Напряженность поля обозначение. Электростатическое поле и его характеристики. Что можно сказать про остальные подсчёты
Цель урока: дать понятие напряжённости электрического поля и ее определения в любой точке поля.
Задачи урока:
- формирование понятия напряжённости электрического поля; дать понятие о линиях напряжённости и графическое представление электрического поля;
- научить учащихся применять формулу E=kq/r 2 в решении несложных задач на расчёт напряжённости.
Электрическое поле – это особая форма материи, о существовании которой можно судить только по ее действию. Экспериментально доказано, что существуют два рода зарядов, вокруг которых существуют электрические поля, характеризующиеся силовыми линиями.
Графически изображая поле, следует помнить, что линии напряженности электрического поля:
- нигде не пересекаются друг с другом;
- имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями;
- между зарядами нигде не прерываются.
Рис.1
Силовые линии положительного заряда:
Рис.2
Силовые линии отрицательного заряда:
Рис.3
Силовые линии одноименных взаимодействующих зарядов:
Рис.4
Силовые линии разноименных взаимодействующих зарядов:
Рис.5
Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, которая обозначается буквой Е и имеет единицы измерения или . Напряженность является векторной величиной, так как определяется отношением силы Кулона к величине единичного положительного заряда
В результате преобразования формулы закона Кулона и формулы напряженности имеем зависимость напряженности поля от расстояния, на котором она определяется относительно данного заряда
где: k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от выбора единиц электрического заряда.
В системе СИ
Н·м 2 /Кл 2 ,
где ε 0 – электрическая постоянная, равная 8,85·10 -12 Кл 2 /Н·м 2 ;
q – электрический заряд (Кл);
r – расстояние от заряда до точки в которой определяется напряженность.
Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы Кулона.
Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.
Общая напряженность поля нескольких взаимодействующих зарядов будет равна геометрической сумме векторов напряженности, в чем и заключается принцип суперпозиции полей:
Рассмотрим несколько случаев определения напряженности.
1. Пусть взаимодействуют два разноименных заряда. Поместим точечный положительный заряд между ними, тогда в данной точке будут действовать два вектора напряженности, направленные в одну сторону:
Согласно принципу суперпозиции полей общая напряженность поля в данной точке равна геометрической сумме векторов напряженности Е 31 и Е 32 .
Напряженность в данной точке определяется по формуле:
Е = kq 1 /x 2 + kq 2 /(r – x) 2
где: r – расстояние между первым и вторым зарядом;
х – расстояние между первым и точечным зарядом.
Рис.6
2. Рассмотрим случай, когда необходимо найти напряженность в точке удаленной на расстояние а от второго заряда. Если учесть, что поле первого заряда больше, чем поле второго заряда, то напряженность в данной точке поля равна геометрической разности напряженности Е 31 и Е 32 .
Формула напряженности в данной точке равна:
Е = kq1/(r + a) 2 – kq 2 /a 2
Где: r – расстояние между взаимодействующими зарядами;
а – расстояние между вторым и точечным зарядом.
Рис.7
3. Рассмотрим пример, когда необходимо определить напряженность поля в некоторой удаленности и от первого и от второго заряда, в данном случае на расстоянии r от первого и на расстоянии bот второго заряда. Так как одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются, имеем два вектора напряженности исходящие из одной точки, то для их сложения можно применить метод противоположному углу параллелограмма будет являться суммарным вектором напряженности. Алгебраическую сумму векторов находим из теоремы Пифагора:
Е = (Е 31 2 +Е 32 2) 1/2
Следовательно:
Е = ((kq 1 /r 2) 2 + (kq 2 /b 2) 2) 1/2
Рис.8
Исходя из данной работы, следует, что напряженность в любой точке поля можно определить, зная величины взаимодействующих зарядов, расстояние от каждого заряда до данной точки и электрическую постоянную.
4. Закрепление темы.
Проверочная работа.
Вариант № 1.
1. Продолжить фразу: “электростатика – это …
2. Продолжить фразу: электрическое поле – это ….
3. Как направлены силовые линии напряженности данного заряда?
4. Определить знаки зарядов:
Задачи на дом:
1. Два заряда q 1 = +3·10 -7 Кл и q 2 = −2·10 -7 Кл находятся в вакууме на расстоянии 0,2 м друг от друга. Определите напряженность поля в точке С, расположенной на линии, соединяющей заряды, на расстоянии 0,05 м вправо от заряда q 2 .
2. В некоторой точке поля на заряд 5·10 -9 Кл действует сила 3·10 -4 Н. Найти напряженность поля в этой точке и определите величину заряда, создающего поле, если точка удалена от него на 0,1 м.
Помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда :
.Из этого определения видно, почему напряженность электрического поля иногда называется силовой характеристикой электрического поля (действительно, всё отличие от вектора силы, действующей на заряженную частицу, только в постоянном множителе).
В каждой точке пространства в данный момент времени существует свое значение вектора (вообще говоря - разное в разных точках пространства), таким образом, - это векторное поле . Формально это выражается в записи
представляющей напряженность электрического поля как функцию пространственных координат (и времени, т.к. может меняться со временем). Это поле вместе с полем вектора магнитной индукции представляет собой электромагнитное поле , и законы, которым оно подчиняется, есть предмет электродинамики .
Напряжённость электрического поля в СИ измеряется в вольтах на метр [В/м] или в ньютонах на кулон.
Напряжённость электрического поля в классической электродинамике
Из сказанного выше ясно, что напряженность электрического поля - одна из основных фундаментальных величин классической электродинамики. В этой области физики можно назвать сопоставимыми с ней по значению только вектор магнитной индукции (вместе с вектором напряженности электрического поля образующий тензор электромагнитного поля) и электрический заряд . С некоторой точки зрения столь же важными представляются потенциалы электромагнитного поля (образующие вместе единый электромагнитный потенциал).
- Остальные понятия и величины классической электродинамики, такие как электрический ток , плотность тока , плотность заряда , вектор поляризации, а также вспомогательные поле электрической индукции и напряженность магнитного поля - хотя достаточно важны и значимы, но их значение гораздо меньше, и по сути могут считаться полезными и содержательными, но вспомогательными величинами.
Приведем краткий обзор основных контекстов классической электродинамики в отношении напряженности электрического поля.
Сила, с которой действует электромагнитное поле на заряженные частицы
Полная сила, с которой электромагнитное поле (включающее вообще говоря электрическую и магнитную составляющие) действует на заряженную частицу, выражается формулой силы Лоренца :
где q - электрический заряд частицы, - ее скорость, - вектор магнитной индукции (основная характеристика магнитного поля), косым крестом обозначено векторное произведение . Формула приведена в единицах СИ .
Как видим, эта формула полностью согласуется с определением напряженности электрического поля, данном в начале статьи, но является более общей, т.к. включает в себя также действие на заряженную частицу (если та движется) со стороны магнитного поля.
В этой формуле частица предполагается точечной. Однако эта формула позволяет рассчитать и силы, действующие со стороны электромагнитного поля на тела любой формы с любым распределением зарядов и токов - надо только воспользоваться обычным для физики приемом разбиения сложного тела на маленькие (математически - бесконечно маленькие) части, каждая из которых может считаться точечной и таким образом входящей в область применимости формулы.
Остальные формулы, применяемые для расчета электромагнитных сил (такие, как, например, формула силы Ампера) можно считать следствиями фундаментальной формулы силы Лоренца, частными случаями ее применения итп.
Однако для того, чтобы эта формула была применена (даже в самых простых случаях, таких, как расчет силы взаимодействия двух точечных зарядов), необходимо знать (уметь рассчитывать) и чему посвящены следующие параграфы.
Уравнения Максвелла
Достаточным вместе с формулой силы Лоренца теоретическим фундаментом классической электродинамики являются уравнения электромагнитного поля, называемые уравнениями Максвелла . Их стандартная традиционная форма представляет собой четыре уравнения, в три из которых входит вектор напряженности электрического поля:
Здесь - плотность заряда , - плотность тока , - универсальные константы (уравнения здесь записаны в единицах СИ).
Здесь приведена наиболее фундаментальная и простая форма уравнений Максвелла - так называемые "уравнения для вакуума" (хотя, вопреки названию, они вполне применимы и для описания поведения электромагнитного поля в среде). Подробно о других формах записи уравнений Максвелла - .
Этих четырех уравнений вместе с пятым - уравнением силы Лоренца - в принципе достаточно, чтобы полностью описать классическую (то есть не квантовую) электродинамику, то есть они представляют ее полные законы. Для решения конкретных реальных задач с их помощью необходимы еще уравнения движения "материальных частиц" (в классической механике это законы Ньютона), а также зачастую дополнительная информация о конкретных свойствах физических тел и сред, участвующих в рассмотрении (их упругости, электропроводности, поляризуемости итд итп), а также о других силах, участвующих в задаче (например, о гравитации), однако вся эта информация уже не входит в рамки электродинамики как таковой, хотя и оказывается зачастую необходимой для построения замкнутой системы уравнений, позволяющих решить ту или иную конкретную задачу в целом.
«Материальные уравнения»
Такими дополнительными формулами или уравнениями (обычно не точными, а приближенными, зачастую всего лишь эмпирическими), которые не входят непосредственно в область электродинамики, но поневоле используются в ней ради решения конкретных практических задач, называемыми «материальными уравнениями», являются, в частности:
- Закон поляризации
- в разных случаях многие другие формулы и соотношения.
Связь с потенциалами
Связь напряженности электрического поля с потенциалами в общем случае такова:
где - скалярный и векторный потенциалы. Приведем здесь для полноты картины и соответствующее выражение для вектора магнитной индукции:
В частном случае стационарных (не меняющихся со временем) полей , первое уравнение упрощается до:
Это выражение для связи электростатического поля с электростатическим потенциалом.
Электростатика
Важным с практической и с теоретической точек зрения частным случаем в электродинамике является тот случай, когда заряженные тела неподвижны (например, если исследуется состояние равновесия) или скорость их движения достаточно мала чтобы можно было приближенно воспользоваться теми способами расчета, которые справедливы для неподвижных тел. Этим частным случаем занимается раздел электродинамики, называемый электростатикой .
Уравнения поля (уравнения Максвелла) при этом также сильно упрощаются (уравнения с магнитным полем можно исключить, а в уравнение с дивергенцией можно подставить ) и сводятся к уравнению Пуассона :
а в областях, свободных от заряженных частиц - к уравнению Лапласа :
Учитывая линейность этих уравнений, а следовательно применимость к ним принципа суперпозиции, достаточно найти поле одного точечного единичного заряда, чтобы потом найти потенциал или напряженность поля, создаваемого любым распределением зарядов (суммируя решения для точечного заряда).
Теорема Гаусса
Очень полезной в электростатике оказывается теорема Гаусса , содержание которой сводится к интегральной форме единственного нетривиального для электростатики уравнения Максвелла:
где интегрирование производится по любой замкнутой поверхности S (вычисляя поток через эту поверхность), Q - полный (суммарный) заряд внутри этой поверхности.
Эта теорема дает крайне простой и удобный способ расчета напряженности электрического поля в случае, когда источники имеют достаточно высокую симметрию, а именно сферическую, цилиндрическую или зеркальную+трансляционную. В частности, таким способом легко находится поле точечного заряда, сферы, цилиндра, плоскости.
Напряжённость электрического поля точечного заряда
В единицах СИ
Для точечного заряда в электростатике верен закона Кулона
. .Исторически закон Кулона был открыт первым, хотя с теоретической точки зрения уравнения Максвелла более фундаментальны. С этой точки зрения он является их следствием. Получить этот результат проще всего исходя из , учитывая сферическую симметрию задачи: выбрать поверхность S в виде сферы с центром в точечном заряде, учесть, что направление будет очевидно радиальным, а модуль этого вектора одинаков везде на выбранной сфере (так что E можно вынести за знак интеграла), и тогда, учитывая формулу для площади сферы радиуса r : , имеем:
откуда сразу получаем ответ для E .
Ответ для получается тогда интегрированием E :
Для системы СГС
Формулы и их вывод аналогичны, отличие от СИ лишь в константах.
Напряженность электрического поля произвольного распределения зарядов
По принципу суперпозиции для напряженности поля совокупности дискретных источников имеем:
где каждое
Подставив, получаем:
Для непрерывного распределения аналогично:
где V - область пространства, где расположены заряды (ненулевая плотность заряда), или всё пространство, - радиус-вектор точки, для которой считаем , - радиус-вектор источника, пробегающий все точки области V при интегрировании, dV - элемент объема. Можно подставить x,y,z вместо , вместо , вместо dV .
Системы единиц
В системе СГС напряжённость электрического поля измеряется в СГСЭ единицах, в системе
электрического поля
Электрическое поле (статическое) - поле неподвижных , электрически заряженных тел, заряды которых не изменяются во времени.
Электрическое поле обнаруживается как силовое взаимодействие заряженных тел .
При этом различают положительные и отрицательные заряды. (виды зарядов )
Заряды одного знака отталкиваются друг от друга, разного знака притягиваются . (взаимодействие зарядов)
В основе описания свойств электрического поля лежит закон Кулона, установленный опытным путем.
Закон Кулона . Между покоящимися точечными зарядами действует сила, пропорциональная произведению зарядов, обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними и направленная по прямой от одного заряда к другому (рис. 1.1):
(1.1)
где F , - сила, действующая на заряд q
r 2 - квадратрасстояния между зарядами q 1 и q 2
F 2 - сила, действующая на заряд q 2
r 0 21 - единичный вектор, направленный от второго заряда к первому;
е 0 = 8,854 10- 12 Ф/м - электрическая постоянная.
Точечными зарядами можно считать заряженные тела, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними.
Основные единицы измерения :
силы в международной системе единиц (СИ) - ньютон (Н);
заряда - кулон (Кл): 1 Кл = 1 А с;
длины - метр (м).
Основными величинами, характеризующими электрическое поле , являются
напряженность ,
электрический потенциал и
разность потенциалов, или напряжение
Напряженностью электрического поля называется мера интенсивности его сил, равная отношению силы F , действующей на пробный положи тельный точечный заряд q , вносимый в рассматриваемую точку поля, к значению заряда
(1.2)
Так же как и сила F, напряженность электрического поля ε - векторная величина, т.е. характеризуется значением и направлением действия.
Основная единица измерения напряженности электрического поля в СИ - вольт на метр (В/м).
Из формулы (1.1) следует, что напряженность электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него равна
(1-3)
и направлена от точки расположения заряда к точке, где определяется напряженность, если заряд положительный (рис. 1.2, а),
Рис.
1.2, а
и в противоположную сторону, если заряд отрицательный (рис. 1.2, б).
1.2
б
Если зарядов, создающих электрическое поле, несколько, то напряженность в любой точке поля равна геометрической сумме напряженностей от каждого из них в отдельности. (напряженность электростатического поля нескольких зарядов )
Пример 1.1. Определить значение и направление действия напряженности электрического поля в точке А, расположенной на расстоянияхr 1 = 1м и r 2 = 2 м от точечных зарядов
q 1 = 1,11 10 -10 Кл и q 2 = -4,44- 10 -10 Кл (рис. 1.3).
Решение. По формуле (1.3) определяем напряженности электрического поля в точке А от действия "точечных зарядов q 1 = и q 2
Направления
векторов напряженности
совпадаютс
направлениями действия сил на пробный
положительный точечный заряд, если его
расположить в точке А
.
Напряжённость
результирующего электрического поля
в точке А
направлена
вдоль гипотенузы прямоугольного
треугольника, катетами которого являются
векторы напряженностей
и имеет значение
Можно говорить о поле вектора и изображать это поле линиями вектора - силовыми линиями .
Если напряженность электрического поля во всех точках одинакова, то поле однородное , например поле равномерно заряженной плоской пластины бесконечных размеров (рис. 1.4),
а если различна, то поле неоднородно , например поле двух точечных зарядов (рис. 1.5).
При перемещении вдоль произвольного участка длиной заряда q в электрическом поле под действием сил поля F совершается работа
При этом работа по переносу заряда вдоль произвольного замкнутого контура равна нулю .
Действительно, так как все свойства поля определяются относительным расположением зарядов, то перенос заряда по замкнутому контуру и возвращению в исходную точку означает первоначальные распределение зарядов и запас энергии. Это означает также, что с учетом (1.4) циркуляция вектора напряженности равна нулю
Условие (1.5) позволяет характеризовать электрическое поле в каждой точке функцией ее координат - электрическим потенциалом .
Электрический потенциал в данной точке электрического поля с учетом (1.4) численно равен работе, которую могут совершить силы электрического поля при переносе единичного положительного заряда из данной точки в точку, потенциал которой принят равным нулю.
Разность потенциалов двух точек 1 и 2 , или напряжение между точками 1 и 2, электрического поля
(1.7)
численно равна работе, которую могут совершить силы электрического поля при переносе единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2 .
Единица измерения электрического потенциала в СИ - вольт (В).
§3 Электростатическое поле.
Напряженность электростатического поля
Электрические заряды создай вокруг себя электрическое поле. Поле - одна из форм существования материи. Поле можно исследовать, описать его силовые, энергетические и др. свойства. Поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами, называется ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИМ . Для исследования электростатического поля используют пробный точечный положительный заряд - такой заряд, который не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределение зарядов).
Если в поле, создаваемое зарядом q , поместить пробный заряд q 1 на него будет действовать сила F 1 , причем величина этой силы зависит от величины заряда помещаемого в данную точку поля. Если в туже точку поместить заряд q 2 , то сила Кулона F 2 ~ q 2 и т.д.
Однако, отношение силы Кулона к величине пробного заряда, есть величина постоянная для данной точки пространства
и характеризует электрическое поле в той точке, где находится пробный заряд. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатического поля.
НАПРЯЖЕННОСТЬ поля есть векторная величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля
Направление вектора напряженности совпадает с направлением действия силы.
Определим напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q на некотором расстоянии r от него в вакууме
§4 Принцип суперпозиции полей.
Силовые линии вектора Е
Определим значение и направление вектора поля, создаваемого системой неподвижных зарядов q 1 , q 2 , … q n . Результирующая сила , действующая со стороны поля на пробный заряд q , равна векторной сумме сил , приложении к нему со стороны каждого из зарядов q i
Разделив на q , получим
ПРИНЦИП СУПЕРП0ЗИЦИИ (наложения) полей:
Напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической (векторной) сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Электростатическое поле очень наглядно можно изображать с помощью линий напряженности или силовых линий вектора .
СИЛОВОЙ ЛИНИЕЙ вектора напряженности называется кривая, касательная к которой в каждой точке пространства совпадает с направлением вектора .
Принцип построения силовых линий :
3. Для количественного описания вектора Е силовые линии проводят с определенной густотой. Число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора .
ОДНОРОДНЫМ называется поле, у которого вектор в любой точке пространства постоянен по величине и направлению, т.е. силовые линии вектора параллельны и густота их постоянна во всех точках.
Неоднородное поле
Однородное поле
Картина силовых линий изолированных точечных зарядов
§4’ Диполь.
Дипольный момент.
Поле диполя
ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИПОЛЕМ называется система двух, точечных разноименных зарядов (+ и -) находящихся на расстоянии?.
Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется ПЛЕЧОМ диполя .
Вектор
совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда q на плечо называется электрическим моментом диполя или ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ .
По принципу суперпозиции полей напряженность Е поля диполя в произвольной точке
Формулы электричества и магнетизма. Изучение основ электродинамики традиционно начинается с электрического поля в вакууме. Для вычисления силы взаимодействия между двумя точными зарядами и вычисления напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом, нужно уметь применять закон Кулона. Для вычисления напряженностей полей, созданных протяженными зарядами (заряженной нитью, плоскостью и т.д.), применяется теорема Гаусса. Для системы электрических зарядов необходимо применять принцип
При изучении темы "Постоянный ток" необходимо рассмотреть во всех формах законы Ома и Джоуля-Ленца При изучении "Магнетизма" необходимо иметь в виду, что магнитное поле порождается движущимися зарядами и действует на движущиеся заряды. Здесь следует обратить внимание на закон Био-Савара-Лапласа. Особое внимание следует обратить на силу Лоренца и рассмотреть движение заряженной частицы в магнитном поле.
Электрические и магнитные явления связаны особой формой существования материи - электромагнитным полем. Основой теории электромагнитного поля является теория Максвелла.
Таблица основных формул электричества и магнетизма
|
Физические законы, формулы, переменные |
Формулы электричество и магнетизм |
||||||||
|
Закон Кулона:
|
|
||||||||
|
Напряженность электрического поля: где Ḟ - сила, действующая на заряд q 0 , находящийся в данной точке поля. |
|||||||||
|
Напряженность поля на расстоянии r от источника поля: 1) точечного заряда 2) бесконечно длинной заряженной нити с линейной плотностью заряда τ: 3) равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ: 4) между двумя разноименно заряженными плоскостями |
|
||||||||
|
Потенциал электрического поля: где W - потенциальная энергия заряда q 0 . |
|||||||||
|
Потенциал поля точечного заряда на расстоянии r от заряда: |
|
||||||||
|
По принципу суперпозиции полей, напряженность: |
|
||||||||
|
Потенциал: где Ē i и ϕ i - напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемый i-м зарядом. |
|||||||||
|
Работа сил электрического поля по перемещению заряда q из точки с потенциалом ϕ 1 в точку с потенциалом ϕ 2 : |
|
||||||||
|
Связь между напряженностью и потенциалом 1) для неоднородного поля: 2) для однородного поля: |
|
||||||||
|
Электроемкость уединенного проводника: |
|||||||||
|
Электроемкость конденсатора: |
|||||||||
|
Электроемкость плоского конденсатора: где S - площадь пластины (одной) конденсатора, d - расстояние между пластинами. |
|||||||||
|
Энергия заряженного конденсатора: |
|||||||||
|
Сила тока: |
|||||||||
|
Плотность тока: где S - площадь поперечного сечения проводника. |
|||||||||
|
Сопротивление проводника: l - длина проводника; S - площадь поперечного сечения. |
|||||||||
|
Закон Ома 1) для однородного участка цепи: 2) в дифференциальной форме: 3) для участка цепи, содержащего ЭДС: Где ε - ЭДС источника тока, R и r - внешнее и внутреннее сопротивления цепи; 4) для замкнутой цепи: |
|
||||||||
|
Закон Джоуля-Ленца 1) для однородного участка цепи постоянного тока: 2) для участка цепи с изменяющимся со временем током: |
|
||||||||
|
Мощность тока: |
|||||||||
|
Связь магнитной индукции и напряженности магнитного поля: где B - вектор магнитной индукции, |
|
||||||||
|
Магнитная индукция
(индукция магнитного поля):
2) поля бесконечно длинного прямого тока 3) поля, созданного отрезком проводника с током |
|
,
