дома > Идеи > Формула за наоѓање геометриска прогресија. Формула за збир на првите n членови на GP. Дефиниција на геометриска прогресија


Формула за наоѓање геометриска прогресија. Формула за збир на првите n членови на GP. Дефиниција на геометриска прогресија




Геометриска прогресија е нумеричка низа, чиј прв член не е нула, а секој следен член е еднаков на претходниот член помножен со истиот број што не е нула. Геометриската прогресија се означува b1,b2,b3, …, bn, …

Својства на геометриска прогресија

Односот на кој било член на геометриската грешка со нејзиниот претходен член е еднаков на истиот број, односно b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. Ова директно произлегува од дефиницијата за аритметичка прогресија. Овој број се нарекува именител на геометриска прогресија. Обично именителот на геометриска прогресија се означува со буквата q.

Еден од начините за одредување на геометриска прогресија е да се определи нејзиниот прв член b1 и именителот на геометриската грешка q. На пример, b1=4, q=-2. Овие два услови ја дефинираат геометриската прогресија 4, -8, 16, -32, ....

Ако q>0 (q не е еднаква на 1), тогаш прогресијата е монотона низа. На пример, низата 2, 4,8,16,32, ... е монотоно растечка низа (b1=2, q=2).

Ако именителот во геометриската грешка е q=1, тогаш сите членови од геометриската прогресија ќе бидат еднакви еден на друг. Во такви случаи, се вели дека прогресијата е постојана низа.

Формула за n-ти член на прогресијата

За да може една бројна низа (bn) да биде геометриска прогресија, потребно е секој нејзин член, почнувајќи од вториот, да биде геометриска средина на соседните членови. Односно, потребно е да се исполни следнава равенка - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), за кое било n>0, каде што n припаѓа на множеството природни броеви N.

Формулата за n-тиот член на геометриската прогресија е:

bn=b1*q^(n-1), каде што n припаѓа на множеството природни броеви N.

Ајде да погледнеме едноставен пример:

Во геометриска прогресија b1=6, q=3, n=8 најдете bn.

Да ја користиме формулата за n-ти член на геометриска прогресија.

Геометриската прогресија е нов тип на нумеричка низа со која ќе се запознаеме. За успешно запознавање, не е повредено барем да се знае и да се разбере. Тогаш нема да има проблеми со геометриската прогресија.)

Што е геометриска прогресија? Концептот на геометриска прогресија.

Турата ја започнуваме, како и обично, со основните работи. Пишувам недовршена низа од броеви:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Можете ли да ја забележите шемата и да кажете кои броеви ќе бидат следните? Биберот е бистар, потоа ќе следат бројките 100.000, 1.000.000 и така натаму. Дури и без многу ментален напор, сè е јасно, нели?)

ДОБРО. Друг пример. Ја пишувам оваа низа:

1, 2, 4, 8, 16, …

Можеш ли да кажеш кои броеви ќе следат, следејќи го бројот 16 и името осмичлен на низа? Ако сфативте дека тоа ќе биде бројот 128, тогаш многу добро. Значи, половина од битката е во разбирањето смислаИ клучните точкивеќе е направена геометриска прогресија. Можете да растете понатаму.)

И сега повторно преминуваме од сензации кон строга математика.

Клучни точки на геометриска прогресија.

Клучна точка #1

Геометриската прогресија е низа од броеви.Така е и прогресијата. Ништо фенси. Само оваа низа е наредена поинаку.Оттука, нормално, има друго име, да...

Клучна точка #2

Со втората клучна точка, прашањето ќе биде покомплицирано. Да се ​​вратиме малку назад и да се потсетиме на клучното својство на аритметичката прогресија. Еве го: секој член е различен од претходниот за истиот износ.

Дали е можно да се формулира слично клучно својство за геометриска прогресија? Размислете малку... Погледнете ги подетално дадените примери. Дали погодивте? Да! Во геометриска прогресија (било кој!) секој негов член се разликува од претходниот ист број пати.Секогаш!

Во првиот пример, оваа бројка е десет. Кој член од низата и да го земете, тој е поголем од претходниот десет пати.

Во вториот пример тоа е два: секој член е поголем од претходниот двапати.

Токму оваа клучна точка се разликува геометриската прогресија од аритметичката прогресија. Во аритметичка прогресија се добива секој следен член со додавањеиста вредност на претходниот член. И тука - множењепретходниот мандат за истиот износ. Тоа е целата разлика.)

Клучна точка #3

Оваа клучна точка е целосно идентична со онаа за аритметичка прогресија. Имено: Секој член на геометриска прогресија стои на своето место.Сè е исто како во аритметичката прогресија и коментарите мислам дека се непотребни. Има прв термин, има сто и прв итн. Дозволете ни да замениме најмалку два термина - шаблонот (а со тоа и геометриската прогресија) ќе исчезне. Она што ќе остане е само низа од броеви без никаква логика.

Тоа е се. Тоа е целата поента на геометриската прогресија.

Услови и ознаки.

Но, сега, откако го разбравме значењето и клучните точки на геометриската прогресија, можеме да преминеме на теоријата. Инаку, што е теорија без разбирање на значењето, нели?

Како да се означи геометриска прогресија?

Како се пишува геометриската прогресија во општа форма? Нема проблем! Секој член од прогресијата се пишува и како буква. Само за аритметичка прогресија, обично се користи буквата "А", за геометриско – писмо "б". Број на член, како и обично, е наведено индекс долу десно. Едноставно ги наведуваме самите членови на прогресијата, одделени со запирки или точка-запирка.

Како ова:

б 1,б 2 , б 3 , б 4 , б 5 , б 6 , …

Накратко, оваа прогресија е напишана вака: (b n) .

Или вака, за конечни прогресии:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

б 1, б 2, ..., б 29, б 30.

Или накратко:

(b n), n=30 .

Тоа, всушност, е целата ознака. Сè е исто, само буквата е различна, да.) И сега преминуваме директно на дефиницијата.

Дефиниција на геометриска прогресија.

Геометриска прогресија е броена низа во која првиот член е не-нула, а секој следен член е еднаков на претходниот член помножен со истиот број што не е нула.

Тоа е целата дефиниција. Повеќето зборови и фрази ви се јасни и познати. Ако, се разбира, го разбирате значењето на геометриската прогресија „на вашите прсти“ и воопшто. Но, има и неколку нови фрази на кои би сакал да обрнам посебно внимание.

Прво, зборовите: „чиј прв член не-нула".

Ова ограничување на првиот мандат не беше случајно воведено. Што мислите дека ќе се случи ако првиот член б 1 ќе биде еднаква на нула? На што ќе биде еднаков вториот член ако секој член е поголем од претходниот? ист број пати?Да речеме три пати? Ајде да видиме... Помножете го првиот член (т.е. 0) со 3 и добијте... нула! Што е со третиот член? Исто така нула! И четвртиот член е исто така нула! И така натаму…

Добиваме само вреќа ѓеврек, низа од нули:

0, 0, 0, 0, …

Се разбира, таквата низа има право на живот, но не е од практичен интерес. Се е јасно. Секој негов член е нула. Збирот на кој било број членови е исто така нула... Какви интересни работи можете да направите со него? Ништо…

Следниве клучни зборови: „помножено со истиот број што не е нула“.

Овој ист број има и свое посебно име - именител на геометриска прогресија. Ајде да почнеме да се запознаваме.)

Именител на геометриска прогресија.

Сè е едноставно како гранатирање круши.

Именителот на геометриската прогресија е ненула број (или количина) што покажуваколку патисекој термин од прогресијата повеќе од претходниот.

Повторно, слично на аритметичката прогресија, клучниот збор што треба да се бара во оваа дефиниција е зборот "повеќе". Тоа значи дека се добива секој член од геометриската прогресија множењетокму на овој именител претходен член.

Дозволи ми да објаснам.

Да се ​​пресмета, да речеме второкур, треба да се земе првочлен и размножувааттоа до именителот. За пресметка десеттикур, треба да се земе деветтичлен и размножувааттоа до именителот.

Именителот на самата геометриска прогресија може да биде што било. Апсолутно секој! Целосно, фракционо, позитивно, негативно, ирационално - сè. Освен нула. Ова е она што ни го кажува зборот „не-нула“ во дефиницијата. Зошто овој збор е потребен овде - повеќе за тоа подоцна.

Именител на геометриска прогресијанајчесто се означува со буквата q.

Како да го најдете q? Нема проблем! Мора да земеме кој било термин на прогресијата и подели со претходниот член. Поделба е дропка. Оттука и името - „именител на прогресија“. Именителот, обично седи во дропка, да...) Иако, логично, вредноста qтреба да се повикаат приватенгеометриска прогресија, слична на разликаза аритметичка прогресија. Но, се договоривме да се јавиме именител. И ние нема повторно да го измислиме тркалото.)

Да ја дефинираме, на пример, количината qза оваа геометриска прогресија:

2, 6, 18, 54, …

Сè е елементарно. Ајде да го земеме било којниза број. Земаме што сакаме. Освен првиот. На пример, 18. И подели со претходен број. Односно во 6.

Добиваме:

q = 18/6 = 3

Тоа е се. Ова е точниот одговор. За оваа геометриска прогресија, именителот е три.

Ајде сега да го најдеме именителот qза уште една геометриска прогресија. На пример, овој:

1, -2, 4, -8, 16, …

Се исто. Без разлика какви знаци имаат самите членови, ние сепак земаме било којброј на низата (на пример, 16) и подели со претходен број(т.е. -8).

Добиваме:

г = 16/(-8) = -2

И тоа е тоа.) Овој пат именителот на прогресијата се покажа негативен. Минус два. Се случува.)

Сега да ја земеме оваа прогресија:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

И повторно, без оглед на типот на броевите во низата (без разлика дали се цели броеви, парни дропки, дури и негативни, дури и ирационални), земаме кој било број (на пример, 1/9) и делиме со претходниот број (1/3). Според правилата за работа со дропки, се разбира.

Добиваме:

Тоа е сè.) Овде именителот се покажа дека е дробен: q = 1/3.

Што мислите за оваа „прогресија“?

3, 3, 3, 3, 3, …

Очигледно тука q = 1 . Формално, ова е исто така геометриска прогресија, само со идентични членови.) Но, таквите прогресии не се интересни за проучување и практична примена. Исто како и прогресиите со цврсти нули. Затоа, нема да ги разгледаме.

Како што можете да видите, именителот на прогресијата може да биде што било - цел број, фракционо, позитивно, негативно - што било! Не може само да биде нула. Не можете да погодите зошто?

Па, ајде да искористиме некој конкретен пример за да видиме што ќе се случи ако земеме како именител qнула.) Нека, на пример, имаме б 1 = 2 , А q = 0 . На што тогаш ќе биде еднаков вториот член?

Ние броиме:

б 2 = б 1 · q= 2 0 = 0

Што е со третиот член?

б 3 = б 2 · q= 0 0 = 0

Видови и однесување на геометриски прогресии.

Сè беше повеќе или помалку јасно: ако разликата во прогресијата ге позитивен, тогаш прогресијата се зголемува. Ако разликата е негативна, тогаш прогресијата се намалува. Има само две опции. Нема трето.)

Но, со однесувањето на геометриската прогресија, сè ќе биде многу поинтересно и разновидно!)

Без разлика како се однесуваат термините овде: тие се зголемуваат, и се намалуваат, и на неодредено време се приближуваат до нула, па дури и ги менуваат знаците, наизменично фрлајќи се во „плус“, а потоа во „минус“! И во целата оваа различност треба да знаеш добро да разбереш, да...

Ајде да сфатиме?) Да почнеме со наједноставниот случај.

Именителот е позитивен ( q >0)

Со позитивен именител, прво, условите на геометриската прогресија можат да влезат плус бесконечност(т.е. зголемување без ограничување) и може да влезе во минус бесконечност(т.е. намалување без ограничување). Веќе сме навикнати на ваквото однесување на прогресии.

На пример:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Сè е едноставно овде. Се добива секој термин од прогресијата повеќе од претходното. Покрај тоа, секој термин излегува множењепретходен член на позитивенброј +2 (т.е. q = 2 ). Однесувањето на таквата прогресија е очигледно: сите членови на прогресијата растат без ограничување, одејќи во вселената. Плус бесконечност...

И сега еве ја прогресијата:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

И овде се добива секој член од прогресијата множењепретходен член на позитивенброј +2. Но, однесувањето на таквата прогресија е токму спротивното: се добива секој член од прогресијата помалку од претходниот, и сите негови термини се намалуваат без ограничување, одејќи до минус бесконечност.

Сега да размислиме: што имаат заедничко овие две прогресии? Така е, именител! Тука и таму q = +2 . Позитивен број.Две. И тука однесувањеОвие две прогресии се фундаментално различни! Не можете да погодите зошто? Да! Се работи за прв член!Тој, како што велат, ја нарекува мелодијата.) Погледнете сами.

Во првиот случај, првиот мандат на прогресијата позитивен(+1) и, според тоа, сите последователни членови добиени со множење со позитивенименител q = +2 , исто така ќе биде позитивен.

Но, во вториот случај, првиот мандат негативен(-1). Затоа, сите последователни услови на прогресијата, добиени со множење со позитивен q = +2 , исто така ќе се добијат негативен.Бидејќи „минус“ до „плус“ секогаш дава „минус“, да.)

Како што можете да видите, за разлика од аритметичката прогресија, геометриската прогресија може да се однесува сосема поинаку не само во зависност од именителотq, но и во зависност од првиот член, Да.)

Запомнете: однесувањето на геометриската прогресија е уникатно определено со нејзиниот прв член б 1 и именителq .

И сега почнуваме да анализираме помалку познати, но многу поинтересни случаи!

Да ја земеме, на пример, оваа низа:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Оваа низа е исто така геометриска прогресија! Секој термин од оваа прогресија исто така излегува множењепретходниот член, со ист број. Тоа е само бројка - фракционо: q = +1/2 . Или +0,5 . Згора на тоа (важно!) бројот помалку од еден:q = 1/2<1.

Зошто е интересна оваа геометриска прогресија? Каде се движат нејзините членови? Ајде да погледнеме:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Кои интересни работи можете да ги забележите овде? Прво, веднаш се забележува намалувањето во однос на прогресијата: секој негов член помалкутокму претходниот 2 пати.Или, според дефиницијата за геометриска прогресија, секој поим повеќепретходно 1/2 пати, бидејќи именител на прогресија q = 1/2 . И кога ќе се помножи со позитивен број помал од еден, резултатот обично се намалува, да...

Што повеќеможе да се види во однесувањето на оваа прогресија? Дали нејзините членови се намалуваат? неограничено, оди до минус бесконечност? Не! Тие исчезнуваат на посебен начин. Отпрвин тие се намалуваат прилично брзо, а потоа се повеќе и побавно. И додека останува цело време позитивен. Иако многу, многу мал. И кон што се стремат тие самите? Не погодивте? Да! Тие се стремат кон нула!) Покрај тоа, обрнете внимание, членовите на нашата прогресија се од нула никогаш не достигнувај!Само приближувајќи му се бескрајно блиску. Тоа е многу важно.)

Слична ситуација ќе се појави во следната прогресија:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Еве б 1 = -1 , А q = 1/2 . Се е исто, само сега термините ќе се приближат на нула од другата страна, одоздола. Останувајќи цело време негативен.)

Таквата геометриска прогресија, чиишто услови пристапи кон нула без ограничување(без разлика од позитивна или негативна страна), во математиката има посебно име - бескрајно намалена геометриска прогресија.Оваа прогресија е толку интересна и необична што дури и ќе се дискутира посебна лекција .)

Значи, ние ги разгледавме сите можни позитивенименители се и големи и помали. Самата единица не ја сметаме за именител од причините наведени погоре (сетете се на примерот со низа од тројки...)

Да резимираме:

позитивенИ повеќе од еден (q>1), потоа условите на прогресијата:

а) зголемување без ограничување (акоб 1 >0);

б) намалување без ограничување (акоб 1 <0).

Ако именителот на геометриската прогресија позитивен И помалку од еден (0< q<1), то члены прогрессии:

а) бесконечно блиску до нула погоре(Акоб 1 >0);

б) се приближува бесконечно блиску до нула одоздола(Акоб 1 <0).

Сега останува да се разгледа случајот негативен именител.

Именителот е негативен ( q <0)

Нема да одиме далеку за пример. Зошто, точно, бушава баба?!) Нека е на пример првиот термин на прогресијата б 1 = 1 , и да го земеме именителот q = -2.

Ја добиваме следната низа:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

И така натаму.) Се добива секој член од прогресијата множењепретходен член на негативен број-2. Во овој случај, сите членови кои стојат на непарни места (прва, трета, петта, итн.) ќе бидат позитивени на парни места (второ, четврто итн.) – негативен.Знаците се строго наизменични. Плус-минус-плус-минус... Оваа геометриска прогресија се нарекува - зголемување на знакот наизменично.

Каде се движат нејзините членови? Но никаде.) Да, во апсолутна вредност (т.е. модуло)членовите на нашата прогресија се зголемуваат без ограничување (оттука и името „зголемување“). Но, во исто време, секој член на прогресијата наизменично ве фрла во топлина, а потоа во студ. Или „плус“ или „минус“. Нашата прогресија се колеба... Згора на тоа, опсегот на флуктуации рапидно расте со секој чекор, да.) Затоа, аспирациите на членовите на прогресијата одат некаде конкретноЕве бр.Ниту до плус бесконечност, ниту до минус бесконечност, ниту до нула - никаде.

Сега да разгледаме некој фракционен именител помеѓу нула и минус еден.

На пример, нека биде б 1 = 1 , А q = -1/2.

Потоа ја добиваме прогресијата:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

И повторно имаме алтернација на знаци! Но, за разлика од претходниот пример, овде веќе постои јасна тенденција поимите да се приближуваат до нула.) Само што овојпат нашите поими се приближуваат до нулата не строго одозгора или долу, туку повторно двоумејќи се. Наизменично земајќи позитивни и негативни вредности. Но, во исто време тие модулисе поблиску и поблиску до негуваната нула.)

Оваа геометриска прогресија се нарекува бесконечно опаѓачки знак, наизменично.

Зошто се интересни овие два примера? И фактот дека и во двата случаи се одвива алтернација на знаци!Овој трик е типичен само за прогресии со негативен именител, да.) Затоа, ако во некоја задача видите геометриска прогресија со наизменични членови, веќе сигурно ќе знаете дека нејзиниот именител е 100% негативен и нема да погрешите во знакот.)

Патем, во случај на негативен именител, знакот на првиот член воопшто не влијае на однесувањето на самата прогресија. Без разлика на знакот на првиот член на прогресијата, во секој случај знакот на термините ќе се запази. Единственото прашање е, на кои места(парни или непарни) ќе има членови со специфични знаци.

Запомнете:

Ако именителот на геометриската прогресија негативен , тогаш знаците на условите на прогресијата се секогаш наизменично.

Во исто време, самите членови:

а) зголемување без ограничувањемодуло, Акоq<-1;

б) се приближува до нулата бесконечно ако -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Тоа е се. Сите типични случаи се анализирани.)

Во процесот на анализа на различни примери на геометриски прогресии, периодично ги користев зборовите: „се стреми кон нула“, „се стреми кон плус бесконечност“, „се стреми кон минус бесконечноста“... Во ред е.) Овие говорни фигури (и конкретни примери) се само почетен вовед во однесувањеразновидни низи на броеви. Користејќи го примерот на геометриска прогресија.

Зошто воопшто треба да го знаеме однесувањето на прогресијата? Каква разлика има каде оди? Кон нула, до плус бесконечност, до минус бесконечност... Што ни прави тоа?

Работата е дека веќе на универзитетот, на курс по повисока математика, ќе ви треба способност да работите со широк спектар на нумерички секвенци (со какви било, не само прогресии!) и способност да замислите точно како оваа или онаа низа се однесува - дали се зголемува дали неограничено се намалува, дали се стреми кон одредена бројка (и не мора на нула), или воопшто не се стреми кон ништо... Цел дел е посветен на оваа тема во текот на математичката анализа - теорија на граници.И малку поконкретно - концептот граница на низата на броеви.Многу интересна тема! Има смисла да се оди на колеџ и да се разбере.)

Некои примери од овој дел (секвенци кои имаат ограничување) и особено, бескрајно намалена геометриска прогресијаТие почнуваат да се навикнуваат на тоа на училиште. Се навикнуваме на тоа.)

Покрај тоа, способноста добро да го проучувате однесувањето на секвенците ќе ви користи многу во иднина и ќе биде многу корисна во функционално истражување.Најразновидни. Но, способноста за компетентна работа со функции (пресметување деривати, проучување на нив во целост, градење на нивните графикони) веќе драматично го зголемува вашето математичко ниво! Дали имате сомнежи? Нема потреба. Запомнете ги и моите зборови.)

Да ја погледнеме геометриската прогресија во животот?

Во животот околу нас, многу, многу често се среќаваме со геометриска прогресија. Дури и без да се знае.)

На пример, различни микроорганизми кои не опкружуваат насекаде во огромни количини и кои не можеме да ги видиме ни без микроскоп, прецизно се размножуваат во геометриска прогресија.

Да речеме дека една бактерија се размножува со делење на половина, давајќи потомство на 2 бактерии. За возврат, секој од нив, кога се размножува, исто така се дели на половина, давајќи заедничко потомство од 4 бактерии. Следната генерација ќе произведе 8 бактерии, потоа 16 бактерии, 32, 64 и така натаму. Со секоја следна генерација, бројот на бактерии се удвојува. Типичен пример за геометриска прогресија.)

Исто така, некои инсекти - вошки и муви - се размножуваат експоненцијално. Патем, понекогаш и зајаци.)

Друг пример за геометриска прогресија, поблиску до секојдневниот живот, е т.н сложена камата.Овој интересен феномен често се среќава во банкарските депозити и се нарекува капитализација на каматата.Што е тоа?

Вие самите, се разбира, сè уште сте млади. Одиш на училиште, не оди во банки. Но, твоите родители се веќе возрасни и независни луѓе. Тие одат на работа, заработуваат за дневниот леб, а дел од парите ги ставаат во банка, заштедувајќи.)

Да речеме дека татко ти сака да заштеди одредена сума пари за семеен одмор во Турција и става 50.000 рубли во банка со 10% годишно за период од три години со годишна каматна капитализација.Покрај тоа, во текот на целиот овој период ништо не може да се направи со депозитот. Не можете ниту да го надополнувате депозитот ниту да повлечете пари од сметката. Колку ќе профитира по овие три години?

Па, пред сè, треба да откриеме што е 10% годишно. Тоа значи дека за една годинаБанката ќе додаде 10% на почетниот износ на депозит. Од што? Се разбира, од почетниот износ на депозит.

Ја пресметуваме големината на сметката по една година. Ако почетниот износ на депозит беше 50.000 рубли (т.е. 100%), тогаш по една година ќе има колку камата на сметката? Така е, 110%! Од 50.000 рубли.

Значи, ние пресметуваме 110% од 50.000 рубли:

50000·1,1 = 55000 рубли.

Се надевам дека разбирате дека наоѓањето 110% од вредноста значи множење на таа вредност со бројот 1.1? Ако не разбирате зошто е тоа така, сетете се на петто и шесто одделение. Имено – врска помеѓу процентите и дропките и деловите.)

Така, зголемувањето за првата година ќе биде 5.000 рубли.

Колку пари ќе има на сметката за две години? 60.000 рубли? За жал (или подобро, за среќа), сè не е толку едноставно. Целиот трик за капитализација на каматата е во тоа што со секоја нова пресметковна камата, истите тие камати веќе ќе се разгледуваат од новата сума!Од оној кој веќее на сметката Во моментот.А акумулираната камата за претходниот период се додава на оригиналниот износ на депозит и, на тој начин, самата учествува во пресметката на новата камата! Тоа е, тие стануваат целосен дел од целокупната сметка. Или општо капитал.Оттука и името - капитализација на каматата.

Тоа е во економијата. И во математиката таквите проценти се нарекуваат сложена камата.Или процент на камата.) Нивната финта е што при пресметување последователно, секој пат се пресметуваат процентите од новата вредност.И не од оригиналот...

Затоа, за да се пресмета износот преку две години, треба да пресметаме 110% од износот што ќе биде на сметката за една година.Тоа е, веќе од 55.000 рубли.

Ние броиме 110% од 55.000 рубли:

55000·1,1 = 60500 рубли.

Тоа значи дека процентот на зголемување за втората година ќе биде 5.500 рубли, а за две години – 10.500 рубли.

Сега веќе можете да погодите дека по три години износот на сметката ќе биде 110% од 60.500 рубли. Тоа е повторно 110% од претходната (минатата година)износи.

Тука мислиме:

60500·1,1 = 66550 рубли.

Сега ги распоредуваме нашите парични износи по година во низа:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Па како е тоа? Зошто не и геометриска прогресија? Прв член б 1 = 50000 , и именителот q = 1,1 . Секој термин е строго 1,1 пати поголем од претходниот. Сè е во строга согласност со дефиницијата.)

И колку дополнителни каматни бонуси ќе „собере“ вашиот татко додека неговите 50.000 рубли лежат на неговата банкарска сметка веќе три години?

Ние броиме:

66550 - 50000 = 16550 рубли

Не многу, се разбира. Но, ова е ако почетниот износ на депозит е мал. Што ако има повеќе? Да речеме, не 50, туку 200 илјади рубли? Тогаш зголемувањето во текот на три години ќе биде 66.200 рубли (ако ја направите математиката). Што е веќе многу добро.) Што ако придонесот е уште поголем? Тоа е тоа...

Заклучок: колку е поголем почетниот депозит, толку попрофитабилна станува каматната капитализација. Затоа депозитите со каматна капитализација банките ги обезбедуваат на долги периоди. Да речеме за пет години.

Исто така, сите видови лоши болести како грип, сипаници и уште пострашни болести (истиот САРС во раните 2000-ти или чумата во средниот век) сакаат да се шират експоненцијално. Оттука и размерите на епидемиите, да...) И сето тоа поради фактот што геометриската прогресија со цел позитивен именител (q>1) – нешто што расте многу брзо! Запомнете го размножувањето на бактериите: од една бактерија се добиваат две, од две - четири, од четири - осум и така натаму... Исто е и со ширењето на секоја инфекција.)

Наједноставните проблеми за геометриска прогресија.

Да почнеме, како и секогаш, со едноставен проблем. Чисто да се разбере значењето.

1. Познато е дека вториот член на геометриската прогресија е 6, а именителот е -0,5. Најдете ги првиот, третиот и четвртиот член.

Значи ние сме дадени бескрајнагеометриска прогресија, но позната втор мандатоваа прогресија:

b 2 = 6

Покрај тоа, ние исто така знаеме именител на прогресија:

q = -0,5

И треба да најдете прво, третоИ четвртичленови на оваа прогресија.

Значи ние дејствуваме. Низата ја запишуваме според условите на проблемот. Директно во општа форма, каде што вториот член е шест:

б 1, 6,б 3 , б 4 , …

Сега да почнеме да бараме. Почнуваме, како и секогаш, со наједноставното. Можете да го пресметате, на пример, третиот член б 3? Може! Јас и ти веќе знаеме (директно во смисла на геометриска прогресија) дека третиот член (б 3)повеќе од вториот (б 2 ) В "q"еднаш!

Така пишуваме:

b 3 =б 2 · q

Заменуваме шест во овој израз наместо б 2и -0,5 наместо тоа qи сметаме. А не го игнорираме ниту минусот, се разбира...

b 3 = 6·(-0,5) = -3

Како ова. Третиот мандат се покажа негативен. Не е ни чудо: нашиот именител q– негативно. И множењето на плус со минус, се разбира, ќе биде минус.)

Сега го броиме следниот, четврти член од прогресијата:

b 4 =б 3 · q

b 4 = -3·(-0,5) = 1,5

Четвртиот мандат е повторно со плус. Петтиот термин повторно ќе биде минус, шестиот ќе биде плус итн. Знаците се наизменично!

Така, се најде третиот и четвртиот термин. Резултатот е следнава низа:

b 1 ; 6; -3; 1,5; ...

Сега останува само да се најде првиот термин б 1според добро познатиот втор. За да го направите ова, чекориме во друга насока, лево. Тоа значи дека во овој случај не треба да го множиме вториот член на прогресијата со именителот, туку подели.

Се делиме и добиваме:

Тоа е сè.) Одговорот на проблемот ќе биде вака:

-12; 6; -3; 1,5; …

Како што можете да видите, принципот на решение е ист како во. Знаеме било којчлен и именителгеометриска прогресија - можеме да најдеме кој било друг нејзин член. Ќе го најдеме оној што го сакаме.) Единствената разлика е во тоа што собирањето/одземањето се заменува со множење/делење.

Запомнете: ако знаеме барем еден член и именител на геометриска прогресија, тогаш секогаш можеме да најдеме кој било друг член на оваа прогресија.

Следниот проблем, според традицијата, е од вистинска верзија на OGE:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

Па како е тоа? Овој пат нема прв термин, нема именител q, дадена е само низа од броеви... Нешто веќе познато, нели? Да! Сличен проблем веќе е решен во аритметичката прогресија!

Така да не се плашиме. Се исто. Да се ​​свртиме на главите и да се потсетиме на елементарното значење на геометриската прогресија. Внимателно ја разгледуваме нашата низа и откриваме кои параметри на геометриската прогресија на трите главни (прв член, именител, број на член) се скриени во неа.

Број на членови? Нема членски броеви, да... Ама има четири последователниброеви. Не гледам никаква смисла да објаснам што значи овој збор во оваа фаза.) Дали има два соседните познати броеви?Јадете! Тоа се 6 и 1.2. Така можеме да најдеме именител на прогресија.Значи, го земаме бројот 1.2 и делиме на претходниот број.До шест.

Добиваме:

Добиваме:

x= 150·0,2 = 30

Одговор: x = 30 .

Како што можете да видите, сè е прилично едноставно. Главната тешкотија е само во пресметките. Тоа е особено тешко во случај на негативни и фракциони именители. Па оние што имаат проблеми, повторете ја аритметиката! Како да се работи со дропки, како да се работи со негативни броеви и слично... Во спротивно, тука безмилосно ќе успорите.

Сега ајде малку да го измениме проблемот. Сега ќе стане интересно! Да го отстраниме последниот број 1.2 од него. Сега да го решиме овој проблем:

3. Запишани се неколку последователни членови на геометриската прогресија:

...; 150; X; 6; ...

Најдете го членот на прогресијата означена со буквата x.

Сè е исто, само две соседни познатиСега немаме членови на прогресијата. Ова е главниот проблем. Бидејќи големината qпреку два соседни поими лесно можеме да одредиме не можеме.Дали имаме шанса да се справиме со задачата? Секако!

Ајде да го запишеме непознатиот термин“ x„директно во смисла на геометриска прогресија! Во општа смисла.

Да Да! Право со непознат именител!

Од една страна, за X можеме да го напишеме следниов сооднос:

x= 150 ·q

Од друга страна, ние го имаме целосното право да го опишеме истиот X преку следночлен, преку шесте! Поделете шест со именителот.

Како ова:

x = 6/ q

Очигледно, сега можеме да ги изедначиме двата од овие соодноси. Бидејќи се изразуваме истомагнитуда (x), но два различни начини.

Ја добиваме равенката:

Помножувајќи се со q, со поедноставување и скратување, ја добиваме равенката:

q2 = 1/25

Решаваме и добиваме:

q = ±1/5 = ±0,2

Упс! Именителот испадна двоен! +0,2 и -0,2. И кој да го изберете? Ќорсокак?

Смирен! Да, проблемот навистина има две решенија!Ништо лошо во тоа. Тоа се случува.) Не сте изненадени кога, на пример, ќе добиете два корени кога ќе го решите вообичаениот проблем? Истата приказна е овде.)

За q = +0,2ќе добиеме:

X = 150 0,2 = 30

И за q = -0,2 ќе:

X = 150·(-0,2) = -30

Добиваме двоен одговор: x = 30; x = -30.

Што значи овој интересен факт? И она што постои две прогресии, задоволувајќи ги условите на проблемот!

Како овие:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

И двете се соодветни.) Зошто мислите дека имавме поделени одговори? Само поради елиминација на конкретен член на прогресијата (1,2), која доаѓа по шест. И знаејќи ги само претходните (n-1) и последователните (n+1) членовите на геометриската прогресија, веќе не можеме да кажеме ништо недвосмислено за n-тиот член што стои меѓу нив. Постојат две опции - со плус и со минус.

Но, нема проблем. Како по правило, во задачите за геометриска прогресија има дополнителни информации што даваат недвосмислен одговор. Да ги кажеме зборовите: „наизменична прогресија“или „прогресија со позитивен именител“и така натаму... Токму овие зборови треба да послужат како поим за тоа кој знак, плус или минус, треба да се избере при подготовката на конечниот одговор. Ако нема такви информации, тогаш да, задачата ќе има две решенија.)

Сега сами одлучуваме.

4. Определи дали бројот 20 е член на геометриска прогресија:

4 ; 6; 9; …

5. Даден е знакот на наизменична геометриска прогресија:

…; 5; x ; 45; …

Најдете го терминот на прогресијата означена со буквата x .

6. Најдете го четвртиот позитивен член на геометриската прогресија:

625; -250; 100; …

7. Вториот член на геометриската прогресија е еднаков на -360, а неговиот петти член е еднаков на 23,04. Најдете го првиот член од оваа прогресија.

Одговори (во неред): -15; 900; Не; 2.56.

Честитки ако сè успеа!

Нешто не одговара? Некаде имаше двоен одговор? Внимателно прочитајте ги условите на задачата!

Последниот проблем не успева? Таму нема ништо комплицирано.) Работиме директно според значењето на геометриската прогресија. Па, можете да нацртате слика. Помага.)

Како што можете да видите, сè е елементарно. Ако прогресијата е кратка. Што ако е долго? Или бројот на потребниот член е многу голем? Би сакал, по аналогија со аритметичката прогресија, некако да добијам погодна формула што го олеснува пронаоѓањето било којрок на која било геометриска прогресија по неговиот број.Без множење многу, многу пати со q. И има таква формула!) Деталите се во следната лекција.

22.09.2018 22:00

Геометриската прогресија, заедно со аритметичката прогресија, е важна бројна серија што се изучува во училишниот курс за алгебра во 9-то одделение. Во оваа статија ќе го разгледаме именителот на геометриската прогресија и како нејзината вредност влијае на нејзините својства.

Дефиниција на геометриска прогресија

Прво, да ја дадеме дефиницијата за оваа бројна серија. Геометриска прогресија е серија од рационални броеви што се формираат со последователно множење на неговиот прв елемент со константен број наречен именител.

На пример, броевите од серијата 3, 6, 12, 24, ... се геометриска прогресија, бидејќи ако помножите 3 (првиот елемент) со 2, ќе добиете 6. Ако помножите 6 со 2, ќе добиете 12, и така натаму.

Членовите на низата што се разгледува обично се означуваат со симболот ai, каде што i е цел број што го означува бројот на елементот во серијата.

Горенаведената дефиниција за прогресија може да се напише на математички јазик на следниов начин: an = bn-1 * a1, каде што b е именителот. Лесно е да се провери оваа формула: ако n = 1, тогаш b1-1 = 1, и добиваме a1 = a1. Ако n = 2, тогаш an = b * a1, и повторно доаѓаме до дефиницијата на серијата на броеви за кои станува збор. Слично размислување може да се продолжи за големи вредности на n.

Именител на геометриска прогресија


Бројот b целосно одредува каков знак ќе има целата броена серија. Именителот b може да биде позитивен, негативен или поголем или помал од еден. Сите горенаведени опции доведуваат до различни секвенци:

  • b > 1. Постои зголемена серија на рационални броеви. На пример, 1, 2, 4, 8, ... Ако елементот a1 е негативен, тогаш целата низа ќе се зголеми само во апсолутна вредност, но ќе се намали во зависност од знакот на броевите.
  • b = 1. Често овој случај не се нарекува прогресија, бидејќи постои обична серија на идентични рационални броеви. На пример, -4, -4, -4.

Формула за износ

Пред да се премине на разгледување на конкретни проблеми користејќи го именителот на видот на прогресијата што се разгледува, треба да се даде важна формула за збирот на неговите први n елементи. Формулата изгледа вака: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Можете сами да го добиете овој израз ако ја земете предвид рекурзивната низа на термини на прогресијата. Исто така, забележете дека во горната формула доволно е да се знае само првиот елемент и именителот за да се најде збирот на произволен број членови.

Бесконечно опаѓачка низа


Погоре беше дадено објаснување за што се работи. Сега, знаејќи ја формулата за Sn, ајде да ја примениме на оваа бројна серија. Бидејќи секој број чиј модул не надминува 1 се стреми кон нула кога е подигнат на големи сили, односно b∞ => 0 ако -1

Бидејќи разликата (1 - b) секогаш ќе биде позитивна, без оглед на вредноста на именителот, знакот на збирот на бесконечно опаѓачката геометриска прогресија S∞ е единствено определен со знакот на неговиот прв елемент a1.

Сега да погледнеме неколку проблеми каде што ќе покажеме како да го примениме стекнатото знаење на конкретни бројки.

Задача бр.1. Пресметка на непознати елементи на прогресија и збир

Со оглед на геометриската прогресија, именителот на прогресијата е 2, а нејзиниот прв елемент е 3. Со што ќе бидат еднакви неговите седми и десетти членови и колку е збирот на неговите седум почетни елементи?

Состојбата на проблемот е прилично едноставна и вклучува директна употреба на горенаведените формули. Значи, за да го пресметаме елементот број n, го користиме изразот an = bn-1 * a1. За 7-миот елемент имаме: a7 = b6 * a1, заменувајќи ги познатите податоци, добиваме: a7 = 26 * 3 = 192. Истото го правиме и за 10-тиот член: a10 = 29 * 3 = 1536.

Да ја користиме добро познатата формула за збирот и да ја одредиме оваа вредност за првите 7 елементи од серијата. Имаме: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Задача бр. 2. Одредување на збир на произволни елементи на прогресија

Нека -2 е еднаков на именителот на геометриската прогресија bn-1 * 4, каде што n е цел број. Неопходно е да се одреди збирот од 5-тиот до 10-тиот елемент од оваа серија, вклучително.

Поставениот проблем не може да се реши директно користејќи познати формули. Може да се реши со користење на 2 различни методи. За комплетност на презентација на темата, ви ги претставуваме и двете.

Метод 1. Идејата е едноставна: треба да ги пресметате двата соодветни збирови од првите членови, а потоа да го одземете другиот од едниот. Ја пресметуваме помалата количина: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Сега ја пресметуваме поголемата сума: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Забележете дека во последниот израз беа сумирани само 4 члена, бидејќи 5-тиот е веќе вклучен во износот што треба да се пресмета според условите на проблемот. Конечно, ја земаме разликата: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Метод 2. Пред да ги замените броевите и да броите, можете да добиете формула за збирот помеѓу m и n членовите од серијата за која станува збор. Го правиме истото како во методот 1, само што прво работиме со симболичното претставување на износот. Имаме: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Можете да ги замените познатите броеви во добиениот израз и да го пресметате конечниот резултат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Задача бр. 3. Кој е именителот?


Нека a1 = 2, пронајдете го именителот на геометриската прогресија, под услов нејзиниот бесконечен збир да биде 3, а се знае дека ова е опаѓачка серија на броеви.

Врз основа на условите на проблемот, не е тешко да се погоди која формула треба да се користи за да се реши. Се разбира, за збирот на прогресијата бескрајно се намалува. Имаме: S∞ = a1 / (1 - b). Од каде го искажуваме именителот: b = 1 - a1 / S∞. Останува да се заменат познатите вредности и да се добие потребниот број: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можеме квалитативно да го провериме овој резултат ако се потсетиме дека за овој тип на низа модулот b не треба да оди подалеку од 1. Како што може да се види, |-1 / 3|

Задача бр. 4. Враќање низа броеви

Нека се дадени 2 елементи од бројна серија, на пример, 5-тиот е еднаков на 30, а 10-тиот е еднаков на 60. Потребно е да се реконструира целата серија од овие податоци, знаејќи дека таа ги задоволува својствата на геометриската прогресија.

За да го решите проблемот, прво мора да го запишете соодветниот израз за секој познат поим. Имаме: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Сега поделете го вториот израз со првиот, добиваме: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Од тука го одредуваме именителот земајќи го петтиот корен од односот на поимите познати од исказот на проблемот, b = 1,148698. Добиениот број го заменуваме во еден од изразите за познатиот елемент, добиваме: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Така, го најдовме именителот на прогресијата bn, и геометриската прогресија bn-1 * 17,2304966 = an, каде што b = 1,148698.

Каде се користат геометриските прогресии?


Доколку не постоеше практична примена на оваа бројна серија, тогаш нејзиното проучување ќе се сведе на чисто теоретски интерес. Но, таква апликација постои.


Подолу се 3-те најпознати примери:

  • Парадоксот на Зенон, во кој пргавиот Ахил не може да ја достигне бавната желка, е решен со помош на концептот на бесконечно опаѓачка низа од броеви.
  • Ако на секој квадрат од шаховската табла ставите зрна пченица така што на 1-виот квадрат ставите 1 зрно, на 2-ри - 2, на 3-ти - 3 и така натаму, тогаш за да ги пополните сите квадрати на таблата ќе ви требаат 18446744073709551615 зрна!
  • Во играта „Кулата на Ханој“, за да се преместат дисковите од една прачка на друга, потребно е да се извршат операции 2n - 1, односно нивниот број расте експоненцијално со бројот n на употребените дискови.

Улица Киевјан, 16 0016 Ерменија, Ереван +374 11 233 255

Да разгледаме одредена серија.

7 28 112 448 1792...

Апсолутно е јасно дека вредноста на кој било од неговите елементи е точно четири пати поголема од претходната. Тоа значи дека оваа серија е прогресија.

Геометриска прогресија е бесконечна низа од броеви, чија главна карактеристика е тоа што следниот број се добива од претходниот со множење со одреден број. Ова се изразува со следнава формула.

a z +1 =a z ·q, каде што z е бројот на избраниот елемент.

Според тоа, z ∈ N.

Периодот кога се изучува геометриската прогресија на училиште е 9-то одделение. Примерите ќе ви помогнат да го разберете концептот:

0.25 0.125 0.0625...

Врз основа на оваа формула, именителот на прогресијата може да се најде на следниов начин:

Ниту q ниту b z не можат да бидат нула. Исто така, секој од елементите на прогресијата не треба да биде еднаков на нула.

Според тоа, за да го дознаете следниот број во серија, треба да го помножите последниот со q.

За да ја поставите оваа прогресија, мора да го наведете нејзиниот прв елемент и именител. По ова, можно е да се најде некој од следните термини и нивниот збир.

Сорти

Во зависност од q и a 1, оваа прогресија е поделена на неколку типови:

  • Ако и 1 и q се поголеми од еден, тогаш таквата низа е геометриска прогресија што се зголемува со секој следен елемент. Пример за ова е претставен подолу.

Пример: a 1 =3, q=2 - двата параметри се поголеми од еден.

Тогаш нумеричката низа може да се напише вака:

3 6 12 24 48 ...

  • Ако |q| е помала од една, односно множењето со него е еквивалентно на делење, тогаш прогресијата со слични услови е опаѓачка геометриска прогресија. Пример за ова е претставен подолу.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 е поголем од еден, q е помал.

Тогаш низата на броеви може да се запише на следниов начин:

6 2 2/3 ... - кој било елемент е 3 пати поголем од елементот што го следи.

  • Алтернативен знак. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3, q = -2 - двата параметри се помали од нула.

Тогаш низата на броеви може да се напише вака:

3, 6, -12, 24,...

Формули

Постојат многу формули за практично користење на геометриски прогресии:

  • Формула со Z-термин. Ви овозможува да пресметате елемент под одреден број без да пресметувате претходни броеви.

Пример:q = 3, а 1 = 4. Потребно е да се брои четвртиот елемент од прогресијата.

Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

  • Збирот на првите елементи чие количество е еднакво на z. Ви овозможува да го пресметате збирот на сите елементи на низата доa zинклузивна.

Од (1-q) е во именителот, тогаш (1 - q)≠ 0, затоа q не е еднаков на 1.

Забелешка: ако q=1, тогаш прогресијата би била низа од бесконечно повторувачки броеви.

Збир на геометриска прогресија, примери:а 1 = 2, q= -2. Пресметајте S5.

Решение:С 5 = 22 - пресметка со помош на формулата.

  • Износ ако |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример:а 1 = 2 , q= 0,5. Најдете ја сумата.

Решение:Сз = 2 · = 4

Сз = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Некои својства:

  • Карактеристично својство. Доколку следниов услов работи за било којz, тогаш дадената бројна серија е геометриска прогресија:

a z 2 = a z -1 · аz+1

  • Исто така, квадратот на кој било број во геометриска прогресија се наоѓа со собирање на квадратите на кои било други два броја во дадена серија, доколку тие се подеднакво оддалечени од овој елемент.

a z 2 = a z - т 2 + a z + т 2 , Кадет- растојанието помеѓу овие бројки.

  • Елементисе разликуваат во qеднаш.
  • Логаритмите на елементите на прогресијата исто така формираат прогресија, но аритметичка, односно секој од нив е поголем од претходниот за одреден број.

Примери за некои класични проблеми

За подобро разбирање што е геометриска прогресија, можат да помогнат примери со решенија за класа 9.

  • Услови:а 1 = 3, а 3 = 48. Најдетеq.

Решение: секој следен елемент е поголем од претходниот воq еднаш.Неопходно е да се изразат некои елементи во однос на други со помош на именител.

Оттука,а 3 = q 2 · а 1

При заменаq= 4

  • Услови:а 2 = 6, а 3 = 12. Пресметај S 6.

Решение:За да го направите ова, само најдете q, првиот елемент и заменете го во формулата.

а 3 = q· а 2 , оттука,q= 2

a 2 = q · а 1,Затоа a 1 = 3

S 6 = 189

  • · а 1 = 10, q= -2. Најдете го четвртиот елемент од прогресијата.

Решение: за да го направите ова, доволно е да се изрази четвртиот елемент преку првиот и преку именителот.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Пример за апликација:

  • Клиент на банка направи депозит во износ од 10.000 рубли, под чии услови секоја година клиентот ќе има 6% додадени на главниот износ. Колку пари ќе има на сметка после 4 години?

Решение: Почетниот износ е 10 илјади рубли. Тоа значи дека една година по инвестицијата на сметката ќе има износ еднаков на 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Според тоа, износот на сметката по уште една година ќе биде изразен на следниов начин:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Односно, секоја година износот се зголемува за 1,06 пати. Тоа значи дека за да се најде износот на средствата на сметката по 4 години, доволно е да се најде четвртиот елемент од прогресијата, кој е даден со првиот елемент еднаков на 10 илјади и именителот еднаков на 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Примери на проблеми со пресметување збир:

Геометриската прогресија се користи во различни проблеми. Пример за наоѓање на збирот може да се даде на следниов начин:

а 1 = 4, q= 2, пресметајС 5.

Решение: сите податоци потребни за пресметка се познати, само треба да ги замените во формулата.

С 5 = 124

  • а 2 = 6, а 3 = 18. Пресметај го збирот на првите шест елементи.

Решение:

Во геом. прогресија, секој следен елемент е q пати поголем од претходниот, односно за да се пресмета збирот што треба да го знаете елементота 1 и именителq.

а 2 · q = а 3

q = 3

Слично на тоа, треба да најдетеа 1 , знаејќиа 2 Иq.

а 1 · q = а 2

a 1 =2

С 6 = 728.

Овој број се нарекува именител на геометриска прогресија, односно секој член се разликува од претходниот за q пати. (Ќе претпоставиме дека q ≠ 1, инаку сè е премногу тривијално). Лесно е да се види дека општата формула за n-тиот член на геометриската прогресија е b n = b 1 q n – 1 ; членовите со броевите b n и b m се разликуваат за q n – m пати.

Веќе во Стариот Египет знаеја не само аритметичка, туку и геометриска прогресија. Еве, на пример, проблем од папирусот Rhind: „Седум лица имаат седум мачки; Секоја мачка јаде седум глувци, секој глушец јаде седум класови пченка, а секое уво јачмен може да одгледува седум мери јачмен. Колку се големи броевите во оваа серија и нивниот збир?

Ориз. 1. Антички египетски проблем со геометриска прогресија

Оваа задача била повторувана многу пати со различни варијации меѓу другите народи во други времиња. На пример, во напишано во 13 век. „Книгата за абакусот“ од Леонардо од Пиза (Фибоначи) има проблем во кој се појавуваат 7 стари жени на пат кон Рим (очигледно аџии), од кои секоја има по 7 мазги, од кои секоја има по 7 торби, од кои секоја содржи 7 леба, од кои секоја има 7 ножеви, од кои секоја има 7 обвивки. Проблемот прашува колку објекти има.

Збирот на првите n членови на геометриската прогресија S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Оваа формула може да се докаже, на пример, вака: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Додадете го бројот b 1 q n на S n и добијте:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Од тука S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), и ја добиваме потребната формула.

Веќе на една од глинените плочи на антички Вавилон, која датира од 6 век. п.н.е д., го содржи збирот 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Точно, како и во голем број други случаи, не знаеме како овој факт им бил познат на Вавилонците .

Брзиот пораст на геометриската прогресија во голем број култури, особено во индиската, постојано се користи како визуелен симбол на пространоста на универзумот. Во познатата легенда за појавата на шахот, владетелот му дава можност на својот пронаоѓач сам да ја избере наградата, а тој го бара бројот на зрната пченица што ќе се добијат ако едно се стави на првиот квадрат од шаховската табла, два на вториот, четири на третиот, осум на четвртиот, итн., секој пат кога бројот се удвојува. Владика мислеше дека најмногу зборуваме за неколку кеси, но погрешно пресмета. Лесно е да се види дека за сите 64 квадрати на шаховската табла пронаоѓачот би требало да прими (2 64 - 1) зрна, што се изразува како 20-цифрен број; дури и да се сее целата површина на Земјата, ќе бидат потребни најмалку 8 години за да се собере потребната количина на зрна. Оваа легенда понекогаш се толкува како укажување на практично неограничените можности скриени во играта шах.

Лесно е да се види дека овој број е навистина 20-цифрен:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (поточна пресметка дава 1,84∙10 19). Но, се прашувам дали можете да дознаете со која цифра завршува овој број?

Геометриската прогресија може да се зголемува ако именителот е поголем од 1, или да се намалува ако е помал од еден. Во вториот случај, бројот q n за доволно голем n може да стане произволно мал. Додека растечката геометриска прогресија се зголемува неочекувано брзо, сè помалата геометриска прогресија се намалува исто толку брзо.

Колку е поголем n, толку е послаб бројот q n се разликува од нула, и колку е поблиску збирот од n членови на геометриската прогресија S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) до бројот S = b 1 / ( 1 – q). (На пример, Ф. Виет резонираше на овој начин). Бројот S се нарекува збир на геометриска прогресија која бескрајно се намалува. Меѓутоа, за многу векови прашањето за тоа што е значењето на собирање на ЦЕЛАТА геометриска прогресија, со нејзиниот бесконечен број членови, не им беше доволно јасно на математичарите.

Намалувачка геометриска прогресија може да се види, на пример, во апориите на Зенон „Половина дивизија“ и „Ахил и желката“. Во првиот случај, јасно е прикажано дека целиот пат (претпоставувајќи ја должината 1) е збир од бесконечен број сегменти 1/2, 1/4, 1/8 итн. Ова, се разбира, е случај од гледна точка на идеи за конечен збир бесконечна геометриска прогресија. А сепак - како може ова да биде?

Ориз. 2. Прогресија со коефициент 1/2

Во апоријата за Ахил, ситуацијата е малку посложена, бидејќи овде именителот на прогресијата не е 1/2, туку некој друг број. Нека, на пример, Ахил трча со брзина v, желката се движи со брзина u, а почетното растојание меѓу нив е l. Ахил ќе го помине ова растојание во време l/v, а за тоа време желката ќе се движи на растојание lu/v. Кога Ахил ќе го истрча овој сегмент, растојанието помеѓу него и желката ќе стане еднакво на l (u /v) 2, итн. l и именителот u /v. Оваа сума - сегментот што Ахил на крајот ќе го истрча до местото на средба со желката - е еднаков на l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Но, повторно, како треба да се толкува овој резултат и зошто воопшто има смисла, не беше многу јасно долго време.

Ориз. 3. Геометриска прогресија со коефициент 2/3

Архимед го користел збирот на геометриска прогресија за да ја одреди плоштината на сегментот на параболата. Нека оваа отсечка од параболата е ограничена со акордот AB и тангентата во точката D од параболата нека биде паралелна со AB. Нека C е средната точка на AB, E средната точка на AC, F средната точка на CB. Да повлечеме прави паралелни со DC низ точките A, E, F, B; Нека тангентата нацртана во точката D ги пресекува овие прави во точките K, L, M, N. Да ги нацртаме и отсечките AD и DB. Нека правата EL ја пресекува правата AD во точката G, а параболата во точката H; линијата FM ја пресекува правата DB во точката Q, а параболата во точката R. Според општата теорија на конусни пресеци, DC е дијаметар на парабола (т.е. сегмент паралелен на нејзината оска); таа и тангентата во точката D можат да послужат како координатни оски x и y, во кои равенката на параболата е напишана како y 2 = 2px (x е растојанието од D до која било точка со даден дијаметар, y е должината на отсечка паралелна на дадена тангента од оваа точка на дијаметар до одредена точка на самата парабола).

Врз основа на равенката на параболата, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, и бидејќи DK = 2DL, тогаш KA = 4LH. Бидејќи KA = 2LG, LH = HG. Областа на сегментот ADB на параболата е еднаква на плоштината на триаголникот ΔADB и областите на сегментите AHD и DRB заедно. За возврат, површината на сегментот AHD е слично еднаква на плоштината на триаголникот AHD и преостанатите сегменти AH и HD, со секоја од нив можете да ја извршите истата операција - поделена на триаголник (Δ) и двата преостанати сегменти (), итн.:

Површината на триаголникот ΔAHD е еднаква на половина од плоштината на триаголникот ΔALD (тие имаат заедничка основа AD, а висините се разликуваат за 2 пати), што, пак, е еднакво на половина од плоштината триаголникот ΔAKD, а со тоа и половина од плоштината на триаголникот ΔACD. Така, површината на триаголникот ΔAHD е еднаква на четвртина од плоштината на триаголникот ΔACD. Исто така, плоштината на триаголникот ΔDRB е еднаква на една четвртина од плоштината на триаголникот ΔDFB. Значи, областите на триаголниците ΔAHD и ΔDRB, земени заедно, се еднакви на четвртина од плоштината на триаголникот ΔADB. Повторувањето на оваа операција кога се применува на сегментите AH, HD, DR и RB ќе избере триаголници од нив, чиишто плоштини, земени заедно, ќе бидат 4 пати помали од плоштината на триаголниците ΔAHD и ΔDRB, земени заедно, и затоа 16 пати помалку од плоштината на триаголникот ΔADB. И така натаму:

Така, Архимед докажал дека „секој сегмент содржан помеѓу права линија и парабола сочинува четири третини од триаголникот со иста основа и еднаква висина“.