Гострий кут між прямою та площиною. Кут між прямою та площиною: визначення, приклади знаходження
Кут між прямою l і площиною 6 може бути визначений через додатковий кут р між заданою прямою l і перпендикуляром п до даної площини, проведеної з будь-якої точки прямої (рис. 144). Кут Р доповнює кут, що шукається, до 90°. Визначивши справжню величину кута Р шляхом обертання навколо прямої рівня площини кута, утвореного прямою l і перпендикуляром і залишається доповнити його до прямого кута. Цей додатковий кут і дасть справжню величину кута між прямою l і площиною 0.
27. Визначення кута між двома площинами.
Справжня величина двогранного кута між двома площинами Q і л. - може бути визначена або шляхом заміни площини проекцій з метою перетворення ребра двогранного кута в проецирующую пряму (завдання 1 і 2), або якщо ребро не задано, як кут між двома перпендикулярами n1 і n2, проведеними до даних площин з довільної точки М простору площини цих перпендикулярів при точці М отримуємо два плоскі кути а і Р, які відповідно дорівнюють лінійним кутам двох суміжних кутів (двогранних), утворених площинами q і л,. Визначивши справжню величину кутів між перпендикулярними n1 і n2 шляхом обертання навколо прямого рівня, тим самим визначимо і лінійний кутдвогранного кута, утвореного площинами q та л.
Криві лінії. Особливі точки кривих ліній.
На комплексному кресленні кривої її особливі точки, яких ставляться точки перегину, повернення, зламу, вузлові точки, є особливими точками і її проекції. Це тим, що особливі точки кривих пов'язані з дотичними у цих точках.
Якщо площина кривої займає проеціруюче положення (рис. а),то одна проекція цієї кривої має форму пряму.
У просторової кривої всі її проекції – криві лінії (рис. б).
Щоб встановити за кресленням, яка задана крива (плоска або просторова), необхідно з'ясувати, чи всі точки кривої належать одній площині. Задана на рис. бкрива є просторовою, оскільки точка Dкривою не належить площині, яка визначається трьома іншими точками А, Ві Ецією кривою.
Окружність - плоска крива другого порядку, ортогональна проекція якої може бути колом та еліпсом.
Циліндрична гвинтова лінія (геліса) - просторова крива, що є траєкторією точки, що виконує гвинтовий рух. 
29. Плоскі та просторові криві лінії.
Див. питання 28
30. Комплексне креслення поверхні. Основні положення.
Поверхнею називають безліч послідовних положень ліній, що переміщуються у просторі. Ця лінія може бути прямою або кривою і називається утворюєповерхні. Якщо крива, що утворює, вона може мати постійний або змінний вигляд. Переміщається утворює по напрямним,являють собою лінії іншого напряму, ніж утворюють. Напрямні лінії задають закон переміщення утворюючим. При переміщенні утворює напрямними створюється каркасповерхні (рис. 84), що являє собою сукупність кількох послідовних положень утворюють та спрямовують. Розглядаючи каркас, можна переконатися, що утворюють lта напрямні т можна поміняти місцями, але при цьому поверхню виходить та сама.
Будь-яку поверхню можна отримати у різний спосіб.
Залежно від форми, що утворює всі поверхні, можна розділити на лінійчасті,у яких утворює пряма лінія, та нелінійчасті,у яких утворює крива лінія.
До поверхонь, що розгортаються, відносяться поверхні всіх багатогранників, циліндричні, конічні і торсові поверхні. Всі інші поверхні - що не розгортаються. Нелінійчасті поверхні можуть бути з утворює постійної форми (поверхні обертання та трубчасті поверхні) і з утворюючою змінною форми (каналові та каркасні поверхні).
Поверхня на комплексному кресленні задається проекціями геометричної частини її визначника із зазначенням способу побудови її утворюють. На кресленні поверхні для будь-якої точки простору однозначно вирішується питання щодо належності її даної поверхні. Графічне завдання елементів визначника поверхні забезпечує оборотність креслення, але робить його наочним. Для наочності вдаються до побудови проекцій досить щільного каркасу утворюють і побудови нарисових ліній поверхні (рис. 86). При проектуванні поверхні Q на площину проекцій проекції промені торкаються цієї поверхні в точках, що утворюють на ній деяку лінію l, яка називається контурноїлінією. Проекція контурної лінії називається нарисомповерхні. На комплексному кресленні будь-яка поверхня має: П 1 - горизонтальний нарис, П 2 - фронтальний нарис, на П 3 - профільний нарис поверхні. Нарис включає, крім проекцій лінії контуру, також проекції ліній обріза.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Поняття проекції фігури на площину
Для введення поняття кута між прямою та площиною спочатку необхідно розібратися в такому понятті, як проекція довільної фігури на площину.
Визначення 1
Нехай нам дано довільну точку $A$. Точка $A_1$ називається проекцією точки $A$ на площину $\alpha$, якщо вона є основою перпендикуляра, проведеного з точки $A$ на площину $\alpha$ (рис. 1).
Малюнок 1. Проекція точки на площину
Визначення 2
Нехай нам дано довільну фігуру $F$. Фігура $F_1$ називається проекцією фігури $F$ на площину $\alpha$, складена з проекцій усіх точок фігури $F$ на площину $\alpha$ (рис. 2).
Рисунок 2. Проекція фігури на площину
Теорема 1
Проекція перпендикулярної площині прямої є пряма.
Доведення.
Нехай нам дана площина $\alpha$ і пряма $d$, що її перетинає, не перпендикулярна їй. Виберемо на прямій $d$ точку $M$ і проведемо її проекцію $H$ на площину $\alpha$. Через пряму $(MH)$ проведемо площину $\beta$. Очевидно, що ця площина буде перпендикулярна площині $ alfa $. Нехай вони перетинаються прямою $m$. Розглянемо довільну точку $M_1$ прямою $d$ і проведемо через неї пряму $(M_1H_1$) паралельно пряму $(MH)$ (рис. 3).
Малюнок 3.
Так як площина $ \ beta $ перпендикулярна площині $ \ alpha $, то $ M_1H_1 $ перпендикулярно прямий $ m $, тобто точка $ H_1 $ - проекція точки $ M_1 $ на площину $ \ alpha $. Через довільність вибору точки $M_1$ всі точки прямої $d$ проектуються на пряму $m$.
Розмірковуючи аналогічно. У зворотному порядку, отримуватимемо, що кожна точка прямої $m$ є проекцією будь-якої точки прямої $d$.
Значить, пряма $d$ проектується на пряму $m$.
Теорему доведено.
Поняття кута між прямою та площиною
Визначення 3
Кут між прямою, що перетинає площину та її проекцією на цю площину, називається кутом між прямою та площиною (рис. 4).
Рисунок 4. Кут між прямою та площиною
Зазначимо тут кілька зауважень.
Зауваження 1
Якщо пряма перпендикулярна до площини. То кут між прямою та площиною дорівнює $90^\circ$.
Примітка 2
Якщо пряма паралельна чи лежить у площині. То кут між прямою та площиною дорівнює $0^\circ$.
Приклади завдань
Приклад 1
Нехай нам дано паралелограм $ABCD$ і точка $M$, що не лежить у площині паралелограма. Довести, що трикутники $AMB$ і $MBC$ прямокутні, якщо точка $B$ -- проекція точки $M$ на площину паралелограма.
Доведення.
Зобразимо умову завдання малюнку (рис. 5).
Малюнок 5.
Оскільки точка $B$ -- проекція точки $M$ на площину $(ABC)$, то пряма $(MB)$ перпендикулярна площині $(ABC)$. За зауваженням 1, отримуємо, що кут між прямою $(MB)$ і площиною $(ABC)$ дорівнює $90^\circ$. Отже
\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]
Отже, трикутники $AMB$ та $MBC$ є прямокутними.
Приклад 2
Дана площина $ alfa $. Під кутом $\varphi$ до цієї площини проведено відрізок, початок якого лежить у цій площині. Проекція цього відрізка вдвічі менша від самого відрізка. Знайти величину $ Varphi $.
Рішення.
Розглянемо рисунок 6.
Малюнок 6.
За умовою, маємо
Оскільки трикутник $BCD$ прямокутний, то, за визначенням косинуса
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]
\(\blacktriangleright\) Кут між прямою та площиною – це кут між прямою та її проекцією на цю площину (тобто це кут \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\blacktriangleright\) Щоб знайти кут між прямою \(a\) і площиною \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\) ), потрібно:
Крок 1: з якоїсь точки \(A\in a\) провести перпендикуляр \(AO\) на площину \(\phi\) (\(O\) - основа перпендикуляра);
Крок 2: тоді (BO) - проекція похилої (AB) на площину (phi);
Крок 3: тоді кут між прямою \(a\) і площиною \(\phi\) дорівнює \(\angle ABO\) .
Завдання 1 #2850
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Пряма \(l\) перетинає площину \(\alpha\) . На прямій \(l\) відзначений відрізок \(AB=25\) , причому відомо, що проекція цього відрізка на площину \(\alpha\) дорівнює \(24\) . Знайдіть синус кута між прямою \(l\) і площиною \(\alpha\)
Розглянемо малюнок:
Нехай \(A_1B_1=24\) - проекція \(AB\) на площину \(\alpha\) , означає, \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Так як дві прямі, перпендикулярні до площини, лежать в одній площині, то (A_1ABB_1) - прямокутна трапеція. Проведемо \(AH\perp BB_1\). Тоді (AH = A_1B_1 = 24 \) . Отже, за теоремою Піфагора \ Зауважимо також, що кут між прямою і площиною - це кут між прямою і її проекцією на площину, отже, кут, що шукається, - кут між \(AB\) і \(A_1B_1\) . Оскільки \(AH\parallel A_1B_1\) , то кут між \(AB\) і \(A_1B_1\) дорівнює кутуміж \(AB\) та \(AH\) .
Тоді \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]
Відповідь: 0,28
Завдання 2 #2851
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
\(ABC\) - правильний трикутникзі стороною \(3\) , \(O\) – точка, що лежить поза площиною трикутника, причому \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Знайдіть кут, який утворюють прямі (OA, OB, OC) з площиною трикутника. Відповідь дайте у градусах.
Проведемо перпендикуляр (OH) на площину трикутника.
Розглянемо \(\triangle OAH, \triangle OBH, \triangle OCH\). Вони є прямокутними і рівні за катетом та гіпотенузою. Отже, (AH = BH = CH) . Значить, \(H\) - точка, що знаходиться на однаковій відстані від вершин трикутника \(ABC\). Отже, \ (H \) - Центр описаної біля нього кола. Так як \(\triangle ABC\) - правильний, то \(H\) - точка перетину медіан (вони ж висоти та бісектриси).
Оскільки кут між прямою і площиною – це кут між прямою та її проекцією на цю площину, а \(AH\) – проекція \(AO\) на площину трикутника, то кут між \(AO\) та площиною трикутника дорівнює \( \angle OAH\) .
Нехай \(AA_1\) – медіана в \(\triangle ABC\), отже, \
Оскільки медіани точкою перетину діляться щодо \(2:1\) , рахуючи від вершини, то \ Тоді з прямокутного \(\triangle OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
Зауважимо, що з рівності трикутників (OAH, OBH, OCH) слід, що \(\angle OAH=\angle OBH=\angle OCH=60^\circ\).
Відповідь: 60
Завдання 3 #2852
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Пряма (l) перпендикулярна площині (pi). Пряма \(p\) не лежить у площині \(\pi\) і не паралельна їй, також не паралельна прямій \(l\) . Знайдіть суму кутів між прямими \(p\) і \(l\) і між прямою \(p\) і площиною \(\pi\) . Відповідь дайте у градусах.
З умови випливає, що пряма (p) перетинає площиною (pi). Нехай \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
Тоді \(\angle POL\) - Кут між прямими \(p\) і \(l\) .
Так як кут між прямою і площиною - кут між прямою і її проекцією на цю площину, то (angle OPL) - кут між (p) і (pi). Зауважимо, що \(\triangle OPL\) прямокутний з \(\angle L=90^circ\) . Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутникадорівнює \(90^\circ\) , то \(\angle POL+\angle OPL=90^\circ\).
Зауваження.
Якщо пряма \(p\) не перетинає пряму \(l\) , то проведемо пряму \(p"\parallel p\) , що перетинає \(l\) .Тогда кут між прямою \(p\) і \(l\) ) буде дорівнює куту між \(p"\) і \(l\) . Аналогічно кут між \(p\) і \(\pi\) буде дорівнює куту між \(p"\) і \(\pi\) А для прямої \(p"\) вже вірно попереднє рішення.
Відповідь: 90
Завдання 4 #2905
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - куб. Точка \(N\) - середина ребра \(BB_1\), а точка \(M\) - середина відрізка \(BD\). Знайдіть \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , де \(\alpha\) - кут між прямою, що містить \(MN\) , і площиною \((A_1B_1C_1D_1)\) . Відповідь дайте у градусах.
\(NM\) - середня лініяу трикутнику \(DBB_1\) , тоді \(NM \parallel B_1D\) і \(\alpha\) дорівнює куту між \(B_1D\) і площиною \((A_1B_1C_1D_1)\) .
Так як \(DD_1\) - перпендикуляр до площини \(A_1B_1C_1D_1\) , то \(B_1D_1\) проекція \(B_1D\) на площину \((A_1B_1C_1D_1)\) і кут між \(B_1D\) і площиною \( (A_1B_1C_1D_1)\) є кут між \(B_1D\) і \(B_1D_1\) .
Нехай ребро куба \(x\), тоді за теоремою Піфагора \ У трикутнику \(B_1D_1D\) тангенс кута між \(B_1D\) і \(B_1D_1\) дорівнює \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), звідки \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
Відповідь: 0,5
Завдання 5 #2906
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - куб. Точка \(N\) - середина ребра \(BB_1\) , а точка \(M\) ділить відрізок \(BD\) щодо \(1:2\), рахуючи від вершини \(B\). Знайдіть \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , де \(\alpha\) - кут між прямою, що містить \(MN\) , і площиною \((ABC)\) . Відповідь дайте у градусах.
Так як \(NB\) - частина \(BB_1\), а \(BB_1\perp (ABC)\), то і \(NB\perp (ABC)\). Отже, (BM) - проекція (NM) на площину (ABC). Значить, кут \(\alpha\) дорівнює \(\angle NMB\).
Нехай ребро куба дорівнює \ (x \). Тоді (NB = 0,5x). По теоремі Піфагора (BD = sqrt (x 2 + x 2) = sqrt2x) . Оскільки за умовою \(BM:MD=1:2\) , то \(BM=\frac13BD\) , отже, \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
Тоді з прямокутного \(\triangle NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg) ^ 2 \, \ alpha = 8. \]
Відповідь: 8
Завдання 6 #2907
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Чому дорівнює \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\), якщо \(\alpha\) - кут нахилу діагоналі куба до однієї з його граней?
Шуканий кут співпадатиме з кутом між діагоналлю куба і діагоналлю будь-якої його грані, т.к. в даному випадкудіагональ куба буде похилою, діагональ грані – проекцією цієї похилої на площину грані. Таким чином, кут, що шукається, буде дорівнює, наприклад, куту \(C_1AC\) . Якщо позначити ребро куба за \(x\) , то \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\)тоді квадрат котангенсу шуканого кута: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Відповідь: 2
Завдання 7 #2849
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
За теоремою Піфагора \
Отже, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]Так як \(OH\perp (ABC)\), то \(OH\) перпендикулярно будь-якій прямій з цієї площини, значить, \(\triangle OAH\) - прямокутний. Тоді \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0,4.\]
Відповідь: 0,4
Учням старших класів на етапі підготовки до ЄДІ з математики буде корисно навчитися справлятися із завданнями з розділу «Геометрія у просторі», в яких потрібно знайти кут між прямою та площиною. Досвід минулих років показує, що такі завдання викликають у випускників певні складнощі. При цьому знати базову теорію та розуміти, як знайти кут між прямою та площиною, мають старшокласники з будь-яким рівнем підготовки. Тільки в цьому випадку вони можуть розраховувати на отримання гідних балів.
Основні нюанси
Як і інші стереометричні завдання ЄДІ, завдання, в яких потрібно знайти кути та відстані між прямими та площинами, можуть бути вирішені двома методами: геометричним та алгебраїчним. Учні можуть вибрати найзручніший для себе варіант. Відповідно до геометричного методу, необхідно знайти на прямій відповідну точку, опустити з неї перпендикуляр на площину та побудувати проекцію. Після цього випускнику залишиться застосувати базові теоретичні знаннята розв'язати планиметричне завдання на обчислення кута. Алгебраїчний методпередбачає введення системи координат для знаходження шуканої величини. Необхідно визначити координати двох точок на прямій, правильно скласти рівняння площини та вирішити його.
Ефективна підготовка разом із «Школковим»
Щоб заняття проходили легко і навіть складні завдання не викликали труднощів, вибирайте наш освітній портал. Тут представлений весь необхідний матеріалдля успішного складання атестаційного випробування. Потрібну базову інформацію ви знайдете у розділі "Теоретична довідка". А щоб попрактикуватися у виконанні завдань, достатньо перейти в «Каталог» на нашому математичному порталі. У цьому розділі зібрано велика добіркавправ різного ступеняскладності. У «Каталозі» регулярно з'являються нові завдання.
Виконувати завдання на перебування кута між прямою і площиною або на російські школярі можуть в режимі онлайн, перебуваючи в Москві або іншому місті. За бажанням учня будь-яку вправу можна зберегти в «Вибраному». Це дозволить за необхідності швидко його знайти та обговорити хід його рішення з викладачем.
