дома > Идеи > Извадете го коренот 6. Пресметување квадратен корен на број: како да го пресметате рачно


Извадете го коренот 6. Пресметување квадратен корен на број: како да го пресметате рачно




Факт 1.
\(\bullet\) Ајде да земеме малку не негативен број\(a\) (односно, \(a\geqslant 0\) ). Потоа (аритметички) квадратен коренод бројот \(a\) се нарекува таков ненегативен број \(b\) , кога на квадрат го добиваме бројот \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(исто како )\quad a=b^2\]Од дефиницијата произлегува дека \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Овие ограничувања се важен условпостоење квадратен корени тие треба да бидат запаметени!
Потсетиме дека секој број кога е на квадрат дава ненегативен резултат. Тоа е, \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) На што е еднакво \(\sqrt(25)\)? Знаеме дека \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Бидејќи по дефиниција мора да најдеме ненегативен број, тогаш \(-5\) не е соодветен, затоа, \(\sqrt(25)=5\) (бидејќи \(25=5^2\) ).
Наоѓањето на вредноста на \(\sqrt a\) се нарекува земање на квадратниот корен од бројот \(a\) , а бројот \(a\) се нарекува радикален израз.
\(\bullet\) Врз основа на дефиницијата, изразот \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), итн. нема смисла.

Факт 2.
За брзи пресметки ќе биде корисно да се научи табелата со квадрати природни броевиод \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end (низа)\]

Факт 3.
Какви операции можете да направите со квадратни корени?
\(\bullet\) Збир или разлика квадратни корениНЕ Е ЕДНАКВИ на квадратниот корен од збирот или разликата, т.е \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Така, ако треба да пресметате, на пример, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогаш првично мора да ги најдете вредностите на \(\sqrt(25)\) и \(\ sqrt(49)\ ) и потоа преклопете ги. Оттука, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако вредностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не можат да се најдат при додавање \(\sqrt a+\sqrt b\), тогаш таквиот израз не се трансформира понатаму и останува како што е. На пример, во збирот \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можеме да најдеме дека \(\sqrt(49)\) е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да се трансформира во како и да е, затоа \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). За жал, овој израз не може дополнително да се поедностави\(\bullet\) Производот/количникот на квадратните корени е еднаков на квадратниот корен на производот/количникот, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (под услов двете страни на еднаквостите да имаат смисла)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Користејќи ги овие својства, погодно е да се најдат квадратните корени на големи бројкисо нивно факторингирање.
Ајде да погледнеме на пример. Ајде да најдеме \(\sqrt(44100)\) . Бидејќи \(44100:100=441\) , тогаш \(44100=100\cdot 441\) . Според критериумот на деливост, бројот \(441\) се дели со \(9\) (бидејќи збирот на неговите цифри е 9 и се дели со 9), според тоа, \(441:9=49\), односно \(441=9\ cdot 49\) .
Така добивме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Ајде да погледнеме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Да покажеме како се внесуваат броеви под знакот на квадратен корен користејќи го примерот на изразот \(5\sqrt2\) (кратка нотација за изразот \(5\cdot \sqrt2\)). Бидејќи \(5=\sqrt(25)\) , тогаш \ Забележете исто така дека, на пример,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Зошто е тоа? Ајде да објасниме користејќи го примерот 1). Како што веќе разбравте, не можеме некако да го трансформираме бројот \(\sqrt2\). Да замислиме дека \(\sqrt2\) е некој број \(a\) . Според тоа, изразот \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е ништо повеќе од \(a+3a\) (еден број \(a\) плус уште три исти броеви \(a\)). И знаеме дека ова е еднакво на четири такви броеви \(a\) , односно \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Често велат „не можеш да го извлечеш коренот“ кога не можеш да се ослободиш од знакот \(\sqrt () \\) на коренот (радикал) кога ја пронаоѓаш вредноста на бројот . На пример, можете да го земете коренот на бројот \(16\) бидејќи \(16=4^2\) , затоа \(\sqrt(16)=4\) . Но, невозможно е да се извлече коренот на бројот \(3\), односно да се најде \(\sqrt3\), бидејќи не постои број што на квадрат ќе даде \(3\) .
Таквите броеви (или изразите со такви броеви) се ирационални. На пример, бројки \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така натаму. се ирационални.
Исто така ирационални се броевите \(\pi\) (бројот „pi“, приближно еднаков на \(3,14\)), \(e\) (овој број се нарекува Ојлеровиот број, приближно е еднаков на \(2,7 \)) итн.
\(\bullet\) Ве молиме имајте предвид дека секој број ќе биде или рационален или ирационален. И заедно сите се рационални и се ирационални броевиформираат множество наречено збир на реални броеви.Ова множество се означува со буквата \(\mathbb(R)\) .
Ова значи дека сите броеви кои се вклучени овој моментзнаеме дека се нарекуваат реални броеви.

Факт 5.
\(\bullet\) Модулот на реален број \(a\) е ненегативен број \(|a|\) , еднакво на растојаниеод точката \(a\) до \(0\) на вистинската линија. На пример, \(|3|\) и \(|-3|\) се еднакви на 3, бидејќи растојанијата од точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) се исто и еднакво на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е ненегативен број, тогаш \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е негативен број, тогаш \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Тие велат дека за негативните броеви модулот го „јаде“ минусот, додека позитивните броеви, како и бројот \(0\), се оставаат непроменети со модулот.
НООва правило важи само за бројки. Ако под вашиот знак за модул има непозната \(x\) (или некоја друга непозната), на пример, \(|x|\) , за која не знаеме дали е позитивен, нула или негативен, тогаш ослободете се од модулот не можеме. Во овој случај, овој израз останува ист: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( обезбедено ) a\geqslant 0\]Многу често се прави следнава грешка: велат дека \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) се едно исто. Ова е точно само ако \(a\) - позитивен бројили нула. Но, ако \(a\) е негативен број, тогаш ова е неточно. Доволно е да се разгледа овој пример. Да го земеме наместо \(a\) бројот \(-1\) . Тогаш \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразот \((\sqrt (-1))^2\) воопшто не постои (на крајот на краиштата, невозможно е да се користи коренскиот знак стави негативни броеви!).
Затоа, го обрнуваме вашето внимание на фактот дека \(\sqrt(a^2)\) не е еднакво на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\лево(-\sqrt2\десно)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), бидејќи \(-\sqrt2<0\) ;

\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Бидејќи \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогаш \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразот \(2n\) означува парен број)
Односно, кога се зема коренот на број кој е до одреден степен, овој степен се преполовува.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (забележете дека ако модулот не е испорачан, излегува дека коренот на бројот е еднаков на \(-25\ ) ), но се сеќаваме дека по дефиниција за корен тоа не може да се случи: при извлекување корен, секогаш треба да добиеме позитивен број или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (бидејќи кој било број до парна моќност е ненегативен)

Факт 6.
Како да се споредат два квадратни корени?
\(\bullet\) За квадратни корени е точно: ако \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) споредете ги \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Прво, да го трансформираме вториот израз во \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, бидејќи \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Помеѓу кои цели броеви се наоѓа \(\sqrt(50)\)?
Бидејќи \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Да ги споредиме \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да претпоставиме дека \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\почеток(порамнет) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додадете еден на двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((со квадрат од двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (порамнет)\]Гледаме дека сме добиле неточна неравенка. Затоа, нашата претпоставка беше неточна и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Забележете дека додавањето одреден број на двете страни на неравенката не влијае на неговиот знак. Множењето/делењето на двете страни на неравенката со позитивен број исто така не влијае на неговиот знак, но множењето/делењето со негативен број го менува знакот на неравенството!
Можете да ги квадратите двете страни на равенка/неравенка САМО АКО двете страни се ненегативни. На пример, во неравенката од претходниот пример можете да ги квадратите двете страни, во неравенката \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Треба да се запомни дека \[\почеток(порамнет) &\sqrt 2\приближно 1,4\\ &\sqrt 3\приближно 1,7 \крај (порамнет)\]Познавањето на приближното значење на овие бројки ќе ви помогне кога ги споредувате броевите! \(\bullet\) За да го извлечете коренот (ако може да се извлече) од некој голем број што го нема во табелата со квадрати, прво треба да одредите помеѓу кои „стотки“ се наоѓа, потоа - помеѓу кои „ десетици“, а потоа одреди ја последната цифра од овој број. Ајде да покажеме како функционира ова со пример.
Да земеме \(\sqrt(28224)\) . Знаеме дека \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), итн. Забележете дека \(28224\) е помеѓу \(10\,000\) и \(40\,000\) . Затоа, \(\sqrt(28224)\) е помеѓу \(100\) и \(200\) .
Сега да одредиме помеѓу кои „десетки“ се наоѓа нашиот број (тоа е, на пример, помеѓу \(120\) и \(130\)). Исто така од табелата со квадрати знаеме дека \(11^2=121\) , \(12^2=144\) итн., потоа \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Значи, гледаме дека \(28224\) е помеѓу \(160^2\) и \(170^2\) . Затоа, бројот \(\sqrt(28224)\) е помеѓу \(160\) и \(170\) .
Ајде да се обидеме да ја одредиме последната цифра. Да се ​​потсетиме кои едноцифрени броеви, кога се квадрат, даваат \(4\) на крајот? Тоа се \(2^2\) и \(8^2\) . Затоа, \(\sqrt(28224)\) ќе завршува или на 2 или на 8. Ајде да го провериме ова. Ајде да ги најдеме \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cточка 162=26224\)
\(168^2=168\cточка 168=28224\) .
Затоа, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

За адекватно да го решите обединетиот државен испит по математика, најпрво треба да проучите теоретски материјал кој ве запознава со бројни теореми, формули, алгоритми итн. На прв поглед може да изгледа дека ова е прилично едноставно. Меѓутоа, наоѓањето извор во кој теоријата за обединет државен испит по математика е претставена на лесен и разбирлив начин за учениците со кое било ниво на обука е всушност прилично тешка задача. Училишните учебници не можат секогаш да се чуваат при рака. И наоѓањето основни формули за обединет државен испит по математика може да биде тешко дури и на Интернет.

Зошто е толку важно да се изучува теоријата по математика не само за оние што полагаат обединет државен испит?

  1. Затоа што ви ги проширува хоризонтите. Проучувањето на теоретскиот материјал по математика е корисно за секој кој сака да добие одговори на широк спектар на прашања поврзани со познавање на светот околу нив. Сè во природата е подредено и има јасна логика. Токму тоа се рефлектира во науката, преку која е можно да се разбере светот.
  2. Затоа што развива интелигенција. Со проучување на референтни материјали за обединетиот државен испит по математика, како и решавање на разни проблеми, човекот учи да размислува и да размислува логично, да формулира мисли компетентно и јасно. Тој развива способност за анализа, генерализирање и извлекување заклучоци.

Ве покануваме лично да ги оцените сите предности на нашиот пристап кон систематизација и презентација на едукативни материјали.

И дали имате зависност од калкулатор? Или мислите дека е многу тешко да се пресмета, на пример, освен со калкулатор или со помош на табела со квадрати.

Се случува учениците да се врзат за калкулатор, па дури и да множат 0,7 со 0,5 со притискање на вредните копчиња. Велат, добро, сепак знам да пресметам, но сега ќе заштедам време... Кога ќе дојде испитот... тогаш ќе се напнам...

Значи, факт е дека веќе ќе има многу „стресни моменти“ за време на испитот... Како што велат, водата ги троши камењата. Така на испит, ситниците, ако ги има многу, можат да те уништат...

Ајде да го минимизираме бројот на можни неволји.

Преземање на квадратен корен од голем број

Сега ќе зборуваме само за случајот кога резултатот од извлекувањето на квадратниот корен е цел број.

Случај 1.

Значи, дозволете ни по секоја цена (на пример, при пресметување на дискриминаторот) да треба да го пресметаме квадратниот корен од 86436.

Бројот 86436 ќе го факторизираме во прости множители. Поделете со 2, добиваме 43218; Повторно подели со 2, добиваме 21609. Бројот не може да се дели со 2. Но, бидејќи збирот на цифрите се дели со 3, тогаш самиот број се дели со 3 (општо кажано, јасно е дека тој е исто така делив со 9). . Повторно подели со 3 и добиваме 2401. 2401 не е целосно делив со 3. Не се дели со пет (не завршува на 0 или 5).

Се сомневаме дека е деливост со 7. Навистина, и ,

Значи, комплетна нарачка!

Случај 2.

Дозволете ни да пресметаме. Незгодно е да се дејствува на ист начин како што е опишано погоре. Се обидуваме да ги факторизираме ...

Бројот 1849 не се дели со 2 (не е парен)…

Не е целосно делив со 3 (збирот на цифрите не е множител на 3)...

Не е целосно делив со 5 (последната цифра не е ниту 5 ниту 0)…

Не е целосно делив со 7, не се дели со 11, не се дели со 13... Па, колку време ќе ни треба да ги подредиме сите прости броеви?

Ајде да размислиме малку поинаку.

Ние го разбираме тоа

Ја намаливме нашата потрага. Сега поминуваме низ броевите од 41 до 49. Згора на тоа, јасно е дека бидејќи последната цифра од бројот е 9, тогаш треба да застанеме на опциите 43 или 47 - само овие броеви, кога се на квадрат, ќе ја дадат последната цифра 9 .

Па, тука, се разбира, застануваме на 43. Навистина,

П.С.Како по ѓаволите да помножиме 0,7 со 0,5?

Треба да помножите 5 со 7, игнорирајќи ги нулите и знаците, а потоа да одвоите, од десно кон лево, две децимали. Добиваме 0,35.

    Пресметувањето (или извлекувањето) на квадратниот корен може да се направи на неколку начини, но сите тие не се многу едноставни. Полесно е, се разбира, да се користи калкулатор. Но, ако ова не е можно (или сакате да ја разберете суштината на квадратниот корен), можам да ве советувам да одите на следниов начин, неговиот алгоритам е како што следува:

    Ако немате сила, желба или трпение за толку долги пресметки, можете да прибегнете кон груб избор е тоа што е неверојатно брз и, со соодветна генијалност, точен. Пример:

    Кога бев на училиште (почетокот на 60-тите), нè учеа да земеме квадратен корен од кој било број. Техниката е едноставна, надворешно слична на долгата поделба, но за да се претстави овде ќе треба половина час време и 4-5 илјади карактери текст. Но, зошто ви треба ова? Имате телефон или друг гаџет, nm има калкулатор. Има калкулатор на кој било компјутер. Лично, претпочитам да ги правам овие типови пресметки во Excel.

    Често во училиште се бара да се најдат квадратните корени на различни броеви. Но, ако сме навикнати постојано да користиме калкулатор за ова, тогаш на испитите тоа нема да биде можно, па затоа треба да научиме да го бараме коренот без помош на калкулатор. И ова, во принцип, е можно да се направи.

    Алгоритмот е како што следува:

    Прво погледнете ја последната цифра од вашиот број:

    На пример,

    Сега треба приближно да ја одредиме вредноста за коренот на најлевата група

    Во случај кога бројот има повеќе од две групи, тогаш треба да го пронајдете коренот вака:

    Но, следниот број треба да биде најголем, треба да го изберете вака:

    Сега треба да формираме нов број А со додавање на следната група на остатокот што беше добиен погоре.

    Во нашите примери:

  • Колоната е повисока, а кога се потребни повеќе од петнаесет знаци, тогаш најчесто одмараат компјутерите и телефоните со калкулатори. Останува да се провери дали описот на техниката ќе потрае 4-5 илјади знаци.

    Берм кој било број, од децималната точка броиме парови цифри десно и лево

    На пример, 1234567890.098765432100

    Пар цифри е како двоцифрен број. Коренот на двоцифрен е едноцифрен. Избираме една цифра чиј квадрат е помал од првиот пар цифри. Во нашиот случај тоа е 3.

    Како кога се делиме со колона, го запишуваме овој квадрат под првиот пар и го одземаме од првиот пар. Резултатот е подвлечен. 12 - 9 = 3. Додадете го вториот пар броеви на оваа разлика (ќе биде 334). Лево од бројот на берми, двојната вредност на тој дел од резултатот што веќе е пронајден се надополнува со број (имаме 2 * 6 = 6), така што кога ќе се помножи со недобиениот број, не го надминува бројот со вториот пар цифри. Добиваме дека пронајдената бројка е пет. Повторно ја наоѓаме разликата (9), го додаваме следниот пар цифри за да добиеме 956, повторно го запишуваме удвоениот дел од резултатот (70), повторно го дополнуваме со саканата цифра и така натаму додека не престане. Или до потребната точност на пресметките.

    Прво, за да го пресметате квадратниот корен, треба добро да ја знаете табелата за множење. Наједноставните примери се 25 (5 на 5 = 25) и така натаму. Ако земете посложени броеви, можете да ја користите оваа табела, каде што хоризонталната линија е единици, а вертикалната линија е десетици.

    Постои добар начин да се најде коренот на број без помош на калкулатори. За да го направите ова ќе ви треба владетел и компас. Поентата е дека на линијарот ја наоѓаш вредноста што е под твојот корен. На пример, ставете ознака до 9. Ваша задача е да го поделите овој број на еднаков број отсечки, односно на две линии од по 4,5 cm и на парен сегмент. Лесно е да се погоди дека на крајот ќе добиете 3 отсечки од по 3 сантиметри.

    Методот не е лесен и не е погоден за големи броеви, но може да се пресмета без калкулатор.

    Без помош на калкулатор, методот на вадење квадратен корен се изучувал во советско време на училиште во 8-мо одделение.

    За да го направите ова, треба да разделите повеќецифрен број од десно кон лево на рабови од 2 цифри :

    Првата цифра од коренот е целиот корен од левата страна, во овој случај, 5.

    Одземаме 5 на квадрат од 31, 31-25 = 6 и ја додаваме следната страна на шестката, имаме 678.

    Следната цифра x се совпаѓа со двојната петка така што

    10x*x беше максимум, но помалку од 678.

    x=6, бидејќи 106*6 = 636,

    Сега пресметуваме 678 - 636 = 42 и го додаваме следниот раб 92, имаме 4292.

    Повторно го бараме максимумот x така што 112x*x lt; 4292.

    Одговор: коренот е 563

    Можете да продолжите на овој начин колку што е потребно.

    Во некои случаи, може да се обидете да го разложите радикалниот број на два или повеќе квадратни фактори.

    Исто така, корисно е да се запамети табелата (или барем некој дел од неа) - квадратите на природните броеви од 10 до 99.

    Нудам верзија што ја измислив за извлекување на квадратен корен од колона. Се разликува од општо познатото, со исклучок на изборот на броеви. Но, како што дознав подоцна, овој метод веќе постоел многу години пред да се родам. Големиот Исак Њутн го опишал во својата книга Општа аритметика или книга за аритметичка синтеза и анализа. Така, овде ја презентирам мојата визија и образложение за алгоритмот на Њутновиот метод. Нема потреба да го меморирате алгоритмот. Можете едноставно да го користите дијаграмот на сликата како визуелна помош доколку е потребно.

    Со помош на табели, не можете да пресметате, туку да ги најдете квадратните корени на броевите што се во табелите. Најлесен начин да се пресметаат не само квадратните корени, туку и другите степени, е со методот на последователни приближувања. На пример, го пресметуваме квадратниот корен од 10739, ги заменуваме последните три цифри со нули и го извлекуваме коренот од 10000, добиваме 100 со недостаток, па го земаме бројот 102, го квадратиме, добиваме 10404, што е исто така помалку од дадениот, земаме 103*103=10609 пак со недостаток, земаме 103,5*103,5=10712,25, земаме уште повеќе 103,6*103,6=10732, земаме 103,7*103,7=10753, што е веќе во вишок. Може да го земете коренот на 10739 приближно еднаков на 103,6. Поточно 10739=103.629... . . Слично го пресметуваме коренот на коцката, прво од 10000 добиваме приближно 25*25*25=15625 што е вишок, земаме 22*22*22=10.648, земаме нешто повеќе од 22.06*22.06*22.06=10735 , што е многу блиску до даденото.

Дали сакате да поминете добро на обединетиот државен испит по математика? Тогаш треба да можете да броите брзо, правилно и без калкулатор. На крајот на краиштата, главната причина за губење на поени на Единствениот државен испит по математика се пресметковните грешки.

Според правилата на Единствениот државен испит, забрането е користење калкулатор за време на испитот по математика. Цената може да биде превисока - отстранување од испитот.

Всушност, не ви треба калкулатор за обединет државен испит по математика. Сите проблеми се решаваат без него. Главната работа е вниманието, точноста и некои тајни техники, за кои ќе ви кажеме.

Да почнеме со главното правило. Ако една пресметка може да се поедностави, поедноставете ја.

Еве, на пример, „ѓаволската равенка“:

Седумдесет проценти од дипломираните студенти го решаваат директно. Дискриминаторот го пресметуваат со формулата, по што велат дека коренот не може да се извади без калкулатор. Но, можете да ги поделите левата и десната страна на равенката со . Ќе успее

Кој начин е полесен? :-)

Многу ученици не сакаат колонообразно множење. Никој не сакаше да решава здодевни „примери“ во четврто одделение. Меѓутоа, во многу случаи е можно да се множат броевите без „колона“, по ред. Тоа е многу побрзо.

Ве молиме имајте предвид дека не започнуваме со помали цифри, туку со поголеми. Удобно е.

Сега - поделба. Не е лесно да се подели „во колона“ со . Но запомнете дека знакот за поделба: и фракционата лента се иста работа. Да го напишеме како дропка и да ја намалиме дропот:

Друг пример.

Како брзо и без ниту една колона да се квадрира двоцифрен број? Ние применуваме скратени формули за множење:

Понекогаш е погодно да се користи друга формула:

Броевите што завршуваат на , се квадратираат веднаш.

Да речеме дека треба да го најдеме квадратот на број ( - не мора број, кој било природен број). Ние се множиме со и го додаваме резултатот. Сите!

На пример: (и се припишува).

(и се припишува).

(и се припишува).

Овој метод е корисен не само за квадрат, туку и за земање на квадратен корен на броеви што завршуваат на .

Како можете дури и да го извлечете квадратниот корен без калкулатор? Ќе ви покажеме два начини.

Првиот метод е да се факторизира радикалниот израз.

На пример, ајде да најдеме
Бројот се дели со (бидејќи збирот на неговите цифри се дели со ). Ајде да факторизирам:

Ајде да го најдеме. Овој број се дели со. Тоа е исто така поделено со. Да го земеме предвид.

Друг пример.

Постои втор начин. Погодно е ако бројот од кој треба да го извлечете коренот не може да се факторизира.

На пример, треба да најдете. Бројот под коренот е непарен, не се дели со, не се дели со, не се дели со... Можете да продолжите да барате со што се дели, или можете полесно - најдете го овој корен со избор .

Очигледно, двоцифрен број е на квадрат, кој е помеѓу броевите и , бидејќи , , и бројот е меѓу нив. Веќе ја знаеме првата цифра во одговорот, таа е .

Последната цифра во бројот е . Бидејќи , , последната цифра во одговорот е или , или . Ајде да провериме:
. Се случи!

Ајде да го најдеме.

Тоа значи дека првата цифра во одговорот е пет.

Последната цифра во бројот е девет. , . Ова значи дека последната цифра во одговорот е или , или .

Ајде да провериме:

Ако бројот од кој треба да го извлечете квадратниот корен завршува на или, тогаш квадратниот корен од него ќе биде ирационален број. Бидејќи ниту еден квадрат не завршува на или . Запомнете дека во некои од проблемите на Обединетиот државен испит по математика, одговорот мора да биде напишан како цел број или конечна децимална дропка, односно мора да биде рационален број.

Квадратни равенки се среќаваме во задачи и варијанти на Единствениот државен испит, како и во делови. Тие треба да го избројат дискриминаторот и потоа да го извлечат коренот од него. И воопшто не е неопходно да се бараат корени од петцифрени броеви. Во многу случаи, дискриминаторот може да се факторизира.

На пример, во равенката.

Друга ситуација во која изразот под коренот може да се факторизира е земен од проблемот.

Хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаква на , една од катетите е еднаква на , најдете ја втората катета.

Според Питагоровата теорема, таа е еднаква на . Може да сметате во колона долго време, но полесно е да се користи скратената формула за множење.

И сега ќе ви го кажеме најинтересното - зошто матурантите губат скапоцени поени на обединетиот државен испит. На крајот на краиштата, грешките во пресметките не се случуваат само.

1 . Сигурен начин за губење поени се неуредните пресметки во кои нешто се коригира, пречкрта или еден број се запишува врз друг. Погледнете ги вашите нацрти. Можеби изгледаат исто? :-)

Напиши читливо! Не штедете хартија. Ако нешто не е во ред, не поправајте еден број за друг, подобро е да го напишете повторно.

2. Поради некоја причина, многу ученици, кога бројат во колона, се обидуваат да го направат тоа 1) многу, многу брзо, 2) во многу мал број, во аголот на нивната тетратка и 3) со молив. Резултатот е овој:

Невозможно е да се открие нешто. Значи, дали е изненадување што резултатот на обединетиот државен испит е помал од очекуваното?

3. Многу ученици се навикнати да игнорираат загради во изразите. Понекогаш се случува ова:

Запомнете дека знакот за еднаквост не се поставува насекаде, туку само помеѓу еднакви вредности. Напишете правилно, дури и во нацрт-форма.

4 . Огромен број пресметковни грешки вклучуваат фракции. Ако делите дропка со дропка, употребете што
Овде е нацртан „хамбургер“, односно повеќекатна фракција. Исклучително е тешко да се добие точниот одговор користејќи го овој метод.

Да резимираме.

Проверката на задачите од првиот дел од профилот Единствен државен испит по математика е автоматска. Овде нема „речиси точен“ одговор. Или е во право или не е. Една компјутерска грешка - и здраво, задачата не се брои. Затоа, во ваш интерес е да научите да броите брзо, правилно и без калкулатор.

Задачите од вториот дел од профилот Единствен државен испит по математика ги проверува стручно лице. Грижете се за него! Нека го разбере и вашиот ракопис и логиката на одлуката.

Во предговорот на неговото прво издание, „Во кралството на генијалноста“ (1908), Е. И. Игнатиев пишува: „...интелектуалната иницијатива, брзата духовитост и „генијалноста“ не можат да се „дупчат“ или „да се стават“ ничија глава. Резултатите се сигурни само кога воведот во областа на математичкото знаење е направен на лесен и пријатен начин, користејќи предмети и примери од обични и секојдневни ситуации, избрани со соодветна духовитост и забава.

Во предговорот на изданието од 1911 година „Улогата на меморијата во математиката“ Е.И. Игнатиев пишува „... во математиката не треба да се паметат формулите, туку процесот на размислување“.

За да го извлечете квадратниот корен, постојат табели со квадрати за двоцифрени броеви, можете да го пресметате бројот во прости множители и да го извлечете квадратниот корен на производот. Табелата со квадрати понекогаш не е доволна, извлекувањето на коренот со факторинг е задача која одзема многу време, што исто така не води секогаш до посакуваниот резултат. Обидете се да го земете квадратниот корен од 209764? Факторирањето во прости фактори го дава производот 2*2*52441. Со обиди и грешки, избор - ова, се разбира, може да се направи ако сте сигурни дека ова е цел број. Методот што сакам да го предложам ви овозможува да земете квадратен корен во секој случај.

Некогаш во институтот (Државен педагошки институт Перм) бевме запознаени со овој метод, за кој сега сакам да зборувам. Никогаш не се прашував дали овој метод има доказ, па сега морав сам да заклучам дел од доказот.

Основата на овој метод е составот на бројот =.

=&, т.е. & 2 =596334.

1. Поделете го бројот (5963364) во парови од десно кон лево (5`96`33`64)

2. Извадете го квадратниот корен од првата група лево ( - број 2). Така ја добиваме првата цифра од &.

3. Најдете го квадратот на првата цифра (2 2 =4).

4. Најдете ја разликата помеѓу првата група и квадратот на првата цифра (5-4=1).

5. Ги симнуваме следните две цифри (го добиваме бројот 196).

6. Двојно ја удвојуваме првата цифра што ја најдовме и запишуваме лево зад линијата (2*2=4).

7. Сега треба да ја најдеме втората цифра од бројот и: двојно од првата цифра што ја најдовме станува цифра на десетици од бројот, која кога ќе се помножи со бројот на единици, треба да добиете број помал од 196 (ова е бројот 4, 44*4=176). 4 е втората цифра од &.

8. Најдете ја разликата (196-176=20).

9. Ја уриваме следната група (го добиваме бројот 2033).

10. Двојно го удвојуваме бројот 24, добиваме 48.

Во еден број има 11,48 десетки, кога ќе се помножиме со бројот на единици треба да добиеме број помал од 2033 (484*4=1936). Цифрата на оние што ја најдовме (4) е третата цифра од бројот &.

Го дадов доказот за следниве случаи:

1. Извлекување на квадратен корен од трицифрен број;

2. Извлекување на квадратен корен од четирицифрен број.

Приближни методи за вадење на квадратни корени (без употреба на калкулатор).

1. Старите Вавилонци го користеле следниов метод за да ја пронајдат приближната вредност на квадратниот корен на нивниот број x. Тие го претставија бројот x како збир a 2 + b, каде што a 2 е точниот квадрат на природниот број a (a 2 ? x) најблиску до бројот x и ја користеа формулата . (1)

Користејќи ја формулата (1), го извлекуваме квадратниот корен, на пример, од бројот 28:

Резултатот од извлекувањето на коренот на 28 со помош на МК е 5,2915026.

Како што можете да видите, вавилонскиот метод дава добра апроксимација на точната вредност на коренот.

2. Исак Њутн развил метод за земање квадратни корени кој датира од Херон од Александрија (околу 100 г. н.е.). Овој метод (познат како метод на Њутн) е како што следува.

Нека а 1- првото приближување на број (како 1 можете да ги земете вредностите на квадратниот корен на природен број - точен квадрат што не надминува X) .

Следно, попрецизно приближување а 2броеви пронајден по формулата .