Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо тільки один з них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.
Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу і отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другої дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу і отримують другий додатковий множник.
Потім числители і знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються в дробу, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми вже знаємо.
приклад 1. Складемо дроби і
В першу чергу знаходимо найменше спільне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу - число 2. Найменше спільне кратне цих чисел дорівнює 6
НОК (2 і 3) = 6
Тепер повертаємося до дробям і. Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу і отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.
Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:
Аналогічно робимо і з другої дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу і отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.
Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж робимо невелику косу лінію над другою дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:
Тепер у нас все готово для складання. Залишилося помножити числители і знаменники дробів на свої додаткові множники:
Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися в дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішимо цей приклад до кінця:
Таким чином, приклад завершується. До додати виходить.
Спробуємо зобразити наше рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца і ще одна шоста піци:
Зведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити за допомогою малюнка. Привівши дроби і до спільного знаменника, ми отримали дробу і. Ці дві дробу зображатимуться тими ж шматками піц. Різниця буде лише в тому, що в цей раз вони будуть розділені на рівні частини (приведені до однакового знаменника).
Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки з шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки з шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків з шести). Ця дріб неправильна, тому ми виділили в ній цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу і ще одну шосту піци).
Відзначимо, що ми з вами розписали даний приклад занадто докладно. У навчальних закладах не прийнято писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників і додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на свої числители і знаменники. Перебуваючи в школі, даний приклад нам довелося б записати наступним чином:
Але є і зворотна сторона медалі. Якщо на перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають з'являтися питання роду «А звідки ота цифра?», «Чому дробу раптом перетворюються зовсім в інші дроби? «.
Щоб легше було додавати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:
- Знайти НОК знаменників дробів;
- Розділити НОК на знаменник кожного дробу і отримати додатковий множник для кожного дробу;
- Помножити числители і знаменники дробів на свої додаткові множники;
- Скласти дробу, у яких однакові знаменники;
- Якщо у відповіді вийшла неправильна дріб, то виділити її цілу частину;
Приклад 2.Знайти значення виразу 
.
Скористаємося інструкцією, яка приведена вище.
Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів
Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 і 4
Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу і отримати додатковий множник для кожного дробу
Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першою дробом:
Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другою дробом:
Тепер ділимо НОК на знаменник третьої дробу. НОК це число 12, а знаменник третьої дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третьою дробом:
Крок 3. Помножити числители і знаменники дробів на свої додаткові множники
Множимо чисельники і знаменники на свої додаткові множники:
Крок 4. Скласти дроби у яких однакові знаменники
Ми прийшли до того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися в дробу, у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. складаємо:
Додавання не влізло на одному рядку, тому ми перенесли залишився вираз на наступний рядок. Це допускається в математиці. Коли вираз не поміщається на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (=) на кінці першого рядка і на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження вираження, яке було на першому рядку.
Крок 5. Якщо у відповіді вийшла неправильна дріб, то виділити в ній цілу частину
У нас у відповіді вийшла неправильна дріб. Ми повинні виділити у неї цілу частину. виділяємо:
отримали відповідь
Віднімання дробів з однаковими знаменниками
Віднімання дробів буває двох видів:
- Віднімання дробів з однаковими знаменниками
- Віднімання дробів з різними знаменниками
Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти від одного дробу іншу, потрібно з чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.
Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб вирішити це приклад, треба з чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:
Приклад 2.Знайти значення виразу.
Знову ж з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:
Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:
Приклад 3.Знайти значення виразу 
Цей приклад вирішується точно також, як і попередні. З чисельника першого дробу потрібно відняти числители інших дробів:
Як бачите в відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Досить розуміти такі правила:
- Щоб відняти від одного дробу іншу, потрібно з чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
- Якщо у відповіді вийшла неправильна дріб, то потрібно виділити в ній цілу частину.
Віднімання дробів з різними знаменниками
Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дробу потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.
Спільний знаменник знаходять за тим же принципом, яким ми користувалися при складанні дробів з різними знаменниками. В першу чергу знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу і отримують перший додатковий множник, який записується над першою дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу і отримують другий додатковий множник, який записується над другою дробом.
Потім дроби множаться на свої додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються в дробу, у яких однакові знаменники. А як віднімати такі дроби ми вже знаємо.
Приклад 1.Знайти значення виразу:
У цих дробів різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.
Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу - число 4. Найменше спільне кратне цих чисел дорівнює 12
НОК (3 і 4) = 12
Тепер повертаємося до дробям і
Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першою дробом:
Аналогічно робимо і з другої дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другою дробом:
Тепер у нас все готово для вирахування. Залишилося помножити дробу на свої додаткові множники:
Ми прийшли до того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися в дроби у яких однакові знаменники. А як віднімати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішимо цей приклад до кінця:
отримали відповідь
Спробуємо зобразити наше рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци
Це детальна версія рішення. Перебуваючи в школі, нам довелося б вирішити це приклад коротший. Виглядало б таке рішення наступним чином:
Зведення дробів і до спільного знаменника також може бути зображено за допомогою малюнка. Навівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дробу і. Ці дробу зображатимуться тими ж шматочками піц, але в цей раз вони будуть розділені на рівні частини (приведені до однакового знаменника):
Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків з дванадцяти), а другий малюнок - дріб (три шматочки з дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочка ми отримуємо п'ять шматочків з дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.
Приклад 2.Знайти значення виразу 
У цих дробів різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.
Знайдемо НОК знаменників цих дробів.
Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше спільне кратне цих чисел дорівнює 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.
Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першою дробом:
Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другою дробом:
Тепер знаходимо додатковий множник для третьої дробу. Розділимо НОК на знаменник третьої дробу. НОК це число 30, а знаменник третьої дроби - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третьою дробом:
Тепер все готово для вирахування. Залишилося помножити дробу на свої додаткові множники:
Ми прийшли до того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися в дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як віднімати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішимо цей приклад.
Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (=) на новому рядку:
У відповіді вийшла правильна дріб, і начебто нас все влаштовує, але вона надто громіздка і некрасива. Треба б зробити її простіше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.
Щоб скоротити дріб, потрібно розділити її чисельник і знаменник на (НОД) чисел 20 і 30.
Отже, знаходимо НОД чисел 20 і 30:
Тепер повертаємося до нашого прикладу і ділимо чисельник і знаменник дробу на знайдений НСД, тобто на 10
отримали відповідь
Множення дробу на число
Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник даної дробу помножити на це число, а знаменник залишити колишнім.
приклад 1. Помножити дріб на число 1.
Помножимо чисельник дробу на число 1
Запис можна розуміти, як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци
Із законів множення ми знаємо, що якщо множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір, як і раніше дорівнюватиме. Знову ж спрацьовує правило множення цілого числа і дроби:
Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є 1 ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:
приклад 2. Знайти значення виразу
Помножимо чисельник дробу на 4
У відповіді вийшла неправильна дріб. Виділимо в ній цілу частину:
Вираз можна розуміти, як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци
А якщо поміняти множимое і множник місцями, то отримаємо вираз. Воно теж буде дорівнює 2. Цей вислів можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:
множення дробів
Щоб перемножити дробу, потрібно перемножити їх чисельники і знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильна дріб, потрібно виділити в ній цілу частину.
Приклад 1.Знайти значення виразу.
Отримали відповідь. Бажано скоротити дану дріб. Дріб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішення прийме наступний вигляд:
Вираз можна розуміти, як взяття піци від половини піци. Припустимо, у нас є половина піци:
Як взяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:
І взяти від цих трьох шматочків два:
У нас вийде піци. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:
Один шматок від цієї піци і взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:
Іншими словами, мова йде про одне й те ж розмірі піци. Тому значення виразу одно
приклад 2. Знайти значення виразу
Множимо чисельник першого дробу на числівник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:
У відповіді вийшла неправильна дріб. Виділимо в ній цілу частину:
Приклад 3.Знайти значення виразу
Множимо чисельник першого дробу на числівник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:
У відповіді вийшла правильна дріб, але буде добре, якщо її скоротити. Щоб скоротити цю дріб, потрібно чисельник і знаменник даної дробу розділити на найбільший спільний дільник (НСД) чисел 105 і 450.
Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:
Тепер ділимо чисельник і знаменник нашої відповіді на НОД, який ми зараз знайшли, тобто на 15
Подання цілого числа у вигляді дробу
Будь-яке ціле число можна представити у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна представити як. Від цього п'ятірка свого значення не поміняє, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо одно п'ятірці:
Зворотні числа
Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темою в математиці. Вона називається «зворотні числа».
Визначення. Зворотним до числаa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.
Давайте підставимо в це визначення замість змінної aчисло 5 і спробуємо прочитати визначення:
Зворотним до числа 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.
Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5, дає одиницю? Виявляється можна. Уявімо п'ятірку у вигляді дробу:
Потім помножити цю дріб на саму себе, тільки поміняємо місцями чисельник і знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернуту:
Що вийде в результаті цього? Якщо ми продовжимо вирішувати це приклад, то отримаємо одиницю:
Значить зворотним до числа 5, є число, оскільки при множенні 5 на виходить одиниця.
Зворотне число можна знайти також для будь-якого іншого цілого числа.
Знайти зворотне число можна також для будь-якої іншої дробу. Для цього достатньо перевернути її.
Розподіл дробу на число
Припустимо, у нас є половина піци:
Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?
Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівних шматочка, кожен з яких становить піци. Значить кожному дістанеться по піци.
Ділення дробів виконується за допомогою зворотних чисел. Зворотні числа дозволяють замінити поділ множенням.
Щоб розділити дріб на число, потрібно цю дріб помножити на число, протилежне дільнику.
Користуючись цим правилом, запишемо розподіл нашої половини піци на дві частини.
Отже, потрібно розділити дріб на число 2. Тут діленим є дріб, а дільником число 2.
Щоб розділити дріб на число 2, потрібно цю дріб помножити на число, протилежне дільнику 2. Зворотне делителю 2 це дріб. Значить потрібно помножити на
Для вирішення різних завдань з курсу математики, фізики доводиться виробляти ділення дробів. Це зробити дуже легко, якщо знати певні правила виконання цього математичного дії.
Перш ніж перейти до формулювання правило тому, як ділити дроби, давайте згадаємо деякі математичні терміни:
- Верхня частина дробу називається чисельником, а нижня - знаменником.
- При розподілі числа називаються так: ділене: дільник = приватна
Як ділити дроби: прості дроби
Для виконання ділення двох простих дробів слід помножити ділене на дріб, зворотний дільнику. Цю дріб по-іншому називають ще перевернутої, тому що вона виходить в результаті заміни місцями чисельника і знаменника. наприклад:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Як ділити дроби: змішані дроби
Якщо нам доведеться розділити змішані дроби, то тут теж все досить просто і зрозуміло. Спочатку переводимо змішану дріб в звичайну неправильну дріб. Для цього множимо знаменник такої дробу на ціле число і чисельник додаємо до отриманого добутку. У підсумку ми отримали новий чисельник змішаної дробу, а знаменник її залишиться без зміни. Далі ділення дробів буде здійснюватися точно так же, як і розподіл простих дробів. наприклад:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Як ділити дріб на число
Для того щоб розділити простий дріб на число, останнє слід написати у вигляді дробу (неправильної). Це зробити дуже легко: на місці чисельника пишеться це число, а знаменник такої дробу дорівнює одиниці. Далі розподіл виконується звичайним способом. Розглянемо це на прикладі:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Як ділити десяткові дроби
Нерідко доросла людина відчуває труднощі при необхідності без допомоги калькулятора розділити ціле число або десяткову дріб на десяткову дріб.
Отже, щоб виконати ділення десяткових дробів, потрібно в дільнику просто закреслити кому і перестати звертати на неї увагу. У подільному кому потрібно пересунути вправо рівно на стільки знаків, скільки було в дробової частини подільника, при необхідності дописуючи нулі. І далі виробляють традиційне розподіл на ціле число. Щоб це стало зрозуміліше, приведемо наступний приклад.
Є поділ. У цій статті ми поговоримо про ділення звичайних дробів. Спочатку ми дамо правило ділення звичайних дробів і розглянемо приклади ділення дробів. Далі зупинимося на розподілі звичайного дробу на натуральне число і числа на дріб. Нарешті, розглянемо, як проводиться розподіл звичайного дробу на змішане число.
Навігація по сторінці.
Розподіл звичайного дробу на звичайний дріб
Відомо, що поділ є дією, зворотним множенню (дивіться зв'язок ділення з множенням). Тобто, розподіл припускає знаходження невідомого множника, коли відомий твір і інший множник. Цей же сенс поділу зберігається і при розподілі звичайних дробів.
Розглянемо приклади ділення звичайних дробів.
Відзначимо, що не слід забувати про скорочення дробів і про виділення цілої частини з неправильного дробу.
Розподіл звичайного дробу на натуральне число
відразу дамо правило ділення звичайного дробу на натуральне число: Щоб розділити дріб a / b на натуральне число n потрібно чисельник залишити колишнім, а знаменник помножити на n, тобто,.
Це правило ділення безпосередньо випливає з правила поділу звичайних дробів. Дійсно, уявлення натурального числа у вигляді дробу призводить до наступних равенствам 
.
Розглянемо приклад поділу дробу на число.
Приклад.
Розділіть дріб 16/45 на натуральне число 12.
Рішення.
За правилом ділення дробу на число маємо 
. Виконаємо скорочення:. На цьому розподіл завершено.
відповідь:
.
Розподіл натурального числа на звичайну дріб
Правила поділу дробів аналогічно правило ділення натурального числа на звичайну дріб: Щоб розділити натуральне число n на звичайну дріб a / b, треба число n помножити на число, протилежне дробу a / b.
Згідно озвученим правилом,, а правило множення натурального числа на звичайну дріб дозволяє його переписати у вигляді.
Розглянемо приклад.
Приклад.
Виконайте ділення натурального числа 25 на дріб 15/28.
Рішення.
Перейдемо від ділення до множення, маємо 
. Після скорочення і виділення цілої частини отримуємо.
відповідь:
.
Розподіл звичайного дробу на змішане число
Розподіл звичайного дробу на змішане числолегко зводиться до поділу звичайних дробів. Для цього достатньо здійснити
Звичайні дробові числа вперше зустрічають школярів в 5 класі і супроводжують їх протягом усього життя, так як в побуті найчастіше потрібна розглядати або використовувати якийсь об'єкт не цілком, а окремими шматками. Початок вивчення цієї теми - долі. Частки - це рівні частини, На які поділено той чи інший предмет. Адже не завжди виходить висловити, припустимо, довжину або ціну товару цілим числом, слід взяти до уваги частини або частки будь-які заходи. Утворене від дієслова «дробити» - розділяти на частини, і маючи арабське коріння, в VIII столітті виникло саме слово «дріб» в російській мові.
Дробові вирази тривалий час вважали найскладнішим розділом математики. У XVII столітті, при появі первоучебніков з математики, їх називали «ламані числа», що дуже складно відображалося в розумінні людей.
Сучасного вигляду простих дрібних залишків, частини яких розділені саме горизонтальною лінією, вперше посприяв Фібоначчі - Леонардо Пізанський. Його праці датовані в 1202 році. Але мета цієї статті - просто і зрозуміло пояснити читачеві, як відбувається множення змішаних дробів з різними знаменниками.
Множення дробів з різними знаменниками
Спочатку варто визначити різновиди дробів:
- правильні;
- неправильні;
- змішані.
Далі потрібно згадати, як відбувається множення дрібних чисел з однаковими знаменниками. Саме правило цього процесу нескладно сформулювати самостійно: результатом множення простих дробів з однаковими знаменниками є дробове вираження, чисельник якого є твір числителей, а знаменник - добуток знаменників даних дробів. Тобто, по суті, новий знаменник є квадрат одного з існуючих спочатку.
при множенні простих дробів з різними знаменникамидля двох і більше множників правило не змінюється:
a /b * c /d = a * c / b * d.
Єдина відмінність в тому, що утворене число під дробової рисою буде твором різних чисел і, природно, квадратом одного числового виразу його назвати неможливо.
Варто розглянути множення дробів з різними знаменниками на прикладах:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
У прикладах використовуються методи скорочення дробових виражень. Можна скорочувати тільки числа чисельника з числами знаменника, поруч стоять множники над дробової рисою або під нею скорочувати не можна.
Поряд з простими дробовими числами, існує поняття змішаних дробів. Змішане число складається з цілого числа і дробової частини, тобто є сумою цих чисел:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Як відбувається перемножування
Пропонується кілька прикладів для розгляду.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
У прикладі використовується множення числа на звичайну дробову частину, Записати правило для цього дії можна формулою:
a * b /c = a * b /c.
По суті, такий твір є сума однакових дрібних залишків, а кількість доданків вказує це натуральне число. Окремий випадок:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Існує ще один варіант вирішення множення числа на дробовий залишок. Варто просто розділити знаменник на це число:
d * e /f = e /f: d.
Цим прийомом корисно користуватися, коли знаменник ділиться на натуральне число без залишку або, як то кажуть, без остачі.
Перекласти змішані числа в неправильні дроби і отримати твір раніше описаним способом:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
У цьому прикладі бере участь спосіб представлення змішаної дробу в неправильну, його також можна представити у вигляді загальної формули:
a bc = a * b + c / c, де знаменник нової дробу утворюється при множенні цілої частини зі знаменником і при додаванні його з чисельником вихідного дрібного залишку, а знаменник залишається колишнім.
Цей процес працює і у зворотний бік. Для виділення цілої частини і дрібного залишку потрібно поділити чисельник неправильного дробу на її знаменник «куточком».
Множення неправильних дробіввиробляють загальноприйнятим способом. Коли запис йде під єдиною дробової рисою, у міру необхідності потрібно зробити скорочення дробів, щоб зменшити таким методом числа і простіше порахувати результат.
В інтернеті існує безліч помічників, щоб вирішувати навіть складні математичні завдання в різних варіаціях програм. Достатня кількість таких сервісів пропонують свою допомогу при рахунку множення дробів з різними числами в знаменниках - так звані онлайн-калькулятори для розрахунку дробів. Вони здатні не тільки помножити, але і зробити всі інші найпростіші арифметичні операції зі звичайними дробами і змішаними числами. Працювати з ним нескладно, на сторінці сайту заповнюються відповідні поля, вибирається знак математичного дії і натискається «вирахувати». Програма вважає автоматично.
Тема арифметичних дій з дробовими числами актуальна на всьому протязі навчання школярів середнього та старшого ланки. У старших класах розглядають вже не найпростіші види, а цілі дробові вирази, Але знання правил по перетворенню і розрахунками, отримані раніше, застосовуються в первозданному вигляді. Добре засвоєні базові знання дають повну впевненість в успішному вирішенні найбільш складних завдань.
На закінчення має сенс процитувати Льва Миколайовича Толстого, який писав: «Людина є дріб. Збільшити свого чисельника - свої достоїнства, - не у владі людини, але кожен може зменшити свого знаменника - свою думку про самого себе, і цим зменшенням наблизитися до своєї досконалості ».
