дома > Дизајн > Растојание помеѓу точките a и b. Растојание од точка до точка, формули, примери, решенија


Растојание помеѓу точките a и b. Растојание од точка до точка, формули, примери, решенија




Растојанието помеѓу две точки на рамнина.
Координатни системи

Секоја точка А на рамнината се карактеризира со нејзините координати (x, y). Тие се совпаѓаат со координатите на векторот 0А што излегува од точката 0 - потеклото на координатите.

Нека A и B се произволни точки на рамнината со координати (x 1 y 1) и (x 2, y 2), соодветно.

Тогаш векторот AB очигледно има координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Познато е дека квадратот на должината на векторот е еднаков на збирот на квадратите на неговите координати. Според тоа, растојанието d помеѓу точките A и B, или, што е исто, должината на векторот AB, се одредува од условот

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Резултирачката формула ви овозможува да го пронајдете растојанието помеѓу било кои две точки на рамнината, ако се познати само координатите на овие точки

Секогаш кога зборуваме за координатите на одредена точка на рамнината, мислиме на добро дефиниран координатен систем x0y. Општо земено, координатниот систем на рамнина може да се избере на различни начини. Значи, наместо x0y координатен систем, можете да го земете предвид координатниот систем x“0y, кој се добива со ротирање на старите координатни оски околу почетната точка 0 спротивно од стрелките на часовникотстрелките на аголот α .

Ако некоја точка од рамнината во x0y координатен систем имала координати (x, y), тогаш во нов системкоординати x"0y" ќе има различни координати (x", y").

Како пример, земете ја точката М, која се наоѓа на оската 0x и е одвоена од точката 0 на растојание од 1.

Очигледно, во координатниот систем x0y оваа точка има координати (cos α ,грев α ), а во координатен систем x"0y" координатите се (1,0).

Координатите на кои било две точки на рамнината А и Б зависат од тоа како координатниот систем е наведен во оваа рамнина. Но, растојанието помеѓу овие точки не зависи од методот на одредување на координатниот систем. Оваа важна околност значително ќе ја искористиме во следниот пасус.

Вежби

I. Најдете ги растојанијата помеѓу точките на рамнината со координати:

1) (3.5) и (3.4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);

2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0, 7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).

II. Најдете го периметарот на триаголник чии страни се дадени со равенките:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 и y = 1.

III. Во координатен систем x0y, точките M и N имаат координати (1, 0) и (0,1), соодветно. Најдете ги координатите на овие точки во новиот координатен систем, кој се добива со ротирање на старите оски околу почетната точка за агол од 30° спротивно од стрелките на часовникот.

IV. Во x0y координатен систем, точките M и N имаат координати (2, 0) и (\ / 3/2, - 1/2) соодветно. Најдете ги координатите на овие точки во новиот координатен систем, кој се добива со ротирање на старите оски околу почетната точка за агол од 30° во насока на стрелките на часовникот.

Со помош на координати, одреди ја локацијата на објектот на глобус. Координатите се означени со географска ширина и должина. Широчините се мерат од линијата на екваторот од двете страни. На северната хемисфера географските широчини се позитивни, на јужната хемисфера се негативни. Географската должина се мери од главниот меридијан или исток или запад, соодветно, се добива или источна или западна географска должина.

Според општо прифатената позиција, како главен меридијан се зема оној што минува низ старата опсерваторија Гринич во Гринич. Географските координати на локацијата може да се добијат со помош на GPS навигатор. Овој уред прима сигнали од системот за позиционирање на сателитот во координатниот систем WGS-84, униформни за целиот свет.

Моделите на навигатори се разликуваат по производителот, функционалноста и интерфејсот. Во моментов, вградените GPS навигатори се исто така достапни во некои модели Мобилни телефони. Но, секој модел може да ги сними и зачува координатите на точка.

Растојание помеѓу GPS координати

За решавање на практични и теоретски проблемиво некои индустрии потребно е да може да се определат растојанијата помеѓу точките по нивните координати. Постојат неколку начини на кои можете да го направите ова. Канонската форма на претставување географски координати: степени, минути, секунди.

На пример, можете да го одредите растојанието помеѓу следните координати: точка бр. 1 - географска ширина 55°45′07″ N, должина 37°36′56″ E; точка бр. 2 - географска ширина 58°00′02″ N, географска должина 102°39′42″ E.

Најлесен начин е да користите калкулатор за да ја пресметате должината помеѓу две точки. Во пребарувачот на прелистувачот, мора да ги поставите следните параметри за пребарување: онлајн - за да го пресметате растојанието помеѓу две координати. Во онлајн калкулаторот, вредностите на географската ширина и должина се внесуваат во полињата за барање за првата и втората координата. При пресметувањето, онлајн калкулаторот го даде резултатот - 3.800.619 m.

Следниот метод е повеќе трудоинтензивен, но и повеќе визуелен. Мора да користите која било достапна програма за мапирање или навигација. Програмите во кои можете да креирате точки користејќи координати и да ги измерите растојанијата меѓу нив ги вклучуваат следните апликации: BaseCamp (современ аналог на програмата MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Сите горенаведени програми се достапни за секој мрежен корисник. На пример, за да го пресметате растојанието помеѓу две координати во Google Earth, треба да креирате две етикети што ги означуваат координатите на првата точка и втората точка. Потоа, користејќи ја алатката „Владетел“, треба да ги поврзете првата и втората ознака со линија, програмата автоматски ќе го прикаже резултатот од мерењето и ќе ја покаже патеката на сателитската слика на Земјата.

Во случајот со примерот даден погоре, програмата Google Earth го врати резултатот - должината на растојанието помеѓу точката бр. 1 и точката бр. 2 е 3.817.353 m.

Зошто има грешка при одредување на растојанието

Сите пресметки на обемот помеѓу координатите се засноваат на пресметката на должината на лакот. Радиусот на Земјата е вклучен во пресметувањето на должината на лакот. Но, бидејќи обликот на Земјата е блиску до образен елипсоид, радиусот на Земјата варира во одредени точки. За да се пресмета растојанието помеѓу координатите се зема просечната вредност на Земјиниот радиус што дава грешка во мерењето. Колку е поголемо растојанието што се мери, толку е поголема грешката.

Пресметувањето на растојанијата помеѓу точките врз основа на нивните координати на рамнината е елементарно на површината на Земјата, тоа е малку покомплицирано: ќе го разгледаме мерењето на растојанието и почетниот азимут помеѓу точките без проекциски трансформации. Прво, да ја разбереме терминологијата.

Вовед

Голема должина на кружниот лак– најкраткото растојание помеѓу кои било две точки лоцирани на површината на сферата, мерено по линијата што ги поврзува овие две точки (таквата линија се нарекува ортодромија) и поминува по површината на сферата или друга површина на вртење. Сферичната геометрија е различна од нормалната Евклидова геометрија и равенките на растојанието исто така имаат поинаква форма. Во Евклидовата геометрија, најкраткото растојание помеѓу две точки е права линија. На сфера нема прави линии. Овие линии на сферата се дел од големи кругови - кругови чии центри се совпаѓаат со центарот на сферата. Почетен азимут- азимут, земајќи го кој кога почнува да се движи од точката А, следејќи ја големата кружница за најкратко растојание до точката B, крајната точка ќе биде точка B. Кога се движите од точката A до точката B по линијата на големата кружница, азимутот од моменталната позиција до крајната точка Б е константна се менува. Почетниот азимут е различен од константниот, по кој азимутот од моменталната до крајната точка не се менува, но патеката што се следи не е најкраткото растојание помеѓу две точки.

Преку кои било две точки на површината на сферата, ако тие не се директно спротивни една на друга (односно, не се антиподи), може да се повлече единствен голем круг. Две точки делат голем круг на два лака. Должината на краткиот лак е најкраткото растојание помеѓу две точки. Може да се нацртаат бесконечен број големи кругови помеѓу две антиподни точки, но растојанието меѓу нив ќе биде исто на која било кружница и еднакво на половина од обемот на кругот, или π*R, каде што R е радиусот на сферата.

На рамнина (во правоаголен координатен систем), големите кругови и нивните фрагменти, како што е споменато погоре, претставуваат лаци во сите проекции освен гномонската, каде што големите кругови се прави линии. Во пракса, тоа значи дека авионите и другиот воздушен транспорт секогаш ја користат рутата на минималното растојание помеѓу точките за да заштедат гориво, односно летот се изведува на голема кружна оддалеченост, во авион изгледа како лак.

Обликот на Земјата може да се опише како сфера, така што равенките за растојание од големи кругови се важни за пресметување на најкраткото растојание помеѓу точките на површината на Земјата и често се користат во навигацијата. Пресметувањето на растојанието со овој метод е поефикасно и во многу случаи попрецизно од неговото пресметување за проектирани координати (во правоаголни координатни системи), бидејќи, прво, не бара превод географски координативо правоаголен координатен систем (врши трансформации на проекцијата) и, второ, многу проекции, доколку се неправилно избрани, може да доведат до значителни нарушувања на должината поради карактеристиките на проекционите изобличувања. Познато е дека тоа не е сфера, туку елипсоид кој попрецизно ја опишува формата на Земјата, меѓутоа, овој напис го разгледува пресметувањето на растојанија конкретно на сфера, се користи сфера со радиус од 6.372.795 метри , што може да доведе до грешка во пресметувањето на растојанија од редот од 0,5%.

Формули

Постојат три начини да се пресмета сферното растојание на големиот круг. 1. Теорема на сферични косинусовиВо случај на мали растојанија и мала длабочина на пресметка (број на децимални места), употребата на формулата може да доведе до значителни грешки во заокружувањето. φ1, λ1; φ2, λ2 - географска ширина и должина на две точки во радијани Δλ - разлика во координатите во должина Δδ - аголна разлика Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) За да го претворите аголното растојание во метрички, треба да помножете ја аголната разлика со радиусот Земја (6372795 метри), единиците на крајното растојание ќе бидат еднакви на единиците во кои е изразен радиусот (во во овој случај- метри). 2. Формула HaversineСе користи за да се избегнат проблеми со кратки растојанија. 3. Модификација за антиподитеПретходната формула е исто така предмет на проблемот на антиподални точки за да се реши, се користи следнава модификација;

Мојата имплементација на PHP

// Дефиниција на радиусот на земјата ("ЗЕМЈА_РАДИУС", 6372795); /* * Растојание помеѓу две точки * $φA, $λA - географска ширина, должина на 1-та точка, * $φB, $λB - географска ширина, должина на 2-та точка * Напишано врз основа на http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Михаил Кобзарев * */ функција пресметуваРастојание ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // конвертира координати во радијани $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180 $ λA * M_PI / 180 $ λB * M_PI / 180 косинуси и широчини $cl1 = cos($sl1); $lat1 = sin($lat2 = cos($delta) должина $y = sqrt($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2); sl1 * $cl2 * $cdelta, 2) $cl2 * $cdelta ($y, $x) Пример за a повик на функција: $lat1 = 77,1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; ехо пресметуваРастојание ($lat1, $long1, $lat2, $long2) . „метри“; // Врати се „17166029 метри“

ТЕОРЕТСКИ ПРАШАЊА

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА НА РАМНИНАТА

1. Метод на координација: бројна линија, координати на права; правоаголен (декартов) координатен систем на рамнина; поларни координати.

Ајде да разгледаме некоја права линија. Ајде да избереме насока на неа (тогаш ќе стане оска) и некоја точка 0 (почеток на координатите). Права линија со избрана насока и потекло се нарекува координатна линија(претпоставуваме дека е избрана единицата на скалата).

Нека М– произволна точка на координатната линија. Да го ставиме во согласност со поентата Мреален број x, еднаква на вредноста ОМсегмент: x=OM.Број xнаречена координата на точката М.

Така, секоја точка на координатната линија одговара на одреден реален број - неговата координата. И обратното е точно: секој реален број x одговара на одредена точка на координатната права, имено таква точка М, чија координата е x. Оваа кореспонденција се нарекува еден-на-еден.

Значи, реалните броеви може да се претстават со точки на координатна права, т.е. Координатната линија служи како слика на множеството од сите реални броеви. Затоа се повикува множеството од сите реални броеви бројна линија, и кој било број е точка на оваа права. Во близина на точка на бројна права, често се означува број - неговата координата.

Правоаголен (или Декартов) координатен систем на рамнина.

Две меѓусебно нормални оски Околу xИ За yкои имаат заедничко потекло ЗАи истата единица на скала, форма правоаголен (или Декартов) координатен систем на рамнина.

Оска Онаречена оска на апсциса, оска OY– ординатна оска. Точка ЗАпресекот на оските се нарекува потекло. Рамнината во која се наоѓаат оските ОИ OY, се нарекува координатна рамнина и се означува За xy.

Значи, правоаголен координатен систем на рамнина воспоставува кореспонденција еден-на-еден помеѓу множеството од сите точки на рамнината и множеството парови броеви, што овозможува да се примени алгебарски методи. Координатните оски ја делат рамнината на 4 дела, тие се нарекуваат во четвртини, квадратили координатни агли.

Поларни координати.

Поларниот координатен систем се состои од одредена точка ЗА, повикан столб, и зракот што произлегува од него ОЕ, повикан поларна оска.Дополнително, поставена е единицата на скалата за мерење на должините на сегментите. Нека е даден поларен координатен систем и нека М– произволна точка на авионот. Да означиме со Р– точка растојание Мод точка ЗА, и преку φ – аголот со кој зракот се ротира спротивно од стрелките на часовникот за да се усогласи поларната оска со зракот ОМ.

Поларни координатипоени Мтелефонски броеви РИ φ . Број Рја разгледа првата координата и повика поларен радиус, број φ – се вика втората координата поларен агол.

Точка Мсо поларни координати РИ φ се означени како што следува: M(;φ).Да воспоставиме врска помеѓу поларните координати на точката и нејзините правоаголни координати.
Во овој случај, ќе претпоставиме дека потеклото на правоаголниот координатен систем е на полот, а позитивната полуабсциса оска се совпаѓа со поларната оска.

Нека точката М има правоаголни координати XИ Yи поларните координати РИ φ .

(1)

Доказ.

Пад од точки М 1И М 2перпендикулари М 1 ВИ М 1 А,. бидејќи (x 2 ; y 2). По теорема, ако M 1 (x 1)И М 2 (x 2)се кои било две точки и α е растојанието меѓу нив, тогаш α = | x 2 - x 1 | .

Во оваа статија ќе ги разгледаме начините за одредување на растојанието од точка до точка теоретски и користејќи го примерот на конкретни задачи. За почеток, да воведеме неколку дефиниции.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Дефиниција 1

Растојание помеѓу точките– ова е должината на сегментот што ги поврзува, на постоечката скала. Потребно е да се постави скала за да има единица должина за мерење. Затоа, во основа проблемот со наоѓање на растојанието помеѓу точките се решава со користење на нивните координати на координатна линија, во координатна рамнина или тродимензионален простор.

Почетен податок: координатна права О x и произволна точка А што лежи на неа Секоја точка на правата има еден реален број: нека биде одреден број за точката А x A,тоа е и координата на точката А.

Генерално, можеме да кажеме дека должината на одреден сегмент се оценува во споредба со отсечка земена како единица должина на дадена скала.

Ако точката А одговара на цел број реален број, со последователно одложување од точката O до точка по права линија O A отсечки - единици за должина, можеме да ја одредиме должината на отсечката O A од вкупниот број на издвоени единечни отсечки.

На пример, точката А одговара на бројот 3 - за да стигнете до неа од точката О, ќе треба да отпуштите три единечни сегменти. Ако точката А има координата - 4, единечните отсечки се поставени на сличен начин, но во различна, негативна насока. Така, во првиот случај, растојанието O A е еднакво на 3; во вториот случај O A = 4.

Ако точката А има за координата рационален број, потоа од потеклото (точка О) издвојуваме цел број единечни отсечки, а потоа неговиот неопходен дел. Но, геометриски не е секогаш можно да се направи мерење. На пример, се чини дека е тешко да се нацрта дропката 4 111 на координатната линија.

Користејќи го горенаведениот метод, ставете го на права линија ирационален броји сосема невозможно. На пример, кога координатата на точката А е 11. Во овој случај, можно е да се свртиме кон апстракција: ако дадената координата на точката А е поголема од нула, тогаш O A = x A (бројот се зема како растојание); ако координатата помалку од нула, тогаш O A = - x A. Општо земено, овие изјави се вистинити за секој реален број x A.

Да резимираме: растојанието од потеклото до точката што одговара на реален број на координатната линија е еднакво на:

  • 0 ако точката се совпаѓа со потеклото;
  • x A, ако x A > 0;
  • - x A ако x A< 0 .

Во овој случај, очигледно е дека должината на самата отсечка не може да биде негативна, затоа, користејќи го знакот за модул, растојанието од точката О до точката А го запишуваме со координатата xA: O A = x A

Следната изјава ќе биде точна: растојанието од една до друга точка ќе биде еднакво на модулот на координатната разлика.Оние. за точките A и B кои лежат на иста координатна права за која било локација и имаат соодветни координати xAИ x B: A B = x B - x A.

Почетни податоци: точките A и B лежат на рамнина во правоаголен координатен систем O x y со дадени координати: A (x A, y A) и B (x B, y B).

Да нацртаме нормални низ точките A и B до координатните оски O x и O y и како резултат да ги добиеме проекционите точки: A x, A y, B x, B y. Врз основа на локацијата на точките А и Б, тогаш се можни следните опции:

Ако точките А и Б се совпаѓаат, тогаш растојанието меѓу нив е нула;

Ако точките A и B лежат на права линија нормална на оската O x (оска на апсциса), тогаш точките се совпаѓаат и | A B | = | A y B y | . Бидејќи растојанието помеѓу точките е еднакво на модулот на разликата на нивните координати, тогаш A y B y = y B - y A, и, според тоа, A B = A y B y = y B - y A.

Ако точките A и B лежат на права линија нормална на оската O y (ординатна оска) - по аналогија со претходниот став: A B = A x B x = x B - x A

Ако точките А и Б не лежат на права линија нормална на една од координатните оски, ќе го најдеме растојанието меѓу нив со изведување на формулата за пресметка:

Гледаме дека триаголникот A B C е правоаголен по конструкција. Во овој случај, A C = A x B x и B C = A y B y. Користејќи ја Питагоровата теорема, ја создаваме еднаквоста: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а потоа ја трансформираме: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Ајде да извлечеме заклучок од добиениот резултат: растојанието од точката А до точката Б на рамнината се одредува со пресметка користејќи ја формулата користејќи ги координатите на овие точки

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Резултирачката формула ги потврдува и претходно формираните изјави за случаи на совпаѓање на точки или ситуации кога точките лежат на прави линии нормално на оските. Значи, ако точките A и B се совпаднат, ќе биде точно следната еднаквост: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

За ситуација кога точките A и B лежат на права линија нормална на оската x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

За случај кога точките A и B лежат на права линија нормална на оската на ординатите:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Почетен податок: правоаголен координатен систем O x y z со произволни точки што лежат на него со дадени координати A (x A, y A, z A) и B (x B, y B, z B). Неопходно е да се одреди растојанието помеѓу овие точки.

Да го разгледаме општиот случај кога точките A и B не лежат во рамнина паралелна на една од координатните рамнини. Да нацртаме рамнини нормални на координатните оски низ точките A и B и да ги добиеме соодветните проекциони точки: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Растојанието помеѓу точките А и Б е дијагоналата на добиениот паралелепипед. Според конструкцијата на мерењата на овој паралелепипед: A x B x , A y B y и A z B z

Од курсот по геометрија знаеме дека квадратот на дијагоналата на паралелепипед е еднаков на збирот на квадратите на неговите димензии. Врз основа на ова тврдење, ја добиваме еднаквоста: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Користејќи ги заклучоците добиени претходно, го пишуваме следново:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Ајде да го трансформираме изразот:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Конечно формула за одредување на растојанието помеѓу точките во просторотќе изгледа вака:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Добиената формула важи и за случаи кога:

Точките се совпаѓаат;

Тие лежат на една координатна оска или права линија паралелна на една од координатните оски.

Примери за решавање проблеми за наоѓање растојание помеѓу точките

Пример 1

Почетни податоци: дадена е координатна права и точки што лежат на неа со дадени координати A (1 - 2) и B (11 + 2). Неопходно е да се најде растојанието од почетната точка О до точката А и помеѓу точките А и Б.

Решение

  1. Растојанието од референтната точка до точката е еднакво на модулот на координатата на оваа точка, соодветно O A = 1 - 2 = 2 - 1
  2. Растојанието помеѓу точките A и B го дефинираме како модул на разликата помеѓу координатите на овие точки: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Одговор: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Пример 2

Почетни податоци: се дадени правоаголен координатен систем и две точки што лежат на него A (1, - 1) и B (λ + 1, 3). λ е некој реален број. Неопходно е да се најдат сите вредности на овој број на кои растојанието A B ќе биде еднакво на 5.

Решение

За да го пронајдете растојанието помеѓу точките A и B, мора да ја користите формулата A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Заменувајќи ги реалните координатни вредности, добиваме: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Го користиме и постоечкиот услов дека A B = 5 и тогаш еднаквоста ќе биде вистина:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Одговор: A B = 5 ако λ = ± 3.

Пример 3

Почетни податоци: тродимензионален простор е наведен во правоаголниот координатен систем O x y z и точките A (1, 2, 3) и B - 7, - 2, 4 што лежат во него.

Решение

За да го решиме проблемот, ја користиме формулата A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Заменувајќи ги реалните вредности, добиваме: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Одговор: | A B | = 9

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter