Меѓусебно уредување на авиони. Авион во вселената. Меѓусебно распоредување на рамнини Кои се можните случаи на меѓусебно распоредување на две рамнини
За две рамнини, можни се следните опции за меѓусебно распоредување: тие се паралелни или се сечат во права линија.
Од стереометријата е познато дека две рамнини се паралелни ако две линии на една рамнина што се пресекуваат се соодветно паралелни на две пресечни линии на друга рамнина. Оваа состојба се нарекува знак за паралелизам на рамнините.
Ако две рамнини се паралелни, тогаш тие сечат трета рамнина по паралелни линии. Врз основа на ова, паралелни рамнини РИ Пнивните траги се паралелни прави линии (сл. 50).
Во случај кога два авиони РИ Ппаралелно со оската X, нивните хоризонтални и фронтални траги со произволен меѓусебен распоред на рамнините ќе бидат паралелни со оската x, односно меѓусебно паралелни. Следствено, во такви услови, паралелизмот на трагите е доволен знак што го карактеризира паралелизмот на самите рамнини. За да се осигурате дека таквите рамнини се паралелни, треба да бидете сигурни дека и нивните профилни траги се паралелни. П w и П w. Авиони РИ Пна слика 51 се паралелни, но на слика 52 не се паралелни и покрај фактот што П v || П v, и П h y || Пч.
Во случај кога рамнините се паралелни, хоризонталите на едната рамнина се паралелни со хоризонталите на другата. Предните делови на едната рамнина мора да бидат паралелни со предните делови на другата, бидејќи овие рамнини имаат паралелни патеки со истото име.
За да се конструираат две рамнини кои се сечат една со друга, потребно е да се најде права линија по која се сечат двете рамнини. За да се изгради оваа линија, доволно е да се најдат две точки што ѝ припаѓаат.
Понекогаш, кога авионот е даден со траги, лесно е да се најдат овие точки со помош на дијаграм и без дополнителни конструкции. Овде е позната насоката на линијата што се одредува, а нејзината конструкција се заснова на употреба на една точка на дијаграмот.
Права линија паралелна со рамнината
Може да има неколку позиции на права линија во однос на одредена рамнина.
Да го разгледаме знакот на паралелизам помеѓу права и рамнина. Правата е паралелна на рамнината кога е паралелна на која било права што лежи во таа рамнина. На слика 53 има права линија АБпаралелно со авионот Р, бидејќи е паралелна со правата МН, кој лежи во оваа рамнина.
Кога правата е паралелна на рамнина Р, во оваа рамнина низ која било нејзина точка е можно да се повлече права паралелна на дадената права. На пример, на слика 53 права линија АБпаралелно со авионот Р. Ако преку точка М, кои припаѓаат на авионот Р, повлечете права линија Н.М., паралелно АБ, тогаш ќе лежи во авионот Р. На истата слика, права линија ЦДне паралелно со авионот Р, бидејќи директно КЛ, што е паралелно ЦДи поминува низ точката ДОна површината Р, не лежи во оваа рамнина.
Права линија што пресекува рамнина
За да се најде точката на пресек на права и рамнина, потребно е да се конструираат линии на пресек на две рамнини. Размислете за права линија I и рамнина P (слика 54).
Да ја разгледаме конструкцијата на пресечната точка на авионите.
Преку некоја права линија I потребно е да се нацрта помошна рамнина П(проектирање). Линијата II е дефинирана како пресек на рамнините РИ П. Точката К, која треба да се изгради, се наоѓа на пресекот на линиите I и II. Во овој момент права линија I ја пресекува рамнината Р.
Во оваа конструкција, главната поента на решението е да се нацрта помошна рамнина Ппоминувајќи низ оваа линија. Можете да нацртате помошна рамнина во општа положба. Сепак, прикажувањето на проекциска рамнина на дијаграм користејќи ја оваа права линија е полесно отколку цртање рамнина на општа положба. Во овој случај, проекциската рамнина може да се повлече низ која било права линија. Врз основа на ова, помошната рамнина е избрана како проекција.
Не помалку од 1, така што барем 1 елемент е различен од нула. Нека се сечат 1 и 2, имаат заедничка права, имаат заеднички систем, не се паралелни, но се конзистентни, што значи . Нека 1 и 2 се паралелни: , . Ако координатниот систем е Декартов, тогаш тоа се нормални вектори. Косинусот на аголот помеѓу два вектори:
Неопходен и доволен услов за перпендикуларност на две рамнини:
Или 
20. Различни начини за дефинирање на линија во просторот. Директно и рамно. 2 линии во просторот. Аголот помеѓу две прави линии. Коментар. Правата линија во просторот не може да се дефинира со една равенка. Ова бара систем од две или повеќе равенки. Првата можност да се конструираат равенки за права во просторот е да се замисли оваа права како пресек на две непаралелни рамнини дадени со равенките A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0, каде што коефициентите A 1, B 1, C 1И A 2, B 2, C 2непропорционално: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1=0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0, сепак, кога се решаваат многу проблеми, попогодно е да се користат други равенки на правата, кои во експлицитна форма содржат некои нејзини геометриски карактеристики М 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) паралелно со векторот а =(l,m,n).Дефиниција.Секој ненулти вектор паралелен на дадена права се нарекува негов водич вектор.За која било точка M(x,y,z), лежи на дадена линија, вектор М 0 М = {x - x 0, y - y 0, z - z 0) е колинеарен со векторот на насоката А . Според тоа, важат следните еднаквости:
повикани канонски равенкидиректно во вселената. Особено, ако треба да ги добиете равенките на права што минува низ две точки: M 1 (x 1, y 1, z 1) И M 2 (x 2 , y 2 , z 2), векторот на насоката на таква права линија може да се смета за векторот М 1 М 2 = {x 2 – x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), а равенките (8.11) имаат форма:
- равенки на права што минува низ две дадени точки. Ако секоја од еднаквите дропки во равенките ја земеме како одреден параметар т, можете да добиете т.н параметарски равенки на правата:
. За да се премине од равенки на канонски или параметарски равенки на права, потребно е да се најде векторот на насоката на оваа права и координатите на која било точка што и припаѓа. Векторот на насоката на правата е ортогонален на нормите на двете рамнини, затоа е колинеарен со нивниот векторски производ. Затоа, можеме да избереме [ n 1 n 2
] или кој било вектор со пропорционални координати. За да пронајдете точка што лежи на дадена права, можете произволно да наведете една од нејзините координати, а другите две да ги најдете од равенките, избирајќи ги така што детерминантата на нивните коефициенти не е еднаква на нула.
Агол помеѓу прави линии. Аголот помеѓу права линија и рамнина.Аголот помеѓу прави линии во просторот е еднаков на аголот помеѓу векторите на нивната насока. Според тоа, ако две линии се дадени со канонски равенки на формата
И 
Косинусот на аголот меѓу нив може да се најде со помош на формулата:
. Условите за паралелизам и перпендикуларност на правите исто така се сведуваат на соодветните услови за вектори на нивните правци:
- состојба на паралелизам,
- состојба на перпендикуларност на правите. Агол φ помеѓу правата линија дадена со канонските равенки
и рамнината дефинирана со општата равенка Axe + By + Cz + D= 0, може да се смета како комплементарен на аголот ψ помеѓу векторот на насоката на правата и нормалата на рамнината. Потоа
Услов на паралелизам помеѓу права и рамнинае условот на перпендикуларност на векторите n И А : Al + Bm + Cn= 0, а условот на перпендикуларност на правата и рамнината– состојба на паралелизам на овие вектори: A/l = B/m = C/n.
21. канонска равенка на елипса. Својства.е права која, во некој Декартов правоаголен координатен систем, е одредена со канонската равенка x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, под услов a≥b>0. Од равенката произлегува дека за сите точки на елипсата │x│≤ a и │у│≤ b. Тоа значи дека елипсата лежи во правоаголник со страни 2а и 2б. Точките на пресек на елипсата со оските на канонскиот координатен систем, кои имаат координати (a, 0), (-a, 0), (0, b) и (0, -b), се нарекуваат темиња на елипса. Броевите a и b се нарекуваат полу-големи и полумали оски, соодветно. C1. Оските на канонскиот координатен систем се оските на симетрија на елипсата, а почетокот на канонскиот систем е неговиот центар на симетрија Изгледот на елипсата најлесно се опишува со споредба со круг со радиус a со центар центарот на елипсата: x 2 + y 2 = a 2 . За секој x таков што јас x I< а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами
22. Канонска хипербола равенка. Својства.Хипербола ја нарековме права која во одреден Декартов правоаголен координатен систем се определува со канонската равенка x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Од оваа равенка е јасно дека за сите точки на хиперболата │ x│≥a, т.е. сите точки на хиперболата лежат надвор од вертикалната лента со ширина 2а. Апсцисата оска на канонскиот координатен систем ја пресекува хиперболата во точките со координати (a, 0) и (-a, 0), наречени темиња на хиперболата. y-оската не ја пресекува хиперболата. Така, хиперболата се состои од два неповрзани дела. Тие се нарекуваат нејзини гранки. Броевите a и b се нарекуваат реални и имагинарни полуоски на хиперболата, соодветно. За хипербола, оските на канонскиот координатен систем се оските на симетрија, а потеклото на канонскиот систем е центарот на симетријата За да го проучиме обликот на хиперболата, го наоѓаме неговото пресекување со произволна линија што минува низ потеклото . Равенката на правата ја земаме во форма y = kx, бидејќи веќе знаеме дека правата x = 0 не ја пресекува хиперболата. Абсцисите на пресечните точки се наоѓаат од равенката x 2 /a 2 – k 2 x 2 /b 2 = 1. Затоа, ако b 2 – a 2 k 2 >0, тогаш x = ± ab / √b 2 – а 2 k 2 . Ова ви овозможува да ги наведете координатите на пресечните точки (ab/u, abk/u) и (-ab/u, -abk/u), каде што u = (b 2 - a 2 до 2) 1/2.
Правите со равенките y = bx/a и y = -bx/a во канонскиот координатен систем се нарекуваат асимптоти на хипербола. C2. Производот на растојанијата од точката на хиперболата до асимптотите е константен и еднаков на a 2 b 2 /(a 2 + b 2). C3. Ако точката се движи по хипербола на таков начин што нејзината апсциса се зголемува без ограничување во апсолутна вредност, тогаш растојанието од точката до една од асимптотите се стреми кон нула. Да го воведеме бројот c, ставајќи ги c 2 =a 2 +b 2 и c > 0. Фокусите на хиперболата се точките F 1 u F 2 со координати (c, 0) и (-c, 0) во канонската координатен систем. Односот e = c/a, како за елипса, се нарекува ексцентричност. Хиперболата има e > 1. C4. Растојанието од произволна точка M (x, y) на хиперболата до секое од фокусите зависат на следниов начин од нејзината апсциса x: r 1 =│F 1 M│=│a-ex│, r 2 =│F 2 M │=│a +ex│. C5. За да може точката М да лежи на хипербола, потребно е и доволно разликата во нејзините растојанија до фокусите да биде еднаква по апсолутна вредност со реалната оска на хиперболата 2а. Директори на хипербола се прави дефинирани во канонскиот координатен систем со равенките x=a/, x=-a/. C6. За да може точката да лежи на хипербола, неопходно е и доволно односот на неговото растојание до фокусот до растојанието до соодветната дирекција да биде еднаков на ексцентричност. Равенката на тангентата на хиперболата во точката M 0 (x 0,y 0) што лежи на неа има форма: xx 0 /a 2 - yy 0 /b 2 = 1. C7. Тангентата на хиперболата во точката M 0 (x 0,y 0) е симетрала на аголот помеѓу отсечките што ја поврзуваат оваа точка со фокусите.
23. Канонска равенка на парабола. Својства.ја именувавме правата, која кај некој Декартов правоаголен координатен систем се определува со канонската равенка y 2 = 2рх, под услов p > 0. Од равенката произлегува дека за сите точки на параболата x≥0. Параболата минува низ потеклото на канонскиот координатен систем. Оваа точка се нарекува теме на параболата. Фокусот на параболата е точката F со координати (p/ 2, 0) во канонскиот координатен систем. Дирекцијата на параболата е права линија со равенката x = -p/2 во канонскиот координатен систем. C1. Растојанието од точката M (x, y) што лежи на параболата до фокусот е еднакво на r=x+p/2. C2. За точката М да лежи на парабола, потребно е и доволно таа да биде подеднакво оддалечена од фокусот и од дирекцијата, оваа парабола. На параболата и е доделена ексцентричност e = 1. Врз основа на оваа конвенција, формулата r/d=e е точна за елипса, хипербола и парабола. Да ја изведеме равенката на тангентата на параболата во точката M 0 (x 0 ,y 0) што лежи на неа, таа има форма yy 0 = p(x+x 0). C3 Тангентата на параболата во точката Mo е симетрала на аголот блиску до аголот помеѓу отсечката што го поврзува Мо со фокусот и зракот што излегува од оваа точка во насока на оската на параболата.
24. Алгебарски линии.Да се дефинираат алгебарски линии на рамнина значи некоја алгебарска равенка од формата F(x,y)=0 и некој афин координатен систем на круг на рамнината, тогаш оние и само оние M(x,y) чии координати ја задоволуваат равенката се смета дека лежат на дадена равенка Равенките за површина во просторот се поставени слично. тие точки F(x,y,z )=0(z) се равенката на рамнината. Во исто време, ние веруваме дека две равенки дефинираат иста права или површина, итн., итн., кога едната од овие равенки се добива од другата со множење со одреден нумерички фактор ламбда 0.
25. Концепт на алгебарска површина.Проучувањето на произволни множества точки е сосема огромна задача Дефиниција: Алгебарска површина е збир на точки кои во некој Декартов координатен систем може да се специфицираат со равенка од формата +...+ =0, каде што сите експоненти се. ненегативни цели броеви Најголемиот од збировите (се разбира, овде мислиме на најголемиот од збировите всушност вклучени во равенката, т.е. се претпоставува дека по донесувањето на слични членови има најмалку еден член со коефициент кој не е нула. има таков збир на експоненти.) + + ,…., + + се нарекува степенот на равенката , како и редот на алгебарската површина Оваа дефиниција, особено, значи дека сферата чија равенка во декартов правоаголник координатен систем има форма ( +( +( = , е алгебарска површина од втор ред. Теорема. Алгебарска површина од ред p во кој било Декартов координатен систем може да се даде со равенка од формата +…+ =0 од редот стр.
26. Цилиндрични површини од 2 ред.Нека на рамнината P ѝ се даде некоја права линија од втор ред и куп паралелни прави d така што за која било d не е паралелна со P, тогаш множеството φ од сите точки во просторот што припаѓаат на оние прави линии на купот што ја сечат линијата γ се нарекува насочувачка, а правата што се сечат φ се генератори. Да ја изведеме равенката на цилиндричната површина во однос на афиниот координатен систем. Нека малку K лежи во одредена рамнина P, чија равенка е F(x,y) = 0, во насока a(a 1 a 2 a 3) d е паралелна со a. Точката M(x,y,z) лежи на некоја генератрица, а N(x'y'o) е точката на пресек на оваа генератриса со рамнината P. Векторот MN ќе биде колинеарен со ta затоа MN=ta, x '=x+ a 1 t ; y’=y+a 2 t ; 0=z+a 3 t затоа t= -z/a 3 , потоа x’=x- (a 1 z)/a 3 ; y'=y- (a 2 z)/a 3 F(x'y')=0 F(x- (a 1 z)/a 3; y- (a 2 z)/a 3. Сега е јасно дека равенката F(x,y)=0 е равенка на цилиндар со генератори паралелни на оската Oy, а F(y,z)=0 со генератори паралелни на оската Ox: Нека правата а да биде паралелна со (o,z), затоа a 1 = 0 a 2 =0 a 3 ≠0 F(x,y)=0, значи, онолку линии од втор ред колку што има цилиндри: 1. Елиптичен цилиндар x. 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 2. Хиперболичен цилиндар x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 3. Параболичен цилиндар y 2 =2πx 4. Пар рамнини што се сечат x 2 /a 2 -. y 2 /b 2 =0 5. Пар паралелни рамнини x 2 /a 2 =1
27. Канонски површини од 2 ред.Површина на која има точка M o која има својство дека заедно со секоја точка M o ≠M содржи права линија (M o M), таквата површина се нарекува канонична или конусна. M o е темето на конусот, а правите се неговите генератори. Функцијата F(x,y,z)=0 се нарекува хомогена ако F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), каде што φ(t) е функција од t. Теорема. Ако F(x,y,z) е хомогена функција, тогаш површината дефинирана со оваа равенка е канонска површина со теме на почетокот. Доц. Нека е даден афин координатен систем и од него дадена канонска равенка со центар F(x,y,z)=0. Размислете за равенка со теме во точката O M(x,y,z)=0, тогаш секоја точка OM од F ќе има форма M 1 (tx,ty,tz) на канонската површина. M o M(x,y,z), бидејќи ја задоволува површината, тогаш F(tx,ty,tz)=0 е хомогена функција φ(t) F(x,y,z)=0 оттука површината е канонски. Криви од 2 ред се пресеци во конечната површина на рамнините x 2 +y 2 -z 2 =0/ При сечење канонски површини со рамнини ги добиваме следните линии во пресекот: а) рамнина што минува низ точка или а пар споени линии и пар линии што се сечат. Б) рамнината не минува низ темето на конусот затоа, во делот добиваме или елипса, хипербола или парабола;
28. Површини на револуција.Нека е дадена Декартов рамка во 3-димензионален простор. Рамнината P минува низ Оз, γ е специфицирана во Ози рамнината и аголот xOy=φ γ има форма u=f(z). Да земеме точка M од γ во однос на референцата Oxyz. γ – опишаната кружница на γM над сите точки M од γ се нарекува пресликување. Пресекот на површината на ротација на рамнината што минува низ оската на ротација се нарекува меридијан. Пресекот на површината на ротација на рамнината нормална на оската на ротација се нарекува паралелен. Равенка на површината на вртење x 2 +y 2 =f 2 (z) – равенка на површината на вртење. 1) Ако аголот φ=0, тогаш γ лежи во xOz рамнината, x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) γ лежи во xOy рамнината и неговата равенка е y=g(x), тогаш y 2 +z 2 = g 2 (x) 3) γ лежи во yOz рамнината и нејзината равенка е z=h(y), тогаш z 2 +x 2 =h 2 (y)
29. Елипсоиди.Површината што се добива со ротирање на елипса околу нејзините оски на симетрија. Со насочување на векторот e 3 прво по малата оска на елипсата, а потоа по главната оска, го добиваме нивото на елипсата во следните форми: 
. Врз основа на формулата 
нивоата на соодветните површини на револуција ќе бидат 
= 1 (а> в). Површините со такви нивоа се нарекуваат компресирани (а) и повлечени (б) елипсоиди на револуција.
Секоја точка M (x, y, z) на компримиран елипсоид со револуција ја поместуваме на рамнината y=0 така што растојанието од точката до оваа рамнина се намалува во постојан однос λ за сите точки<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем 
, каде што b=λa. Површината што го има ова равенство во некој Декартов координатен систем се нарекува елипсоид (в). Ако случајно се покаже дека b=c, повторно ќе добиеме елипсоид на револуција, но веќе издолжен. Елипсоидот, како елипсоидот на револуцијата од кој е изведен, е затворена ограничена површина. Од равенката е јасно дека потеклото на канонскиот координатен систем е центарот на симетријата на елипсоидот, а координатните рамнини се неговите рамнини на симетрија. Елипсоид може да се добие од сфера x 2 +y 2 +z 2 =a 2 со компресија на рамнините y=0 и z =0 во односите λ=b/a и μ=c/a.
30. Хиперболоиди.Еднолист хиперболоид на револуцијае површината на ротација на хиперболата околу оската што не ја пресекува. Според формулата 
ја добиваме равенката на оваа површина (сл. 48). Како резултат на компресија на еднолист хиперболоид на ротација до рамнината y=0, добиваме еднолист хиперболоид со ur 
. Интересно својство на хиперболоидот со еден лист е присуството на праволиниски генератори. Ова е името дадено на прави линии со сите точки што лежат на површината. Низ секоја точка на хиперболоидот од ист пол минуваат два праволиниски генератори, чии нивоа може да се добијат на следниов начин. Равенката (8) може да се преработи како 
. Размислете за права линија со равенките μ =λ, λ =μ (9), каде што λ и μ се некои броеви (λ 2 + μ 2 ≠0). Координатите на секоја точка на правата ги задоволуваат двете равенки, а со тоа и равенката (8), која се добива со множење член по член. Според тоа, какви и да се λ и μ, правата линија со равенките (9) лежи на хиперболоид со еден лист. Така, системот (9) дефинира фамилија на праволиниски генератори. Ако заедно со хиперболата ги ротираме нејзините асимптоти, тогаш тие ќе опишат десен кружен конус, наречен асимптотички конус на хиперболоид на револуција. Кога хиперболоид на револуција е компресиран, неговиот асимптотички конус е компресиран во асимптотичниот конус на општ хиперболоид со еден лист.
Хиперболоид со два листа.Хиперболоид на револуција со два листа е површина добиена со ротирање на хипербола 
околу оската што ја пресекува. Според формулата 
го добиваме ur-e на дволист хиперболоид на револуција 
Како резултат на компресија на оваа површина на рамнината y=0 се добива површина со ur 
(12). Површината, која во некој Декартов правоаголен координатен систем има равенка од формата (12), се нарекува хиперболоид со два листа (сл. 49). Двете гранки на хиперболата овде одговараат на два неповрзани делови („шуплини“) на површината. Асимптотичниот конус на хиперболоид со два листа се одредува на ист начин како и за хиперболоид со еден лист.
31. Параболоиди.Елипсовиден параболоид.Со ротирање на параболата x 2 =2pz околу нејзината оска на симетрија, добиваме површина со ниво x 2 +y 2 =2pz. Се нарекува параболоид на револуцијата. Со компресија до рамнината y=0 се трансформира параболоидот на вртење во површина, чие ниво е намалено до формата 2z (14). Површината која има такво ниво во некој Декартов правоаголен координатен систем се нарекува елиптичен параболоид. Хиперболичен параболоид.По аналогија со ur-e (14), можеме да напишеме ur-e 
Површината која има такво ниво во некој Декартов правоаголен координатен систем се нарекува хиперболичен параболоид. Од канонската равенка z= x 2 /a 2 - y 2 /b 2 на хиперболичен параболоид произлегува дека рамнините Oxz и Oyz се рамнини на симетрија. Оската Oz се нарекува оска на хиперболичниот параболоид Правите z=h на пресекот на хиперболичниот параболоид со рамнините z=h се хиперболи x 2 /a *2 - y 2 /b *2. =1 со полуоски a * = a√h , b * =b√h , и за h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гиперболического параболоида. Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью Оуz (Охz).
32. Сложени броеви. Алгебарска форма на комплексен број.Комплексен број е израз на формата z = x + iу, каде што x и y се реални броеви, i е имагинарна единица. Бројот x се нарекува реален дел од бројот z и се означува Re(z), а бројот y е имагинарен дел од бројот z и се означува Im(z). Броевите z = x + iy и z = x - iy се нарекуваат конјугирани. Два сложени броја z 1 = x 1 + iу 1 и z 2 = x 2 + iу 2 се нарекуваат еднакви ако нивните реални и имагинарни делови се еднакви. Особено, i 2 =-1. Аритметичките операции на множеството сложени броеви се дефинирани на следниов начин. 1. Собирање: z 1+ z 2 =x 1 +x 2 +i(y 1 +y 2); 2.Одземање: z 1 -z 2 =x 1 -x 2 +i(y 1 -y 2); 3.Множење: z 1 z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2)+i(x 1 y 2 +x 2 y 1); Поделба: z 1 /z 2 =((x 1 x 2 +y 1 y 2)+i (x 2 y 1 - x 1 y 2))/x 2 2 +y 2 2. За претставување на ц.ч. служат како точки на координатната рамнина Oxy. Рамнината се нарекува сложена ако секој број z = x + iу е доделена на точка на рамнината z(x, y), и оваа кореспонденција е еден-на-еден. Оските Ox и Oy, на кои се наоѓаат реалните броеви z=x+0i=x и чисто имагинарните броеви z=0+iy=iy, се нарекуваат реални и имагинарни оски, соодветно.
33. Тригонометриска форма на комплексен број. Формулата на Моивр.Ако е вистински xи имагинарен yизразуваат делови од комплексен број во однос на модулот р = | z| и аргумент j(x=r cosj,y=r sinj), потоа кој било комплексен број z, освен нула, може да се запише во тригонометриска форма z=r(cosj+isinj). Карактеристики на тригонометриската форма: 1) првиот фактор е ненегативен број, r³0; 2) косинусот и синусот од истиот аргумент се запишани; 3) имагинарната единица се множи со сињ. Може да биде и корисно индикативниформа на пишување сложени броеви, тесно поврзана со тригонометриските преку Ојлеровата формула: z=re i j. Каде што e i j е проширување на експонентот за случај на сложен експонент. Формула која ви овозможува да подигнете комплексен број претставен во тригонометриска форма до моќност. Формулата на Моиврима форма: z= n =r n (косњ+исин њ), каде ре модулот, а j е аргумент на комплексен број.
34. Операции на полиноми. Евклидовиот алгоритам.Општата форма на равенката од n-ти степен е: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0 (1). Се одредува збир на коефициенти. (a 0,a 1,…,a n -1, a n) се произволни сложени броеви. Размислете за левата страна на (1): a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n -полиноми од n-ти степен. Сметаме дека два полиноми f(x) и g(x) се еднакви или идентично еднакви ако коефициентите на исти сили се еднакви. Секој полином се дефинира со множество коефициенти.
Да ги дефинираме операциите на собирање и множење на полиноми: f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n ; g(x)=b 0 +b 1 x+…+b s x s n³s; f(x)+g(x)=c 0 +c 1 x+…+c n x n -1 +c n ; c i =a i +b i ако i=0,1…n; i>s b i =0; f(x)*g(x)=d 0 +d 1 x+…+d n + s x n + s ; ; d 0 =a 0 b 0 ; d 1 =a 0 b 1 +a 0 b 1 ; d 2 =a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0 . Степенот на производот на полиномите е еднаков на збирот и операциите ги имаат следните својства: 1)a k +b k =b k +a k ; 2)(a k +b k)+c k =a k +(b k +c k); 3) . Полиномот f(x) се нарекува инверзен (x) ако f(x)* (x)=1. Во множество полиноми, операцијата за делење не е можна. Во Евклидов простор, постои алгоритам за делење со остаток за полином. f(x) и g(x)постојат r(x)И q(x)дефинирано недвосмислено. ; ; f(x)=g(x);; . Степен од десната страна £ степен g(x), и степенот на левата страна од овде одовде - дојдовме до контрадикција. Го докажуваме првиот дел од теоремата: . Ајде да се множиме g(x) со полином таков што водечките коефициенти се множат.
По кчекори.
; ; има понизок степен q(x). Полином q(x) - количник на f (x),а r(x) -остаток од поделбата. Ако f(x)И g(x)имаат реални коефициенти, тогаш q(x)И r(x)- исто така важи.
35.Деленик на полиноми. GCD.Нека се дадени два ненулта полиноми f(x) и j(x) со сложени коефициенти. Ако остатокот е нула, тогаш f(x) се вели дека е делив со j(x) ако j(x) е делител на f(x). Својства на полиномот j(x): 1) Полиномот j(x) ќе биде делител на f(x) ако постои Y(x) и f(x)= j(x)* Y(x) (1). j(x) е делител, Y(x) е количник. Нека Y(x) го задоволува (1), тогаш од претходната теорема Y(x) е количник, а остатокот е 0. Ако (1) е задоволен, тогаш j(x) е делител, па оттука j(x)<= степени f(x). Основни својства на деливост на полином: 1) ; 2 f(x) и g(x) се делат со j(x), потоа се делат со j(x); 3) ако ; 4) ако f 1 (x)..f k (x):j(x)®f 1 g 1 +…+f k g k:j(x); 5) секој полином е делив со кој било полином со степен нула f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c ; 6) ако f(x):j(x), тогаш f(x):cj(x); 7) Полиномот cf(x) и само тие ќе бидат делители на полиномот j(x), со ист степен како f(x); 8)f(x):g(x) и g(x):f(x), потоа g(x)=cf(x); 9) Секој делител на еден од f(x) и cf(x), c¹0 ќе биде делител за другиот. Дефиниција:Најголем заеднички делител (GCD). Полиномот j(x) ќе го наречеме gcd на f(x) и g(x) ако го дели секој од нив. Полиномите од нулта степен се секогаш gcd и се сопрост. GCD на ненулта полиноми f(x) и g(x) се нарекува d(x), што е заеднички делител и е делив со кој било друг делител и заеднички од овие полиноми. GCD f(x) и g(x)= (f(x):g(x)). Алгоритам за наоѓање GCD:Нека степенот g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)
r k-2 (x)=r k-1 (x)q k (x)+r k (x)
r k-1 (x)=r 2 (x)+q k (x) r k (x)-GCD. Да го докажеме тоа. r k (x) е делител на r k -1 (x)®he е делител на r k -2 (x)…®тој е делител на g(x)®тој е делител на f(x). g(x)g 1 (x) се дели со r k (x)® f(x)- g(x) g 1 (x) се дели со r k (x)® r 1 (x) се дели со r k (x )® r 2 (x) се дели со r k (x)®… q k (x): r k (x) се дели со r k (x).
ВЕСЕМЕНА ПОЛОЖБА НА ДВЕ РАМНИНИ.
| Име на параметарот | Значење |
| Тема на статијата: | ВЕСЕМЕНА ПОЛОЖБА НА ДВЕ РАМНИНИ. |
| Рубрика (тематска категорија) | Геологија |
Две рамнини во вселената можат да се наоѓаат или паралелно една на друга или да се сечат.
Паралелни рамнини. Кај проекциите со нумерички ознаки, знак за паралелизам на рамнините на планот е паралелизам на нивните хоризонтални линии, еднаквост на висините и совпаѓање на насоките на инциденца на рамнините: квадрат. S || pl. L- ч S || ч L, л S= л L, подлога. I. (сл. 3.11).
Во геологијата, рамно, хомогено тело составено од која било карпа се нарекува слој. Слојот е ограничен со две површини, од кои горниот се нарекува покрив, а долниот - ѓонот. Ако слојот се смета за релативно мал обем, тогаш покривот и основата се изедначуваат со рамнини, при што се добива просторен геометриски модел на две паралелни наклонети рамнини.
Рамнината S е покривот, а рамнината L е дното на слојот (сл. 3.12, А). Во геологијата, најкраткото растојание помеѓу покривот и основата се нарекува вистинска моќ (на Сл. 3.12, Авистинската моќност се означува со буквата H). Покрај вистинската дебелина, во геологијата се користат и други параметри на карпестиот слој: вертикална дебелина - H in, хоризонтална дебелина - L, видлива дебелина - тип H. Вертикална моќност во геологијата тие го нарекуваат растојанието од покривот до дното на слојот, мерено вертикално. Хоризонтална моќност слој е најкраткото растојание помеѓу покривот и основата, мерено во хоризонтална насока. Очигледна моќност – најкраткото растојание помеѓу видливиот пад на покривот и ѓонот (видливиот пад е праволиниската насока на конструктивната рамнина, т.е. права линија што припаѓа на рамнината). Меѓутоа, привидната моќ е секогаш поголема од вистинската моќ. Треба да се забележи дека за хоризонтално поставените слоеви, вистинската, вертикалната и видливата дебелина се совпаѓаат.
Да ја разгледаме техниката на конструирање на паралелни рамнини S и L, распоредени една од друга на дадено растојание (сл. 3.12, б).
На планот со пресечни линии мИ nДадена е рамнина S Неопходно е да се изгради рамнина L паралелна со рамнината S и оддалечена од неа на растојание од 12 m (т.е., вистинската дебелина е H = 12 m). Авионот L се наоѓа под рамнината S (рамнината S е покривот на слојот, рамнината L е дното).
1) Рамнината S е дефинирана на планот со проекции на контурни линии.
2) На скалата на наслаги, конструирај линија на инциденца на рамнината S - uС. Нормално на линијата u S одвои дадено растојание од 12 m (вистинската дебелина на слојот H). Под линијата на инциденца на рамнината S и паралелно со неа, нацртајте ја линијата на инциденца на рамнината L - uЛ. Определете го растојанието помеѓу линиите на инциденца на двете рамнини во хоризонтална насока, т.е. хоризонталната дебелина на слојот L.
3) Одвојување на хоризонталната моќност од хоризонталата на планот ч S, паралелно со него нацртајте хоризонтална линија на рамнината L со иста нумеричка ознака чЛ. Треба да се забележи дека ако рамнината L се наоѓа под рамнината S, тогаш хоризонталната моќност треба да се постави во насока на востание на рамнината S.
4) Врз основа на условот за паралелизам на две рамнини, на планот се исцртуваат хоризонтални рамнини на рамнината L.
Пресечни рамнини. Знак за пресекот на две рамнини е обично паралелизмот на проекциите на нивните хоризонтални линии на планот. Линијата на пресек на две рамнини во овој случај се определува со пресечните точки на два пара со исто име (со исти нумерички знаци) контурни линии (сл. 3.13): ; . Со поврзување на добиените точки N и M со права линија м, определи ја проекцијата на саканата линија на пресек. Ако рамнината S (A, B, C) и L(mn) се наведени на планот како нехоризонтални, тогаш да се конструира нивната пресечна линија тисклучително важно е да се конструираат два пара хоризонтални линии со идентични нумерички ознаки, кои на пресекот ќе ги одредат проекциите на точките R и F на саканата права т(Сл. 3.14). Слика 3.15 го прикажува случајот кога две се сечат
Хоризонталните рамнини S и L се паралелни. Пресечната линија на таквите рамнини ќе биде хоризонтална права линија ч. Вреди да се каже дека за да се најде точка А што припаѓа на оваа права, нацртајте произволна помошна рамнина Т, која ги пресекува рамнините S и L. Рамнината T ја сече рамнината S по права линија А(C 1 D 2), а рамнината L е во права линија б(K 1 L 2).
Пресечна точка АИ б, кои припаѓаат соодветно на рамнините S и L, ќе бидат заеднички за овие рамнини: =A. Висината на точката А може да се определи со интерполирање на прави линии аИ б. Останува да се повлече хоризонтална линија преку А ч 2.9, што е линија на пресек на рамнините S и L.
Да разгледаме уште еден пример (сл. 3.16) за конструирање на линијата на пресек на наклонетата рамнина S со вертикалната рамнина Т. Посакуваната права линија мопределена со точките А и Б, на кои хоризонталните линии ч 3 и ч 4 рамнини S ја сечат вертикалната рамнина Т. Од цртежот се гледа дека проекцијата на линијата на вкрстување се совпаѓа со проекцијата на вертикалната рамнина: мº T. При решавање на проблеми со геолошки истражувања, дел од една или група рамнини (површини) со вертикална рамнина обично се нарекува пресек. Дополнителна вертикална проекција на линијата конструирана во примерот што се разгледува мнаречен профил на засек направен од рамнината Т во дадена насока.
МЕЃУСЕБНА ПОЛОЖБА НА ДВЕ РАМНИНИ. - концепт и видови. Класификација и карактеристики на категоријата „МЕЃУСЕБНА ПОЛОЖБА НА ДВЕ РАМНИНИ“. 2017, 2018 година.
Две рамнини во вселената можат да бидат или меѓусебно паралелни, во одреден случај да се совпаѓаат една со друга или да се сечат. Меѓусебно нормални рамнини се посебен случај на рамнини што се сечат.
1. Паралелни рамнини.Рамнините се паралелни ако две линии на една рамнина што се пресекуваат се соодветно паралелни со две линии на друга рамнина што се пресекуваат.
Оваа дефиниција е добро илустрирана со проблемот на исцртување рамнина низ точката B паралелна со рамнината дефинирана со две пресечни права ab (сл. 61).
Задача. Дадено е: општа рамнина дефинирана со две права што се пресекуваат ab и точка B.
Потребно е да се повлече рамнина низ точката B паралелна со рамнината ab и да се дефинира со две вкрстени права c и d.
Според дефиницијата, ако две линии на една рамнина кои се вкрстуваат се соодветно паралелни со две пресечни прави од друга рамнина, тогаш овие рамнини се паралелни една со друга.
За да се нацртаат паралелни прави на дијаграм, потребно е да се користи својството на паралелна проекција - проекциите на паралелните прави се паралелни една со друга
d//a, с//b Þ d1//a1, с1//b1; d2//a2,с2//b2; d3//a3, c3//b3.
Слика 61. Паралелни рамнини
2. Рамнини кои се вкрстуваат,посебен случај се меѓусебно нормални рамнини. Линијата на пресек на две рамнини е права линија, за чија конструкција е доволно да се одредат нејзините две точки заеднички за двете рамнини, или една точка и насоката на линијата на вкрстување на рамнините.
Ајде да размислиме за конструирање на линијата на пресек на две рамнини кога едната од нив се проектира (сл. 62).
Задача. Дадено: рамнината на општата положба е дадена со триаголникот ABC, а втората рамнина е хоризонтално испакната рамнина a.
Потребно е да се изгради линија на пресек на рамнини.
Решението на проблемот е да се најдат две заеднички точки за овие рамнини низ кои може да се повлече права линија. Рамнината дефинирана со триаголникот ABC може да се претстави како прави линии (AB), (AC), (BC). Точката на пресек на правата линија (AB) со рамнината a е точка D, правата линија (AC) е F. Сегментот ја дефинира линијата на пресек на рамнините. Бидејќи a е хоризонтално проектирана рамнина, проекцијата D1F1 се совпаѓа со трагата на рамнината aP1, така што останува само да се конструираат проекциите што недостасуваат на P2 и P3.
Слика 62. Пресек на рамнина со општа положба со хоризонтално испакната рамнина
Да преминеме на општиот случај. Нека се дадени две генерички рамнини a(m,n) и b (ABC) во просторот (сл. 63)
Слика 63. Пресек на генерички рамнини
Да ја разгледаме низата на конструирање на линијата на пресек на рамнините a(m//n) и b(ABC). По аналогија со претходната задача, за да ја пронајдеме линијата на пресек на овие рамнини, цртаме помошни рамнини за сечење g и d. Да ги најдеме линиите на пресек на овие рамнини со рамнините што се разгледуваат. Рамнината g ја сече рамнината a по права линија (12), а рамнината b се сече по права линија (34). Точка К - пресечната точка на овие прави истовремено припаѓа на три рамнини a, b и g, со што е точка што припаѓа на линијата на пресек на рамнините a и b. Рамнината d ги пресекува рамнините a и b по прави линии (56) и (7C), соодветно, нивната пресечна точка M се наоѓа истовремено во три рамнини a, b, d и припаѓа на правата линија на пресек на рамнините a и b. Така, пронајдени се две точки кои припаѓаат на линијата на пресек на рамнините a и b - права линија (SM).
Може да се постигне одредено поедноставување при конструирањето на линијата на вкрстување на рамнините ако се исцртаат помошни рамнини за сечење преку прави линии што ја дефинираат рамнината.
Меѓусебно нормални рамнини.Од стереометријата е познато дека две рамнини се меѓусебно нормални ако едната од нив поминува низ нормалната на другата. Низ точката А можете да нацртате многу рамнини нормални на дадена рамнина a(f,h). Овие рамнини формираат сноп од рамнини во просторот, чија оска е нормалната спуштена од точката А до рамнината a. За да се нацрта рамнина од точката A нормална на рамнината дадена со две линии што се пресекуваат hf, потребно е да се повлече права n од точката A нормална на рамнината hf (хоризонталната проекција n е нормална на хоризонталната проекција на хоризонталната линија h, фронталната проекција n е нормална на фронталната проекција на фронталната f). Секоја рамнина што минува низ правата n ќе биде нормална на рамнината hf, затоа, за да се дефинира рамнина низ точките А, нацртајте произволна права m. Рамнината дефинирана со две пресечни права mn ќе биде нормална на рамнината hf (сл. 64).
Слика 64. Меѓусебно нормални рамнини
Деф. Две рамнини во вселената се нарекуваат паралелни ако не се сечат, во спротивно се сечат.
Теорема 1: Ако две вкрстувачки прави од една рамнина се соодветно паралелни со две прави од друга рамнина, тогаш овие рамнини се паралелни.
Доказ:
Нека и се дадени рамнини, a1 и a2 се прави во рамнината што се сечат во точката A, нека b1 и b2 се прави паралелни на нив, соодветно
рамнина. Да претпоставиме дека рамнините не се паралелни, т.е. се сечат по некоја права линија в. Според теоремата, правите a1 и a2, како паралелни на правите b1 и b2, се паралелни со рамнината, и затоа не се
пресечете ја правата линија c што лежи во оваа рамнина. Така, во рамнината, две прави (a1 и a2) поминуваат низ точката A, паралелни со правата c. Но, тоа е невозможно според паралелната аксиома. Дојдовме до контрадикторност во КТД.
Нормални рамнини: Две рамнини што се пресекуваат се нарекуваат нормални ако третата рамнина, нормална на линијата на пресек на овие рамнини, ги пресекува по нормални линии.
Теорема 2: Ако рамнината минува низ права нормална на друга рамнина, тогаш овие рамнини се нормални.
Доказ:
Нека е рамнина со права нормална на неа, нека е рамнина што минува низ правата b и нека c е права линија по која рамнините и се сечат. Да докажеме дека рамнините и се нормални. Да повлечеме права a во рамнината низ точката на пресек на правата b со рамнината,
нормално на права линија в. Дозволете ни да нацртаме низ прави линии a и во рамнината. Тоа е нормално на правата c, бидејќи правата c е нормална на правата a и b. Бидејќи правите a и b се нормални, тогаш рамнините се нормални. итн.
42. Равенка на нормална рамнина и нејзините својства
Нормална (нормализирана) равенка на рамнина
во векторска форма:
каде е единечниот вектор, е растојанието на P. од потеклото. Равенката (2) може да се добие од равенката (1) со множење со нормализирачки фактор
(знаци и се спротивни).
43. Равенки на права линија во просторот: Општи равенки, канонски и параметарски равенки.
Канонски равенки:
Да ја изведеме равенката на права линија што минува низ дадена точка и е паралелна со даден вектор на насока. Забележете дека точка лежи на оваа права ако и само ако векторите се колинеарни. Ова значи дека координатите на овие вектори се пропорционални:
Овие равенки се нарекуваат канонски. Забележете дека една или две координати на векторот на насока може да бидат еднакви на нула. Но, ние го доживуваме како пропорција: го разбираме како еднаквост.
Општи равенки:
(A1x+B1y+C1z+D1=0
(A2x+B2y+C2z+D2=0
Кога коефициентите A1-C1 не се пропорционални со A2-C2, што е еквивалентно на наведување како линија на пресек на рамнини
Параметриски:
Со одложување на вектори од точка за различни вредности кои се колинеарни со векторот на насока, ќе добиеме на крајот од одложените вектори различни точки од нашата линија. Од еднаквоста следува:
Променливата величина се нарекува параметар. Бидејќи за која било точка на линијата има соодветна вредност на параметарот и бидејќи различните вредности на параметарот одговараат на различни точки на линијата, постои кореспонденција еден на еден помеѓу вредностите на параметарот и точките на линијата . Кога параметарот поминува низ сите реални броеви од до, соодветната точка поминува низ целата линија.
44. Концептот на линеарен простор. Аксиоми. Примери на линеарни простори
Пример за линеарен простор е множеството од сите геометриски вектори.
Линеарна, или векторпросторнад теренот П- ова е непразен сет Л, на кои се внесуваат операции
додавање, односно секој пар елементи од множество се поврзува со елемент од истото множество, означен
множење со скалар (односно елементот на полето П), односно секој елемент и кој било елемент ќе биде поврзан со елемент од, назначен.
Во овој случај, следните услови се наметнуваат на операциите:
За се ( комутативност на собирањето);
За се ( асоцијативност на додавање);
постои елемент таков што за кој било ( постоење на неутрален елемент во однос на собирањето), особено Лне е празен;
за било кој постои елемент таков што 
(постоење на спротивен елемент).
(асоцијативност на множење со скалар);
(множење со неутрален (со множење) елемент на полетоПго зачувува векторот).
(дистрибутивноста на множењето со вектор во однос на собирањето скалари);
(дистрибутивноста на множењето со скалар во однос на векторското собирање).
Елементи од сетот Лповикани вектори, и елементите на полето П-скалари. Својствата 1-4 се совпаѓаат со аксиомите на групата Абелија.
Наједноставните својства
Векторскиот простор е Абелова група со собирање.
Неутралниот елемент е единствениот што следи од групните својства.
за било кој.
За секој, спротивниот елемент е единствениот што следи од групните својства.
за било кој.
за било кој и.
за било кој.
Елементите на линеарниот простор се нарекуваат вектори. Просторот се нарекува реален ако во него операцијата на множење вектори со број е дефинирана само за реални броеви, а сложена ако оваа операција е дефинирана само за сложени броеви.
45. Основа и димензија на линеарен простор, врска меѓу нив.
Конечниот износ на формуларот
се нарекува линеарна комбинација на елементи со коефициенти.
Линеарна комбинација се нарекува нетривијална ако барем еден од нејзините коефициенти е различен од нула.
Елементите се нарекуваат линеарно зависни ако постои нетривијална линеарна комбинација од нив еднаква на θ. Инаку, овие елементи се нарекуваат линеарно независни.
Бесконечното подмножество вектори од L се нарекува линеарно зависно ако некое негово конечно подмножество е линеарно зависно, и линеарно независно ако некое од неговото конечно подмножество е линеарно независно.
Бројот на елементи (кардиналност) на максимално линеарно независно подмножество на простор не зависи од изборот на ова подмножество и се нарекува ранг или димензија на просторот, а самото ова подмножество се нарекува основа (основа Хамел или линеарна основа). Основните елементи се нарекуваат и базични вектори. Својства на основата:
Било кои n линеарно независни елементи на n-димензионален простор ја формираат основата на овој простор.
Секој вектор може да се претстави (уникатно) како конечна линеарна комбинација на основни елементи:
46. Векторски координати во дадена основа. Линеарни операции со вектори во координатна форма
клаузула 4. Линеарни операции со вектори вокоординираатформарекорди.
Нека биде основата на просторот и нека бидат неговите два произволни вектори. Нека и е снимање на овие вектори во координатна форма. Понатаму, нека биде произволен реален број. Користејќи ја оваа нотација, важи следнава теорема.
Теорема. (На линеарни операции со вектори во координатна форма.)
Нека Ln е произволен n-димензионален простор, B = (e1,....,en) фиксна основа во него. Тогаш секој вектор x кој припаѓа на Ln има кореспонденција еден-на-еден со колона од неговите координати во оваа основа.
