дома > Дизајн > Едноставни квадратни равенки. Решавање на квадратни равенки


Едноставни квадратни равенки. Решавање на квадратни равенки




Се надевам дека по проучувањето на оваа статија ќе научите како да ги пронајдете корените на целосна квадратна равенка.

Со помош на дискриминантата се решаваат само целосни квадратни равенки за решавање на нецелосни квадратни равенкикористете други методи кои ќе ги најдете во статијата „Решавање на нецелосни квадратни равенки“.

Кои квадратни равенки се нарекуваат целосни? Ова равенки од формата ax 2 + b x + c = 0, каде што коефициентите a, b и c не се еднакви на нула. Значи, за да решиме целосна квадратна равенка, треба да ја пресметаме дискриминантната D.

D = b 2 – 4ac.

Во зависност од вредноста на дискриминаторот, ќе го запишеме одговорот.

Ако дискриминаторот е негативен број (Д< 0),то корней нет.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш x = (-b)/2a. Кога дискриминаторот позитивен број(D > 0),

тогаш x 1 = (-b - √D)/2a, и x 2 = (-b + √D)/2a.

На пример. Решете ја равенката x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Одговор: 2.

Решете ја равенката 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Одговор: нема корени.

Решете ја равенката 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Одговор: – 3,5; 1.

Значи, да го замислиме решението на целосните квадратни равенки користејќи го дијаграмот на Слика 1.

Користејќи ги овие формули, можете да решите која било целосна квадратна равенка. Само треба да внимавате на равенката беше напишана како полином стандарден поглед

А x 2 + bx + c,во спротивно може да згрешите. На пример, при пишување на равенката x + 3 + 2x 2 = 0, може погрешно да одлучите дека

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогаш

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогаш равенката има два корени. И ова не е вистина. (Види решение на пример 2 погоре).

Според тоа, ако равенката не е напишана како полином на стандардната форма, прво мора да се запише целосната квадратна равенка како полином на стандардната форма (на прво место треба да дојде мономот со најголем експонент, т.е. А x 2 , потоа со помалку – bxа потоа и слободен член Со.

При решавање на намалената квадратна равенка и квадратна равенка со парен коефициент во вториот член, можете да користите други формули. Ајде да се запознаеме со овие формули. Ако во целосна квадратна равенка вториот член има парен коефициент (b = 2k), тогаш равенката може да ја решите користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 2.

Целосна квадратна равенка се нарекува намалена ако коефициентот на x 2 е еднаква на една и равенката ја зема формата x 2 + px + q = 0. Таква равенка може да се даде за решение, или може да се добие со делење на сите коефициенти на равенката со коефициентот А, стои во x 2 .

На слика 3 е прикажан дијаграм за решавање на намалениот квадрат
равенки. Ајде да погледнеме пример за примена на формулите дискутирани во овој напис.

Пример. Решете ја равенката

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ајде да ја решиме оваа равенка користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3

Може да забележите дека коефициентот x во оваа равенка е парен број, односно b = 6 или b = 2k, од каде k = 3. Потоа да се обидеме да ја решиме равенката користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на сликата D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3. Забележувајќи дека сите коефициенти во оваа квадратна равенка се деливи со 3 и извршувајќи го делењето, ја добиваме намалената квадратна равенка x 2 + 2x – 2 = 0 Решете ја оваа равенка користејќи ги формулите за намалениот квадрат
равенки слика 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3.

Како што гледаме, при решавање на оваа равенка со различни формулиго добивме истиот одговор. Затоа, откако темелно ги совладавте формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1, секогаш ќе можете да решите која било целосна квадратна равенка.

blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.

Формули за корените на квадратна равенка. Се разгледуваат случаите на реални, повеќекратни и сложени корени. Факторирање на квадратен трином. Геометриска интерпретација. Примери за одредување корени и факторинг.

Основни формули

Размислете за квадратната равенка:
(1) .
Корени на квадратна равенка(1) се одредуваат со формулите:
; .
Овие формули може да се комбинираат вака:
.
Кога се познати корените на квадратната равенка, тогаш полиномот од втор степен може да се претстави како производ на фактори (факторирани):
.

Следно, претпоставуваме дека се реални броеви.
Ајде да размислиме дискриминатор на квадратна равенка:
.
Ако дискриминантата е позитивна, тогаш квадратната равенка (1) има два различни реални корени:
; .
Тогаш факторизацијата на квадратниот трином има форма:
.
Ако дискриминаторот е еднаков на нула, тогаш квадратната равенка (1) има два повеќекратни (еднакви) реални корени:
.
Факторизација:
.
Ако дискриминантот е негативен, тогаш квадратната равенка (1) има два сложени конјугирани корени:
;
.
Еве ја имагинарната единица, ;
и се вистинските и имагинарните делови на корените:
; .
Потоа

.

Графичка интерпретација

Ако градите график на функција
,
што е парабола, тогаш точките на пресек на графикот со оската ќе бидат корените на равенката
.
Во , графикот ја сече оската x (оската) во две точки.
Кога , графикот ја допира оската x во една точка.
Кога , графикот не ја преминува оската x.

Подолу се дадени примери на такви графикони.

Корисни формули поврзани со квадратна равенка

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Изведување на формулата за корените на квадратна равенка

Вршиме трансформации и применуваме формули (f.1) и (f.3):




,
Каде
; .

Значи, ја добивме формулата за полином од втор степен во форма:
.
Ова покажува дека равенката

изведена во
И .
Тоа е, и се корените на квадратната равенка
.

Примери за одредување на корените на квадратна равенка

Пример 1


(1.1) .

Решение


.
Во споредба со нашата равенка (1.1), ги наоѓаме вредностите на коефициентите:
.
Го наоѓаме дискриминаторот:
.
Бидејќи дискриминаторката е позитивна, равенката има два реални корени:
;
;
.

Од тука ја добиваме факторизацијата на квадратниот трином:

.

График на функцијата y = 2 x 2 + 7 x + 3ја сече оската x на две точки.

Ајде да ја нацртаме функцијата
.
Графикот на оваа функција е парабола. Ја преминува оската на апсцисата (оската) во две точки:
И .
Овие точки се корените на првобитната равенка (1.1).

Одговори

;
;
.

Пример 2

Најдете ги корените на квадратната равенка:
(2.1) .

Решение

Ајде да ја запишеме квадратната равенка во општа форма:
.
Во споредба со оригиналната равенка (2.1), ги наоѓаме вредностите на коефициентите:
.
Го наоѓаме дискриминаторот:
.
Бидејќи дискриминаторот е нула, равенката има два повеќекратни (еднакви) корени:
;
.

Тогаш факторизацијата на триномот има форма:
.

График на функцијата y = x 2 - 4 x + 4ја допира оската x во една точка.

Ајде да ја нацртаме функцијата
.
Графикот на оваа функција е парабола. Ја допира оската x (оската) во една точка:
.
Оваа точка е коренот на првобитната равенка (2.1). Затоа што овој корен е фактор двапати:
,
тогаш таквиот корен обично се нарекува повеќекратен. Тоа е, тие веруваат дека постојат два еднакви корени:
.

Одговори

;
.

Пример 3

Најдете ги корените на квадратната равенка:
(3.1) .

Решение

Ајде да ја запишеме квадратната равенка во општа форма:
(1) .
Ајде да ја преработиме оригиналната равенка (3.1):
.
Во споредба со (1), ги наоѓаме вредностите на коефициентите:
.
Го наоѓаме дискриминаторот:
.
Дискриминаторот е негативен, . Затоа нема вистински корени.

Можете да најдете сложени корени:
;
;
.

Потоа


.

Графикот на функцијата не ја преминува оската x. Нема вистински корени.

Ајде да ја нацртаме функцијата
.
Графикот на оваа функција е парабола. Не ја пресекува оската x (оската). Затоа нема вистински корени.

Одговори

Нема вистински корени. Комплексни корени:
;
;
.

Квадратни равенки се изучуваат во 8-мо одделение, така што тука нема ништо комплицирано. Способноста за нивно решавање е апсолутно неопходна.

Квадратна равенка е равенка од формата ax 2 + bx + c = 0, каде што коефициентите a, b и c се произволни броеви, а a ≠ 0.

Пред да проучите конкретни методи за решение, забележете дека сите квадратни равенки можат да се поделат во три класи:

  1. немаат корени;
  2. Имаат точно еден корен;
  3. Тие имаат два различни корени.

Ова е важна разлика помеѓу квадратните равенки и линеарните, каде коренот секогаш постои и е единствен. Како да се одреди колку корени има една равенка? Има една прекрасна работа за ова - дискриминаторски.

Дискриминаторски

Нека е дадена квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0. Тогаш дискриминантот е едноставно бројот D = b 2 − 4ac.

Треба да ја знаете оваа формула напамет. Сега не е важно од каде доаѓа. Друга работа е важна: со знакот на дискриминатор можете да одредите колку корени има квадратната равенка. Имено:

  1. Ако Д< 0, корней нет;
  2. Ако D = 0, има точно еден корен;
  3. Ако D > 0, ќе има два корени.

Ве молиме запомнете: дискриминаторот го означува бројот на корените, а не нивните знаци, како што поради некоја причина веруваат многу луѓе. Погледнете ги примерите и сами ќе разберете се:

Задача. Колку корени имаат квадратните равенки:

  1. x 2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Ајде да ги запишеме коефициентите за првата равенка и да ја најдеме дискриминаторот:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Значи, дискриминантата е позитивна, па равенката има два различни корени. Ние ја анализираме втората равенка на сличен начин:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминаторката е негативна, нема корени. Последната равенка што остана е:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминаторот е нула - коренот ќе биде еден.

Ве молиме имајте предвид дека коефициентите се запишани за секоја равенка. Да, долго е, да, досадно е, но нема да ги мешате шансите и нема да правите глупави грешки. Изберете сами: брзина или квалитет.

Патем, ако се справите со тоа, по некое време нема да треба да ги запишувате сите коефициенти. Ќе правиш такви операции во главата. Повеќето луѓе почнуваат да го прават ова некаде по 50-70 решени равенки - генерално, не толку многу.

Корени на квадратна равенка

Сега да преминеме на самото решение. Ако дискриминантот D > 0, корените може да се најдат со помош на формулите:

Основна формула за корените на квадратна равенка

Кога D = 0, можете да користите која било од овие формули - ќе го добиете истиот број, што ќе биде одговорот. Конечно, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

  1. x 2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x 2 = 0;
  3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Првата равенка:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ равенката има два корени. Ајде да ги најдеме:

Втора равенка:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ равенката повторно има два корени. Ајде да ги најдеме

\[\begin(порамни) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \десно))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \десно))=3. \\ \крај (порамни)\]

Конечно, третата равенка:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ равенката има еден корен. Може да се користи која било формула. На пример, првиот:

Како што можете да видите од примерите, сè е многу едноставно. Ако ги знаете формулите и можете да броите, нема да има проблеми. Најчесто, се случуваат грешки при замена на негативни коефициенти во формулата. Повторно, техниката опишана погоре ќе помогне: погледнете ја формулата буквално, запишете го секој чекор - и многу наскоро ќе се ослободите од грешките.

Нецелосни квадратни равенки

Се случува квадратната равенка малку да се разликува од она што е дадено во дефиницијата. На пример:

  1. x 2 + 9x = 0;
  2. x 2 − 16 = 0.

Лесно е да се забележи дека на овие равенки им недостасува еден од поимите. Ваквите квадратни равенки се уште полесно да се решат од стандардните: тие дури и не бараат пресметување на дискриминаторот. Значи, да воведеме нов концепт:

Равенката ax 2 + bx + c = 0 се нарекува нецелосна квадратна равенка ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентот на променливата x или слободниот елемент е еднаков на нула.

Се разбира, тоа е сосема можно Тежок случај, кога двата од овие коефициенти се еднакви на нула: b = c = 0. Во овој случај, равенката има форма ax 2 = 0. Очигледно, таквата равенка има еден корен: x = 0.

Ајде да ги разгледаме останатите случаи. Нека b = 0, тогаш добиваме нецелосна квадратна равенка од формата ax 2 + c = 0. Да ја трансформираме малку:

Бидејќи аритметичкиот квадратен корен постои само од не- негативен број, последната еднаквост има смисла само за (−c /a) ≥ 0. Заклучок:

  1. Ако во нецелосна квадратна равенка од формата ax 2 + c = 0 неравенката (−c /a) ≥ 0 е исполнета, ќе има два корени. Формулата е дадена погоре;
  2. Ако (−c /a)< 0, корней нет.

Како што можете да видите, дискриминаторот не беше потребен - во нецелосни квадратни равенки нема сложени пресметки. Всушност, дури и не е неопходно да се запамети неравенката (−c /a) ≥ 0. Доволно е да се изрази вредноста x 2 и да се види што има од другата страна на знакот за еднаквост. Ако има позитивен број, ќе има два корени. Ако е негативен, корени воопшто нема да има.

Сега да ги погледнеме равенките од формата ax 2 + bx = 0, во кои слободниот елемент е еднаков на нула. Сè е едноставно овде: секогаш ќе има два корени. Доволно е да се факторизира полиномот:

Вадење на заедничкиот фактор од загради

Производот е нула кога барем еден од факторите е нула. Оттука потекнуваат корените. Како заклучок, да погледнеме неколку од овие равенки:

Задача. Решавање на квадратни равенки:

  1. x 2 − 7x = 0;
  2. 5x 2 + 30 = 0;
  3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Нема корени, затоа што квадрат не може да биде еднаков на негативен број.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.


Продолжуваме да ја проучуваме темата " решавање равенки" Веќе се запознавме со линеарни равенки и продолжуваме кон запознавање квадратни равенки.

Прво, ќе погледнеме што е квадратна равенка, како е напишана во општа форма и ќе дадеме сродни дефиниции. После ова, ќе користиме примери за детално да испитаме како се решаваат нецелосните квадратни равенки. Следно, ќе преминеме на решавање на целосни равенки, ќе ја добиеме коренската формула, ќе се запознаеме со дискриминантата на квадратна равенка и ќе разгледаме решенија за типични примери. Конечно, да ги следиме врските помеѓу корените и коефициентите.

Навигација на страницата.

Што е квадратна равенка? Нивните типови

Прво треба јасно да разберете што е квадратна равенка. Затоа, логично е да се започне разговор за квадратни равенки со дефиниција на квадратна равенка, како и сродни дефиниции. По ова, можете да ги разгледате главните типови квадратни равенки: намалени и ненамалени, како и целосни и нецелосни равенки.

Дефиниција и примери на квадратни равенки

Дефиниција.

Квадратна равенкае равенка на формата a x 2 +b x+c=0, каде што x е променлива, a, b и c се некои броеви, а a е не-нула.

Веднаш да кажеме дека квадратните равенки често се нарекуваат равенки од втор степен. Ова се должи на фактот дека квадратната равенка е алгебарска равенкавтор степен.

Наведената дефиниција ни овозможува да дадеме примери на квадратни равенки. Значи 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, итн. Ова се квадратни равенки.

Дефиниција.

Броеви a, b и c се нарекуваат коефициенти на квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0, а коефициентот a се нарекува прв, или највисок, или коефициент од x 2, b е вториот коефициент, или коефициентот на x, а c е слободен член .

На пример, да земеме квадратна равенка од формата 5 x 2 −2 x −3=0, овде водечкиот коефициент е 5, вториот коефициент е еднаков на −2, а слободниот член е еднаков на −3. Забележете дека кога коефициентите b и/или c се негативни, како во штотуку дадениот пример, тогаш Кратка формапишување квадратна равенка од формата 5 x 2 −2 x−3=0, а не 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Вреди да се напомене дека кога коефициентите a и/или b се еднакви на 1 или −1, тогаш тие обично не се експлицитно присутни во квадратната равенка, што се должи на особеностите за пишување на таквите. На пример, во квадратната равенка y 2 −y+3=0 водечкиот коефициент е еден, а коефициентот на y е еднаков на −1.

Намалени и ненамалени квадратни равенки

Во зависност од вредноста на водечкиот коефициент, се разликуваат намалени и ненамалени квадратни равенки. Да ги дадеме соодветните дефиниции.

Дефиниција.

Се нарекува квадратна равенка во која водечкиот коефициент е 1 дадена квадратна равенка. Инаку, квадратната равенка е недопрена.

Според оваа дефиниција, квадратни равенки x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 итн. – дадено, во секој од нив првиот коефициент е еднаков на еден. A 5 x 2 −x−1=0, итн. - ненамалени квадратни равенки, нивните водечки коефициенти се различни од 1.

Од секоја ненамалена квадратна равенка, со делење на двете страни со водечкиот коефициент, можете да отидете на намалениот. Ова дејство е еквивалентна трансформација, односно намалената квадратна равенка добиена на овој начин ги има истите корени како и првобитната нередуцирана квадратна равенка или, како неа, нема корени.

Да погледнеме пример како се врши преминот од ненамалена квадратна равенка во намалена.

Пример.

Од равенката 3 x 2 +12 x−7=0 се оди на соодветната намалена квадратна равенка.

Решение.

Треба само да ги поделиме двете страни на првобитната равенка со водечкиот коефициент 3, тој не е нула, за да можеме да ја извршиме оваа акција. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, што е исто, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, а потоа (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, од ​​каде . Така ја добивме редуцираната квадратна равенка која е еквивалентна на првобитната.

Одговор:

Целосни и нецелосни квадратни равенки

Дефиницијата за квадратна равенка го содржи условот a≠0. Овој услов е неопходен така што равенката a x 2 + b x + c = 0 е квадратна, бидејќи кога a = 0 таа всушност станува линеарна равенка од формата b x + c = 0.

Што се однесува до коефициентите b и c, тие можат да бидат еднакви на нула, и поединечно и заедно. Во овие случаи, квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција.

Се нарекува квадратната равенка a x 2 +b x+c=0 нецелосни, ако барем еден од коефициентите b, c е еднаков на нула.

За возврат

Дефиниција.

Целосна квадратна равенкае равенка во која сите коефициенти се различни од нула.

Ваквите имиња не биле случајно дадени. Ова ќе стане јасно од следните дискусии.

Ако коефициентот b е нула, тогаш квадратната равенка добива форма a·x 2 +0·x+c=0, и е еквивалентна на равенката a·x 2 +c=0. Ако c=0, односно квадратната равенка има форма a·x 2 +b·x+0=0, тогаш може да се препише како a·x 2 +b·x=0. И со b=0 и c=0 ја добиваме квадратната равенка a·x 2 =0. Добиените равенки се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат ниту член со променливата x, ниту слободен член, ниту и двете. Оттука и нивното име - нецелосни квадратни равенки.

Значи равенките x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0,2=0 се примери за целосни квадратни равенки, и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 се нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Од информациите во претходниот став произлегува дека постои три вида нецелосни квадратни равенки:

  • a·x 2 =0, на него одговараат коефициентите b=0 и c=0;
  • a x 2 +c=0 кога b=0 ;
  • и a·x 2 +b·x=0 кога c=0.

Да испитаме по ред како се решени нецелосните квадратни равенки на секој од овие типови.

a x 2 =0

Да почнеме со решавање на нецелосни квадратни равенки во кои коефициентите b и c се еднакви на нула, односно со равенки од формата a x 2 =0. Равенката a·x 2 =0 е еквивалентна на равенката x 2 =0, која се добива од оригиналот со делење на двата дела со ненула број a. Очигледно, коренот на равенката x 2 =0 е нула, бидејќи 0 2 =0. Оваа равенка нема други корени, што се објаснува со фактот дека за секој ненулти број p важи неравенката p 2 >0, што значи дека за p≠0 никогаш не се постигнува еднаквоста p 2 =0.

Значи, нецелосната квадратна равенка a·x 2 =0 има еден корен x=0.

Како пример, го даваме решението на нецелосната квадратна равенка −4 x 2 =0. Тоа е еквивалентно на равенката x 2 =0, нејзиниот единствен корен е x=0, затоа, првобитната равенка има единствен корен нула.

Кратко решение во овој случај може да се напише на следниов начин:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Сега да погледнеме како се решаваат нецелосни квадратни равенки во кои коефициентот b е нула и c≠0, односно равенки од формата a x 2 +c=0. Знаеме дека преместувањето на член од едната страна на равенката на другата со спротивен знак, како и делењето на двете страни на равенката со број што не е нула, дава еквивалентна равенка. Затоа, можеме да ги извршиме следните еквивалентни трансформации на нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0:

  • поместете го c на десната страна, што ја дава равенката a x 2 =−c,
  • и поделете ги двете страни со a, добиваме .

Добиената равенка ни овозможува да извлечеме заклучоци за нејзините корени. Во зависност од вредностите на a и c, вредноста на изразот може да биде негативна (на пример, ако a=1 и c=2, тогаш ) или позитивна (на пример, ако a=−2 и c=6, тогаш ), не е нула, бидејќи по услов c≠0. Ајде да ги разгледаме случаите одделно.

Ако , тогаш равенката нема корени. Оваа изјава произлегува од фактот дека квадратот на кој било број е ненегативен број. Од ова произлегува дека кога , тогаш за кој било број p еднаквоста не може да биде вистина.

Ако , тогаш ситуацијата со корените на равенката е различна. Во овој случај, ако се сетиме за , тогаш коренот на равенката веднаш станува очигледен тоа е бројот, бидејќи . Лесно е да се погоди дека бројот е исто така коренот на равенката, навистина, . Оваа равенка нема други корени, што може да се покаже, на пример, со контрадикција. Ајде да го направиме тоа.

Да ги означиме корените на равенката штотуку објавена како x 1 и −x 1 . Да претпоставиме дека равенката има уште еден корен x 2, различен од наведените корени x 1 и −x 1. Познато е дека заменувањето на неговите корени во равенка наместо x ја претвора равенката во правилна нумеричка равенка. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Својствата на нумеричките еднаквости ни овозможуваат да извршиме одземање по член на точни нумерички равенства, па со одземање на соодветните делови од равенствата се добива x 1 2 −x 2 2 =0. Својствата на операциите со броеви ни овозможуваат да ја преработиме добиената еднаквост како (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Знаеме дека производот на два броја е еднаков на нула ако и само ако барем еден од нив е еднаков на нула. Според тоа, од добиената еднаквост следува дека x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0, што е исто, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1. Така, дојдовме до контрадикција, бидејќи на почетокот рековме дека коренот на равенката x 2 е различен од x 1 и −x 1. Ова докажува дека равенката нема други корени освен и .

Дозволете ни да ги сумираме информациите во овој пасус. Нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0 е еквивалентна на равенката која

  • нема корени ако,
  • има два корени и ако .

Да разгледаме примери за решавање на нецелосни квадратни равенки од формата a·x 2 +c=0.

Да почнеме со квадратната равенка 9 x 2 +7=0. Откако ќе го преместите слободниот член на десната страна од равенката, тој ќе добие форма 9 x 2 =−7. Поделувајќи ги двете страни на добиената равенка со 9, доаѓаме до . Бидејќи десната страна има негативен број, оваа равенка нема корени, затоа, првобитната нецелосна квадратна равенка 9 x 2 +7 = 0 нема корени.

Да решиме уште една нецелосна квадратна равенка −x 2 +9=0. Ја поместуваме деветката на десната страна: −x 2 =−9. Сега ги делиме двете страни со −1, добиваме x 2 =9. На десната страна има позитивен број, од кој заклучуваме дека или . Потоа го запишуваме конечниот одговор: нецелосната квадратна равенка −x 2 +9=0 има два корени x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Останува да се занимаваме со решението на последниот тип на нецелосни квадратни равенки за c=0. Нецелосните квадратни равенки од формата a x 2 + b x = 0 ви овозможуваат да решите метод на факторизација. Очигледно, можеме, сместени на левата страна на равенката, за што е доволно да го извадиме заедничкиот фактор x од заградите. Ова ни овозможува да преминеме од првобитната нецелосна квадратна равенка на еквивалентна равенка од формата x·(a·x+b)=0. И оваа равенка е еквивалентна на множество од две равенки x=0 и a·x+b=0, од ​​кои последната е линеарна и има корен x=−b/a.

Значи, нецелосната квадратна равенка a·x 2 +b·x=0 има два корени x=0 и x=−b/a.

За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете ја равенката.

Решение.

Со вадење на x од загради се добива равенката . Тоа е еквивалентно на две равенки x=0 и . Решавање на она што го добивме линеарна равенка: , и вршење на делењето мешан бројна заедничка дропка, ние најдовме . Според тоа, корените на првобитната равенка се x=0 и .

По стекнувањето на потребната пракса, решенијата за ваквите равенки може да се напишат накратко:

Одговор:

x=0,.

Дискриминантна, формула за корени на квадратна равенка

За решавање на квадратни равенки, постои коренска формула. Ајде да го запишеме формула за корени на квадратна равенка: , Каде D=b 2 −4 a c- т.н дискриминатор на квадратна равенка. Влезот во суштина значи дека .

Корисно е да се знае како е изведена коренската формула и како се користи при пронаоѓање на корените на квадратните равенки. Ајде да го сфатиме ова.

Изведување на формулата за корените на квадратна равенка

Дозволете ни да ја решиме квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0. Ајде да извршиме некои еквивалентни трансформации:

  • Можеме да ги поделиме двете страни на оваа равенка со ненула број a, што ќе резултира со следната квадратна равенка.
  • Сега изберете целосен квадратна неговата лева страна: . После ова, равенката ќе добие форма.
  • Во оваа фаза, можно е да ги пренесеме последните два члена на десната страна со спротивен знак, имаме .
  • И да го трансформираме изразот на десната страна: .

Како резултат на тоа, доаѓаме до равенка која е еквивалентна на првобитната квадратна равенка a·x 2 +b·x+c=0.

Ние веќе решивме равенки слични по форма во претходните параграфи, кога испитувавме. Ова ни овозможува да ги извлечеме следните заклучоци во врска со корените на равенката:

  • ако , тогаш равенката нема реални решенија;
  • ако , тогаш равенката ја има формата, значи, , од која е видлив нејзиниот единствен корен;
  • ако , тогаш или , што е исто како или , односно равенката има два корени.

Така, присуството или отсуството на корените на равенката, а со тоа и на првобитната квадратна равенка, зависи од знакот на изразот на десната страна. За возврат, знакот на овој израз се одредува со знакот на броителот, бидејќи именителот 4·a 2 е секогаш позитивен, односно со знакот на изразот b 2 −4·a·c. Овој израз b 2 −4 a c беше наречен дискриминатор на квадратна равенкаи означени со писмото Д. Оттука е јасна суштината на дискриминаторот - врз основа на неговата вредност и знак, заклучуваат дали квадратната равенка има вистински корени, и ако има, колкав е нивниот број - еден или два.

Да се ​​вратиме на равенката и да ја преработиме користејќи ја дискриминаторната нотација: . И ние извлекуваме заклучоци:

  • ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • ако D=0, тогаш оваа равенка има еден корен;
  • конечно, ако D>0, тогаш равенката има два корени или, кои може да се препишат во форма или, и откако ќе ги прошириме и ги доведеме дропките до заеднички именител добиваме.

Така ги изведовме формулите за корените на квадратната равенка, тие изгледаат како , каде што дискриминантата D се пресметува со формулата D=b 2 −4·a·c.

Со нивна помош, со позитивна дискриминаторна, можете да ги пресметате двата реални корени на квадратна равенка. Кога дискриминаторот е еднаков на нула, двете формули ја даваат истата вредност на коренот, што одговара на единственото решение на квадратната равенка. И со негативна дискриминантна, кога се обидуваме да ја искористиме формулата за корените на квадратната равенка, се соочуваме со екстракција квадратен коренод негативен број, што нè изнесува надвор од опсегот на училишната програма. Со негативна дискриминанта, квадратната равенка нема вистински корени, туку има пар комплексен конјугаткорени, кои може да се најдат со користење на истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со помош на коренски формули

Во пракса, кога решавате квадратни равенки, можете веднаш да ја користите коренската формула за да ги пресметате нивните вредности. Но, ова е повеќе поврзано со наоѓање сложени корени.

Меѓутоа, во училишниот курс за алгебра обично не зборуваме за сложени, туку за вистински корени на квадратна равенка. Во овој случај, препорачливо е, пред да ги користите формулите за корените на квадратната равенка, прво да го пронајдете дискриминаторот, да бидете сигурни дека е ненегативен (во спротивно, можеме да заклучиме дека равенката нема вистински корени). и само тогаш пресметајте ги вредностите на корените.

Горенаведеното расудување ни дозволува да пишуваме алгоритам за решавање на квадратна равенка. За да ја решите квадратната равенка a x 2 +b x+c=0, потребно е:

  • користејќи ја формулата за дискриминација D=b 2 −4·a·c, пресметај ја нејзината вредност;
  • заклучи дека квадратната равенка нема вистински корени ако дискриминантата е негативна;
  • пресметај го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата ако D=0;
  • најдете два реални корени на квадратна равенка користејќи ја коренската формула ако дискриминантата е позитивна.

Овде само забележуваме дека ако дискриминаторот е еднаков на нула, можете да ја користите и формулата таа ќе ја даде истата вредност како .

Можете да преминете на примери за користење на алгоритам за решавање на квадратни равенки.

Примери за решавање на квадратни равенки

Да разгледаме решенија на три квадратни равенки со позитивна, негативна и нулта дискриминантна. Откако се занимававме со нивното решение, по аналогија ќе биде можно да се реши која било друга квадратна равенка. Да почнеме.

Пример.

Најдете ги корените на равенката x 2 +2·x−6=0.

Решение.

Во овој случај ги имаме следните коефициенти на квадратната равенка: a=1, b=2 и c=−6. Според алгоритмот, прво треба да ја пресметате дискриминаторот за да го направите ова, ги заменуваме наведените a, b и c во формулата за дискриминација, што ја имаме D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Бидејќи 28>0, односно дискриминантата е поголема од нула, квадратната равенка има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја коренската формула, добиваме , тука можете да ги поедноставите добиените изрази со правење поместување на мултипликаторот надвор од коренскиот знакпроследено со намалување на фракцијата:

Одговор:

Да преминеме на следниот типичен пример.

Пример.

Решете ја квадратната равенка −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започнуваме со наоѓање на дискриминаторот: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Според тоа, оваа квадратна равенка има еден корен, кој го наоѓаме како , т.е.

Одговор:

x=3,5.

Останува да се размислува за решавање на квадратни равенки со негативна дискриминантна.

Пример.

Решете ја равенката 5·y 2 +6·y+2=0.

Решение.

Еве ги коефициентите на квадратната равенка: a=5, b=6 и c=2. Ние ги заменуваме овие вредности во формулата за дискриминација, ја имаме D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминантата е негативна, затоа оваа квадратна равенка нема вистински корени.

Ако треба да наведете сложени корени, тогаш ја применуваме добро познатата формула за корените на квадратната равенка и изведуваме операции со сложени броеви:

Одговор:

нема вистински корени, сложени корени се: .

Да забележиме уште еднаш дека ако дискриминантата на квадратна равенка е негативна, тогаш во училиште обично веднаш запишуваат одговор во кој укажуваат дека нема вистински корени, а не се наоѓаат сложени корени.

Корен формула за дури втори коефициенти

Формулата за корените на квадратната равенка, каде што D=b 2 −4·a·c ви овозможува да добиете формула со покомпактна форма, што ви овозможува да решавате квадратни равенки со парен коефициент за x (или едноставно со коефициент кој има форма 2·n, на пример, или 14· ln5=2·7·ln5 ). Ајде да ја извадиме.

Да речеме дека треба да решиме квадратна равенка од формата a x 2 +2 n x+c=0. Ајде да ги најдеме неговите корени користејќи ја формулата што ја знаеме. За да го направите ова, ја пресметуваме дискриминаторот D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), а потоа ја користиме коренската формула:

Да го означиме изразот n 2 −a c како D 1 (понекогаш се означува D "). Тогаш формулата за корените на квадратната равенка што се разгледува со вториот коефициент 2 n ќе ја добие формата , каде што D 1 =n 2 −a·c.

Лесно е да се види дека D=4·D 1, или D 1 =D/4. Со други зборови, D 1 е четвртиот дел од дискриминаторот. Јасно е дека знакот D 1 е ист како знакот D. Односно, знакот D 1 е исто така показател за присуство или отсуство на корени на квадратна равенка.

Значи, за да решите квадратна равенка со втор коефициент 2·n, ви треба

  • Пресметај D 1 =n 2 −a·c ;
  • Ако Д 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Ако D 1 =0, тогаш пресметајте го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата;
  • Ако D 1 >0, тогаш пронајдете два вистински корени користејќи ја формулата.

Ајде да размислиме да го решиме примерот користејќи ја коренската формула добиена во овој став.

Пример.

Решете ја квадратната равенка 5 x 2 −6 x −32=0 .

Решение.

Вториот коефициент на оваа равенка може да се претстави како 2·(−3) . Односно, можете да ја преработите првобитната квадратна равенка во форма 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тука a=5, n=−3 и c=−32 и да го пресметате четвртиот дел од дискриминаторски: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Бидејќи неговата вредност е позитивна, равенката има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја соодветната формула за корен:

Забележете дека беше можно да се користи вообичаената формула за корените на квадратна равенка, но во овој случај ќе треба да се изврши повеќе пресметковна работа.

Одговор:

Поедноставување на формата на квадратни равенки

Понекогаш, пред да започнете да ги пресметувате корените на квадратната равенка користејќи формули, не е повредено да се постави прашањето: „Дали е можно да се поедностави формата на оваа равенка? Согласете се дека во однос на пресметките ќе биде полесно да се реши квадратната равенка 11 x 2 −4 x−6=0 отколку 1100 x 2 −400 x−600=0.

Вообичаено, поедноставувањето на формата на квадратна равенка се постигнува со множење или делење на двете страни со одреден број. На пример, во претходниот пасус беше можно да се поедностави равенката 1100 x 2 −400 x −600=0 со делење на двете страни со 100.

Слична трансформација се врши со квадратни равенки, чии коефициенти не се . Во овој случај, ние обично ги делиме двете страни на равенката со апсолутни вредностинеговите коефициенти. На пример, да ја земеме квадратната равенка 12 x 2 −42 x+48=0. апсолутни вредности на неговите коефициенти: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Поделувајќи ги двете страни на првобитната квадратна равенка со 6, доаѓаме до еквивалентната квадратна равенка 2 x 2 −7 x+8=0.

И множењето на двете страни на квадратната равенка обично се прави за да се ослободиме од фракционите коефициенти. Во овој случај, множењето се врши со именители на неговите коефициенти. На пример, ако двете страни на квадратната равенка се помножат со LCM(6, 3, 1)=6, тогаш таа ќе добие поедноставен облик x 2 +4·x−18=0.

Како заклучок на оваа точка, забележуваме дека тие речиси секогаш се ослободуваат од минусот на највисокиот коефициент на квадратната равенка со менување на знаците на сите членови, што одговара на множење (или делење) на двете страни со -1. На пример, обично се поместува од квадратната равенка −2 x 2 −3 x+7=0 до решението 2 x 2 +3 x−7=0 .

Врска помеѓу корените и коефициентите на квадратна равенка

Формулата за корените на квадратната равенка ги изразува корените на равенката преку нејзините коефициенти. Врз основа на формулата на коренот, можете да добиете други односи помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатите и најприменливите формули од теоремата на Виета се од формата и . Конкретно, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член. На пример, гледајќи ја формата на квадратната равенка 3 x 2 −7 x + 22 = 0, веднаш можеме да кажеме дека збирот на неговите корени е еднаков на 7/3, а производот на корените е еднаков на 22 /3.

Користејќи ги веќе напишаните формули, можете да добиете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, збирот на квадратите на корените на квадратна равенка можете да го изразите преку неговите коефициенти: .

Библиографија.

  • Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. За 2 часа, дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-01155-2.

Квадратна равенка е равенка од формата ax^2 + bx + c = 0, каде што коефициентите a, b и c се произволни броеви, а a ≠ 0, инаку повеќе нема да биде квадратна равенка. Квадратните равенки или немаат корени, или имаат точно еден корен или два различни корени. Првиот чекор е да барате дискриминатор. Формула: D = b^2 − 4ac. 1. Ако Д< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, ќе има два корени. Со првата опција е јасно, нема корени. Ако дискриминантот D > 0, корените може да се најдат на следниов начин: x12 = (-b +- √D) / 2a. Што се однесува до втората опција, кога D = 0, може да се користи горната формула.

Квадратни равенки почнуваат да се изучуваат во училишна наставна програмана курс по математика. Но, за жал, не секој разбира и знае како правилно да реши квадратна равенка и да ги пресмета нејзините корени. Прво, да откриеме што е квадратна равенка.

Што е квадратна равенка

Терминот квадратна равенка обично значи алгебарска равенка општ поглед. Оваа равенкаТоа има следен поглед: ax2 + bx + c = 0, додека a, b и c се некои специфични броеви, x е непозната. Овие три бројки обично се нарекуваат коефициенти на квадратната равенка:

  • а - прв коефициент;
  • б - втор коефициент;
  • c е третиот коефициент.

Како да се најдат корените на квадратна равенка

За да се пресмета со што ќе бидат еднакви корените на квадратната равенка, потребно е да се најде дискриминантот на равенката. Дискриминантата на квадратна равенка е израз кој е еднаков и се пресметува со формулата b2 - 4ac. Ако дискриминаторот е поголем од нула, коренот се пресметува со формулата: x = -b + - коренот на дискриминаторот поделен со 2 a.

Размислете за примерот на равенката 5x квадрат - 8x +3 = 0

Дискриминаторот е еднаков на осум квадрати, минус четири по пет, три пати, што е = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + корен од четири поделен со два пати пет = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0,6

Според тоа, корените на оваа квадратна равенка ќе бидат 1 и 0,6.