Делење едноставни дропки со цели броеви. Дропки. Множење и делење дропки
Можете да направите сè со дропки, вклучително и делење. Оваа статија ја прикажува поделбата на обичните дропки. Ќе се дадат дефиниции и ќе се дискутираат примери. Дозволете ни да се задржиме подетално на делењето дропки со природни броеви и обратно. Поделбата ќе се разгледува заедничка дропкадо мешан број.
Делење дропки
Поделбата е инверзна на множењето. При делењето, непознатиот фактор се наоѓа со познатиот производ на друг фактор, каде што неговото дадено значење е зачувано со обични дропки.
Ако е неопходно да се подели заедничка дропка a b со c d, тогаш за да се одреди таков број треба да се помножи со делителот c d, ова на крајот ќе ја даде дивидендата a b. Ајде да добиеме број и да го напишеме a b · d c , каде што d c е инверзна на c d бројот. Равенките можат да се напишат со помош на својствата на множење, имено: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, каде што изразот a b · d c е количник на делење a b со c d.
Од тука го добиваме и формулираме правилото за делење на обични дропки:
Дефиниција 1
За да поделите заедничка дропка a b со c d, треба да ја помножите дивидендата со реципроцитет на делителот.
Да го напишеме правилото во форма на израз: a b: c d = a b · d c
Правилата за делење се сведуваат на множење. За да се држите до него, треба добро да го разберете множењето на дропките.
Ајде да продолжиме со разгледување на поделбата на обичните дропки.
Пример 1
Поделете 9 7 на 5 3. Напиши го резултатот како дропка.
Решение
Бројот 5 3 е реципрочна дропка 3 5. Неопходно е да се користи правилото за делење на обични фракции. Овој израз го пишуваме на следниов начин: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Одговор: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Кога ги намалувате дропките, одвојте го целиот дел ако броителот е поголем од именителот.
Пример 2
Поделете 8 15: 24 65. Напиши го одговорот како дропка.
Решение
За да решите, треба да преминете од делење до множење. Ајде да го напишеме во оваа форма: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Потребно е да се направи намалување, а тоа се прави на следниов начин: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Изберете го целиот дел и добијте 13 9 = 1 4 9.
Одговор: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Делење вонредна дропка со природен број
Го користиме правилото за делење дропка со природен број: за да се подели a b со природен број n, потребно е само да се помножи именителот со n. Од тука го добиваме изразот: a b: n = a b · n.
Правилото за делење е последица на правилото за множење. Според тоа, претставувањето на природен број како дропка ќе даде еднаквост од овој тип: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Размислете за оваа поделба на дропка со број.
Пример 3
Дропката 16 45 поделете ја со бројот 12.
Решение
Да го примениме правилото за делење дропка со број. Добиваме израз на формата 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Да ја намалиме дропот. Добиваме 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Одговор: 16 45: 12 = 4 135 .
Делење природен број со дропка
Правилото за поделба е слично Оправило за делење природен број со обична дропка: за да се подели природен број n со обична дропка a b, потребно е да се помножи бројот n со реципроцитет на дропката a b.
Врз основа на правилото, имаме n: a b = n · b a, и благодарение на правилото за множење на природен број со обична дропка, го добиваме нашиот израз во форма n: a b = n · b a. Неопходно е да се разгледа оваа поделба со пример.
Пример 4
Поделете 25 на 15 28.
Решение
Треба да преминеме од делење кон множење. Да го запишеме во форма на изразот 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Да ја намалиме дропот и да го добиеме резултатот во форма на дропка 46 2 3.
Одговор: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Делење дропка со мешан број
Кога делите заедничка дропка со мешан број, можете лесно да почнете да делите заеднички дропки. Треба да конвертирате мешан број во неправилна дропка.
Пример 5
Дропката 35 16 поделете ја со 3 1 8.
Решение
Бидејќи 3 1 8 е мешан број, да го претставиме како неправилна дропка. Потоа добиваме 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Сега да поделиме дропки. Добиваме 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Одговор: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Делењето мешан број се врши на ист начин како и обичните броеви.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Обичните фракциони броеви најпрво ги среќаваат учениците од 5-то одделение и ги придружуваат во текот на нивниот живот, бидејќи во секојдневниот живот често е неопходно да се разгледа или да се користи предмет не како целина, туку во посебни делови. Почнете да ја проучувате оваа тема - споделува. Акциите се еднакви делови, на кој е поделен овој или оној објект. На крајот на краиштата, не е секогаш можно да се изрази, на пример, должината или цената на производот како цел број, треба да се земат предвид. Формиран од глаголот „да се подели“ - да се дели на делови и со арапски корени, самиот збор „фракција“ се појавил на рускиот јазик во 8 век.
Дробни изрази долго времесе смета за најтешка гранка на математиката. Во 17 век, кога се појавија првите учебници по математика, тие беа наречени „скршени броеви“, што беше многу тешко за луѓето да го разберат.
Модерен изгледедноставни фракциони остатоци, чии делови се одделени со хоризонтална линија, прв ги промовирал Фибоначи - Леонардо од Пиза. Неговите дела се датирани во 1202 година. Но, целта на оваа статија е едноставно и јасно да му објасни на читателот како се множат мешаните дропки со различни именители.
Множење дропки со различни именители
Првично вреди да се одреди видови дропки:
- точно;
- погрешно;
- измешани.
Следно, треба да запомните како се множат дробните броеви со исти именители. Самото правило на овој процес е лесно да се формулира независно: резултат на множење едноставни дропкисо исти именители е дробен израз, чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот на овие дропки. Тоа е, всушност, новиот именител е квадратот на еден од првично постоечките.
При множење едноставни дропки со различни именителиза два или повеќе фактори правилото не се менува:
а/б * в/г = a*c / b*d.
Единствената разлика е во тоа што формираниот број под дробната линија ќе биде производ од различни броеви и, природно, не може да се нарече квадрат на еден нумерички израз.
Вреди да се разгледа множењето на дропки со различни именители користејќи примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите користат методи за намалување на фракционите изрази. Можете да ги намалите броевите на броителите само со именители на соседните фактори над или под линијата на дропка.
Заедно со едноставните дропки, постои концептот на мешани дропки. Мешаниот број се состои од цел број и фракционо дел, односно тоа е збир на овие броеви:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Како функционира множењето?
Неколку примери се дадени за разгледување.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерот користи множење на број со обичен дробен дел, правилото за оваа акција може да се запише како:
а* б/в = a*b /в.
Всушност, таков производ е збир на идентични фракциони остатоци, а бројот на членовите го означува овој природен број. Посебен случај:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Постои уште едно решение за множење на број со фракционо остаток. Треба само да го поделите именителот со овој број:
г* д/ѓ = д/ѓ: г.
Оваа техника е корисна за употреба кога именителот е поделен со природен број без остаток или, како што велат, со цел број.
Претворете ги мешаните броеви во неправилни дропки и добијте го производот на претходно опишаниот начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Овој пример вклучува начин на претставување на мешана дропка како неправилна дропка, таа може да биде претставена и како општа формула:
а бв = a*b+ c / c, каде што именителот на новата дропка се формира со множење на целиот дел со именителот и собирање со броителот на првобитниот дробен остаток, а именителот останува ист.
Овој процес работи и во спротивна насока. За да го одделите целиот дел и фракциониот остаток, треба да го поделите броителот на неправилна дропка со неговиот именител користејќи „агол“.
Множење несоодветни дропки произведуваат на општо прифатен начин. Кога пишувате под една линија на дропка, треба да ги намалите дропките колку што е потребно за да ги намалите броевите користејќи го овој метод и да го олесните пресметувањето на резултатот.
На Интернет има многу помошници за решавање дури и сложени математички проблеми различни варијациипрограми. Доволен број такви услуги ја нудат својата помош при броење множење на дропки со различни броевиво именители - таканаречени онлајн калкулатори за пресметување дропки. Тие се способни не само да се множат, туку и да ги вршат сите други едноставни аритметички операции со обични дропки и мешани броеви. Не е тешко да се работи со тоа, ги пополнувате соодветните полиња на страницата на веб-страницата, го избирате знакот за математичката операција и кликнете „пресметај“. Програмата се пресметува автоматски.
Темата аритметички операции со дропки е актуелна во текот на образованието на средношколците и средношколците. Во средно училиште веќе не ги сметаат наједноставните видови, туку целина фракциони изрази , но знаењето за правилата за трансформација и пресметките добиени порано се применува во неговата оригинална форма. Добро совладаното основно знаење дава целосна доверба во успешна одлукаповеќето сложени задачи.
Како заклучок, има смисла да се цитираат зборовите на Лев Николаевич Толстој, кој напиша: „Човекот е дропка. Не е во моќта на човекот да го зголеми својот броител - неговите заслуги - но секој може да го намали својот именител - своето мислење за себе, и со ова намалување да се доближи до неговото совршенство.
Содржина на лекцијата
Собирање на дропки со слични именители
Постојат два вида на собирање на дропки:
- Собирање на дропки со слични именители
- Собирање на дропки со различни именители
Прво, да научиме собирање дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет. На пример, да ги додадеме дропките и . Додадете ги броителите и оставете го именителот непроменет:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако додадете пица на пицата, добивате пица:
Пример 2.Додадете дропки и .
Одговорот се покажа како несоодветна дропка. Кога ќе дојде крајот на задачата, вообичаено е да се ослободите од несоодветните фракции. За да се ослободите од несоодветна фракција, треба да го изберете целиот дел од неа. Во нашиот случај цел деллесно се издвојува - два поделени со два еднакви:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пица која е поделена на два дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате една цела пица:
Пример 3. Додадете дропки и .
Повторно, ги собираме броителите и го оставаме именителот непроменет:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата која е поделена на три дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате пица:
Пример 4.Најдете ја вредноста на изразот 
Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Броителите мора да се додадат, а именителот да остане непроменет:
Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пици на пица и додадете повеќе пици, ќе добиете 1 цела пица и повеќе пици.
Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во собирањето дропки со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:
- За да додадете дропки со ист именител, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет;
Собирање на дропки со различни именители
Сега да научиме како да собираме дропки со различни именители. При собирање дропки, именителот на дропките мора да бидат исти. Но, тие не се секогаш исти.
На пример, дропките може да се додаваат затоа што имаат исти именители.
Но, дропките не можат да се додадат веднаш, бидејќи овие дропки различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.
Постојат неколку начини за намалување на дропките на ист именител. Денес ќе разгледаме само еден од нив, бидејќи другите методи може да изгледаат комплицирани за почетник.
Суштината на овој метод е дека прво се пребарува LCM на именители на двете дропки. LCM потоа се дели со именителот на првата дропка за да се добие првиот дополнителен фактор. Истото го прават и со втората дропка - LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор.
Броителите и именителот на дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие дејства, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки.
Пример 1. Да ги собереме дропките и
Како прво, го наоѓаме најмалиот заеднички множител на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 2. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 6
LCM (2 и 3) = 6
Сега да се вратиме на дропките и . Прво, поделете го LCM со именителот на првата дропка и добијте го првиот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 6 со 3, добиваме 2.
Добиениот број 2 е првиот дополнителен множител. Го запишуваме до првата дропка. За да го направите ова, направете мала коси линија над дропот и запишете го дополнителниот фактор што се наоѓа над неа:
Истото го правиме и со втората дропка. LCM го делиме со именителот на втората дропка и го добиваме вториот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на втората дропка е бројот 2. Поделете 6 со 2, добиваме 3.
Добиениот број 3 е вториот дополнителен множител. Го запишуваме до втората дропка. Повторно, правиме мала коси линија над втората дропка и го запишуваме дополнителниот фактор пронајден над неа:
Сега имаме сè подготвено за додавање. Останува да се помножат броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни фактори:
Погледнете внимателно до што дојдовме. Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:
Ова го комплетира примерот. Излегува да се додаде .
Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пица на пица, добивате една цела пица и уште една шестина од пица:
Намалувањето на дропките на ист (заеднички) именител може да се прикаже и со помош на слика. Намалувајќи ги дропките и на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие две фракции ќе бидат претставени со исти парчиња пица. Единствената разлика ќе биде што овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви акции (сведени на ист именител).
Првиот цртеж претставува дропка (четири парчиња од шест), а вториот цртеж претставува дропка (три дела од шест). Додавајќи ги овие парчиња добиваме (седум парчиња од шест). Оваа дропка е неправилна, па затоа го истакнавме целиот дел од неа. Како резултат на тоа, добивме (една цела пица и друга шеста пица).
Ве молиме имајте предвид дека овој пример го опишавме премногу детално. ВО образовните институцииНе е вообичаено да се пишува толку детално. Треба да можете брзо да го пронајдете LCM на именителот и дополнителните фактори за нив, како и брзо да ги помножите пронајдените дополнителни фактори со вашите броители и именители. Ако бевме на училиште, ќе требаше да го напишеме овој пример на следниов начин:
Но, има и друга страна на медалот. Ако не земате детални белешки во првите фази од изучувањето на математиката, тогаш почнуваат да се појавуваат прашања од тој вид. „Од каде доаѓа тој број?“, „Зошто дропките одеднаш се претвораат во сосема различни дропки? «.
За полесно да додавате дропки со различни именители, можете да ги користите следните чекор-по-чекор инструкции:
- Најдете LCM на именители на дропки;
- Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка;
- Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители;
- Додадете дропки кои имаат исти именители;
- Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел;
Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот 
.
Ајде да ги користиме упатствата дадени погоре.
Чекор 1. Најдете го LCM на именителот на дропките
Најдете го LCM на именителот на двете дропки. Именители на дропките се броевите 2, 3 и 4
Чекор 2. Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка
Поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 2. Поделете 12 со 2, добиваме 6. Го добивме првиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над првата дропка:
Сега го делиме LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Го добиваме вториот дополнителен фактор 4. Го запишуваме над втората дропка:
Сега го делиме LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на третата дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Го добиваме третиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над третата дропка:
Чекор 3. Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители
Ние ги множиме броителите и именителот со нивните дополнителни фактори:
Чекор 4. Додадете дропки со исти именители
Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. Останува само да се додадат овие фракции. Додај го:
Додавањето не одговараше на една линија, па го преместивме преостанатиот израз во следниот ред. Ова е дозволено во математиката. Кога изразот не одговара на една линија, тој се преместува во следниот ред, а потребно е да се стави знак за еднаквост (=) на крајот од првиот ред и на почетокот. нова линија. Знакот за еднаквост на вториот ред покажува дека ова е продолжение на изразот што беше на првиот ред.
Чекор 5. Ако одговорот се покаже дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел
Нашиот одговор се покажа како неправилна дропка. Мораме да истакнеме цел дел од тоа. Истакнуваме:
Добивме одговор
Одземање на дропки со слични именители
Постојат два вида на одземање на дропки:
- Одземање на дропки со слични именители
- Одземање на дропки со различни именители
Прво, да научиме како да одземаме дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка, но да го оставите именителот ист.
На пример, да ја најдеме вредноста на изразот . За да го решите овој пример, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет. Да го направиме ова:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:
Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот.
Повторно, од броителот на првата дропка, одземете го броителот на втората дропка и оставете го именителот непроменет:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата која е поделена на три дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:
Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот 
Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Од броителот на првата дропка треба да ги одземете броителите на преостанатите дропки:
Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во одземањето на дропките со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:
- За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет;
- Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш треба да го истакнете целиот дел од него.
Одземање на дропки со различни именители
На пример, може да одземе дропка од дропка бидејќи дропките имаат исти именители. Но, не можете да одземете дропка од дропка, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.
Заедничкиот именител се наоѓа користејќи го истиот принцип што го користевме кога собиравме дропки со различни именители. Најпрво пронајдете го LCM на именителот на двете дропки. Потоа LCM се дели со именителот на првата дропка и се добива првиот дополнителен фактор кој се запишува над првата дропка. Слично, LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор кој е запишан над втората дропка.
Дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие операции, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки.
Пример 1.Најдете го значењето на изразот:
Овие дропки имаат различни именители, затоа треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.
Прво го наоѓаме LCM на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 4. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 12
LCM (3 и 4) = 12
Сега да се вратиме на дропки и
Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Запишете четворка над првата дропка:
Истото го правиме и со втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Запишете тројка над втората дропка:
Сега сме подготвени за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:
Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:
Добивме одговор
Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако ја исечете пицата од пица, добивате пица
Ова е деталната верзија на решението. Да бевме на училиште, овој пример ќе требаше да го решиме пократко. Таквото решение би изгледало вака:
Намалувањето на дропките до заеднички именител може да се прикаже и со помош на слика. Сведувајќи ги овие дропки на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие дропки ќе бидат претставени со исти парчиња пица, но овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви делови (сведени на ист именител):
На првата слика е прикажана дропка (осум парчиња од дванаесет), а на втората слика е прикажана дропка (три парчиња од дванаесет). Со сечење три парчиња од осум парчиња, добиваме пет парчиња од дванаесет. Дропката ги опишува овие пет парчиња.
Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот 
Овие дропки имаат различни именители, па прво треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.
Да го најдеме LCM на именителот на овие дропки.
Именители на дропките се броевите 10, 3 и 5. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Сега наоѓаме дополнителни фактори за секоја дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на секоја дропка.
Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на првата дропка е бројот 10. Поделете 30 со 10, го добиваме првиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над првата дропка:
Сега наоѓаме дополнителен фактор за втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 30, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 30 со 3, го добиваме вториот дополнителен фактор 10. Го запишуваме над втората дропка:
Сега наоѓаме дополнителен фактор за третата дропка. Поделете го LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на третата дропка е бројот 5. Поделете 30 со 5, го добиваме третиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над третата дропка:
Сега сè е подготвено за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:
Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го завршиме овој пример.
Продолжението на примерот нема да се вклопи на една линија, па продолжението го преместуваме во следниот ред. Не заборавајте за знакот за еднаквост (=) на новата линија:
Одговорот се покажа како редовна дропка, и се чини дека сè ни одговара, но е премногу гломазен и грд. Треба да го направиме поедноставно. Што може да се направи? Можете да ја скратите оваа фракција.
За да намалите дропка, треба да ги поделите неговиот броител и именителот со (GCD) од броевите 20 и 30.
Значи, го наоѓаме gcd на броевите 20 и 30:
Сега се враќаме на нашиот пример и го делиме броителот и именителот на дропката со пронајдениот gcd, односно со 10
Добивме одговор
Множење на дропка со број
За да помножите дропка со број, треба да го помножите броителот на дадената дропка со тој број и да го оставите именителот ист.
Пример 1. Помножете дропка со бројот 1.
Помножете го броителот на дропката со бројот 1
Снимката може да се сфати како да трае половина време. На пример, ако земете пица еднаш, добивате пица
Од законите за множење знаеме дека ако множителот и факторот се заменат, производот нема да се промени. Ако изразот е напишан како , тогаш производот сепак ќе биде еднаков на . Повторно, правилото за множење цел број и дропка функционира:
Оваа нотација може да се сфати како преземање на половина од еден. На пример, ако има 1 цела пица и земеме половина од неа, тогаш ќе имаме пица:
Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот
Помножете го броителот на дропката со 4
Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:
Изразот може да се сфати како преземање две четвртини 4 пати. На пример, ако земете 4 пици, ќе добиете две цели пици
И ако го замениме множителот и множителот, го добиваме изразот . Исто така, ќе биде еднакво на 2. Овој израз може да се разбере како земање две пици од четири цели пици:
Множење на дропки
За да множите дропки, треба да ги помножите нивните броители и именители. Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, треба да го истакнете целиот негов дел.
Пример 1.Најдете ја вредноста на изразот.
Добивме одговор. Препорачливо е да се намали оваа фракција. Дропката може да се намали за 2. Тогаш конечното решение ќе ја добие следната форма:
Изразот може да се разбере како да се земе пица од половина пица. Да речеме дека имаме половина пица:
Како да земете две третини од оваа половина? Прво треба да ја поделите оваа половина на три еднакви делови:
И земете две од овие три дела:
Ќе направиме пица. Запомнете како изгледа пицата кога е поделена на три дела:
Едно парче од оваа пица и двете парчиња што ги земавме ќе имаат исти димензии:
Со други зборови, зборуваме за пица со иста големина. Затоа вредноста на изразот е
Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот
Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:
Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:
Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот
Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:
Одговорот се покажа како правилна дропка, но би било добро да се скрати. За да ја намалите оваа дропка, треба да ги поделите броителот и именителот на оваа дропка со најголемиот заеднички делител(GCD) броеви 105 и 450.
Значи, да го најдеме gcd на броевите 105 и 450:
Сега ги делиме броителот и именителот на нашиот одговор со gcd што сега го најдовме, односно со 15
Претставување цел број како дропка
Секој цел број може да се претстави како дропка. На пример, бројот 5 може да се претстави како . Ова нема да го промени значењето на пет, бидејќи изразот значи „бројот пет поделен со еден“, а ова, како што знаеме, е еднакво на пет:
Реципрочни броеви
Сега ќе се запознаеме со многу интересна темапо математика. Тоа се нарекува „обратни броеви“.
Дефиниција. Обратно на бројота е број кој, кога ќе се помножи соа дава еден.
Ајде да ја замениме оваа дефиниција наместо променливата аброј 5 и обидете се да ја прочитате дефиницијата:
Обратно на бројот 5 е број кој, кога ќе се помножи со 5 дава еден.
Дали е можно да се најде број кој кога ќе се помножи со 5 дава еден? Излегува дека е можно. Да замислиме пет како дропка:
Потоа помножете ја оваа дропка сама по себе, само заменете ги броителот и именителот. Со други зборови, ајде да ја помножиме дропот сама по себе, само наопаку:
Што ќе се случи како резултат на ова? Ако продолжиме да го решаваме овој пример, ќе добиеме еден:
Ова значи дека инверзната на бројот 5 е бројот, бидејќи кога ќе помножите 5 со ќе добиете еден.
Реципроцитет на број може да се најде и за кој било друг цел број.
Можете да го најдете и реципроцитетот на која било друга дропка. За да го направите ова, само превртете го.
Делење дропка со број
Да речеме дека имаме половина пица:
Ајде да го поделиме подеднакво на две. Колку пица ќе добие секој човек?
Се гледа дека по делењето на половина пица, се добиваат две еднакви парчиња, од кои секое претставува пица. Значи секој добива пица.
Поделбата на дропките се врши со помош на реципрочни. Реципрочните броеви ви дозволуваат да го замените делењето со множење.
За да поделите дропка со број, треба да ја помножите дропот со инверзната на делителот.
Користејќи го ова правило, ќе ја запишеме поделбата на нашата половина од пицата на два дела.
Значи, треба да ја поделите дропот со бројот 2. Овде дивидендата е дропка, а делителот е бројот 2.
За да поделите дропка со бројот 2, треба да ја помножите оваа дропка со реципроцитет на делителот 2. Реципроцитет на делителот 2 е дропка. Значи треба да се множи со
За да решите разни проблеми од курсевите по математика и физика, треба да поделите дропки. Ова е многу лесно да се направи ако знаете одредени правила за извршување на оваа математичка операција.
Пред да продолжиме со формулирањето на правилото за делење дропки, да се потсетиме на некои математички поими:
- Горниот дел од дропката се нарекува броител, а долниот дел се нарекува именител.
- При делење, броевите се повикуваат на следниов начин: дивиденда: делител = количник
Како да се делат дропки: едноставни дропки
За да поделите две едноставни дропки, помножете ја дивидендата со реципроцитет на делителот. Оваа дропка се нарекува и превртена бидејќи се добива со замена на броителот и именителот. На пример:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Како да се делат дропки: мешани дропки
Ако треба да делиме мешани фракции, тогаш сè овде е исто така прилично едноставно и јасно. Прво преведуваме мешана фракцијаво правилна неправилна дропка. За да го направите ова, помножете го именителот на таквата дропка со цел број и додадете го броителот на добиениот производ. Како резултат на тоа, добивме нов броител на мешаната дропка, но неговиот именител ќе остане непроменет. Понатаму, поделбата на дропки ќе се изврши на ист начин како и поделбата на едноставни дропки. На пример:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Како да се подели дропка со број
За да се подели проста дропка со број, вториот треба да се напише како дропка (неправилна). Ова е многу лесно да се направи: овој број е напишан наместо броителот, а именителот на таква дропка е еднаков на еден. Се врши понатамошна поделба на вообичаен начин. Да го погледнеме ова со пример:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Како да се делат децимали
Често возрасно лице има потешкотии да подели цел број или децимална дропка со децимална дропка без помош на калкулатор.
Така да се направи поделбата децимали, само треба да ја прецртате запирката во делителот и да престанете да обрнувате внимание на неа. Во дивидендата, запирката мора да се помести надесно точно онолку места колку што беше во фракциониот дел од делителот, додавајќи нули ако е потребно. А потоа ја вршат вообичаената поделба со цел број. За да го направите ова појасно, разгледајте го следниов пример.
) и именител по именител (го добиваме именителот на производот).
Формула за множење дропки:
На пример:
Пред да започнете со множење броители и именители, треба да проверите дали дропот може да се намали. Ако можете да ја намалите дропот, ќе ви биде полесно да направите понатамошни пресметки.
Делење заедничка дропка со дропка.
Делење дропки кои вклучуваат природни броеви.
Не е толку страшно како што изгледа. Како и во случајот со собирање, го претвораме цел број во дропка со еден во именителот. На пример:
Множење мешани дропки.
Правила за множење дропки (мешани):
- конвертирате мешани фракции во несоодветни фракции;
- множење на броителите и именители на дропки;
- намалете ја фракцијата;
- Ако добиете неправилна дропка, тогаш неправилната дропка ја претвораме во мешана дропка.
Забелешка!За да помножите мешана дропка со друга мешана дропка, прво треба да ги претворите во форма на несоодветни дропки, а потоа да се множите според правилото за множење на обичните дропки.
Вториот начин да се множи дропка со природен број.
Можеби е попогодно да се користи вториот метод за множење на заедничка дропка со број.
Забелешка!За да помножите дропка со природен број, мора да го поделите именителот на дропката со овој број и да го оставите броителот непроменет.
Од примерот даден погоре, јасно е дека оваа опција е попогодна за употреба кога именителот на дропка е поделен без остаток со природен број.
Повеќекатни дропки.
Во средно училиште често се среќаваат дропки од три ката (или повеќе). Пример:
За да се намали таквата дропка на познат изглед, користете делење преку 2 точки:
Забелешка!При делење дропки многу е важен редоследот на делење. Бидете внимателни, тука е лесно да се збуните.
Забелешка, На пример:
Кога се дели една со која било дропка, резултатот ќе биде истата дропка, само превртена:
Практични совети за множење и делење дропки:
1. Најважно кога се работи со дропски изрази е точноста и внимателноста. Правете ги сите пресметки внимателно и прецизно, концентрирано и јасно. Подобро е да напишете неколку дополнителни линии во вашиот нацрт отколку да се изгубите во менталните пресметки.
2. Во задачи со различни типовифракции - оди во форма на обични дропки.
3. Ги намалуваме сите дропки додека повеќе не е можно да се намали.
4. Повеќестепените фракциони изрази ги трансформираме во обични користејќи делење преку 2 точки.
5. Поделете единица со дропка во вашата глава, едноставно превртувајќи ја дропот.
