дома > Идеи > Како да се најде a во квадратна равенка. Квадратен корен: формули за пресметување. Формула за наоѓање корени на квадратна равенка


Како да се најде a во квадратна равенка. Квадратен корен: формули за пресметување. Формула за наоѓање корени на квадратна равенка




Библиографски опис: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Методи за решавање на квадратни равенки // Млад научник. 2016. Бр.6.1. P. 17-20..03.2019).





Нашиот проект е за начини за решавање на квадратни равенки. Цел на проектот: научете да решавате квадратни равенки на начини кои не се вклучени во училишната програма. Задача: најдете сè можни начинирешавање на квадратни равенки и учење како самите да ги користите и воведување на овие методи на вашите соученици.

Што се „квадратни равенки“?

Квадратна равенка- равенка на формата секира2 + bx + c = 0, Каде а, б, в- некои бројки ( a ≠ 0), x- непознато.

Броевите a, b, c се нарекуваат коефициенти на квадратната равенка.

  • a се нарекува прв коефициент;
  • b се нарекува втор коефициент;
  • в - слободен член.

Кој беше првиот што ги „измисли“ квадратните равенки?

Некои алгебарски техники за решавање на линеарни и квадратни равенки биле познати пред 4000 години во Антички Вавилон. Откривањето на древните вавилонски глинени плочи, кои датираат од некаде помеѓу 1800 и 1600 п.н.е., ги дава најраните докази за проучување на квадратните равенки. Истите таблети содржат методи за решавање на одредени типови квадратни равенки.

Потребата за решавање равенки не само од прв, туку и од втор степен во античко време била предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со наоѓање области земјишни парцелии со земјени работиод воен карактер, како и со развојот на самата астрономија и математика.

Правилото за решавање на овие равенки, утврдено во вавилонските текстови, во суштина се совпаѓа со модерното, но не е познато како Вавилонците дошле до ова правило. Речиси сите досега пронајдени текстови со клинесто писмо даваат само проблеми со решенија изложени во форма на рецепти, без индикации за тоа како се пронајдени. И покрај високо ниворазвој на алгебрата во Вавилон, текстовите со клинесто писмо немаат концепт за негативен број и општи методи за решавање на квадратни равенки.

Вавилонски математичари од околу 4 век п.н.е. го користел методот на комплемент на квадрат за да реши равенки со позитивни корени. Околу 300 п.н.е Евклид смислил поопшт метод на геометриско решение. Првиот математичар кој најде решенија за равенки со негативни корени во форма на алгебарска формула беше индиски научник Брамагупта(Индија, 7 век н.е.).

Брамагупта постави општо правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма:

ax2 + bx = c, a>0

Коефициентите во оваа равенка можат да бидат и негативни. Правилото на Брамагупта во суштина е исто како и нашето.

Јавните натпревари во решавање на тешки проблеми беа вообичаени во Индија. Една од старите индиски книги го вели следново за ваквите натпревари: „Како што сонцето ги надминува ѕвездите со својот сјај, така учениот човек ќе ја надмине својата слава на јавните собири со предлагање и решавање на алгебарски проблеми“. Проблемите честопати беа претставени во поетска форма.

Во еден алгебарски трактат Ал-Хваризмидадена е класификација на линеарни и квадратни равенки. Авторот брои 6 типа равенки, изразувајќи ги на следниов начин:

1) „Квадратите се еднакви на корените“, т.е. ax2 = bx.

2) „Квадратите се еднакви на броевите“, т.е. ax2 = c.

3) „Корените се еднакви на бројот“, т.е. ax2 = c.

4) „Квадратите и броевите се еднакви на корените“, т.е. ax2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените се еднакви на бројот“, т.е. ax2 + bx = c.

6) „Корените и броевите се еднакви на квадрати“, т.е. bx + c == ax2.

За Ал-Хваризми, кој избегнувал употреба на негативни броеви, поимите на секоја од овие равенки се собирања, а не одземања. Во овој случај, равенките кои немаат позитивни решенија очигледно не се земаат предвид. Авторот поставува методи за решавање на овие равенки користејќи ги техниките на ал-џабр и ал-мукабал. Неговата одлука, се разбира, не се совпаѓа целосно со нашата. Да не зборуваме дека е чисто реторичко, треба да се забележи, на пример, дека при решавањето на нецелосна квадратна равенка од прв тип, Ал-Хорезми, како и сите математичари до 17 век, не го земаат предвид нултото решение. веројатно затоа што во конкретни практични тоа не е важно во задачите. Кога решава целосни квадратни равенки, Ал-Хваризми ги поставува правилата за нивно решавање користејќи одредени нумерички примери, а потоа и нивните геометриски докази.

Формите за решавање на квадратни равенки по моделот на Ал-Хваризми во Европа за првпат беа претставени во „Книгата на абакусот“, напишана во 1202 година. италијански математичар Леонард Фибоначи. Авторот самостојно развил некои нови алгебарски примери за решавање проблеми и бил првиот во Европа кој пристапил кон воведување негативни броеви.

Оваа книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу проблеми од оваа книга се користени во речиси сите европски учебници од 14-17 век. Општо правилорешението на квадратните равенки сведено на една канонска форма x2 + bх = с за сите можни комбинации на знаци и коефициенти b, c беше формулирано во Европа во 1544 година. М. Штифел.

Изведување на формулата за решавање на квадратна равенка во општ погледВиет го има, но Виет препозна само позитивни корени. Италијански математичари Тартаља, Кардано, Бомбелимеѓу првите во 16 век. Покрај позитивните, се земаат предвид и негативните корени. Само во 17 век. благодарение на напорите Жирар, Декарт, Њутни други научниците начинрешавањето квадратни равенки добива современа форма.

Ајде да погледнеме неколку начини за решавање на квадратни равенки.

Стандардни методи за решавање на квадратни равенки од училишната наставна програма:

  1. Факторирање на левата страна на равенката.
  2. Начин за избор на целосен квадрат.
  3. Решавање на квадратни равенки со помош на формулата.
  4. Графичко решение на квадратна равенка.
  5. Решавање равенки со помош на теоремата на Виета.

Дозволете ни да се задржиме подетално на решението на намалените и нередуцираните квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета.

Потсетиме дека за да се решат горенаведените квадратни равенки, доволно е да се најдат два броја чиј производ е еднаков на слободниот член, а чиј збир е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак.

Пример.x 2 -5x+6=0

Треба да најдете броеви чиј производ е 6, а збирот е 5. Овие броеви ќе бидат 3 и 2.

Одговор: x 1 =2, x 2 =3.

Но, овој метод можете да го користите и за равенки со првиот коефициент не еднаков на еден.

Пример.3x 2 +2x-5=0

Земете го првиот коефициент и помножете го со слободниот член: x 2 +2x-15=0

Корените на оваа равенка ќе бидат броеви чиј производ е еднаков на - 15, а чиј збир е еднаков на - 2. Овие броеви се 5 и 3. За да ги најдете корените на првобитната равенка, поделете ги добиените корени со првиот коефициент.

Одговор: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Решавање равенки со методот „фрлање“.

Размислете за квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0, каде што a≠0.

Помножувајќи ги двете страни со a, ја добиваме равенката a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Нека ax = y, од каде x = y/a; тогаш доаѓаме до равенката y 2 + со + ac = 0, еквивалентно на даденото. Ги наоѓаме неговите корени за 1 и 2 користејќи ја теоремата на Виета.

Конечно добиваме x 1 = y 1 /a и x 2 = y 2 /a.

Со овој метод, коефициентот a се множи со слободниот член, како да е „фрлен“ кон него, поради што се нарекува метод на „фрлање“. Овој метод се користи кога корените на равенката може лесно да се најдат со помош на теоремата на Виета и што е најважно, кога дискриминаторот е точен квадрат.

Пример.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Да го „фрлиме“ коефициентот 2 на слободниот член и да направиме замена и да ја добиеме равенката y 2 - 11y + 30 = 0.

Според инверзната теорема на Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Одговор: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Својства на коефициенти на квадратна равенка.

Нека е дадена квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ако a+ b + c = 0 (т.е. збирот на коефициентите на равенката е нула), тогаш x 1 = 1.

2. Ако a - b + c = 0, или b = a + c, тогаш x 1 = - 1.

Пример.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Бидејќи a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), тогаш x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Одговор: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Пример.132x 2 + 247x + 115 = 0

Бидејќи a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), потоа x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Одговор: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Постојат и други својства на коефициентите на квадратна равенка. но нивната употреба е посложена.

8. Решавање на квадратни равенки со помош на номограм.

Сл 1. Номограм

Ова е стар и моментално заборавен метод за решавање на квадратни равенки, поставен на стр 83 од збирката: Bradis V.M. Математички табели со четири цифри. - М., Образование, 1990 година.

Табела XXII. Номограм за решавање на равенката z 2 + pz + q = 0. Овој номограм овозможува, без да се реши квадратна равенка, да се одредат корените на равенката од нејзините коефициенти.

Криволинеарната скала на номограмот е изградена според формулите (сл. 1):

Верувајќи OS = p, ED = q, OE = a(сите во cm), од сл. 1 сличности на триаголници САНИ ЦДФја добиваме пропорцијата

што по замените и поедноставувањата ја дава равенката z 2 + pz + q = 0,и писмото zзначи ознака на која било точка на заоблена скала.

Ориз. 2 Решавање квадратни равенки со помош на номограм

Примери.

1) За равенката z 2 - 9z + 8 = 0номограмот ги дава корените z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Одговор:8.0; 1.0.

2) Со номограм ја решаваме равенката

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Поделете ги коефициентите на оваа равенка со 2, ја добиваме равенката z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмот дава корени z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Одговор: 4; 0,5.

9. Геометриски метод за решавање на квадратни равенки.

Пример.X 2 + 10x = 39.

Во оригиналот, овој проблем е формулиран на следниов начин: „Квадратот и десетте корени се еднакви на 39“.

Размислете за квадрат со страна x, на неговите страни се конструираат правоаголници така што другата страна на секоја од нив е 2,5, затоа плоштината на секоја е 2,5x. Добиената бројка потоа се дополнува со нов квадрат ABCD, градејќи четири еднакви квадрати во аглите, страната на секој од нив е 2,5, а плоштината е 6,25

Ориз. 3 Графички метод за решавање на равенката x 2 + 10x = 39

Плоштината S на квадратот ABCD може да се претстави како збир од плоштините на: оригиналниот квадрат x 2, четири правоаголници (4∙2,5x = 10x) и четири дополнителни квадрати (6,25∙4 = 25), т.е. S = x 2 + 10x = 25. Заменувајќи го x 2 + 10x со бројот 39, добиваме дека S = 39 + 25 = 64, што значи дека страната на квадратот е ABCD, т.е. отсечка AB = 8. За бараната страна x од оригиналниот квадрат добиваме

10. Решавање равенки користејќи ја теоремата на Безут.

Теорема на Безут. Остатокот од делењето на полиномот P(x) со биномот x - α е еднаков на P(α) (односно, вредноста на P(x) при x = α).

Ако бројот α е коренот на полиномот P(x), тогаш овој полином е делив со x -α без остаток.

Пример.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Поделете го P(x) со (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, или x-3=0, x=3; Одговор: x1 =2, x2 =3.

Заклучок:Способноста за брзо и рационално решавање на квадратни равенки е едноставно неопходна за да се реши повеќе сложени равенки, На пример, фракционо рационални равенки, равенки повисоки степени, биквадратни равенки и во средно школотригонометриски, експоненцијални и логаритамски равенки. Откако ги проучувавме сите пронајдени методи за решавање на квадратни равенки, можеме да ги советуваме нашите соученици, покрај стандардните методи, да решаваат со методот на пренос (6) и да решаваат равенки користејќи својство на коефициенти (7), бидејќи тие се попристапни до разбирање.

Литература:

  1. Брадис В.М. Математички табели со четири цифри. - М., Образование, 1990 година.
  2. Алгебра 8 одделение: учебник за 8 одделение. општо образование институции Макаричев Ју Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С. Б. ед. S. A. Telyakovsky 15-то издание, ревидирана. - М.: Образование, 2015 година
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
  4. Глејзер Г.И. Историја на математиката на училиште. Прирачник за наставници. / Ед. В.Н. Помлади. - М.: Образование, 1964 година.

ВО модерното општествоспособноста да се извршуваат операции со равенки кои содржат квадратна променлива може да биде корисна во многу области на активност и е широко користена во пракса во научните и техничките достигнувања. Доказ за тоа може да се најде во дизајнот на морски и речни бродови, авиони и проектили. Користејќи ги ваквите пресметки, траекториите на движење на повеќето различни тела, вклучувајќи вселенски објекти. Примерите со решавање на квадратни равенки се користат не само во економското предвидување, при проектирање и изградба на згради, туку и во најобичните секојдневни околности. Можеби ќе бидат потребни во планинарски патувања, на спортски настани, во продавници додека пазарувате и во други многу чести ситуации.

Да го разделиме изразот на неговите составни фактори

Степенот на равенката се одредува со максималната вредност на степенот на променливата што ја содржи изразот. Ако е еднакво на 2, тогаш таквата равенка се нарекува квадратна.

Ако зборуваме на јазикот на формулите, тогаш наведените изрази, без разлика како изгледаат, секогаш може да се доведат до форма кога левата страна на изразот се состои од три члена. Меѓу нив: секира 2 (односно, променлива на квадрат со неговиот коефициент), bx (непозната без квадрат со неговиот коефициент) и c (слободна компонента, односно обичен број). Сето ова од десната страна е еднакво на 0. Во случај кога на таков полином му недостасува еден од неговите составни членови, со исклучок на секирата 2, се нарекува нецелосна квадратна равенка. Прво треба да се разгледаат примери за решавање на вакви проблеми, вредностите на променливите во кои лесно се наоѓаат.

Ако изразот изгледа како да има два члена на десната страна, поточно ax 2 и bx, најлесниот начин да се најде x е со ставање на променливата надвор од загради. Сега нашата равенка ќе изгледа вака: x(ax+b). Следно, станува очигледно дека или x=0, или проблемот се сведува на наоѓање променлива од следниот израз: ax+b=0. Ова е диктирано од една од својствата на множење. Правилото вели дека производот на два фактора резултира со 0 само ако еден од нив е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

Како резултат на тоа, добиваме два корени на равенката: 0 и 0,375.

Равенките од овој вид можат да го опишат движењето на телата под влијание на гравитацијата, кои почнале да се движат од одредена точка земена како потекло на координатите. Еве математичка нотацијаја добива следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Со замена на потребните вредности, изедначување на десната страна со 0 и наоѓање можни непознати, можете да го дознаете времето што минува од моментот кога телото се крева до моментот кога паѓа, како и многу други величини. Но, ние ќе зборуваме за ова подоцна.

Факторирање на израз

Правилото опишано погоре овозможува да се решат овие проблеми во повеќе тешки случаи. Ајде да погледнеме примери за решавање на квадратни равенки од овој тип.

X 2 - 33x + 200 = 0

Овој квадратен трином е завршен. Прво, да го трансформираме изразот и да го факторизираме. Има два од нив: (x-8) и (x-25) = 0. Како резултат на тоа, имаме два корени 8 и 25.

Примерите со решавање на квадратни равенки во одделение 9 овозможуваат овој метод да најде променлива во изрази не само од вториот, туку дури и од третиот и четвртиот ред.

На пример: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. При множење на десната страна во фактори со променлива, има три од нив, односно (x+1), (x-3) и (x+ 3).

Како резултат на тоа, станува очигледно дека дадена равенкаима три корени: -3; -1; 3.

Квадратен корен

Друг случај нецелосна равенкавториот ред е израз претставен во јазикот на буквите на таков начин што десната страна е изградена од компонентите ax 2 и c. Овде, за да се добие вредноста на променливата, слободниот член се пренесува на десната страна, а потоа се извлекува квадратниот корен од двете страни на еднаквоста. Треба да се напомене дека во во овој случајОбично има два корени на равенката. Единствени исклучоци можат да бидат еднаквостите кои воопшто не содржат поим со, каде што променливата е еднаква на нула, како и варијанти на изрази кога десната страна е негативна. Во вториот случај, воопшто нема решенија, бидејќи горенаведените дејства не можат да се извршат со корени. Треба да се разгледаат примери на решенија на квадратни равенки од овој тип.

Во овој случај, корените на равенката ќе бидат броевите -4 и 4.

Пресметка на површината на земјиштето

Потребата за вакви пресметки се појавила уште во античко време, бидејќи развојот на математиката во тие далечни времиња во голема мера бил детерминиран од потребата со најголема точност да се определат површините и периметрите на земјишните парцели.

Треба да разгледаме и примери за решавање на квадратни равенки врз основа на проблеми од овој вид.

Значи, да речеме дека има правоаголна парцела, чија должина е 16 метри поголема од ширината. Треба да ја најдете должината, ширината и периметарот на локацијата ако знаете дека неговата површина е 612 м2.

За да започнете, ајде прво да ја создадеме потребната равенка. Да ја означиме со x ширината на плоштината, тогаш нејзината должина ќе биде (x+16). Од напишаното произлегува дека плоштината се определува со изразот x(x+16), кој според условите на нашата задача е 612. Тоа значи дека x(x+16) = 612.

Решавањето на целосни квадратни равенки, а овој израз е токму тоа, не може да се направи на ист начин. Зошто? Иако левата страна сè уште содржи два фактора, нивниот производ воопшто не е еднаков на 0, па овде се користат различни методи.

Дискриминаторски

Најпрво, тогаш да ги направиме потребните трансформации изглед даден изразќе изгледа вака: x 2 + 16x - 612 = 0. Тоа значи дека добивме израз во форма што одговара на претходно наведениот стандард, каде што a=1, b=16, c=-612.

Ова може да биде пример за решавање на квадратни равенки со помош на дискриминатор. Овде се прават потребните пресметки според шемата: D = b 2 - 4ac. Оваа помошна величина не само што овозможува да се најдат потребните количини во равенка од втор ред, туку и ја одредува количината можни опции. Ако D>0, има два од нив; за D=0 има еден корен. Во случај Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и нивната формула

Во нашиот случај, дискриминаторот е еднаков на: 256 - 4(-612) = 2704. Ова сугерира дека нашиот проблем има одговор. Ако знаете k, решението на квадратните равенки мора да се продолжи со помош на формулата подолу. Тоа ви овозможува да ги пресметате корените.

Тоа значи дека во дадениот случај: x 1 =18, x 2 =-34. Втората опција во оваа дилема не може да биде решение, бидејќи димензиите на парцелата не можат да се мерат во негативни количини, што значи дека x (односно ширината на парцелата) е 18 m Од тука ја пресметуваме должината: 18 +16=34, а периметарот 2(34+ 18)=104(m2).

Примери и задачи

Продолжуваме со нашето проучување на квадратните равенки. Примери и детални решенија за неколку од нив ќе бидат дадени подолу.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Ајде да преместиме сè на левата страна на еднаквоста, да направиме трансформација, односно ќе го добиеме типот на равенката што обично се нарекува стандардна и ќе ја изедначиме на нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Додавајќи слични, ја одредуваме дискриминантата: D = 49 - 48 = 1. Ова значи дека нашата равенка ќе има два корени. Да ги пресметаме според горната формула, што значи дека првиот од нив ќе биде еднаков на 4/3, а вториот на 1.

2) Сега да ги решиме мистериите од различен вид.

Ајде да откриеме дали има корени овде x 2 - 4x + 5 = 1? За да добиеме сеопфатен одговор, да го намалиме полиномот на соодветната вообичаена форма и да ја пресметаме дискриминантната. Во горниот пример, не е неопходно да се реши квадратната равенка, бидејќи тоа воопшто не е суштината на проблемот. Во овој случај, D = 16 - 20 = -4, што значи дека навистина нема корени.

Теорема на Виета

Удобно е да се решаваат квадратни равенки користејќи ги горенаведените формули и дискриминантот, кога квадратниот корен се зема од вредноста на второто. Но, ова не се случува секогаш. Сепак, постојат многу начини да се добијат вредностите на променливите во овој случај. Пример: решавање на квадратни равенки со помош на теоремата на Виета. Таа го добила името по кој живеел во 16 век во Франција и направил блескава кариера благодарение на неговиот математички талент и врските на дворот. Неговиот портрет може да се види во статијата.

Моделот што го забележал славниот Французин бил следниов. Тој докажа дека корените на равенката нумерички се собираат на -p=b/a, а нивниот производ одговара на q=c/a.

Сега да ги разгледаме конкретните задачи.

3x 2 + 21x - 54 = 0

За едноставност, да го трансформираме изразот:

x 2 + 7x - 18 = 0

Да ја искористиме теоремата на Виета, ова ќе ни го даде следново: збирот на корените е -7, а нивниот производ е -18. Оттука добиваме дека корените на равенката се броевите -9 и 2. Откако ќе провериме, ќе се увериме дека овие променливи вредности навистина се вклопуваат во изразот.

График на парабола и равенка

Концептите на квадратна функција и квадратни равенки се тесно поврзани. Примери за ова веќе беа дадени претходно. Сега да погледнеме малку подетално неколку математички загатки. Секоја равенка од опишаниот тип може да се претстави визуелно. Таквата врска, нацртана како график, се нарекува парабола. Нејзините различни типови се претставени на сликата подолу.

Секоја парабола има теме, односно точка од која излегуваат нејзините гранки. Ако a>0, тие одат високо до бесконечност, а кога a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуелните претстави на функции помагаат да се решат сите равенки, вклучувајќи ги и квадратните. Овој метод се нарекува графички. А вредноста на променливата x е координатата на апсцисата во точките каде линијата на графиконот се пресекува со 0x. Координатите на темето може да се најдат со помош на формулата штотуку дадена x 0 = -b/2a. И со замена на добиената вредност во оригиналната равенка на функцијата, можете да дознаете y 0, односно втората координата на темето на параболата, која припаѓа на оската на ординатите.

Пресекот на гранките на параболата со оската на апсцисата

Има многу примери за решавање на квадратни равенки, но има и општи обрасци. Ајде да ги погледнеме. Јасно е дека пресекот на графикот со оската 0x за a>0 е возможен само ако 0 зема негативни вредности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Во спротивно Д<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Од графикот на параболата можете да ги одредите и корените. Спротивното е исто така точно. Односно, ако не е лесно да се добие визуелна претстава на квадратна функција, можете да ја изедначите десната страна на изразот со 0 и да ја решите добиената равенка. И знаејќи ги точките на пресек со оската 0x, полесно е да се конструира график.

Од историјата

Користејќи равенки што содржат квадратна променлива, во старите денови тие не само што правеле математички пресметки и ги одредувале областите на геометриските фигури. На древните им биле потребни такви пресметки за големи откритија во областа на физиката и астрономијата, како и за правење астролошки прогнози.

Како што сугерираат современите научници, жителите на Вавилон биле меѓу првите кои решиле квадратни равенки. Ова се случи четири века пред нашата ера. Се разбира, нивните пресметки беа радикално различни од моментално прифатените и се покажаа како многу попримитивни. На пример, месопотамиските математичари немаа поим за постоењето на негативни броеви. Тие, исто така, не беа запознаени со други суптилности што ги знае секој модерен ученик.

Можеби дури и порано од научниците од Вавилон, мудреецот од Индија Баудхајама започнал да решава квадратни равенки. Ова се случило околу осум века пред Христовата ера. Точно, равенките од втор ред, методите за решавање што тој ги даде, беа наједноставни. Покрај него, за слични прашања во старите времиња се интересирале и кинеските математичари. Во Европа, квадратните равенки почнаа да се решаваат дури на почетокот на 13 век, но подоцна тие беа користени во нивните дела од такви големи научници како Њутн, Декарт и многу други.

Продолжувајќи ја темата „Решавање равенки“, материјалот во оваа статија ќе ве запознае со квадратните равенки.

Да разгледаме сè подетално: суштината и ознаката на квадратна равенка, да ги дефинираме придружните поими, да ја анализираме шемата за решавање на нецелосни и целосни равенки, да се запознаеме со формулата на корените и дискриминантот, да воспоставиме врски помеѓу корените и коефициентите, и секако ќе дадеме визуелно решение на практични примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратна равенка, нејзините типови

Дефиниција 1

Квадратна равенкае равенка напишана како a x 2 + b x + c = 0, Каде x– променлива, a , b и в– некои бројки, додека ане е нула.

Често, квадратните равенки се нарекуваат и равенки од втор степен, бидејќи во суштина квадратната равенка е алгебарска равенка од втор степен.

Да дадеме пример за да ја илустрираме дадената дефиниција: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, итн. Ова се квадратни равенки.

Дефиниција 2

Броеви a, b и все коефициентите на квадратната равенка a x 2 + b x + c = 0, додека коефициентот асе нарекува прв, или постар, или коефициент на x 2, b - вториот коефициент, или коефициент на x, А внаречен слободен член.

На пример, во квадратната равенка 6 x 2 − 2 x − 11 = 0водечкиот коефициент е 6, вториот коефициент е − 2 , а слободниот член е еднаков на − 11 . Да обрнеме внимание на фактот дека кога коефициентите би/или c се негативни, потоа се користи кратка форма на формата 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, но не 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Да го разјасниме и овој аспект: ако коефициентите аи/или беднакви 1 или − 1 , тогаш може да не земат експлицитно учество во пишувањето на квадратната равенка, што се објаснува со особеностите на запишувањето на посочените нумерички коефициенти. На пример, во квадратната равенка y 2 − y + 7 = 0водечкиот коефициент е 1, а вториот коефициент е − 1 .

Намалени и ненамалени квадратни равенки

Врз основа на вредноста на првиот коефициент, квадратните равенки се делат на намалени и ненамалени.

Дефиниција 3

Намалена квадратна равенкае квадратна равенка каде водечкиот коефициент е 1. За другите вредности на водечкиот коефициент, квадратната равенка е ненамалена.

Да дадеме примери: се намалуваат квадратните равенки x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, при што водечкиот коефициент е 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ненамалена квадратна равенка, каде што првиот коефициент е различен од 1 .

Секоја ненамалена квадратна равенка може да се претвори во редуцирана равенка со делење на двете страни со првиот коефициент (еквивалентна трансформација). Трансформираната равенка ќе ги има истите корени како дадената ненамалена равенка или исто така нема да има корени.

Разгледувањето на конкретен пример ќе ни овозможи јасно да го демонстрираме преминот од нередуцирана квадратна равенка во намалена.

Пример 1

Дадена е равенката 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Потребно е да се претвори оригиналната равенка во намалена форма.

Решение

Според горната шема, ги делиме двете страни на првобитната равенка со водечкиот коефициент 6. Тогаш добиваме: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, и ова е исто како: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0и понатаму: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Од тука: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Така, се добива равенка еквивалентна на дадената.

Одговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Целосни и нецелосни квадратни равенки

Да се ​​свртиме кон дефиницијата за квадратна равенка. Во него го прецизиравме тоа a ≠ 0. Сличен услов е неопходен за равенката a x 2 + b x + c = 0беше точно квадрат, бидејќи во a = 0суштински се трансформира во линеарна равенка b x + c = 0.

Во случај кога коефициентите бИ все еднакви на нула (што е можно, и поединечно и заеднички), квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција 4

Нецелосна квадратна равенка- ваква квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0,при што барем еден од коефициентите бИ в(или и двете) е нула.

Целосна квадратна равенка– квадратна равенка во која сите нумерички коефициенти не се еднакви на нула.

Ајде да разговараме зошто на видовите квадратни равенки им се дадени токму овие имиња.

Кога b = 0, квадратната равенка добива форма a x 2 + 0 x + c = 0, што е исто како a x 2 + c = 0. На c = 0квадратната равенка се запишува како a x 2 + b x + 0 = 0, што е еквивалентно a x 2 + b x = 0. На b = 0И c = 0равенката ќе ја добие формата a x 2 = 0. Равенките што ги добивме се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат член со променливата x, ниту слободен член, или и двете. Всушност, овој факт го даде името на овој тип равенки - нецелосни.

На пример, x 2 + 3 x + 4 = 0 и − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 се целосни квадратни равенки; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Дефиницијата дадена погоре овозможува да се разликуваат следниве типови на нецелосни квадратни равенки:

  • a x 2 = 0, оваа равенка одговара на коефициентите b = 0и c = 0 ;
  • a · x 2 + c = 0 на b = 0;
  • a · x 2 + b · x = 0 на c = 0.

Да го разгледаме последователно решението на секој тип на нецелосни квадратни равенки.

Решение на равенката a x 2 =0

Како што споменавме погоре, оваа равенка одговара на коефициентите бИ в, еднакво на нула. Равенката a x 2 = 0може да се претвори во еквивалентна равенка x 2 = 0, што го добиваме со делење на двете страни на првобитната равенка со бројот а, не е еднакво на нула. Очигледен факт е дека коренот на равенката x 2 = 0ова е нула затоа што 0 2 = 0 . Оваа равенка нема други корени, што може да се објасни со својствата на степенот: за кој било број стр,не е еднаква на нула, неравенството е точно стр 2 > 0, од што произлегува дека кога p ≠ 0еднаквост стр 2 = 0никогаш нема да се постигне.

Дефиниција 5

Така, за нецелосната квадратна равенка a x 2 = 0 има еден корен x = 0.

Пример 2

На пример, да решиме нецелосна квадратна равенка − 3 x 2 = 0. Тоа е еквивалентно на равенката x 2 = 0, единствениот корен му е x = 0, тогаш првобитната равенка има еден корен - нула.

Накратко, решението е напишано на следниов начин:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Решавање на равенката a x 2 + c = 0

Следно е решението на нецелосни квадратни равенки, каде што b = 0, c ≠ 0, односно равенки на формата a x 2 + c = 0. Ајде да ја трансформираме оваа равенка со поместување член од едната страна на равенката на другата, менувајќи го знакот на спротивната и делејќи ги двете страни на равенката со број кој не е еднаков на нула:

  • трансфер вна десната страна, што ја дава равенката a x 2 = − c;
  • поделете ги двете страни на равенката со а, завршуваме со x = - c a .

Нашите трансформации се еквивалентни соодветно, добиената равенка е исто така еквивалентна на оригиналната, и овој факт овозможува да се извлечат заклучоци за корените на равенката. Од она што се вредностите аИ ввредноста на изразот - c a зависи: може да има знак минус (на пример, ако a = 1И c = 2, тогаш - c a = - 2 1 = - 2) или знак плус (на пример, ако a = − 2И c = 6, тогаш - c a = - 6 - 2 = 3); не е нула затоа што c ≠ 0. Да се ​​задржиме подетално на ситуациите кога - в а< 0 и - c a > 0 .

Во случај кога - в а< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стреднаквоста p 2 = - c a не може да биде точно.

Сè е различно кога - c a > 0: запомнете го квадратниот корен и ќе стане очигледно дека коренот на равенката x 2 = - c a ќе биде бројот - c a, бидејќи - c a 2 = - c a. Не е тешко да се разбере дека бројот - - c a е исто така корен на равенката x 2 = - c a: навистина, - - c a 2 = - c a.

Равенката нема да има други корени. Можеме да го покажеме ова користејќи го методот на контрадикторност. За почеток, да ги дефинираме ознаките за корените пронајдени погоре како x 1И − x 1. Да претпоставиме дека равенката x 2 = - c a има и корен x 2, што се разликува од корените x 1И − x 1. Тоа го знаеме со замена во равенката xнејзините корени, ја трансформираме равенката во правична нумеричка еднаквост.

За x 1И − x 1пишуваме: x 1 2 = - c a , и за x 2- x 2 2 = - c a. Врз основа на својствата на нумеричките еднаквости, одземаме еден точен член за еднаквост по член од друг, што ќе ни даде: x 1 2 − x 2 2 = 0. Ги користиме својствата на операциите со броеви за да ја преработиме последната еднаквост како (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Познато е дека производот на два броја е нула ако и само ако барем еден од броевите е нула. Од наведеното произлегува дека x 1 − x 2 = 0и/или x 1 + x 2 = 0, што е исто x 2 = x 1и/или x 2 = − x 1. Се појави очигледна противречност, бидејќи на почетокот беше договорено дека коренот на равенката x 2се разликува од x 1И − x 1. Значи, докажавме дека равенката нема други корени освен x = - c a и x = - - c a.

Да ги сумираме сите аргументи погоре.

Дефиниција 6

Нецелосна квадратна равенка a x 2 + c = 0е еквивалентно на равенката x 2 = - c a, која:

  • нема да има корени на - в а< 0 ;
  • ќе има два корени x = - c a и x = - - c a for - c a > 0.

Да дадеме примери за решавање на равенките a x 2 + c = 0.

Пример 3

Дадена е квадратна равенка 9 x 2 + 7 = 0.Неопходно е да се најде решение.

Решение

Ајде да го преместиме слободниот член на десната страна на равенката, тогаш равенката ќе добие форма 9 x 2 = − 7.
Дозволете ни да ги поделиме двете страни на добиената равенка со 9 , стигнуваме до x 2 = - 7 9 . На десната страна гледаме број со знак минус, што значи: y дадена равенкабез корени. Потоа оригиналната нецелосна квадратна равенка 9 x 2 + 7 = 0нема да има корени.

Одговор:равенката 9 x 2 + 7 = 0нема корени.

Пример 4

Равенката треба да се реши − x 2 + 36 = 0.

Решение

Да го преместиме 36 на десната страна: − x 2 = − 36.
Ајде да ги поделиме двата дела по − 1 , добиваме x 2 = 36. На десната страна - позитивен број, од тука можеме да заклучиме дека x = 36 или x = - 36 .
Да го извлечеме коренот и да го запишеме конечниот резултат: нецелосна квадратна равенка − x 2 + 36 = 0има два корени x = 6или x = − 6.

Одговор: x = 6или x = − 6.

Решение на равенката a x 2 +b x=0

Да го анализираме третиот тип на нецелосни квадратни равенки, кога c = 0. Да се ​​најде решение за нецелосна квадратна равенка a x 2 + b x = 0, ќе го користиме методот на факторизација. Ајде да го факторизираме полиномот што се наоѓа на левата страна на равенката, земајќи го заедничкиот фактор од заградите x. Овој чекор ќе овозможи да се трансформира оригиналната нецелосна квадратна равенка во нејзиниот еквивалент x (a x + b) = 0. И оваа равенка, пак, е еквивалентна на збир на равенки x = 0И a x + b = 0. Равенката a x + b = 0линеарен и неговиот корен: x = − b a.

Дефиниција 7

Така, нецелосната квадратна равенка a x 2 + b x = 0ќе има два корени x = 0И x = − b a.

Ајде да го засилиме материјалот со пример.

Пример 5

Потребно е да се најде решение за равенката 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Решение

Ќе го извадиме xнадвор од заградите ја добиваме равенката x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Оваа равенка е еквивалентна на равенките x = 0и 2 3 x - 2 2 7 = 0. Сега треба да ја решите добиената линеарна равенка: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Накратко напишете го решението на равенката на следниов начин:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Одговор: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминантна, формула за корени на квадратна равенка

За да се најдат решенија за квадратни равенки, постои коренска формула:

Дефиниција 8

x = - b ± D 2 · a, каде D = b 2 − 4 a c– таканаречената дискриминаторна на квадратна равенка.

Пишувањето x = - b ± D 2 · a во суштина значи дека x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Би било корисно да се разбере како е изведена оваа формула и како да се примени.

Изведување на формулата за корените на квадратна равенка

Дозволете ни да се соочиме со задачата да решиме квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0. Дозволете ни да извршиме голем број еквивалентни трансформации:

  • поделете ги двете страни на равенката со број а, различно од нула, ја добиваме следната квадратна равенка: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
  • Да го избереме целосниот квадрат на левата страна од добиената равенка:
    x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
    По ова, равенката ќе добие форма: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
  • Сега е можно да се префрлат последните два члена на десната страна, менувајќи го знакот во спротивното, по што добиваме: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • Конечно, го трансформираме изразот напишан на десната страна на последната еднаквост:
    b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Така, доаѓаме до равенката x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , што е еквивалентно на првобитната равенка a x 2 + b x + c = 0.

Решението на ваквите равенки го испитавме во претходните ставови (решавање на нецелосни квадратни равенки). Веќе стекнатото искуство овозможува да се донесе заклучок во врска со корените на равенката x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

  • со b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • кога b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 равенката е x + b 2 · a 2 = 0, тогаш x + b 2 · a = 0.

Оттука единствениот корен x = - b 2 · a е очигледен;

  • за b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ќе биде точно следново: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , што е исто како x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , т.е. равенката има два корени.

Можно е да се заклучи дека присуството или отсуството на корени на равенката x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (а со тоа и првобитната равенка) зависи од знакот на изразот b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 напишано на десната страна. И знакот на овој израз е даден со знакот на броителот, (имениител 4 а 2секогаш ќе биде позитивен), односно знакот на изразот b 2 − 4 a c. Овој израз b 2 − 4 a cсе дава името - дискриминантот на квадратната равенка и буквата D е дефинирана како нејзина ознака. Овде можете да ја запишете суштината на дискриминаторот - врз основа на неговата вредност и знак, тие можат да заклучат дали квадратната равенка ќе има вистински корени и, ако е така, колкав е бројот на корените - еден или два.

Да се ​​вратиме на равенката x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Ајде да го преработиме користејќи дискриминантна нотација: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Ајде повторно да ги формулираме нашите заклучоци:

Дефиниција 9

  • на Д< 0 равенката нема вистински корени;
  • на D=0равенката има еден корен x = - b 2 · a ;
  • на D > 0равенката има два корени: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 или x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Врз основа на својствата на радикалите, овие корени можат да се напишат во форма: x = - b 2 · a + D 2 · a или - b 2 · a - D 2 · a. И, кога ќе ги отвориме модулите и ќе ги доведеме дропките до заеднички именител, добиваме: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Значи, резултатот од нашето размислување беше изведувањето на формулата за корените на квадратната равенка:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминаторски Дпресметано со формулата D = b 2 − 4 a c.

Овие формули овозможуваат да се одредат двата реални корени кога дискриминантот е поголем од нула. Кога дискриминаторот е нула, со примена на двете формули ќе се добие истиот корен како единствено решение за квадратната равенка. Во случај кога дискриминаторот е негативен, ако се обидеме да ја користиме формулата за квадратен корен, ќе се соочиме со потребата да го земеме квадратниот корен на негативен број, што ќе не одведе надвор од опсегот на реалните броеви. Со негативна дискриминанта, квадратната равенка нема да има вистински корени, но можен е пар сложени конјугирани корени, определени со истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со помош на коренски формули

Можно е да се реши квадратна равенка со веднаш користење на коренската формула, но тоа обично се прави кога е неопходно да се најдат сложени корени.

Во повеќето случаи, тоа обично значи барање не за сложени, туку за вистински корени на квадратна равенка. Тогаш оптимално е, пред да ги употребиме формулите за корените на квадратната равенка, прво да ја одредиме дискриминантата и да се увериме дека не е негативна (во спротивно ќе заклучиме дека равенката нема вистински корени), а потоа да продолжиме со пресметување на вредноста на корените.

Расудувањето погоре овозможува да се формулира алгоритам за решавање на квадратна равенка.

Дефиниција 10

Да се ​​реши квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0, неопходно:

  • според формулата D = b 2 − 4 a cнајдете ја дискриминаторната вредност;
  • кај Д< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • за D = 0, пронајдете го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата x = - b 2 · a ;
  • за D > 0, определи два реални корени на квадратната равенка користејќи ја формулата x = - b ± D 2 · a.

Забележете дека кога дискриминаторот е нула, можете да ја користите формулата x = - b ± D 2 · a, таа ќе го даде истиот резултат како формулата x = - b 2 · a.

Ајде да погледнеме примери.

Примери за решавање на квадратни равенки

Да дадеме решение за примерите за различни значењадискриминаторски.

Пример 6

Треба да ги најдеме корените на равенката x 2 + 2 x − 6 = 0.

Решение

Да ги запишеме нумеричките коефициенти на квадратната равенка: a = 1, b = 2 и c = − 6. Следно продолжуваме според алгоритмот, т.е. Да почнеме да ја пресметуваме дискриминантата, за која ќе ги замениме коефициентите a, b И вво дискриминаторната формула: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Значи, добиваме D > 0, што значи дека првобитната равенка ќе има два реални корени.
За да ги најдеме, ја користиме коренската формула x = - b ± D 2 · a и, заменувајќи ги соодветните вредности, добиваме: x = - 2 ± 28 2 · 1. Дозволете ни да го поедноставиме добиениот израз со вадење на факторот од коренскиот знак и потоа намалување на дропот:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 или x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 или x = - 1 - 7

Одговор: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Пример 7

Треба да се реши квадратна равенка − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Решение

Да ја дефинираме дискриминаторот: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Со оваа вредност на дискриминаторот, првобитната равенка ќе има само еден корен, определен со формулата x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Одговор: x = 3,5.

Пример 8

Равенката треба да се реши 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Решение

Нумеричките коефициенти на оваа равенка ќе бидат: a = 5, b = 6 и c = 2. Ги користиме овие вредности за да ја најдеме дискриминаторот: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Пресметаната дискриминанта е негативна, така што првобитната квадратна равенка нема вистински корени.

Во случај кога задачата е да се наведат сложени корени, ја применуваме коренската формула, изведувајќи дејства со сложени броеви:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 или x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i или x = - 3 5 - 1 5 · i.

Одговор:нема вистински корени; комплексните корени се како што следува: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

ВО училишна наставна програмаНе постои стандарден услов да се бараат сложени корени, затоа, доколку при решавањето се утврди дека дискриминаторот е негативен, веднаш се запишува одговорот дека нема вистински корени.

Корен формула за дури втори коефициенти

Формулата на коренот x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) овозможува да се добие друга формула, покомпактна, што овозможува да се најдат решенија за квадратни равенки со парен коефициент за x ( или со коефициент од формата 2 · n, на пример, 2 3 или 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Дозволете ни да покажеме како се добива оваа формула.

Дозволете ни да се соочиме со задачата да најдеме решение за квадратната равенка a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Постапуваме според алгоритмот: ја одредуваме дискриминантната D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), а потоа ја користиме коренската формула:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Нека изразот n 2 − a · c се означува како D 1 (понекогаш се означува D "). Тогаш формулата за корените на квадратната равенка што се разгледува со вториот коефициент 2 · n ќе ја добие формата:

x = - n ± D 1 a, каде што D 1 = n 2 − a · c.

Лесно е да се види дека D = 4 · D 1, или D 1 = D 4. Со други зборови, D 1 е четвртина од дискриминаторот. Очигледно, знакот D 1 е ист со знакот D, што значи дека знакот D 1 може да послужи и како показател за присуство или отсуство на корени на квадратна равенка.

Дефиниција 11

Така, за да се најде решение за квадратна равенка со втор коефициент од 2 n, потребно е:

  • најдете D 1 = n 2 − a · c ;
  • на Д 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • кога D 1 = 0, определи го единствениот корен на равенката користејќи ја формулата x = - n a;
  • за D 1 > 0, определете два реални корени користејќи ја формулата x = - n ± D 1 a.

Пример 9

Потребно е да се реши квадратната равенка 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Решение

Вториот коефициент од дадената равенка можеме да го претставиме како 2 · (− 3) . Потоа дадената квадратна равенка ја препишуваме како 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, каде што a = 5, n = − 3 и c = − 32.

Да го пресметаме четвртиот дел од дискриминантата: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Добиената вредност е позитивна, што значи дека равенката има два реални корени. Дозволете ни да ги одредиме користејќи ја соодветната коренска формула:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 или x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 или x = - 2

Би било можно да се извршат пресметки користејќи ја вообичаената формула за корените на квадратна равенка, но во овој случај решението би било понезгодно.

Одговор: x = 3 1 5 или x = - 2 .

Поедноставување на формата на квадратни равенки

Понекогаш е можно да се оптимизира формата на оригиналната равенка, што ќе го поедностави процесот на пресметување на корените.

На пример, квадратната равенка 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 е јасно попогодна за решавање од 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Почесто, поедноставувањето на формата на квадратна равенка се врши со множење или делење на двете страни со одреден број. На пример, погоре покажавме поедноставен приказ на равенката 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, добиена со делење на двете страни со 100.

Ваквата трансформација е можна кога коефициентите на квадратната равенка не се меѓусебно примарни броеви. Тогаш ние обично ги делиме двете страни на равенката со најголемата заеднички делител апсолутни вредностинеговите коефициенти.

Како пример, ја користиме квадратната равенка 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Дозволете ни да го одредиме GCD на апсолутните вредности на неговите коефициенти: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Да ги поделиме двете страни на првобитната квадратна равенка со 6 и да ја добиеме еквивалентната квадратна равенка 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Со множење на двете страни на квадратна равенка, обично се ослободувате од фракционите коефициенти. Во овој случај, тие се множат со најмалиот заеднички множител на именителот на неговите коефициенти. На пример, ако секој дел од квадратната равенка 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 се помножи со LCM (6, 3, 1) = 6, тогаш ќе стане запишан во повеќе во едноставна форма x 2 + 4 x − 18 = 0.

Конечно, забележуваме дека скоро секогаш се ослободуваме од минусот на првиот коефициент на квадратна равенка со менување на знаците на секој член од равенката, што се постигнува со множење (или делење) на двете страни со - 1. На пример, од квадратната равенка − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, можете да отидете на нејзината поедноставена верзија 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Врска помеѓу корените и коефициентите

Формулата за корените на квадратните равенки, веќе ни е позната, x = - b ± D 2 · a, ги изразува корените на равенката преку нејзините нумерички коефициенти. Врз основа на оваа формула, имаме можност да специфицираме други зависности помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатите и најприменливите формули се теоремата на Виета:

x 1 + x 2 = - b a и x 2 = c a.

Конкретно, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е вториот коефициент со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член. На пример, со гледање на формата на квадратната равенка 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, можно е веднаш да се утврди дека збирот на неговите корени е 7 3, а производот на корените е 22 3.

Можете исто така да најдете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, збирот на квадратите на корените на квадратна равенка може да се изрази во однос на коефициентите:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Проблемите со квадратните равенки се изучуваат и во училишната програма и на универзитетите. Тие значат равенки од формата a*x^2 + b*x + c = 0, каде x-променлива, a,b,c – константи; а<>0 . Задачата е да се најдат корените на равенката.

Геометриско значење на квадратната равенка

Графикот на функција која е претставена со квадратна равенка е парабола. Решенијата (корените) на квадратна равенка се точките на пресек на параболата со оската на апсцисата (x). Следи дека постојат три можни случаи:
1) параболата нема точки на пресек со оската на апсцисата. Тоа значи дека е во горната рамнина со гранки нагоре или на дното со гранки надолу. Во такви случаи, квадратната равенка нема вистински корени (има два сложени корени).

2) параболата има една пресечна точка со оската Ox. Таквата точка се нарекува теме на параболата, а квадратната равенка на неа го добива својот минимум или максимална вредност. Во овој случај, квадратната равенка има еден реален корен (или два идентични корени).

3) Последниот случај е поинтересен во пракса - има две точки на пресек на параболата со оската на апсцисата. Ова значи дека има два реални корени на равенката.

Врз основа на анализата на коефициентите на моќите на променливите, може да се извлечат интересни заклучоци за поставеноста на параболата.

1) Ако коефициентот a е поголем од нула, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре, ако е негативен, гранките на параболата се насочени надолу.

2) Ако коефициентот b е поголем од нула, тогаш темето на параболата лежи во левата полурамнина ако е потребно негативно значење- потоа десно.

Изведување на формулата за решавање на квадратна равенка

Да ја пренесеме константата од квадратната равенка

за знакот за еднаквост го добиваме изразот

Помножете ги двете страни со 4а

За да добиете целосен квадрат лево, додадете b^2 од двете страни и извршете ја трансформацијата

Од тука наоѓаме

Формула за дискриминација и корени на квадратна равенка

Дискриминантот е вредноста на радикалниот израз, тогаш равенката има два реални корени, пресметани со формулата Кога дискриминантата е нула, квадратната равенка има едно решение (два совпаѓачки корени), што лесно може да се добие од горната формула за D=0 Кога дискриминантата е негативна, равенката нема вистински корени. Меѓутоа, решенијата на квадратната равенка се наоѓаат во сложената рамнина, а нивната вредност се пресметува со формулата

Теорема на Виета

Да разгледаме два корени на квадратна равенка и да изградиме квадратна равенка врз основа на нив. Самата теорема на Виета лесно произлегува од ознаката: ако имаме квадратна равенка на формата. тогаш збирот на неговите корени е еднаков на коефициентот p земен со спротивен знак, а производот од корените на равенката е еднаков на слободниот член q. Формулското претставување на горенаведеното ќе изгледа како Ако во класичната равенка константата a е ненула, тогаш треба да ја поделите целата равенка со неа, а потоа да ја примените теоремата на Виета.

Распоред на квадратни равенки на факторинг

Нека е поставена задачата: факторинг квадратна равенка. За да го направите ова, прво ја решаваме равенката (најдете ги корените). Следно, пронајдените корени ги заменуваме во формулата за проширување за квадратната равенка. Ова ќе го реши проблемот.

Проблеми со квадратни равенки

Задача 1. Најдете ги корените на квадратната равенка

x^2-26x+120=0.

Решение: Запишете ги коефициентите и заменете ги во формулата за дискриминација

Коренот на оваа вредност е 14, лесно е да се најде со калкулатор или да се запомни со честа употреба, но за погодност, на крајот од статијата ќе ви дадам список со квадрати на броеви кои често може да се сретнат во такви проблеми.
Пронајдената вредност ја заменуваме во коренската формула

и добиваме

Задача 2. Решете ја равенката

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имаме целосна квадратна равенка, ги запишуваме коефициентите и ја наоѓаме дискриминантната


Користејќи познати формули ги наоѓаме корените на квадратната равенка

Задача 3. Решете ја равенката

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имаме целосна квадратна равенка. Одредување на дискриминатор

Добивме случај кога корените се совпаѓаат. Најдете ги вредностите на корените користејќи ја формулата

Задача 4. Решете ја равенката

x^2+x-6=0 .

Решение: Во случаи кога има мали коефициенти за x, препорачливо е да се примени теоремата на Виета. Според неговата состојба добиваме две равенки

Од вториот услов откриваме дека производот мора да биде еднаков на -6. Ова значи дека еден од корените е негативен. Го имаме следниот можен пар решенија (-3;2), (3;-2) . Земајќи го предвид првиот услов, го отфрламе вториот пар решенија.
Корените на равенката се еднакви

Задача 5. Најдете ги должините на страните на правоаголникот ако неговиот периметар е 18 cm, а неговата плоштина е 77 cm 2.

Решение: Половина од периметарот на правоаголникот е еднаква на збирот на неговите соседни страни. Да го означиме x како поголема страна, тогаш 18-x е нејзината помала страна. Површината на правоаголникот е еднаква на производот од овие должини:
x(18-x)=77;
или
x 2 -18x+77=0.
Да ја најдеме дискриминаторот на равенката

Пресметување на корените на равенката

Ако x=11,Тоа 18 = 7,точно е и спротивното (ако x=7, тогаш 21's=9).

Задача 6. Факторирајте ја квадратната равенка 10x 2 -11x+3=0.

Решение: Да ги пресметаме корените на равенката, за да го направиме ова, ја наоѓаме дискриминантната

Пронајдената вредност ја заменуваме во коренската формула и пресметуваме

Ја применуваме формулата за разложување на квадратна равенка по корени

Отворајќи ги заградите добиваме идентитет.

Квадратна равенка со параметар

Пример 1. На кои вредности на параметрите А ,дали равенката (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 има еден корен?

Решение: Со директна замена на вредноста a=3 гледаме дека нема решение. Следно, ќе го искористиме фактот дека со нулта дискриминанта равенката има еден корен од множина 2. Ајде да го отпишеме дискриминаторот

Да го поедноставиме и да го изедначиме со нула

Добивме квадратна равенка во однос на параметарот a, чиешто решение може лесно да се добие со помош на теоремата на Виета. Збирот на корените е 7, а нивниот производ е 12. Со едноставно пребарување утврдуваме дека броевите 3,4 ќе бидат корени на равенката. Бидејќи веќе го отфрливме решението a=3 на почетокот на пресметките, единственото точно ќе биде - a=4.Така, кога a=4 равенката има еден корен.

Пример 2. При кои вредности на параметрите А ,равенката a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0има повеќе од еден корен?

Решение: Прво да ги разгледаме точките во еднина, тие ќе бидат вредностите a=0 и a=-3. Кога a=0, равенката ќе се поедностави во формата 6x-9=0; x=3/2 и ќе има еден корен. За a= -3 го добиваме идентитетот 0=0.
Да ја пресметаме дискриминаторот

и најдете ја вредноста на a на која е позитивна

Од првиот услов добиваме a>3. За втората, ги наоѓаме дискриминаторот и корените на равенката


Ајде да ги дефинираме интервалите каде што зафаќа функцијата позитивни вредности. Со замена на точката a=0 добиваме 3>0 . Значи, надвор од интервалот (-3;1/3) функцијата е негативна. Не заборавајте на поентата a=0,што треба да се исклучи бидејќи првобитната равенка има еден корен во неа.
Како резултат на тоа, добиваме два интервали кои ги задоволуваат условите на проблемот

Ќе има многу слични задачи во пракса, обидете се сами да ги сфатите задачите и не заборавајте да ги земете предвид условите кои меѓусебно се исклучуваат. Добро проучете ги формулите за решавање на квадратни равенки тие често се потребни во пресметките во различни проблеми и науки;

Се надевам дека по проучувањето на оваа статија ќе научите како да ги пронајдете корените на целосна квадратна равенка.

Со помош на дискриминантот, се решаваат само целосни квадратни равенки за решавање на нецелосни квадратни равенки, се користат други методи кои ќе ги најдете во статијата „Решавање на нецелосни квадратни равенки“.

Кои квадратни равенки се нарекуваат целосни? Ова равенки од формата ax 2 + b x + c = 0, каде што коефициентите a, b и c не се еднакви на нула. Значи, за да решиме целосна квадратна равенка, треба да ја пресметаме дискриминантната D.

D = b 2 – 4ac.

Во зависност од вредноста на дискриминаторот, ќе го запишеме одговорот.

Доколку дискриминаторот негативен број(Д< 0),то корней нет.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш x = (-b)/2a. Кога дискриминаторот е позитивен број (D > 0),

тогаш x 1 = (-b - √D)/2a, и x 2 = (-b + √D)/2a.

На пример. Решете ја равенката x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Одговор: 2.

Решете ја равенката 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Одговор: нема корени.

Решете ја равенката 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Одговор: – 3,5; 1.

Значи, да го замислиме решението на целосните квадратни равенки користејќи го дијаграмот на Слика 1.

Користејќи ги овие формули, можете да решите која било целосна квадратна равенка. Само треба да внимавате на равенката беше напишана како полином стандарден поглед

А x 2 + bx + c,во спротивно може да згрешите. На пример, при пишување на равенката x + 3 + 2x 2 = 0, може погрешно да одлучите дека

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогаш

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогаш равенката има два корени. И ова не е вистина. (Види решение за пример 2 погоре).

Според тоа, ако равенката не е напишана како полином на стандардната форма, прво мора да се запише целосната квадратна равенка како полином на стандардната форма (на прво место треба да дојде мономот со најголем експонент, т.е. А x 2 , потоа со помалку – bxа потоа и слободен член Со.

При решавање на намалената квадратна равенка и квадратна равенка со парен коефициент во вториот член, можете да користите други формули. Ајде да се запознаеме со овие формули. Ако во целосна квадратна равенка вториот член има парен коефициент (b = 2k), тогаш равенката може да ја решите користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 2.

Целосна квадратна равенка се нарекува намалена ако коефициентот на x 2 е еднаква на еден и равенката ја зема формата x 2 + px + q = 0. Таква равенка може да се даде за решение, или може да се добие со делење на сите коефициенти на равенката со коефициентот А, стои во x 2 .

На слика 3 е прикажан дијаграм за решавање на намалениот квадрат
равенки. Ајде да погледнеме пример за примена на формулите дискутирани во овој напис.

Пример. Решете ја равенката

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ајде да ја решиме оваа равенка користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3

Може да забележите дека коефициентот x во оваа равенка е парен број, односно b = 6 или b = 2k, од каде k = 3. Потоа да се обидеме да ја решиме равенката користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на сликата D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3. Забележувајќи дека сите коефициенти во оваа квадратна равенка се деливи со 3 и извршувајќи го делењето, ја добиваме намалената квадратна равенка x 2 + 2x – 2 = 0 Решете ја оваа равенка користејќи ги формулите за намалениот квадрат
равенки слика 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3.

Како што гледаме, при решавање на оваа равенка со различни формулиго добивме истиот одговор. Затоа, откако темелно ги совладавте формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1, секогаш ќе можете да решите која било целосна квадратна равенка.

blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.