дома > Застаклување > Својства на квадратни корени. Како да го пронајдете квадратниот корен? Својства, примери за екстракција на коренот


Својства на квадратни корени. Како да го пронајдете квадратниот корен? Својства, примери за екстракција на коренот




Формули за корени. Својства на квадратни корени.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Во претходната лекција сфативме што е квадратен корен. Време е да откриеме кои од нив постојат формули за кореништо се својства на корените, и што може да се направи со сето ова.

Формули на корени, својства на корените и правила за работа со корени- ова е во суштина иста работа. Формули за квадратни корениизненадувачки малку. Што секако ме прави среќен! Или подобро кажано, можете да напишете многу различни формули, но за практична и сигурна работа со корени, доволни се само три. Сè друго тече од овие три. Иако многу луѓе се збунуваат во трите коренски формули, да...

Да почнеме со наједноставниот. Еве ја таа:

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Својства на квадратни корени

Досега извршивме пет аритметички операции на броеви: собирање, одземање, множење, поделба и степенување, а во пресметките активно се користеле различни својства на овие операции, на пример a + b = b + a, an-bn = (ab)n итн.

Ова поглавје воведува нова операција - екстракција квадратен коренод ненегативен број. За да го користите успешно, треба да се запознаете со својствата на оваа операција, што ќе го направиме во овој дел.

Доказ. Да ја воведеме следната нотација: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Токму вака ќе ја формулираме следната теорема.

(Кратка формулација што е попогодна за употреба во пракса: коренот на дропка е еднаков на делот од корените или коренот на количникот е еднаков на количникот на корените.)

Овој пат ќе дадеме само кратко резиме на доказот, а вие обидете се да дадете соодветни коментари слични на оние што ја формираа суштината на доказот на теоремата 1.

Забелешка 3. Се разбира, овој пример може да се реши поинаку, особено ако имате при рака микрокалкулатор: помножете ги броевите 36, 64, 9, а потоа земете го квадратниот корен од добиениот производ. Сепак, ќе се согласите дека решението предложено погоре изгледа покултурно.

Забелешка 4. Во првиот метод, извршивме пресметки „главно“. Вториот начин е поелегантен:
аплициравме формула a2 - b2 = (a - b) (a + b) и го користеле својството на квадратните корени.

Забелешка 5. Некои „жешки глави“ понекогаш го нудат ова „решение“ на примерот 3:

Ова, се разбира, не е точно: гледате - резултатот не е ист како во примерот 3. Факт е дека нема имот https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task" width="148" height="26 id=">!}Постојат само својства кои се однесуваат на множење и делење на квадратни корени. Бидете внимателни и внимателни, не земајте желби.

Завршувајќи го овој став, да забележиме уште една работа која е прилично едноставна и во исто време важен имот:
ако a > 0 и n - природен број, Тоа

Конвертирање на изрази што содржат операција со квадратен корен

Досега правевме само трансформации рационални изрази, користејќи ги за ова правилата за дејствија на полиноми и алгебарски дропки, скратени формули за множење итн. Во ова поглавје воведовме нова операција - операција со квадратен корен; го утврдивме тоа

каде, потсетиме, a, b се ненегативни броеви.

Користејќи ги овие формули, можете да извршите различни трансформации на изрази кои содржат операција со квадратен корен. Ајде да погледнеме неколку примери и во сите примери ќе претпоставиме дека променливите земаат само ненегативни вредности.

Пример 3.Внесете го множителот под знакот на квадратен корен:

Пример 6. Поедностави го изразот Решение. Ајде да извршиме последователни трансформации:

Оваа статија е збирка на детални информации кои се однесуваат на темата за својствата на корените. Со оглед на темата, ќе започнеме со својствата, ќе ги проучиме сите формулации и ќе обезбедиме докази. За да ја консолидираме темата, ќе ги разгледаме својствата на n-тиот степен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Својства на корените

Ќе зборуваме за имоти.

  1. Имотот помножени броеви аИ б, што е претставено како еднаквост a · b = a · b. Може да се претстави во форма на фактори, позитивни или еднакви на нула a 1 , a 2 , ... , a kкако 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
  2. од количникот a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, може да се запише и во оваа форма a b = a b;
  3. Својство од моќта на број асо парен експонент a 2 m = a m за кој било број а, на пример, својството од квадрат на број a 2 = a.

Во која било од претставените равенки, можете да ги замените деловите пред и по знакот за цртичка, на пример, еднаквоста a · b = a · b се трансформира како a · b = a · b. Својствата за еднаквост често се користат за да се поедностават сложените равенки.

Доказот за првите својства се заснова на дефиницијата за квадратен корен и својствата на моќите со природен индикатор. За да се оправда третото својство, потребно е да се повикаме на дефиницијата за модулот на број.

Пред сè, потребно е да се докажат својствата на квадратниот корен a · b = a · b. Според дефиницијата, потребно е да се земе предвид дека a b е број, позитивен или еднаков на нула, кој ќе биде еднаков на а бза време на изградбата во квадрат. Вредноста на изразот a · b е позитивна или еднаква на нула како производ на ненегативни броеви. Својството на силите на помножените броеви ни овозможува да ја претставиме еднаквоста во форма (a · b) 2 = a 2 · b 2 . По дефиниција на квадратниот корен, a 2 = a и b 2 = b, потоа a · b = a 2 · b 2 = a · b.

На сличен начин тоа може да се докаже од производот кмножители a 1 , a 2 , ... , a kќе биде еднаков на производот од квадратните корени на овие фактори. Навистина, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Од оваа еднаквост произлегува дека a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Ајде да погледнеме неколку примери за да ја зајакнеме темата.

Пример 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 и 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Потребно е да се докаже својството на аритметичкиот квадрат на количникот: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Својството ни овозможува да ја напишеме еднаквоста a: b 2 = a 2: b 2, и a 2: b 2 = a: b, додека a: b е позитивен број или еднаков на нула. Овој изрази тоа ќе стане доказ.

На пример, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 и 30,121 = 30,121.

Да го разгледаме својството на квадратниот корен на квадратот на број. Може да се напише како еднаквост како 2 = a Да се ​​докаже овој имот, потребно е детално да се разгледаат неколку еднаквости за a ≥ 0и во а< 0 .

Очигледно, за a ≥ 0 еднаквоста a 2 = a е точно. На а< 0 еднаквоста a 2 = - a ќе биде вистина. Всушност, во овој случај − a > 0и (− a) 2 = a 2 . Можеме да заклучиме, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример 2

5 2 = 5 = 5 и - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Докажаното својство ќе помогне да се оправда 2 m = a m, каде а– вистински и м- природен број. Навистина, својството на подигање моќ ни овозможува да ја замениме моќта 2 мизразување (а м) 2, потоа a 2 m = (a m) 2 = a m.

Пример 3

3 8 = 3 4 = 3 4 и (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

Својства на n-тиот корен

Прво, треба да ги земеме предвид основните својства на n-тиот корен:

  1. Својство од производот на броеви аИ б, кои се позитивни или еднакви на нула, може да се изразат како еднаквост a · b n = a n · b n , ова својство важи за производот кброеви a 1 , a 2 , ... , a kкако 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
  2. од дробен број има својство a b n = a n b n , каде ае секој реален број кој е позитивен или еднаков на нула, и б– позитивен реален број;
  3. За се апа дури и индикатори n = 2 m a 2 · m 2 · m = a е точно, и за непарни n = 2 m − 1важи еднаквоста a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
  4. Својство на екстракција од a m n = a n m , каде а- кој било број, позитивен или еднаков на нула, nИ мсе природни броеви, ова својство може да се претстави и во форма. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
  5. За секое ненегативно а и произволно nИ м, кои се природни, можеме да ја дефинираме и правичната еднаквост a m n · m = a n ;
  6. Сопственост на степенот nод моќта на број а, што е позитивно или еднакво на нула, во природен степен м, дефинирана со еднаквоста a m n = a n m ;
  7. Споредба на својства кои имаат истите показатели: за сите позитивни броеви аИ бтакви што а< b , неравенството a n< b n ;
  8. Споредба на својства кои имаат истите бројкипод коренот: ако мИ n -природни броеви кои m > n, потоа во 0 < a < 1 неравенството a m > a n е точно, и кога а > 1извршил м< a n .

Еднаквостите дадени погоре важат ако се заменуваат деловите пред и по знакот за еднаквост. Тие исто така можат да се користат во оваа форма. Ова често се користи кога се поедноставуваат или трансформираат изрази.

Доказот за горенаведените својства на коренот се заснова на дефиницијата, својствата на степенот и дефиницијата на модулот на бројот. Овие својства мора да се докажат. Но, се е во ред.

  1. Најпрво, да ги докажеме својствата на n-тиот корен на производот a · b n = a n · b n . За аИ б , којсе позитивен или еднаков на нула , вредноста a n · b n е исто така позитивна или еднаква на нула, бидејќи е последица на множење на ненегативни броеви. Својството на производот на природната моќ ни овозможува да ја запишеме еднаквоста a n · b n n = a n n · b n n . По дефиниција за корен n-ти степен a n n = a и b n n = b , затоа, a n · b n n = a · b . Добиената еднаквост е токму она што треба да се докаже.

Ова својство може да се докаже слично за производот кмножители: за ненегативни броеви a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Еве примери за користење на својството root n-та моќност од производот: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 и 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

  1. Да го докажеме својството на коренот на количникот a b n = a n b n . На a ≥ 0И б > 0условот a n b n ≥ 0 е задоволен и a n b n n = a n n b n n = a b .

Ајде да покажеме примери:

Пример 4

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

  1. За следниот чекор потребно е да се докажат својствата на n-тиот степен од број до степен n. Да го замислиме ова како еднаквост a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a за која било реална аи природни м. На a ≥ 0добиваме a = a и a 2 m = a 2 m, што ја докажува еднаквоста a 2 m 2 m = a, а еднаквоста a 2 m - 1 2 m - 1 = a е очигледна. На а< 0 добиваме, соодветно, a = - a и a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Последната трансформација на број важи според својството моќност. Тоа е токму она што ја докажува еднаквоста a 2 m 2 m = a, и a 2 m - 1 2 m - 1 = a ќе биде точно, бидејќи се смета непарниот степен - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 за кој било број в ,позитивен или еднаков на нула.

Со цел да се консолидираат добиените информации, да разгледаме неколку примери со користење на имотот:

Пример 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 и (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

  1. Да ја докажеме следната еднаквост a m n = a n m . За да го направите ова, треба да ги замените броевите пред и по знакот за еднаквост a n · m = a m n . Ова ќе значи дека записот е точен. За а,што е позитивно или еднаква на нула , од формата a m n е број позитивен или еднаков на нула. Да се ​​свртиме кон својството на подигање на моќ до моќ и нејзината дефиниција. Со нивна помош, можете да ги трансформирате еднаквостите во форма a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Ова ја докажува сопственоста на коренот на коренот што се разгледува.

Слично се докажани и други својства. Навистина,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a.

На пример, 7 3 5 = 7 5 3 и 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

  1. Да го докажеме следното својство a m n · m = a n . За да го направите ова, потребно е да се покаже дека a n е број, позитивен или еднаков на нула. Кога ќе се подигне до моќноста n m е еднаква на м. Доколку бројот ае позитивен или еднаков на нула, тогаш n-ти степен од меѓу ае позитивен број или еднаков на нула Во овој случај, a n · m n = a n n m , што е она што треба да се докаже.

Со цел да се консолидираат стекнатите знаења, да погледнеме неколку примери.

  1. Да го докажеме следното својство – својство на корен на моќ од формата a m n = a n m . Очигледно е дека кога a ≥ 0степенот a n m е ненегативен број. Згора на тоа, неа nта моќ е еднаква на м, навистина, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ова ја докажува сопственоста на степенот што се разгледува.

На пример, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

  1. Тоа е неопходно да се докаже за сите позитивни бројки аи б условот е задоволен а< b . Размислете за неравенството a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b . Затоа, н< b n при а< b .

На пример, да дадеме 12 4< 15 2 3 4 .

  1. Размислете за својството на коренот n-ти степен. Потребно е прво да се разгледа првиот дел од нееднаквоста. На m > nИ 0 < a < 1 точно a m > a n . Да претпоставиме дека a m ≤ a n. Својствата ќе ви овозможат да го поедноставите изразот на a n m · n ≤ a m m · n . Тогаш, според својствата на степен со природен експонент, важи неравенството a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, т.е. a n ≤ a m. Добиената вредност на m > nИ 0 < a < 1 не одговара на својствата дадени погоре.

На ист начин може да се докаже дека кога m > nИ а > 1условот a m е вистина< a n .

Со цел да се консолидираат горенаведените својства, да разгледаме неколку конкретни примери. Да ги погледнеме неравенките користејќи специфични броеви.

Пример 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Факт 1.
\(\bullet\) Ајде да земеме малку не негативен број\(a\) (односно, \(a\geqslant 0\) ). Потоа (аритметички) квадратен коренод бројот \(a\) се нарекува таков ненегативен број \(b\) , кога на квадрат го добиваме бројот \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(исто како )\quad a=b^2\]Од дефиницијата произлегува дека \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Овие ограничувања се важен условпостоењето на квадратен корен и тие треба да се паметат!
Потсетиме дека секој број кога е на квадрат дава ненегативен резултат. Тоа е, \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) На што е еднакво \(\sqrt(25)\)? Знаеме дека \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Бидејќи по дефиниција мора да најдеме ненегативен број, тогаш \(-5\) не е соодветен, затоа, \(\sqrt(25)=5\) (бидејќи \(25=5^2\) ).
Наоѓањето на вредноста на \(\sqrt a\) се нарекува земање на квадратниот корен од бројот \(a\) , а бројот \(a\) се нарекува радикален израз.
\(\bullet\) Врз основа на дефиницијата, изразот \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), итн. нема смисла.

Факт 2.
За брзи пресметки ќе биде корисно да се научи табелата со квадрати природни броевиод \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end (низа)\]

Факт 3.
Какви операции можете да направите со квадратни корени?
\(\bullet\) Збирот или разликата на квадратните корени НЕ Е ЕДНАКВИ на квадратниот корен од збирот или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Така, ако треба да пресметате, на пример, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогаш првично мора да ги најдете вредностите на \(\sqrt(25)\) и \(\ sqrt(49)\ ) и потоа преклопете ги. Оттука, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако вредностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не можат да се најдат при додавање \(\sqrt a+\sqrt b\), тогаш таквиот израз не се трансформира понатаму и останува како што е. На пример, во збирот \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можеме да најдеме дека \(\sqrt(49)\) е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да се трансформира во како и да е, затоа \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). За жал, овој израз не може дополнително да се поедностави\(\bullet\) Производот/количникот на квадратните корени е еднаков на квадратниот корен на производот/количникот, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (под услов двете страни на еднаквостите да имаат смисла)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Користејќи ги овие својства, погодно е да се најдат квадратните корени на големи бројкисо нивно факторингирање.
Ајде да погледнеме на пример. Ајде да најдеме \(\sqrt(44100)\) . Бидејќи \(44100:100=441\) , тогаш \(44100=100\cdot 441\) . Според критериумот на деливост, бројот \(441\) се дели со \(9\) (бидејќи збирот на неговите цифри е 9 и се дели со 9), според тоа, \(441:9=49\), односно \(441=9\ cdot 49\) .
Така добивме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Ајде да погледнеме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Да покажеме како се внесуваат броеви под знакот на квадратен корен користејќи го примерот на изразот \(5\sqrt2\) (кратка нотација за изразот \(5\cdot \sqrt2\)). Бидејќи \(5=\sqrt(25)\) , тогаш \ Забележете исто така дека, на пример,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Зошто е тоа? Ајде да објасниме користејќи го примерот 1). Како што веќе разбравте, не можеме некако да го трансформираме бројот \(\sqrt2\). Да замислиме дека \(\sqrt2\) е некој број \(a\) . Според тоа, изразот \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е ништо повеќе од \(a+3a\) (еден број \(a\) плус уште три исти броеви \(a\)). И знаеме дека ова е еднакво на четири такви броеви \(a\) , односно \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Често велат „не можеш да го извлечеш коренот“ кога не можеш да се ослободиш од знакот \(\sqrt () \\) на коренот (радикал) кога ја пронаоѓаш вредноста на бројот . На пример, можете да го земете коренот на бројот \(16\) бидејќи \(16=4^2\) , затоа \(\sqrt(16)=4\) . Но, невозможно е да се извлече коренот на бројот \(3\), односно да се најде \(\sqrt3\), бидејќи не постои број што на квадрат ќе даде \(3\) .
Таквите броеви (или изразите со такви броеви) се ирационални. На пример, бројки \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така натаму. се ирационални.
Исто така ирационални се броевите \(\pi\) (бројот „pi“, приближно еднаков на \(3,14\)), \(e\) (овој број се нарекува Ојлеровиот број, приближно е еднаков на \(2,7 \)) итн.
\(\bullet\) Ве молиме имајте предвид дека секој број ќе биде или рационален или ирационален. И заедно сите се рационални и се ирационални броевиформираат множество наречено збир на реални броеви.Ова множество се означува со буквата \(\mathbb(R)\) .
Ова значи дека сите броеви кои се вклучени овој моментзнаеме дека се нарекуваат реални броеви.

Факт 5.
\(\bullet\) Модулот на реален број \(a\) е ненегативен број \(|a|\) , еднакво на растојаниеод точката \(a\) до \(0\) на вистинската линија. На пример, \(|3|\) и \(|-3|\) се еднакви на 3, бидејќи растојанијата од точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) се исто и еднакво на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е ненегативен број, тогаш \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е негативен број, тогаш \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Тие велат дека за негативните броеви модулот го „јаде“ минусот, додека позитивните броеви, како и бројот \(0\), се оставаат непроменети со модулот.
НООва правило важи само за бројки. Ако под вашиот знак за модул има непозната \(x\) (или некоја друга непозната), на пример, \(|x|\) , за која не знаеме дали е позитивен, нула или негативен, тогаш ослободете се од модулот не можеме. Во овој случај, овој израз останува ист: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( обезбедено ) a\geqslant 0\]Многу често се прави следнава грешка: велат дека \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) се едно исто. Ова е точно само ако \(a\) - позитивен бројили нула. Но, ако \(a\) е негативен број, тогаш ова е неточно. Доволно е да се разгледа овој пример. Да го земеме наместо \(a\) бројот \(-1\) . Тогаш \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразот \((\sqrt (-1))^2\) воопшто не постои (на крајот на краиштата, невозможно е да се користи коренскиот знак стави негативни броеви!).
Затоа, го обрнуваме вашето внимание на фактот дека \(\sqrt(a^2)\) не е еднакво на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\лево(-\sqrt2\десно)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), бидејќи \(-\sqrt2<0\) ;

\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Бидејќи \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогаш \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразот \(2n\) означува парен број)
Односно, кога се зема коренот на број кој е до одреден степен, овој степен се преполовува.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (забележете дека ако модулот не е испорачан, излегува дека коренот на бројот е еднаков на \(-25\ ) ) но се сеќаваме дека по дефиниција за корен тоа не може да се случи: при извлекување корен, секогаш треба да добиеме позитивен број или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (бидејќи кој било број до парна моќност е ненегативен)

Факт 6.
Како да се споредат два квадратни корени?
\(\bullet\) За квадратни корени е точно: ако \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) споредете ги \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Прво, да го трансформираме вториот израз во \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, бидејќи \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Помеѓу кои цели броеви се наоѓа \(\sqrt(50)\)?
Бидејќи \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Да ги споредиме \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да претпоставиме дека \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\почеток(порамнет) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додадете еден на двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((со квадрат од двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (порамнет)\]Гледаме дека добивме неточна неравенка. Затоа, нашата претпоставка беше неточна и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Забележете дека додавањето одреден број на двете страни на неравенката не влијае на неговиот знак. Множењето/делењето на двете страни на неравенката со позитивен број исто така не влијае на неговиот знак, но множењето/делењето со негативен број го менува знакот на неравенството!
Можете да ги квадратите двете страни на равенката/неравенката САМО АКО двете страни се ненегативни. На пример, во неравенката од претходниот пример можете да ги квадратите двете страни, во неравенката \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Треба да се запомни дека \[\почеток(порамнет) &\sqrt 2\приближно 1,4\\ &\sqrt 3\приближно 1,7 \крај (порамнет)\]Познавањето на приближното значење на овие бројки ќе ви помогне кога ги споредувате броевите! \(\bullet\) За да го извлечете коренот (ако може да се извлече) од некој голем број што го нема во табелата со квадрати, прво треба да одредите помеѓу кои „стотки“ се наоѓа, потоа - помеѓу кои „ десетици“, а потоа одреди ја последната цифра од овој број. Ајде да покажеме како функционира ова со пример.
Да земеме \(\sqrt(28224)\) . Знаеме дека \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), итн. Забележете дека \(28224\) е помеѓу \(10\,000\) и \(40\,000\) . Затоа, \(\sqrt(28224)\) е помеѓу \(100\) и \(200\) .
Сега да одредиме помеѓу кои „десетки“ се наоѓа нашиот број (тоа е, на пример, помеѓу \(120\) и \(130\)). Исто така од табелата со квадрати знаеме дека \(11^2=121\) , \(12^2=144\) итн., потоа \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Значи, гледаме дека \(28224\) е помеѓу \(160^2\) и \(170^2\) . Затоа, бројот \(\sqrt(28224)\) е помеѓу \(160\) и \(170\) .
Ајде да се обидеме да ја одредиме последната цифра. Да се ​​потсетиме кои едноцифрени броеви, кога се квадрат, даваат \(4\) на крајот? Тоа се \(2^2\) и \(8^2\) . Затоа, \(\sqrt(28224)\) ќе заврши или на 2 или на 8. Ајде да го провериме ова. Ајде да ги најдеме \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cточка 162=26224\)
\(168^2=168\cточка 168=28224\) .
Затоа, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

За адекватно да го решите обединетиот државен испит по математика, најпрво треба да проучите теоретски материјал кој ве запознава со бројни теореми, формули, алгоритми итн. На прв поглед може да изгледа дека ова е прилично едноставно. Меѓутоа, наоѓањето извор во кој теоријата за обединет државен испит по математика е претставена на лесен и разбирлив начин за учениците со кое било ниво на обука е всушност прилично тешка задача. Училишните учебници не можат секогаш да се чуваат при рака. И наоѓањето основни формули за обединет државен испит по математика може да биде тешко дури и на Интернет.

Зошто е толку важно да се изучува теоријата по математика не само за оние што полагаат обединет државен испит?

  1. Затоа што ви ги проширува хоризонтите. Проучувањето на теоретскиот материјал по математика е корисно за секој кој сака да добие одговори на широк спектар на прашања поврзани со познавање на светот околу нив. Сè во природата е подредено и има јасна логика. Токму тоа се рефлектира во науката, преку која е можно да се разбере светот.
  2. Затоа што развива интелигенција. Со проучување на референтни материјали за обединетиот државен испит по математика, како и решавање на разни проблеми, човекот учи да размислува и да размислува логично, да формулира мисли компетентно и јасно. Тој развива способност за анализа, генерализирање и извлекување заклучоци.

Ве покануваме лично да ги оцените сите предности на нашиот пристап кон систематизација и презентација на едукативни материјали.

Површината на квадратна парцела е 81 dm². Најдете ја неговата страна. Да претпоставиме дека должината на страната на квадратот е Xдециметри. Тогаш површината на парцелата е X² квадратни дециметри. Бидејќи, според условот, оваа површина е еднаква на 81 dm², тогаш X² = 81. Должината на страната на квадратот е позитивен број. Позитивен број чиј квадрат е 81 е бројот 9. При решавањето на задачата беше потребно да се најде бројот x чиј квадрат е 81, односно да се реши равенката X² = 81. Оваа равенка има два корени: x 1 = 9 и x 2 = - 9, бидејќи 9² = 81 и (- 9)² = 81. Двата броја 9 и - 9 се нарекуваат квадратни корени од 81.

Имајте на ум дека еден од квадратните корени X= 9 е позитивен број. Се нарекува аритметички квадратен корен од 81 и се означува √81, значи √81 = 9.

Аритметички квадратен корен на број Ае ненегативен број чиј квадрат е еднаков на А.

На пример, броевите 6 и - 6 се квадратни корени на бројот 36. Меѓутоа, бројот 6 е ​​аритметички квадратен корен од 36, бидејќи 6 е ненегативен број и 6² = 36. Бројот - 6 не е аритметички корен.

Аритметички квадратен корен на број Асе означува на следниов начин: √ А.

Знакот се нарекува знак за аритметички квадратен корен; А- наречен радикален израз. Израз √ Апрочитајте вака: аритметички квадратен корен од број А.На пример, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Во случаите кога е јасно дека станува збор за аритметички корен, тие накратко велат: „квадратниот корен на А«.

Чинот на наоѓање на квадратен корен на број се нарекува квадратен корен. Оваа акција е обратна од квадратурата.

Можете да квадратите кој било број, но не можете да извлечете квадратни корени од кој било број. На пример, невозможно е да се извлече квадратниот корен од бројот - 4. Ако постоел таков корен, тогаш, означувајќи го со буквата X, ќе ја добиеме неточната еднаквост x² = - 4, бидејќи лево има ненегативен број, а десно негативен број.

Израз √ Аима смисла само кога a ≥ 0. Дефиницијата за квадратен корен може накратко да се напише на следниов начин: √ a ≥ 0, (√А)² = А. Еднаквост (√ А)² = Аважи за a ≥ 0. Така, за да се осигура дека квадратниот корен на ненегативен број Аеднакви б, односно во фактот дека √ А =б, треба да проверите дали се исполнети следниве два услови: b ≥ 0, б² = А.

Квадратен корен од дропка

Ајде да пресметаме. Забележете дека √25 = 5, √36 = 6, и да провериме дали важи еднаквоста.

Бидејќи и , тогаш еднаквоста е вистина. Значи, .

Теорема:Ако А≥ 0 и б> 0, односно коренот на дропката е еднаков на коренот на броителот поделен со коренот на именителот. Се бара да се докаже дека: и .

Од √ А≥0 и √ б> 0, тогаш.

За својството на подигање на дропка до моќ и дефиниција за квадратен корен теоремата е докажана. Ајде да погледнеме неколку примери.

Пресметајте користејќи ја докажаната теорема .

Втор пример: докажете го тоа , Ако А ≤ 0, б < 0. .

Друг пример: Пресметај .

.

Конверзија на квадратен корен

Отстранување на мултипликаторот од под знакот на коренот. Нека биде даден изразот. Ако А≥ 0 и б≥ 0, тогаш користејќи ја теоремата за коренот на производот можеме да напишеме:

Оваа трансформација се нарекува отстранување на факторот од коренскиот знак. Ајде да погледнеме пример;

Пресметајте на X= 2. Директна замена X= 2 во радикалниот израз води до сложени пресметки. Овие пресметки може да се поедностават ако прво ги отстраните факторите под знакот на коренот: . Сега заменувајќи x = 2, добиваме:.

Значи, при отстранување на факторот од под знакот на коренот, радикалниот израз е претставен во форма на производ во кој еден или повеќе фактори се квадрати со ненегативни броеви. Потоа применете ја теоремата за коренот на производот и земете го коренот на секој фактор. Да разгледаме пример: Поедноставете го изразот A = √8 + √18 - 4√2 со вадење на факторите во првите два члена од под коренскиот знак, добиваме:. Ја нагласуваме таа еднаквост важи само кога А≥ 0 и б≥ 0. ако А < 0, то .