Головна > утеплення > Чому дорівнює кут навпроти дуги. Властивості вписаних кутів


Чому дорівнює кут навпроти дуги. Властивості вписаних кутів




Вписаний кут, теорія завдання. Друзі! У цій статті мова піде про завдання, для вирішення яких необхідно знати властивості вписаного кута. Це ціла група завдань, вони включені в ЄДІ. Більшість з них вирішуються дуже просто, в одну дію.

Є завдання складніше, але і вони великих труднощів для вас не представлять, необхідно знати властивості вписаного кута. Поступово ми розберемо всі прототипи задач, запрошую вас на блог!

Тепер необхідна теорія. Згадаймо, що таке центральний і вписаний кут, хорда, дуга, на які спираються ці кути:

Центральним кутом в окружності називається плоский кут звершиною в її центрі.

Частина окружності, розташована всередині плоского кута,називається дугою кола.

Градусної мірою дуги кола називається градусна міравідповідного центрального кута.

Кут, називається вписаним в коло, якщо вершина кута лежитьна колі, а сторони кута перетинають це коло.


Відрізок з'єднує дві точки кола називаєтьсяхордою. Найбільша хорда проходить через центр кола і називаєтьсядіаметр.

Для вирішення завдань на вписані в коло кути,вам необхідно знати наступні властивості:

1. Вписаний кут дорівнює половині центрального, що спирається на ту ж дугу.


2. Всі вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.

3. Всі вписані кути, що спираються на одну й ту ж хорду, вершини яких лежать по одну сторону від цієї хорди, рівні.

4. Будь-яка пара кутів, що спираються на одну й ту ж хорду, вершини яких лежать по різні боки хорди, складають в сумі 180 °.

Слідство: протилежні кути чотирикутника вписаного в коло в сумі складають 180 градусів.

5. Всі вписані кути, що спираються на діаметр, прямі.

Взагалі, це властивість є наслідком з властивості (1), це його окремий випадок. Подивіться - центральний кут дорівнює 180 градусам (і цей розгорнутий кут є не що інше, як діаметр), значить на першу властивості вписаний кут С дорівнює його половині, тобто 90 градусам.

Знання даної властивості допомагає у вирішенні багатьох завдань і часто дозволяє уникнути зайвих розрахунків. Добре засвоївши його - ви більше половини завдань такого типу зможете вирішувати усно. Два наслідок, які можна зробити:

Слідство 1: якщо в коло вписаний трикутник і одна його сторона збігається з діаметром цієї окружності, то трикутник є прямокутним (вершина прямого кута лежить на окружності).

Слідство 2: центр описаного навколо прямокутного трикутника окружності збігається з серединою його гіпотенузи.

Багато прототипи стереометричних задач також вирішуються завдяки використанню цієї властивості і даних наслідків. Запам'ятайте сам факт: якщо діаметр кола є стороною вписаного трикутника, то цей трикутник прямокутний (кут лежить проти діаметра дорівнює 90 градусів). Всі інші висновки і слідства ви зможете зробити самі, вчити їх не треба.

Як правило, половина завдань на вписаний кут дається з ескізом, але без позначень. Для розуміння процесу міркування під час вирішення завдань (нижче в статті) введені позначення вершин (кутів). На ЄДІ ви можете цього не робити.Розглянемо завдання:

Чому дорівнює гострий вписаний кут, що спирається на хорду, рівну радіусу кола? Відповідь дайте у градусах.

Побудуємо центральний кут для заданого вписаного кута, позначимо вершини:

По властивості вписаного в коло кута:

Кут АОВ дорівнює 60 0, так як трикутник АОВ рівносторонній, а в рівносторонньому трикутнику всі кути рівні по 60 0. Сторони трикутника рівні, так як в умові сказано, що хорда дорівнює радіусу.

Таким чином, вписаний кут АСВ дорівнює 30 0.

Відповідь: 30

Знайдіть хорду, на яку спирається кут 30 0, вписаний в коло радіуса 3.

Це по суті зворотна задача (попередній). Побудуємо центральний кут.

Він в два рази більше вписаного, тобто кут АОВ дорівнює 60 0. Від сюди можна зробити висновок, що трикутник АОВ рівносторонній. Таким чином, хорда дорівнює радіусу, тобто трьом.

Відповідь: 3

Радіус кола дорівнює 1. Знайдіть величину тупого вписаного кута, що спирається на хорду, рівну кореню з двох. Відповідь дайте у градусах.

Побудуємо центральний кут:

Знаючи радіус і хорду ми можемо знайти центральний кут АСВ. Це можна зробити за теоремою косинусів. Знаючи центральний кут ми без праці знайдемо вписаний кут АСВ.

Теорема косинусів: квадрат будь-якого боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.


Отже, другий центральний кут дорівнює 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Кут АСВ по властивості вписаного кута дорівнює його половині, тобто 135 градусам.

Відповідь: 135

Знайдіть хорду, на яку спирається кут 120 градусів, вписаний в коло радіуса корінь з трьох.

З'єднаємо точки А і В з центром кола. Позначимо її як Про:

Нам відомий радіус і вписаний кут АСВ. Ми можемо знайти центральний кут АОВ (більший 180 градусів), потім знайти кут АОВ в трикутнику АОВ. А далі по теоремі косинусів обчислити АВ.

По властивості вписаного кута центральний кут АОВ (який більше 180 градусів) буде дорівнює вдвічі більше вписаного, тобто 240 градусам. Значить, кут АОВ в трикутнику АОВ дорівнює 360 0 - 240 0 \u003d 120 0.

По теоремі косинусів:


Відповідь: 3

Знайдіть вписаний кут, що спирається на дугу, яка становить 20% окружності. Відповідь дайте у градусах.

По властивості вписаного кута він удвічі менше центрального кута, що спирається на ту ж дугу, в даному випадку мова йде про дузі АВ.

Сказано, дуга АВ становить 20 відсотків від окружності. Це означає, що центральний кут АОВ становить так само 20 відсотків від 360 0.* Окружність це кут в 360 градусів. значить,

Таким чином, вписаний кут АСВ дорівнює 36 градусам.

Відповідь: 36

дуга окружності AC, Яка не містить точки B, Становить 200 градусів. А дуга окружності BC, яка не містить точки A, Становить 80 градусів. Знайдіть вписаний кут ACB. Відповідь дайте у градусах.

Позначимо для наочності дуги, кутові заходи яких дано. Дуга відповідна 200 градусам - синій колір, дуга відповідна 80 градусам - червоний колір, решта окружності - жовтий колір.

Таким чином, градусна міра дуги АВ (жовтий колір), а значить і центральний кут АОВ становить: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Вписаний кут АСВ вдвічі менше центрального кута АОВ, тобто дорівнює 40 градусам.

Відповідь: 40

Чому дорівнює вписаний кут, що спирається на діаметр кола? Відповідь дайте у градусах.

Спочатку розберемося на відміну між колом і колом. Щоб побачити цю різницю, досить розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченна кількість точок площини, розташовані на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то окружності воно не належить. Виходить, що коло це і окружність, що обмежує його (о-кру (г) жность), і незліченна кількість точок, що всередині кола.

Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL \u003d R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).

Відрізок, який сполучає дві точки кола, є її хордою.

Хорда, що проходить прямо через центр окружності, є діаметром цього кола (D). Діаметр можна обчислити за формулою: D \u003d 2R

Довжина окружності обчислюється за формулою: C \u003d 2 \\ pi R

Площа кола: S \u003d \\ pi R ^ (2)

дугою кола називається та її частина, яка розташовується між двох її точок. Ці дві точки і визначають дві дуги окружності. Хорда CD стягує дві дуги: CMD і CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.

центральним кутом називається такий кут, який знаходиться між двох радіусів.

довжину дуги можна знайти за формулою:

  1. Використовуючи градусну міру: CD \u003d \\ frac (\\ pi R \\ alpha ^ (\\ circ)) (180 ^ (\\ circ))
  2. Використовуючи Радіан міру: CD \u003d \\ alpha R

Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.

У разі, якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N, то твори відрізків хорд, розділені крапкою N, рівні між собою.

AN \\ cdot NB \u003d CN \\ cdot ND

Дотична до кола

Дотичною до кола прийнято називати пряму, яка має одна загальна точка з окружністю.

Якщо ж у прямій є дві загальні точки, її називають січною.

Якщо провести радіус в точку дотику, він буде перпендикулярний дотичній до окружності.

Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашої окружності. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з іншим, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.

AC \u003d CB

Тепер до окружності з нашої точки проведемо дотичну і січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної буде дорівнює добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.

AC ^ (2) \u003d CD \\ cdot BC

Можна зробити висновок: твір цілого відрізка першої січною на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другий січною на його зовнішню частину.

AC \\ cdot BC \u003d EC \\ cdot DC

Кути в окружності

Градусні заходи центрального кута і дуги, на яку той спирається, рівні.

\\ Angle COD \u003d \\ cup CD \u003d \\ alpha ^ (\\ circ)

вписаний кут - це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.

Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, так як він дорівнює половині цієї дуги.

\\ Angle AOB \u003d 2 \\ angle ADB

Спирається на діаметр, вписаний кут, прямий.

\\ Angle CBD \u003d \\ angle CED \u003d \\ angle CAD \u003d 90 ^ (\\ circ)

Вписані кути, які спираються на одну дугу, тотожні.

Спираються на одну хорду вписані кути тотожні або їх сума дорівнює 180 ^ (\\ circ).

\\ Angle ADB + \\ angle AKB \u003d 180 ^ (\\ circ)

\\ Angle ADB \u003d \\ angle AEB \u003d \\ angle AFB

На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами і заданим підставою.

Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг окружності, які полягають всередині даного і вертикального кутів.

\\ Angle DMC \u003d \\ angle ADM + \\ angle DAM \u003d \\ frac (1) (2) \\ left (\\ cup DmC + \\ cup AlB \\ right)

Кут з вершиною поза колом і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг окружності, які полягають всередині кута.

\\ Angle M \u003d \\ angle CBD - \\ angle ACB \u003d \\ frac (1) (2) \\ left (\\ cup DmC - \\ cup AlB \\ right)

вписана окружність

вписана окружність - це коло, що стосується сторін багатокутника.

У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.

Окружність може бути вписаною не в кожен багатокутник.

Площа багатокутника з вписаною окружністю знаходиться за формулою:

S \u003d pr,

p - напівпериметр багатокутника,

r - радіус вписаного кола.

Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:

r \u003d \\ frac (S) (p)

Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо окружність вписана в опуклий чотирикутник. І навпаки: в опуклий чотирикутник вписується коло, якщо в ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.

AB + DC \u003d AD + BC

У будь-який з трикутників можливо вписати коло. Тільки одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, буде лежати центр цієї вписаного кола.

Радіус вписаного кола обчислюється за формулою:

r \u003d \\ frac (S) (p),

де p \u003d \\ frac (a + b + c) (2)

описана окружність

Якщо окружність проходить через кожну вершину багатокутника, то таку окружність прийнято називати описаного навколо багатокутника.

У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде знаходитися центр описаного кола.

Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана навколо трикутника, визначеного будь-якими 3-ма вершинами багатокутника.

Є така умова: окружність можливо описати близько чотирикутника тільки, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180 ^ (\\ circ).

\\ Angle A + \\ angle C \u003d \\ angle B + \\ angle D \u003d 180 ^ (\\ circ)

Близько будь-якого трикутника можна описати коло, причому одну-єдину. Центр такої окружності буде розташований в точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.

Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:

R \u003d \\ frac (a) (2 \\ sin A) \u003d \\ frac (b) (2 \\ sin B) \u003d \\ frac (c) (2 \\ sin C)

R \u003d \\ frac (abc) (4 S)

a, b, c - довжини сторін трикутника,

S - площа трикутника.

теорема Птолемея

Під кінець, розглянемо теорему Птолемея.

Теорема Птолемея свідчить, що твір діагоналей тотожне сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.

AC \\ cdot BD \u003d AB \\ cdot CD + BC \\ cdot AD

Коло і круг. ЦИЛИНДР.

§ 76. вписати І ДЕЯКІ ІНШІ КУТИ.

1. Вписаний кут.

Кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони є хордами, називається вписаним.

Кут АВС - вписаний кут. Він спирається на дугу АС, укладену між його сторонами (рис. 330).

Теорема. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

Це треба розуміти так: вписаний кут містить стільки кутових градусів, хвилин і секунд, скільки дугових градусів, хвилин і секунд міститься в половині дуги, на яку він спирається.

При доказі цієї теореми треба розглянути три випадки.

Перший випадок. Центр кола лежить на боці вписаного кута (рис. 331).

нехай / АВС - вписаний кут і центр кола Про лежить на боці ВС. Потрібно довести, що він вимірюється половиною дуги АС.

З'єднаємо точку А з центром кола. отримаємо рівнобедрений /\ AОВ, в якому
АТ \u003d ОВ, як радіуси одного і того ж кола. отже, / А \u003d / В. / АОС є зовнішнім по відношенню до трикутника АОВ, тому / АОС \u003d / А + / В (§ 39, п. 2), а так як кути А і В рівні, то / В становить 1/2 / АОС.

але / АОС вимірюється дугою АС, отже, / В вимірюється половиною дуги АС.

Наприклад, якщо АС містить 60 ° 18 ", то / В містить 30 ° 9 ".

Другий випадок. Центр кола лежить між сторонами вписаного кута (рис. 332).

нехай / АВD - вписаний кут. Центр кола Про лежить між його сторонами. Потрібно довести, що / АВD вимірюється половиною дуги АD.

Для доказу проведемо діаметр ВС. Кут АВD розбився на два кути: / 1 і / 2.

/ 1 вимірюється половиною дуги АС, а / 2 вимірюється половиною дуги СD, отже, весь / АВD вимірюється 1/2 АС + 1/2 СD, т. Е. Половиною дуги АD.
Наприклад, якщо АD містить 124 °, то / В містить 62 °.

Третій випадок. Центр кола лежить поза вписаного кута (рис. 333).

нехай / МАD - вписаний кут. Центр кола Про знаходиться поза кута. Потрібно довести, що / МАD вимірюється половиною дуги МD.

Для доказу проведемо діаметр АВ. / МАD \u003d / МАВ- / DАВ. але / МАВ вимірюється 1/2 МВ, а / DАВ вимірюється 1/2 D В. отже, / МАD вимірюється
1/2 (МВ - DВ), т. Е. 1/2 МD.
Наприклад, якщо МD містить 48 ° 38 "16", то / МАD містить 24 ° 19 "8".

Слідства. 1. Всі вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні між собою, так як вони вимірюються половиною однієї і тієї ж дуги (Рис. 334, а).

2. Вписаний кут, що спирається на діаметр, -прямий, так як він спирається на половину окружності. Половина окружності містить 180 дугових градусів, значить, кут, що спирається на діаметр, містить 90 кутових градусів (рис. 334, б).

2. Кут, утворений дотичною і хордою.

Теорема. Кут, утворений дотичною і хордою, вимірюється половиною дуги, укладеної між його сторонами.

нехай / САВ складено хордою СА і дотичній АВ (рис. 335). Потрібно довести, що він вимірюється половиною СА. Проведемо через точку С пряму СD || АВ. вписаний / АСD вимірюється половиною дуги АD, але АD \u003d СА, так як вони укладені між дотичній і паралельної їй хордою. отже, / DСА вимірюється половиною дуги СА. Так як даний / САВ \u003d / DСА, то і він вимірюється половиною дуги СА.

Вправи.

1. На кресленні 336 знайти дотичні до кола блоків.

2. За кресленням 337, а довести, що кут АDС вимірюється напівсумою дуг АС і ВК.

3. За кресленням 337, б довести, що кут АМВ вимірюється Полуразность дуг АВ і РЄ.

4. Через точку А, що лежить всередині кола, за допомогою креслярського трикутника провести хорду так, щоб вона в точці А розділилася навпіл.

5. За допомогою креслярського трикутника розділити дугу на 2, 4, 8 ... рівних частин.

6. Описати даними радіусом коло, що проходить через дві дані точки. Скільки рішень має завдання?

7. Скільки кіл можна провести через дану точку?

Сьогодні ми розглянемо ще один тип завдань 6 - на цей раз з колом. Багато учнів не люблять їх і вважають складними. І даремно, оскільки такі завдання вирішуються елементарно, Якщо знати деякі теореми. Або хто не наважується взагалі, якщо їх не знати.

Перш ніж говорити про основні властивості, дозвольте нагадати визначення:

Вписаний кут - той, у якого вершина лежить на самій колі, а сторони висікають на цій окружності хорду.

Центральний кут - це будь-який кут з вершиною в центрі кола. Його боку теж перетинають це коло і висікають на ній хорду.

Отже, поняття вписаного і центрального кута нерозривно пов'язані з колом і хордами всередині неї. А тепер - основне твердження:

Теорема. Центральний кут завжди в два рази більше вписаного, що спирається на ту ж саму дугу.

Незважаючи на простоту затвердження, існує цілий клас задач 6, які вирішуються за допомогою нього - і ніяк інакше.

Завдання. Знайдіть гострий вписаний кут, що спирається на хорду, рівну радіусу кола.

Нехай AB - розглянута хорда, O - центр кола. Додаткове побудова: OA і OB - радіуси окружності. отримаємо:

Розглянемо трикутник ABO. У ньому AB \u003d OA \u003d OB - всі сторони рівні радіусу кола. Тому трикутник ABO - рівносторонній, і всі кути в ньому по 60 °.

Нехай M - вершина вписаного кута. Оскільки кути O і M спираються на одну й ту ж дугу AB, вписаний кут M в 2 рази менше центрального кута O. маємо:

M \u003d O: 2 \u003d 60: 2 \u003d 30

Завдання. Центральний кут на 36 ° більше вписаного кута, що спирається на ту ж дугу окружності. Знайдіть вписаний кут.

Введемо позначення:

  1. AB - хорда окружності;
  2. Точка O - центр кола, тому кут AOB - центральний;
  3. Точка C - вершина вписаного кута ACB.

Оскільки ми шукаємо вписаний кут ACB, позначимо його ACB \u003d x. Тоді центральний кут AOB дорівнює x + 36. З іншого боку, центральний кут в 2 рази більше вписаного. маємо:

AOB \u003d 2 · ACB;
x + 36 \u003d 2 · x;
x \u003d 36.

Ось ми і знайшли вписаний кут AOB - він дорівнює 36 °.

Окружність - це кут в 360 °

Прочитавши підзаголовок, знають читачі, напевно, зараз скажуть: «Фу!» І дійсно, порівнювати окружність з кутом не зовсім коректно. Щоб зрозуміти, про що мова, погляньте на класичну тригонометричну окружність:

До чого ця картинка? А до того, що повний оборот - це кут в 360 градусів. І якщо розділити його, скажімо, на 20 рівних частин, то розмір кожної з них буде 360: 20 \u003d 18 градусів. Саме це і потрібно для вирішення завдання B8.

Точки A, B і C лежать на окружності і ділять її на три дуги, градусні міри яких відносяться як 1: 3: 5. Знайдіть більший кут трикутника ABC.

Для початку знайдемо градусну міру кожної дуги. Нехай менша з них дорівнює x. На малюнку ця дуга позначена AB. Тоді решта дуги - BC і AC - можна висловити через AB: дуга BC \u003d 3x; AC \u003d 5x. У сумі ці дуги дають 360 градусів:

AB + BC + AC \u003d 360;
x + 3x + 5x \u003d 360;
9x \u003d 360;
x \u003d 40.

Тепер розглянемо велику дугу AC, яка не містить точку B. Ця дуга, як і відповідний центральний кут AOC, дорівнює 5x \u003d 5 · 40 \u003d 200 градусів.

Кут ABC - найбільший з усіх кутів трикутника. Це вписаний кут, що спирається на ту ж дугу, що і центральний кут AOC. Значить, кут ABC в 2 рази менше AOC. маємо:

ABC \u003d AOC: 2 \u003d 200: 2 \u003d 100

Це і буде градусна міра більшого кута в трикутнику ABC.

Коло, описане навколо прямокутного трикутника

Цю теорему багато хто забуває. А дарма, адже деякі завдання B8 без неї взагалі не вирішуються. Точніше, вирішуються, але з таким обсягом обчислень, що ви швидше заснете, ніж дійдете до відповіді.

Теорема. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи.

Що випливає з цієї теореми?

  1. Середина гіпотенузи рівновіддалена від усіх вершин трикутника. Це прямий наслідок теореми;
  2. Медіана, проведена до гіпотенузи, ділить вихідний трикутник на два рівнобедрених. Якраз це і потрібно для вирішення завдання B8.

У трикутнику ABC провели медіану CD. Кут C дорівнює 90 °, а кут B - 60 °. Знайдіть кут ACD.

Оскільки кут C дорівнює 90 °, трикутник ABC - прямокутний. Виходить, що CD - медіана, проведена до гіпотенузи. Значить, трикутники ADC і BDC - рівнобедрений.

Зокрема, розглянемо трикутник ADC. У ньому AD \u003d CD. Але в трикутник кути при основі рівні - см. «Завдання B8: відрізки і кути в трикутниках». Тому шуканий кут ACD \u003d A.

Отже, залишилося з'ясувати, чому дорівнює кут A. Для цього знову звернемося до вихідного трикутника ABC. Позначимо кут A \u003d x. Оскільки сума кутів в будь-якому трикутнику дорівнює 180 °, маємо:

A + B + BCA \u003d 180;
x + 60 + 90 \u003d 180;
x \u003d 30.

Зрозуміло, останнє завдання можна вирішити по-іншому. Наприклад, легко довести, що трикутник BCD - не просто рівнобедрений, а рівносторонній. Значить, кут BCD дорівнює 60 градусів. Звідси кут ACD дорівнює 90 - 60 \u003d 30 градусів. Як бачите, можна використовувати різні трикутник, але відповідь завжди буде один і той же.

Це кут, сформований двома хордами, Що беруть початок в одній точки окружності. Про вписаний кажуть, що він спирається на дугу, укладену між його сторонами.

вписаний кутдорівнює половині дуги, на яку він спирається.

Говорячи іншими словами, вписаний кут включає в себе стільки кутових градусів, хвилин і секунд, скільки дугових градусів, Хвилин і секунд укладено в половині дуги, на яку він спирається. Для обґрунтування проаналізуємо три випадки:

Перший випадок:

Центр O розташований на стороні вписаного кута ABС. Прочертивши радіус AO, ми отримаємо ΔABO, в ньому OA \u003d OB (як радіуси) і, відповідно, ∠ABO \u003d ∠BAO. По відношенню до цього трикутнику , Кут AOС - зовнішній. І значить, він дорівнює сумі кутів ABO і BAO, або дорівнює подвійному кутку ABO. Значить ∠ABO дорівнює половині центрального кута AOС. Але цей кут вимірюється дугою AC. Тобто, вписаний кут АВС вимірюється половиною дуги AC.

Другий випадок:

Центр O розташований між сторонами вписаного кута ABС.Начертів діаметр BD, ми поділимо кут АВС на два кути, з яких, за встановленим в першому випадку, один вимірюється половиною дугиAD, а іншою половиною дуги СD. І відповідно кут АВС вимірюється (AD + DС) / 2, тобто 1/2 AC.

Третій випадок:

Центр O розташований поза вписаного кута ABС. Накресливши діаметр BD, ми будемо мати: ∠ABС \u003d ∠ABD - ∠CBD . Але кути ABD і CBD вимірюються, на підставі обґрунтованого раніше половинами дуг AD і СD. І так як ∠ABС вимірюється (AD-СD) / 2, тобто половиною дуги AC.

Слідство 1. Будь-які, спираються на одну й ту ж дугу однакові, тобто рівні між собою. Оскільки кожен з них вимірюється половиною однієї і тієї ж дуги .

Слідство 2. вписаний кут, Що спирається на діаметр - прямий кут. Оскільки кожен такий кут вимірюється половиною півкола і, відповідно, містить 90 °.