Головна > Штори > Як називається недоведена теорема. Завдання тисячоліття. Отже, ви готові дізнатися про математичні загадки


Як називається недоведена теорема. Завдання тисячоліття. Отже, ви готові дізнатися про математичні загадки




Лев Валентинович Руді, автор статті «П'єр Ферма та його «недоказова» теорема», прочитавши публікацію про одного зі 100 геніїв сучасності математики, який був названий генієм завдяки своєму рішенню теореми Ферма, запропонував опублікувати свою альтернативну думку на цю тему. На що ми охоче відгукнулися та публікуємо його статтю без скорочень.

П'єр Ферма та його «недоказова» теорема

Цього року виповнилося 410 років від дня народження великого французького математика П'єра Ферма. Академік В.М. Тихомиров пише про П. Ферма: «Лише один математик удостоївся те, що його ім'я стало номінальним. Якщо кажуть «ферматист», то йдеться про людину, одержиму до божевілля якоюсь нездійсненною ідеєю. Але це слово не може бути віднесено до самого П'єра Ферма (1601-1665), одного з найсвітліших розумів Франції.

П. Ферма - людина дивовижної долі: один із найбільших математиків світу, він не був «професійним» математиком. За фахом Ферма був юристом. Він здобув чудову освіту і був видатним знавцем мистецтва та літератури. Все життя він працював на державній службі, останні 17 років був радником парламенту у Тулузі. До математики його вабило безкорисливе і піднесене кохання, і саме ця наука дала йому все, що може дати людині любов: захват красою, насолоду і щастя.

У паперах і листуванні Ферма сформулював чимало гарних тверджень, про які він писав, що має їх доказ. І поступово таких недоведених тверджень ставало дедалі менше і, нарешті, залишилося лише одне – його загадкова Велика теорема!

Однак, тим, хто цікавиться математикою, ім'я Ферма говорить багато про що незалежно від його Великої теореми. Він був одним із найпроникливіших розумів свого часу, його вважають основоположником теорії чисел, він зробив величезний внесок у розвиток аналітичної геометрії, математичного аналізу. Ми вдячні Ферма за те, що він відкрив для нас світ, сповнений краси та загадковості» (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).

Дивна, однак, «вдячність»!? Математичний світ та освічене людство проігнорували 410-й ювілей Ферма. Все було, як завжди, тихо, мирно, буденно... Не чути було фанфар, хвалебних промов, тостів. З усіх математиків світу тільки Ферма «удостоївся» такої високої честі, що при слові «ферматист», всі розуміють, що йдеться про напівдурку, який «до безумства одержимий нездійсненною ідеєю» знайти втрачений доказ теореми Ферма!

У своєму зауваженні на полях книги Діофанта Ферма писав: "Я знайшов справді дивовижний доказ свого твердження, але поля книги вузькі, щоб його вмістити". Так це був «момент слабкості математичного генія XVII століття». Цей глухий кут не розумів, що «помиляється», а, швидше за все, він просто «брехав», «лукавив».

Якщо Ферма стверджував, значить, доказ у нього був! Рівень знань був не вищим, ніж у сучасного десятикласника, але якщо якийсь інженер намагається знайти цей доказ, то його висміюють, оголошують божевільним. І зовсім інша справа, якщо американський 10-річний хлопчик Е. Уайлс «приймає як вихідну гіпотезу, що Ферма не міг знати набагато більше математики, ніж він», і починає «доводити» цю «недоказову теорему». На таке, звісно, ​​здатний лише «геній».

Випадково я потрапив на сайт (works.tarefer.ru>50/100086/index.html), де студентка Читинського ГТУ Кушенко В.В. пише про Ферма: «...Маленьке містечко Бомон і всі його п'ять тисяч жителів не в змозі усвідомити, що тут народився великий Ферма, останній математик-алхімік, що вирішував пусті завдання прийдешніх століть, тихий суддівський гачок, лукавий сфінкс, замучив людство своїми загадками , обережний і доброзичливий чинуша, підтасувальник, інтриган, домосід, заздрісник, геніальний компілятор, один із чотирьох титанів математики... Ферма майже не виїжджав із Тулузи, де осів після весілля на Луїзі де Лонг, доньці радника парламенту. Завдяки тестю він дослужився до звання радника і придбав омріяну приставку «де». Син третього стану, практичний син багатих шкіряників, нашпигований латиною і францисканським благочестям, не ставив собі грандіозних завдань у житті...

У свій бурхливий вік він прожив ґрунтовно та тихо. Він не писав філософських трактатів, як Декарт, не був нагрудником французьких королів, як Вієт, не воював, не подорожував, не створював математичні гуртки, не мав учнів і не друкувався за життя... Не виявивши жодних свідомих претензій на місце в історії, Ферма помирає 12 січня 1665».

Я був вражений, шокований... А хто був першим «математиком-алхіміком»? Що це за «пусті завдання майбутніх століть»!? «Чинуша, підтасовщик, інтриган, домосід, заздрісник»... Звідки у цих зелених молодиків і молодиків стільки зневаги, зневаги, цинізму до людини, яка жила за 400 років до них!? Яке блюзнірство, що кричить несправедливість!? Але, не самі ж молодики все це вигадали!? Їх здивували математики, «царі наук», те саме «людство», яке «лукавий сфінкс» Ферма «замучив своїми загадками».

Проте, Ферма неспроможна нести будь-яку відповідальність через те, що пихаті, але бездарні нащадки триста з гаком років збивали свої роги про його шкільну теоремку. Принижуючи, обпльовуючи Ферма, математики намагаються врятувати свою честь мундира! Але ніякої "честі" давно немає, навіть "мундира" немає!? Дитяче завдання Ферма стала найбільшою ганьбою «добірної, доблесної» армії математиків світу!?

«Царі наук» зганьбилися тим, що сім поколінь математичних «світил» так і не змогли довести шкільну теоремку, яку довели і П. Ферма, і арабський математик ал-Худжанді за 700 років до Ферма!? Вони зганьбилися і тим, що замість визнання своїх помилок, ославили П. Ферма обманщиком і почали роздмухувати міф про «недоказовість» його теореми!? Математики зганьбилися і тим, що вже сторіччя розлючено цькують математиків-аматорів, «б'ють по голові своїх братів менших». Це цькування стало найганебнішим, після утоплення Піфагором Гіппаса, діянням математиків у всій історії наукової думки! Вони зганьбилися і тим, що під виглядом «доказу» теореми Ферма, підсунули освіченому людству сумнівне «творіння» Е. Уайлса, яке «не розуміють» навіть найяскравіші світила математики!?

410-річний ювілей від дня народження П. Ферма - це, безсумнівно, досить вагомий доказ у тому, щоб математики, нарешті, опритомніли і перестали наводити тінь на тин і відновили б добре, чесне ім'я великого математика. П. Ферма «не виявив ніяких свідомих претензій на місце в історії», але ця норовлива і примхлива Дама сама внесла його на руках у свої аннали, зате багатьох завзятих і завзятих «претендентів» вона виплюнула, як вижовану жуйку. І нічого з цим не вдієш, лише одна з багатьох його красивих теорем надовго вписала ім'я П. Ферма в історію.

Але цей унікальний витвір Ферма і саме вже століття загнано в «підпілля», оголошено «поза законом», стало найнегіднішим і ненависним завданням у всій історії математики. Але настав час цьому «гидкому каченяті» математики перетворюватися на прекрасного лебедя! Дивовижна загадка Ферма вистраждала своє право зайняти гідне місце і в скарбниці математичних знань, і в кожній школі світу поряд зі своєю сестрою – теоремою Піфагора.

Таке унікальне, витончене завдання просто не може не мати і красивих, витончених рішень. Якщо теорема Піфагора має 400 доказів, то нехай спочатку у теореми Ферма буде всього 4 простих докази. Вони є, поступово їх побільшає!? Я вважаю, що 410-річний ювілей П. Ферма - це найбільш підходящий привід чи випадок, для того, щоб математикам-професіоналам прийти до тями і припинити, нарешті, цю безглузду, абсурдну, клопітку і абсолютно марну «блокаду» любителів!?

Нерозв'язні завдання - це 7 найцікавіших математичних проблем. Кожна з них була запропонована свого часу відомими вченими, як правило, як гіпотези. Ось уже багато десятиліть над їх вирішенням ламають голови математики у всьому світі. На тих, хто досягне успіху, чекає винагорода в мільйон американських доларів, запропонована інститутом Клейя.

Інститут Клейя

Під такою назвою відома приватна некомерційна організація, штаб-квартира якої знаходиться у Кембриджі, штат Массачусетс. Вона була заснована в 1998 році гарвардським математиком А. Джеффі та бізнесменом Л. Клейєм. Метою діяльності інституту є популяризація та розвиток математичних знань. Для її досягнення організація видає премії вченим та спонсорує багатообіцяючі дослідження.

На початку 21 століття Математичний інститут Клейя запропонував премію тим, хто вирішить проблеми, які відомі, як найскладніші завдання, що вирішуються, назвавши свій список Millennium Prize Problems. Зі «Списку Гільберта» до нього увійшла лише гіпотеза Рімана.

Завдання тисячоліття

До списку інституту Клейя спочатку входили:

  • гіпотеза про цикли Ходжу;
  • рівняння квантової теорії Янга - Міллса;
  • гіпотеза Пуанкаре;
  • проблема рівності класів Р та NP;
  • гіпотеза Рімана;
  • про існування та гладкість його рішень;
  • проблема Берча - Свіннертон-Дайєра.

Ці відкриті математичні проблеми становлять величезний інтерес, оскільки можуть мати безліч практичних реалізацій.

Що довів Григорій Перельман

У 1900 році відомий вчений-філософ Анрі Пуанкаре припустив, що всяке однозв'язне компактне 3-мірне різноманіття без краю гомеоморфної 3-мірної сфери. Її доказ у випадку не знаходилося протягом століття. Лише у 2002-2003 роках петербурзький математик Г. Перельман опублікував низку статей із вирішенням проблеми Пуанкаре. Вони справили ефект бомби, що розірвалася. У 2010 році гіпотеза Пуанкаре була виключена зі списку «Нерозв'язані завдання» інституту Клейя, а самому Перельману було запропоновано отримати чималу винагороду, від якої останній відмовився, не пояснивши причин свого рішення.

Найзрозуміліше пояснення того, що вдалося довести російському математику, можна дати, уявивши, що на бублик (тор) натягують гумовий диск, а потім намагаються стягнути краї його кола в одну точку. Очевидно, що це неможливо. Інша річ, якщо зробити цей експеримент із кулею. У такому разі начебто тривимірна сфера, що вийшла з диска, коло якого стягнули в крапку гіпотетичним шнуром, буде тривимірною у розумінні звичайної людини, але двовимірною з погляду математики.

Пуанкаре припустив, що тривимірна сфера є єдиним тривимірним «предметом», поверхню якої можна стягнути в одну точку, а Перельман вдалося це довести. Таким чином, список «Нерозв'язних задач» сьогодні складається з 6 проблем.

Теорія Янга-Міллса

Ця математична проблема була запропонована її авторами у 1954-му році. Наукове формулювання теорії має такий вигляд: для будь-якої простої компактної калібрувальної групи квантова просторова теорія, створена Янгом і Мілльсом, існує, і при цьому має нульовий дефект маси.

Якщо говорити мовою, зрозумілою для звичайної людини, взаємодії між природними об'єктами (частинами, тілами, хвилями тощо) діляться на 4 типи: електромагнітне, гравітаційне, слабке та сильне. Вже багато років фізики намагаються створити загальну теорію поля. Вона має стати інструментом для пояснення всіх цих взаємодій. Теорія Янга-Міллса - це математична мова, за допомогою якої стало можливо описати три з чотирьох основних сил природи. Вона не застосовується до гравітації. Тому не можна вважати, що Янгу та Міллсу вдалося створити теорію поля.

Крім того, нелінійність запропонованих рівнянь робить їх дуже складними для вирішення. При малих константах зв'язку вдається наближено вирішити вигляді низки теорії збурень. Однак поки що незрозуміло, як можна вирішити ці рівняння за сильного зв'язку.

Рівняння Навье-Стокса

За допомогою цих виразів описуються такі процеси, як повітряні потоки, перебіг рідин та турбулентність. Для деяких окремих випадків аналітичні рішення рівняння Нав'є-Стокса вже були знайдені, однак зробити це для загального поки що нікому не вдалося. У той же час, чисельне моделювання для конкретних значень швидкості, щільності, тиску, часу і так далі дозволяє досягти чудових результатів. Залишається сподіватися, що комусь вдасться застосувати рівняння Навье-Стокса у напрямі, т. е. обчислити з допомогою параметри, чи довести, що методу рішення немає.

Завдання Берча - Свіннертон-Дайєра

До категорії «Нерозв'язані завдання» належить і гіпотеза, запропонована англійськими вченими з Кембриджського університету. Ще 2300 років тому давньогрецький вчений Евклід дав повний опис рішень рівняння x2+y2=z2.

Якщо для кожного з простих чисел порахувати кількість точок на кривій за його модулем, вийде нескінченний набір цілих чисел. Якщо конкретним чином "склеїти" його в 1 функцію комплексної змінної, тоді вийде дзета-функція Хассе-Вейля для кривої третього порядку, що позначається буквою L. Вона містить інформацію про поведінку по модулю всіх простих чисел відразу.

Браян Берч та Пітер Свіннертон-Дайєр висунули гіпотезу щодо еліптичних кривих. Відповідно до неї, структура та кількість безлічі її раціональних рішень пов'язані з поведінкою L-функції в одиниці. Недоведена на даний момент гіпотеза Берча - Свіннертон-Дайєра залежить від опису рівнянь алгебри 3 ступеня і є єдиним порівняно простим загальним способом розрахунку рангу еліптичних кривих.

Щоб зрозуміти практичну важливість цього завдання, досить сказати, що в сучасній криптографії на еліптичних кривих засновано цілий клас асиметричних систем, і на їх застосуванні засновано вітчизняні стандарти цифрового підпису.

Рівність класів p і np

Якщо інші «Завдання тисячоліття» ставляться до суто математичних, то це стосується актуальної теорії алгоритмів. Проблема, що стосується рівності класів р і np, відома також як проблема Кука-Левіна, зрозумілою мовою може бути сформульована наступним чином. Припустимо, що позитивну відповідь на питання можна перевірити досить швидко, тобто за поліноміальний час (ПВ). Тоді чи правильно твердження, що на нього можна досить швидко знайти? Ще простіше звучить так: чи справді вирішення завдання перевірити не важче, ніж його знайти? Якщо рівність класів р і np буде будь-коли доведено, всі проблеми підбору можна буде вирішувати за ПВ. На даний момент багато фахівців сумніваються в істинності цього твердження, хоча не можуть довести протилежне.

Гіпотеза Рімана

Аж до 1859 року було виявлено будь-якої закономірності, яка описувала б, як розподіляються прості числа серед натуральних. Можливо, це було з тим, що наука займалася іншими питаннями. Однак до середини 19 століття ситуація змінилася, і вони стали одними з найактуальніших, якими почала займатися математика.

Гіпотеза Рімана, що виникла у період — це припущення у тому, що у розподілі простих чисел існує певна закономірність.

Сьогодні багато сучасних вчених вважають, що якщо вона буде доведена, то доведеться переглянути багато фундаментальних принципів сучасної криптографії, які становлять основу значної частини механізмів електронної комерції.

Згідно з гіпотезою Рімана, характер розподілу простих чисел, можливо, істотно відрізняється від передбачуваного на даний момент. Справа в тому, що до цих пір поки не було виявлено будь-якої системи у розподілі простих чисел. Наприклад, існує проблема «близнюків», різниця між якими дорівнює 2. Цими числами є 11 і 13, 29. Інші прості числа утворюють скупчення. Це 101, 103, 107 та ін. Вчені давно підозрювали, що такі скупчення існують і серед дуже великих простих чисел. Якщо їх знайдуть, то стійкість сучасних криптоключів під питанням.

Гіпотеза про цикли Ходжа

Ця невирішена досі завдання сформульована 1941 року. Гіпотеза Ходжа передбачає можливість апроксимації форми будь-якого об'єкта шляхом «склеювання» разом простих тіл більшої розмірності. Цей спосіб був відомий і успішно застосовується досить давно. Однак не відомо, наскільки можна спрощення.

Тепер ви знаєте, які задачі, що не вирішуються, існують на даний момент. Вони є предметом дослідження тисяч вчених у всьому світі. Залишається сподіватися, що найближчим часом вони будуть вирішені, а їхнє практичне застосування допоможе людству вийти на новий виток технологічного розвитку.

П'єр Ферма, читаючи «Арифметику» Діофанта Олександрійського і розмірковуючи над її завданнями, мав звичку записувати на полях книги результати своїх роздумів як коротких зауважень. Проти восьмого завдання Діофанта на полях книги, Ферма записав: « Навпаки, неможливо розкласти ні куб на два куби, ні біквадрат на два біквадрати, і, взагалі, ніякий ступінь, більший за квадрат на два ступені з тим же показником. Я відкрив цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі» / Е.Т.Белл «Творці математики». М., 1979, стор.69/. Пропоную до Вашої уваги елементарний доказ теореми ферма, який може зрозуміти будь-який старшокласник, який захоплюється математикою.

Порівняємо коментар Ферма до завдання Діофанта із сучасним формулюванням великої теореми Ферма, що має вигляд рівняння.
« Рівняння

x n + y n = z n(де n – ціле число більше двох)

не має рішень у цілих позитивних числах»

Коментар перебуває із завданням у логічному зв'язку, аналогічного логічного зв'язку присудка з підлягаючим. Те, що стверджується завданням Діофанта, навпаки, стверджується коментарем Ферма.

Коментар Ферма можна так трактувати: якщо квадратне рівняння з трьома невідомими має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел, то, навпаки, рівняння з трьома невідомими в ступені, більшій за квадрат

У рівнянні немає навіть натяку на його зв'язок із завданням Діофанта. Його твердження вимагає докази, але при ньому немає умови, з якої випливає, що воно не має рішень у цілих позитивних числах.

Відомі мені варіанти доказу рівняння зводяться до наступного алгоритму.

  1. Рівняння теореми Ферма приймається до її висновку, у справедливості якого переконуються з допомогою докази.
  2. Це ж рівняння називають вихіднимрівнянням, з якого має виходити його доказ.

У результаті утворилася тавтологія: « Якщо рівняння немає рішень у цілих позитивних числах, воно не має рішень у цілих позитивних числах». Доказ тавтології свідомо є неправильним і позбавленим будь-якого сенсу. Але її доводять шляхом протилежного.

  • Приймається припущення, протилежне до того, що затверджується рівнянням, яке потрібно довести. Воно не повинно суперечити вихідному рівнянню, а воно йому суперечить. Доводити те, що прийнято без доказу, і приймати без доказу те, що потрібно довести, немає сенсу.
  • На підставі прийнятого припущення виконуються абсолютно правильні математичні операції та дії, щоб довести, що воно суперечить вихідному рівнянню та є хибним.

Тому вже 370 років доказ рівняння великої теореми Ферма залишається нездійсненною мрією фахівців і любителів математики.

Я прийняв рівняння за висновок теореми, а восьму завдання Діофанта та її рівняння за умову теореми.


«Якщо рівняння x 2 + y 2 = z 2 (1) має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел, то, навпаки, рівняння x n + y n = z n , де n > 2 (2) немає рішень на безлічі цілих позитивних чисел.»

Доведення.

а)Всім відомо, що рівняння (1) має безліч рішень на безлічі всіх трійок піфагорових чисел. Доведемо, що жодна трійка піфагорових чисел, яка є розв'язком рівняння (1), не є рішенням рівняння (2).

З закону оборотності рівності, сторони рівняння (1) поміняємо місцями. Піфагорові числа (z, х, у) можуть бути витлумачені як довжини сторін прямокутного трикутника, а квадрати (x 2 , y 2 , z 2) можуть бути витлумачені як площі квадратів, побудованих на його гіпотенузі та катетах.

Площі квадратів рівняння (1) помножимо на довільну висоту h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Рівняння (3) можна трактувати як рівність обсягу паралелепіпеда сумі обсягів двох паралелепіпедів.

Нехай висота трьох паралелепіпедів h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Об'єм куба розклався на два обсяги двох паралелепіпедів. Об'єм куба залишимо без змін, а висоту першого паралелепіпеда зменшимо до x і висоту другого паралелепіпеда зменшимо до y . Об'єм куба більше суми об'ємів двох кубів:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

На безлічі трійок піфагорових чисел ( х, у, z ) при n = 3 може бути жодного рішення рівняння (2). Отже, на багатьох всіх трійок піфагорових чисел неможливо куб розкласти на два куби.

Нехай у рівнянні (3) висота трьох паралелепіпедів h = z 2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Обсяг паралелепіпеда розклався на суму обсягів двох паралелепіпедів.
Ліву сторону рівняння (6) залишимо без зміни. На правій його стороні висоту z 2 зменшимо до х у першому доданку і до у 2 у другому доданку.

Рівняння (6) звернулося до нерівності:

Обсяг паралелепіпеда розклався на два обсяги двох паралелепіпедів.

Ліву сторону рівняння (8) залишимо без зміни.
На правій стороні висоту z n-2 зменшимо до x n-2 у першому доданку і зменшимо до y n-2 у другому доданку. Рівняння (8) звертається до нерівності:

z n > x n + y n (9)

На безлічі трійок піфагорових чисел може бути жодного рішення рівняння (2).

Отже, на безлічі всіх трійок піфагорових чисел за всіх n > 2 рівняння (2) немає рішень.

Отримано «чудовий доказ», але тільки для трійок піфагорових чисел. У цьому полягає нестача доказута причина відмови П. Ферма від нього.

B)Доведемо, що рівняння (2) не має рішень на безлічі трійок непіфагорових чисел, що представляє збій сімейство довільно взятої трійки піфагорових чисел z = 13, x = 12, y = 5 та сімейство довільно взятої трійки цілих позитивних чисел z = 21, x = 19, y = 16

Обидві трійки чисел є членами своїх сімейств:

(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1) (10)
(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1) (11)

Число членів сімейства (10) і (11) дорівнює половині твору 13 на 12 та 21 на 20, тобто 78 та 210.

У кожному члені сімейства (10) є z = 13 та змінні х і у 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

У кожному члені сімейства (11) є z = 21 та змінні х і у які приймають значення цілих чисел 21 > x >0 , 21 > y > 0 . Змінні послідовно спадають на 1 .

Трійки чисел послідовності (10) і (11) можна подати у вигляді послідовності нерівностей третього ступеня:

13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

і у вигляді нерівностей четвертого ступеня:

13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Правильність кожної нерівності засвідчується підвищенням чисел у третій та четвертий ступінь.

Куб більшої кількості неможливо розкласти на два куби менших чисел. Він або менше, або більше суми кубів двох менших чисел.

Біквадрат більшої кількості неможливо розкласти на два біквадрати менших чисел. Він або менше, або більше суми біквадратів менших чисел.

Зі зростанням показника ступеня всі нерівності, крім лівої крайньої нерівності, мають однаковий зміст:

Нерівностей вони всі мають однаковий зміст: ступінь більшого числа більший за суму ступенів менших двох чисел з тим самим показником:

13 n > 12 n + 12 n; 13 n > 12 n + 11 n; ...; 13 n > 7 n + 4 n; ...; 13 n > 1 n + 1 n (12)
21 n > 20 n + 20 n; 21 n > 20 n + 19 n; ...; ;…; 21 n > 1 n + 1 n (13)

Лівий крайній член послідовностей (12) (13) є найбільш слабкою нерівністю. Його правильність визначає правильність всіх наступних нерівностей послідовності (12) при n > 8 та послідовності (13) при n > 14 .

Серед них не може бути жодної рівності. Довільно взята трійка цілих позитивних чисел (21,19,16) перестав бути рішенням рівняння (2) великої теореми Ферма. Якщо довільно взята трійка цілих позитивних чисел є рішенням рівняння, то рівняння немає рішень на безлічі цілих позитивних чисел, як і вимагалося довести.

С)У коментарі Ферма до завдання Діофанта стверджується, що неможливо розкласти взагалі, ніякий ступінь, більший за квадрат, на два ступені з тим же показником».

Цілуюступінь, більший за квадрат, дійсно неможливо розкласти на два ступені з тим же показником. Нецілуюступінь, більшу за квадрат можна розкласти на два ступені з тим же показником.

Будь-яка довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z, x, y) може належати до сімейства, кожен член якого складається з постійного числа z і двох чисел, менших z . Кожен член сімейства може бути представлений у формі нерівності, а всі отримані нерівності - у вигляді послідовності нерівностей:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1 n + 1 n (14)

Послідовність нерівностей (14) починається нерівностями, у яких ліва сторона менша за праву сторону, а закінчується нерівностями, у яких права сторона менша від лівої сторони. Зі зростанням показника ступеня n > 2 число нерівностей правої сторони послідовності (14) збільшується. При показнику ступеня n = k всі нерівності лівої сторони послідовності змінюють свій зміст і набувають сенсу нерівностей правої сторони нерівностей послідовності (14). В результаті зростання показника ступеня у всіх нерівностей ліва сторона виявляється більшою за праву сторону:

z k > (z-1) k + (z-1) k; z k > (z-1) k + (z-2) k; ...; z k > 2 k + 1 k; z k > 1 k + 1 k (15)

При подальшому зростанні показника ступеня n > k жодна з нерівностей не змінює свого сенсу і не звертається до рівності. На цій підставі можна стверджувати, що будь-яка довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z, x, y) при n > 2 , z > x , z > y

У довільно взятій трійці цілих позитивних чисел z може бути як завгодно великим натуральним числом. Для всіх натуральних чисел, які не більше z , велику теорему Ферма доведено.

D)Яким би не було більшим числом z , в натуральному ряду чисел до нього є велика, але кінцева множина цілих чисел, а після нього - безліч цілих чисел.

Доведемо, що все безліч натуральних чисел, великих z , утворюють трійки чисел, які є рішеннями рівняння великий теореми Ферма, наприклад, довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) , в якій z + 1 > x і z + 1 > y при всіх значеннях показника ступеня n > 2 не є рішенням рівняння великої теореми Ферма.

Довільно взята трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) може належати до сімейства трійок чисел, кожен член якого складаються з постійного числа z + 1 та двох чисел х і у , що приймають різні значення, менші z + 1 . Члени сімейства можуть бути представлені у формі нерівностей, у яких постійна ліва сторона менша або більше правої сторони. Нерівності можна впорядковано розташувати як послідовності нерівностей:

При подальшому зростанні показника ступеня n > k до нескінченності жодна з нерівностей послідовності (17) не змінює свого сенсу і не звертається до рівності. У послідовності (16) нерівність, утворена з довільно взятої трійки цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) , може у її правої частини як (z + 1) n > x n + y n або перебувати у її лівій частині у вигляді (z + 1) n< x n + y n .

У будь-якому випадку трійка цілих позитивних чисел (z + 1, x, y) при n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y в послідовності (16) являє собою нерівність і не може являти собою рівності, тобто не може бути рішенням рівняння великої теореми Ферма.

Легко і просто зрозуміти походження послідовності статечних нерівностей (16), в якій остання нерівність лівої сторони і перша нерівність правої сторони є нерівністю протилежного сенсу. Навпаки, нелегко і непросто школярам, ​​старшокласнику та старшокласниці, зрозуміти, яким чином із послідовності нерівностей (16) утворюється послідовність нерівностей (17), у якій усі нерівності однакового змісту.

У послідовності (16) збільшення цілого ступеня нерівностей на 1 одиницю звертає останню нерівність лівої сторони у першу нерівність протилежного сенсу правої сторони. Таким чином, кількість нерівностей сторони послідовності зменшується, а кількість нерівностей правої сторони збільшується. Між останнім і першим статечними нерівностями протилежного сенсу обов'язково перебуває статечна рівність. Його ступінь може бути цілим числом, оскільки між двома послідовними натуральними числами перебувають лише нецілі числа. Ступінна рівність нецілого ступеня, за умовою теореми, не може вважатися рішенням рівняння (1).

Якщо в послідовності (16) продовжувати збільшення ступеня на 1 одиницю, то остання нерівність її лівої сторони звернеться до першої нерівності протилежного сенсу правої сторони. В результаті не залишиться жодної нерівності лівої сторони і залишаться тільки нерівності правої сторони, які являтимуть собою послідовність статечних нерівностей, що посилюються (17). Подальше збільшення їхнього цілого ступеня на 1 одиницю лише посилює її статечні нерівності і категорично виключає можливість появи рівності в цілому ступені.

Отже, взагалі, жодну цілу міру натурального числа (z+1) послідовності статечних нерівностей (17) неможливо розкласти на два цілих ступеня з тим самим показником. Тому рівняння (1) немає рішень на нескінченному безлічі натуральних чисел, що потрібно було довести.

Отже, велику теорему Ферма доведено у всій загальності:

  • у розділі А) для всіх трійок (z, x, y) піфагорових чисел (відкритий Ферма воістину чудовий доказ),
  • у розділі В) для всіх членів сімейства будь-якої трійки (z, x, y) піфагорових чисел,
  • у розділі С) для всіх трійок чисел (z, x, y) , невеликих числа z
  • у розділі D) для всіх трійок чисел (z, x, y) натурального ряду чисел.

Зміни внесено 05.09.2010 р.

Які теореми можна і які не можна довести від протилежного

У тлумачному словнику математичних термінів дано визначення доказу від протилежної теореми, протилежної зворотній теоремі.

«Доказ від протилежного – метод доказу теореми (пропозиції), що полягає в тому, що доводять не саму теорему, а їй рівносильну (еквівалентну), протилежну зворотній (зворотній протилежній) теорему. Доказ протилежного використовують щоразу, коли пряму теорему довести важко, а протилежну зворотній легше. За підтвердження протилежного укладання теореми замінюється її запереченням, і шляхом міркування приходять до заперечення умови, тобто. до протиріччя, до протилежного (протилежного до того, що дано; це приведення до абсурду і доводить теорему».

Доказ протилежного дуже часто застосовується в математиці. Доказ від протилежного заснований на законі виключеного третього, що полягає в тому, що з двох висловлювань (затверджень) А і А (заперечення А) одне з них є істинним, а інше хибним»./Тлумачний словник математичних термінів: Посібник для вчителів/О. В. Мантуров [та ін]; за ред. В. А. Діткіна. - М.: Просвітництво, 1965. - 539 с.: Іл.-C.112 /.

Не краще було б відкрито заявити про те, що метод доказу протилежного не є математичним методом, хоча й використовується в математиці, що він є логічним методом і належить логіці. Чи можна стверджувати, що доказ від протилежного «використовують щоразу, коли пряму теорему довести важко», коли насправді його використовують тоді, і лише тоді, коли немає заміни.

Заслуговує на особливу увагу і характеристика відношення один до одного прямою і зворотною їй теорем. «Зворотна теорема для даної теореми (або цієї теореми) — теорема, у якій умовою є висновок, а висновком – умова даної теореми. Ця теорема по відношенню до зворотної теореми називається прямою теоремою (вихідною). У той самий час зворотна теорема до зворотної теоремі буде цієї теоремою; тому пряма та зворотна теореми називаються взаємно зворотними. Якщо пряма (дана) теорема вірна, то зворотна теорема який завжди правильна. Наприклад, якщо чотирикутник – ромб, його діагоналі взаємно перпендикулярні (пряма теорема). Якщо у чотирикутнику діагоналі взаємно перпендикулярні, то чотирикутник є ромб – це не так, тобто зворотна теорема неправильна»./Тлумачний словник математичних термінів: Посібник для вчителів/О. В. Мантуров [та ін]; за ред. В. А. Діткіна.- М.: Просвітництво, 1965.- 539 с.: Іл.-C.261/.

Дана характеристика відношення прямої та зворотної теорем не враховує того, що умова прямої теореми приймається як дана, без доказу, тому його правильність не має гарантії. Умова зворотної теореми не сприймається як це, оскільки вона є висновком доведеної прямої теореми. Його правильність засвідчена доказом прямої теореми. Це істотне логічне відмінність умов прямої та зворотної теорем виявляється вирішальним у питанні які теореми можна і які не можна довести логічним методом від протилежного.

Припустимо, що у прикметі є пряма теорема, яку довести традиційним математичним способом можна, але складно. Сформулюємо її у вигляді у короткій формі так: з Аслід Е . Символ А має значення цієї умови теореми, прийнятого без доказу. Символ Е має значення укладання теореми, яке потрібно довести.

Доводити пряму теорему будемо від протилежного, логічнимметодом. Логічним методом доводиться теорема, яка має не математичнеумова, а логічнеумова. Його можна отримати, якщо математична умова теореми з Аслід Е , доповнити прямо протилежною умовою з Ане слід Е .

В результаті вийшло логічне суперечливе умова нової теореми, що містить у собі дві частини: з Аслід Е і з Ане слід Е . Отримана умова нової теореми відповідає логічному закону виключеного третього та відповідає доказу теореми методом протилежного.

Відповідно до закону, одна частина суперечливої ​​умови є хибною, інша частина є істинною, а третє – виключено. Доказ від протилежного має своє завдання і метою встановити, саме яка частина з двох частин умови теореми є хибною. Як тільки буде визначено помилкову частину умови, так буде встановлено, що інша частина є справжньою частиною, а третя — виключена.

Згідно з тлумачним словником математичних термінів, «доказ є міркування, під час якого встановлюється істинність чи хибність будь-якого твердження (судження, висловлювання, теореми)». Доведення від протилежногоє міркування, під час якого встановлюється хибність(абсурдність) висновку, що випливає з хибногоумови теореми, що доводиться.

Дано: з Аслід Еі із Ане слід Е .

Довести: з Аслід Е .

Доведення: Логічна умова теореми полягає в собі протиріччя, яке вимагає свого вирішення Протиріччя умови має знайти свій дозвіл у доказі та його результаті. Результат виявляється хибним при бездоганному та безпомилковому міркуванні. Причиною помилкового висновку при логічно правильному міркуванні може бути лише суперечлива умова: з Аслід Е і з Ане слід Е .

Немає і тіні сумніву, що одна частина умови є хибною, а інша в цьому випадку є істинною. Обидві частини умови мають однакове походження, прийняті як дані, припущені, однаково можливі, однаково допустимі і т. д. У ході логічного міркування не виявлено жодної логічної ознаки, яка б відрізняла одну частину умови від іншої. Тому в одній і тій же мірі може бути з Аслід Е і може бути з Ане слід Е . Твердження з Аслід Е може бути хибнимтоді затвердження з Ане слід Е буде справжнім. Твердження з Ане слід Е може бути хибним, тоді твердження з Аслід Е буде справжнім.

Отже, пряму теорему методом протилежного довести неможливо.

Тепер цю пряму теорему доведемо звичайним математичним методом.

Дано: А .

Довести: з Аслід Е .

Доведення.

1. З Аслід Б

2. З Бслід У (По раніше доведеній теоремі)).

3. З Услід Г (За раніше доведеною теореми).

4. З Гслід Д (За раніше доведеною теореми).

5. З Дслід Е (За раніше доведеною теореми).

На підставі закону транзитивності, з Аслід Е . Пряма теорема підтверджена простим способом.

Нехай доведена пряма теорема має правильну зворотну теорему: з Еслід А .

Доведемо її звичайним математичнимметодом. p align="justify"> Доказ зворотної теореми можна виразити в символічній формі у вигляді алгоритму математичних операцій.

Дано: Е

Довести: з Еслід А .

Доведення.

1. З Еслід Д

2. З Дслід Г (По раніше доведеній зворотній теоремі).

3. З Гслід У (По раніше доведеній зворотній теоремі).

4. З Уне слід Б (Зворотна теорема неправильна). Тому й з Бне слід А .

У цій ситуації продовжувати математичне підтвердження зворотної теореми немає сенсу. Причина виникнення ситуації – логічна. Неправильну зворотну теорему нічим замінити неможливо. Отже, цю зворотну теорему довести звичайним математичним методом неможливо. Вся надія – на підтвердження цієї зворотної теореми шляхом протилежного.

Щоб її довести шляхом протилежного, потрібно замінити її математичне умова логічним суперечливим умовою, що укладає у собі за змістом дві частини – хибну і істинну.

Зворотна теоремастверджує: з Ене слід А . Її умова Е , з якого випливає висновок А , є наслідком докази прямої теореми звичайним математичним методом. Цю умову необхідно зберегти та доповнити твердженням з Еслід А . В результаті доповнення виходить суперечлива умова нової зворотної теореми: з Еслід А і з Ене слід А . Виходячи з цього логічносуперечливої ​​умови, зворотну теорему можна довести за допомогою правильного логічногоміркування тільки, і тільки, логічнимметодом від неприємного. У доказі від неприємного будь-які математичні події та операції підпорядковані логічним і тому рахунок не йдуть.

У першій частині суперечливого твердження з Еслід А умова Е було підтверджено доказом прямої теореми. У другій його частині з Ене слід А умова Е було припущено та прийнято без доказу. Одне з них одне є хибним, інше – істинним. Потрібно довести, яке з них є хибним.

Доводимо за допомогою правильного логічногоміркування і виявляємо, що його результатом є хибне, абсурдне висновок. Причиною хибного логічного висновку є суперечлива логічна умова теореми, що містить у собі дві частини – хибну та істинну. Хибною частиною може бути лише твердження з Ене слід А , в котрому Е було прийнято без підтвердження. Саме цим воно відрізняється від Е затвердження з Еслід А , який підтверджено доказом прямої теореми.

Отже, істинним є твердження: з Еслід А , що й потрібно було довести.

Висновок: логічним методом від протилежного доводиться лише обернена теорема, яка має доведену математичним методом пряму теорему і яку математичним методом довести неможливо.

Отриманий висновок набуває виняткового за важливістю значення щодо методу доказу від противного великої теореми Ферма. Переважна більшість спроб її довести має у своїй основі не звичайний математичний метод, а логічний метод доказу протилежного. Доказ великої теореми Ферма Уайлса не є винятком.

Дмитро Абраров у статті "Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса" опублікував коментар до доказу великої теореми Ферма Уайлсом. За Абраровом, Уайлс доводить велику теорему Ферма за допомогою чудової знахідки німецького математика Герхарда Фрея (р. 1944), який пов'язав потенційне рішення рівняння Ферма x n + y n = z n , де n > 2 , З іншим, зовсім несхожим на нього, рівнянням. Це нове рівняння задається спеціальною кривою (названою еліптичною кривою Фрея). Крива Фрея задається рівнянням дуже простого виду:
.

«А саме Фрей зіставив будь-якому рішенню (a, b, c)рівняння Ферма, тобто числам, що задовольняють співвідношення a n + b n = c n, Вказану вище криву. І тут звідси випливала б велика теорема Ферма».(Цитата з: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса»)

Іншими словами, Герхард Фрей припустив, що рівняння великої теореми Ферма x n + y n = z n , де n > 2 має рішення в цілих позитивних числах. Цими ж рішення є, за припущенням Фрея, рішеннями його рівняння
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , що задається його еліптичною кривою.

Ендрю Вайлз прийняв цю чудову знахідку Фрея та з її допомогою за допомогою математичногоМетод довів, що цієї знахідки, тобто еліптичної кривої Фрея, не існує. Тому немає рівняння та її рішень, які задаються неіснуючої еліптичної кривої, Тому Уайлсу слід було б прийняти висновок у тому, що немає рівняння великої теореми Ферма і самої теореми Ферма. Однак їм приймається більш скромний висновок про те, що рівняння великої теореми Ферма не має рішень у цілих позитивних числах.

Незаперечним фактом може бути те, що Уайлсом прийнято припущення, прямо протилежне за змістом тому, що затверджується великою теоремою Ферма. Воно зобов'язує Уайлса доводити велику теорему Ферма шляхом протилежного. Наслідуємо і ми його приклад і подивимося, що з цього виходить.

У великій теоремі Ферма стверджується, що рівняння, x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах.

Згідно з логічним методом доказу від протилежного, це твердження зберігається, приймається як дане без доказу, а потім доповнюється протилежним за змістом твердженням: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 має рішення в цілих позитивних числах.

Припущене твердження так само приймається як це, без доказу. Обидва твердження, що розглядаються з погляду основних законів логіки, є однаково допустимими, рівноправними та однаково можливими. За допомогою правильної міркування потрібно встановити, саме яке їх є хибним, щоб потім встановити, що інше твердження є істинним.

Правильне міркування завершується хибним, абсурдним висновком, логічною причиною якого може бути лише суперечлива умова доказуваної теореми, що містить у собі дві частини прямо протилежного сенсу. Вони й стали логічною причиною абсурдного ув'язнення, результату доказу протилежного.

Однак у ході логічно правильного міркування був виявлено жодного ознаки, яким можна було б встановити, яке саме твердження є хибним. Їм може бути твердження: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , має рішень у цілих позитивних числах На цій же підставі ним може бути твердження: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах.

У результаті міркування висновок може бути лише один: велику теорему Ферма методом від неприємного довести неможливо.

Було б зовсім інше, якби велика теорема Ферма була зворотною теоремою, яка має пряму теорему, доведену звичайним математичним методом. І тут її можна було довести від протилежного. А оскільки вона є прямою теоремою, то її доказ повинен мати у своїй основі не логічний метод доказу протилежного, а звичайний математичний метод.

За словами Д. Абрарова, найвідоміший із сучасних російських математиків академік В. І. Арнольд на доказ Уайлса відреагував «активно скептично». Академік заявив: «це справжня математика – справжня математика геометрична і сильна зв'язками з фізикою».(Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказів Уайлса». Заява академіка висловлює саму сутність нематематичного докази Уайлса великий теорема.

Методом протилежного неможливо довести ні те, що рівняння великий теореми Ферма немає рішень, ні те, що має рішення. Помилка Уайлса не математична, а логічна - використання докази від противного там, де його використання немає сенсу і великий теореми Ферма не доводить.

Не доводиться велика теорема Ферма і з допомогою звичайного математичного методу, якщо у ній дано: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах, і якщо у ній потрібно довести: рівняння x n + y n = z n , де n > 2 , немає рішень у цілих позитивних числах. У такій формі є не теорема, а тавтологія, позбавлена ​​сенсу.

Примітка.Мій доказ БТФ обговорювався на одному із форумів. Один із учасників Trotil, фахівець у теорії чисел, зробив таку авторитетну заяву під назвою: «Короткий переказ того, що зробив Миргородський». Наводжу його дослівно:

« А. Він довів, що якщо z 2 = x 2 + y , то z n > x n + y n . Це добре відомий і очевидний факт.

Ст. Він узяв дві трійки — піфагорову і піфагорову і показав простим перебором, що з конкретного, певного сімейства трійок (78 і 210 штук) БТФ виконується (і тільки йому).

З. А потім автором опущений той факт, що з < в подальшому може виявитися = , а не тільки > . Простий контрприклад - перехід n = 1 в n = 2 у піфагоровій трійці.

D. Цей пункт нічого суттєвого на доказ БТФ не вносить. Висновок: БТФ не доведено».

Розгляну його висновок щодо пунктів.

А.У ньому доведено БТФ для всієї нескінченної множини трійок піфагорових чисел. Доведена геометричним методом, який, на мою думку, мною не відкритий, а перевідкритий. А відкритий він був, на мою думку, самим П. Ферма. Саме його міг мати на увазі Ферма, коли писав:

«Я відкрив цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі». Дане моє припущення засноване на тому, що в задачі Діофанта, проти якої, на полях книги, писав Ферма, йдеться про рішення діофантового рівняння, якими є трійки чисел піфагорових.

Нескінченна безліч трійок піфагорових чисел є рішеннями діофатового рівняння, а теоремі Ферма, навпаки, жодне з рішень може бути рішенням рівняння теореми Ферма. І до цього факту справді чудовий доказ Ферма має безпосереднє відношення. Пізніше Ферма міг поширити свою теорему на множину всіх натуральних чисел. На багатьох натуральних чисел БТФ не належить до «багато винятково красивих теорем». Це моє припущення, яке ні довести, ні спростувати неможливо. Його можна і приймати, і відкидати.

Ст.У цьому пункті мною доводиться, що як сімейство довільно взятої піфагорової трійки чисел, так і сімейство довільно взятої не піфагорової трійки чисел БТФ виконується, Це необхідна, але недостатня і проміжна ланка в моєму доказі БТФ. Взяті приклади сімейства трійки піфагорових чисел і сімейства трійки не піфагорових чисел мають значення конкретних прикладів, що передбачають і не виключають існування аналогічних інших прикладів.

Твердження Trotil, що я «показав простим перебором, що для конкретного, певного сімейства трійок (78 і 210 штук) БТФ виконується (і тільки для нього) позбавлено підстави. Він не може спростувати того факту, що я з таким самим успіхом можу взяти інші приклади піфагорової і піфагорової трійки для отримання конкретного певного сімейства однієї і іншої трійки.

Яку б пару трійок я не взяв би, перевірка їх придатності для вирішення завдання може бути здійснена, на мій погляд, лише методом «простого перебору». Якийсь інший метод мені не відомий і не потрібний. Якщо він припав не до смаку Trotil, то йому слід запропонувати інший метод, чого він не робить. Не пропонуючи нічого натомість, засуджувати «простий перебір», який у цьому випадку незамінний, некоректно.

З.Мною опущено = між< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 = x 2 + y (1), в якому ступінь n > 2 — ціледодатне число. З рівності, що перебуває між нерівностями, випливає обов'язковерозгляд рівняння (1) при нецілому значенні ступеня n > 2 . Trotil, вважаючи обов'язковимрозгляд рівності між нерівностями, фактично вважає необхідниму доказі БТФ розгляд рівняння (1) при неціломзначенні ступеня n > 2 . Я це зробив для себе і виявив, що рівняння (1) при неціломзначенні ступеня n > 2 має рішенням трійку чисел: z, (z-1), (z-1) при нецілому показнику ступеня.

Іноді ретельне вивчення точних наук може принести свої плоди - ви станете не тільки відомими на весь світ, але й багатими. Нагороди даються, втім, нема за що потрапило, і в сучасній науці дуже багато недоведених теорій, теорем і завдань, які розмножуються в міру розвитку наук, взяти хоча б Коурівські або Дністровські зошити, такі собі збірки з нерозв'язними фізико-математичними, і не тільки, завданнями. Однак є і справді складні теореми, які не можуть розгадати вже не один десяток років, і ось за них і виставлена ​​нагорода американським інститутом Клея в розмірі 1 млн. доларів США за кожну. До 2002 року загальний джекпот дорівнював 7 мільйонам, оскільки «завдань тисячоліття» було сім, проте російський математик Григорій Перельман вирішив гіпотезу Пуанкаре, епічно відмовившись від мільйона, навіть не відчинивши двері математикам США, які хотіли вручити йому його чесно зароблені преміальні. Отже, включаємо Теорію Великого Вибуху для фону та настрою, і дивимося, за що ще можна зрубати круглу суму.

Рівність класів P та NP

Простими словами, проблема рівності P = NP полягає в наступному: якщо позитивну відповідь на якесь питання можна досить швидко перевірити (за поліноміальний час), то правда, що відповідь на це питання можна досить швидко знайти (також за поліноміальний час і використовуючи поліноміальну пам'ять)? Інакше кажучи, чи справді вирішення завдання перевірити не легше, ніж знайти? Суть тут у тому, що деякі розрахунки та обчислення легше вирішувати за алгоритмом, а не обчислювати перебором, і таким чином заощаджувати купу часу та ресурсів.

Гіпотеза Ходжа

Гіпотеза Ходжа сформульована в 1941 році і полягає в тому, що для особливо хороших типів просторів, які називають проективними алгебраїчними різноманіттями, так звані цикли Ходжа є комбінаціями об'єктів, що мають геометричну інтерпретацію, - алгебраїчних циклів.

Тут пояснюючи простими словами можна сказати таке: у 20 столітті було відкрито дуже складні геометричні форми, типу викривлених пляшок. Так ось, було висловлено припущення, що щоб сконструювати ці об'єкти для опису, треба застосовувати зовсім головоломні форми, які не мають геометричної суті «такі страшні багатовимірні коляки-маляки» або все ж таки можна обійтися умовно-стандартною алгеброю+геометрією.

Гіпотеза Рімана

Тут людською мовою пояснити досить складно, достатньо знати, що вирішення цієї проблеми матиме далекосяжні наслідки в галузі розподілу простих чисел. Проблема настільки важлива і нагальна, що навіть виведення контрприкладу гіпотези – на розсуд вченої ради університету, проблему можна буде вважати доведеною, тож тут можна спробувати й метод «від зворотного». Навіть якщо вдасться переформулювати гіпотезу у вужчому значенні - і тут інститут Клея виплатить деяку суму грошей.

Теорія Янга - Міллса

Фізика елементарних частинок - один із улюблених розділів доктора Шелдона Купера. Тут квантова теорія двох розумних дядечок говорить нам про те, що для будь-якої простої калібрувальної групи в просторі існує дефект маси відмінний від нульового. Це твердження встановлено експериментальними даними та чисельним моделюванням, проте довести його поки що ніхто не може.

Рівняння Навье-Стокса

Тут нам напевно допоміг би Говард Воловіц, якби існував у реальності - адже це загадка з гідродинаміки, причому основа основ. Рівняння описують рухи в'язкої ньютонівської рідини, мають величезне практичне значення, а головне описують турбулентність, яку ніяк не вдається загнати в рамки науки і передбачити її властивості та події. Обгрунтування побудови цих рівнянь дозволило б не тикати пальцем у небо, а зрозуміти турбулентність зсередини та зробити літаки та механізми стійкішими.

Гіпотеза Берча - Свіннертон-Дайєра

Тут я, правда, намагався підібрати прості слова, проте тут така дрімуча алгебра, що без глибокого занурення не обійтися. Тим же, хто не хоче пірнати з аквалангом в матан, треба знати, що дана гіпотеза дозволяє швидко і безболісно знаходити ранг еліптичних кривих, а якби цієї гіпотези не було, то для обчислення цього рангу потрібне було б простирадло обчислень. Та й природно також треба знати, що доказ цієї гіпотези збагатить вас на мільйон доларів.

Не можна не відзначити, що майже в кожній області вже є просування, і навіть доведено випадки для окремих прикладів. Тому не варто зволікати, а то вийде як з теоремою Ферма, яка піддалася Ендрю Уайлсу через три з лишком століття в 1994 році, і принесла йому Абелевську премію і близько 6 млн. норвезьких крон (50 мільйонів рублів за сьогоднішнім курсом).