Со даден централен агол, пронајдете го впишаниот. Впишан агол, теорија и проблеми
Концептот на впишан и централен агол
Прво да го воведеме концептот на централен агол.
Забелешка 1
Забележи го тоа степенот на централниот агол е еднаков на степенот на лакот на кој се потпира.
Сега да го претставиме концептот на впишан агол.
Дефиниција 2
Аголот чие теме лежи на круг и чии страни ја сечат истата кружница се нарекува впишан агол (сл. 2).
Слика 2. Впишан агол
Теорема за впишан агол
Теорема 1
Степената мерка на впишан агол е еднаква на половина од степенската мерка на лакот на кој се потпира.
Доказ.
Да ни биде даден круг со центар во точката $O$. Да го означиме впишаниот агол $ACB$ (сл. 2). Можни се следните три случаи:
- Зракот $CO$ се совпаѓа со која било страна од аголот. Нека ова е страната $CB$ (слика 3).
Слика 3.
Во овој случај, лакот $AB$ е помал од $(180)^(()^\circ )$, па оттука и централниот агол $AOB$ еднаков на лак$AB$. Бидејќи $AO=OC=r$, тогаш триаголникот $AOC$ е рамнокрак. Ова значи дека основните агли $CAO$ и $ACO$ се еднакви еден на друг. Според теоремата за надворешен аголтриаголник, имаме:
- Зракот $CO$ се дели внатрешен аголпод два агли. Нека го пресече кругот во точката $D$ (сл. 4).
Слика 4.
Добиваме
- Зракот $CO$ не го дели внатрешниот агол на два агли и не се совпаѓа со ниту една од неговите страни (сл. 5).
Слика 5.
Да ги разгледаме аглите $ACD$ и $DCB$ одделно. Според она што беше докажано во точка 1, добиваме
Добиваме
Теоремата е докажана.
Ајде да дадеме последицитеод оваа теорема.
Заклучок 1:Впишаните агли што се потпираат на истиот лак се еднакви еден на друг.
Заклучок 2:Впишан агол што го потпира дијаметарот е прав агол.
Просечно ниво
Круг и впишан агол. Визуелен водич (2019)
Основни поими.
Колку добро се сеќавате на сите имиња поврзани со кругот? За секој случај, да ве потсетиме - погледнете ги сликите - освежете го вашето знаење.
Прво - Центарот на кругот е точка од која растојанијата од сите точки на кругот се исти.
Второ - радиус - отсечка што го поврзува центарот и точка на кругот.
Има многу радиуси (колку што има точки на кругот), но Сите радиуси имаат иста должина.
Понекогаш накратко радиустие го нарекуваат точно должина на сегментот„Центарот е точка на кругот“, а не самиот сегмент.
И еве што се случува ако поврзете две точки на круг? Исто така сегмент?
Значи, овој сегмент се нарекува "акорд".
Исто како и во случајот со радиусот, дијаметарот е често должината на сегментот што поврзува две точки на круг и минува низ центарот. Патем, како се поврзани дијаметарот и радиусот? Погледнете внимателно. Секако, радиусот е еднаков на половина од дијаметарот.
Покрај акорди, има и секанти.
Се сеќавате на наједноставната работа?
Централниот агол е аголот помеѓу два радиуси.
И сега - впишаниот агол
Впишан агол - аголот помеѓу два акорди што се сечат во точка на круг.
Во овој случај, тие велат дека впишаниот агол се потпира на лак (или на акорд).
Погледни во сликата:
Мерења на лакови и агли.
Обем. Лаците и аглите се мерат во степени и радијани. Прво, за степените. Нема проблеми за аглите - треба да научите како да го измерите лакот во степени.
Мерката на степенот (големина на лакот) е вредноста (во степени) на соодветниот централен агол
Што значи зборот „соодветно“ овде? Ајде да погледнеме внимателно:
Дали гледате два лака и два централни агли? Па, поголем лак одговара на поголем агол (и во ред е што е поголем), а помал лак одговара на помал агол.
Значи, се согласивме: лакот содржи ист број степени како и соодветниот централен агол.
А сега за страшното - за радијаните!
Каков вид на ѕвер е овој „радијан“?
Замислете го ова: Радијаните се начин на мерење на аглите... во радиуси!
Агол од радијани е централен агол чија должина на лакот е еднаква на радиусот на кругот.
Тогаш се поставува прашањето - колку радијани има под прав агол?
Со други зборови: колку радиуси „се вклопуваат“ во половина круг? Или на друг начин: колку пати е должината на половина круг поголема од радиусот?
Научниците го поставија ова прашање уште во Античка Грција.
И така, после долго пребарувањеоткриле дека односот на обемот и радиусот не сака да се изразува во „човечки“ броеви како итн.
И не е можно ни да се изрази овој став преку корени. Односно, излегува дека е невозможно да се каже дека половина круг е пати или пати поголем од радиусот! Можете ли да замислите колку беше неверојатно луѓето да го откријат ова за прв пат?! За односот на должината на половина круг до радиусот, „нормалните“ бројки не беа доволни. Морав да внесам писмо.
Значи, - ова е број кој го изразува односот на должината на полукругот до радиусот.
Сега можеме да одговориме на прашањето: колку радијани има во прав агол? Содржи радијани. Токму затоа што половина од кругот е пати поголем од радиусот.
Антички (и не толку антички) луѓе низ вековите (!) се обиде попрецизно да го пресмета овој мистериозен број, подобро да го изрази (барем приближно) преку „обични“ броеви. И сега сме неверојатно мрзеливи - доволни ни се два знака по напорниот ден, навикнати сме
Размислете за тоа, тоа значи, на пример, дека должината на кругот со радиус од еден е приближно еднаква, но оваа точна должина е едноставно невозможно да се запише со „човечки“ број - ви треба буква. И тогаш овој обем ќе биде еднаков. И, се разбира, обемот на радиусот е еднаков.
Да се вратиме на радијаните.
Веќе дознавме дека правиот агол содржи радијани.
Она што го имаме:
Значи, мило, односно мило. На ист начин се добива плоча со најпопуларни агли.
Односот помеѓу вредностите на впишаните и централните агли.
Постои неверојатен факт:
Впишаниот агол е половина од големината на соодветниот централен агол.
Погледнете како изгледа оваа изјава на сликата. „Соодветен“ централен агол е оној чии краеви се совпаѓаат со краевите на впишаниот агол, а темето е во центарот. И во исто време, „соодветниот“ централен агол мора да „изгледа“ на истиот акорд () како и впишаниот агол.
Зошто е ова така? Ајде да го сфатиме прво едноставен случај. Нека помине еден од акордите низ центарот. Тоа понекогаш се случува така, нели?
Што се случува овде? Ајде да размислиме. Тоа е рамнокрак - на крајот на краиштата, и - радиуси. Значи, (ги означи).
Сега да погледнеме. Ова е надворешниот агол за! Се сеќаваме дека надворешниот агол е еднаков на збирот на два внатрешни агли кои не се соседни со него, и напишете:
Тоа е! Неочекуван ефект. Но има и централен агол за впишаното.
Тоа значи дека за овој случај докажале дека централниот агол е двојно поголем од впишаниот агол. Но, тоа е болно посебен случај: зарем не е вистина дека акордот не секогаш оди директно низ центарот? Но, во ред е, сега овој конкретен случај ќе ни помогне многу. Погледнете: втор случај: оставете го центарот да лежи внатре.
Ајде да го направиме ова: нацртајте го дијаметарот. И тогаш... гледаме две слики кои веќе беа анализирани во првиот случај. Затоа веќе го имаме тоа
Ова значи (на цртежот, а)
Па, тоа го остава последниот случај: центарот е надвор од аголот.
Ние го правиме истото: нацртајте го дијаметарот низ точката. Се е исто, но наместо сума има разлика.
Тоа е се!
Ајде сега да формираме две главни и многу важни последици од изјавата дека впишаниот агол е половина од централниот агол.
Заклучок 1
Сите впишани агли врз основа на еден лак се еднакви еден на друг.
Ние илустрираме:
Има безброј впишани агли врз основа на истиот лак (го имаме овој лак), можеби изгледаат сосема поинаку, но сите имаат ист централен агол (), што значи дека сите овие впишани агли се еднакви меѓу себе.
Заклучок 2
Аголот подвижен од дијаметарот е прав агол.
Погледнете: кој агол е централен?
Секако,. Но, тој е еднаков! Па, затоа (како и многу повеќе впишани агли кои се потпираат на) и е еднаков.
Агол помеѓу два акорда и секанти
Но, што ако аголот што нè интересира НЕ е впишан и НЕ централен, туку, на пример, вака:
или вака?
Дали е можно некако да се изрази низ некои централни агли? Излегува дека тоа е можно. Погледнете: ние сме заинтересирани.
а) (како надворешен агол за). Но - впишан, се потпира на лакот -. - впишан, се потпира на лакот - .
За убавина велат:
Аголот помеѓу акордите е еднаков на половина од збирот на аголните вредности на лаците затворени во овој агол.
Тие го пишуваат ова за краткост, но се разбира, кога ја користите оваа формула треба да ги имате на ум централните агли
б) И сега - „надвор“! Како да се биде? Да, речиси исто! Дури сега (повторно го применуваме својството на надворешниот агол за). Тоа е сега.
А тоа значи... Ајде да внесеме убавина и краткост во белешките и формулацијата:
Аголот помеѓу секантите е еднаков на половина од разликата во аголните вредности на лаците затворени во овој агол.
Па, сега сте вооружени со сите основни знаења за аглите поврзани со круг. Само напред, преземете ги предизвиците!
КРУЖНИЦА И ИНСИНАЛИРАН АГОЛ. ПРОСЕЧНО НИВО
Дури и петгодишно дете знае што е круг, нели? Математичарите, како и секогаш, имаат апструзна дефиниција за оваа тема, но ние нема да ја дадеме (види), туку да се потсетиме како се нарекуваат точките, правите и аглите поврзани со кругот.
Важни услови
Прво:
| центар на кругот- точка од која сите точки на кругот се на исто растојание. |
Второ:
Постои уште еден прифатен израз: „акордот го собира лакот“. Овде на сликата, на пример, акордот го поттегнува лакот. И ако акорд одеднаш помине низ центарот, тогаш има посебно име: „дијаметар“.
Патем, како се поврзани дијаметарот и радиусот? Погледнете внимателно. Секако,
И сега - имињата за аглите.
Природно, нели? Страните на аголот се протегаат од центарот - што значи дека аголот е централен.
Ова е местото каде што понекогаш се појавуваат тешкотии. Внимавај - НИКАКОВ агол во кругот не е впишан,но само оној чие теме „седи“ на самиот круг.
Ајде да ја видиме разликата на сликите:
Друг начин тие велат:
Тука има една незгодна точка. Кој е „соодветниот“ или „сопствениот“ централен агол? Само агол со темето во центарот на кругот и краевите на краевите на лакот? Не сигурно на тој начин. Погледнете го цртежот.
Еден од нив, сепак, дури и не изгледа како агол - тој е поголем. Но, триаголникот не може да има повеќе агли, но кругот може да има! Значи: помалиот лак AB одговара на помал агол (портокалова), а поголемиот лак одговара на поголем. Само така, нели?
Односот помеѓу величините на впишаните и централните агли
Запомнете ја оваа многу важна изјава:
Во учебниците сакаат да го напишат истиот факт вака:
Зарем не е вистина дека формулацијата е поедноставна со централен агол?
Но, сепак, да најдеме кореспонденција помеѓу двете формулации, а во исто време да научиме да ги најдеме во цртежите „соодветниот“ централен агол и лакот на кој „почива“ впишаниот агол.
Погледнете: еве круг и впишан агол:
Каде е неговиот „соодветен“ централен агол?
Ајде да погледнеме повторно:
Кое е правилото?
Но! Во овој случај, важно е впишаните и централните агли да го „гледаат“ лакот од едната страна. На пример:
Чудно е доволно, сино! Бидејќи лакот е долг, подолг од половина круг! Затоа, никогаш не се збунувајте!
Каква последица може да се заклучи од „полувченоста“ на впишаниот агол?
Но, на пример:
Агол подреден по дијаметар
Веќе забележавте дека математичарите сакаат да зборуваат за истите работи. со различни зборови? Зошто им треба ова? Гледате, јазикот на математиката, иако формален, е жив, и затоа, како и во обичниот јазик, секој пат сакате да го кажете на начин што е поудобен. Па, веќе видовме што значи „аголот лежи на лак“. И замислете, истата слика се нарекува „агол се потпира на акорд“. На што? Да, се разбира, на оној што го затегнува овој лак!
Кога е попогодно да се потпрете на акорд отколку на лак?
Па, особено, кога овој акорд е со дијаметар.
Постои изненадувачки едноставна, убава и корисна изјава за таква ситуација!
Погледнете: тука е кругот, дијаметарот и аголот што се потпира на него.
КРУЖНИЦА И ИНСИНАЛИРАН АГОЛ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ
1. Основни поими.
3. Мерења на лакови и агли.
Агол од радијани е централен агол чија должина на лакот е еднаква на радиусот на кругот.
Ова е број кој го изразува односот на должината на полукругот до неговиот радиус.
Обемот на радиусот е еднаков на.
4. Односот помеѓу вредностите на впишаните и централните агли.
Концептот на впишан и централен агол
Прво да го воведеме концептот на централен агол.
Забелешка 1
Забележи го тоа степенот на централниот агол е еднаков на степенот на лакот на кој се потпира.
Сега да го претставиме концептот на впишан агол.
Дефиниција 2
Аголот чие теме лежи на круг и чии страни ја сечат истата кружница се нарекува впишан агол (сл. 2).
Слика 2. Впишан агол
Теорема за впишан агол
Теорема 1
Степената мерка на впишан агол е еднаква на половина од степенската мерка на лакот на кој се потпира.
Доказ.
Да ни биде даден круг со центар во точката $O$. Да го означиме впишаниот агол $ACB$ (сл. 2). Можни се следните три случаи:
- Зракот $CO$ се совпаѓа со која било страна од аголот. Нека ова е страната $CB$ (слика 3).
Слика 3.
Во овој случај, лакот $AB$ е помал од $(180)^(()^\circ )$, затоа централниот агол $AOB$ е еднаков на лакот $AB$. Бидејќи $AO=OC=r$, тогаш триаголникот $AOC$ е рамнокрак. Ова значи дека основните агли $CAO$ и $ACO$ се еднакви еден на друг. Според теоремата за надворешниот агол на триаголникот, имаме:
- Ray $CO$ дели внатрешен агол на два агли. Нека го пресече кругот во точката $D$ (сл. 4).
Слика 4.
Добиваме
- Зракот $CO$ не го дели внатрешниот агол на два агли и не се совпаѓа со ниту една од неговите страни (сл. 5).
Слика 5.
Да ги разгледаме аглите $ACD$ и $DCB$ одделно. Според она што беше докажано во точка 1, добиваме
Добиваме
Теоремата е докажана.
Ајде да дадеме последицитеод оваа теорема.
Заклучок 1:Впишаните агли што се потпираат на истиот лак се еднакви еден на друг.
Заклучок 2:Впишан агол што го потпира дијаметарот е прав агол.
Аголот ABC е впишан агол. Се потпира на лакот AC, затворен меѓу неговите страни (сл. 330).
Теорема. Впишан агол се мери со половината од лакот на кој се потпира.
Ова треба да се сфати вака: впишаниот агол содржи толку многу аголни степени, минути и секунди, колку лак степени, минути и секунди се содржани во половината од лакот на кој се потпира.
При докажување на оваа теорема, мора да се земат предвид три случаи.
Прв случај. Центарот на кругот лежи на страната на впишаниот агол (сл. 331).
Нека ∠ABC е впишан агол, а центарот на кружницата O лежи на страната BC. Потребно е да се докаже дека се мери со половина лак AC.
Ајде да ја поврземе точката А со центарот на кругот. Добиваме рамнокрак \(\Делта\)AOB, во кој AO = OB, како радиуси на истата кружница. Затоа, ∠A = ∠B.
∠AOC е надворешен од триаголникот AOB, така што ∠AOC = ∠A + ∠B, и бидејќи аглите A и B се еднакви, тогаш ∠B е 1/2 ∠AOC.
Но, ∠AOC се мери со лакот AC, затоа ∠B се мери со половина од лакот AC.
На пример, ако \(\breve(AC)\) содржи 60°18', тогаш ∠B содржи 30°9'.
Втор случај. Центарот на кругот лежи помеѓу страните на впишаниот агол (сл. 332).
Нека ∠ABD е впишан агол. Центарот на кругот О лежи помеѓу неговите страни. Треба да докажеме дека ∠ABD се мери со половина од лакот AD.
За да го докажеме ова, да го нацртаме дијаметарот BC. Аголот ABD е поделен на два агли: ∠1 и ∠2.
∠1 се мери со половина лак AC, а ∠2 се мери со половина лак CD, затоа, целата ∠ABD се мери со 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (ЦД)\), односно половина лак АД.
На пример, ако \(\breve(AD)\) содржи 124°, тогаш ∠B содржи 62°.
Трет случај. Центарот на кругот лежи надвор од впишаниот агол (сл. 333).
Нека ∠MAD е впишан агол. Центарот на кругот О е надвор од аголот. Треба да докажеме дека ∠MAD се мери со половина од лакот MD.
За да го докажеме ова, да го нацртаме дијаметарот AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Но, ∠MAB мери 1/2 \(\breve(MB)\), а ∠DAB мери 1/2 \(\breve(DB)\).
Затоа, ∠MAD мери 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), т.е. 1 / 2 \(\breve(MD)\).
На пример, ако \(\breve(MD)\) содржи 48° 38", тогаш ∠MAD содржи 24° 19' 8".
Последици
1.
Сите впишани агли што го подложуваат истиот лак се еднакви еден на друг, бидејќи се мерат со половина од истиот лак
(Сл. 334, а).
2. Впишан агол подвиткан со дијаметар е прав агол, бидејќи навлегува половина круг. Половина круг содржи 180 степени на лак, што значи дека аголот врз основа на дијаметарот содржи 90 лачни степени (сл. 334, б).
КРУЖИ И КРУЖИ. ЦИЛИНДАР.
§ 76. ВПИШЕН И НЕКОИ ДРУГИ АГЛИ.
1. Впишан агол.
Аголот чие теме е на круг и чии страни се акорди се нарекува впишан агол.
Аголот ABC е впишан агол. Се потпира на лакот AC, затворен меѓу неговите страни (сл. 330).
Теорема. Впишан агол се мери со половината од лакот на кој се потпира.
Ова треба да се сфати вака: впишаниот агол содржи онолку аголни степени, минути и секунди колку што има степени, минути и секунди содржани во половината од лакот на кој се потпира.
При докажување на оваа теорема, мора да се земат предвид три случаи.
Прв случај. Центарот на кругот лежи на страната на впишаниот агол (сл. 331).
Нека / ABC е впишан агол и центарот на кругот O лежи на страната BC. Потребно е да се докаже дека се мери со половина од лакот AC.
Ајде да ја поврземе точката А со центарот на кругот. Добиваме рамнокрак /\
АОБ, во која
AO = OB, како радиуси на истиот круг. Оттука, /
A = /
ВО. /
Според тоа, AOC е надворешен од триаголникот AOB /
AOC = /
А+ /
B (§ 39, став 2), и бидејќи аглите A и B се еднакви, тогаш /
Б е 1/2 /
AOC.
Но / AOC се мери со лак AC, затоа, / B се мери со половина од лакот AC.
На пример, ако AC содржи 60° 18", тогаш / Б содржи 30°9".
Втор случај. Центарот на кругот лежи помеѓу страните на впишаниот агол (сл. 332).
Нека / ABD - впишан агол. Центарот на кругот О лежи помеѓу неговите страни. Тоа е потребно да се докаже / ABD се мери со половина од лакот AD.
За да го докажеме ова, да го нацртаме дијаметарот на сонцето. Аголот ABD е поделен на два агли: / 1 и / 2.
/
1 се мери со половина лак AC, и /
2 се мери со половина од лакот ЦД, па затоа целото /
ABD се мери со 1/2 AC + 1/2 CD, т.е. половина од лакот AD.
На пример, ако АД содржи 124°, тогаш /
Б содржи 62°.
Трет случај. Центарот на кругот лежи надвор од впишаниот агол (сл. 333).
Нека / MAD - впишан агол. Центарот на кругот О е надвор од аголот. Тоа е потребно да се докаже / MAD се мери со половина од лакот MD.
За да го докажеме ова, да го нацртаме дијаметарот AB. /
ЛУД = /
MAV- /
DAB. Но /
МАВ се мери со 1/2 MV, и /
DAB се мери како 1/2 DB. Оттука, /
MAD се мери
1/2 (MB - DB), односно 1/2 MD.
На пример, ако MD содржи 48° 38"16", тогаш /
MAD содржи 24° 19" 8".
Последици. 1. Сите впишани агли што го подложуваат истиот лак се еднакви еден на друг, бидејќи се мерат со половина од истиот лак (Слика 334, а).
2. Впишан агол подвиткан со дијаметар е прав агол, бидејќи навлегува половина круг. Половина круг содржи 180 степени на лак, што значи дека аголот врз основа на дијаметарот содржи 90 лачни степени (сл. 334, б).
2. Аголот формиран од тангента и акорд.
Теорема.Аголот формиран од тангента и акорд се мери со половина од лакот затворен меѓу неговите страни.
Нека / CAB е составен од акорд CA и тангента AB (сл. 335). Потребно е да се докаже дека се мери со половина од SA. Ајде да нацртаме права линија ЦД низ точката C || АБ. Испишани / ACD се мери со половина од лакот AD, но AD = CA, бидејќи тие се содржани помеѓу тангентата и акордот паралелно со него. Оттука, / DCA се мери со половина од лакот на CA. Од ова / CAB = / DCA, тогаш се мери со половина од лакот CA.
Вежби.
1. На цртежот 336, најди ги тангентите на кругот на блоковите.
2. Според цртежот 337, докажи дека аголот ADC се мери со половина од збирот на лаците AC и BC.
3. Со помош на цртежот 337, b, докажи дека аголот AMB се мери со полуразликата на лаците AB и CE.
4. Со помош на триаголник за цртање, повлечете акорд низ точката А, која лежи во кругот, така што таа се дели на половина во точката А.
5. Со помош на триаголник за цртање, поделете го лакот на 2, 4, 8... еднакви делови.
6. Опишете круг што минува низ две дадени точки со даден радиус. Колку решенија има проблемот?
7. Колку кругови може да се нацртаат низ дадена точка?
