Finde volumenet af et legeme ud fra tværsnitsarealer. Arealet af rotationsfladen for en parametrisk givet linje Find arealet af rotationsoverfladen omkring y-aksen

Hilsen, kære studerende ved University of Argemona!

I dag vil vi fortsætte med at lære at materialisere genstande. Sidste gang roterede vi flade figurer og fik volumetriske kroppe. Nogle af dem er meget fristende og nyttige. Jeg tror, at meget af det, en tryllekunstner opfinder, kan bruges i fremtiden.

I dag vil vi rotere kurver. Det er klart, at vi på denne måde kan få en genstand med meget tynde kanter (en kegle eller flaske til eliksirer, en blomstervase, et glas til drinks osv.), fordi en roterende kurve kan skabe præcis den slags genstande. Med andre ord kan vi ved at dreje kurven få en form for overflade - lukket på alle sider eller ej. Hvorfor lige nu huskede jeg den utætte kop, som Sir Shurf Lonley-Lokley altid drak af.

Så vi laver en skål med huller og en skål uden huller og beregner arealet af den skabte overflade. Jeg tror, det (overfladearealet generelt) vil være nødvendigt til noget - ja, i det mindste til at påføre speciel magisk maling. På den anden side kan områderne med magiske artefakter være nødvendige for at beregne de magiske kræfter, der påføres dem eller noget andet. Vi vil lære at finde det, og vi vil finde ud af, hvor vi skal anvende det.

Så et stykke af en parabel kan give os formen af en skål. Lad os tage den enkleste y=x 2 på intervallet. Det kan ses, at når du drejer den rundt om OY-aksen, får du bare en skål. Ingen bund.

Besværgelsen til at beregne overfladearealet af rotation er som følger:

Her |y| er afstanden fra rotationsaksen til ethvert punkt på kurven, der roterer. Som du ved, er afstand en vinkelret.
Lidt vanskeligere med det andet element i besværgelsen: ds er buedifferentialet. Disse ord giver os ikke noget, så lad os ikke bekymre os, men lad os gå videre til formlernes sprog, hvor denne forskel er tydeligt præsenteret for alle tilfælde, vi kender:
- Kartesisk koordinatsystem;
- registrering af kurven i parametrisk form;
- polært koordinatsystem.

For vores tilfælde er afstanden fra rotationsaksen til ethvert punkt på kurven x. Vi beregner overfladearealet af den resulterende holey skål:

For at lave en skål med bund skal du tage et andet stykke, men med en anden kurve: på intervallet er dette linjen y=1.

Det er klart, at når den drejer rundt om OY-aksen, vil bunden af skålen være i form af en cirkel med enhedsradius. Og vi ved, hvordan arealet af en cirkel beregnes (ved hjælp af formlen pi*r^2. For vores tilfælde vil arealet af cirklen være lig med pi), men lad os beregne det ved hjælp af en ny formel - at tjekke.
Afstanden fra rotationsaksen til ethvert punkt i dette stykke af kurven er også lig med x.

Nå, vores beregninger er korrekte, hvilket er gode nyheder.

Og nu lektier.

1. Find overfladearealet opnået ved at dreje den stiplede linje ABC, hvor A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), rundt om OX-aksen.
Råd. Skriv alle segmenter ned i parametrisk form.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Forresten, hvordan ser det resulterende element ud?

2. Nå, kom nu på noget selv. Jeg tror, at tre ting vil være nok.

Eksempel: Find rumfanget af en kugle med radius R.

I kuglens tværsnit opnås cirkler med variabel radius y. Afhængig af den aktuelle x-koordinat er denne radius udtrykt ved formlen.

Så har tværsnitsarealfunktionen formen: Q(x) = .

Vi får kuglens volumen:

Eksempel: Find rumfanget af en vilkårlig pyramide med højde H og grundflade S.

Når pyramiden skæres af planer vinkelret på højden, får vi i tværsnit figurer svarende til basen. Lighedskoefficienten for disse tal er lig med forholdet x/H , hvor x er afstanden fra snitplanet til toppen af pyramiden.

Det er kendt fra geometrien, at forholdet mellem arealerne af lignende figurer er lig med lighedskoefficienten i kvadrat, dvs.

Herfra får vi funktionen af tværsnitsarealer:

Find volumen af pyramiden:

Volumen af rotationslegemer.

Overvej kurven givet af ligningen y = f(x ). Lad os antage, at funktionen f(x ) er kontinuerlig i intervallet [ a, b ]. Hvis den tilsvarende krumlinjeformede trapez med baser a og b rotere rundt om Ox-aksen, får vi den såkaldte revolutionens krop.

y = f(x)

Overfladeareal af et rotationslegeme.

M i B

Definition: Overfladeareal af rotation kurve AB omkring en given akse er den grænse, til hvilken arealer af rotationsoverfladerne af stiplede linjer, der er indskrevet i kurven AB, har tendens til, når den største af længderne af disse stiplede linjers led har en tendens til nul.

Lad os opdele buen AB i n dele af punkterne M 0, M 1, M 2, …, M n . Koordinaterne for hjørnerne af den resulterende polylinje har koordinaterne x i og y i . Ved at rotere den stiplede linje omkring sin akse opnår vi en overflade, der består af sideflader af afkortede kegler, hvis areal er lig med D P i . Dette område kan findes ved hjælp af formlen:

5. Finde overfladearealet af revolutionslegemer

Lad kurven AB være grafen for funktionen y = f(x) ≥ 0, hvor x [a; b], og funktionen y = f(x) og dens afledte y" = f"(x) er kontinuerte på dette segment.

Lad os finde arealet S af overfladen dannet ved rotationen af kurven AB omkring Ox-aksen (fig. 8).

Lad os anvende skema II (differentiel metode).

Gennem et vilkårligt punkt x [a; b] tegn en plan P vinkelret på Ox-aksen. Plan П skærer rotationsfladen i en cirkel med radius y – f(x). Størrelsen S af overfladen af den del af omdrejningsfiguren, der ligger til venstre for planet, er en funktion af x, dvs. s = s(x) (s(a) = 0 og s(b) = S).

Lad os give argumentet x en stigning Δx = dx. Gennem punktet x + dx [a; b] tegner vi også en plan vinkelret på Ox-aksen. Funktionen s = s(x) vil modtage en stigning på Δs, vist i figuren som et "bælte".

Lad os finde differentialarealet ds ved at erstatte figuren dannet mellem sektionerne med en keglestub, hvis generatrix er lig med dl, og radierne af baserne er lig med y og y + dу. Arealet af dens laterale overflade er lig med: = 2ydl + dydl.

Ved at afvise produktet dу d1 som en infinitesimal af højere orden end ds, opnår vi ds = 2уdl, eller da d1 = dx.

Ved at integrere den resulterende lighed i området fra x = a til x = b opnår vi

Hvis kurven AB er givet ved de parametriske ligninger x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, så har formlen for rotationsoverfladearealet formen

S=2 dt.

Eksempel: Find overfladearealet af en kugle med radius R.

S=2 =

6. Finde en variabel krafts arbejde

Variabelt styrkearbejde

Lad materialepunktet M bevæge sig langs Ox-aksen under påvirkning af en variabel kraft F = F(x) rettet parallelt med denne akse. Arbejdet udført af en kraft, når punktet M flyttes fra position x = a til position x = b (a

Hvor meget arbejde skal der gøres for at strække fjederen med 0,05 m, hvis en kraft på 100 N strækker fjederen med 0,01 m?

Ifølge Hookes lov er den elastiske kraft, der strækker fjederen, proportional med denne strækning x, dvs. F = kх, hvor k er proportionalitetskoefficienten. Ifølge betingelserne for problemet strækker en kraft F = 100 N fjederen med x = 0,01 m; derfor, 100 = k 0,01, hvorfra k = 10000; derfor F = 10000x.

Det påkrævede job baseret på formlen

Find det arbejde, der skal bruges på at pumpe væske over kanten fra en lodret cylindrisk tank med højde N m og basisradius R m (fig. 13).

Arbejdet brugt på at løfte en krop med vægt p til en højde h er lig med p N. Men de forskellige lag væske i tanken er i forskellige dybder og højden af stigningen (til kanten af tanken) af de forskellige lag er ikke det samme.

For at løse problemet anvender vi skema II (differentiel metode). Lad os introducere et koordinatsystem.

1) Arbejdet med at pumpe et lag væske af tykkelsen x (0 ≤ x ≤ H) ud fra et reservoir er en funktion af x, dvs. A = A(x), hvor (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Find hoveddelen af stigningen ΔA, når x ændres med mængden Δx = dx, dvs. finder vi differentialet dA for funktionen A(x).

På grund af dx's lillehed antager vi, at det "elementære" væskelag er placeret i samme dybde x (fra kanten af reservoiret). Så er dA = dрх, hvor dр er vægten af dette lag; det er lig med g АV, hvor g er tyngdeaccelerationen, er væskens massefylde, dv er volumenet af det "elementære" væskelag (det er fremhævet på figuren), dvs. dр = g. Volumenet af det angivne væskelag er åbenbart lig med , hvor dx er højden af cylinderen (laget), er arealet af dens base, dvs. dv = .

Således er dр = . Og

3) Ved at integrere den resulterende lighed i området fra x = 0 til x = H, finder vi

8. Beregning af integraler ved hjælp af MathCAD-pakken

Når man løser nogle anvendte problemer, er det nødvendigt at bruge funktion af symbolsk integration. I dette tilfælde kan MathCad-programmet være nyttigt både i den indledende fase (det er godt at kende svaret på forhånd eller at vide, at det findes) og på det sidste trin (det er godt at kontrollere resultatet ved hjælp af et svar fra en anden kilde eller en anden persons løsning).

Når du løser et stort antal problemer, kan du bemærke nogle funktioner ved at løse problemer ved hjælp af MathCad-programmet. Lad os prøve at forstå med flere eksempler, hvordan dette program fungerer, analysere løsningerne opnået med dets hjælp og sammenligne disse løsninger med løsninger opnået ved andre metoder.

De vigtigste problemer ved brug af MathCad-programmet er som følger:

a) programmet giver svaret ikke i form af velkendte elementære funktioner, men i form af særlige funktioner, som ikke er kendt af alle;

b) i nogle tilfælde "nægter" at give et svar, selvom der er en løsning på problemet;

c) nogle gange er det umuligt at bruge det opnåede resultat på grund af dets besværlighed;

d) løser ikke problemet fuldstændigt og analyserer ikke løsningen.

For at løse disse problemer er det nødvendigt at udnytte programmets styrker og svagheder.

Med dens hjælp er det nemt og enkelt at beregne integraler af rationelle brøkfunktioner. Derfor anbefales det at bruge den variable erstatningsmetode, dvs. Forbered integralet til løsningen. Til disse formål kan substitutionerne diskuteret ovenfor anvendes. Det skal også huskes på, at de opnåede resultater skal undersøges for sammenfaldet af definitionsdomænerne for den oprindelige funktion og det opnåede resultat. Derudover kræver nogle af de opnåede løsninger yderligere forskning.

MathCad-programmet frigør den studerende eller forskeren fra rutinearbejde, men kan ikke frigøre ham fra yderligere analyser, både ved opstilling af et problem og ved opnåelse af eventuelle resultater.

Dette papir undersøgte de vigtigste bestemmelser i forbindelse med studiet af anvendelser af et bestemt integral i et matematikkursus.

– der blev gennemført en analyse af det teoretiske grundlag for løsning af integraler;

– materialet blev systematiseret og generaliseret.

I processen med at gennemføre kursusarbejdet blev der overvejet eksempler på praktiske problemer inden for fysik, geometri og mekanik.

Konklusion

Eksemplerne på praktiske problemer diskuteret ovenfor giver os en klar idé om vigtigheden af det bestemte integral for deres løselighed.

Det er vanskeligt at nævne et videnskabeligt område, hvor metoderne til integralregning i almindelighed og egenskaberne af det bestemte integral i særdeleshed ikke ville blive brugt. Så i færd med at afslutte kursusarbejdet kiggede vi på eksempler på praktiske problemer inden for fysik, geometri, mekanik, biologi og økonomi. Dette er naturligvis langt fra en udtømmende liste over videnskaber, der bruger den integrale metode til at søge efter en etableret værdi, når man løser et specifikt problem og etablerer teoretiske fakta.

Det bestemte integral bruges også til at studere matematik selv. For eksempel ved løsning af differentialligninger, som igen yder et uerstatteligt bidrag til løsning af praktiske problemer. Vi kan sige, at et bestemt integral er et bestemt grundlag for matematikstudiet. Derfor er det vigtigt at vide, hvordan man løser dem.

Af alt ovenstående er det tydeligt, hvorfor bekendtskab med det bestemte integral sker inden for rammerne af gymnasiet, hvor eleverne studerer ikke kun begrebet integralet og dets egenskaber, men også nogle af dets anvendelser.

Litteratur

1. Volkov E.A. Numeriske metoder. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Differential- og integralregning. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Højere matematik. M., Higher School, 1990.

Lad en krop blive givet i rummet. Lad dens sektioner være konstrueret af planer vinkelret på aksen, der går gennem punkterne
på hende. Arealet af figuren dannet i sektionen afhænger af punktet x, der definerer snitplanet. Lad denne afhængighed være kendt og givet kontinuerligt på fungere. Derefter volumenet af den del af kroppen, der er placeret mellem flyene x=a Og x=b beregnet med formlen

Eksempel. Lad os finde volumen af et afgrænset legeme indesluttet mellem overfladen af en cylinder med radius :, et vandret plan og et skråplan z = 2y og liggende over det vandrette plan.

Det er indlysende, at det pågældende legeme projiceres på aksesegmentet
og atx
kroppens tværsnit er en retvinklet trekant med benene y og z = 2y, hvor y kan udtrykkes gennem x fra cylinderligningen:

Derfor er tværsnitsarealet S(x):

Ved hjælp af formlen finder vi kroppens volumen:

Beregning af volumener af omdrejningslegemer

Lad på segmentet[ -en, b] en kontinuert funktion af konstant fortegn er angivet y= f(x). Volumen af et omdrejningslegeme dannet ved rotation omkring en akse Åh(eller akser OU) en buet trapez afgrænset af en kurve y= f(x) (f(x) 0) og lige y=0, x=a, x=b, beregnes i overensstemmelse hermed ved hjælp af formlerne:

, ( 19)

(20)

Hvis et legeme er dannet ved at dreje rundt om en akse OU krumt trapez afgrænset af en kurve
og lige x=0, y= c, y= d, så er omdrejningslegemets volumen lig med

. (21)

Eksempel. Beregn volumenet af et legeme opnået ved at dreje en figur afgrænset af linjer omkring en akse Åh.

Ifølge formel (19), det nødvendige volumen

Eksempel. Lad os betragte linjen y=cosx på segmentet i xOy-planet .

E Denne linje roterer i rummet omkring en akse, og den resulterende rotationsflade begrænser noget rotationslegeme (se figur). Lad os finde volumen af dette rotationslegeme.

Ifølge formlen får vi:

Overfladeareal af rotation

,
, roterer rundt om Ox-aksen, så beregnes rotationsoverfladen ved hjælp af formlen
, Hvor -en Og b- abscisse af begyndelsen og slutningen af buen.

Hvis buen af en kurve defineret af en ikke-negativ funktion
,
, roterer rundt om Oy-aksen, så beregnes rotationsoverfladen ved hjælp af formlen

hvor c og d er abscissen af begyndelsen og slutningen af buen.

Hvis kurvens bue er givet parametriske ligninger
,
, og
, At

Hvis buen er angivet i polære koordinater
, At

Eksempel. Lad os beregne overfladearealet dannet ved rotation i rummet omkring aksen af en del af linjen y= placeret over knivbjælken.

Fordi
, så giver formlen os integralet

Lad os foretage ændringen t=x+(1/2) i det sidste integral og få:

I det første af integralerne på højre side foretager vi erstatningen z=t 2 -:

For at beregne det andet af integralerne på højre side, betegner vi det og integrerer med dele, hvorved vi opnår ligningen for:

Flytter vi til venstre side og dividerer med 2, får vi

hvor endelig

Anvendelser af et bestemt integral til løsning af nogle problemer inden for mekanik og fysik

Variabelt styrkearbejde. Lad os overveje bevægelsen af et materialepunkt langs aksen OKSE under påvirkning af variabel kraft f, afhængigt af punktets position x på aksen, dvs. kraft, som er en funktion x. Derefter arbejde EN, nødvendigt for at flytte materialepunktet fra positionen x = -en på plads x = b beregnet med formlen:

At beregne væsketrykskræfter bruge Pascals lov, ifølge hvilken trykket af en væske på en platform er lig med dens areal S, ganget med nedsænkningsdybden h, på tæthed ρ og tyngdeacceleration g, dvs.

1. Momenter og massecentre af plane kurver. Hvis kurvens bue er givet ved ligningen y=f(x), a≤x≤b og har en tæthed
, At statiske øjeblikke af denne bue er M x og M y i forhold til koordinatakserne Ox og Oy ens

;

inertimomenter I X og I y i forhold til de samme akser Ox og Oy beregnes ved hjælp af formlerne

EN massecentrum koordinater Og - efter formler

hvor l er buens masse, dvs.

Eksempel 1. Find de statiske momenter og inertimomenter om Ox- og Oy-akserne i buen af køreledningslinjen y=chx for 0≤x≤1.

Hvis densitet ikke er angivet, antages kurven at være ensartet og
. Vi har: Derfor

Eksempel 2. Find koordinaterne for massecentret af cirkelbuen x=acost, y=asint, placeret i første kvartal. Vi har:

Herfra får vi:

I applikationer er følgende ofte nyttigt Sætning gylden. Arealet af overfladen dannet af rotationen af en bue af en plan kurve omkring en akse, der ligger i bueplanet og ikke skærer det, er lig med produktet af buens længde og længden af den beskrevne cirkel ved dets massecentrum.

Eksempel 3. Find koordinaterne for halvcirklens massecenter

På grund af symmetri
. Når en halvcirkel drejes rundt om Ox-aksen, opnås en kugle, hvis overfladeareal er lig, og længden af halvcirklen er lig med na. Ved Guldens sætning har vi 4

Herfra
, dvs. massecentrum C har koordinater C
.

2. Fysiske opgaver. Nogle anvendelser af det bestemte integral til løsning af fysiske problemer er illustreret i eksemplerne nedenfor.

Eksempel 4. Hastigheden af et legemes retlinede bevægelse er udtrykt ved formlen (m/s). Find den vej, som kroppen har tilbagelagt på 5 sekunder fra starten af bevægelsen.

Fordi den vej som kroppen tilbagelægger med hastighed v(t) over en periode, er udtrykt ved integralet

så har vi:

P
eksempel. Lad os finde arealet af det afgrænsede område, der ligger mellem aksen og linjen y=x 3 -x. Fordi

linjen skærer aksen i tre punkter: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

Det begrænsede område mellem linjen og aksen projiceres på segmentet
,og på segmentet
,liney=x 3 -x går over aksen (det vil sige liney=0 og videre - nedenfor. Derfor kan arealet af regionen beregnes som følger:

P
eksempel. Lad os finde området i området indesluttet mellem den første og anden vinding af Archimedes-spiralen r=a (a>0) og et segment af den vandrette akse
.

Den første drejning af spiralen svarer til en ændring i vinkel, der spænder fra 0 til, og den anden - fra. For at give et argument ændring til et mellemrum skriver vi ligningen for den anden drejning af spiralen i formen
,

. Så kan området findes ved hjælp af formlen, putting
Og
: