дома > Растенија > Основни својства на правилна пирамида. Правилна четириаголна пирамида


Основни својства на правилна пирамида. Правилна четириаголна пирамида




Видео туторијал 2: Проблем со пирамидата. Волуменот на пирамидата

Видео туторијал 3: Проблем со пирамидата. Правилна пирамида

Предавање: Пирамида, нејзината основа, странични ребра, висина, странична површина; триаголна пирамида; редовна пирамида

Пирамида, нејзините својства

Пирамидае тродимензионално тело кое има многуаголник во основата, а сите негови лица се состојат од триаголници.

Посебен случај на пирамида е конус со круг во основата.


Ајде да ги погледнеме главните елементи на пирамидата:


Апотема- ова е сегмент што го поврзува врвот на пирамидата со средината на долниот раб на страничното лице. Со други зборови, ова е висината на работ на пирамидата.


На сликата можете да ги видите триаголниците ADS, ABS, BCS, CDS. Ако внимателно ги погледнете имињата, можете да видите дека секој триаголник има една заедничка буква во своето име - S. Тоа значи дека сите странични лица (триаголници) се спојуваат во една точка, што се нарекува врв на пирамидата. .


Сегментот ОС што го поврзува темето со точката на пресек на дијагоналите на основата (во случај на триаголници - во точката на пресек на висините) се нарекува висина на пирамидата.


Дијагонален пресек е рамнина што минува низ врвот на пирамидата, како и една од дијагоналите на основата.


Бидејќи страничната површина на пирамидата се состои од триаголници, за да се најде вкупната површина на страничната површина, неопходно е да се најде плоштината на секое лице и да се соберат. Бројот и обликот на лицата зависи од обликот и големината на страните на многуаголникот што лежи во основата.


Се нарекува единствената рамнина во пирамидата што не припаѓа на нејзиното теме основапирамиди.

На сликата гледаме дека основата е паралелограм, но може да биде кој било произволен многуаголник.

Својства:


Размислете за првиот случај на пирамида, во која има рабови со иста должина:

  • Околу основата на таквата пирамида може да се нацрта круг. Ако го проектирате врвот на таквата пирамида, тогаш нејзината проекција ќе се наоѓа во центарот на кругот.
  • Аглите на основата на пирамидата се исти на секое лице.
  • Во овој случај, доволен услов за тоа што може да се опише круг околу основата на пирамидата, а исто така и сите рабови да се со различна должина, може да се сметаат за исти агли помеѓу основата и секој раб на лицата.

Ако наидете на пирамида во која аглите помеѓу страничните страни и основата се еднакви, тогаш следниве својства се вистинити:

  • Ќе можете да опишете круг околу основата на пирамидата, чиј врв е проектиран точно во центарот.
  • Ако го нацртате секој страничен раб на висината до основата, тогаш тие ќе бидат со еднаква должина.
  • За да ја пронајдете страничната површина на таквата пирамида, доволно е да го пронајдете периметарот на основата и да го помножите за половина од должината на висината.
  • S bp = 0,5P oc H.
  • Видови пирамиди.
  • Во зависност од тоа кој многуаголник лежи во основата на пирамидата, тие можат да бидат триаголни, четириаголни итн. Ако во основата на пирамидата има правилен многуаголник (со еднакви страни), тогаш таквата пирамида ќе се нарекува правилна.

Правилна триаголна пирамида

Пирамида. Скратена пирамида

Пирамидае полиедар, чие едно лице е многуаголник ( база ), а сите други лица се триаголници со заедничко теме ( странични лица ) (сл. 15). Пирамидата се нарекува точно , ако неговата основа е правилен многуаголник и врвот на пирамидата е проектиран во центарот на основата (сл. 16). Се нарекува триаголна пирамида со сите рабови еднакви тетраедар .



Странично реброна пирамидата е страната на страничното лице што не припаѓа на основата Висина пирамида е растојанието од нејзиниот врв до рамнината на основата. Сите странични рабови на правилната пирамида се еднакви еден на друг, сите странични лица се еднакви рамнокраки триаголници. Висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од темето се нарекува апотема . Дијагонален пресек се нарекува дел од пирамидата со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице.

Странична површинапирамидата е збир на површините на сите странични лица. Површина целосна површина се нарекува збир на плоштините на сите странични страни и основата.

Теореми

1. Ако во пирамидата сите странични рабови се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш врвот на пирамидата се проектира во центарот на кругот опкружен во близина на основата.

2. Ако сите странични рабови на пирамидата имаат еднакви должини, тогаш врвот на пирамидата е проектиран во центарот на кругот опкружен во близина на основата.

3. Ако сите лица во пирамидата се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш врвот на пирамидата се проектира во центарот на кругот впишан во основата.

За да се пресмета волуменот на произволна пирамида, точната формула е:

Каде В- волумен;

S база– основна површина;

Х– висина на пирамидата.

За редовна пирамида, следните формули се точни:

Каде стр– периметар на основата;

ч а– апотема;

Х- висина;

С полни

S страна

S база– основна површина;

В– волумен на правилна пирамида.

Скратена пирамиданаречен дел од пирамидата затворен помеѓу основата и рамнината за сечење, паралелно со основатапирамиди (сл. 17). Редовна скратена пирамида е дел од правилна пирамида затворена помеѓу основата и рамнината за сечење паралелна со основата на пирамидата.

Причинискратена пирамида - слични многуаголници. Странични лица – трапезоиди. Висина на скратена пирамида е растојанието помеѓу нејзините основи. Дијагонала скратена пирамида е сегмент што ги поврзува нејзините темиња кои не лежат на истото лице. Дијагонален пресек е дел од скратена пирамида со рамнина што минува низ два странични рабови кои не припаѓаат на истото лице.


За скратена пирамида важат следните формули:

(4)

Каде С 1 , С 2 – области на горните и долните основи;

С полни– вкупна површина;

S страна– странична површина;

Х- висина;

В– волумен на скратена пирамида.

За редовна скратена пирамида формулата е точна:

Каде стр 1 , стр 2 – периметри на основите;

ч а– апотема на правилна скратена пирамида.

Пример 1.Во правилна триаголна пирамида, диедралниот агол на основата е 60º. Најдете ја тангентата на аголот на наклон на страничниот раб до рамнината на основата.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 18).


Пирамидата е правилна, што значи дека во основата има рамностран триаголник и сите странични страни се еднакви рамнокраки триаголници. Диедралниот агол на основата е аголот на наклон на страничното лице на пирамидата до рамнината на основата. Линеарен аголќе има агол апомеѓу две нормални: итн. Врвот на пирамидата е проектиран во центарот на триаголникот (центарот на кружниот круг и впишаниот круг на триаголникот ABC). Аголот на наклон на страничниот раб (на пример С.Б.) е аголот помеѓу самиот раб и неговата проекција на рамнината на основата. За реброто С.Б.овој агол ќе биде аголот SBD. За да ја пронајдете тангентата, треба да ги знаете нозете ПАИ О.Б.. Нека должината на сегментот БДеднакво на 3 А. Точка ЗАлиниски сегмент БДсе дели на делови: и Од наоѓаме ПА: Од наоѓаме:

Одговор:

Пример 2.Најдете го волуменот на правилна скратена четириаголна пирамида ако дијагоналите на нејзините основи се еднакви на cm и cm, а нејзината висина е 4 cm.

Решение.За да го пронајдеме волуменот на скратена пирамида, ја користиме формулата (4). За да ја пронајдете областа на основите, треба да ги пронајдете страните на основните квадрати, знаејќи ги нивните дијагонали. Страните на основите се еднакви на 2 cm и 8 cm, соодветно.

Одговор: 112 см 3.

Пример 3.Најдете ја областа на страничното лице на правилна триаголна скратена пирамида, чии страни на основите се 10 cm и 4 cm, а висината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 19).


Страничната страна на оваа пирамида е рамнокрак трапез. За да ја пресметате површината на трапезот, треба да ја знаете основата и висината. Основите се дадени според условот, останува непозната само висината. Ќе ја најдеме од каде А 1 Енормално од точка А 1 на рамнината на долната основа, А 1 Д– нормално од А 1 на AC. А 1 Е= 2 cm, бидејќи ова е висината на пирамидата. Да најде ДЕАјде да направиме дополнителен цртеж што го прикажува горниот приказ (сл. 20). Точка ЗА– проекција на центрите на горните и долните основи. бидејќи (види Сл. 20) и Од друга страна добро– радиус впишан во кругот и ОМ- радиус впишан во круг:

МК = ДЕ.

Според Питагоровата теорема од

Областа на странично лице:


Одговор:

Пример 4.Во основата на пирамидата лежи рамнокрак трапез, чии основи АИ б (а> б). Секое странично лице формира агол еднаков на рамнината на основата на пирамидата ј. Најдете ја вкупната површина на пирамидата.

Решение.Ајде да направиме цртеж (сл. 21). Вкупна површина на пирамидата SABCDеднаков на збирот на површините и површината на трапезоидот А БЕ ЦЕ ДЕ.

Да ја искористиме изјавата дека ако сите лица на пирамидата се подеднакво наклонети кон рамнината на основата, тогаш темето се проектира во центарот на кругот впишан во основата. Точка ЗА– теме проекција Сво основата на пирамидата. Тријаголник СОДе ортогоналната проекција на триаголникот ЦДХВдо рамнината на основата. Користејќи ја теоремата за плоштината на ортогоналната проекција на рамна фигура, добиваме:


Исто така значи Така, проблемот се сведе на пронаоѓање на областа на трапезоидот А БЕ ЦЕ ДЕ. Ајде да нацртаме трапез А БЕ ЦЕ ДЕодделно (сл. 22). Точка ЗА– центар на круг впишан во трапез.


Бидејќи кругот може да биде впишан во трапез, тогаш или Од Питагоровата теорема имаме

Тридимензионална фигура која често се појавува во геометриските проблеми е пирамидата. Наједноставната од сите фигури во оваа класа е триаголна. Во оваа статија детално ќе ги анализираме основните формули и својства на точниот

Геометриски идеи за фигурата

Пред да продолжиме да ги разгледуваме својствата на правилната триаголна пирамида, ајде внимателно да погледнеме за каква фигура зборуваме.

Да претпоставиме дека има произволен триаголник во тродимензионалниот простор. Дозволете ни да избереме која било точка во овој простор што не лежи во рамнината на триаголникот и да ја поврземе со трите темиња на триаголникот. Добивме триаголна пирамида.

Се состои од 4 страни, од кои сите се триаголници. Точките каде што се спојуваат три лица се нарекуваат темиња. Бројката има и четири од нив. Линиите на пресек на две лица се рабови. Пирамидата за која станува збор има 6 рабови На сликата подолу е прикажан пример за оваа фигура.

Бидејќи фигурата е формирана од четири страни, таа се нарекува и тетраедар.

Правилна пирамида

Погоре разгледавме произволна фигура со триаголна основа. Сега да претпоставиме дека цртаме нормална отсечка од врвот на пирамидата до нејзината основа. Овој сегмент се нарекува висина. Очигледно, можно е да се изврши 4 различни висиниза фигурата. Ако висината ја пресекува триаголната основа во геометрискиот центар, тогаш таквата пирамида се нарекува права.

Правилната пирамида, чија основа е рамностран триаголник, се нарекува правилна. За неа се формираат сите три триаголници странична површинафигурите се рамнокраки и еднакви една на друга. Посебен случај на правилна пирамида е ситуацијата кога сите четири страни се рамностран идентични триаголници.

Да ги разгледаме својствата на правилна триаголна пирамида и да ги дадеме соодветните формули за пресметување на нејзините параметри.

Основна страна, висина, страничен раб и апотема

Било кој два од наведените параметри уникатно ги одредуваат преостанатите две карактеристики. Да ги претставиме формулите што ги поврзуваат овие количини.

Да претпоставиме дека страната на основата на правилна триаголна пирамида е a. Должината на неговиот страничен раб е b. Која ќе биде висината на правилната триаголна пирамида и нејзината апотема?

За висина h го добиваме изразот:

Оваа формула произлегува од Питагоровата теорема за која се страничниот раб, висината и 2/3 од висината на основата.

Апотемата на пирамидата е висина за која било страничен триаголник. Должината на апотемата a b е еднаква на:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Од овие формули е јасно дека без оглед на страната на основата на триаголната правилна пирамида и должината на нејзиниот страничен раб, апотемата секогаш ќе биде поголема од висината на пирамидата.

Презентираните две формули ги содржат сите четири линеарни карактеристики на сликата за која станува збор. Затоа, со оглед на познатите две од нив, можете да го најдете остатокот со решавање на системот на пишани еднаквости.

Волумен на фигурата

За апсолутно секоја пирамида (вклучувајќи и наклонета), вредноста на обемот на просторот ограничен со него може да се одреди со познавање на висината на фигурата и површината на нејзината основа. Соодветната формула е:

Применувајќи го овој израз на сликата за која станува збор, ја добиваме следната формула:

Каде што висината на правилна триаголна пирамида е h, а нејзината основна страна е a.

Не е тешко да се добие формула за волумен на тетраедар во кој сите страни се еднакви една со друга и претставуваат рамностран триаголници. Во овој случај, обемот на фигурата се одредува со формулата:

Односно, се одредува единствено со должината на страната a.

Површина

Да продолжиме да ги разгледуваме својствата на правилната триаголна пирамида. Вкупната површина на сите лица на фигурата се нарекува нејзина површина. Вториот може погодно да се проучува со разгледување на соодветниот развој. Сликата подолу покажува како изгледа развојот на правилна триаголна пирамида.

Да претпоставиме дека ја знаеме висината h и страната на основата a на сликата. Тогаш површината на неговата основа ќе биде еднаква на:

Секој ученик може да го добие овој израз ако се сети како да ја најде плоштината на триаголник и исто така земе предвид дека висината на рамностран триаголник е исто така симетрала и средна.

Страничната површина формирана од три идентични рамнокрак триаголници е:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Оваа еднаквост произлегува од изразот на апотемата на пирамидата во однос на висината и должината на основата.

Вкупната површина на сликата е:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Забележете дека за тетраедар во кој сите четири страни се идентични рамностран триаголници, областа S ќе биде еднаква на:

Својства на правилна скратена триаголна пирамида

Ако врвот на разгледуваната триаголна пирамида е отсечен со рамнина паралелна на основата, тогаш преостанатиот долен дел ќе се нарече скратена пирамида.

Во случај на триаголна основа, резултатот од опишаниот метод на пресек е нов триаголник, кој исто така е рамностран, но има пократка должина на страната од страната на основата. Скратена триаголна пирамида е прикажана подолу.

Гледаме дека оваа бројка е веќе ограничена на два триаголни основии три рамнокрак трапезоиди.

Да претпоставиме дека висината на добиената бројка е еднаква на h, должините на страните на долната и горната основа се a 1 и a 2, соодветно, а апотемата (висина на трапезоидот) е еднаква на a b. Потоа, површината на скратената пирамида може да се пресмета со формулата:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Овде првиот термин е областа на страничната површина, вториот термин е областа на триаголните основи.

Волуменот на фигурата се пресметува на следниов начин:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

За недвосмислено одредување на карактеристиките на скратената пирамида, неопходно е да се знаат нејзините три параметри, како што е прикажано со дадените формули.

  • апотема- висината на страничното лице на правилната пирамида, која е извлечена од нејзиното теме (покрај тоа, апотема е должината на нормалната, која е спуштена од средината правилен многуаголникна 1-ви од неговите страни);
  • странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триаголници кои се среќаваат на темето;
  • странични ребра ( AS , Б.С. , Ц.С. , Д.С. ) — заеднички страни на страничните лица;
  • врвот на пирамидата (т. С) - точка што ги поврзува страничните ребра и која не лежи во рамнината на основата;
  • висина ( ПА ) - нормална отсечка извлечена низ врвот на пирамидата до рамнината на нејзината основа (краевите на таков сегмент ќе бидат врвот на пирамидата и основата на нормалната);
  • дијагонален пресек на пирамидата- дел од пирамидата што минува низ врвот и дијагоналата на основата;
  • база (А БЕ ЦЕ ДЕ) - многуаголник што не припаѓа на темето на пирамидата.

Својства на пирамидата.

1. Кога сите странични рабови се со иста големина, тогаш:

  • лесно е да се опише круг во близина на основата на пирамидата, а врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
  • страничните ребра формираат еднакви агли со рамнината на основата;
  • Згора на тоа, важи и спротивното, т.е. кога страничните ребра се формираат со рамнината на основата еднакви агли, или кога може да се опише круг во близина на основата на пирамидата и врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг, што значи дека сите странични рабови на пирамидата се со иста големина.

2. Кога страничните лица имаат агол на наклон кон рамнината на основата со иста вредност, тогаш:

  • лесно е да се опише круг во близина на основата на пирамидата, а врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
  • висините на страничните лица се еднаква должина;
  • површината на страничната површина е еднаква на ½ производ од периметарот на основата и висината на страничното лице.

3. Сфера може да се опише околу пирамида ако во основата на пирамидата има многуаголник околу кој може да се опише круг (неопходен и доволен услов). Центарот на сферата ќе биде точката на пресек на рамнините што минуваат низ средината на рабовите на пирамидата нормално на нив. Од оваа теорема заклучуваме дека сферата може да се опише и околу која било триаголна и околу која било правилна пирамида.

4. Сфера може да се впише во пирамида ако рамнините на симетралите на внатрешните диедрални агли на пирамидата се сечат во првата точка (неопходен и доволен услов). Оваа точка ќе стане центар на сферата.

Наједноставната пирамида.

Врз основа на бројот на агли, основата на пирамидата е поделена на триаголни, четириаголни и така натаму.

Ќе има пирамида триаголен, четириаголна, и така натаму, кога основата на пирамидата е триаголник, четириаголник итн. Триаголна пирамида е тетраедар - тетраедар. Четириаголна - пентагонална и така натаму.