дома > Идеи > Природниот логаритам на e на квадрат. Логаритам. Дефиниција на бинарен логаритам, природен логаритам, децимален логаритам; експоненцијална функција exp(x), број e. Дневник, Ln. Формули на моќи и логаритми. Користење на логаритам, децибели


Природниот логаритам на e на квадрат. Логаритам. Дефиниција на бинарен логаритам, природен логаритам, децимален логаритам; експоненцијална функција exp(x), број e. Дневник, Ln. Формули на моќи и логаритми. Користење на логаритам, децибели




Логаритмот на бројот b до основата a е експонентот до кој бројот a мора да се подигне за да се добие бројот b.

Ако тогаш.

Логаритам - екстремен важна математичка величина, бидејќи логаритамското сметање овозможува не само да се реши експоненцијални равенки, но и оперираат со индикатори, разликуваат експоненцијални и логаритамски функции, ги интегрираат и доведуваат до поприфатлива форма што треба да се пресмета.

Во контакт со

Сите својства на логаритмите се директно поврзани со својствата на експоненцијалните функции. На пример, фактот дека значи дека:

Треба да се забележи дека при решавање на конкретни проблеми, својствата на логаритмите може да испаднат поважни и покорисни од правилата за работа со моќи.

Да претставиме неколку идентитети:

Еве ги основните алгебарски изрази:

;

.

Внимание!може да постои само за x>0, x≠1, y>0.

Ајде да се обидеме да го разбереме прашањето што се природни логаритми. Посебен интерес за математика претставуваат два вида- првиот го има бројот „10“ како основа и се нарекува „децимален логаритам“. Вториот се нарекува природен. База природен логаритам- број „д“. Ова е она за што ќе разговараме во детали во оваа статија.

Ознаки:

  • lg x - децимален;
  • ln x - природно.

Користејќи го идентитетот, можеме да видиме дека ln e = 1, како и фактот дека lg 10=1.

Природен логаритамски график

Ајде да изградиме график на природниот логаритам користејќи го стандардот на класичен начинпо поени. Доколку сакате, можете да проверите дали правилно ја конструираме функцијата со испитување на функцијата. Сепак, има смисла да научите како да го изградите „рачно“ за да знаете како правилно да го пресметате логаритамот.

Функција: y = ln x. Ајде да запишеме табела со точки низ кои ќе помине графикот:

Дозволете ни да објасниме зошто ги избравме овие конкретни вредности на аргументот x. Се работи за идентитетот: . За природниот логаритам овој идентитет ќе изгледа вака:

За погодност, можеме да земеме пет референтни точки:

;

;

.

;

.

Така, пресметувањето на природните логаритми е прилично едноставна задача, згора на тоа, ги поедноставува пресметките на операциите со моќности, претворајќи ги во обично множење.

Со исцртување график точка по точка, добиваме приближен график:

Доменот на дефиниција на природниот логаритам (т.е. сите валидни вредностиаргумент X) - сите броеви се поголеми од нула.

Внимание!Доменот на дефиниција на природниот логаритам вклучува само позитивни бројки! Опсегот на дефиниција не вклучува x=0. Тоа е невозможно врз основа на условите за постоење на логаритам.

Опсегот на вредности (т.е. сите валидни вредности на функцијата y = ln x) се сите броеви во интервалот.

Природна граница на дневник

Проучувајќи го графикот, се поставува прашањето - како се однесува функцијата на y<0.

Очигледно, графикот на функцијата има тенденција да ја премине y-оската, но нема да може да го направи тоа, бидејќи природниот логаритам на x<0 не существует.

Граница на природни дневникможе да се напише вака:

Формула за замена на основата на логаритам

Справувањето со природен логаритам е многу полесно отколку со логаритам кој има произволна основа. Затоа ќе се обидеме да научиме како да го намалиме секој логаритам на природен, или да го изразиме на произволна основа преку природни логаритми.

Да почнеме со логаритамскиот идентитет:

Тогаш секој број или променлива y може да се претстави како:

каде што x е кој било број (позитивен според својствата на логаритамот).

Овој израз може да се земе логаритамски од двете страни. Ајде да го направиме ова користејќи произволна основа z:

Да го користиме својството (само наместо „c“ го имаме изразот):

Од тука ја добиваме универзалната формула:

.

Конкретно, ако z=e, тогаш:

.

Можевме да претставиме логаритам со произволна основа преку односот на два природни логаритма.

Ги решаваме проблемите

Со цел подобро да ги разбереме природните логаритми, ајде да погледнеме примери на неколку проблеми.

Проблем 1. Потребно е да се реши равенката ln x = 3.

Решение:Користејќи ја дефиницијата на логаритамот: ако , тогаш , добиваме:

Проблем 2. Решете ја равенката (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Решение: Користејќи ја дефиницијата на логаритамот: ако , тогаш , добиваме:

.

Ајде повторно да ја користиме дефиницијата за логаритам:

.

Така:

.

Можете приближно да го пресметате одговорот или можете да го оставите во оваа форма.

Задача 3.Решете ја равенката.

Решение:Да направиме замена: t = ln x. Тогаш равенката ќе ја има следната форма:

.

Имаме квадратна равенка. Ајде да го најдеме неговото дискриминаторско:

Првиот корен од равенката:

.

Втор корен од равенката:

.

Сеќавајќи се дека ја направивме замената t = ln x, добиваме:

Во статистиката и теоријата на веројатност, логаритамските величини се наоѓаат многу често. Ова не е изненадувачки, бидејќи бројот e често ја одразува стапката на раст на експоненцијалните количини.

Во компјутерската наука, програмирањето и компјутерската теорија, логаритмите се наоѓаат доста често, на пример, со цел да се складираат N битови во меморијата.

Во теориите за фрактали и димензии, логаритмите постојано се користат, бидејќи димензиите на фракталите се одредуваат само со нивна помош.

Во механиката и физикатаНема дел каде што не биле користени логаритми. Барометриската дистрибуција, сите принципи на статистичката термодинамика, равенката Циолковски итн. се процеси кои можат математички да се опишат само со помош на логаритми.

Во хемијата, логаритмите се користат во Нернстовите равенки и описите на редокс процесите.

Неверојатно, дури и во музиката, за да се открие бројот на делови од октава, се користат логаритми.

Природен логаритам Функција y=ln x нејзините својства

Доказ за главното својство на природниот логаритам

Значи, имаме моќ од два. Ако го земете бројот од крајната линија, лесно можете да ја пронајдете моќта на која ќе треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.

И сега - всушност, дефиницијата на логаритам:

Основата на логаритам од x е моќноста до која мора да се подигне a за да се добие x.

Ознака: log a x = b, каде што a е основата, x е аргументот, b е она на што всушност е еднаков логаритамот.

На пример, 2 3 = 8 ⇒ лог 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Со истиот дневник за успех 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.

Операцијата за наоѓање логаритам на број на дадена основа се нарекува логаритмизација. Значи, да додадеме нова линија на нашата табела:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
дневник 2 2 = 1дневник 2 4 = 2 дневник 2 8 = 3дневник 2 16 = 4 дневник 2 32 = 5дневник 2 64 = 6

За жал, не сите логаритми се пресметуваат толку лесно. На пример, обидете се да го пронајдете дневникот 2 5 . Бројот 5 го нема во табелата, но логиката налага логаритамот да лежи некаде на сегментот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка можат да се напишат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да се остави така: дневник 2 5, лог 3 8, лог 5 100.

Важно е да се разбере дека логаритам е израз со две променливи (основата и аргументот). На почетокот, многу луѓе збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да избегнете досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:

Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритам е моќ, во која мора да се вгради основата за да се добие аргумент. Тоа е основата што е подигната на јачина - таа е означена со црвено на сликата. Излегува дека основата е секогаш на дното! Им го кажувам ова прекрасно правило на моите ученици уште на првата лекција - и не се појавува забуна.

Ја сфативме дефиницијата - останува само да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:

  1. Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата на степен со рационален експонент, на кој е намалена дефиницијата за логаритам.
  2. Основата мора да биде различна од една, бидејќи една до кој било степен сè уште останува една. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!

Таквите ограничувања се нарекуваат опсег на прифатливи вредности(ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Забележете дека нема ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот). На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1.

Меѓутоа, сега ги разгледуваме само нумеричките изрази, каде што не е потребно да се знае VA на логаритмот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од авторите на задачите. Но, кога ќе одат логаритамски равенкии нееднаквости, барањата за DHS ќе станат задолжителни. На крајот на краиштата, основата и аргументот може да содржат многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.

Сега да размислиме општа шемапресметување на логаритми. Се состои од три чекори:

  1. Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со минимална можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децимали;
  2. Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
  3. Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.

Тоа е се! Ако логаритмот се покаже дека е ирационален, тоа ќе биде видливо веќе во првиот чекор. Условот основата да биде поголема од една е многу важна: ова ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Исто со децимали: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу помалку грешки.

Ајде да видиме како функционира оваа шема користејќи конкретни примери:

Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25

  1. Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

    2. Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
    log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

  2. Го добивме одговорот: 2.

Задача. Пресметајте го логаритамот:

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64

  1. Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
    log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
  3. Го добивме одговорот: 3.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1

  1. Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
    log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
  3. Го добивме одговорот: 0.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14

  1. Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не може да се претстави како сила од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. Од претходниот став следува дека логаритмот не се брои;
  3. Одговорот е без промена: дневник 7 14.

Мала забелешка за последниот пример. Како можеш да бидеш сигурен дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу е едноставно - само вклучете го во основни фактори. Ако проширувањето има најмалку два различни фактори, бројот не е точна моќност.

Задача. Откријте дали бројките се точни сили: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точен степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна моќност, бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точен степен;
35 = 7 · 5 - повторно не е точна моќност;
14 = 7 · 2 - повторно не е точен степен;

Да забележиме и дека ние самите примарни броевисе секогаш точни степени за себе.

Децимален логаритам

Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и симбол.

Децималниот логаритам на x е логаритам на основата 10, т.е. Моќта до која треба да се подигне бројот 10 за да се добие бројот x. Ознака: lg x.

На пример, дневник 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.

Отсега натаму, кога ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“ во учебник, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте запознаени со оваа нотација, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x

Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децималните логаритми.

Природен логаритам

Постои уште еден логаритам кој има своја ознака. На некој начин, тоа е уште поважно од децималното. Зборуваме за природниот логаритам.

Природниот логаритам на x е логаритам на основата e, т.е. моќта до која треба да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x.

Многумина ќе прашаат: кој е бројот e? Ова ирационален број, неговата точна вредност е невозможно да се најде и запише. Ќе ги дадам само првите бројки:
e = 2,718281828459...

Нема да навлегуваме во детали за тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x

Така ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Во принцип, природниот логаритам на кој било рационален бројирационален. Освен, се разбира, за еден: ln 1 = 0.

За природните логаритми важат сите правила кои се точни за обичните логаритми.

    Воопшто не е лошо, нели? Додека математичарите бараат зборови за да ви дадат долга, збунувачка дефиниција, ајде внимателно да ја разгледаме оваа едноставна и јасна дефиниција.

    Бројот e значи раст

    Бројот e значи континуиран раст. Како што видовме во претходниот пример, e x ни овозможува да ги поврземе каматата и времето: 3 години со 100% раст е исто како и 1 година со 300%, под претпоставка за „сложена камата“.

    Можете да ги замените процентуалните и временските вредности (50% за 4 години), но подобро е да го поставите процентот како 100% за погодност (излегува 100% за 2 години). Преместувајќи се на 100%, можеме да се фокусираме само на временската компонента:

    e x = e проценти * време = e 1,0 * време = e време

    Очигледно e x значи:

  • колку ќе порасне мојот придонес по x единици време (претпоставувајќи 100% континуиран раст).
  • на пример, по 3 временски интервали ќе добијам e 3 = 20,08 пати повеќе „работи“.

e x е фактор на скалирање кој покажува до кое ниво ќе пораснеме за x временски период.

Природниот логаритам значи време

Природниот логаритам е инверзна на e, фантастичен термин за спротивното. Зборувајќи за чуда; на латински се нарекува logarithmus naturali, па оттука и кратенката ln.

А што значи оваа инверзија или спротивност?

  • e x ни овозможува да го замениме времето и да добиеме раст.
  • ln(x) ни овозможува да земеме раст или приход и да го дознаеме времето потребно за да ги генерираме.

На пример:

  • e 3 е еднакво на 20.08. По три временски периоди ќе имаме 20,08 пати Понатамукаде што почнавме.
  • ln(08/20) би бил приближно 3. Ако сте заинтересирани за раст од 20,08 пати, ќе ви требаат 3 временски периоди (повторно, под претпоставка 100% континуиран раст).

Уште читате? Природниот логаритам го покажува времето потребно за да се достигне посакуваното ниво.

Ова нестандардно логаритамско броење

Дали сте поминале низ логаритми - тие се чудни суштества. Како успеале множењето да го претворат во собирање? Што е со делењето на одземање? Ајде да погледнеме.

На што е еднакво ln(1)? Интуитивно, прашањето е: колку долго треба да чекам за да добијам 1x повеќе од она што го имам?

Нула. Нула. Воопшто не. Го имаш веќе еднаш. Не е потребно многу време да се оди од ниво 1 до ниво 1.

  • лог (1) = 0

Добро, што е со фракционата вредност? Колку време ќе ни треба да ни остане 1/2 од расположливата количина? Знаеме дека со 100% континуиран раст, ln(2) значи време кое е потребно за да се удвои. Ако ние да го вратиме времето назад(т.е. почекајте негативно време), тогаш ќе добиеме половина од она што го имаме.

  • ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Логично, нели? Ако се вратиме назад (времето назад) на 0,693 секунди, ќе најдеме половина од достапната сума. Во принцип, можете да ја превртите фракцијата и да земете негативно значење: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Тоа значи дека ако се вратиме во времето на 1,09 пати, ќе најдеме само третина од сегашниот број.

Добро, што е со логаритамот на негативен број? Колку време е потребно за да се „расне“ колонија на бактерии од 1 до -3?

Ова е невозможно! Не можете да добиете негативен број на бактерии, нели? Може да добиете максимум (или...минимум) нула, но нема шанси да добиете негативен број од овие мали животни. ВО негативен бројбактериите едноставно немаат смисла.

  • ln(негативен број) = недефиниран

„Недефинирано“ значи дека нема многу време што би требало да се чека за да се добие негативна вредност.

Логаритамското множење е едноставно смешно

Колку време ќе биде потребно за да се зголеми четирикратно? Се разбира, можете само да земете ln(4). Но, ова е премногу едноставно, ќе одиме на друг начин.

Можете да го замислите четирикратниот раст како удвојување (потребно е ln(2) единици време) и потоа повторно удвојување (потребно е уште ln(2) единици време):

  • Време за растење 4 пати = ln(4) = Време за удвојување, а потоа повторно удвојување = ln(2) + ln(2)

Интересно. Секоја стапка на раст, да речеме 20, може да се смета за удвојување веднаш по 10x зголемување. Или раст за 4 пати, а потоа за 5 пати. Или тројно, а потоа зголемување за 6.666 пати. Ја гледате шемата?

  • ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логаритмот на A пати B е log(A) + log(B). Овој однос веднаш добива смисла кога се гледа од аспект на раст.

Ако сте заинтересирани за 30x раст, можете да чекате ln(30) во едно седење, или да чекате ln(3) за тројно, а потоа уште ln(10) за 10x. Конечниот резултатистото, па секако времето мора да остане константно (и останува).

Што е со поделбата? Поточно, ln(5/3) значи: колку време ќе биде потребно за да порасне 5 пати и потоа да добие 1/3 од тоа?

Одлично, растот за 5 пати е ln(5). Зголемувањето од 1/3 пати ќе потрае -ln(3) единици време. Значи,

  • ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Тоа значи: нека порасне 5 пати, а потоа „вратете се во времето“ до точка каде што останува само една третина од таа количина, па добивате 5/3 раст. Во принцип, излегува

  • ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Се надевам дека чудната аритметика на логаритмите почнува да има смисла за вас: множењето на стапките на раст станува собирање временски единици за раст, а делењето станува одземање временски единици. Нема потреба да ги меморирате правилата, обидете се да ги разберете.

Користење на природниот логаритам за произволен раст

Па, се разбира“, велите, „сето ова е добро ако растот е 100%, но што е со 5% што ги добивам?“

Нема проблем. „Времето“ што го пресметуваме со ln() е всушност комбинација од каматна стапка и време, истото X од равенката e x. Само решивме да го поставиме процентот на 100% за едноставност, но слободно можеме да користиме какви било бројки.

Да речеме дека сакаме да постигнеме 30x раст: земете ln(30) и добијте 3,4 Ова значи:

  • e x = висина
  • e 3,4 = 30

Очигледно, оваа равенка значи „100% враќање во текот на 3,4 години дава 30x раст“. Оваа равенка можеме да ја напишеме на следниов начин:

  • e x = e стапка*време
  • e 100% * 3,4 години = 30

Можеме да ги смениме вредностите на „облог“ и „време“, сè додека времето на облогот * остане 3,4. На пример, ако сме заинтересирани за 30x раст, колку долго ќе треба да чекаме со каматна стапка од 5%?

  • ln(30) = 3,4
  • стапка * време = 3,4
  • 0,05 * време = 3,4
  • време = 3,4 / 0,05 = 68 години

Разговарам вака: "ln(30) = 3,4, така што при 100% раст ќе бидат потребни 3,4 години. Ако ја удвои стапката на раст, потребното време ќе се преполови."

  • 100% за 3,4 години = 1,0 * 3,4 = 3,4
  • 200% за 1,7 години = 2,0 * 1,7 = 3,4
  • 50% за 6,8 години = 0,5 * 6,8 = 3,4
  • 5% над 68 години = ,05 * 68 = 3,4.

Одлично, нели? Природниот логаритам може да се користи со која било каматна стапка и време бидејќи нивниот производ останува константен. Можете да преместувате променливи вредности колку што сакате.

Кул пример: Правило на седумдесет и два

Правилото на седумдесет и два е математичка техника која ви овозможува да процените колку време ќе биде потребно за вашите пари да се удвојат. Сега ќе го заклучиме (да!), а згора на тоа, ќе се обидеме да ја разбереме неговата суштина.

Колку време ќе биде потребно за да ги удвоите вашите пари со 100% камата што се зголемува годишно?

Упс. Го користевме природниот логаритам за случајот на континуиран раст, а сега зборуваш за годишно мешање? Зарем оваа формула не би станала несоодветна за таков случај? Да, ќе биде, но за реални каматни стапки како 5%, 6% или дури 15%, разликата помеѓу годишното мешање и континуираниот раст ќе биде мала. Значи грубата проценка функционира, хм, отприлика, па ќе се преправаме дека имаме целосно континуирано пресметување.

Сега прашањето е едноставно: Колку брзо можете да се удвоите со 100% раст? ln (2) = 0,693. Потребни се 0,693 единици време (години во нашиот случај) за да се удвои нашата сума со континуиран пораст од 100%.

Па, што ако каматната стапка не е 100%, туку да речеме 5% или 10%?

Лесно! Бидејќи облогот * време = 0,693, ќе го удвоиме износот:

  • стапка * време = 0,693
  • време = 0,693 / облог

Излегува дека ако растот е 10%, ќе бидат потребни 0,693 / 0,10 = 6,93 години за да се удвои.

За да ги поедноставиме пресметките, ајде да ги помножиме двете страни со 100, а потоа можеме да кажеме „10“ наместо „0,10“:

  • време за удвојување = 69,3 / облог, каде што облогот се изразува како процент.

Сега е време да се удвои со стапка од 5%, 69,3 / 5 = 13,86 години. Сепак, 69,3 не е најзгодната дивиденда. Ајде да избереме затворен број, 72, што е погодно да се дели со 2, 3, 4, 6, 8 и други броеви.

  • време за двојно = 72 / облог

што е правило на седумдесет и два. Сè е покриено.

Ако треба да најдете време за тројно, можете да користите ln(3) ~ 109,8 и да добиете

  • време до тројно = 110 / облог

Што е друго корисно правило. „Правилото на 72“ се однесува на растот на каматните стапки, растот на населението, бактериските култури и се што расте експоненцијално.

Што е следно?

Се надеваме дека природниот логаритам сега има смисла за вас - го покажува времето потребно за кој било број да расте експоненцијално. Мислам дека се нарекува природно затоа што e е универзална мерка за раст, така што може да се разгледа ln на универзален начинодредување колку време е потребно за да расте.

Секој пат кога ќе видите ln(x), запомнете „времето што е потребно за да пораснете X пати“. Во претстојната статија ќе ги опишам e и ln заедно, така што свежиот мирис на математиката ќе го исполни воздухот.

Додаток: Природен логаритам на е

Брз квиз: што е ln(e)?

  • математичкиот робот ќе рече: бидејќи тие се дефинирани како инверзни едни на други, очигледно е дека ln(e) = 1.
  • разбирливо лице: ln(e) е бројот на пати што е потребно за да се зголеми „e“ пати (околу 2.718). Меѓутоа, самиот број e е мерка за раст со фактор 1, така што ln(e) = 1.

Размислете јасно.

9 септември 2013 година

Ова може да биде, на пример, калкулатор од основен сетпрограми за операциона сала Windows системи. Врската за стартување е сосема скриена во главното мени на ОС - отворете ја со кликнување на копчето „Старт“, потоа отворете го неговиот дел „Програми“, одете во потсекцијата „Стандард“, а потоа во „Комунални услуги“. дел и, конечно, кликнете на ставката „Калкулатор“ " Наместо да го користите глувчето и да се движите низ менијата, можете да ја користите тастатурата и дијалогот за стартување на програмата - притиснете ја комбинацијата на копчиња WIN + R, напишете calc (ова е името на извршната датотека на калкулаторот) и притиснете Enter.

Префрлете го интерфејсот на калкулаторот во напреден режим, кој ви овозможува да направите ... Стандардно се отвора во „нормален“ приказ, но ви треба „инженеринг“ или „“ (во зависност од верзијата на ОС што ја користите). Проширете го делот „Прикажи“ во менито и изберете ја соодветната линија.

Внесете го аргументот чија природна вредност сакате да ја оцените. Ова може да се направи или од тастатурата или со кликнување на соодветните копчиња во интерфејсот на калкулаторот на екранот.

Кликнете на копчето означено со ln - програмата ќе го пресмета логаритамот до основата e и ќе го покаже резултатот.

Користете еден од -калкулаторите како алтернатива за пресметување на вредноста на природниот логаритам. На пример, оној кој се наоѓа на http://calc.org.ua. Неговиот интерфејс е исклучително едноставен - има едно поле за внесување каде што треба да ја напишете вредноста на бројот, чиј логаритам треба да го пресметате. Меѓу копчињата, пронајдете и кликнете на она што вели ln. Скриптата на овој калкулатор не бара испраќање податоци до серверот и одговор, така што резултатот од пресметката ќе го добиете речиси веднаш. Единствената карактеристика што треба да се земе предвид е сепараторот помеѓу фракционото и цел делВнесениот број овде мора да има точка, а не .

Терминот " логаритам„Потекнува од два грчки збора, едниот значи „број“, а другиот значи „сооднос“. Ја означува математичката операција на пресметката променлива големина(експонент) на кој мора да се подигне константна вредност (основа) за да се добие бројот означен под знакот логаритамА. Ако основата е еднаква на математичка константа наречена број „е“, тогаш логаритамнаречен „природен“.

Ќе ви треба

  • Пристап до Интернет, Microsoft Office Excel или калкулатор.

Инструкции

Користете ги многуте калкулатори достапни на Интернет - ова е можеби лесен начин да се пресмета природната а. Не мора да барате соодветна услуга, бидејќи многу пребарувачи имаат вградени калкулатори кои се сосема погодни за работа со логаритамами. На пример, одете на почетна страницанајголемиот онлајн пребарувач - Google. Овде не се потребни копчиња за внесување вредности или за избор на функции, само внесете го саканото математичко дејство во полето за внесување барање. Да речеме да пресметаме логаритами бројот 457 во основата „е“, внесете ln 457 - ова ќе биде доволно за Google да прикаже со точност од осум децимални места (6.12468339) дури и без притискање на копчето за испраќање барање до серверот.

Користете ја соодветната вградена функција ако треба да ја пресметате вредноста на природно логаритами се јавува при работа со податоци во популарниот уредувач на табели Microsoft Office Excel. Оваа функција се повикува овде со користење на заедничката нотација логаритама во голема буква - LN. Изберете ја ќелијата во која треба да се прикаже резултатот од пресметката и внесете знак за еднаквост - вака во овој уредувач на табеларни пресметки треба да започнат записите во ќелиите што ги содржат во потсекцијата „Стандард“ во делот „Сите програми“ од главното мени. Префрлете го калкулаторот во пофункционален режим со притискање Alt + 2. Потоа внесете ја вредноста, природна логаритамшто сакате да го пресметате и кликнете во програмскиот интерфејс на копчето означено со симболите ln. Апликацијата ќе ја изврши пресметката и ќе го прикаже резултатот.

Видео на темата

Природен логаритам

График на функцијата природен логаритам. Функцијата полека се приближува до позитивната бесконечност додека се зголемува xи брзо се приближува до негативната бесконечност кога xсе стреми кон 0 („бавно“ и „брзо“ во споредба со било кој функција за напојувањеод x).

Природен логаритаме логаритам до основата , Каде д- ирационална константа еднаква на приближно 2,718281 828. Природниот логаритам обично се пишува како ln( x), дневник д (x) или понекогаш само најавете се( x), ако основата димплицирана.

Природен логаритам на број x(напишано како ln(x)) е експонентот до кој бројот мора да се подигне д, За да се добие x. На пример, ln (7.389...)е еднакво на 2 бидејќи д 2 =7,389... . Природен логаритам на самиот број д (ln(e)) е еднакво на 1 бидејќи д 1 = д, а природниот логаритам е 1 ( ln (1)) е еднакво на 0 бидејќи д 0 = 1.

Природниот логаритам може да се дефинира за кој било позитивен реален број акако површина под кривата y = 1/xод 1 до а. Едноставноста на оваа дефиниција, која е во согласност со многу други формули кои го користат природниот логаритам, доведе до името „природно“. Оваа дефиниција може да се прошири на сложени броеви, како што е дискутирано подолу.

Ако го земеме природниот логаритам како реална функција на реална променлива, тогаш тоа е инверзна функција на експоненцијална функција, што доведува до идентитетите:

Како и сите логаритми, природниот логаритам го пресликува множењето до собирање:

Така, логаритамската функција е изоморфизам на групата позитивни реални броеви во однос на множењето со групата реални броеви во однос на собирањето, што може да се претстави како функција:

Логаритмот може да се дефинира за која било позитивна основа освен 1, а не само д, но логаритмите за другите основи се разликуваат од природниот логаритам само со константен фактор и обично се дефинираат во однос на природниот логаритам. Логаритмите се корисни за решавање равенки кои вклучуваат непознати како експоненти. На пример, логаритмите се користат за да се најде константата на распаѓање за познат полуживот или да се најде времето на распаѓање при решавање на проблеми со радиоактивност. Тие играат важна улогаво многу области на математиката и применетите науки, се користат во финансиите за да се решат многу проблеми, вклучително и изнаоѓање сложена камата.

Приказна

Првото спомнување на природниот логаритам го направи Николас Меркатор во неговата работа Логаритмотехнија, објавена во 1668 година, иако наставникот по математика Џон Спидел составил табела на природни логаритми уште во 1619 година. Претходно беше наречен хиперболичен логаритам бидејќи одговара на областа под хиперболата. Понекогаш се нарекува логаритам на Напиер, иако првобитното значење на овој термин беше нешто поинакво.

Конвенции за назначување

Природниот логаритам обично се означува со „ln( x)“, логаритам до основата 10 - преку „lg( x)“, а другите причини обично се означени експлицитно со симболот „лог“.

Во многу дела за дискретна математика, кибернетика и компјутерски науки, авторите ја користат ознаката „log( x)" за логаритми до основата 2, но оваа конвенција не е општо прифатена и бара појаснување или во списокот на употребени ознаки или (во отсуство на таков список) со фуснота или коментар кога првпат се користи.

Заградите околу аргументот на логаритмите (ако тоа не доведе до погрешно читање на формулата) обично се испуштаат, а при подигање на логаритам на моќност, експонентот се доделува директно на знакот на логаритмот: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Англо-американски систем

Математичарите, статистичарите и некои инженери обично користат за означување на природниот логаритам или „log( x)" или "ln( x)“, а за означување на логаритамот на основата 10 - „log 10 ( x)».

Некои инженери, биолози и други специјалисти секогаш пишуваат „ln( x)" (или повремено "log e ( x)") кога значат природниот логаритам и ознаката "log( x)" тие значат дневник 10 ( x).

дневник де „природен“ логаритам бидејќи се јавува автоматски и се појавува многу често во математиката. На пример, разгледајте го проблемот со изводот на логаритамска функција:

Доколку основата беднакви д, тогаш дериватот е едноставно 1/ x, и кога x= 1 овој извод е еднаков на 1. Друга причина зошто основата дНајприродното нешто во врска со логаритмот е тоа што може да се дефинира прилично едноставно во однос на едноставна интегрална или Тејлоровата серија, што не може да се каже за другите логаритми.

Понатамошните оправдувања за природноста не се поврзани со нотација. На пример, постојат неколку едноставни серии со природни логаритми. Им се јавија Пјетро Менголи и Николас Меркатор логаритам натуралиснеколку децении додека Њутн и Лајбниц не развија диференцијална и интегрална пресметка.

Дефиниција

Формално на ( а) може да се дефинира како површина под кривата на графиконот 1/ xод 1 до а, т.е. како интеграл:

Тој е навистина логаритам бидејќи го задоволува основното својство на логаритамот:

Ова може да се докаже со претпоставка како што следува:

Нумеричка вредност

За да ја пресметате нумеричката вредност на природниот логаритам на некој број, можете да го користите проширувањето на неговата Тејлор серија во форма:

За да добиете подобра стапка на конвергенција, можете да го користите следниов идентитет:

под услов да y = (x−1)/(x+1) и x > 0.

За ln( x), Каде x> 1, толку е поблиску вредноста xдо 1, толку е побрза стапката на конвергенција. Идентитетите поврзани со логаритмот може да се користат за да се постигне целта:

Овие методи се користеа дури и пред појавата на калкулаторите, за кои беа користени нумерички табели и беа извршени манипулации слични на оние опишани погоре.

Висока точност

Да се ​​пресмета природниот логаритам со голема сумабројки за точност, серијата Тејлор не е ефикасна бидејќи нејзината конвергенција е бавна. Алтернатива е да се користи методот на Њутн за да се преврти во експоненцијална функција чија серија побрзо се конвергира.

Алтернатива за многу висока прецизностпресметката е формулата:

Каде Мозначува аритметичко-геометриски просек од 1 и 4/s, и

мизбран така што стрсе постигнуваат знаци на точност. (Во повеќето случаи, вредноста од 8 за m е доволна.) Навистина, ако се користи овој метод, Њутновата инверзна на природниот логаритам може да се примени на ефикасно пресметувањеекспоненцијална функција. (Константите ln 2 и pi може однапред да се пресметаат до саканата точност користејќи која било од познатите брзо конвергентни серии.)

Комплексност на пресметување

Пресметковната сложеност на природните логаритми (со користење на аритметичко-геометриската средина) е O( М(n) н n). Еве nе бројот на цифри со прецизност за кои мора да се оцени природниот логаритам, и М(n) е пресметковна сложеност на множење два n-цифрени броеви.

Продолжени дропки

Иако не постојат едноставни продолжени дропки за претставување на логаритам, може да се користат неколку генерализирани продолжени дропки, вклучувајќи:

Сложени логаритми

Експоненцијалната функција може да се прошири на функција која дава комплексен број на формата д xза кој било произволен комплексен број x, во овој случај бесконечна серија со комплекс x. Ова експоненцијална функцијаможе да се преврти за да се формира сложен логаритам, кој ќе ги има повеќето својства на обичните логаритми. Сепак, има две тешкотии: нема x, за што д x= 0, и излегува дека д 2πi = 1 = д 0 . Бидејќи својството на мултипликативност важи за сложена експоненцијална функција, тогаш д z = д z+2nπiза сите сложени zи целина n.

Логаритмот не може да се дефинира на целата сложена рамнина, па дури и затоа е повеќевреднос - секој сложен логаритам може да се замени со „еквивалентен“ логаритам со додавање на кој било цел број повеќекратен од 2. πi. Сложениот логаритам може да се вреднува само на парче од сложената рамнина. На пример, ln јас = 1/2 πiили 5/2 πiили −3/2 πiитн., и иако јас 4 = 1,4 лог јасможе да се дефинира како 2 πi, или 10 πiили −6 πi, и така натаму.

исто така види

  • Џон Непиер - пронаоѓач на логаритми

Белешки

  1. Математика за физичка хемија. - 3. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5Извадок од страница 9
  2. J J O"Connor и E F RobertsonБројот е. Архивата MacTutor History of Mathematics (септември 2001 година). Архивирана
  3. Кајори ФлоријанИсторија на математиката, 5-то издание. - Книжарница AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
  4. Флешмен, МартинПроценка на интеграли со помош на полиноми. Архивирано од оригиналот на 12 февруари 2012 година.