Дія зі ступенями з різними основами. Властивості ступенів: формулювання, докази, приклади
Після того як визначено ступінь числа, логічно поговорити про властивості ступеня. У цій статті ми дамо основні властивості ступеня числа, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня. Тут ми наведемо докази всіх властивостей ступеня, і навіть покажемо, як застосовуються ці властивості під час вирішення прикладів.
Навігація на сторінці.
Властивості ступенів із натуральними показниками
За визначенням ступеня з натуральним показником ступінь a n є добутком n множників, кожен з яких дорівнює a . Відштовхуючись від цього визначення, а також використовуючи властивості множення дійсних чисел, можна отримати та обґрунтувати наступні властивості ступеня з натуральним показником :
- основна властивість ступеня a m · a n = a m + n, його узагальнення;
- властивість приватного ступенів однаковими підставами a m:a n =a m−n;
- властивість ступеня твору (a b) n = a n b n, його розширення;
- властивість частки у натуральному ступені (a:b) n =a n:b n ;
- зведення ступеня в ступінь (a m) n = a m·n його узагальнення (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·...·n k;
- порівняння ступеня з нулем:
- якщо a>0, то an>0 для будь-якого натурального n;
- якщо a = 0, то a n = 0;
- якщо a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , якщо a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- якщо a та b – позитивні числа та a
- якщо m і n такі натуральні числа, що m>n то при 0 0 справедлива нерівність a m >a n .
Відразу зауважимо, що всі записані рівності є тотожнимиза дотримання зазначених умов, та його праві і ліві частини можна поміняти місцями. Наприклад, основна властивість дробу a m ·a n =a m+n при спрощення виразівчасто застосовується у вигляді m + n = a m · a n .
Тепер розглянемо кожне з них докладно.
Почнемо з якості твору двох ступенів з однаковими основами, яке називають основною властивістю ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n справедлива рівність a m ·a n =a m+n .
Доведемо основну властивість ступеня. За визначенням ступеня з натуральним показником добуток ступенів з однаковими основами виду a m a a n можна записати як добуток. В силу властивостей множення отриманий вираз можна записати як , а це твір є ступінь числа a з натуральним показником m+n, тобто, a m+n. На цьому доказ завершено.
Наведемо приклад, що підтверджує основну властивість ступеня. Візьмемо ступеня з однаковими основами 2 і натуральними ступенями 2 і 3 за основною властивістю ступеня можна записати рівність 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Перевіримо його справедливість, навіщо обчислимо значення виразів 2 2 ·2 3 і 2 5 . Виконуючи зведення в ступінь, маємо 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 4 · 8 = 32і 2 5 =2·2·2·2·2=32 , оскільки виходять рівні значення, то рівність 2 2 · 2 3 = 25 - правильне, і воно підтверджує основну властивість ступеня.
Основне властивість ступеня з урахуванням властивостей множення можна узагальнити добуток трьох і більшого числаступенів з однаковими основами та натуральними показниками. Так для будь-якої кількості k натуральних чисел n 1 , n 2 , …, n k справедлива рівність a n 1 ·a n 2 ·...·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Наприклад, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Можна переходити до наступної властивості ступенів із натуральним показником – властивості приватного ступеня з однаковими підставами: для будь-якого відмінного від нуля дійсного числа a і довільних натуральних чисел m і n, що задовольняють умові m>n справедлива рівність a m:a n =a m−n .
Перш ніж навести доказ цієї властивості, обговоримо зміст додаткових умов у формулюванні. Умова a≠0 необхідна для того, щоб уникнути розподілу на нуль, тому що 0 n =0 , а при знайомстві з розподілом ми домовилися, що на нуль ділити не можна. Умова m>n вводиться для того, щоб ми не виходили за межі натуральних показників ступеня. Дійсно, при m>n показник ступеня a m−n є натуральним числом, інакше він буде або нулем (що відбувається за m−n ), або негативним числом (що відбувається за m Доведення. Основна властивість дробу дозволяє записати рівність a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. З отриманої рівності a m-n · a n = a m і з виходить, що a m-n є приватним ступенів a m і a n . Цим доведено властивість приватного ступеня з однаковими підставами. Наведемо приклад. Візьмемо два ступені з однаковими основами π і натуральними показниками 5 і 2, розглянутій властивості ступеня відповідає рівність π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 . Тепер розглянемо властивість ступеня твору: натуральний ступінь n добутки двох будь-яких дійсних чисел a і b дорівнює добутку ступенів a n і b n , тобто (a b) n = a n b n . Справді, за визначенням ступеня з натуральним показником маємо Наведемо приклад: Ця властивість поширюється на ступінь добутку трьох і більшої кількості множників. Тобто властивість натурального ступеня n твору k множників записується як (a 1 · a 2 · ... · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n. Для наочності покажемо цю властивість з прикладу. Для добутку трьох множників у ступені 7 маємо. Наступна властивість є властивість приватного в натуральному ступені: частка дійсних чисел a і b , b≠0 в натуральному ступені n дорівнює приватному ступені a n і b n , тобто, (a:b) n =a n:b n . Доказ можна провести, використовуючи попередню властивість. Так (a:b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n, та якщо з рівності (a:b) n ·b n =a n слід, що (a:b) n є приватним від розподілу a n на b n . Запишемо цю властивість на прикладі конкретних чисел: Тепер озвучимо властивість зведення ступеня до ступеня: для будь-якого дійсного числа a та будь-яких натуральних чисел m і n ступінь a m у ступеню n дорівнює ступеню числа a з показником m·n , тобто (a m) n = a m·n . Наприклад, (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6 . Доказом якості ступеня є такий ланцюжок рівностей: Розглянуту властивість можна поширити на ступінь ступеня ступеня і т.д. Наприклад, для будь-яких натуральних чисел p , q , r і s справедлива рівність Залишилося зупинитися на властивостях порівняння ступенів із натуральним показником. Почнемо з підтвердження якості порівняння нуля та ступеня з натуральним показником. Для початку обґрунтуємо, що a n >0 за будь-якого a>0 . Добуток двох позитивних чисел є позитивним числом, що випливає з визначення множення. Цей факт та властивості множення дозволяють стверджувати, що результат множення будь-якої кількості позитивних чисел також буде позитивним числом. А ступінь числа a з натуральним показником n за визначенням є добутком n множників, кожен із яких дорівнює a . Ці міркування дозволяють стверджувати, що для будь-якої позитивної основи a ступінь a n є додатне число. З огляду на доведену властивість 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 і Досить очевидно, що з будь-якого натурального n при a=0 ступінь a n є нуль. Дійсно, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0 . Наприклад, 03 = 0 і 0762 = 0 . Переходимо до негативних підстав ступеня. Почнемо з випадку, коли показник ступеня є парним числом, позначимо його як 2m, де m - натуральне. Тоді Нарешті, коли основа ступеня a є негативним числом, а показник ступеня є непарне число 2·m−1 , то Переходимо до властивості порівняння ступенів з однаковими натуральними показниками, яке має наступне формулювання: з двох ступенів з однаковими натуральними показниками n менше та, основа якої менша, а більша за та, основа якої більша. Доведемо його. Нерівність a n властивостей нерівностейсправедлива і доведена нерівність виду a n . Залишилося довести останню з перерахованих властивостей ступенів із натуральними показниками. Сформулюємо його. З двох ступенів з натуральними показниками та однаковими позитивними основами, меншими одиниці, більший той ступінь, показник якого менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більшим є той ступінь, показник якого більший. Переходимо до підтвердження цієї якості. Доведемо, що за m>n і 0 0 в силу вихідної умови m>n, звідки випливає, що при 0
Залишилося довести другу частину якості. Доведемо, що з m>n і a>1 справедливо a m >a n . Різниця a m -a n після винесення a n за дужки набуває вигляду a n · (a m−n −1) . Це твір позитивно, тому що при a>1 ступінь a n є позитивне число, і різницю a m−n −1 є позитивне число, оскільки m−n>0 в силу початкової умови, і при a>1 ступінь a m−n більше одиниці . Отже, a m -a n >0 і a m >a n , що потрібно було довести. Ілюстрацією цієї властивості є нерівність 3 7 >3 2 .. Останній твір на підставі властивостей множення можна переписати як
що дорівнює a n · b n .
.
.
.
. Для більшої ясності наведемо приклад із конкретними числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. По кожен із творів виду a·a дорівнює добутку модулів чисел a та a , отже, є позитивним числом. Отже, позитивним буде і твір
і ступінь a 2·m. Наведемо приклади: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 і .
. Всі твори a · a є позитивними числами, добуток цих позитивних чисел також позитивно, а його множення на негативне число, що залишилося a дає в результаті негативне число. В силу цієї властивості (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и
.
Властивості ступенів із цілими показниками
Так як цілі позитивні числа є натуральними числами, то всі властивості ступенів з цілими позитивними показниками точно збігаються з властивостями ступенів з натуральними показниками, перерахованими і доведеними в попередньому пункті.
Ступінь із цілим негативним показником, а також ступінь з нульовим показником ми визначали так, щоб залишалися справедливими всі властивості ступенів з натуральними показниками, що виражаються рівностями. Тому всі ці властивості справедливі і для нульових показників ступеня, і для негативних показників, при цьому, звичайно, підстави ступенів відмінні від нуля.
Отже, для будь-яких дійсних і відмінних від нуля чисел a і b, а також будь-яких цілих чисел m і n справедливі такі властивості ступенів із цілими показниками:
- a m · a n = a m + n;
- a m:a n =a m−n;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n = a n: b n;
- (a m) n = a m·n;
- якщо n – ціле позитивне число, a та b – позитивні числа, причому a b −n;
- якщо m і n - цілі числа, причому m>n, то при 0 1 виконується нерівність a m >a n .
При a=0 ступеня a m і a n мають сенс коли і m , і n позитивні цілі числа, тобто, натуральні числа. Отже, щойно записані властивості також справедливі випадків, коли a=0 , а числа m і n – цілі позитивні.
Довести кожну з цих властивостей нескладно, для цього достатньо використовувати визначення ступеня з натуральним і цілим показником, а також властивості дій з дійсними числами. Наприклад доведемо, що властивість ступеня ступеня виконується як цілих позитивних чисел, так цілих непозитивних чисел. Для цього потрібно показати, що якщо p є нуль або натуральне число і q є нуль або натуральне число, то справедливі рівності (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p ) −q =a p·(−q) і (a −p) −q =a (−p)·(−q). Зробимо це.
Для позитивних p і q рівність (a p) q =a p·q доведено у попередньому пункті. Якщо p = 0, то маємо (a 0) q = 1 q = 1 і a 0 · q = a 0 = 1, звідки (a 0) q = a 0 · q. Аналогічно, якщо q = 0, то (a p) 0 = 1 і a p · 0 = a 0 = 1, звідки (a p) 0 = a p · 0 . Якщо і p=0 і q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 і a 0·0 =a 0 =1 , звідки (a 0) 0 =a 0·0 .
Тепер доведемо, що (a −p) q =a (−p)·q . За визначенням ступеня з цілим негативним показником, тоді . За якістю приватного у ступеня маємо
. Оскільки 1 p =1·1·…·1=1 і , то . Останнє вираз за визначенням є ступенем виду a −(p·q) , який з правил множення можна записати як a (−p)·q .
Аналогічно .
І .
За таким самим принципом можна довести решту властивостей ступеня з цілим показником, записані у вигляді рівностей.
У передостанньому із записаних властивостей варто зупинитися на доказі нерівності a −n >b −n , яка справедлива для будь-якого цілого негативного −n та будь-яких позитивних a та b , для яких виконується умова a . Оскільки за умовою a 0 . Добуток a n · b n теж позитивно як добуток позитивних чисел a n і b n . Тоді отриманий дріб позитивний як приватний позитивних чисел b n -a n і a n · b n . Отже, звідки a −n >b −n , що потрібно було довести.
Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться так само, як аналогічна властивість ступенів із натуральними показниками.
Властивості ступенів з раціональними показниками
Ступінь з дрібним показником ми визначали, поширюючи на неї властивості ступеня з цілим показником. Іншими словами, ступені з дробовими показниками мають ті ж властивості, що і ступені з цілими показниками. А саме:
![](https://i0.wp.com/cleverstudents.ru/powers/images/properties_of_powers/028.png)
p align="justify"> Доказ властивостей ступенів з дробовими показниками базується на визначенні ступеня з дробовим показником, на і на властивостях ступеня з цілим показником. Наведемо докази.
За визначенням ступеня з дробовим показником і , тоді . Властивості арифметичного кореня дозволяють нам записати такі рівності. Далі, використовуючи властивість ступеня з цілим показником, отримуємо , звідки за визначенням ступеня з дробовим показником маємо
, А показник отриманого ступеня можна перетворити так: . На цьому доказ завершено.
Абсолютно аналогічно доводиться друга властивість ступенів із дробовими показниками:
По подібним принципам доводяться та інші рівності:
Переходимо до підтвердження наступного властивості. Доведемо, що для будь-яких позитивних a і b, a b p. Запишемо раціональне число p як m/n, де m – ціле число, а n – натуральне. Умов p<0 и p>0 у цьому випадку будуть еквівалентні умови m<0 и m>0 відповідно. При m>0 та a
Аналогічно, при m<0 имеем a m >b m, звідки, тобто, і a p > b p.
Залишилося довести останню з перерахованих властивостей. Доведемо, що раціональних чисел p і q , p>q при 0 0 - нерівність a p > a q. Ми завжди можемо привести до спільного знаменника раціональні числа p і q, нехай при цьому ми отримаємо прості дроби і де m 1 і m 2 - цілі числа, а n - натуральне. При цьому умові p>q відповідатиме умова m 1 >m 2 , що випливає з . Тоді за якістю порівняння ступенів з однаковими основами та натуральними показниками при 0 1 – нерівність a m 1 >a m 2 . Ці нерівності за властивостями коренів можна переписати відповідно як і
. А визначення ступеня з раціональним показником дозволяє перейти до нерівностей та відповідно. Звідси робимо остаточний висновок: при p>q і 0 0 - нерівність a p > a q.
Властивості ступенів із ірраціональними показниками
З того, як визначається ступінь з ірраціональним показником, можна зробити висновок, що вона має всі властивості ступенів з раціональними показниками. Так для будь-яких a>0, b>0 та ірраціональних чисел p і q справедливі наступні властивості ступенів із ірраціональними показниками:
- a p · a q = a p + q;
- a p: a q = a p-q;
- (a b) p = a p b ;
- (a:b) p = a p: b p;
- (a p) q = a p · q;
- для будь-яких позитивних чисел a і b, a 0 справедлива нерівність a p b p;
- для ірраціональних чисел p і q p при 0 0 - нерівність a p > a q.
Звідси можна зробити висновок, що ступеня з будь-якими дійсними показниками p і q при a>0 мають ті ж властивості.
Список літератури.
- Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
- Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
- Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).
I.твір nспівмножників, кожен з яких дорівнює аназивається n-й ступенем числа аі позначається аn.
приклади. Записати твір як ступеня.
1) мммм; 2) aaabb; 3) 5 · 5 · 5 · 5 · ccc; 4) ppkk + pppk-ppkkk.
Рішення.
1) mmmm = m 4, оскільки, за визначенням ступеня, твір чотирьох співмножників, кожен з яких дорівнює m, буде четвертим ступенем числа m.
2) aaabb = a 3 b 2; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk + pppk-ppkkk = p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3 .
ІІ.Дія, з якого перебуває твір кількох рівних співмножників, називається зведенням у ступінь. Число, яке зводиться в ступінь, називається основою ступеня. Число, яке показує, на яку міру зводиться основа, називається показником ступеня. Так, аn- Ступінь, а- Основа ступеня, n- показник ступеня. Наприклад:
2 3 — це ступінь. Число 2 - Основа ступеня, показник ступеня дорівнює 3 . Значення ступеня 2 3 одно 8, так як 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.
приклади. Написати такі вирази без показника ступеня.
5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .
Рішення.
5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.
ІІІ.а 0 = 1 Будь-яке число (крім нуля) в нульовому ступені дорівнює одиниці. Наприклад, 250 =1.
IV.а 1 = аБудь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі.
V. a m∙ a n= a m + n При множенні ступенів з однаковими основами основу залишають колишньою, а показники складають.
приклади. Спростити:
9) a · a 3 · a 7; 10) b 0 + b 2 · b 3; 11) c 2 · c 0 · c · c 4 .
Рішення.
9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11; 10) b 0 +b 2 · b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5;
11) c 2 · c 0 · c · c 4 = 1·c 2 ·c·c 4 =c 2+1+4 =c 7 .
VI. a m: a n= a m - nПри розподілі ступенів з однаковими основами основу залишають колишньою, а з показника діленого ступеня віднімають показник ступеня дільника.
приклади. Спростити:
12) a 8: a 3; 13) m 11: m 4 ; 14) 5 6:5 4 .
12) a 8:a 3= a 8-3 = a 5; 13) m 11:m 4= m 11-4 = m 7; 14 ) 5 6:5 4 = 5 2 = 5 · 5 = 25.
VII. (a m) n= a mn При зведенні ступеня в ступінь основу залишають тим самим, а показники перемножують.
приклади. Спростити:
15) (a 3) 4; 16) (c 5) 2.
15) (a 3) 4= a 3 · 4 = a 12; 16) (з 5) 2= c 5 · 2 = c 10 .
Зверніть увагу, що, оскільки від перестановки множників твір не змінюється, то:
15) (a 3) 4 = (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .
VI II. (a∙b) n =a n ∙b n
приклади. Спростити:
При зведенні твору до ступеня зводять у цей ступінь кожен із множників.
Рішення.
17) (2a 2) 5; 18) 0,2 6 · 5 6; 19) 0,25 2 · 40 2 . 17) (2a 2) 5 =2 5 · a 2 · 5 = 32a 10; 18) 0,2 6 ·5 6
= (0,2 · 5) 6 = 1 6 = 1; 19) 0,25 2 · 40 2
= (0,25 · 40) 2 = 10 2 = 100. IX.
приклади. Спростити:
Рішення.
При зведенні в ступінь дробу зводять у цей ступінь і чисельник та знаменник дробу.
Раніше ми вже говорили, що таке ступінь числа. Вона має певні властивості, корисні у вирішенні завдань: саме їх та всі можливі показники ступеня ми розберемо у цій статті. Також ми наочно покажемо на прикладах, як їх можна довести та правильно застосувати на практиці.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Згадаймо вже сформульоване нами раніше поняття ступеня з натуральним показником: це добуток n-ної кількості множників, кожен з яких дорівнює а. Також нам доведеться згадати, як правильно множити дійсні числа. Все це допоможе нам сформулювати для ступеня з натуральним показником такі властивості:
Визначення 1
1. Головна властивість ступеня: a m · a n = a m + n
Можна узагальнити до: a n 1 · an 2 · … · an k = an 1 + n 2 + … + n k .
2. Властивість частки для ступенів, що мають однакові підстави: a m: a n = a m − n
3. Властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n
Рівність можна розширити до: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
4. Властивість частки в натуральному ступені: (a: b) n = a n: b n
5. Зводимо ступінь у ступінь: (a m) n = a m · n ,
Можна узагальнити до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k
6. Порівнюємо ступінь з нулем:
- якщо a > 0 то при будь-якому натуральному n, a n буде більше нуля;
- при a , що дорівнює 0 , a n також дорівнюватиме нулю;
- при a< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- при a< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Рівність a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Нерівність a m > a n буде правильною за умови, що m і n – натуральні числа, m більше n і а більше нуля і менше одиниці.
У результаті ми здобули кілька рівностей; якщо дотриматися всіх умов, зазначених вище, то вони будуть тотожними. Для кожного з рівностей, наприклад, для основного властивості, можна поміняти місцями праву і ліву частину: a m · a n = a m + n - те саме, що і a m + n = a m · a n . У такому вигляді воно часто використовується при спрощенні виразів.
1. Почнемо з основного властивості ступеня: рівність a m a n = a m + n буде вірним за будь-яких натуральних m і n і дійсному a . Як довести це твердження?
Основне визначення ступенів з натуральними показниками дозволить нам перетворити рівність на твір множників. Ми отримаємо запис такого виду:
Це можна скоротити до (Згадаймо основні властивості множення). У результаті ми отримали ступінь числа a з натуральним показником m + n. Таким чином, a m + n означає основну властивість ступеня доведено.
Розберемо конкретний приклад, що підтверджує це.
Приклад 1
Отже, у нас є два ступені з основою 2 . Їхні натуральні показники - 2 і 3 відповідно. У нас вийшла рівність: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Обчислимо значення, щоб перевірити вірність цієї рівності.
Виконаємо необхідні математичні дії: 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 4 · 8 = 32 і 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
У результаті ми вийшло: 2 2 · 2 3 = 2 5 . Властивість доведено.
У силу властивостей множення ми можемо виконати узагальнення властивості, сформулювавши його у вигляді трьох і більшої кількості ступенів, у яких показники є натуральними числами, а підстави однакові. Якщо позначити кількість натуральних чисел n 1 , n 2 та ін. літерою k , ми отримаємо правильну рівність:
a n 1 · a n 2 · … · a n k = an 1 + n 2 + … + n k .
Приклад 2
2. Далі нам необхідно довести таку властивість, яка називається властивістю приватного і властиво ступеням з однаковими підставами: це рівність a m: a n = a m n , яка справедлива за будь-яких натуральних m і n (причому m більше n)) і будь-якого відмінного від нуля дійсного a .
Для початку пояснимо, який саме зміст умов, згаданих у формулюванні. Якщо ми візьмемо a, що дорівнює нулю, то у результаті вийде поділ на нуль, чого робити не можна (адже 0 n = 0). Умова, щоб число m обов'язково було більше n, потрібно для того, щоб ми могли утриматися в рамках натуральних показників ступеня: віднімаючи n з m, ми отримаємо натуральне число. Якщо умови не буде дотримано, у нас вийде негативне число або нуль, і знову ж таки ми вийдемо за межі вивчення ступенів із натуральними показниками.
Тепер ми можемо перейти до підтвердження. З раніше вивченого пригадаємо основні властивості дробів та сформулюємо рівність так:
a m − n · a n = a (m − n) + n = a m
З нього можна вивести: a m − n · a n = a m
Згадаймо про зв'язок поділу та множення. З нього випливає, що a m n - приватна ступенів a m і a n . Це і є підтвердження другої якості ступеня.
Приклад 3
Підставимо конкретні числа для наочності в показники, а основу ступеня позначимо π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Наступним ми розберемо властивість ступеня твору: (a · b) n = a n · b n за будь-яких дійсних a і b і натурального n .
Згідно з базовим визначенням ступеня з натуральним показником ми можемо переформулювати рівність так:
Згадавши властивості множення, запишемо: . Це означає те саме, що і a n · b n .
Приклад 4
2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4
Якщо множників у нас три і більше, то ця властивість також поширюється на цей випадок. Введемо для числа множників позначення k і запишемо:
(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
Приклад 5
З конкретними числами отримаємо таку правильну рівність: (2 · (- 2 , 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) 7 · a
4. Після цього ми спробуємо довести властивість частки: (a: b) n = a n: b n за будь-яких дійсних a і b , якщо b не дорівнює 0 , а n – натуральне число.
Для підтвердження можна використовувати попередню властивість ступеня. Якщо (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , а (a: b) n · b n = a n , то з цього виходить, що (a: b) n є приватним від розподілу a n на b n .
Приклад 6
Підрахуємо приклад: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Приклад 7
Почнемо відразу з прикладу: (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6
А тепер сформулюємо ланцюжок рівностей, який доведе нам вірність рівності:
Якщо у нас у прикладі є ступеня ступенів, то ця властивість є справедливою для них також. Якщо у нас є будь-які натуральні числа p, q, r, s, то правильно буде:
a p q y s = a p · q · y · s
Приклад 8
Додамо конкретики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10
6. Ще одна властивість ступенів із натуральним показником, яку нам потрібно довести, – властивість порівняння.
Для початку порівняємо ступінь із нулем. Чому a n > 0 за умови, що більше 0 ?
Якщо помножити одне позитивне число інше, ми отримаємо також позитивне число. Знаючи цей факт, ми можемо сказати, що від числа множників це не залежить – результат множення будь-якої кількості позитивних чисел є позитивним. А що таке ступінь, як результат множення чисел? Тоді для будь-якого ступеня a n з позитивною основою та натуральним показником це буде правильно.
Приклад 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 і 34 9 13 51 > 0
Також очевидно, що ступінь з основою, що дорівнює нулю, сама є нуль. В який би ступінь ми не зводили нуль, він залишиться їм.
Приклад 10
0 3 = 0 та 0 762 = 0
Якщо основа ступеня – негативне число, то тут доказ трохи складніше, оскільки важливим стає поняття парності/непарності показника. Візьмемо спочатку випадок, коли показник ступеня парний, і позначимо його 2 · m , де m – натуральне число.
Згадаймо, як правильно множити негативні числа: твір a · a дорівнює добутку модулів, а отже, він буде позитивним числом. Тоді і ступінь a 2 · m також позитивні.
Приклад 11
Наприклад, (−6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 та - 2 9 6 > 0
Якщо показник ступеня з негативним підставою – непарне число? Позначимо його 2 · m − 1 .
Тоді
Всі твори a · a згідно властивостей множення, позитивні, їх твір теж. Але якщо ми його помножимо на єдине число, що залишилося a , то кінцевий результат буде від'ємний.
Тоді отримаємо: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Як це довести?
a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Приклад 12
Наприклад, вірні нерівності: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Нам залишилося довести останню властивість: якщо у нас є два ступені, підстави яких однакові та позитивні, а показники є натуральними числами, то та з них більша, показник якої менший; а з двох ступенів з натуральними показниками та однаковими основами, більшими одиниці, більшим є той ступінь, показник якого більший.
Доведемо ці твердження.
Для початку нам потрібно переконатися, що am< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Винесемо a n за дужки, після чого наша різниця набуде вигляду a n · (a m − n − 1) . Її результат буде негативний (оскільки негативний результат множення позитивного числа на негативне). Адже згідно з початковими умовами, m − n > 0 , тоді a m − n − 1 –негативно, а перший множник позитивний, як і будь-який натуральний ступінь із позитивною основою.
У нас вийшло, що a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Залишилося навести доказ другої частини твердження, сформульованого вище: a m > a справедливо при m > n та a > 1 . Вкажемо різницю і винесемо a n за дужки: (a m − n − 1) .Ступінь a n при а, більшому за одиницю, дасть позитивний результат; а сама різниця також виявиться позитивною через початкові умови, і при a > 1 ступінь a m n більше одиниці. Виходить, a m − a n > 0 і a m > a n , що нам потрібно було довести.
Приклад 13
Приклад із конкретними числами: 3 7 > 3 2
Основні властивості ступенів із цілими показниками
Для ступенів з цілими позитивними показниками властивості будуть аналогічні, тому що цілі позитивні числа є натуральними, а отже, всі рівні, доведені вище, справедливі і для них. Також вони підходять і для випадків, коли показники негативні або рівні нулю (за умови, що сама основа ступеня ненульова).
Таким чином, властивості ступенів такі ж для будь-яких підстав a та b (за умови, що ці числа дійсні і не рівні 0) та будь-яких показників m і n (за умови, що вони є цілими числами). Запишемо їх коротко у вигляді формул:
Визначення 2
1. a m · a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a · b) n = a n · b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (a m) n = a m · n
6. a n< b n и a − n >b − n за умови цілого позитивного n , позитивних a та b , a< b
7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n та 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.
Якщо підстава ступеня дорівнює нулю, записи a m і a n мають сенс лише у разі натуральних і позитивних m і n . У результаті отримаємо, що формулювання вище підходять і для випадків зі ступенем з нульовою основою, якщо дотримуються всі інші умови.
Докази цих властивостей у разі нескладні. Нам потрібно згадати, що таке ступінь з натуральним та цілим показником, а також властивості дій із дійсними числами.
Розберемо властивість ступеня в міру і доведемо, що воно правильне і для позитивних, і для непозитивних чисел. Почнемо з доказу рівностей (a p) q = a p · q , (a - p) q = a (- p) · q, (a p) - q = a p · (- q) та (a - p) - q = a (− p) · (− q)
Умови: p = 0 чи натуральне число; q – аналогічно.
Якщо значення p і q більше 0, то в нас вийде (a p) q = a p · q. Таку рівність ми вже доводили раніше. Якщо p = 0, то:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1
Отже, (a 0) q = a 0 · q
Для q = 0 так само:
(a p) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1
Підсумок: (a p) 0 = a p · 0 .
Якщо ж обидва показники нульові, то (a 0) 0 = 1 0 = 1 і a 0 · 0 = a 0 = 1 означає, (a 0) 0 = a 0 · 0 .
Згадаймо доведену вище властивість частки в мірі і запишемо:
1 a p q = 1 q a p q
Якщо 1 p = 1 · 1 · … · 1 = 1 і a p q = a p · q, то 1 q a p q = 1 a p · q
Цей запис ми можемо перетворити з основних правил множення в a (− p) · q .
Також: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .
І (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p · q = a (- p) · (- q)
Інші властивості ступеня можна довести аналогічним чином, перетворивши наявні нерівності. Докладно зупинятись ми на цьому не будемо, вкажемо лише складні моменти.
Доказ передостанньої властивості: пригадаємо, a − n > b − n правильне будь-яких цілих негативних значень nі будь-яких позитивних a і b за умови, що a менше b .
Тоді нерівність можна перетворити так:
1 a n > 1 b n
Запишемо праву та ліву частини у вигляді різниці та виконаємо необхідні перетворення:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n
Згадаймо, що в умові a менше b тоді, згідно з визначенням ступеня з натуральним показником: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n у результаті дає позитивне число, оскільки його множники позитивні. У результаті маємо дріб b n - a n a n · b n , яка у результаті також дає позитивний результат. Звідси 1 a n > 1 b n звідки a − n > b − n що нам і треба було довести.
Остання властивість ступенів із цілими показниками доводиться аналогічно до властивості ступенів з показниками натуральними.
Основні властивості ступенів з раціональними показниками
У попередніх статтях ми розбирали, що таке ступінь із раціональним (дрібним) показником. Їхні властивості такі ж, що й у ступенів з цілими показниками. Запишемо:
Визначення 3
1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість добутку степенів з однаковими основами).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 якщо a > 0 (властивість приватного).
3. a · b m n = a m n · b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 та (або) b ≥ 0 (властивість твору в дробового ступеня).
4. a: b m n = a m n: b m n при a > 0 і b > 0 , а якщо m n > 0 , то при a ≥ 0 і b > 0 (властивість приватного дробового ступеня).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 при a > 0 , а якщо m 1 n 1 > 0 і m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (властивість ступеня в ступеня).
6. a p< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; якщо p< 0 - a p >b p (властивість порівняння ступенів з рівними раціональними показниками).
7. a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q при 0< a < 1 ; если a >0 - a p > a q
Для доказу зазначених положень нам знадобиться згадати, що таке ступінь із дробовим показником, які властивості арифметичного кореня n-ного ступеня та які властивості ступеня з цілими показником. Розберемо кожну властивість.
Відповідно до того, що собою являє ступінь з дробовим показником, отримаємо:
a m 1 n 1 = a m 1 n 1 і a m 2 n 2 = a m 2 n 2 , отже, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2
Властивості кореня дозволять нам вивести рівність:
a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2
З цього отримуємо: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Перетворюємо:
a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Показник ступеня можна записати у вигляді:
m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Це є доказ. Друга властивість доводиться абсолютно так само. Запишемо ланцюжок рівностей:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 · n 2: a m 2 · n 1 n · n 2 = = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = am 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
Докази інших рівностей:
a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; am 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2
Наступна властивість: доведемо, що для будь-яких значень a і b більше 0 якщо а менше b буде виконуватися a p< b p , а для p больше 0 - a p >b p
Уявимо раціональне число p як m n . У цьому m –ціле число, n –натуральне. Тоді умови p< 0 и p >0 будуть поширюватися на m< 0 и m >0 . При m > 0 та a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Використовуємо властивість коріння і виведемо: a m n< b m n
Враховуючи позитивність значень a і b перепишемо нерівність як a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
Так само при m< 0 имеем a a m >b m отримуємо a m n > b m n означає, a m n > b m n і a p > b p .
Нам залишилося навести доказ останньої якості. Доведемо, що для раціональних чисел p і q p > q при 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 буде правильно a p > a q.
Раціональні числа p і q можна привести до спільного знаменника та отримати дроби m 1 n і m 2 n
Тут m1 і m2 – цілі числа, а n – натуральне. Якщо p > q , то m 1 > m 2 (з огляду на правило порівняння дробів). Тоді при 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – нерівність a 1 m > a 2 m.
Їх можна переписати у такому вигляді:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Тоді можна зробити перетворення та отримати в результаті:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Підбиваємо підсумок: при p > q і 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 - a p > a q.
Основні властивості ступенів із ірраціональними показниками
На такий ступінь можна поширити всі описані вище властивості, якими має рівень з раціональними показниками. Це випливає із самого її визначення, яке ми давали в одній із попередніх статей. Сформулюємо коротко ці властивості (умови: a > 0, b > 0, показники p і q – ірраціональні числа):
Визначення 4
1. a p · a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a · b) p = a p · b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p · q
6. a p< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b p
7. a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , a p > a q .
Таким чином, всі ступеня, показники яких p і q є дійсними числами, за умови a > 0 мають ті ж властивості.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Урок на тему: "Правила множення та поділу ступенів з однаковими та різними показниками. Приклади"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Посібник до підручника Ю.М. Макарічева Посібник до підручника А.Г. Мордковича
Мета уроку: навчиться робити дії зі ступенями числа.
Для початку згадаємо поняття "ступінь числа". Вираз виду $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ можна уявити, як $a^n$.
Справедливо також обернене: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Ця рівність називається "запис ступеня у вигляді твору". Воно допоможе нам визначити, як множити і ділити ступеня.
Запам'ятайте:
a- Підстава ступеня.
n- показник ступеня.
Якщо n = 1отже, число авзяли раз і відповідно: $a^n= 1$.
Якщо n = 0, то $ a ^ 0 = 1 $.
Чому так відбувається, ми зможемо з'ясувати, коли познайомимося з правилами множення та поділу ступенів.
Правила множення
a) Якщо множаться ступені з однаковою основою.Щоб $a^n * a^m$, запишемо ступеня у вигляді твору: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_(m ) $.
На малюнку видно, що число авзяли n+mраз, тоді $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.
приклад.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Ця властивість зручно використовувати, щоб спростити роботу при зведенні числа у велику міру.
приклад.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
б) Якщо множаться ступеня з різною основою, але однаковим показником.
Щоб $a^n * b^n$, запишемо ступеня у вигляді твору: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_(m ) $.
Якщо поміняти місцями множники і порахувати пари, отримаємо: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Отже, $a^n*b^n=(a*b)^n$.
приклад.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Правила розподілу
a) Підстава ступеня однакова, показники різні.Розглянемо розподіл ступеня з більшим показником на розподіл ступеня з меншим показником.
Отже, треба $\frac(a^n)(a^m)$, де n > m.
Запишемо ступеня у вигляді дробу:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Для зручності поділ запишемо у вигляді простого дробу.Тепер скоротимо дріб.
Виходить: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Значить, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Ця властивість допоможе пояснити ситуацію зі зведенням числа в нульовий ступінь. Припустимо, що n=mтоді $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
приклади.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
б) Підстави ступеня різні, показники однакові.
Допустимо, необхідно $\frac(a^n)( b^n)$. Запишемо ступеня чисел у вигляді дробу:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Для зручності уявимо.![](https://i2.wp.com/mathematics-tests.com/matematika/7-klass/7-klass-umnozhenie-delenie-stepeney_11.jpg)
Використовуючи властивість дробів, розіб'ємо великий дріб на твір дрібних, отримаємо.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Відповідно: $ frac (a ^ n) (b ^ n) = ( frac (a) (b)) ^ n $.
приклад.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.