Извод 20. Пресметај го изводот на функцијата онлајн. Константниот коефициент може да се извади од знакот на дериватот
Навигација на страница.
Дериватот е константен.
При изведување на првата формула од табелата, ќе продолжиме од дефиницијата на изводот на функцијата во точка. Да земеме , каде x е кој било реален број, односно x е кој било број од доменот на дефиниција на функцијата. Дозволете ни да ја запишеме границата на односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на аргументот на: 
Треба да се забележи дека под знакот за граница се добива изразот, кој не е , бидејќи броителот не содржи бесконечно мала вредност, туку точно нула. Со други зборови, зголемувањето на константна функција е секогаш нула.
Така, изводот на константна функција е еднаков на нула низ целиот домен на дефиниција.
Пример.
Најдете изводи на следните константни функции
Решение.
Во првиот случај го имаме изводот на природниот број 3, во вториот случај треба да го земеме изводот на параметарот a, кој може да биде кој било реален број, во третиот - изводот на ирационалниот број, во четвртиот Во случај имаме извод од нула (нулата е цел број), во петтиот - извод на рационална дропка.
Одговор:
Дериватите на сите овие функции се еднакви на нула за кој било реален x (во целиот домен на дефиниција) 
Извод на функција за моќност.
Формулата за изводот на функцијата моќност има форма 
, каде што експонентот p е кој било реален број.
Прво да ја докажеме формулата за природниот експонент, односно за p = 1, 2, 3, ...
Ќе ја користиме дефиницијата за дериват. Дозволете ни да ја запишеме границата на односот на зголемување на функцијата на моќност до зголемувањето на аргументот: 
За да го поедноставиме изразот во броителот, се свртиме кон формулата: 
Оттука, 
Ова ја докажува формулата за изводот на функцијата на моќност за природен експонент.
Треба да се земат предвид два случаи: за позитивен x и негативен x.
Прво да претпоставиме. Во овој случај . Да го земеме логаритмот на еднаквоста на основата e и да го примениме својството на логаритмот:
Стигнавме до имплицитно одредена функција. Го наоѓаме неговиот дериват: 
Останува да се спроведе доказот за негативен x.
Кога експонентот p е парен број, тогаш функцијата за моќност е исто така дефинирана и е парна (види дел). Тоа е, 
. Во овој случај, доказот можете да го користите и преку логаритамскиот дериват.
Кога експонентот p е непарен број, тогаш и функцијата моќност е дефинирана и е непарна. Тоа е, 
. Во овој случај, логаритамскиот дериват не може да се користи. За да се докаже формулата во овој случај, можете да ги користите правилата за диференцијација и правилото за наоѓање на дериват на сложена функција: 
Последната транзиција е можна поради фактот што ако p е непарен број, тогаш p-1 е или парен број или нула (за p=1), затоа, за негативен x еднаквоста е точно 
.
Така, формулата за изводот на функцијата моќност се докажува за секој реален стр.
Пример.
Најдете изводи на функции.
Решение.
Првата и третата функција ја доведуваме во табеларна форма, користејќи ги својствата на моќноста и ја применуваме формулата за изводот на функцијата моќност: 
Извод на експоненцијална функција.
Ви ја претставуваме изведбата на формулата за извод врз основа на дефиницијата:
Дојдовме до неизвесност. За да го прошириме, воведуваме нова променлива, и на . Потоа. Во последната транзиција ја користевме формулата за премин кон нова логаритамска основа.
Ајде да замениме во оригиналната граница: 
По дефиниција на изводот за синусната функција имаме 
.
Да ја искористиме формулата за разлика во синусите: 
Останува да се свртиме кон првата извонредна граница: 
Така, изводот на функцијата sin x е cos x.
Точно на ист начин се докажува формулата за дериватот на косинус. 
При решавање на диференцијациски проблеми постојано ќе се повикуваме на табелата со изводи на основните функции, инаку зошто ја составивме и ја докажувавме секоја формула. Ви препорачуваме да ги запомните сите овие формули во иднина ќе ви заштеди многу време.
Авторско право од паметни студенти
Сите права се задржани.
Заштитено со закон за авторски права. Ниту еден дел од страницата, вклучувајќи ги внатрешните материјали и изгледот, не смее да се репродуцира во каква било форма или да се користи без претходна писмена дозвола од носителот на авторските права.
Процесот на пронаоѓање на изводот на функцијата се нарекува диференцијација.Дериватот треба да се најде во голем број проблеми во текот на математичката анализа. На пример, при наоѓање на екстремни точки и точки на флексија на графикон на функција.
Како да се најде?
За да го пронајдете изводот на функцијата, треба да ја знаете табелата со изводи на елементарните функции и да ги примените основните правила на диференцијација:
- Поместување на константата надвор од знакот на изводот: $$ (Cu)" = C(u)" $$
- Извод на збирот/разликата на функциите: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
- Извод на производот на две функции: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
- Извод на дропка: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
- Извод на сложена функција: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$
Примери на решенија
| Пример 1 |
| Најдете го изводот на функцијата $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ |
| Решение |
|
Изводот на збирот/разликата на функциите е еднаков на збирот/разликата на изводите: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Користејќи го правилото за изводот на функцијата моќност $ (x^p)" = px^(p-1) $ имаме: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Исто така, земено е во предвид дека изводот на константата е еднаков на нула. Ако не можете да го решите вашиот проблем, тогаш испратете го кај нас. Ќе обезбедиме детално решение. Ќе можете да го видите напредокот на пресметката и да добиете информации. Ова ќе ви помогне да ја добиете вашата оценка од вашиот наставник навремено! |
| Одговори |
| $$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
Одредувањето на изводот на функцијата е инверзна операција на интегрирање на функција. За елементарни функции, пресметувањето на изводот не е тешко само да се користи табелата со деривати. Ако ни треба најдете го изводотод сложена функција, тогаш диференцијацијата ќе биде многу потешка и ќе бара повеќе грижа и време. Во исто време, многу е лесно да се направи печатна грешка или помала грешка што ќе доведе до конечен неточен одговор. Затоа, секогаш е важно да можете да ја проверите вашата одлука. Можете да го направите ова користејќи го овој онлајн калкулатор, кој ви овозможува бесплатно да најдете деривати на која било функција на интернет со детално решение, без да се регистрирате на страницата. Наоѓање на изводот на функцијата (диференцијација) е односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот (нумерички, изводот е еднаков на тангентата на тангентата на графикот на функцијата). Ако треба да го пресметате изводот на функцијата во одредена точка, тогаш ви треба во добиениот одговор наместо аргумент xзаменете ја неговата нумеричка вредност и пресметајте го изразот. На онлајн деривативно решениетреба да ја внесете функцијата во соодветното поле: аргументот мора да биде променлива x, бидејќи диференцијацијата се јавува токму по него. За да го пресметате вториот извод, треба да го разликувате добиениот одговор.
Дериват
Пресметувањето на изводот на математичката функција (диференцијација) е многу чест проблем при решавање на виша математика. За едноставни (елементарни) математички функции, ова е прилично едноставна работа, бидејќи табелите на деривати за елементарни функции се одамна составени и се лесно достапни. Сепак, наоѓањето на изводот на сложена математичка функција не е тривијална задача и често бара значителен напор и време.
Најдете дериват онлајн
Нашата онлајн услуга ви овозможува да се ослободите од бесмислените долги пресметки и најдете дериват на интернетво еден момент. Покрај тоа, користејќи ја нашата услуга лоцирана на веб-страницата www.сајт, можете да пресметате онлајн деривати од елементарна функција и од многу сложена која нема аналитичко решение. Главните предности на нашата страница во споредба со другите се: 1) нема строги барања за методот на внесување математичка функција за пресметување на изводот (на пример, кога ја внесувате функцијата sine x, можете да ја внесете како sin x или sin (x) или грев[x], итн. г.); 2) онлајн пресметката на дериватот се случува веднаш во онлајни апсолутно бесплатно; 3) ви дозволуваме да го пронајдете изводот на функцијата каква било нарачка, менувањето на редоследот на изводот е многу лесно и разбирливо; 4) ви дозволуваме да го пронајдете изводот на речиси секоја математичка функција на интернет, дури и многу сложени што не можат да се решат со други услуги. Обезбедениот одговор е секогаш точен и не може да содржи грешки.
Користењето на нашиот сервер ќе ви овозможи 1) да го пресметате дериватот онлајн за вас, елиминирајќи ги одземаат многу време и досадни пресметки за време на кои може да направите грешка или печатна грешка; 2) ако сами го пресметате изводот на математичката функција, тогаш ви даваме можност да го споредите добиениот резултат со пресметките на нашата услуга и да бидете сигурни дека решението е точно или да пронајдете грешка што се навлекла; 3) користете ја нашата услуга наместо да користите табели на деривати на едноставни функции, каде што често е потребно време да се најде саканата функција.
Сè што се бара од вас е да најдете дериват на интернет- е да ја користите нашата услуга на
Решавањето физички проблеми или примери во математиката е сосема невозможно без познавање на изводот и методите за негово пресметување. Дериватот е еден од најважните концепти во математичката анализа. Решивме да ја посветиме денешната статија на оваа основна тема. Што е извод, кое е неговото физичко и геометриско значење, како да се пресмета изводот на функцијата? Сите овие прашања може да се комбинираат во едно: како да се разбере дериватот?
Геометриско и физичко значење на дериватот
Нека има функција f(x) , назначен во одреден интервал (а, б) . Точките x и x0 припаѓаат на овој интервал. Кога x се менува, самата функција се менува. Промена на аргументот - разликата во неговите вредности x-x0 . Оваа разлика е напишана како делта x и се нарекува зголемување на аргументот. Промена или зголемување на функцијата е разликата помеѓу вредностите на функцијата во две точки. Дефиниција на дериват:
Изводот на функцијата во точка е граница на односот на зголемувањето на функцијата во дадена точка до зголемувањето на аргументот кога вториот се стреми кон нула.
Во спротивно може да се напише вака:
Која е поентата да се најде таква граница? А еве што е тоа:
изводот на функцијата во точка е еднаков на тангентата на аголот помеѓу оската OX и тангентата на графикот на функцијата во дадена точка.
Физичко значење на дериватот: дериватот на патеката во однос на времето е еднаков на брзината на праволиниското движење.
Навистина, уште од училишните денови секој знае дека брзината е одредена патека x=f(t) и времето т . Просечна брзина во одреден временски период:
За да ја дознаете брзината на движење во одреден момент во времето t0 треба да ја пресметате границата:
Правило еден: поставете константа
Константата може да се извади од дериватниот знак. Покрај тоа, ова мора да се направи. Кога решавате примери по математика, земете го по правило - Ако можете да поедноставите израз, не заборавајте да го поедноставите .
Пример. Да го пресметаме изводот:
Правило второ: извод од збир на функции
Изводот на збирот на две функции е еднаков на збирот на изводите на овие функции. Истото важи и за изводот на разликата на функциите.
Ние нема да дадеме доказ за оваа теорема, туку ќе разгледаме практичен пример.
Најдете го изводот на функцијата:
Правило трето: извод на производ на функции
Дериватот на производот на две диференцијабилни функции се пресметува со формулата:
Пример: најдете го изводот на функцијата:
Решение: 
Овде е важно да се зборува за пресметување на деривати на сложени функции. Изводот на сложена функција е еднаков на производот од изводот на оваа функција во однос на средниот аргумент и изводот на средното аргумент во однос на независната променлива.
Во горниот пример се среќаваме со изразот:
Во овој случај, средниот аргумент е 8x до петтата сила. За да го пресметаме изводот на таков израз, прво го пресметуваме изводот на надворешната функција во однос на средниот аргумент, а потоа се множиме со изводот на самиот среден аргумент во однос на независната променлива.
Правило четири: извод на количник на две функции
Формула за одредување на изводот на количникот на две функции:
Се обидовме да зборуваме за деривати за кукли од нула. Оваа тема не е толку едноставна како што изгледа, затоа бидете предупредени: често има замки во примерите, па бидете внимателни кога пресметувате деривати.
Со какви било прашања на оваа и на други теми, можете да контактирате со студентската служба. За кратко време, ќе ви помогнеме да го решите најтешкиот тест и да ги разберете задачите, дури и ако никогаш претходно не сте правеле пресметки со изводи.
